概率论与数理统计— 独立性

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概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)

即X与Y独立．
3.4 随机变量的相互独立性
反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是连续函数，故对所有的x,y，有
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
特别，令 x 1, y 2，可以得到
1
1
2 1 2 1 2 2 1 2
从而 0.
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
pij
6
9 18
3

(1) 求与应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求与的值.
解：将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
(2) P{ X1 X2 1} D f ( x1, x2 )dx1d x2
x2
1
x1 x2 1 D
O
1

1 0
1 x2 0
1 9
e ( x1 x2 )/ 3
d
x1
d
x2
1 9
1 ex2 / 3 (
0
1 0
x2
e

x1
/
3
d
x1
)dx2
x1

9
18
3.4 随机变量的相互独立性
【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律，并问X与Z是否独立？
解：由X与Y的分布律
X
0

概率与统计中的事件独立性

概率与统计中的事件独立性概率与统计是数学领域中重要的分支之一，它研究的是事物发生的可能性以及事物之间的关联程度。

在概率与统计中，事件独立性是一个重要的概念。

本文将介绍事件独立性的定义、性质以及相关的应用。

一、定义事件独立性是指在一系列随机试验中，某一事件的发生与其他事件的发生无关。

具体地说，对于两个事件A和B，如果事件A发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，或者说事件B的发生与否不会对事件A的发生产生任何影响，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。

二、性质1. 互逆性：如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的补事件和事件B也相互独立。

2. 自反性：任意事件与自身都是相互独立的。

3. 偶然性：事件A和事件B相互独立，并不意味着它们是不可能发生的，它们仍然可以同时发生或者同时不发生。

4. 独立性传递性：如果事件A和事件B相互独立，事件B和事件C 相互独立，那么事件A和事件C也相互独立。

三、应用事件独立性在概率与统计中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 抛硬币：在抛硬币的过程中，每一次的抛硬币都是一个独立事件。

无论前一次抛硬币结果是正面还是反面，对于下一次抛硬币的结果都没有影响，每次抛硬币的概率仍然是50%。

2. 掷骰子：与抛硬币类似，每一次掷骰子的结果都是独立事件。

无论前一次掷骰子的点数是多少，对于下一次掷骰子的结果都没有影响。

3. 抽样调查：在进行抽样调查的时候，每一次的抽样都是独立事件。

例如，在进行市场调研时，每一次的问卷发放都是独立的，一个人接收到问卷并填写与其他人接收到问卷并填写之间没有关联性。

4. 生活中的决策：在日常生活中，我们经常需要根据过去的经验和信息做出决策。

如果我们认为某个事件的发生与其他事件是独立的，我们可以根据概率和统计的知识来进行决策。

总结起来，概率与统计中的事件独立性是一个重要的概念。

它可以帮助我们理解和分析随机事件之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的用途。

4概率论-独立性

等式总数为：C
2 n
C
3 n
C
n n
(1 1)n
C
1 n
C
0 n
2n
n1.
n个独立事件和的概率公式:
设事件 A1 , A2 ,…, An 相互独立,则
P(A1∪… ∪An) 1 P( A1 A2 … An ) 1 P( A1 A2 … An ) 1 P( A1 )P( A2 )… P( An )
《概率论与数理统计》第四课：独立性
4 独立性
引例将一颗均匀骰子连掷两次，设 A ={第二次掷出6点}， B ={第一次掷出6点}，显然 P(A|B)= P(A)，
这表明, 事件B发生, 并不影响事件A 发生的概率.
在条件 P(B)>0下， P(A|B)= P(A) P(AB)=P(A)P(B).
A也1 ,相A2互,…独,立An
n个相互独立事件至少有一个发生的概率
=== 1 - 各自对立事件概率的乘积
若n个相互独立事件 A1 , A2 ,…, An 发生的概率分别为 p1 ,, pn , 则“ A1 , A2 ,…, An 至少有一个发生”的概率为
P(A1∪…∪An) = 1 -(1- p1 ) … (1- pn )
P(B)= 26/52 = 1/2 ,
显见, P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A、B独立.
也可以通过计算条件概率去做: 由于 P(A) = 1/13, P(A|B)= 2/26 = 1/13,
显见 P(A)= P(A|B), 所以事件A、B 独立.
实际应用中往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立
由此可见两事件互斥但不独立.
两个事件独立的定义可以推广到三个事件

概率论与数理统计第6节随机事件的独立性和伯努利概型

P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.7 0.6 0.7 0.88;
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得的n个事件仍然是独立事件。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码，i 1,2,3, B 密码能被破译，显然B A1 A2 A3, 于是有

1.5独立性及伯努利概型《概率论与数理统计》课件

则称 A1,A2,An 相互独立.
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}

概率论与数理统计--- 随机变量的独立性

x y x y
F(x, y) = F (x)⋅ F ( y) = ∫−∞ fX(u)du⋅ ∫−∞ fY(v)dv = ∫−∞∫−∞ fX (u) fY (v) dudv X Y
对 F(x,y)求二阶偏导即得联合密度 ( , ) f (x, y) = fX (x)⋅ fY ( y) (对意数 , y) 任实 x ： “⇐”若 f (x, y) = fX(x)⋅ fY ( y) (对意数 , y), 则任实 x
0 0 0.2 x −5 y
dy =0.3697
甲乙两人约定中午12时分在某地会面分在某地会面. 例4 甲乙两人约定中午时30分在某地会面如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀如果甲来到的时间在到之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在而且到达时间在12:00到分布乙独立地到达而且到达时间在到 13:00之间是均匀分布试求先到的人等待另一之间是均匀分布. 之间是均匀分布人到达的时间不超过5分钟的概率分钟的概率. 人到达的时间不超过分钟的概率又甲先到的概率是多少？概率是多少？为甲到达时刻,Y为乙到达时刻解: 设X为甲到达时刻为乙到达时刻为甲到达时刻时为起点,以分为单位依题意, 以12时为起点以分为单位依题意时为起点以分为单位,依题意 X~U(15,45), Y~U(0,60)
例: 设 ( X , Y ) 的联合密度函数
4 xy 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y ) = . 其它 0
Байду номын сангаас
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x) =

概率论与数理统计-第3章-第4讲-随机变量的独立性

1, (x, y) G
f (x, y) 0,
其它.
1
2x
02 随机变量的独立性
例题设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
应用
Y X
1
1
1 6
2
3
1
1
9
18
2
1 3
试确定常数，使得随机变量 X 与Y 相互独立．
02
随机变量的独立性由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
P{XY Y 0} P{( X 1)Y 0}
P{X 1 0,Y 0} P{X 1 0,Y 0}
P(X ) P(X ) 1
2
P{X 1}P{Y 0} P{X 1}P{Y 0} 1111 1
22 22 2
第4讲随机变量的独立性
本节我们学习了二维随机变量的独立性, 后续会推广到更多维. 随机变量的独立性在概率论和数理统计中会发挥重要的作用.
用分布函数表示, 即设 X,Y 是两个随机变量, 若对任意的x, y, 有 F ( x, y) FX (x)FY ( y)
则称 X, Y 相互独立 .
它表明, 两个随机变量相互独立时, 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
01 两个随机变量独立的定义
离散型
X与Y 独立
对一切 i , j 有
01 两个随机变量独立的定义两个随机变量独立的定义
设 X,Y是两个随机变量, 若对任意的x,y ,有 P ( X x,Y y) P( X x)P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
如何判断
两事件A, B独立的定义是：若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件A, B独立 .
01 两个随机变量独立的定义

概率论与数理统计随机变量的独立性

g ( xi , y j ) f ( x, y)dxdy
概率论与数理统计
例9
求E(X),E(Y),E(XY).
E ( XY ) xi y j pij
j 1 i 1
解 X,Y的边缘分布为
1 3 (1 0) 0 (3 0) 3 (1 1) 3 (3 1) 0 1 E ( X ) xi pi 18 3 8 , 4 4 2 i 1 3 1 9 (1 2) (3 2) 0 3 (1 3) 0 (3 3) . 1 8 0 1 2 3 3 1 3 , 8 4 E (Y ) y j p j 8 8 8 8 2 j 1
E X i E( X i )
n i 1 n i 1
概率论与数理统计
例10
解
设随机变量Xi为
则X=X1+ X2+ …+ X10 故 E(X)=E(X1)+ E(X2)+ …+ E(X10) 而E(Xi)=1-(9/10)20 i=1,2,…,10
9 20 E( X ) E ( X i ) E ( X i ) 10 ] 8.784 [1 10 i 1 i 1
概率论与数理统计
若(X,Y)是二维离散型随机变量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，则
E (Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1

若(X,Y)是二维连续型随机变量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，则
E (Z ) E[ g ( X , Y )]
概率论与数理统计

概率论和数理统计(第三学期)第2章条件概率与独立性

PA1PA2 A1PA3 A1A2
(1 p) p p p p 1 p p p p p 1 p p p p p
2
2
2
1 5 3 pp3
2
§2.2 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
定理设B1，B2，…，Bn 是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
(3)P( A3 B) 1 P( A3 B)
1
0.2 0.2
0.93
0.5 0.6 0.3 0.9 0.2 0.2
解法二：
(3)P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) 0.49 0.44 0.93
a a 1 b
a
a b a b 1 a b a b 1
a ab
例2 一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、
丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（也就是本商店出售货的合格率）。
pk
1 4
(
pk
pk 1 )
pn p1 ( p2 p1 ) ( p3 p2 ) ( pn pn1 )
1 1 n1
p1
4 1 1
( p2 p1 )
4
即
pn
3 5
(1)n 10
1 4n 1
贝叶斯公式
定理设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
而p1
m 1 m
pn
1 2
1
m2 m
n
当n
时，pn
1 2
例4 连续做某项试验，每次试验只有成功和失败

概率论与数理统计 3.5 随机变量的独立性

dt
=
同理Байду номын сангаас
x R
fY ( y ) =
10
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0, 则对于任意实数x 与y 都有 f ( x, y) = f X( x ) fY( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数x 与y 都有 f ( x, y) = f X( x ) fY( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
令
9
y 2 x 1 t= 2 1 1 2 1
则
dt =
1
2 1
1
2
dy ,
所以
2 t2 2
f X ( x) =
( x 1 ) 1 exp e 2 2 1 2 1 2
2 ( x ) 1 1 exp , 2 2 1 2 1
( x 1 )2 1 exp 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 )2 + 2 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
7
因为
( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 1 2 + 2 2 2 1 2 2(1 ) 1 2 ( x 1 )2 ( y 2 )2 1 = + 2 2 2 2(1 ) 1 2 2 ( x 1 )( y 2 )
y 1 2 e fY ( y ) = 2 0
, ,
y0 y0

概率论与数理统计：事件的独立性与相关性.ppt

由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，C 不相互独立.
三相互独立事件的性质
性质1 如果 n 个事件 A1, A2,, An 相互独立，则将其中任何 m(1 m n)个事件改为相应的对立事件，形成新的 n 个事件仍然相互独立. 性质2 如果 n 个事件 A1, A2,, An 相互独立，则有
Ai (i =1,2,…,100 ).
则
100
A Ai
i 1
100
P(A) 1 1P(Ai ) i 1 1 (1 0.004)100 0.33
若Bn表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则
P(Bn) 1 (1 )n, 0 1 n 1,2,
lim
n
P
(
Bn
)
1
—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生
例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.
n
n
n
P( Ai ) 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1
i 1
i 1
例4 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率.
解:设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为
事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件
注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.
伯恩斯坦反例

《概率论与数理统计》-课件独立性

发生与事件 B 发生的概率无关.
3.三事件两两相互独立的概念
定义设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B),
P(
BC
)
P(
B)P(C
),
P( AC ) P( A)P(C ),
则称事件 A, B, C 两两相互独立.
4.三事件相互独立的概念
定义设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
3 p3(1 2
p) 4 p3(1 2
p)2 .
由于 p2 p1 p2(6 p3 15 p2 12 p 3)
3 p2( p 1)2(2 p 1).
当
p
1 时, 2
p2
p1;
当
p
1 时, 2
p2
p1
1. 2
故当 p 1 时, 对甲来说采用五局三胜制有利 . 2
当 p 1 时, 两种赛制甲最终获胜的概率是 2
例7 甲、乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为 p( p 1 2),问对甲而言, 采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 解采用三局二胜制,甲最终获胜,
胜局情况可能是:
“甲甲”, “乙甲甲”, “甲乙甲”;
由于这三种情况互不相容, 于是，由独立性得甲最终获胜的概率为:
又因为 A、B 相互独立, 所以有 P( AB) P( A)P(B),
因而 P( AB) P( A) P( A)P(B) P( A)(1 P(B))
P( A)P(B). 从而 A 与 B 相互独立.
两个结论
1 . 若事件 A1 , A2 , , An (n 2) 相互独立 , 则其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立.

概率论与数理统计1.5

例3(续) 3(续
由此可见
P ( AB ) = P( A)P(B )
P ( AC ) = P ( A)P (C )
P (BC ) = P (B )P (C ) 但是
1 1 P( ABC ) = ≠ = P( A)P(B )P(C ) 4 8
这表明A、、这三个事件是这三个事件是两两相互独立这表明、B、C这三个事件是两两相互独立但不是相互独立的．的，但不是相互独立的．
称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。试验序列如果一个试验序列的各试验的结果之间是相互独立则称该试验序列为一个独立试验序列独立试验序列。的，则称该试验序列为一个独立试验序列。称只有两个基本结果的试验为伯努利试验伯努利试验。称只有两个基本结果的试验为伯努利试验。有些试验的基本结果虽然不只两个，有些试验的基本结果虽然不只两个，但若我们感兴趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A 趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A作为一个基本结果，的对立事件作为另一个基本结果，结果，A的对立事件作为另一个基本结果，从而也可归结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试发生的概率则称为成功概率成功概率。验成功，验成功，而A发生的概率则称为成功概率。由一个伯努利试验独立重复进行所形成的试验序列称为伯努利试验序列如果重复的次数是n 伯努利试验序列，称为伯努利试验序列，如果重复的次数是n，则称该试验序列为n重伯努利试验。验序列为n重伯努利试验。
P( A1 + A2 + ⋯ + An ) = 1 − P( A1 A2 ⋯ An )
= 1 − P( A1 ) P( A2 ) ⋯ P( An ) = 1 − (1 − 0.7 )n = 1 − 0.3 n

概率论与数理统计3-3节随机变量的独立性,条件分布

解 (1) 因为
可得

p( x, y) d x d y 1,
p( x, y) d x d y
0 0 Cy(1 x ) d y d x
1
x
x2 C C (1 x ) d x 1 C 24. 0 2 24 24y(1 x), 0 x 1,0 y x. 故 p( x, y) 其它. 0, 当 0 x 1 时,
P( X xi ,Y y j ) P( X xi ) P(Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2 ) (1,3 ) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
1 18
1 3

(1) 求与应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求与的值.
x ， y
试判断X 与Y 是否相互独立？
解： X 的边缘分布函数为
FX x lim F x， y
y
1 x y lim 2 arctan arctan y 5 2 10 2
1 x arctan 2 5
x ，
Y 的边缘分布函数为
FY y lim F x， y
x
1 x y lim 2 arctan arctan x 5 2 10 2
用分布函数表示,即
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F ( x, y) FX ( x)FY ( y)

概率论与数理统计 4.4 随机变量的独立性

0
1
9
6
0
25 25
6
4
1
25 25
P{ X1
0,
X2
0}
66 10 10
9 25
类似可得其余三个联合概率(见上表)。
再讨论边缘分布
(1)不放回抽取
X2 X1
0
1
pi•
1
4
3
0
3 15
5
4
2
2
1
15 15
5
p• j
3
2
5
5
X1 0
1
3
2
P
5
5
X2 0
1
P3
2
5
5
(2)有放回抽取
X2 X1
0
1
pi•
P(X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y y j )
即
pij pi. p. j
则称 X 和Y 相互独立.
二、例题
概率论
例1 设(X,Y)的概率密度为
xe( x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其它
问X和Y是否独立？
解
fX (x)
xe( x y)dy xe x ,
直接求面积
40
P(X <Y) =P(X >Y) =1/2
10
0 15
概率论
x y 5 xy5
45
x
xy
45
x
例3：设( X ,Y )服从二维正态分布，则X与Y相互独立的充要条件是 0.
证明 : 先证充分性
若
1 0, f ( x, y)
21 2

概率论与数理统计：事件的独立性与相关性

0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7
0.36.
因为 A2 ABC ABC ABC , 得 P ( A2 ) P ( ABC ABC ABC )
P( A) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C )
所以事件 A 与 B 不独立，即该校学生视力与听力
缺陷有关联.
（2）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺陷的概率是多少？
) 这要求计算条件概率 P ( B A,由定义知
P ( AB) 0.03 1 P ( B A) P ( A) 0.30 10
（3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺陷的概率是多少？类似地可算条件概率
则 P ( A) 0.4, P ( B) 0.5, P (C ) 0.7,
由于 A1 ABC ABC ABC ,
故得 P ( A1 ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( A) P ( B ) P (C )
故有
1 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 4 , 1 P ( BC ) P ( B ) P (C ) , 4 P ( AC ) P ( A) P (C ) 1 , 4
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于
1 1 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生
——
例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 解设 Ai 表示有 i 个人击中飞机, A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,

概率论与数理统计-基于R 第一章第四节事件的独立性

2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
定理1.3：若两事件A、B独立，则
A与B, A与B, A与B也相互独立.
证明：由已知A P(A-B) =P(A-AB)= P(A)- P(AB)
=P(A)- P(A)P (B) =P(A)[1- P (B)] =P(A) P (B).
(1)此密码能被译出的概率为
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 0.55.
(2)密码恰好被一个人译出的概率为
P(AB AB) P(AB) P(AB)
P( A)P(B) P( A)P(B) 0.45.
二、多个事件的独立性
定义1.9对于三个事件A、B、C，若
课堂练习
1. 设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
2. 设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
n
n
P( A) 1 P Ak k1
1
k 1
P ( Ak )
1 (0.99)n
(2) P( A) 0.5 0.99n 0.5
n lg 2 2 lg 99
684.16.
例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
14
若 P( A) 1 , P(B) 1

1-6概率论与数理统计

中找两个事件,它们既相问：能否在样本空间Ω中找两个事件它们既相互独立又互斥? 互独立又互斥
φ 不难发现，与任何事件既独立又互斥. 不难发现，与任何事件既独立又互斥
φ A=φ
A
Ω
P( φ A) = 0 =P( φ )P(A)
前面我们看到独立与互斥的区别和联系，前面我们看到独立与互斥的区别和联系，练习 1.设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0, 设为互斥事件，为互斥事件下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是： A. P(B|A)>0 C. P(A|B)=0 B. P(A|B)=P(A) D. P(AB)=P(A)P(B)
性质 2 若 A, B 相互独立 , 则下列各对事件 , A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立 . 证明: 证明
先证 A 与 B 独立 .
因为 A = AB U A B 且 ( AB )( A B ) = ∅ , 所以 P ( A) = P ( AB ) + P ( A B ), 即 P( AB) = P( A) − P( AB).
则称 A1 , A2 ,L , An 为相互独立的事件 .
有兴趣的同学可以计算一下，上式中要成立的等式个数？
n 个事件相互独立
n个事件两两独立个事件两两独立
下面我们来举一个右不能推出左的例子。下面我们来举一个右不能推出左的例子。
伯恩斯坦反例一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，例一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第三面染成黑色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、黑三种颜色.现以时染上红、白、黑三种颜色现以 A ， B，C 分别，记投一次四面体出现红、黑颜色朝下的事件，记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，是否相互独立? 问 A，B，C是否相互独立，，是否相互独立解由于在四面体中红、白、黑分别出现两面，由于在四面体中红、黑分别出现两面， 1 因此 P ( A) = P ( B ) = P ( C ) = , 2 1 又由题意知 P ( AB ) = P ( BC ) = P ( AC ) = , 4