八年级数学暑假培训资料二

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八年级暑假数学知识点归纳

八年级暑假数学知识点归纳暑假是学生们最长的假期之一，也是他们复习和学习的好时机。

对于八年级的学生来说，数学知识点的掌握至关重要。

下面将为大家整理八年级数学的主要知识点，供大家参考。

一、代数基础知识1. 数的分类：整数、分数、小数、有理数、无理数等。

2. 代数字母：了解字母的含义，掌握字母的运用。

3. 代数表达式：包括整式、分式和多项式等，了解它们的基本概念和运算方法。

4. 代数方程和不等式：掌握方程和不等式的解法，熟悉一元二次方程的求解方法。

二、几何基础知识1. 基本概念：点、线、面、角等。

2. 同位角和对顶角：掌握它们的定义和性质。

3. 图形的周长和面积：了解几何图形周长和面积的计算方法，包括长方形、正方形、三角形、圆形等。

4. 直线、角度和三角形等基本几何知识：求两条直线夹角的大小、直线和平面的交点、角的度量等。

三、函数和图像1. 函数的概念：了解函数的定义和性质，掌握函数图像的基本知识。

2. 初一直线函数：掌握求斜率和截距的方法，理解直线的基本性质。

3. 初一二次函数：理解二次函数的图像、性质和变化规律，用二次函数解决实际问题。

四、数据与统计1. 数据的收集和表示：了解如何收集和整理数据，学会使用各种图表表示数据。

2. 统计分析：掌握计算平均数、中位数、众数和方差等方法，分析数据的规律和特征。

以上是八年级数学的主要知识点。

在暑假期间，同学们可以利用课余时间，巩固基础知识，扩大自己的数学视野，为新学期的学习打下坚实的基础。

同时，多做一些习题和模拟题，可以有效提高自己的数学能力，为未来的数学考试做好准备。

希望2019年暑假八年级学生们都能够度过一个充实而有意义的假期。

八年级数学暑假竞赛培训讲义

第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种根本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：〔1〕综合法〔由因导果〕，从条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；〔2〕分析法〔执果索因〕从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到事实为止；〔3〕两头凑法：将分析与综合法合并使用，比拟起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后到达证明目的。

3、掌握构造根本图形的方法：复杂的图形都是由根本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成根本图形。

在更多时候需要构造根本图形，在构造根本图形时往往需要添加辅助线，以到达集中条件、转化问题的目的。

【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最根本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

【例1】：如下图，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

求证：DE ＝DF 【稳固】如下图，∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。

求证：EC ＝ED【例2】：如下图，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠F【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。

著名机构数学讲义暑假07-八年级培优版-一元二次方程的解法(2)-教师版

教师姓名学生姓名年级初二上课时间学科数学课题名称一元二次方程的解法（2）知识点Ⅰ：配方法解一元二次方程1.定义：先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方形式，然后直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法。

2.理论依据：222)(2b a b ab a ±=+±3.步骤：二次项系数化为1；移项；配方：配上一次项系数一半的平方；直接开平方法解。

【例1】 (1) 2x ++x 8 = (+x )2;一元二次方程的解法（2）(2) _2a 6+a = (-a )2; (3) 2y 32-+y = (-y )2. 【答案】（1）164（2）93（3）1193【例2】（1）x x 252-+____=2___)(-x ; (2)px x -2+_____=2__)(-x ; (3)x ab x +2+ ______=2___)(+x . 【答案】（1）255164（2）242p p （3）2242b baa【例3】用配方法解方程（1）2610x x --= （2）22330x x --=（3）22410x x --= （4）22370x x +-= 【答案】（1）12310310x x =+=-（2）1233333344x x +-==（3）12262622x x +-==（4）1236536544x x -+--==知识点Ⅱ：一元二次方程的解法公式法1.求根公式推导：（3）23102x x --= （4）()441t t -=（5）2102x x --= （6）2243220x x +-= 【答案】（1）1242242233y y +-==（2）12513x x ==-（3）12122x x ==-（4）12235235x x =+=-（5）12131322x x +-==（6）12622622x x =-+=--知识点Ⅲ：用适当的方法求一元二次方程先观察形式，在看是否需要整理成一般形式；考虑十字相乘法，在考虑公式法。

初二数学暑期标准课全套讲义(教师版)-绝对经典

目录第一讲三角形 (2)1.1与三角形有关的线段 (2)1.2与三角形有关的角 (8)第二讲全等三角形的性质与判定 (22)2.1全等三角形的性质 (22)2.2全等三角形的判定 (23)2.3全等模型 (27)第三讲全等三角形常见的辅助线（一） (39)3.1角平分线 (39)3.2截长补短 (46)第四讲全等三角形常见的辅助线（二） (56)4.1倍长中线 (56)4.2全等其他辅助线 (58)第五讲轴对称 (72)5.1轴对称图形 (72)5.2垂直平分线 (75)5.3作轴对称图形 (77)5.4轴对称的坐标表示 (83)第六讲等腰三角形 (94)6.1等腰三角形的性质 (94)6.2等腰三角形的判定 (98)6.3等边三角形 (99)第七讲几何综合（一） (112)7.1倍长模型 (112)7.2截长补短 (118)7.3其他构造全等的方法 (122)第八讲几何综合（二） (131)8.1利用轴对称求最值——将军饮马问题 (131)8.2翻折问题 (138)8.3垂直平分线 (140)8.4三角形问题 (142)1入门检测:1.如图所示,已知△ABC ,试说明∠A+∠B+∠C=180°.【答案】略2.已知直线AB 和CD 相交于O 点,射线OE ⊥AB 于O ,射线OF ⊥CD 于O ,且∠BOF =25°,求∠AOC 与∠EOD 的度数.【答案】∠AOC=115°,∠DOE=155°(或∠AOC=65°,∠DOE=25°) 3.如图所示,已知AB∥CD ,试说明∠B+∥D+∥E =360°.【答案】略4.如图所示,已知AB,CD,EF 相交于O 点,AB∥CD,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠AOG 的度数.【答案】 59°5.如图所示,A,O,B 在一条直线上,OE 平分∠COB,OD∥OE 于O ,试说明OD 平分∠AOC .【答案】略B AECBADFE O G CBADE 1C A324D2第一讲三角形1.1与三角形有关的线段三角形的三边关系①三角形两边之和大于第三边 ②三角形两边之差小于第三边【例1】（1）下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是( )．A ．1,2,3.5B ．4,5,9C ．5,8,15D ．6,8, 9【答案】D【练习1.1】现有两根木棒,它们的长度分别为20cm 和30cm ,若不改变木棒的长度,要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取( )A .10cm 的木棒B .20cm 的木棒C .50cm 的木棒D .60cm 的木棒【答案】B三角形线段角度多边形3（2）已知三角形的两边长分别为5 cm 和8 cm ，则此三角形的第三边的长x 的取值范围是__________．【答案】3 cm<x<13 cm.【练习1.2】三角形的三边分别为3，1－2A ，8，则A 的取值范围是（） A ．－6＜A ＜－3 B ．－5＜A ＜－2 C ．2＜A ＜5 D ．A ＜－5或A ＞－2【答案】B ．（3）若a b c 、、表示ABC ∆的三边长,化简a b c b c a c a b--+--+--.【答案】a+b+c【练习 1.3】已知a b c 、、为ABC ∆的三边长,b c 、满足2(2)30b c -+-=,且a 为方程42x -=的解,求ABC ∆的周长,并判断ABC ∆的形状.【答案】ABC ∆的周长为7,且ABC ∆是等腰三角形.【例2】（1）如图，P 是△ABC 内一点，请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．【答案】延长BP 交AC 于D【练习2.1】如图所示,已知P 是△ABC 内一点,试说明1()2PA PB PC AB BC AC ++>++PCBA4【答案】略【练习2.2】如图，D ，E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．【答案】三角形的三线【例3】（1）如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【练习2.1】在△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm ,△ABD 的周长为30cm , 求AD 的长.5【答案】AD =13cm（2）如图，BM 是△ABC 的中线，若AB =5 cm ，BC =13cm ，那么△BCM 的周长与△ABM 的周长差是多少?【答案】8cm【练习3.2】如图，BD 是△ABC 的中线，若AB =8 cm ，AC =6 cm ，BC =6cm 则△ABD 与△BCD 的周长之差为__________.【答案】2 cm .（3）如图，△ABC 的边BC 上的高为AF ，AC 边上的高为BG ，中线为AC ，已知AF =6，BC =10,BG =5. (1)求△ABC 的面积；(2)求AC 的长；(3)说明△ABC 和△ACD 的面积的关系.【答案】(1) 30. (2) 12； (3)略【练习3.3】如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是边BC ，AC 上的高，试说明∠DAC 与∠EBC 的关系．【答案】略6（4）如图,(1)(2)和(3)中的三个三角形有什么不同？画出这三个ABC ∆三边上的高AD BE 、、,CF 并指出三条高线在各自三角形的什么位置？【答案】图(1)(2)(3)中的三角形分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；当ABC ∆是锐角三角形时,三边上的高都在三角形内；当ABC ∆是直角三角形时,三边上的高有两条是它的直角边,有一条在三角形内；当ABC ∆是钝角三角形时,三边上的高有两条在三角形外,有一条在三角形内【练习3.4】画△ABC 中AB 边上的高，下列画法中正确的是（）A B C D 【答案】C（5）如图,在ABC ∆中,2,3AC cm BC cm ==,ABC ∆的高AD 与BE 的比是多少?【答案】:2:3AD BE =【练习3.5】如图，AD 、CE 是△ABC 的两条高，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，CE ＝8cm ，则ADAABCBC(2)(1)(3)BCADE7的长（）．A .3 cmB .4 cmC .5 cmD . 6 cm【答案】B（6）如图,AD 是ABC 的角平分线,DE ∥AC,DE 交AB 于E,DF ∥AB,DF 交AC 于F ,图中∠1与∠2有什么关系?为什么?【答案】相等【练习3.6】如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 作直线DF ∥BA ，交△ABC 的外角平分线AF 于点F ，DF 与AC 交于点E ．求证：DE=EF ．【答案】略A BCD E12CFEB3481.2与三角形有关的角三角形内角和定理【例4】(1)在△ABC 中，若∠A ＝80°，∠C ＝20°，则∠B ＝__________°；【答案】80°【练习4.1】若∠A ＝80°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝__________°；【答案】50°(2)已知△ABC 的三个内角的度数之比∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶5，则∠B ＝__________°，∠C ＝__________°.【答案】∠B ＝54°，∠C ＝90°.【练习4.2】如果三角形三个外角度数之比为5:4:3，那么这个三角形一定是（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形【答案】A(3)已知在△ABC 中，∠A ＝40°，∠B －∠C ＝40°，则∠B ＝__________，∠C ＝__________.【答案】∠B ＝90°，∠C ＝50°【练习4.3】在ABC ∆中，（1）C B A ∠=∠︒=∠,80，则=∠B _____________；（2）︒=∠-∠︒=∠-∠20,35A B C A ，则=∠B _____________；（3）︒=∠90C ，︒=∠30A ，则=∠B _____________. 【答案】（1）︒50 （2）︒85 （3）︒60(4)如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠C＝60°，求∠DAC 及∠BOA ．【答案】 ∠DAC ＝30°；∠BOA ＝120°．【练习4.4】如图，已知BD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠40A ，则=∠D ______.【答案】40°三角形的外角【例5】(1)填空：(1)如图(1)，P 为△ABC 中BC 边的延长线上一点，∠A ＝50°，∠B ＝70°，则∠ACP ＝________°.(2)如图(2)所示，已知∠ABE ＝142°，∠C ＝72°，则∠A ＝__________°，∠ABC ＝__________°. (3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.【答案】 (1)120 (2)70 38 (3)60【练习5.1】一个三角形的一个外角是它相邻内角的1.5倍，是不相邻内角的3倍，求这个三角形的各内角.【答案】这个三角形的三个内角为︒36，︒72，︒72.(2)如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.【答案】270°.【练习5.2】如图，已知︒=∠27A ，︒=∠96CBE ，︒=∠30C . 求ADE ∠的大小.【答案】︒=︒-︒=∠-∠=∠272754A DEC D .(3)如图，O 是△ABC 外一点，OB ，OC 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF ．若∠A ＝n °，试用含n 的代数式表示∠BOC ．【答案】.2190o on【练习5.3】如图，已知线段AD ，BC 相交于点Q ，DM 平分∠ADC ，BM 平分∠ABC ，且∠A ＝27°，∠M ＝33°，求∠C 的度数．【答案】39°．1.3多边形及其内角和多边形定义【例6】(1)三角形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(2)四边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(3)五边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(4)n 边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．【答案】一个三角形有3个顶点，3个角，6个外角，从一个顶点能画出0条对角线，共有0条对角线；一个四边形有4个顶点，4个角，8个外角，从一个顶点能画出1条对角线，共有2条对角线；一个五边形有5个顶点，5个角，10个外角，从一个顶点能画出2条对角线，共有5条对角线；一个n 边形有n 个顶点，n 个角，2n 个外角，从一个顶点能画出(n －3)条对角线，共有n(n －3)2条对角线；【练习 6.1】(1)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．【答案】六边形．(2) 十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线【答案】10个顶点，10个内角，20个外角，从一个顶点能画出7条对角线，共有35条对角线；多边形内角和与外角和【例7】（1）四边形的四个内角的度数的比是1：2：4：3，则最小的内角为_______度．【答案】36°【练习7.1】一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，该内角多少度？【答案】130°（2）已知一个多边形的每个内角都等于168°，求它的边数．【答案】30【练习7.2】一个多边形的内角和等于其外角和，这个多边形是________边形；【答案】四（3）证明：多边形外角和为360°【答案】略【练习7.3】一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.【答案】15（4）如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°【答案】360°【练习7.4】(1)已知：如图A，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝______．(2)已知：如图B，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝______．图A 图B【答案】(1)360°；(2)360°（5）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【答案】360°【练习7.5】如图，在图A中，猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______°．请说明你猜想的理由．图A 图B如果把图A称为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图B 称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H，则2环四边形的内角和为______°；2环五边形的内角和为______°；2环n边形的内角和为______°【答案】360；720；1080；2(n－2)×180．课后作业:1. 如图，已知在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=42°，∠C=84°，试求∠AEC，∠DAE．【答案】69°，21°2．如图所示，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线．分别交于D，P．（1）若∠A=30°，求∠BDC，∠BPC．（2）不论∠A为多少时，探索∠D+∠P的值是变化还是不变化？为什么？【答案】（1）∠BDC=105°，∠BPC=75°；（2）不变，∠D+∠P=180°3．（1）如图①所示，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？（2）如图②若把△ABC纸片沿DE点折叠当点A落在四边形BCED内部时，则∠A 与∠α+∠β之间有一种数量关系始终保持不变，请写出这个规律？并说明理由？【答案】（1）∠1+∠2=∠B+∠C（2）α+β=2∠A 4．请完成下面的说明:（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°-12∠A．说明：根据三角形内角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____．根据平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，所以∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠_____）=180°+∠______．根据角平分线的意义，可知∠2+∠3=12（∠EBC+∠FCB）=12（180°+∠_____）=90°+12∠_______．所以∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-∠____．（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+12∠A．（3）用（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？①②【答案】（1）A A A A A A（2）略（3）互补．5. 如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪（图中阴影部分）．（1）图①中草坪的面积为_____;（2）图②中草坪的面积为_____;（3）图③中草坪的面积为_____;（4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_____．【答案】（1）12πR2（2）πR2（3）32πR2（4）22n-πR26.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边长．【答案】7 cm或11 cm.7.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．【答案】5或4．8.若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．【答案】这个多边形的边数是5，内角和是540°.9.如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.【答案】125°10.一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．【答案】边数是17.少加的内角是30°.11.如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC ＝140°才合格，小明通过测量得∠A ＝90°，∠B ＝19°，∠C ＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？【答案】∠BDC≠140°，故此零件不合格．12.已知△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线相交于1G ，2G ，3G ，…，1G n -，试猜想：1n BG C -∠与∠A 的关系．(其中n ≥2且n 为整数)首先得到：当n ＝2时，如图1，1BG C ∠＝________；当n ＝3时，如图2，2BG C ∠＝________； ……猜想1n BG C -∠＝________．……图1 图2 图n －1【答案】当n ＝2时，;21901A C BG ∠+=∠当n ＝3时，;32602A C BG ∠+=∠ 猜想.1180o 1A nn n C BG n ∠-+=∠- 13.一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．【答案】9入门检测：1.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】1. B2.三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是．【答案】2. 1<x<63.如图，BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，∠1=60°，∠BDC =80°，求∠C 的度数．【答案】3. 在△ABD 中，∵∠A =90°，∠1=60°， ∴∠ABD =90°-∠1=30°．∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD =∠ABD =30°．在△BDC 中，∠C =180°-（∠BDC +∠CBD ）=70°．4.如下图，ABC ∆中，点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，说明P ∠与A ∠有怎样大小关系？【答案】4. 902AP ∠∠=︒-5.如图①，ABC △为等边三角形，面积为S ．111D E F ，，分别是ABC △三边上的点，且11112AD BE CF AB ===，连结111111D E E F F D ，，，可得111D E F △．（1）用S 表示11AD F △的面积1S =，111D E F △的面积'1S =；（2）当222D E F ，，分别是等边ABC △三边上的点，且22213AD BE CF AB ===时，如图②，按照上述思路探索下去，当n n n D E F ，，分别是等边ABC △三边上的点，且11n n n AD BE CF AB n ===+时（n 为正整数），n n AD F △的面积n S =，n n n D E F △的面积n S '= ．【答案】 5.根据同高的三角形的面积比是底的比求n n AD F △的面积，用ABC △的面积减去n n AD F △的面积的三倍求n n n D E F △的面积n S '(1)114S S =，114S S '= (2) 2(1)n n S S n =+，22121n n n S S n n -+'=++图②图①D 2E 2F 2F 1E 1D 1ABCCBA第二讲全等三角形的性质与判定2.1全等三角形的性质全等三角形的性质①全等三角形对应边相等 ②全等三角形对应角相等【例1】如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点BC D 与边上的N 点重合，如果，︒=∠==39,5,7DAM cm DM cm AD ，则=AN cm ，=NM cm ，=∠NAB .【答案】︒=∠︒=∠=∠====∆≅∆1239,5,7BAN DAM NAM cm DM NM cm AD AN ANM ADM ，得，全等三角形性质判定模型MDA NBC【练习1.1】如图，在长方形ABCD 中，将BCD ∆沿其对角线BD 翻折得到BED ∆，若︒=∠351，则=∠2 .【答案】︒352.2全等三角形的判定全等三角形判定方法1—“边边边”【例2】已知：如图，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .【答案】利用SSS 证ADB BCA ∆≅∆,得出C D ∠=∠,由三角形内角和得出结论.【练习2.1】.“三月三，放风筝”．如图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案】利用SSS 证全等，得出角等.全等三角形判定方法2—“边角边”【例3】△ABC 是一个等边三角形，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD =CE ，BE 和CD 相交于P ，求∠BPD 的度数．【答案】根据题干条件：AC=BC ，∠A=∠ACB=60°，AD=CE ，可以判定△ABD ≌△BCE ，即可得到∠ACD=∠CBE ，又知∠BPD=∠EBC+∠DCB求出即可．【练习3.1】如图所示，已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．F DC BA【答案】由SSS 得ABE DCF ∆≅∆,C B ∴∠=∠,再由SAS 得AFB DEC ∆≅∆⏹ 全等三角形判定方法3—“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）【例4】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .【答案】由“8”字型得出PMQ HNQ ∠=∠,根据ASA 得出PMQ HNQ ∆≅∆,进而得出结论.【练习4.1】已知如图，B 是CE 的中点，AD=BC ，AB=DC ．DE 交AB 于点F ，求证：（1）AD ∥BC （2）AF =BF ．【答案】由SSS 得出ABD CDB ∆≅∆,ADB CBD ∴∠=∠,由平行线判定得出结论（1），再由ASA 得出ADF BEF ∆≅∆,对应边相等.⏹ 全等三角形判定方法4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）【例5】如图，已知AC =CE ，∠1=∠2=∠3．（1）说明∠B =∠D 的理由；（2）说明AB =DE 的理由．【答案】全等三角形的判定与性质｡（1）由8字模型可得，△ADF 和△BCF 中∠B =∠D ；（2）由（1）知：∠B =∠D ， ∵∠2=∠3，∴∠DCE =∠ACB ， ∴△ABC ≌△EDC ，∴AB =DE （全等三角形的对应边相等）．【练习5.1】求证：两个角及第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．【答案】已知∠B =B '∠，∠C =∠C '，AD ，A D ''分别平分∠BAC ，B A C '''∠.求证：∆ABC ≌A B C '''∆证明：∵∠B =B '∠，∠C =∠C '， ∴∠BAC =B A C '''∠，∵AD ，A D ''分别平分∠BAC ，B A C '''∠， ∴∠BAD =B A D '''∠∵AD =A D ''，∠B =B '∠， ∴△ABD ≌A B D '''∆（AAS ）， ∴AB =A B ''，∵∠B =B '∠，AB =A B ''，∠BAC =B A C '''∠， ∴∆ABC ≌A B C '''∆（ASA ）．全等三角形判定方法5——“斜边、直角边”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）【例6】已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF .求证：AB ∥DC .【答案】用HL 求证Rt △ADE ≌Rt △BCF ，利用全等三角形的性质，可证△ABF ≌△CDE 或△ABC ≌△CDA ,再由内错角相等两直线平行推出AB ∥CD ．【练习6.1】如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD =AF ，AC =AE ．求证：BC =BE ．【答案】证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD =AF ，AC =AE ， ∴Rt △ADC ≌Rt △AFE （HL ）． ∴CD =EF ． ∵AD =AF ，AB =AB ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ABF （HL ）． ∴BD =BF ． ∴BD -CD =BF -EF ．即BC =BE ．2.3全等模型手拉手模型【例7】如图，在直线AB 的同一侧作两个等边三角形ABD BCE ∆∆与，连接AE CD 与，证明：（1）△ABC ≌△DBC （2）AE CD =（3）AE CD 与之间的夹角为︒60 （4）△AGB ≌△DFB （5）△EGB ≌△FBC （6）GF AC ∥【答案】（1）AB =BD ，∠ABE =∠CBD ,BC =BE ，可得全等.（2）由（1）中全等可得.（3）由（1）中全等可得∠CAE =∠CDB ，在△ADH 中，∠DAH +∠ADH =120°，所以∠AHD =60°，问题得证.（4）由（1）中全等可得∠CAE =∠CDB ，因为AB =BD ，∠ABG =∠DBF =60°，可得全等.（5）证明方法同上一题.（6）连GF ，GBF 为等边，所以平行.【练习7.1】复习全等三角形的知识时，老师布置了一道作业题:“如图①,已知在ABC ∆中, ,AB AC P =是ABC ∆内任意一点,将AP 绕点A 顺时针旋转至,AQ 使QAP BAC ∠=∠，连接,BQ CP 、则=BQ CP .”小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图形①的分析,证明了,ABQ ACP ∆≅∆从而证得=BQ CP .之后,他将点P 移到等腰三角形ABC 之外,原题中其它条件不变,发现=BQ CP仍然成立,请你就图②给出自己的证明.图1 图2【答案】AQ=AP，∠QAB=∠P AC，AB=AC，可证△QAB≌△P AC，问题可证【练习7.1】如图,A、B、C在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点G，连接CD交BE于点F，连接GF得△BGF.（1）求证：△ABE≌△DBC;（2）试判断△BGF的形状，并说明理由.∴△ABE≌△DBC（SAS）（2）△BMN为等边三角形，理由为：证明：∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=60°即∠MBE=∠NBC=60°在△MBE和△NBC中，∵∠AEB=∠DCBEB=CB∠MBE=∠NBC∴△MBE≌△NBC（ASA）∴BM =BN ，∠MBE =60° 则△BMN 为等边三角形一线三等角模型【例8】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ，垂足分别为E ，F .如图，当直线l 不与底边AB 相交时，求证：EF ＝AE ＋BF .【答案】（1）∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴∠AEC ＝∠CFB ＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3.∵在△ACE 和△CBF 中，13AEC CFBAC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△CBF （AAS ） ∴AE ＝CF ，CE ＝BF∵EF ＝CE ＋CF ，∴EF ＝AE ＋BF .【练习8.1】已知：如图,已知在△ABC 中,∠B =∠C =∠EDF ,D 为BC 上一点,BF =CD ,求证：DF =DE【答案】证明：∠BDF=∠CED，∠B=∠C，BF=CD，∴△BDF≌△CED∴DF=DE课后作业：1．如图，在△ABC 和△ADE 中，AC AB =，AE AD =，DAE BAC ∠=∠，点C 在DE上．求证：（1）△ABD ≌△ACE ；（2）ADC BDA ∠=∠．【答案】证明：（1）DAE BAC ∠=∠ ，DAC DAE DAC BAC ∠-∠=∠-∠∴.CAE BAD ∠=∠∴.在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD EAC BAD ACAB ∴ABD ∆≌ACE ∆.（2）ABD ∆≌ACE ∆.AEC ADB ∠=∠∴.AE AD = AEC ADC ∠=∠∴.ADC BDA ∠=∠∴.2．已知：如图，正方形ABCD ，E ，F 分别为DC ，BC 中点．求证：AE =AF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴ AB =AD ，∠B =∠D =90°，DC =CB ． ∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE =12DC ，BF =12BC ．∴DE =BF ． ∵在△ADE 和△ABF 中，B,,,AD AB D B DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ABF （SAS ）．∴AE =AF ．3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，高线AD 和BE 交于点F .求证：CD ＝DF .【答案】证明： AD 、BE 是△ABC 的高线∴BC AD ⊥，AC BE ⊥∴︒=∠=∠90ADC ADB ,︒=∠90AEB∠ABC ＝45°∴△ADB 是等腰直角三角形∴BD AD = ︒=∠+∠9032, ︒=∠+∠9041,43∠=∠∴21∠=∠ ∴△BDF ≌△ADC (ASA ) ∴ CD ＝DF4．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．(1)求证：AE=CD ；(2)若AC =12cm ，求BD 的长．【答案】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，BB∴∠DCB +∠D =∠DCB +∠AEC =90°．∴∠D =∠AEC ．又∵∠DBC =∠ECA =90°，且BC=CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE=CD ．（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）， ∴BD=CE ，∵AE 是BC 边上的中线，∴BD=EC =12BC =12AC ，且AC =12cm ．∴BD =6cm ．5．如图，AB=AC ，∠BAC =90°，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，且BD ＞CE ．求证：BD=EC+ED ．【答案】证明：∵∠BAC =90°，CE ⊥AE ，BD ⊥AE ，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠BAD +∠DAC =90°，∠ADB =∠AEC =90°．∴∠ABD =∠DAC ．∵在△ABD 和△CAE 中ABD EACBDA E AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ）．∴BD=AE ，EC=AD ． ∵AE=AD+DE ，∴BD=EC+ED ．6．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M N 、分别是线段,AD BE 的中点．(1)求证：AD BE =；(2)求证：MNC ∆是等边三角形．【答案】（1）证明全等（2）根据全等和中线得出MC NC =,且ACM BCN ∠=∠，则60MCN ∠=︒，从而证明MNC ∆是等边三角形7．已知：ABC ∆中,8AB AC ==，,BD EC DEF B =∠=∠, 5BE = ,求AF 的长．【答案】证明：58,3,,AB AC B CDEF B BDE CEFB C BDE CEF BE CF AC AF CEF BD EC BDE =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠=∴∆∆∴===∴=≌又B入门检测：1．如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为．【答案】1. 80°2．如图所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE=CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？说明理由．【答案】2.提示：根据HL 证明△ABF ≌△CDE ，得到DE =BF ，然后根据AAS 证明△DEG ≌△BFG 即可3．如图，已知ABE △和ACF △，AB =AE ，AF =AC ，∠EAB =∠F AC =90°．CE 和BF 相交于O ．求证：BF CE ．【答案】3.提示：拉手模型：根据SAS证明△AEC≌△ABF，得到∠ABF=∠AEC，从而得证∠BEO+∠OBE=∠BEO+∠AEO+∠EBA=∠AEB=∠ABE=90°，可得∠EOB=90°，从而得CE .（推导∠EOB=90°可有多种证法）到BF4．已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，求线段BH的长度.【答案】4.提示：∠ABC=45°可得AD=BD，由三角形内角和可得∠DBH=∠DAC，从而可证△BDH≌△ADC，可得BH=AC=4.5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为.【答案】5.提示：根据条件可证得△ACF≌△BAE，故△ACF与△BDE的面积之和为△ABD 的面积，根据“等高的三角形面积比等于底的比”可得△ABD的面积=539第三讲全等三角形常见的辅助线（一）3.1角平分线辅助线（1）--双垂型角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 双垂型的几何模型：全等三角形常见的辅助线（一）角平分线截长补短双垂型单垂型全等型平行型截长补短40【例1】△ABC 中，∠C =90°，AD 为角平分线，BC =64，BD ∶DC =9∶7,求D 到AB 的距离..【练习1.1】已知：如图，P A 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．【答案】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵P A ，PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD =PE ，PF =PE ,∴PD =PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN ,∴点P 在∠MBN 的平分线上，即BP 是∠MBN 的平分线．41【例2】已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD =CB ，AB >AD ．求证:∠B +∠D =180°．【答案】因为C 在角平分线上，所以可以根据辅助线一作角两边的垂线，证明全等，然后利用邻补角的性质证明结论.【练习2.1】．已知：ABC △的角平分线BM ，CN 相交于P ．求证：点P 到ABC △三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【答案】作PD AB ⊥，PE BC ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为D ，E ，F ． ∵BM ，CN 是ABC △的角平分线(如图)， ∴PD PE =，PE PF =．∴PD PE PF ==，即点P 到ABC △三边AB ，BC ，CA 的距离相等．ACDPAB C图A BC DEM N P F辅助线（2）——单垂型【例3】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过点C的直线于E.求证：BD=2CE.【答案】延长CE、BA交于点F,这样就在BD两侧出现全等三角形，从而得到CF=BD，再证明CF=BD即可.【练习3.1】如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED= .【答案】126°4243【练习3.2】已知：90A ∠=︒，AB AC =，CE BD ⊥交BD 的延长线于E ，2BD CE =. 求证：BD 平分ABC ∠.【答案】提示：延长CE 、BA 交于点F ,可证△ABD ≌△FCA ，得到CE =EF ，再根据SAS 证明△FBE ≌△CBE 即可辅助线（3）——全等型根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角平线两侧出现全等三角形.全等型的几何模型：【例4】如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系并证明；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）猜想FE =FD ；在AC 上截取AG =AE ，连接FG ，可证△AEF ≌AGF ，从而得OP AMNE B CDF ACE F BD图①图② 图③44到EF =GF 且∠AEF =∠AGF =105°，从而得∠FGC =75°，又因为∠FDC =75°，得∠FGC =∠FDC ，然后根据AAS 得证△GCF ≌DCF ,∴FE =FD ．（2）在AC 上截取AG =AE ，连接FG ，可证△AEF ≌AGF ，从而得到EF =GF ，根据三角形的内角和定理求出∠AFC =120°，则∠AFE =∠AFG =∠DFC =60° 然后根据AAS 得证△GCF ≌DCF ,即FE =FD ．【练习4.1】如图所示：AM ∥DN ，AE 、DE 分别平分∠MAD 和∠AND ，并交于E 点．过点E 的直线分别交AM 、DN 于B 、C ．（1）如图，当点B 、C 分别位于点AD 的同侧时，猜想BE 、CE 之间的数量关系并证明．（2）若点B 、C 分别位于点AD 的两侧时，（1）中的结论还成立吗？画图并写出证明过程．【答案】（1）BE =CE在AD 上作AF =AB ，连接EF 根据SAS 可证△ABE ≌△AFE ，从而得到BE =EF ，∠ABE =∠AFE ,由平行线的同旁内角互补及邻补角可知∠EFD =∠ECD ,根据AAS 可证△EFD ≌△ECD ，可得CE =EF ，等量代换得证BE =CE .（2）成立.提示：如图在AB 上作AF =AD ,根据SAS 可证△AFE ≌△ADE ，从而得到EF =ED ，根据平行线内错角相等及对顶角相等，可根据AAS 可证△BEF ≌△CED ,得到BE =CE .【练习4.2】P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC >AB ，求证：PC -PB <AC -AB ．45【答案】在AC 上作AE =AB ，连接PE ，可证得PE =BP ，则在△EPC 中利用三边关系即可.辅助线（4）--平行型等腰三角形知识先知：等边对等角，等角对等边. 平行型的几何模型：【例题5】已知：ABC △的角平分线BM ，CN 相交于P ，连结AP ，求证：AB +AC >2AP .【答案】过P 作BC 的平行线，交AB 、AC 于D ,E 两点，根据等角对等边得到边的关系，然后再利用三角形三边关系及不等式的性质得出题证结论.【练习5.1】已知：在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：BE CD 21． ABCPP D ACB46【答案】过点D 作DF ∥AB ，交BC 于F ，可证得DF =BF ，DF =DC ,再根据∠BDF +∠EDF =90°，∠DBF +∠BED =90°，可得DF =EF ，从而得到BE CD 21=.3.2截长补短截长补短【例6】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC =AC +CD ．【答案】方法一：延长BA ，并取BM =BC ,连接MD . 证明△BDC ≌△BDM ，推得36,BCD BMD CD DM ∠=∠==根据三角形的内角和可得：72MAD DMA ∠=∠=， ∴MA =MD ∴BC =AC +CD ．方法二：在BC 上截取BM =BA,连接MD . 证明△BDA ≌△BDM ，推得根据三角形的内角和可得：72CMD CDM ∠=∠=，BAB CD∴CD=CM∴BC=AC+CD．【练习6.1】△ABC中，AB=AC=BC=1，△BDC中，∠BDC=120°，且BD=CD.以D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长.【答案】延长AC到E，使CE=BM，连接DE，求证△BMD≌△CDE可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN周长，即可解题．【练习6.2】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC．求证：BC=BD+AD．【答案】在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF．易证：△ABD≌△EBD∴∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80°48∴BC =BF =BD +DF =BD +AD【例7】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且∠ABC +∠ADC =180°．求证：1()2AE AB AD =+．【答案】可以在AB 上截长，也在AD 上可以补短，也可以过C 作AD 的垂线.详析方法一：在AB 上截取AM =AD ，连接CM ．利用SAS 证ADC AMC ∆≅∆,得出ADC AMC ∠=∠,利用AAS 可得CEM CEB ∆≅∆，根据线段之间的关系即可.【练习7.1】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且1()2AE AB AD =+．求∠ABC +∠ADC 的度数．【答案】可以在AB 上截长，也在AD 上可以补短，也可以过C 作AD 的垂线.详析方法一：在AB 上截取AM =AD ，连接CM ．利用SAS 证ADC AMC ∆≅∆,得出ADC AMC ∠=∠,利用SAS 可得CEM CEB ∆≅∆，得出CME CBE ∠=∠即可.【例8】已知，AB =AC ，底边BC 上任一点P ，过点P 向AB ,AC 分别作垂线，交AB 于M ，AC 于N ．求证：PM +PN =CG ．。

2023年暑假新八年级数学预习专题2：与三角形有关的角、多边形及内角和

第1页（共15页）2023年暑假新八年级数学预习专题2与三角形有关
的角、多边形及内角和
一、选择题（共17小题）
1．（2022秋•余杭区月考）已知，△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝6：3：1，则△ABC 是（）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．形状无法判断2．（2022秋•新罗区校级月考）如图所示，在△ABC 中，CD 、B
E 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于点P ，若∠A ＝60°，则∠BPC 等于（
）
A ．90°
B ．120°
C ．150°
D ．160°
3．（2022秋•东莞市校级月考）如图：∠ACE 是△ABC 的外角，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，且BD 、CD 交于点D ．若∠A ＝70°，则∠D 等于（
）
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．50°
4．（2022秋•阿瓦提县校级月考）如图，一副具有30°和45°角的直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（
）
A ．40°
B ．45°
C ．65°
D ．75°
5．（2022春•鹿城区校级期中）一副三角尺如图摆放，DE ∥AB ，CB 与AE 交于。

八年级数学暑假讲义第二期

目录第一讲一次函数的应用知识点回顾： ................................................................................................................................................ 例题讲解 ........................................................................................................................................................ 第二讲同底数幂的乘法知识点回顾： ................................................................................................................................................ 例题讲解 ........................................................................................................................................................ 随堂练习 ........................................................................................................................................................ 课后练习 ........................................................................................................................................................ 第三讲整式的乘除知识点回顾： ................................................................................................................................................ 例题讲解 ........................................................................................................................................................ 第四讲因式分解知识点回顾： ................................................................................................................................................ 例题讲解 ........................................................................................................................................................ 第五讲整式的计算知识点回顾： ................................................................................................................................................ 例题讲解 ........................................................................................................................................................ 课堂练习 ........................................................................................................................................................ 自我检测 ........................................................................................................................................................ 第六讲分式知识点回顾： ................................................................................................................................................ 例题讲解 ........................................................................................................................................................ 自我检测 ........................................................................................................................................................ 知识点回顾： ................................................................................................................................................ 例题讲解 ........................................................................................................................................................ 课堂练习 ........................................................................................................................................................ 自我检测 ........................................................................................................................................................ 第八讲解分式方程知识点回顾： ................................................................................................................................................ 例题讲解 ........................................................................................................................................................ 第九讲反比例函数知识点回顾： ................................................................................................................................................ 例题讲解 ........................................................................................................................................................ 课堂练习 ........................................................................................................................................................ 自我检测 ........................................................................................................................................................ 第十讲反比例函数的应用知识点回顾： ................................................................................................................................................ 专题训练 ........................................................................................................................................................ 第十一讲初二复习（一）习题训练 ........................................................................................................................................................ 第十二讲初二复习（二）y (元)第一讲一次函数的应用知识点回顾：一、一次函数(见下表)☆说明：直线位置与常数的关系(1)k 决定直线的倾斜角(直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角的大小)． ①0k>⇔倾斜角为锐角． ②0k >⇔直线过点(0，b)且平行于x 轴的直线． ③0k <⇔倾斜角为钝角．(2)b 决定直线与y 轴交点的位置．①b>0⇔直线与y 轴交点在x 轴的上方．②b=0⇔直线过原点． ③b<0⇔直线与y 轴交点在x 轴的下方；例题讲解一、选择题：1. 小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20分到达距离家800米的公园，他在公园休息了10分，然后用30分原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离S （单位：米）与离家的时间t （单位：分）之间的函数关系图象大致是（） 2．两直线1:,12:21+=-=x y l x y l 的交点坐标为（）A ．（—2，3）B ．（2，—3）C ．（—2，—3）D ．（2，3）3.王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料.如图3，是王芳离家的距离与时间的函数图象.若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（）4．若一次函数y kx b =+，当x 得值减小1，y 的值就减小2，则当xA ．增加4B ．减小4C ．增加2D ．减小25x km为y 1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y 2元，若y 1、y 2与x 之间的函数关系如图所示，其中x ＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误．．的是（）A ．当月用车路程为2000km 时，两家汽车租赁公司租赁费用相同B ．当月用车路程为2300km 时，租赁乙汽车租赁公车比较合算C ．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多D ．甲租赁公司平均每公里收到的费用比乙租赁公司少 6．在同一直角坐标系中，函数y ＝kx ＋1和函数y ＝k x(k 是常数且k ≠0)的图象只可能是( )7．如图，坐标平面内一点A (2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是（）A ．2>xB ．2≥xC ．2≠xD ．2≤x9．若一次函数y kx b =+的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是（）（A ）0,0k b >> （B ）0,0k b >< （C ）0,0k b <> （D ）0,0k b <<10．某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量y （升）与时间x （分）之间的函数关系对应的图象大致为（））12．一次函数23y x =-的图象不经过．．．（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．已知四条直线y ＝kx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形的面积是12，则k 的值为（）（第11题）第7题图 (A)A ．1或－2B ．2或－1C ．3D ．414．如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F→H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是( )15．某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h 与注水时间t 关系的是（）1615 km/h ，水流速度为5 km /h ．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后），一次函数17.122y x =-+的图像上有两点A 、B ，A 点的横坐标为2，B 点的横坐标为(042)a a a <<≠且，过点A 、B 分别作x 的垂线，垂足为C 、D ，AOC BOD ∆∆、的面积分别为12S S 、，则12S S 、的大小关系是（）.A. 12S S >B. 12S S =C. 12S S <D. 无法确定18. 在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确．．．的是（） A ．甲先到达终点B ．前30分钟，甲在乙的前面C ．第48分钟时，两人第一次相遇D ．这次比赛的全程是28千米二、填空题：1. 已知一次函数y=-3x+2，它的图像不经过第象限. 2．函数x x y 中自变量1-=的取值范围是，当2=x 时，函数值y= .3. 函数1+=x x y 中自变量x 的取值范是．4. 如图，在平面直角坐标系中，若△ABC 与△A 1B 1C 1关于E 点成中心对称，则对称中心E 点的坐标是 .A B C D第15题图深水区浅水区5．如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+相交于点P （a ，2），则关于x 的不等式1x + ≥mx n +的解集为．6．惠民新村分给小慧家一套价格为12万元的住房．按要求，需首期（第一年）付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和．假设剩余房款年利率为0.4%，小慧列表推算如下：若第n 年小慧家仍需还款，则第n 年应还款万元（n ＞1）．7A 、B ，若A 点坐标为(1，2)89．函数y =的自变量x 的取值范围是．10. 已知一次函数26y x =-与3y x =-+的图象交于点P ，则点P 的坐标为．11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3，4)．连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是 .（千米）与时间当时 0≤x≤1，y 关于60 x ，那么关于x 的函数解析式为_xy 2=的图象，有一个交点的纵坐标是2，则b 的值为____________. .1的坐标是，点P(1,2)关于原点O 的对称点2P 的坐标是 . 三、解答题：1．已知：正比例函数y=k 1x 的图象与反比例函数xk y 2=(x>0)的图象交于点M （a,1），MN ⊥x 轴于点N （如图），若△OMN 的面积等于2，求这两个函数的解析式. 2．在直角坐标系xOy 中，直线l 过（1，3）和（3，1）两点，且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点. （1）求直线l 的函数关系式；（2）求△AOB 的(第4题图)1（第5题）12题面积.3．A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．4.某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．⑴分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y⑵李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过105．OD分别表示两人离学校的路程S（千米）与所经过的时间t（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为_________分钟，小聪返回学校的速度为_________千米/分钟；（2）请你求出小明离开学校的路程S（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式；（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？6．2010年我国西南地区遭受了百年一遇的旱灾，但在这次旱情中，某市因近年来“森林城市”的建设而受灾较轻．据统计，该市2009年全年植树5亿棵，涵养水源3亿立方米，若该市以后每年年均植树5亿棵，到2015年“森林城市”的建设将全面完成，那时，树木可以长期保持涵养水源确11亿立方米．(1)从2009年到2015年这七年时间里，该市一共植树多少亿棵?(2)若把2009年作为第l年，设树木涵养水源的能力y(亿立方米)与第x年成一次函数，求出该函数的解析式，并求出到第3年(即2011年)可以涵养多少水源?7．已知：二次函数22y ax bx=+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1,b），其中0a b>>且a、b为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．8．在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与．B．港的距离．．．．分别为1y、2y（km），1y、2y与x的函数关系如图所示．（1）填空：A、C两港口间的距离为km，=a；（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．9．如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B。

人教版八年级数学暑假预习班讲义

买玻璃漫画释义满分晋级知识互联网1全等三角形的认识三角形4级全等三角形的认识三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形暑期班第一讲暑期班第二讲暑期班第四讲一、概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点．对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角．对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应．注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：⑴把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上． ⑵有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角．二、全等三角形的性质⑴全等三角形的对应边相等； ⑵全等三角形的对应角相等；⑶全等三角形的周长相等，面积相等．模块一全等三角形的概念和性质知识导航CBA C'B'A'【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C ∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长ABC C △______DEF C △，两个三角形的面积ABC S △_____DEF S △（填“>”、“=”、“<”）．⑵ 如图，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中正确结论共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个⑶如图所示，若△ABE ≌△ACF ，且AB =5，AE =3，则EC 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．2.5【例2】如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B ∠=︒，120EAB ∠=︒，求D F B∠的度数.模块二全等三角形的判断夯实基础能力提升FE CBAF GE DC BA FE CA全等三角形的判定方法：⑴如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS ． ⑵如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS ．⑶如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA ．⑷如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS ．⑸如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL ．特殊：直角三角形中，除以上几种方法外还可选用斜边直角边“HL ”．1. 全等三角形的判定（一）——SSS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC B'C'BC ===，，．并判断A B C '''△和ABC △C BA知识导航夯实基础知识导航【引例】已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，．求证：AC DF ∥．分析：要证AC DF ∥，需证ACB DFE ∠=∠，只要证__________≌___________．证明：∵BE CF =（）∴BE EC CF EC +=+（）即BC =_____．在ABC △和DEF △中，()()()__________________AB BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴__________≌___________（）∴ACB DFE ∠=∠（）∴AC DF ∥（）【解析】分析：只要证ABC DEF △≌△．证明：∵BE CF =（已知）∴BE EC CF EC +=+（等量加等量和相等）即BC EF =．在ABC △和DEF △中， AB DEBC EFAC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴ABC DEF △≌△（SSS ）．∴ACB DFE ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．∴AC DF ∥（同位角相等，两直线平行）【例3】已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在同一直线上，AB =DE ，BF =EC ，AC =DF ．⑴求证：AB ∥DE ；⑵又知∠D =30°，∠DEC =15°，求∠CFB 的度数．能力提升DBAA D FCBE2. 全等三角形的判定（二）——SAS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC A'A ==∠=∠，，．并判断A B C '''△和ABC △C BA【例4】如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC ． ⑴求证：△ABE ≌△CBD ； ⑵若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数．3. 全等三角形的判定（三）——ASA &AAS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使B'C'BC B'B C'C =∠=∠∠=∠，，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．C BA知识导航能力提升知识导航ECDB A思考：若将C'C ∠=∠改成A'A ∠=∠呢？画出的A'B'C'△和ABC △全等吗？【例5】已知，如图，点D 在边BC 上，点E 在△ABC 外部，DE 交AC 于F ，若AD =AB ，∠1=∠2=∠3．求证：BC=DE ．4. 全等三角形的判定（四）——HL尺规作图：已知Rt ABC △，画一个Rt A B C '''△，使B'C'BC A'B'AB ==，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．C B A【例6】已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC =DC ，求证：BE =DF ．能力提升知识导航能力提升321F E D CBA F EDCBA【例7】如图所示为我国边境线上某界河，其中A 点在境外，我国地质勘探人员在不跨越国界的情况下要测量河两岸相对的两点A 、B 间的距离，请你给出解决方案并加以证明．【例8】如图所示，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，⑴你能找出图中的全等三角形吗？如果再加上AB AC =呢？⑵在⑴的基础上，连接EF 交AD 于M ，你能找出图中的全等三角形吗？ ⑶在⑵的基础上，当∠BAC =90︒时，你能找出图中的全等三角形吗？能力提升探索创新模块三全等三角形判定的应用AFE DCBA训练1. 已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB DC ∥，AB DC =．⑴ 求证：AC 与BD 互相平分； ⑵ 若过O 点作直线l ，分别交AB DC 、于E F 、两点，求证：OE OF =．训练2. 如右图所示，AB CD ∥，AC DB ∥，AB CD =，AD 与BC 交于O ，AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．训练3. 请分别按给出的条件画ABC △（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？⑴ 1202cm 4cm B AB AC ∠=︒==，，；⑵ 902cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑶ 302cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑷ 302cm 2cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑸ 302cm 1cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑹ 302cm 1.5cm B AB AC ∠=︒==，，；训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等； ⑵ 阅读与证明：对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形它们全等. 可证明如下：已知：ABC △、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠．求证：111ABC A B C △≌△．（先把文字语言转化成符号语言）证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D AC ⊥于1D ，则思维拓展训练(选讲)AF E O D C Bl OF EDCB A11190BDC B D C ∠=∠=︒，（如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法） DCBAD 1C 1B 1A 1∵在BCD △和111B C D △中，11111190BDC B D C C C BC B C∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴111()BCD B C D AAS △≌△∴11BD B D =∵在ADB △和111A D B △中，111111190BD B D AB A B ADB A D B =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ 111()ADB A D B HL △≌△，∴ 1A A ∠=∠， ∵在ABC △和111A B C △中，1111A A C C BC B C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ 111()ABC A B C AAS △≌△．对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！ ⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．题型一全等三角形的概念和性质巩固练习【练习1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别． ② 两个三角形具备下列（）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等【练习2】如图，在ABC △中，D E 、分别是边AC BC 、上的点，若ADB EDB EDC △≌△≌△，则C ∠的度数为______________．题型二全等三角形的判定巩固练习【练习3】已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．【练习4】如图所示，已知AC BC ⊥，AD BD ⊥，AD BC =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，试证明CE DF =．实战演练FE D CBAA CEDBDC BA题型三全等三角形判定的应用巩固练习【练习5】 ⑴如图，AB CD =，AD 、BC 相交于点O ，要使ABO DCO △≌△，应添加的条件为．(添加一个条件即可)⑵在ABC △和A B C '''△中，AB A B ''=，B B '∠=∠，补充条件后仍不一定能保证ABC A B C '''△≌△，则补充的这个条件是( )A ．BCBC ''= B ．A A '∠=∠ C ．AC A C ''=D ．C C '∠=∠O DCBA第十五种品格：创新想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉.严格地说，想象力是科学研究的实在因素.所以创新是时代的必须，也是所有人快速进步的必要手段.【创新的三个层次】一、处处是创造之处，人人是创造之人；二、敢想敢做，有付出定会有收获；三、坚持敢于创新的理念，持之以恒，追求奋斗，终会辉煌.钓鱼钓出食品冷冻法1940年，美国皮革商巴察在出售了自己的食品冷冻法专利后得到了3000万美元.这笔财富的获得完全得益于他的钓鱼爱好.巴察经常去纽芬兰海岸，在结了冰的海上凿洞钓鱼.从海水中钓起的鱼放在冰上立即被冻得硬梆梆的.当几天后食用这些冻鱼时，巴察发现只要鱼身上的冰不溶化，鱼味就不变.根据这一发现，巴察着手试验将肉和蔬菜冰冻起来.他高兴地发现，只要把肉和蔬菜冻得像那些鱼一样，就能保持新鲜.经过反复试验，他进一步发现：冰冻的速度和方法不同，会影响食品冰冻后的味道和保鲜程度.经过几个月废寝忘食的摸索，巴察为他发明的食物冰冻法申请了专利.由于这是一种具有极大潜力和应用范围的新技术，所以找上门来的人很多.巴察待价而沽，最终，通用食品公司以3000万美元的巨款把这项专利拿到了手.处处留心自己身边的机会，锲而不舍地加以探究，便会开发出新的财富.爸爸怎么样啦？漫画释义满分晋级知识互联网2全等中的基本模型三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形三角形7级倍长中线与截长补短暑期班第二讲暑期班第四讲秋季班第二讲把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．求证：CF DE = 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BDAE BF =⎧⎨=⎩模块一平移型全等知识导航夯实基础FEDC BA∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =【例1】如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．图1F EDC BA图2FE D(C )B A图3FEDCB A常见轴对称模型知识导航模块二对称型全等能力提升【例2】⑴如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A.3对B.4对C.5对D.6对⑵如图，ABE△和ADC△是ABC△分别沿着AB，AC翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【例3】如图，AB AC=，D、E分别是AB、AC的中点，AM CD⊥于M，AN BE⊥于N．求证：AM AN=．常见旋转模型：夯实基础能力提升知识导航模块三旋转型全等EDNMCBA4321EDCBADOFECBA【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=∴1018010018ACB ∠=︒⨯=︒∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=︒∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【例4】如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图2图3图1MNMN N MA BCDE ABC D E ABC ED能力提升夯实基础A'B'CBAM D NEC BFA【例5】如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线（如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．PHG GG图1图3图2FABCEF ABC DEABC DEF D辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段. 添辅助线的作用：凸显和集散1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，知识导航模块四辅助线添加初步并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.【例6】如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .⑴说明BE =CF 的理由；⑵如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.【例7】如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图3图2图1FFFEEEDDC CBB AA能力提升GDAB CEF【例8】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．训练1. 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O .求证：AO 平分DAE ∠.训练2. 如图，BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =．求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．训练3. 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．训练4. 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．F EDC BA思维拓展训练(选讲)探索创新A BCD EFA B C DE OQ P EDCB A M E DC BA题型一平移型全等巩固练习【练习6】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥，BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．(2)(1)ABCE F GGFEC BA题型二对称型全等巩固练习【练习7】如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，90ABC ADE ∠=∠=︒，BC 与DE 相交于点F ，连接CD 、EB ． ⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF ．题型三旋转型全等巩固练习【练习8】如图，在Rt ABC △中，A B A C A D B C =⊥，，垂足为D ．EF 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________．实战演练F DCB A F E DC B A【练习9】如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何关系？请说明理由．题型四辅助线添加初步巩固练习【练习10】如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； ⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCA(G)O HF ED A第十五种品格：创新创新会更好汉斯是德国的一个农民，他爱动脑筋，所以常常花费比别人更少的力气有更大的收获.一次，又到了土豆收获季节，村里的农民进入了最繁忙的工作期.他们不仅要把土豆从地里收回来，而且还要把土豆按个头分成大、中、小三类.这样劳动量实在太大了，每人都起早摸黑地干，希望能早点把土豆运到城里去卖.汉斯一家与众不同，他们根本不做土豆分拣工作，而是直接把土豆装进麻袋就运走.但是，在向城里运送土豆时，他们不走平坦的公路，而是偏走颠簸不平的山路.数英里路下来，因为车子不断颠簸，小的土豆落到麻袋的最底部，而大的自然就留在了上面.到了市场，汉斯再把大小土豆进行分类出售.由于节省了时间，汉斯的土豆在市场上上市最早，卖出了比别人更理想的价位.俗话说，时间就是金钱，你有没有想到利用一些自然的方法加快你前进的脚步呢？知道事物应该是什么样，说明你是聪明的人；知道事物实际是什么样，说明你是有经验的人；知道怎样使事物变得更好，说明你是有才能的人.今天我学到了图形变换1级轴对称初步暑期班第三讲图形变换2级构造轴对称图形秋季班第一讲图形变换3级中考新题型之折纸与拼图春季班第六讲壮壮出糗记知识互联网满分晋级阶梯漫画释义3轴对称初步知识导航模块一轴对称图形的认识与应用2．对称点连成的线段被对称轴垂直平分．【例1】⑴在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A B C D⑵在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．A BCA BCA BCCBA⑶正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．⑷下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段⑸判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．夯实基础⑹ 已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线l 对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB =A ′B ′；②点P 在直线l 上；③若A 、A ′是对应点，则直线l 垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB =PB ′，其中正确的是（） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④【例2】 ⑴ 图1的长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且∠ABE =30°．分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，图2为对折后A 、B 、C 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED =15°，则∠BCE 的度数为（） A ．30° B ．32.5° C ．35° D ．37.5°⑵如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④⑶ 已知30AOB ∠=°，点P 在AOB ∠内部，1P 与P 关于OB 对称，2P 与P关于OA 对称，则1P ，O ，2P 三点确定的三角形是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．腰底不等的等腰三角形D ．等边三角形能力提升图2图1A B CD E②模块二线段的垂直平分线知识导航夯实基础【例3】⑴如何用圆规与直尺作线段AB的垂直平分线？⑵证明：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）.⑶ 证明：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）.【例4】 ⑴ 如下图1，在△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，AE =3cm ，△ABD 得周长为13cm ，则△ABC 的周长是． ⑵ 如下图2，BD 垂直平分线段AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于P 点，PE =3cm ，则P 点到直线AB 的距离是． ⑶ 如下图3，在ABC △中，90A ∠=︒，:2:3ABD DBE ∠∠=，DE BC ⊥，E 是BC 的中点，求C ∠的度数．图3图2图1ED CBAPE DCBAED CBA【例5】 ABC △的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，⑴若BC =8，求△ADE 的周长；⑵若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．能力提升H FED CB A【教师铺垫】证明：⑴ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（角平分线的性质定理）．⑵ 在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（角平分线的判定定理）．夯实基础知识导航模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）CPAM⑶ 三角形的三条内角平分线交于一点．（此点称之为三角形的内心）．⑷ 三角形的内心到三边的距离相等．（三角形内心性质）．【例6】 ⑴ 如图，已知ABC △的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC △的面积．⑵ 如图所示，2AB AC =，1∠2=∠，DA DB =. 求证：DC AC ⊥.【例7】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E ，求证：⑴∠EAD =∠EDA ；⑵DF ∥AC ；⑶∠EAC =∠B ．能力提升21ADCB CPBANMOA BCDEF OG ODCBA训练1. D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F ，EG AC ⊥于G .求证：BF CG =.F AGEDC B训练2. 已知：如图，ABC ∠及两点M 、N ．求作：在平面内找一点P ，使得PM PN =，且P 点到ABC ∠两边所在的直线的距离相等．B训练3. 如图，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠．DE AB FD AC ∥，∥．如果6BC =，求DEF △的周长．训练4. 已知：如图，在POQ ∠内部有两点M 、N ，MOP NOQ ∠=∠．⑴ 画图并简要说明画法：在射线OP 上取一点A ，使点A 到点M 和点N 的距离和最小；在射线OQ 上取一点B ，使点B 到点M 和点N 的距离和最小；⑵ 直接写出AM AN +与BM BN +的大小关系．思维拓展训练(选讲)FE DCBA O知识模块一轴对称图形的认识与应用课后演练【演练1】⑴下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．④③②①答：图形__________；理由是__________．⑵画出下图所示的轴对称图形的对称轴：⑶如图是奥运会会旗上的五环图标，它有（）条对称轴．A．1 B．2 C．3D．4⑷下列图形中，不是轴对称图形的是（）．A．角B．等边三角形C．线段D．不等边三角形⑸如图，它们都是对称的图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.实战演练【演练2】如图，把ABC△纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则A∠与1∠和2∠之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）．A．12A∠=∠-∠B．212A∠=∠-∠C．3212A∠=∠-∠D．()3212A∠=∠-∠知识模块二线段的垂直平分线课后演练【演练3】如图，已知40AOB∠=︒，CD为OA的垂直平分线，求ACB∠的度数．知识模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）课后演练【演练4】如图，BD CD=，90ABD ACD∠=∠=°，点E、F分别在AB、AC上，若ED平分BEF∠．①求证：FD平分EFC∠；②求证：EF BE CF=+.【演练5】证明：三角形一个内角的平分线与另外两个外角的平分线交于一点．FEDCBA21E ADCBO DC BA第十五种品格：创新需要一把剪刀据说篮球运动刚诞生的时候，篮板上钉的是真正的篮子.每当球投进的时候，就有一个专门的人踩在梯子上把球拿出来.为此，比赛不得不断断续续地进行，缺少激烈紧张的气氛.为了让比赛更顺畅地进行，人们想了很多取球方法，都不太理想.有位发明家甚至制造了一种机器，在下面一拉就能把球弹出来，不过这种方法仍没能让篮球比赛紧张激烈起来.终于有一天，一位父亲带着他的儿子来看球赛.小男孩看到大人们一次次不辞劳苦地取球，不由大惑不解：为什么不把篮筐的底去掉呢？一语惊醒梦中人，大人们如梦初醒，于是才有了今天我们看到的篮网样式.去掉篮筐的底，就这么简单，但那么多有识之士都没有想到.听来让人费解，然而这个简单的“难题”困扰了人们多年.可见，无形的思维定式就像那个结实的篮子禁锢了我们的头脑，使得我们的思维就像篮球被“囚禁”在了篮筐里.于是，我们盲目地去搬梯子、去制造机器……生活中许多时候，我们就需要这样一把剪刀，去剪掉那些缠绕我们的“篮筐”，生活原本并没有那么复杂.今天我学到了等腰？漫画释义满分晋级知识互联网4特殊三角形之等腰三角形三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形三角形7级倍长中线与截长补短暑期班第二讲暑期班第四讲秋季班第二讲模块一等腰三角形知识导航【例8】 ⑴ 如图，ABC △中，AC AD BD ==，80DAC ∠=︒，则B ∠的度数是（）A ．40︒B ．35︒C ．25︒D ．20︒⑵ ABC △的一个内角的大小是40︒，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒⑶如图，ABC △内有一点D ，且D A D B D C ==，若20DAB ∠=︒，30DAC ∠=︒，则BDC ∠的大小是（） A.100︒ B.80︒ C.70︒ D.50︒【例9】 ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为（）A ．17cmB ．5cmC ．17cm 或5cmD ．无法确定 ⑵如图，在△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2=A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数为_________．夯实基础DCB A D CB AA nA 4A 3A 2A 1E DC A B。

八年级数学暑假【第二讲】

第二讲：勾股定理【一】知识点梳理与讲解1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1b ，a ）（2（32：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系要点诠释：化为形”（1（2）验证c 2与a 2+b 2角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

八年级数学暑假专题—二次根式、解一元二次方程、分式方程人教版

一教学内容：暑假专题——二次根式、解一元二次方程、分式方程二重点、难点重点：二次根式的基本概念，基本性质以及运算律；一元二次方程的4种解法；分式方程的换元法；难点：二次根式的混合运算；一元二次方程的因式分解的解法；分式方程的换元法。

三知识要点1 二次根式（1）a a ()≥0：双非负性（2）最简二次根式：①被开方数不含有开得尽方的因数或因式；②被开方数不含有分母。

（3）同类二次根式：化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。

（4）运算律：a b ab a b a b a b a b ·，，=≥≥=≥>⎧⎨⎪⎩⎪()()0000（5）分母有理化：a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪⎩⎪||，，， 2 一元二次方程的解法（1）ax bx c a 200++=≠()：一般式，各项名称。

（2）直接开平方法：()x a b +=2（3）配方法： ax bx c a x b a x c 22++=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+a x b a x b a b a c 22224=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-=a x b a ac b a244022 （4）公式法：∆=-≥=-±-b ac x b b ac a 224042时，（5）因式分解法：3 分式方程基本方法：去分母化成整式方程；换元法：注意：检验⎧⎨⎪⎩⎪【典型例题】例1 当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义（1）23x -（2）4412x x -+ （3）x x +--112解：（1）由230x -≥，得x ≥32 ∴≥当x 32时，23x -有意义（2）由44121022x x x -+=-≥()得为任意实数 ∴当为任意实数时，4412x x -+在实数范围内有意义（3）由x x +≥->⎧⎨⎩1020，得-≤<12x∴-≤<当12x 时，x x +--112在实数范围内有意义。

初二数学暑假补习基础知识集锦

暑假补习基础知识集锦全等三角形1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。

全等三角形对应角的平分线相等。

全等三角形对应边上的高线、中线对应相等。

2、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）。

3、有两多角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）。

4、有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）。

5、有三条边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）。

6、有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）。

7、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

8、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

轴对称图形1、定义：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．2、轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．3、图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．4、轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．5、线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．6、轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．7、作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．8、用坐标表示轴对称[关于坐标轴对称]点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）[关于原点对称]点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）[关于坐标轴夹角平分线对称]点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）等腰三角形1、等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．2、等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.3、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．等边三角形1、等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．2、等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°3、等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4、直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．5、三角形中的边角不等关系（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.（简称为：大边对大角）（2）在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.（简称为：大角对大边）6、添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线加平行，等腰三角形来添；角平分线伴垂直，三线合一试试看。

八年级数学暑假同步讲义第2讲最简二次根式与同类二次根式学生版

最简二次根式与同类二次根式内容分析最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础.重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简.知识结构模块一最简二次根式知识精讲1、最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1;（2）被开方数不含分母・当被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式•例题解析【例1】判断下列二次根式是不是最简二次根式:（1）<42a ; （2）24Xx3 ;1 v4xy2 -8y2 ( y < 0 )；【例2】判断下列二次根式是不是最简二次根式：【例3】判断下列二次根式是不是最简二次根式：(3)<9a 2 + 6a + 1 .【例4】将下列二次根式化成最简二次根式：【例5】将下列二次根式化成最简二次根式：(2) (aa 2 -b 2)(a + b )(a > b >0)；(3)7x 3 - 2x 2 + x (x 〉1).(1)上(3) 、口.5(a + b ).(1)、3(a 2 + 2a + 1)(a >-1)；(2)、；(x 2 - y 2)(x - y )(x > y > 0)；(1) 122 ;(2) 4x 3y 2 (y 〉0)； (3) v27a 3b 2c 5 ( a < 0 , b < 0 , c < 0 )•【例6】将下歹匚次根式化成最简二次根式:⑴A ；【例7】将下歹二次根式化成最简二次根式：(a + 2)5 ； -(a> 2) • (a — 2)3【例8】若｛x —p~是最简二次根式，则m =, n =, p =（其中m , n , p 均不为0）【例9】如果a +17074是最简二次根式，求,:― + -的值. a 2 a 3(2) <1,5a 3 ；b 5 , 、(4) ；, ----- ( a > 0， b > 0 ， c > 0 ).27 a 3 c(1) a + b , (0 < a < b )； (a 一 b )2(2) m + n, (m > n > 0)；（3）(3)(2)亨和哈-9【例12】合并下列各式中的同类二次根式:(1) 2K2- - <3 + - <2 +、瓜；23(2) 3 V xy - ay xy + bxxy(3) 3<18 - <50+5<72 ；(4) (3b v b + a\:b ) - (v4ab 3 + ab\b ).模块二同类二次根式1、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.(2) \；x 4y ， 3、,x 3y (x < 0)， -2\xy^y 3(y < 0). 【例11】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式?知识精讲例题解析【例10】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式?(1) <24 , 448, —12【例13】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式?(1) ava3 + a2 和b；—1一；(2) J——3a土”——和J ---ab 3 + b 3 9 a 2 +12 ab + 4 b 2 \3 a + 2 b 【例14] 若最简二次根式a+•J a^2b与*：a—b + 3是同类二次根式，求a、b的值. 【例15】当％ = -3时，二次根式m v2x2 + 5x + 7的值为无，求m的值.【例16】(1) 合并下列各式中的同类二次根式:2 口-2 1 +H ；27 3 3(2) (4<0.5 -4*0.125) - 2/3 + V12 ；(3)仁-3 x v Xx x【例17】计算：【习题1】_判断下列二次根式是不是最简二次根式: (1)作；(2)'而;(3)/2r3 3b【习题2】将下列二次根式化成最简二次根式：(1) <18 ; (2) <72 ; (3) <45 ; (4) <90.【习题3】将下列二次根式化成最简二次根式： __________ (1) v8x 2(x 0) ; (2) ■v45a 2b ; (3) 44a 3b 2 (D 0);【习题4】下列二次根式，哪些是同类二次根式：■■..■■12 , <24 , 1— , Ja 4b , 2 匚 a 3b (a 0), v'ab 3 (a 0).1. 27随堂检测(4) <5(a 2 2a 1)5 1).0 7 (2)3x \：4(1) , ；(2) ^―― ；(3) H •———(a < 0,b < 0)；' 32 \ %',8a5b (4)45 a2b【习题6】判断下列各组根式是否是同类根式:⑴-。

八年级数学暑期培优(二)

八年级数学暑期培优（二）一、选择题：1．要使分式11x +有意义，则x 必须满足的条件是 A ．x ≠1 B ．x ≠－1 C ．x ≠0 D ．x >1 2．下列各式化简正确的是A ．13455= B ．21233= C ．1316224= D ．234323= 3．反比例函数1my x-=的图象在第一、第三象限，则m 可能取的一个值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若a 、b 为实数，且满足22a b -+-，则b －a 的值为A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对 5．下列说法中错误的是A ．所有的等边三角形都相似B ．所有的等腰三角形都相似C ．有一对锐角相等的两个直角三角形相似D ．全等的三角形一定相似6．若关于x 的方程1011m xx x --=--有增根，则m 的值是 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 7．下列命题中，真命题是A ．四边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分D ．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质8．已知反比例函数2y x=-，下列结论不正确的是A ．图象经过点（－2，1）B ．图象在第二、四象限C ．当x <0时，y 随着x 的增大而增大D ．当x >－1时，y >29．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设A 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为A ．108010801215x x =+- B ．108010801215x x =-- C ．108010801215x x =-+ D ．108010801215x x =++ 10．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE 23AE EC =AB AC 231325352a b b ÷k y x =1432311x m x x -=+++211a x +=+221112a a a a a ---÷+21133x xx x =+++2321121x x x x x -⎛⎫--÷ ⎪--+⎝⎭2ky x =23AB BC =k y x=θθ把小棒依次摆放在两射线A B ，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A 1A 2为第1根小棒. 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ= 度；②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2,）,求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.图甲图乙活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2= AA 1. 数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1θ= ，2θ= ，3θ= ；（用含θ的式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围.。

八年级(下学期)暑期辅导资料(成套)

第一讲数与式一、学习指引1.知识要点（1）运算与运用（2）数的规律探究（3）新背景下的数的运算（4）整式、分式、二次根式（5）代数式的值 2.方法指导（1）巧算要注意算式的特点，运用运算律适当更换次序，使计算简便，平时要不断归纳拆、拼、凑整、交换等运算技巧. （2）数的规律探究主要是解题的过程中去找出内在的规律（3）解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算. （4）对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：①因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； ②运算律，适当运用运算律，也有助于化简； ③换元、配方、待定系数法、倒数法等；④有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法.二、典型例题例1. 计算（1）99163135115131++++（2）（21＋31＋……＋20021）（1＋21＋31＋……＋20011）－（1＋21＋31＋……＋20021）（21＋31＋……＋20011）（3）设22211148()34441004A =⨯++---，则与A 最接近的正整数是（）A.18B.20C.24D.25例2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有个小圆.第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形…例3.（1）一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请根据这个数列的一个规律，写出其中的第19个数是．（2）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（） A.（11，3） B.（3，11）C.（11，9）D.（9，11）例4. 已知123112113114,,,...,1232323438345415a a a =+==+==+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯依据上述规律，则99a = .例5.（1）y ＝︱x ＋1︱＋︱x －2︱＋︱x －３︱的最小值 .（2）试求︱x －１︱＋︱x －２︱＋︱x －３︱＋……＋︱x －1999︱的最小值.例6.（1）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b -1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m ，-2m ）放入其中，得到实数2，则m = ．（2）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，， ()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，，()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，．按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（）A ．()53--，B ．()53，C ．()53-，D ．()53-，(3) 定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n为偶数时，结果为kn2（其中k 是使k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝49，则第449次“F 运算”的结果是_____________．例7.（1）化简：22221369x y x y x y x xy y+--÷--+＝_______ ； (2) 若x 2－2y ＋6x ＋10＋y 2=0,则223442xyy x x yx +--=__________； (3)设512a -=，则5432322a a a a a a a +---+=-________. (4)已知b a x -=c b y -=ac z -,那么x+y+z= .例8.（1）如果式子aa ---11)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1(2) 已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则yxy x y xy x 4353-++-的值为 ( )A ．31 B ．21 C ．32D ．43例9.(1)设Ｎ＝２３x ＋９２y 为完全平方数，且Ｎ不超过２３９２，则满足上述条件的一切正整数对（x ，y ）共有多少对？2613 44 11 第一次 F ②第二次 F ①第三次F ②…4=1+3 9=3+616=6+10…(2)一个一次函数的图象与直线y ＝45x ＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为Ａ、Ｂ，并且过点（－１，－２５），则在线段ＡＢ上（包括点Ａ、Ｂ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？(3) 如图，菱形ABCD 的对角线长分别为a b 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形1111A B C D ，然后再以矩形1111A B C D 各边的中点为顶点作菱形2222A B C D ，……，如此下去．则得到四边形2009200920092009A B C D 的面积用含a b 、的代数式表示为__________.第一讲实数同步练习活动基地班级姓名【基础巩固】一、选择题1. 若的值为则2y-x 2,54,32==yx( )A.53 B.-2 C.553 D.56 2. 已知a －b=b －c=52，a 2＋b 2＋c 2=1则ab ＋bc ＋ca 的值等于（）Ａ.2513 Ｂ.2512 Ｃ.53 Ｄ.523．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10… 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21D ．49 = 18+314．观察以下数组：（1），（3、5），（7、9、11），（13、15、17、19），…问2009在第（）组．Ａ．44 Ｂ． 45 Ｃ．46 Ｄ．47 5．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③6．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当k ≥2时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0.按此方案，第2009棵树种植点的坐标为A.（5，2009）B.（6，2010）C.（3，401）D.（4，402）7．下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数二、填空题8.观察下表，回答问题：第个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍9．已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5554C A A C .序号 1 2 3… 图形…10．已知21(123...)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式n b ＝_______．11．已知25350x x --=，则22152525x x x x --=-- ．12. 正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则B n 的坐标是______________．三、解答题13.１21＋2221＋3321＋4421＋ (101021)14. 若４x －３y －６z=0, x+2y －7z=0 (xyz ≠0),求代数式222222103225zy x z y x ---+的值.【能力拓展】15．如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记11223B D E B D E B D E △，△，△，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）.y xOC 1B 2A 2 C 3B 1 A 3B 3 A 1C 2（第5题图）16.如图所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=x9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n = .（第2题）17.对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值．18.如图所示，在矩形ABCD 中，AB =12，AC =20，两条对角线相交于点O . 以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ，对角线相交于点A 1；再以A 1B 1、A 1C 为邻边作第2个平行四边形A 1B 1C 1C ，对角线相交于点O 1；再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形O 1B 1B 2C 1……依次类推.（1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形OBB 1C 、第2个平行四边形A 1B 1C 1C 和第6个平行四边形的面积.OC 1 A BCD C 2A 2B 2A 1B 1O 1 BC A E 1 E 2 E 3D 4 D 1D 2D 3 （第15题）答案第一讲数与式（典型例题）例1.（1）115（2）20021 提示：设1＋21＋31＋……＋20011＝a ，21＋31＋……＋20011＝b ，则a －b ＝1 (3) D例2.（1）46 例3.（1）114（2）A 例4.9999100例5.（1）4（2）用几何意义做比较方便，只有x 取1，2，……，1999的中间位置时最小，所以x=1000，原式= 999000 例6.（1）3或-1（2）B （3）98 例7.（1）yx y-2（2）151（3）-2 （4）0例8.（1）C （2）D 例9.（1）27（2）5（3）（21）3000第一讲数与式（同步练习）【基础巩固】一．选择题1.A2.A3.C4.B5.A6.D7.A 二．填空题 7.208.512，45 9.12++n n 10.528 11.（2n -1,2n-1）三．解答题 12.102410235513.-13 【能力拓展】 14.（11+n ）215.3n 16. 17.1*2=a+2b+2c=3 ① 2*3=2a+3b+6c=4 ② x *d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③ 由③得 a+cd=1 bd=0 因为d ≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4，从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4 17.(1)192，（2）96，48，3。