5.4_非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析解析
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0 1 ˆ J ( x) J ( x) J ( x) 1 14
不是负定矩阵 , 故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。
克拉索夫斯基法(5/7)
若 V(x)=f(x)f(x) 正定 , 为 Lyapunov 函数 , 则说明只有当 x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫 斯基定理判别渐近稳定性 ,并且由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知 ,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知 , 此时雅可比矩阵 J(x) 的对角线 元素恒取负值 , 因此向量函数 f(x) 的第 i 个分量必须包 含变量xi, 否则 , 就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知 :对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
(t ) f ( x ) x
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
ˆ ( x ) J ( x) J ( x) J
为负定的矩阵函数,且
V ( x) x x f ( x) f ( x)
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为:
针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如,
通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法)
针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法) 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。
在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 对非线性系统则不然。 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
3x1 x2 f ( x) x 3 x x x 2 1 2
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
目录(1/1)
目 录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理
5.3 线性系统的稳定性分析
5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题
本章小结
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
更进一步 , 当 ||x||→∞ 时, 有||f(x)||→∞, 则该平衡态是大范围 渐近稳定的。 证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
V ( x) x x f ( x) f ( x)
则其导数为
(t ) f ( x ) x
V ( x) x x f ( x) f ( x)
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)
由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的 所讨论的平衡态移至原点。
在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡 态的范围。 下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 克拉索夫斯基法 变量梯度法
Байду номын сангаас
由于 V ( x) f ( x) f ( x)为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x) f ( x) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。
由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
阿依捷尔曼法
克拉索夫斯基法(1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
设非线性定常连续系统的状态方程为
(t ) f ( x ) x
对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x) f ( x) / x
对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
克拉索夫斯基法(3/7)
V ( x ) [ f ( x ) f ( x )] f ( x ) f ( x ) x f ( x ) f ( x ) x x x f ( x) J ( x) f ( x) f ( x) J ( x) f ( x) ˆ ( x) f ( x) f ( x) J
克拉索夫斯基法(4/7)
在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。 如对于渐近稳定的线性定常连续系统
x1 0 1 x1 x 2 7 x 2 2
由于
不是负定矩阵 , 故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。
克拉索夫斯基法(5/7)
若 V(x)=f(x)f(x) 正定 , 为 Lyapunov 函数 , 则说明只有当 x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫 斯基定理判别渐近稳定性 ,并且由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知 ,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知 , 此时雅可比矩阵 J(x) 的对角线 元素恒取负值 , 因此向量函数 f(x) 的第 i 个分量必须包 含变量xi, 否则 , 就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知 :对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
(t ) f ( x ) x
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
ˆ ( x ) J ( x) J ( x) J
为负定的矩阵函数,且
V ( x) x x f ( x) f ( x)
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为:
针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如,
通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法)
针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法) 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。
在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 对非线性系统则不然。 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
3x1 x2 f ( x) x 3 x x x 2 1 2
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
目录(1/1)
目 录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理
5.3 线性系统的稳定性分析
5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题
本章小结
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
更进一步 , 当 ||x||→∞ 时, 有||f(x)||→∞, 则该平衡态是大范围 渐近稳定的。 证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
V ( x) x x f ( x) f ( x)
则其导数为
(t ) f ( x ) x
V ( x) x x f ( x) f ( x)
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)
由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的 所讨论的平衡态移至原点。
在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡 态的范围。 下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 克拉索夫斯基法 变量梯度法
Байду номын сангаас
由于 V ( x) f ( x) f ( x)为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x) f ( x) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。
由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
阿依捷尔曼法
克拉索夫斯基法(1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
设非线性定常连续系统的状态方程为
(t ) f ( x ) x
对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x) f ( x) / x
对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
克拉索夫斯基法(3/7)
V ( x ) [ f ( x ) f ( x )] f ( x ) f ( x ) x f ( x ) f ( x ) x x x f ( x) J ( x) f ( x) f ( x) J ( x) f ( x) ˆ ( x) f ( x) f ( x) J
克拉索夫斯基法(4/7)
在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。 如对于渐近稳定的线性定常连续系统
x1 0 1 x1 x 2 7 x 2 2
由于