第一讲 二次根式(一)
第一讲：二次根式
第一讲：知识点一：二次根式1.下列各式中，是二次根式的有 （ ） A.3- B.32a C.12+x D.1-x2.下列二次根式中，x 的取值范围为2≥x 的是 （ ） A.x -2 B.2+x C.2-x D.21-x 3.当10≤≤x 时，下列式子在实数范围内有意义的是 （ ） A.)1(x x - B.x 31- C.13-x D.xx -1 4.如果x--35是二次根式，那么x 应适合的条件是 （ ） A.x <3 B.x >3 C.3≤x D.3≥x5.下列各式：①)0(≥a a ；②a 2；③23a ④342-x ，其中非负数有 （ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个6.当a 为任意实数时，下列各式总有意义的是 （ ） A.a 2- B.192+-a C.21a D.2)95(+a 7.若m m 32-+有意义，则=m _______。
8.若式子xyx 1+-有意义，则点P ),(y x 在第______象限。
9.使式子xx +-21有意义的x 的取值范围是____________。
变式练习：1、 （1）已知yx x x y ，522+-+-=的值为___________。
（2）若11-++b a ，则20142014b a +的值为__________。
2、 若已知b a ,为实数，且421025+=-+-b a a ，则=a _________，=b _________.3、 下列各式中，正确的是 （ ）A.3)3(2-=-B.332-=-C.3)3(2±=±D.332±= 4、 要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足 （ ） A.321≤≤x B.3≤x 且21≠x C.321<<x D.321≤<x 5、若2)(11y x x x +=---，则y x -的值为 （ ）A.--1B.1C.2D.35、 求231294a a a a -+-+--+的值。
八年级同步第1讲：二次根式的概念与性质
第1讲二次根式的概念及性质知识框架二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，主要对二次根式的性质及运算进行讲解，重点是二次根式的性质，难点是分母有理化的应用．学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础．本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用．1.1 二次根式的概念二次根式的概念（1）代数式a（0a≥）叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．【例1】设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？（123xx--；（223x x++-．【例2】设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？（154xx++；（211x-（32631041xx+---【例3】 若,x y 是实数，且2y ，化简22y y --．【例4】 已知实数a ，b (0b -=，求20032003a b +的值．【例5】 2344b c c +++=-，求()c ab的值．【例6】 x 、y 的值是 ．【例7】 若z 适合3522519991999x y z x y z x y x y +--++-=-++--，求z 的值．【例8】 已知实数a 满足20152016a a a -+-=，求22015a -的值．1.2 二次根式的性质二次根式的性质（1）二次根式的性质： 性质12(0)a a a ≥；性质2：2((0)a a a =≥； 性质3ab a b （0a ≥，0b ≥）；性质4a ab b=（0a ≥，0b >）． （22a a 2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．【例9】 (2)(3)23x x x x ----x 的取值范围．【例10】 已知2()1a <4222a a a -+【例11】 已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，()()222a a b c a b c ++-+【例12】 在△ABC 中，a b c 、、2(2)||c a b a b c -+－－－．【例13】 在△ABC 中，a b c 、、2123680a a b -+-，求最大边c 的取值范围．【例14】 10=212x -．【例15】 已知：a b +=a b -=ab 的值．【例16】 已知10a -<<．【例17】 a ，小数部分是b ，求2a b -的值．1.3 课堂检测1. 解下列各式：（1）已知0a a +=（2）a b c 、、2. 已知125x x -=-，求x 的取值范围．3. 已知3y ，求22x xy y -+的值．4. 0=，求xy 的值．5.m.6.已知2440++，则xy的值等于__________．y y7.把中，根号外的a移入根号内的结果是________8.x y z、、满足关系式：=x y z、、的值1.4 课后作业1. 296x x =-，求x 的值．2. 若a 、b 是实数，且13b <31b -3. 2成立，求a 的取值范围．4. 已知1y +5.已知x y、是实数，且y=6.把(m-根号外的因式移到根号内，得__________．7.化简：（1（2。
二次根式(第一课时二次根式的概念)(课件)(共17张PPT)八年级数学下册(人教版)
−1 2 ≥0
−1 2 =0
=1
又∵
−2≥0 ∴
−2= 0 ∴ =2
= 5
− 5 ≥0
− 5 =0
∴2 + 2 = 2 ∴△ABC为直角三角形，故选：D．
C．钝角三角形
D．直角三角形
课后回顾
课后回顾
01
02
03
谢谢~
⑹ − (＜)
⑺ 2 + 2 + 2
⑻ ( − 5)2
课堂测试
2.求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
⑴ +5
⑵ −4
1）由a+5 ≥0，得a ≥-5，当a ≥-5时， + 5 在实数范围内有意义。
2）由a-4 ≥0，得a ≥ 4 ，当a ≥ 4时， − 4 在实数范围内有意义。
课堂测试
3．下列各式中，一定是二次根式的是（
）
A． + 2
B． − 2
C． 2 − 2
D． 2 + 2 + 2
【答案】D
【详解】
A、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；
B、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；
C、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；
(3) 一个物体从高处自由下落，落到地面所用的时间 t ( 单位：s ) 与开始
落下时离地面的高度 h ( 单位：m ) 满足关系h=5t2，如果用含有h 的式子
表示 t，那么 t
ℎ
5
为_________
探索与思考
、 、 、
被开方数和根指数有什么特点？
1.根指数为 2 ;
2.被开方数是非负数 .
1第一讲 二次根式教师版 (1)
第一讲 二次根式知识精讲知识点1 二次根式的定义1、代数式)0(≥a a 叫做二次根式.读作“根号a ”，其中a 是被开方数.它所表示的意义是一个非负数的正的平方根.其中的a 可以是整式,也可以是分式. 例如:)0(1),0(2,2>≥x xx x . 理解二次根式的概念，我们要注意以下两点:（1）判断一个式子是不是二次根式,不仅要看它是否含有“”，而且还要看被开方数或被开方式的值是否是非负数.如： )0(,3>--a a 这两个根式在实数范围内无意义，它 们不是二次根式.（2）在二次根式a 中，a 表示a 开平方取算术平方根的结果.如：31,2分别表示31,2的算术平方根；a 也可以是一个表示非负数的整式或分式.如：)0(1,2>x xx ，这时a 分别表示求xx 1,2的算术平方根的算式.由算术平方根的意义，可知a 可以是数或是式子。
2、课本指出：“通常把形如)0(≥a a m 的式子也叫做二次根式”，这样，二次根式的范围就更广了，如12,2,2,3,232+-x a a a 等也是二次根式.但要注意，如2,23a 中被开方数不含有字母的代数式是有理式；如12,22+x a a 中被开方数含有字母的代数式叫做无理式.无理式一定是根式，但根式不一定是无理式.有理式和无理式的区别主要在于 被开方数中是否含有字母.【例题1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？,44,9,2,2,8223++-x x a ,2),21(12,)4(22+<---x a a x522,)3(1),0(5a x x x +≤-. 【解析】判断一个式子是不是二次根式，主要看它是否符合以下两点：一是形式，根指数必须是2，否则就不是二次根式；而是被开方数是必须为非负数. 不是二次根式：,,8523a 9-，),21(12<-a a 2)3(1+x （只有在03≠+x 时才是二次根式），2)4(--x （只有4=x 时才是二次根式）；其余的都是二次根式.【例题2】要使下列式子有意义，字母x 应满足什么条件？（1）x 32-；（2）13-+x x ；（3）33-+-x x . 要使二次根式有意义，需被开方数为非负数.（1）32≤x ；（2）3-≥x 且1≠x ； （3）3=x【例题3】已知25523y x x =-+--，则2xy 的值是多少？【解析】 首先根据分式有意义的条件求出x 的值，然后根据式子求出y 的值，最后求出2xy 的值．解： 要使有意义，则⎩⎨⎧≥-≥-025052x x ，解得：x ＝25，故y ＝－3，∴2xy ＝－2×25×3＝－15．知识点2 二次根式的性质性质1： )0(2≥=a a a 或⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==).0(),0(0),0(||2a a a a a a a性质2： )0()(2≥=a a a .性质3： )0,0(≥≥⋅=b a b a ab .性质4：)0,0(>≥=b a ba b a 【例题4】计算：（1）2)58(；（2）2)9(-；（3）2)5(；（4）2)23(-.【解析】根据二次根式的性质，)0()(2≥=a a a 可以计算出结果.（1）320；（2）9；（3）5；（4）18.【例题5】化简：（1）48；（2）)0,0(83≥≥b a b a ；（3）)9(169)36(-⨯⨯-.【解析】（1）；34（2）)0,0(22≥≥⋅b a ab a ；（3）234. 【例题6】化简：（1）62；（2）a28；（3）275321÷-.【解析】根据)0,0(>≥=b a b a ba 来计算.（1）33；（2）)0(2>a a a；（3）3-.【例题7】当xx x x -+=-+9292时，求x 的取值范围。
《二次根式》PPT(第1课时)
新课导入
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
3
(1)若面积为3 的正方形,则边长为 _____m；若面积
为S 的正方形的边长为_____m．
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，
65
则它的宽为_____m．
新课导入
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时
...
N ≥0；
N
有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如
B
A
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如
有意义的条件：
A≥0且B≠0.
A
1
B
有意义的条件：
练一练
1.下列各式：
3;
5;
a2 ;
3
x 1 x≥1；
27; x 2 2 x 1
一定是二次根式的个数有 （
A.3个
(2)
x3
.
x 1
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
分析
∴x≥-3 且x≠1时，该式子有意义.
-3
0
1
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范
围内有意义？
x2 2 x 1;
2
x
2 x 1 x 1
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
当堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
2.式子
第一讲——二次根式的概念及性质
第一讲——二次根式的概念及其性质知识导航与知识总结本节主要涉及以前学过的知识有：算术平方根，不等式，去绝对值等知识点一：二次根式的概念 形如a )0(≥a 的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以)0(≥a 是a 为二次根式的前提条件，如6﹑ 2x ﹑)01-≥x x （等是二次根式，而5﹣，2-2x ﹣等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当)0(≥a 时，a 有意义，所以只要使被开方数 。
二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 时，a 没有意义 知识点三：二次根式a )0(≥a 的非负性a )0(≥a 表示a 的算术平方根，也就是说，a )0(≥a 是一个非负数，即0≥a )0(≥a —— 双重非负性注：这个性质和 、 类似 知识点四：二次根式（a ）2的性质（1）（a ）2=a )0(≥a （逆用平方根得来）文字语言叙述为： （2）⎩⎨⎧≥)0(-)0(2＜＝＝a a a a a a 文字语言叙述为： 。
注：化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简 知识点五：2)(a 与2a 的异同点1、不同点：（1）意义不同。
2)(a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而2a 表示一个实数a 的平方的算术平方根；（2）a 的取值范围不同。
2)(a 在中)0(≥a ，而2a 中a 可以是正实数，0，负实数。
（3）运算结果不同。
)0()(2≥a a a ＝ ，而⎩⎨⎧≥)0(-)0(2＜＝＝a a a a a a 2、相同点：当被开方数都是非负数，即0≥a 时，22)(a a ＝；0＜a 时，2)(a 无意义，而a a -2＝.基础闯关例1：下列各式（1）51（2）5（3）22+x （4）a -1（5）122+-a a其中是二次根式的是_________（填序号）．例2：要使x x --31有意义，则x 的取值范围是 。
八年级数学二次根式(1)(PPT)4-1
而子房室内有胚珠（内含雌配子）。一个雌蕊可能由多个心皮组成，在这种情况下，若每个心皮分离形成离生的单雌蕊，即称为离心皮雌蕊，反之若心皮合 生，则称为复雌蕊。雌蕊的黏性顶端称为柱头，是花粉的受体。花柱连接柱头和子房，是花粉粒萌发后花粉管进入子房的通道。 果实 果实由花的雌蕊发育而
来，多数植物的种子包裹在果实里面。草莓的“果实”由花托生长而来，是一个例外。一个果实内部的种子数量各不相同，有些只有一籽，有些则很多。果 实成熟时，有些富含水分，有些则变干。含水的果实通常颜色鲜艳，可以吸引动物将其吃掉，而将种子带到远方，当种籽排出体外，就会生根发芽。有些豆 科植物及其他类植物，在果实成熟后会爆裂开来，将种子射到附近，伺机发芽。有些果实重量很轻，当风吹过，会被风带到遥远的地方，完成他们传宗接代 的任务。有些植物的果实，表面带有毛刺，可以沾到经过的动物身上，由动物带到远方。当从动物身上脱落时，种子就地生根发芽。 [] 由受精后雌蕊子房单 一发育形成的果实称为真果，如桃、大豆等；通常把仅由子房称为真果，如桃、大豆等。 由子房加上花的其他部分（花萼、花被、花轴等）形成的果实称为 假果，如苹果、梨等。有萼和花萼参与的，如草莓，果实大都是增大而肉质的花托。 种子 种子是种子植物的胚珠经受精后长成的结构，一般有种皮、胚和胚 乳等组成。胚是种子中最主要的部分，萌发后长成新的个体。胚乳含有营养物质。 种皮由珠被发育而来，有保护胚与胚乳的功能。裸子植物的种皮由外层、
二次根式(1))
16. 1.1 二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用,a (a> 0)的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1. 重点：形如\a (a>0)的式子叫做二次根式的概念；2•难点与关键：利用“.a (a>0) ”解决具体问题.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：二、探索新知很明显,3、10、、4，都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如,a (a> 0) ?的式子叫做二次根式，“ \一”称为二次根号.(学生活动)议一议：1. -1有算术平方根吗？2. 0的算术平方根是多少？3. 当a<0, ,a有意义吗？老师点评：(略)L 1 —例1•下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：.2、33、-、•‘ x (x>0)、x-.0、4 2、- 2、、. x y (x> 0, y?> 0).x +y *分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“\ ”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：、、2、-、x (x>0)、■ 0、- '、2、-，x y (x>0, y> 0)；不是二次根式的有：33、1、42、1x x + y例2.当x是多少时，】3x-1在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3X-1 > 0, ?、一3x - 1才能有意义.解：由3x-1 > 0,得:1 x> 一31当x时，、、3x_1在实数范围内有意义.3三、巩固练习教材P5练习1、2、3.四、应用拓展1 一例3.当x是多少时，2x 3+ 在实数范围内有意义？x + 1___ 1分析：要使2x 3 + 在实数范围内有意义，必须同时满足x+11中的x+1工0.x 1f2x+3 30解：依题意，得,2x 3中的》0和由①得：x > -—2由②得：x工-13 1当x>-2且X M -1时，.2x 3+ 在实数范围内有意义.2 x + 1例4（1）已知尸• 2二X +「X匚2 +5，求-的值.（答案:2）y⑵若•.厂刁+ .=0，求a2004+b2004的值.（答案：-）5五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1. 形如.a （a>0）的式子叫做二次根式，“•- ”称为二次根号.2•要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.六、布置作业1•教材P5 1，2，3，42•选用课时作业设计.第一课时作业设计一、选择题1. 下列式子中，是二次根式的是（）A .八7B . 37 C. 、、x D . x分析：由二次根式的定义可知， 被开方数一定要大于或等于 0,所以3X-1 > 0, ?、一 3x - 1 D .以上皆不对二、 填空题1. ____________ 形如 的式子叫做二次根式.2. ________________________________ 面积为a 的正方形的边长为 .3•负数 _________ 平方根.三、 综合提高题1•某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为 0.2m ，按设计需要，？底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？3.若 J3—x + J x —3 有意义，则 = _____4. 使式子-（X -5）有意义的未知数x 有（）个.A . 0B .1C . 2D .无数5. 已知 a 、b 为实数，且 '、a —5+210 — 2a =b+4，求 a 、b 的值.第一课时作业设计答案：一、 1 . A 2 . D 3 . B二、 1 .肓 （a > 0） 2 . Ta 3.没有1.设底面边长为 x ，则0.2x 2=1，解答：x^. 5 .3「2x + 3^0 1x 3—32. 依题意得： ， 2XP X=0•••当x>-3且X M 0时，d" + X 2在实数范围内没有意义.2x 1 3. 33.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ 2.当x 是多少时, 2X 3 +x 2在实数范围内有意义?4 . B5 . a=5, b=-4。
人教版九年级数学上册 第一讲 二次根式方程 讲义
人教版九年级数学上册第一讲二次根式方程讲义简介本讲义将介绍九年级数学上册的第一讲内容，即二次根式方程。
二次根式方程是数学中的重要概念，在解决实际问题和数学推理中起着重要作用。
本讲义将从理论和实践两个方面讲解二次根式方程的基本概念和求解方法。
二次根式方程的定义和性质- 二次根式方程是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a$、$b$、$c$ 是已知的实数，且 $a \neq 0$。
- 二次根式方程的解可以分为以下几种情况：- 当 $b^2 - 4ac > 0$ 时，方程有两个不相等的实数解；- 当 $b^2 - 4ac = 0$ 时，方程有两个相等的实数解；- 当 $b^2 - 4ac < 0$ 时，方程没有实数解，但可以有复数解。
- 二次根式方程的解可以用因式分解、配方法或求根公式来求解。
二次根式方程的解法1. 因式分解法：对于形如 $(x - p)(x - q) = 0$ 的二次根式方程，可以直接通过因式分解求解。
将方程转化为 $(x - p) = 0$ 和 $(x - q) = 0$，从而得到解 $x = p$ 和 $x = q$。
2. 配方法：对于一般的二次根式方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以通过配方法将其转化为完全平方形式，进而求解。
具体步骤如下：- 将方程两边同时乘以 $4a$，得到 $4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0$；- 将方程两边同时加上 $b^2$，得到 $4a^2x^2 + 4abx + b^2 +4ac = b^2$；- 将左边整理为 $(2ax + b)^2$ 的形式，右边整理为 $b^2 -4ac$ 的形式；- 对方程开根号，得到 $2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$；- 移项，得到 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
3. 求根公式：对于一般的二次根式方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以直接使用求根公式来求解。
《二次根式》PPT课件(第一课时)
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
再 见
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
求代数式 xy的值.
解：依题意得，
2x 1 0 1- 2x 0
解得，x 1 2
y 3
xy 1 3 3 22
课堂练习
一艘轮船先向东北方向航行2小时,再向西 北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米. 1)用关于t的代数式表示船离开出发地的距离; 2)求当t=3时,船离开出发地多少千米？(精确
第二十一章二次根式
21.1 二次根式(1)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个
数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用 a (a 0)表示.
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
第一讲 二次根式(详解版)
答案
解析 略
考点
式 分式
第6页
分式的基础 最简分式
3 化简：
．
答案
解析 略
考点
式 分式 分式的运算 分式的加减
4 解方程：
．
答案
．
解析 略
考点
方程与不等式 分式方程 解分式方程
5 当 ， 时，求
答案
．
解析 原式
的值．
第7页
． 当， 原式
时， ．
考点
式 分式 分式的运算 分式的混合运算
每日一练（四）---全等三角形
第4页
绝对值 绝对值的性质
2 已知 为实数，且满足
，求
答案
．
解析 由题意可知 所以
，所以原式可变形为
，
，即
考点
数 实数 平方根和立方根 算数平方根的性质与化简
的值．
， ．
3 试比较
与
的大小．
答案
＜
．
解析
，
．
显然，
＜
．
考点
式 二次根式 二次根式的运算 二次根式的混合运算
4 设 的整数部分为 ，小数部分为 ，是 答案
1 已知
≌
；④
A. ①③④
，
，
，则以下结论：①
其中正确的是（ ）．
B. ②③④
C. ①②④
答案 A
解析 略．
考点
三角形 全等三角形 全等三角形的性质 全等三角形的其他性质
；② D. ①②③
；③
2 如图，角平分仪
中，点 可以在 上滑动，并保持
，
．现将角平分仪上
的点 与
的顶点 重合，调整点 的位置，使得 和 分别于 和 重合，则 平分
16.1二次根式(第1课时 )
新知应用
两个必备特征
思考：当x是怎样的实数时，二次根式 x 2在实数范围内
有意义？ 解：由x-2≥0，得 x≥2.
被开方数a ≥0
当x≥2时，二次根式 x 2在实数范围内有意义.
试一试 说一说 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x ≥1 (2) 3x x≤0
“ ”称为二次根号.
新知应用
形如 a (a 0) 的式子
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 4
( 2 )✘6 ( 3 ) ✘1 2
( 4 ) - m (m≤0),
(6) a2 1
( 5 ) x✘y(x,y 异号)
( 7 )✘3 8
异号得负
解： (1)(4)(6)均是二次根①式外，貌特征：含有“ ” 两个必备特征 ②内在特征：被开方数a ≥0
（6） x 1 2x 3
a C D
2
2.式子 3x 6 有意义的条件是（ A ） A. x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=_-_1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 为__0__．
0
课后作业
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（5） x2 2x 1
我们知道,负数没有平方根. 因此,在实数范围
内
时，被开方数只能是正非数负或数0..
探究新知
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
（1）面积为3 的正方形的边长为____3___，面积为S 的正方形的
边长为____S___． 边长边长 3
边长边长 S
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽
《二次根式》PPT课件(第1课时)
《二次根式》PPT课件(第1课时)
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件(第1课时)，共30页。
学习目标
1. 理解二次根式的概念.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
探究新知
二次根式的定义和有意义的条件
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？
我们知道，一个正数有两个平方根；
0的平方根为0；
在实数范围内，负数没有平方根.
因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
当x是怎样的实数时,√x-2在实数范围内有意义?
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如√A有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如B/√A有意义的条件：A＞0；
二次根式的双重非负性
二次根式√a的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
课堂小结
二次根式的定义
形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集二次根式的双重非负性
二次根式√a中,a≥0且√a≥0
... ... ...
关键词：二次根式PPT课件免费下载，.PPTX格式；。
《二次根式》PPT课件(第1课时)
(5)当x＝－3时，
x
1
3
2
无意义，∴
1
x 32 也无意义；
当x≠－3时，
x
1
32
＞0，∴
1
x 32
是二次根式．
∴
1 不一定是二次根式．
a2 1，⑤ 15 ，
A．1个
B .2个
C．3个
D．4个
2.下列式子不一定是二次根式的是( A )
A. a B. b2 1 C. 0
D. a b2
3.为要使二次根式 x2 2x 1 有意义，x应取 （ D ）
A. x>1
B. x<1
C. x=1
D. x=-1
4.下列结论正确的是( A )
A． 62 6 C. 162 16
(a＜0)
2.若 a b 0, 则 a＝0，b＝0.由于二次根式 a和 b 都是非负数，
所以它们的值都为0.
两个非负数的和为0时， 这两个非负数都为0．
例2 若 A．1
x y 1 y 32 0, 则x－y的值为( C )
B．－1
C．7
D．－7
解析：因为 x y -1 和（y+3）2都是非负数，它们的和为0，所以 所以 y 32 0, x y 1 0, x＋y－1＝0，y＋3＝0，解得x＝4，y
知识点 3 二次根式 a 2 与 a2 的性质
1.小亮和小颖对二次根式“ a (a≥0)”分别有如下的观点.
你认同小亮和小颖的观点吗? 请举例说明.
小亮的观点 因为 a 表示的是非 负数a的算术平方根，所 以，根据算术平方根的意 义，有 a ≥0.
二次根式第1课
二次根式第（1）课一、复习目标1.（a ≥0）的意义解答具体题目．2.a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们实行计算和化简．3.（a ≥0）并利用它实行计算和化简．并利用这个结论解决具体问题． 二、复习过程1.二次根式的定义：思考：1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 探究1.下列式子，哪些是二次根式，1xx>0）、、1x y+（x ≥0，y•≥0）．探究2.当x 在实数范围内有意义？探究3.a ≥0）是一个什么数呢？做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=__；）2=__；2=___；）2=___；2=___；）2=__．归纳得出：探究4.填空：=___；=___ ；=______；=________；=________；．归纳得出：探究5. 化简：（1（2（3 （4三、应用拓展（独立思考，小组交流）1．当x 11x +在实数范围内有意义？2.(1)已知，求xy的值．(答案：2)(2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案：25)3.计算：1．2（x ≥0） 2．23．25.填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这个性质回答下列问题．（1，则a 能够是什么数？ （2，则a 能够是什么数？（3，则a 能够是什么数？6.当x>2 四、课堂训练1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ． B D ．x2．3.已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．4．计算（1）2 2）-2 （3）（26）2（4）（）2(5)5．先化简再求值：当a=9时，求的值．二次根式课后练习1．下列式子中，不是二次根式的是（）A．1 x2．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B C．15D．以上皆不对3.x有（）个A．0 B．1 C．2 D．无数4、数是（）A．4 B．3 C．2 D．1 5．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=06）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对7．a≥0）．AC．8.计算（1））2（2）（）2（3）2（4）（2）2（5）2（6）2（7）2（8））2（9）（ 2 （10）22-（11）9.当x10=0，求x y的值．11是一个正整数，则正整数m的最小值是________．12．若│1995-a│，求a-19952的值．13．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2） x 6 x
3
5． 已知 x
1 x
3
，求
x 1
2
的值
x
6． 已知数 a , b , c 在数轴上的位置如图，化简： a a c
2
c b
2
b
c
a
0
b
7． 设 a , b , c 为 A B C 的三边长，求 a b c a c b 的值.
第一讲
一、重难梳理
1． 定义：形如 2． 性质： （1）
二次根式（一）
a a 0 的式子叫二次根式。 （双重非负性）
a
a
2
a a 0
（2）
a
2
a
a b a b
(3)
b
ab a 0, b 0 ；
(4)
a
0 , b 0 〖反之也成立〗
3． 最简二次根式。
二、基础演练 1． 当 x 取何值时，下列各式有意义？ （1） 3 x
x
（2） m 1
2
（3）
1 2 3x
（4）
2x 4 x 2
2．化简：
（1）
2
（2） 2 9 2 1
2
2
（3） 3
5
2
2
5
2
（4）
2
x2
x 4x 4 x 2
1 2 3
1 3 4
......
1 98 99
1 99 100
(2) 1
1 n
2
1 ( n 1)
2
高新教育集团成功培训学校华夏分校
校华夏分校
数学培优班
三、能力提升
1． 若 9 x 1 1 取值最小，则 x 为___________。
1 x 1 x
2． x
_____________;
x
____________。
3． 使 1 2 n 是整数的最小正整数 n=___________。 4． 在实数范围内分解因式： （1） 1 6 x 9
2
8． 已知直线 l ( m 3) x n 2 （m,n 为常数）过第一、三、四，化简: m n
n 4n 4 m 1
2
9． 若 a 2 0 1 3 2 0 1 2 a a ，求 a 2 0 1 2 的值。
2
选做： 化简： (1)
1 1 2
2
3．计算： （1） 4 9 （2） 9
1 48 3 2 3 4
（3） 8 y 4 y
2
4
（ y 0 ） （4） 6
1 24
8
4．已知 x 1 1 x y 4 ，求 x 的平方根.
y
5．已知 2 a 1 3 a 2 b a b c 0 ，求 2 a b c 的值.