结构力学第4章静定刚架的内力计算PPT
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结构力学基础讲义PPT(共270页,图文)
alMM
B bM l
a l
b M
l
17
2. 多跨静定梁: 关键在于正确区分基本部分和附
属部分，熟练掌握截面法求控制截面 弯矩，熟练掌握区段叠加法作单跨梁 内力图。
多跨静定梁——由若干根梁用铰相连， 并用若干支座与基础相连而组成的静 定结构。
17:11
18
附属部分--依赖基本 部分的存在才维持几 何不变的部分。
17:11
24
3. 静定平面刚架 (1) 求反力。
切断C铰，考虑右边平衡，再分析左 边部分。求得反力如图所示：
C
17:11
25
3. 静定平面刚架
(2)作M图 (3)做Q、N图 (4) 校核
17:11M图
N图
Q图
26
§1-4 静定桁架
17:11
27
§1-4 静定桁架
* 桁架的定义：
——由若干个以铰（Pins）结点连接而成的 结构，外部荷载只作用在结点上。
对只有轴力的结构（桁架）：
1组7:1合1 结构则应分别对待。
61
§1-５静定结构位移计算
3. 荷载作用下的位移计算
例：求△cy 1. 建立力状态，在C点加单位 EI
竖向力。
2. 建立各杆内力方程：
EI
3. 求位移：
17:11
62
§1-５静定结构位移计算
3. 荷载作用下的位移计算
积分注意事项：
⒈ 逐段、逐杆积分。 ⒉ 两状态中内力函数服从同一坐标系。 ⒊ 弯矩的符号法则两状态一致。
2. 三铰拱的数解法
* 内力计算： ⑴任一截面K(位置)：KK截 截面 面形 形心 心处 坐拱 标X轴K切、线YK的倾角 K
结构力学(全套课件131P) ppt课件
的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于
一点。
当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚
片绕该交点（瞬时中心，简称瞬心）作相对转动。
从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时
中心的一个实铰的作用。
19
20
规则二 （三刚片规则）： 三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰（可以
是虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体 系。
两个平行链杆构成沿平行方向上的无穷远虚铰。
三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交 点，容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论 。当三个单铰中有或者全部为无穷远虚铰时，可由 分析得出以下依据和结论：
１、当有一个无穷远虚铰时，若另两个铰心的连 线与该无穷远虚铰方向不平行，体系几何不变；若 平行，体系瞬变。
３、通过依次从外部拆除二元体或从内部（基础、 基本三角形）加二元体的方法，简化体系后再作分 析。
41
第一部分 静定结构内力计算
静定结构的特性： １、几何组成特性 ２、静力特性 静定结构的内力计算依据静力平衡原理。
第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单 跨 静 定 梁
单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁 一、截面法求某一指定截面的内力
15
１、单约束（见图２-2-2） 连接两个物体（刚片或点）的约束叫单约束。
１）单链杆（链杆）（上图） 一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）具
有１个约束。 ２）单铰（下图）
一个单铰或一个固定铰支座（两个支座链杆） 具有两个约束。 ３）单刚结点
一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。
16
２、复约束 连接３个（含３个）以上物体的约束叫复约束。
三、对体系作几何组成分析的一般途径
结构力学静定结构的内力计算图文
dM
q(x)
（1）微分关系 dx FQ
dx
dFQ q dx
q
FQ
M+d M
M d x FQ+d FQ
MA FQA
d 2M
q
Fy
dx2
FQ
m0 M
dx
M+ M
（2）增量关系
FQ+F Q
FQ Fy M m0
（3）积分关系 由dFQ = – q·d x
qy
FQB FQA
xB xA
q
y
dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱMB
静定结构内力计算过程中需注意的几点问题： （1）弯矩图习惯画在杆件受拉边、不用标注正负号，轴力图和剪力图可画 在杆件任一边，需要标注正负号。 （2）内力图要写清名称、单位、控制截面处纵坐标的大小，各纵坐标的长 度应成比例。 （3）截面法求内力所列平衡方程正负与内力正负是完全不同的两套符号系 统，不可混淆。
四、 分段叠加法作弯矩图
MA
q
MB
P
M
MA
M
MA
M
+
M
M M M
A
MA
MB
FNA
FyA MA
MB
Fy0A
MA
q q q
M M
B MB
FNB FyB
MB
Fy0B
MB
例：4kN·m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN·m
（2）集中力偶作用下
4kN·m 2kN·m
（3）叠加得弯矩图
4kN·m
4kN·m
§3-2 静定梁
❖ 静定梁分为静定单跨梁和静定多跨梁。单跨梁的结构形式有水平梁、斜
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
静定结构内力计算PPT课件
杆件的内力计算
直杆平衡的微分方程
qy Q
N M
qx
Q＋d Q
N＋d N M＋d M
dx
dN
dQ
dx qx, dx qy,
d2M dx2
d dx
dM dx
qy
dM Q dx
Depatment of Egnieering Mechanics, Hohai University
杆件的内力计算
直杆内力图的形状特征
Depatment of Egnieering Mechanics, Hohai University
杆件的内力计算
列内力方程法：把某一截面的内力表示为该截面 位置的函数，绘内力图。 控制截面法：将若干个控制截面截开，取某一侧 为隔离体，根据隔离体的平衡条件计算内力，将 这些控制截面的内力绘制成图。
Depatment of Egnieering Mechanics, Hohai University
杆件的内力计算
例：用列内力方程方法作图示梁内力图
q A
l
解:
B
HA 0,VA ql/2(), VB ql/2()
X 0, N(x) 0
M Q
1 ql 2
Y 0,Q(x) 1 ql qx
1 ql 2
几何特性：无多余约束的几何不变体系。 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力和内力。
静定结构受力分析：计算荷载作用下结构的反力和内力， 并绘出结构的内力图。 静定结构受力分析的基本方法：选取atment of Egnieering Mechanics, Hohai University
集中力作 用点
集中力偶 作用点
均布荷载 作用区段
无横向荷 载作用区 段
结构力学——第3、4章 静定梁和静定刚架
YA
C
XC
YC
B
YB
XB
例2: 求图示刚架的支座反力和约束力
C
l 2 l 2
解:1)取整体为隔离体
P
F
x
0, X B P()
A
MA
l 2 l 2
B
YB
XB
YA
2)取右部分为隔离体 l M C 0, X B l YB 2 0, YB 2P() Fy 0, YC YB 0, YC YB 2P()
l
XB
B
YB
C
E
XB
P B
N D
YB
C
E
N EF
XA
A
l l
D
l
F
3)取BCE为隔离体
YA
解:1)取BCE为隔离体 Fx 0, X B 0
M
C
0, P l YB l N EF l 0,
0, N CD 6 P()
F 0, X 0 F 0, Y Y
1 ql 2
ql 2
2ql 2
q
A B QAB QBA M A 0 QBA 11ql / 4
F
Y
0 Q AB 5ql / 4
例: 作内力图
ql
q
ql
l l ql
2l q
4l
2l
l
l ql
1 ql 2
内力计算的关键在于: 1 ql ql 2 正确区分基本部分和附 ql ql 属部分. 熟练掌握单跨梁的计算./ 2 ql ql
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
《工程力学》课题十二：静定结构的内力计算
只需求出与杆轴线垂直的反力。
1.悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接 求作内力图。
L
q ½qL²↓↓↓↓↓↓↓↓↓
L
qL² qL²
2.简支刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往往
只须求出一个与杆件垂直的支座
反力，然后由支座作起。
q
l
D
qa2/2
C
l/2
l/2
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/2
qL2/2
（3）绘制内力图(弯矩图 剪力图 轴力图）
由已求得各杆端力，分别按各杆件作内力图。
弯矩图可由已知杆端弯矩，按直杆段的区段叠加法作杆
件的弯矩图。
连接两个杆端的刚结点,若 结点上无外力偶作用,则两 个杆端的弯矩值相等,方向 相反.
M图（KN·m）
拆成单个杆,求出杆两端的所 有内力,按与单跨梁相同的方法 画内力图.
铰拱的合理拱轴线的纵
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线。
MC0=ql2/8 H=ql2/8f M0(x)=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2
y=4fx(l-x)/l2
抛物线
拱的合理拱轴线的形状与相应的简支梁的弯矩 图相似。
三铰拱在竖向集中荷载作用下的的无荷载区段上， 合理拱轴是一条直线，并在集中荷载作用点出现转折； 在均布荷载作用区段上，合理拱轴是一条抛物线。
（２）计算杆端力 取AB杆B截面以下部分， 计算该杆Ｂ端杆端力：
MBA = 160kN·m (右侧受拉) 同理：取BD杆B截面以右部 分，计算该杆B端杆端力： MBD = 160kN·m (下侧受拉)
静定结构的内力计算(桁架)PPT课件
在截面法中，需要将截断部分视为一个独立的体系，并分析其受力情况，然后根据 力的平衡条件列出方程，求解出内力。
截面法适用于各种类型的静定结构，包括梁、刚架、拱等，是一种通用的内力计算 方法。
节点法
节点法是通过分析节点处的受力情况， 然后根据力的平衡条件计算出节点内 力的方法。
节点法适用于计算静定刚架的内力， 特别是当刚架的跨度较大或杆件较粗 时，使用节点法可以简化计算过程。
02
梁和柱的连接方式会影响到内力的传递和分布，需要特别注意节点处 的内力计算。
03
内力计算中需要考虑梁和柱的材料特性，如弹性模量、泊松比等，这 些特性会影响到杆件的承载能力和变形。
04
内力计算的结果可以为后续的位移计算、强度校核等提供基础数据， 同时也可以为结构优化提供指导。
05
静定结构内力计算的应 用
梁的剪力和弯矩。
简支梁的弯矩图是一条直线，剪 力图是一个三角形。
悬臂梁
悬臂梁是一种一端固定、另一端自由的 静定结构，常用于支撑房屋的阳台、雨
篷等。
悬臂梁的内力计算需要考虑梁的弯曲变 形和剪切变形，根据弯矩和剪力的分布
情况，可以求出梁的剪力和弯矩。
悬臂梁的弯矩图是一个三角形，剪力图 是一条直线。
连续梁
连续梁是一种多跨度的静定结构，其两端通过连续座支撑，中间不受其 他约束。
连续梁的内力计算需要考虑梁的弯曲变形和剪切变形，根据弯矩和剪力 的分布情况，可以求出梁的剪力和弯矩。
连续梁的弯矩图是一个抛物线，剪力图是一个梯形。
04
静定结构的内力计算(以 桁架为例)
平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算通常采用截 面法，即通过截取一个或多个节点作 为隔离体，根据力的平衡条件计算各 杆件的内力。
04静定刚架--习题
XC YC
B
YB
M A 2Pm(
)
结构力学电子教程
4 静定刚架
4.9-4.14 计算刚架指定截面内力。 4.9 计算题4-1图刚架结点C各杆截面内力。 2kN/m N CD C 解： Q C D M CD CD
4m
2kN/m
D
A
6m
B
2kN/m
（1）取CB为隔离体
C
M CA QCA N CA
NCE 0, QCE 2P, M CE 2Pa
（右边受拉）
B
结构力学电子教程
4 静定刚架
4.13 计算题4-13图刚架结点D各杆截面内力。 解： 2kN NDC 4 3 4 16kN
3kN/m 4m C D E
QDC 5.33kN
M DC 4 3 3 4 2 5.33 6 68kN m（上边受拉）
M A 0 : 2 5 7.5 YB 10 0
XA
2.08kN
B
5m
YC XC C
XB M B 2.08kN YB 7.5kN
YB 7.5kN( )
0 : 2 5 2.5 YA 8 0
YA 2.5kN( ) X 0 : X A XB 0
A
2m
9kN
2m
C
2m
6.31kN
9.69kN
NEF 0 QEF 8 9.69 1.69kN
M EF 9.69 4 8 2 22.76kN m （下边受拉） NEB 0
1.69kN1.69kN 9kN 22.76kN m 4.26kN m E 9kN 27kN m
结构力学力法PPT_图文
q EI 1次超静定
一个无铰封闭圈有三个多余联系
q
q
q
q
第8章
2、去掉多余联系的方法
（1）去掉支座的一根支杆或切断一根链杆相当于去掉一个联系。 （2）去掉一个铰支座或一个简单铰相当于去掉两个联系。 （3）去掉一个固定支座或将刚性联结切断相当于去掉三个联系。 （4）将固定支座改为铰支座或将刚性联结改为铰联结相当于 去掉一个联系。
1、解题思路
q
2
1
l
原结构
q
x1 基本结构
位移条件： 1P+ 11=0 因为 11= 11X1 （ 右下图） 所以 11X1 +1P =0 X1= -1P/ 11
q 1P
11 x1
11 x1=1
第8章
2、解题步骤
（1）选取力法基本结构； （2）列力法基本方程； （3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图； （4）求力法方程各系数，解力法方程； （5）绘内力图。
X1
X2
基本结构(1)
第8章
对应不同的基本结构有不同的力法方程：
A
B
C
D
C1
C2
l A X1
l
l
原结构
B
C
D
C1
C2
X2
解：力法方程:
基本结构(2)
第8章
对应不同的基本结构有不同的力法方程：
A
B
C
D
C1
C2
l
l
原结构
A
B
C
l D
C1
X1
X2
解：力法方程:
基本结构(3)
第8章
四、如何求
A
以基本结构(2)为例：
一个无铰封闭圈有三个多余联系
q
q
q
q
第8章
2、去掉多余联系的方法
（1）去掉支座的一根支杆或切断一根链杆相当于去掉一个联系。 （2）去掉一个铰支座或一个简单铰相当于去掉两个联系。 （3）去掉一个固定支座或将刚性联结切断相当于去掉三个联系。 （4）将固定支座改为铰支座或将刚性联结改为铰联结相当于 去掉一个联系。
1、解题思路
q
2
1
l
原结构
q
x1 基本结构
位移条件： 1P+ 11=0 因为 11= 11X1 （ 右下图） 所以 11X1 +1P =0 X1= -1P/ 11
q 1P
11 x1
11 x1=1
第8章
2、解题步骤
（1）选取力法基本结构； （2）列力法基本方程； （3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图； （4）求力法方程各系数，解力法方程； （5）绘内力图。
X1
X2
基本结构(1)
第8章
对应不同的基本结构有不同的力法方程：
A
B
C
D
C1
C2
l A X1
l
l
原结构
B
C
D
C1
C2
X2
解：力法方程:
基本结构(2)
第8章
对应不同的基本结构有不同的力法方程：
A
B
C
D
C1
C2
l
l
原结构
A
B
C
l D
C1
X1
X2
解：力法方程:
基本结构(3)
第8章
四、如何求
A
以基本结构(2)为例：
结构力学 4静定结构受力分析-刚架
P
Ph Ph a
P
h Ph a
集中力偶作用处无变化发生突变两直线平行集中力偶作用点弯矩无定义荷载不符注意这个铰该处支座反力沿着杆件轴线方向不产生弯矩铰上无弯矩集中力偶处弯矩有突变弯矩图正误判断作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件
静定结构受力分析
几何特性： 无多余联系的几何不变体系 几何特性： 静力特征： 仅由静力平衡条件可求全部反力、内力。 静力特征： 求解一般原则: 求解一般原则:从几何组成入手，按组成的相反 顺序进行逐步分析即可 本章内容： 静定梁；静定刚架 静定刚架； 三铰拱；静定 本章内容： 静定刚架 桁架；静定组合结构；静定结构总论 学习中应注意的问题：多思考,勤动手。本章是 学习中应注意的问题： 后面学习的基础，十分重要, 要熟练掌握！
几点说明 刚架内力仍然可以利用q、Q、M微分关系。 微分关系。 内力符号规定： 内力符号规定： N —— 拉力为正 Q —— 使杆段顺时针转动为正 M —— 绘在受拉一边 内力记号： 内力记号： NAB ——AB杆A端的轴力。 端的轴力。 杆 端的轴力 QAB——AB杆A端的剪力。 端的剪力。 杆 端的剪力 MAB ——AB杆A端的弯矩。 端的弯矩。 杆 端的弯矩
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处
M
集中力作用 力无
集中力偶作用点 无
判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。 判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。
P D ↓↓↓↓↓↓↓↓ P D q ↓↓↓↓↓↓↓↓
×
B
C
×
E （a）
弯矩 图与 荷载 不符
B
C
q
A
A （b）
E
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
×
结构力学刚架
§2
静定刚架支座反力的计算
刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制
截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。
在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。
下图所示两跨刚架可先建立投影方程 Y = 0 计算RC ，再对 RC 和RB 的交点 O取矩，建立力矩方程 MO = 0 ，计算R A，最后建立投影方程 X = 0 计算 R 。
• • • • 2. 计算步骤： 1） 求出支座反力； 2） 将刚架拆成单个单元； 3） 用截面法计算各杆杆端截面的内力 值； • 4） 利用微分关系和叠加法逐杆绘制内 力图； • 将各杆内力图组合在一起。
例1.作内力图 ⑴ 求反力（利用平衡条件）： ∑FX=0 HD=30×4=120kN(←) ∑MD=0
4m
VA=-40kN(↓)
∑FY=0 VD=－VA=-40kN（↑）
⑵ 分析绘制M图（列方程） AB 杆 （ 0<x1<4 ） ： M(X1)=
30 2 X 1 = 15 X 12 2
4m
CD杆(0<x3<4)：无荷载，直 线 M(X3)=120 X3 MCD=480kN· m BC杆：M图为直线
160
B 4m
20 kN/m
40
A (d) M图
H A = 80
VA = 20
A 2m (a)
80
A
20
A ( c)
2m
(b)
40kN
N BD
M BD
B 2m
160kN· m
40kN
B D
40kN B 20kN/m C D 4m
2m
D
60
QBD
X =0 N BD = 0
《结构力学》静定刚架
2qa2 q 4a 2a 6qa 2a
2q 4a 2a M A 0
M A 14qa2
（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图
2qa2
q
1）杆CD
2qa2
C 6qa
E
2qa2
3a
D
B
F SDC 0
C
2q A
2a 2a
4a
结点D
4a
F
NDC
0
D
F SDC
M DC 2qa2 M DC
M图
2）杆DB
20kN·m
30kN
D CE
40kN·m
D
40kN·m
E
4m
10kN A 2m
10kN
20 M DC 20
D
B
10kN
2m 20kN
10kN A 10kN
M EC 40 E
20 40
B 10kN 20kN
40
40
20kN·m
40kN·m 40
D
C
E
M图（kN·m）
例4. 求绘图示结构的弯矩图。
3.3 静定平面刚架的内力计算
1、平面刚架的基本形式： 1、悬臂刚架
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
2、平面刚架结构特点：
把简支梁折弯即成简支刚架。刚架与梁明显的区别刚架具有 刚结点。
1）刚结点的变形特点：刚架受力前后，刚结点上各杆之间 的夹角保持不变。
2）刚结点的受力特点：图示刚架取C结点作受力分析
内力符号的标注：为了区分汇交于同一结点的各杆端截面内
力，在内力符号下面引用两个脚标，第一个表示内力所属截
面，第二个表示该截面所属杆件的另一端。
2q 4a 2a M A 0
M A 14qa2
（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图
2qa2
q
1）杆CD
2qa2
C 6qa
E
2qa2
3a
D
B
F SDC 0
C
2q A
2a 2a
4a
结点D
4a
F
NDC
0
D
F SDC
M DC 2qa2 M DC
M图
2）杆DB
20kN·m
30kN
D CE
40kN·m
D
40kN·m
E
4m
10kN A 2m
10kN
20 M DC 20
D
B
10kN
2m 20kN
10kN A 10kN
M EC 40 E
20 40
B 10kN 20kN
40
40
20kN·m
40kN·m 40
D
C
E
M图（kN·m）
例4. 求绘图示结构的弯矩图。
3.3 静定平面刚架的内力计算
1、平面刚架的基本形式： 1、悬臂刚架
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
2、平面刚架结构特点：
把简支梁折弯即成简支刚架。刚架与梁明显的区别刚架具有 刚结点。
1）刚结点的变形特点：刚架受力前后，刚结点上各杆之间 的夹角保持不变。
2）刚结点的受力特点：图示刚架取C结点作受力分析
内力符号的标注：为了区分汇交于同一结点的各杆端截面内
力，在内力符号下面引用两个脚标，第一个表示内力所属截
面，第二个表示该截面所属杆件的另一端。
《结构力学》静定结构的内力分析(上)
解：（1）先计算支座反力 （2）求控制截面弯矩值
RA 17 kN
RB 7kN
M D 17 2 81 26 kN m
M F 7 2 16 30 kN m
取GB部分为隔离体， 可计算得：
MGr 71 7 kN m
M
l G
7 1 16
23kN m
M m
（3）积分关系 由d Q = – q·d x
q(x)
MA
MB
QB
QA
xBq(x) dx
xA
由d M = Q·d x
QA
QB
M B
MA
xBQ(x) dx
xA
几种典型弯矩图和剪力图
q
P
m
l /2
P 2
l /2
P 2
Pl 4
1、集中荷载作用点 M图有一夹角，荷载向 下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 向下突变亦向下。
主要任务 ：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定 梁内力图的作法。 分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析 问题转化为杆件的受力分析问题。
一、截面上内力符号的规定
轴力：截面上应力沿杆轴切线方
向的合力，使杆产生伸长变形为
N
N 正，画轴力图要注明正负号；
剪力：截面上应力沿杆轴法线
结论：截面上内力求解简单方法
1、轴力等于该截面任一侧所有外力沿该截面轴线方向投影的 代数和。外力背离截面投影取正，指向该截面投影为负。
2、剪力等于该截面任一侧所有外力沿该截面切线方向投影的 代数和。如外力使隔离体对该截面有顺时针转动趋势，其投影取 正，反之为负。
3、弯矩等于该截面任一侧所有外力对该截面形心之矩代数和。 如外力矩产生的弯矩标在拉伸变形侧。
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L /2 L /2
(a)
如果仅用上部整体的平衡条件
I
F Ax
I
F Ay
(b)
F Bx F By
解法1：
分别取两个折杆为隔离体，见图(c)。
F Cy
F Cx F Cx
F Cy
F Ax F Ay
(c)
F Bx F By
MA 0
F C xLF C yL 2qLL 20 (a)
MB 0
FCxL 2FCyL 20
FQD CFNDA2.5kN
M D C M D A M 9k 0 N m
（上侧受拉）
BC杆：
M CB
F NCB F QCB
FNC BFBy2.5kN
FQC Bq44k0N F B y = 2 . 5 k N
M C Bq 4 2 8k0N m
（右侧受拉）
结点C：
F NCD
M CD
F QCD M CB
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工程管理系
第四章
静定刚架的内力分析
§4.1 概 述
组成刚架的杆件主要产生弯曲变形， 可承受弯矩。
刚架的构造特点: 具有刚结点
(a)
(b)
(c)
刚结点的特点:
能传递力矩 （弯矩）
静定刚架有如下几种最简形式, 较复杂的刚架一般是由若干简 单刚架按基本组成规则构成的。
(b)
联立(a)、(b)两式，求解得：
FCx
1 qL (← 3
→)
FCy
1 qL 3
(↑↓)
(c)
将式(c)所示的结果带回图(c)的两 个隔离体上，容易得出该三铰刚 架的四个支座反力，即：
FAx
2 3
qL
(←)
FBx
1 qL 3
(←)
FAy
1 3
qL(↓)
FBy
1 qL 3
(↑)
解法2：
取整体和图(c)右所示体系为隔离体。
F B y1 4( 1 0 4 2 3 0 2 0 2 ) 2 .5 k(N ↓)
MB 0
F Ay 1 4(F P2M q42) F A y1 4( 2 0 2 3 0 1 0 4 2 )2 .5 k(N ↑)
Fx 0
FAxFPq4(→) F Ax 2 0 1 0 42k0N
L/2
L/2
三铰刚架的支座反力：
F B y= 2 .5 k N
刚架的内力的正负号规定同梁。各 内力图均以杆轴为原始基线垂直杆 轴画出。弯矩不规定正负，但规定 弯矩画在受拉侧；在同一杆上的轴 力或竖标剪力图，若异号分画在杆 轴两侧，若同号则在杆轴任一侧， 但须在图中注明正负号。
各杆端力计算如下：
M DA
F NDA F QDA
AD杆：
当三铰刚架的两个底铰在一条直线上时：
IБайду номын сангаас
L/3
2L/3
L /2 L /2
F Ax
F Ay I
图(d)
F Bx F By
由于两个水平支座反力在一条线上， 取刚架整体为隔离体，分别建立以 铰A、铰B为矩心的力矩平衡方程， 这两个方程分别是关于两个竖向支 座反力的独立的方程，因此可先求 出这两个反力。
由 MA0 得：
FND AFAy2.5kN
F A x= 2 0 k N F Ay= 2 .5 k N
F QD A F PF Ax 4k0N
M D A F P 2 F A x 4 1k 2 m N 0
（左侧受拉）
结点D：
M =30kN m
F QDA M DA
M DC F NDC
F QDC
F NDA
FND CFQDA4k0N
MO 0
F Ay 1 6(q63M F P2)
1(3631 81 22)8kN (↑) 6
当两铰支座在一条水平线上时，见 图(b)左取刚架上部整体为隔离体， 见图(b)右，建立平衡方程并求解
M=30kNm
M =30kN m
2m 2m
F Ax
4m
F Ay
F By
(b)
MA 0
F B y q 4 2 M F P 2
FByL 1qL 2L 4q8L(↑)
(a)
由 MB 0 得：
FAyL 1qL 2(L 4L 2)3q 8L(↑)
(b)
如取截面I-I以右部分，由 MC 0
得： FBxL 1FByL 21q6L (←)
再由整体的平衡方程 FX 0
得：
qL FAx FBx 16
(→)
2、刚架的内力计算和内力图制作
简支刚架的支座反力：
2m 2m
F By M =18kN m
F Ax
6m
F Ay
(a)
图(a)左所示刚架支座反力的计算， 同样取刚架上部整体为隔离体，见 图(a)右，建立平衡方程：
FX 0
FAxFP1k2N(←)
MA 0
1 F By6(q63M F P2)
1(3631 81 22)1k0N (↑) 6
F QCB
F NCB
FNC DFQCB4k0N
FQC DFNC B2.5kN
M CD M C B 8k 0N m
（上侧受拉）
直接法（不暴露杆端力）计算 杆端力方法：
则是以外力相对于截面的左或右区 分正负，即，剪力以左上、右下为 正；轴力以左左、右右为正；弯矩 以左顺、右逆为正。
M =30kN m
F QDA M DA
M DC F NDC
F QDC
F NDA
FNDC
MDC
M DA
F NDA
FQDC
F QDA
M CD
F NCD
M CD
F QCD M CB
F QCB
FNCD FQCD
F NCB
F NCB
M CB
F QCB
F A x= 2 0 k N
F Ay= 2 .5 k N
图4-2-6
MA 0
(a)
FBx L 2FBy Lq LL 20
MC 0
FBxL 2FByL 20
(b)
联立(a)、(b)两式，求解得：
FBx
1 qL 3
(←)
FBy
1 qL 3
(↑)
再有隔离体整体平衡条件 ，即可 求得A支座的两个支座反力同上。
说明：当必须解联立方程时，
要
点
是
先集中列出一个铰上的约束力的两个 方程。即截开在三个铰中所选的任意 一个铰，以另两个铰为矩心，分别列 关于所选铰处约束力的力矩方程。
(a)悬臂刚架
(b)简支刚架
(c)三铰刚架
§4.2 简单刚架的内力分析
1、支座反力计算
悬臂刚架的支座反力
q=2kN /m
q=2kN /m
2m
2m
3m
F Ax
F Ay
取上部整体为隔离体
建立该隔离体的平衡方程 为：
FX 0 FAx7kN(←)
FY 0 FAy236kN(↑)
MA 0
M A 72232 3 2k3N m (左侧受拉)
M=30kNm
M =30kN m
2m 2m
F Ax= 2 0 k N
4m
F Ay= 2 .5 k N
F By= 2 .5 k N
(a)
(b)
图4-2-5
（1）杆端力计算
取隔离体暴露杆端力的计算方法： （取隔离体，由平衡条件解） 刚架各杆杆端截面见图(b)上端 线所注，截开各杆端截面后，刚 架离散成图4-2-6所示各隔离体。
(a)
如果仅用上部整体的平衡条件
I
F Ax
I
F Ay
(b)
F Bx F By
解法1：
分别取两个折杆为隔离体，见图(c)。
F Cy
F Cx F Cx
F Cy
F Ax F Ay
(c)
F Bx F By
MA 0
F C xLF C yL 2qLL 20 (a)
MB 0
FCxL 2FCyL 20
FQD CFNDA2.5kN
M D C M D A M 9k 0 N m
（上侧受拉）
BC杆：
M CB
F NCB F QCB
FNC BFBy2.5kN
FQC Bq44k0N F B y = 2 . 5 k N
M C Bq 4 2 8k0N m
（右侧受拉）
结点C：
F NCD
M CD
F QCD M CB
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工程管理系
第四章
静定刚架的内力分析
§4.1 概 述
组成刚架的杆件主要产生弯曲变形， 可承受弯矩。
刚架的构造特点: 具有刚结点
(a)
(b)
(c)
刚结点的特点:
能传递力矩 （弯矩）
静定刚架有如下几种最简形式, 较复杂的刚架一般是由若干简 单刚架按基本组成规则构成的。
(b)
联立(a)、(b)两式，求解得：
FCx
1 qL (← 3
→)
FCy
1 qL 3
(↑↓)
(c)
将式(c)所示的结果带回图(c)的两 个隔离体上，容易得出该三铰刚 架的四个支座反力，即：
FAx
2 3
qL
(←)
FBx
1 qL 3
(←)
FAy
1 3
qL(↓)
FBy
1 qL 3
(↑)
解法2：
取整体和图(c)右所示体系为隔离体。
F B y1 4( 1 0 4 2 3 0 2 0 2 ) 2 .5 k(N ↓)
MB 0
F Ay 1 4(F P2M q42) F A y1 4( 2 0 2 3 0 1 0 4 2 )2 .5 k(N ↑)
Fx 0
FAxFPq4(→) F Ax 2 0 1 0 42k0N
L/2
L/2
三铰刚架的支座反力：
F B y= 2 .5 k N
刚架的内力的正负号规定同梁。各 内力图均以杆轴为原始基线垂直杆 轴画出。弯矩不规定正负，但规定 弯矩画在受拉侧；在同一杆上的轴 力或竖标剪力图，若异号分画在杆 轴两侧，若同号则在杆轴任一侧， 但须在图中注明正负号。
各杆端力计算如下：
M DA
F NDA F QDA
AD杆：
当三铰刚架的两个底铰在一条直线上时：
IБайду номын сангаас
L/3
2L/3
L /2 L /2
F Ax
F Ay I
图(d)
F Bx F By
由于两个水平支座反力在一条线上， 取刚架整体为隔离体，分别建立以 铰A、铰B为矩心的力矩平衡方程， 这两个方程分别是关于两个竖向支 座反力的独立的方程，因此可先求 出这两个反力。
由 MA0 得：
FND AFAy2.5kN
F A x= 2 0 k N F Ay= 2 .5 k N
F QD A F PF Ax 4k0N
M D A F P 2 F A x 4 1k 2 m N 0
（左侧受拉）
结点D：
M =30kN m
F QDA M DA
M DC F NDC
F QDC
F NDA
FND CFQDA4k0N
MO 0
F Ay 1 6(q63M F P2)
1(3631 81 22)8kN (↑) 6
当两铰支座在一条水平线上时，见 图(b)左取刚架上部整体为隔离体， 见图(b)右，建立平衡方程并求解
M=30kNm
M =30kN m
2m 2m
F Ax
4m
F Ay
F By
(b)
MA 0
F B y q 4 2 M F P 2
FByL 1qL 2L 4q8L(↑)
(a)
由 MB 0 得：
FAyL 1qL 2(L 4L 2)3q 8L(↑)
(b)
如取截面I-I以右部分，由 MC 0
得： FBxL 1FByL 21q6L (←)
再由整体的平衡方程 FX 0
得：
qL FAx FBx 16
(→)
2、刚架的内力计算和内力图制作
简支刚架的支座反力：
2m 2m
F By M =18kN m
F Ax
6m
F Ay
(a)
图(a)左所示刚架支座反力的计算， 同样取刚架上部整体为隔离体，见 图(a)右，建立平衡方程：
FX 0
FAxFP1k2N(←)
MA 0
1 F By6(q63M F P2)
1(3631 81 22)1k0N (↑) 6
F QCB
F NCB
FNC DFQCB4k0N
FQC DFNC B2.5kN
M CD M C B 8k 0N m
（上侧受拉）
直接法（不暴露杆端力）计算 杆端力方法：
则是以外力相对于截面的左或右区 分正负，即，剪力以左上、右下为 正；轴力以左左、右右为正；弯矩 以左顺、右逆为正。
M =30kN m
F QDA M DA
M DC F NDC
F QDC
F NDA
FNDC
MDC
M DA
F NDA
FQDC
F QDA
M CD
F NCD
M CD
F QCD M CB
F QCB
FNCD FQCD
F NCB
F NCB
M CB
F QCB
F A x= 2 0 k N
F Ay= 2 .5 k N
图4-2-6
MA 0
(a)
FBx L 2FBy Lq LL 20
MC 0
FBxL 2FByL 20
(b)
联立(a)、(b)两式，求解得：
FBx
1 qL 3
(←)
FBy
1 qL 3
(↑)
再有隔离体整体平衡条件 ，即可 求得A支座的两个支座反力同上。
说明：当必须解联立方程时，
要
点
是
先集中列出一个铰上的约束力的两个 方程。即截开在三个铰中所选的任意 一个铰，以另两个铰为矩心，分别列 关于所选铰处约束力的力矩方程。
(a)悬臂刚架
(b)简支刚架
(c)三铰刚架
§4.2 简单刚架的内力分析
1、支座反力计算
悬臂刚架的支座反力
q=2kN /m
q=2kN /m
2m
2m
3m
F Ax
F Ay
取上部整体为隔离体
建立该隔离体的平衡方程 为：
FX 0 FAx7kN(←)
FY 0 FAy236kN(↑)
MA 0
M A 72232 3 2k3N m (左侧受拉)
M=30kNm
M =30kN m
2m 2m
F Ax= 2 0 k N
4m
F Ay= 2 .5 k N
F By= 2 .5 k N
(a)
(b)
图4-2-5
（1）杆端力计算
取隔离体暴露杆端力的计算方法： （取隔离体，由平衡条件解） 刚架各杆杆端截面见图(b)上端 线所注，截开各杆端截面后，刚 架离散成图4-2-6所示各隔离体。