一元一次方程总复习卷讲义

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(完整)一元一次方程复习讲义

一元一次方程复习讲义1．方程的有关概念2．等式的基本性质3．解一元一次方程的基本步骤：4.应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1)审（2）找（3）设（4)列 (5）解（6）验（7）答1．下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2－3x=111=x x x 3121=- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=12、解下列方程:⑴ 103.02.017.07.0=--x x ⑵16110312=+-+x x⑶03433221=-+++++x x x ⑷2362132432⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--x x x x x(5)｜5x 一2｜＝33、8=x 是方程a x x 2433+=- 的解，又是方程 ()[]b x b x x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---913131的解，求 b4、小张在解方程1523=-x a （x 为未知数)时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解5、已知关于x 的方程 ()()x n x m 121232+=-+无穷多解，求m 、n1、(本题7分）按要求完成下面题目：323221+-=--x x x解:去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②移项，得 1823-=+-x x ……③合并同类项，得 7=-x ……④∴ 7-=x ……⑤上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。

如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程：2、（本题7分）请阅读下列材料:让我们来规定一种运算：bcad dc ba -=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，若2121x x-=23，试用方程的知识求x 的值。

3、检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需要14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需要12天。

6、《一元一次方程》复习讲义.docx

第六章《一元一次方程》考点例析一元一次方程是代数学方程分支的起始和基础知识，其本身不仅有很多直接应用, 而且解一元一次方程是以后学习其它方程和方程组的基础.为了能帮助同学们搞好期末复习，现就一元一次方程中常见题型与考点举例说明如下，希望大家能有所受益. 考点一考查方程的变形：例1.下列说法正确的是（）。

A.兀+丄=2 +丄变形得至心=2氏2兀=3兀变形得到2二3C.将方程2x = —系数化为1,得x = — o2 3D.彳务方程3x = 4x — 4变丿也得讥=4。

解析：方程变形的两个原理是：（1）方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式, 方程的解不变。

（2）方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，方程的解不变。

依据方程的同解原理可知：（A）的变形是在方程的两边同时减去丄，而丄不是整式，因此这个变形不符合方程x x同解原理，是错误的.（B）的变形是在方程两边都除以兀，也不符合方程同解原理，是错误的.（C）在依据同解原理将系数化为1过程中出现了错误.（D）依据同解原理进行正确地移项此变形是正确的•故选D.点评：同解变形是解方程的依据，熟练掌握有助于记忆解方程的步骤和每步的注意事项.练习：1.下列变形屮，正确的是（）A^ 若ac=bc,那么a=b。

B、若—=—,那么a二bC CC、问=”|,那么a=boD、若a2 =b2那么a=b2.若a=b,则下列式子正确的有（）①日一2 =方一2 ®-a—-b③一丄曰=—色方④5曰一1 = 5方一1.3 24 4（A） 1 个（B） 2 个（C） 3 个（D） 4 个3.已知dHl,则关于兀的方程（a-l）x = l-a的解是（）A. x = 0B. x = 1C. x--\D.无解12、（2011七下）下列方程变形正确的是（）7A、由3 +尢=5彳寻兀= 5 + 3B、由7x = —4彳寻兀=—4C、由丄y = o得〉，=2D、由3 =兀一2得兀= 2 + 3考点二考查一元一次方程的概念与方程的解的定义：例2. （1）当加为何值时，关于兀的方程（加-1）兀"厂+2二0是一元一次方程。

一元一次方程复习辅导讲义

龙文教育学科教师辅导讲义课题一元一次方程复习教学目标1、了解一元一次方程的概念，理解等式的基本性质。

2、理解移项法则，会解一元一次方程。

3、了解一元一次方程在解决问题中的应用。

重点、难点重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

难点：利用一元一次方程解决问题教学内容知识结构：要点一：方程及一元一次方程的相关概念方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。

一元一次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的方程叫做一元一次方程。

其中“元”是指未知数，“一元”是指一个未知数；“次”是指含有未知数的项的最高次数，“一次”是指含有未知数的项的最高次数是一次。

等式、方程、一元一次方程的区别和联系：方程的解的概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

（1）解方程的概念：求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。

（2）判断一个未知数的值是不是方程的解：将未知数的值代入方程，看左右两边的值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。

否则就不是方程的解。

区别举例联系等式用等号连接的式子。

3+2=5，x+1=0都是用等号连接的式子方程含有未知数的等式。

X+1=0，x+y=2一元一次方程方程两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的指数是一次的方程。

X+1=0，52y+1=21y 方程方程的解等式一元一次方程的解法去分母去括号移项合并同类项两边同时除以未知数的系数列方程应用题审题设元解方程检验列方程理解题意制定计划执行计划意回顾问题解决的基本步骤一元一次方程解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。

基础应用：一、填空题1．在方程3x2－5＝x 中，它的未知数是______，常数项是______． 2．在x ＝______时x 的7倍与3的差等于5．3．若x ＋2m ＝8与方程4x －1＝3的解相同则m ＝______． 4．关于y 的方程－3（a ＋y ）＝a －2（y －a ）的解为______． 5．方程ax ＝b ，（a ≠0）的解是______．6．方程（m ＋2）2＋｜n －1｜＝0，则3m －5n ＝______． 7．若方程2mx －m ＋2＝0的解是x ＝1，则m ＝______． 8.若单项式5225-n ba 与()121231-n b a 是同类项，则n= 。

一元一次方程讲义

一元一次方程一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。

如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。

注意：等式中一定含有等号。

2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。

a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。

注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。

思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2）从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3）从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4）从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号） ②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数）例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。

找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。

可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。

①直接设未知数：题目求什么就设什么。

②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。

③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。

（4）解：解方程（5）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。

方程应用(复习讲义)(一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式、分式方程、一元二次方程应用)原卷版

题型三--方程应用（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次方（组）程应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型×100％；售价=标价×折扣；销售（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=利润成本额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．1.（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．2．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？3.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．4.（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x a﹣x2020年4月份 1.1a 1.43x 1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．5.（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．6.（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%．求a的值．考点02不等式的应用3、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．1.（2022·四川泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？2．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？3．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？4.（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？5.（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．6.（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的1 3，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．考点03分式方程的应用4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．1.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．2.（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．3.（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？4.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．5.（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的1 3，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？6.（2021·湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折．．销售，学校调整了购买方案：不超过．．．720元，A，B两种奖品共100件．求购买A，．．．预算资金且购买A奖品的资金不少于B两种奖品的数量，有哪几种方案？7.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？8.（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？考点04二次方程的应用5、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．6．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．7．利润等量关系（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％．8．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．1.（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？2.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？3.（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？4.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．5.（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925 a%．求a的值．。

(优质讲义)七年级上册数学一元一次方程应用题专项讲义

一元一次方程解的综合与应用学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容方程解的综合与一元一次方程的实际应用（基础）课型教学目标1.掌握有关方程的解的综合应用；2.掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；3.熟悉数字，年龄，积分，行程等问题的解题思路．重、难点1.根据实际环境，分析题目中各个条件间关系，找等量关系，列方程.2.熟悉数字，年龄，积分，行程等问题的解题思路.知识导图导学一：一元一次方程解的综合知识点讲解 1：含参数的解应用例 1. 方程2﹣3（x+1）=0的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．我爱展示1. 已知：方程x+k=2的解比方程的解大1，求k的值．知识点讲解 2：整数解问题例 1. 已知关于x的方程k（x+1）=k﹣2（x﹣2）中，求当k取什么整数值时，方程的解是整数．我爱展示1. m取什么整数时，关于x的方程4x + m（x﹣6）=2（2﹣3m）的解是正整数．并求出方程的解．知识点讲解 3：错解方程例 1. 数学迷小虎在解方程去分母时，方程右边的﹣1漏乘了3，因而求得方程的解为x=﹣2，请你帮小虎同学求出A的值，并且正确求出原方程的解．【学有所获】1、方程的解，即为使等式两边成立的未知数值；2、解一元一次方程的步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.我爱展示1. 刘彬的练册上有一道方程题，其中一数字被墨水污染了，成了（“■”表示被墨水污染的数字），他翻了书后的答案，才知道这个方程的解为x=﹣1，于是他把被墨水污染的数字求了出来．你能把刘彬的计算过程写出来吗？（提示：设“■”数字为A，求A的值）知识点讲解 4：新定义计算例 1. 定义一种新运算“⊕”：A⊕B=A﹣2B，比如：2⊕（﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．（1）求（﹣3）⊕2的值；（2）若（x﹣3）⊕（x+1）=1，求x的值．我爱展示1. 若A、B、C、D均为有理数，现规定一种新的运算，若已知：．（1）的值为；（2）时，求x的值．导学二：和差倍积问题例 1. 已知y1=6﹣x，y2=2+7x，当x取何值时，y1与y2互为相反数？我爱展示1. x为何值时，代数式（2x﹣1）的值比（x+3）的值的3倍少5．导学三：年龄、数字问题例 1. 今年母女两人的年龄和为60岁，10年前母亲的年龄是女儿的7倍，则今年女儿的年龄为岁．例 2. [单选题] 一个三位数，个位数是A，十位数是B，百位数是C，这个三位数是（）A．A+B+C B．ABC C．100A+10B+C D．100C+10B+A例 3. 把2016个正整数1，2，3，4，…，2016按如图方式排列成如图所示的数的方阵．（1）如图，用一个正方形框，在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，另三个数x的代数式表示，则从小到大依次是，，．（2）当（1）中被框住的4个数之和等于2016时，x的值为多少？（3）在（1）中能否框住这样的4个数，使它们的和等于2015，等于2032．若能，求出x的值；若不能，说明理由．我爱展示1.[单选题] 若x表示一个两位数，y也表示一个两位数，小明想用x，y来组成一个四位数，且把x放在y的右边，你认为下列表达式中正确的是（）A．yx B．x+y C．100x+y D．100y+x2.[单选题] 小明同学在某月的日历上圈出了三个相邻的数A、B、C，并求出了它们的和为42，则这三个数在日历中的排列位置不可能的是（）A．B．D．C．3.先观察，再解答．如图（1）是生活中常见的月历，你对它了解吗？（1）图（2）是另一个月的月历，A表示该月中某一天，B、C、D是该月中其它3天，B、C、D与A有什么关系？B= ；C= ；D= ．（用含A的式子填空）．（2）用一个长方形框圈出月历中的三个数字（如图3﹣2﹣2 （2）中的阴影），如果这三个数字之和等于51，这三个数字各是多少？（3）这样圈出的三个数字的和可能是64吗？为什么？导学四：比赛积分问题例 1. 七年级进行法律知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．（1）小红同学参加了竞赛，成绩是90分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？（2）小明也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问小明有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由．我爱展示1.为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2 分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？2.某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况．（1）参赛者小婷得76分，她答对了几道题？（2）参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？导学五：行程问题知识点讲解 1：一般问题三个基本量间的关系：路程=速度×时间利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。

中考数学一轮复习一元一次方程讲义

中考数学一轮复习一元一次方程精品讲义第三章一元一次方程本章小结小结1 本章内容概览本章的主要内容包括：一元一次方程及其相关的概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题．其课标要求是：了解一元一次方程及其相关的概念和性质，掌握一元一次方程的解法和一般步骤，初步认识方程与现实生活的联系，建立列方程解决实际问题的数学模型，感受方程的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．小结2 本章重点、难点：本章重点是一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题．难点是根据具体问题中的数量关系列一元一次方程．小结3 本章学法点津．学好本章的关键在于正确理解方程及方程的解的概念和等式的两个性质，了解算术和代数的主导思想的区别及找准问题中的等量关系．2．在学习本章时，要深刻理解方程的思想，即未知量可以和已知量一起表示数量关系，找到数量之间的等量关系就可列方程，即建立数学模型．“建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”是本章渗透的主要数学思想．另外，要加强练习，巩固好基础知识和基本技能．因为一元一次方程是最基本的代数方程，学好它对于后续学习(其他的方程以及不等式、函数等)具有重要的作用．知识网络结构图重点题型总结及应用题型一灵活解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把系数化为1．根据方程的特点，可灵活运用五个步骤，以简化运算．例1 解方程：．分析：此题中括号外的系数是分数，小括号外的系数也是分数，这种类型的方程解法比较灵活，可以先去括号，再去分母；也可以先去分母，再去括号．解法1：去中括号，得．去小括号，得．去分母，得2x－ x ＋1=4 x－2．移项，得2 x－ x －4 x＝－2－1．合并同类项，得－3 x＝－3．系数化为1，得x＝1．解法2：方程两边同乘6，得．去中括号，得2x－(x－1)=4(x－ )．去小括号，得2x－ x＋1=4 x－2．移项，得2 x－ x－4 x=－2－1．合并同类项，得－3 x ＝－3．系数化为1，得x＝1．点拨若方程中合有多层括号，则应按照分配律先由内向外(或由外向内)去括号，再去分母，但也有时先去分母，再去括号会更简便，这取决于所给方程的特点，因此解方程时，应灵活地选取方法，尽量使过程简单，而又不产生错误.例2 解方程：．分析：本题按照常规的解方程的步骤，应先去分母，但考虑本题特点，可把拆成，把拆成来解．解：原方程可写成约分，移项，得合并同类项，得－x＝ .系数化为1，得x＝－ .评注本题采用的是“拆项法”，此方法比常规方法简便，但这种方法不是对所有的一元一次方程都适用，需要根据方程的特点灵活应用．题型二方程的解的应用例3 关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的解，则m的值是( )A．10 B．－8 C．－10 D．8解析：解方程2x－4=3m，得x= ．解方程x＋2＝m，得x＝m－2．由两方程解相同，得＝m－2，解得m＝－8．答案：B例4 已知y＝3是6＋ (m－y)＝2y的解，那么关于x的方程2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)的解是多少?分析：把y＝3代入第一个方程，使这个方程转化为关于m的方程，解出m的值，再代入第二个方程，求出x 的值．解：y＝3代入方程6＋ (m－y)＝2y，得6＋ (m－3)＝6．解得m＝3．将m＝3代入2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)，得2×3(x－1)＝(3＋1)(3x－4)．解得x＝ .方法先利用第一个方程求出字母m的值，再把m值代入第二个方程解第二个方程，培养思考问题的综合能力．题型三一元一次方程的应用例5 一通讯员骑摩托车需要在规定时间，把文件送到某地，若每小时走 60千米，就早到12分钟；若每小时走50千米，则要迟到7分钟，求路程．分析：如果设规定时间为x小时，当每小时走60千米时，则路程为60 千米；当每小时走50千米时，则路程为50 千米．这时可用路程相等列出方程．解：设规定时间为x小时，根据题意，得60 =50 ．解得．所以路程为6 =60× ＝95千米．答：路程为95千米．例6 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠”，若全票价为240元，(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?分析：(1)问分别用含x的式子表示y甲、y乙. (2)问是当y甲=y乙时求x.解：(1)因为全票价为240元，所以半票价为120元，这样甲旅行社收费为y甲＝120x＋240．又因为全票价为240元，所以全票价的60％为240× =144(元)，这样乙旅行社收费为y乙＝144x＋144．(2)因为甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y 乙，所以当两家旅行社收费一样时，即有方程120x＋240＝144x＋144．解这个方程，得x＝4．答：当学生数为4时，两家旅行社收费一样．例7 某商场将彩电先按原价提高40％，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少元?分析：假设每台彩电原价是x元，则提高40％后为(1＋40％) x元，八折为(1＋ 40％) x80％元，也就是现售价为(1＋40％) x80％元．解：设每台彩电原价是x元，根据售价与原价之差等于270，列方程得x (1＋40％)80％－x＝270，解得x＝2 250．答：每台彩电原价是2 250元．例8 某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人(不包括司机)．其中一辆小汽车在距离考场15千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有42分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60千米／时，人步行的速度是 5千米／时(上、下车时间忽略不计)．(1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场；(2)假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时间前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．分析：本题是一道开放性的方案设计问题，解答时应注意分各种情况进行讨论．解：(1) ×3= (时)=45(分)．因为45＞42，所以不能在限定时间内到达考场．(2)方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为＝ (时)＝15(分)．时另外4人步行了1．25千米，此时他们与考场的距离为15－1．25＝13．75(千米)．设汽车返回t(时)后与步行的4人相遇，则有5t＋60t=13．75，解得t= ．汽车由相遇点再去考场所需时间也是小时．所以用这一方案送这8人到考场共需15＋2× × 60≈40．4(分)＜42(分)．所以这8个人能在截止进考场的时间前赶到．题型四图表类应用题例9 (1)七年级(1)班43人参加运土劳动，共有30根扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数相配不多不少?若设有人挑土，填写下表：挑土抬土人数／人扁担／根即可知两个等量关系：挑土人数＋抬土人数＝43人，挑土用扁担数＋抬土用扁担数＝30根．根据等量关系，列方程，解得x＝，因此挑土人数为，抬土人数为．你能用其他方法计算这道题吗?(2)如果参加劳动的人数不变，扁担数为20根可以吗?为什么?分析：有x人挑土，则用扁担x根，剩余的(43－x)人抬土，需用扁担数为 (43－x)根，可列方程为x＋(43－x)＝30，解得x＝17，即有挑土人数为17，抬土人数为43－17=26．还可以利用“挑土人数＋抬土人数＝43人”列方程．解：(1)列表如下：挑土抬土人数／人x43－x扁担／根x (43－x)x＋ (43－x)=30；17；17；26．能．设挑土用x根扁担，则抬土用(30－x)根扁担，挑土用x人，抬土用2(30－ x)人．根据题意，得x ＋2(30－ x)＝43．解得x =17．因此，挑土人数为17，抬土人数为2(30－17)＝26． (2)不可以，因为若20根扁担用于挑土，则需20人＜43人；若20根扁担用于抬土，则需40人＜43人，因此，人员有剩余．所以参加劳动的人数不变，扁担数为20根不可以．点拨此题关键是如何利用人数与扁担数的关系列方程．由生活常识可知，挑土 1人用l根扁担，抬土2人用l根扁担．例10 下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨水污染，读了进货单后，请你求出这台电脑的进价．甲商场商品进货单电脑供货单位乙单位品名P4200商品代码DN—63DT商品所属电脑专柜标价5 850元折扣八折利润210元分析：本题应先读懂图表所提供的信息，明确题目的条件和所求，此题等量关系为：售价－进价=利润．解：设这台电脑的进价为x元．根据题意，得5 850×0．8－x＝210．解得x＝4 470．答：这台电脑的进价为4 470元．注意商品打八折后的售价等于标价×0．8．思想方法归纳方程体现了数学建模思想，主要培养同学们的运算能力、观察能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力，体会数学的价值．主要解题思想方法如下：1．转化思想本部分内容在转化思想上的主要体现是利用方程的概念求代数式的值、巧解方程等．例1 已知方程3x2－9x＋m＝0的一个解是1，则m 的值为．分析：根据方程解的定义，把方程的解x＝1代入方程成立，然后解关于m的方程即可．解：把x=1代入原方程，得3×12－9×1＋m＝0，解得m=6．答案：6方法解题依据是方程的定义，解题方法是把方程的解代入原方程，转化为关于待定系数的方程．例2 如果4x2＋3x－5＝kx2－20 x ＋20 k是关于x 的一元一次方程，那么k= ，方程的解是．解析：要判断一个方程是不是一元一次方程，首先应先化为最简形式，原方程化为一般形式得(4－ k) x2＋23 x－5－20 k＝0．由一元一次方程的定义知4－ x＝0，解得k＝4．把k＝4代入方程得23 x－85＝0，解得x ＝．答案： 4；x＝技巧判断一个方程是不是一元一次方程，应先化为最简形式，再根据一元一次方程的定义来判断．2．方程思想本部分内容方程思想的体现主要是列方程解决实际问题．解决问题的关键是分析题意，找出题目中的相等关系，列出一元一次方程，解出方程，得出答案．例3 某中学甲、乙两班学生在开学时共有90人，如果从甲班转入乙班4人，结果甲班的学生人数是乙班的80％，问开学时两班各有学生多少人?解：设开学时甲班有x人，则乙班有(90－x)人，根据题意，得x－4=(90－x ＋4)×80％，5x－20＝360－4x＋16，即x＝44，90－x＝46．答：开学时甲班有44人，乙班有46人．点拨调配问题是：一方增多，另一方要减少，注意变化前后的关系是列方程的关键．例4 如图3－5－1所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2、100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，则甲的容积为( )A．1 280 cm3 B．2 560．3 200 cm3 D．4 000解析：设甲容器的高度为x cm，则乙容器中水的高度为(x－8)cm．根据两容器中水的体积不变可得80x=100(x－8)．解得x＝40．所以甲容器的容积为80×40＝3200(cm3)．故选C．答案：C点拨在等积问题中，物体的形状改变了，但体积不变，根据体积相等列方程求解．中考热点聚焦考点1 一元一次方程的解考点突破：在中考中对一元一次方程的解的考查，一般以填空题的形式出现．已知一元一次方程的解，求未知字母的值．解决此类问题的思路是：将解代入一元一次方程，转化成关于未知字母的方程，从而求解．例1 (2010江苏宿迁中考)已知5是关于x的方程3x－2a＝7的解，则a的值为．解析：因为5是关于x的方程3x－2a＝7的解，所以3× 5－2a＝7．所以a＝4．答案：4例2 (20l0湖南怀化中考)已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是．解析：把x＝m代入3x－2m＝4，得3m－2m＝4，所以m＝4．答案：4考点2 解一元一次方程考点突破：一元一次方程是初中数学方程与方程组的基础，是中考命题的重点，解一元一次方程一般难度不大，只要牢记解一元一次方程的步骤，就能求出正确的解．例3 (2010福建泉州中考)方程2x＋8＝0的解是．解析：由2x＋8＝0，2x＝－8，得x＝－4．答案：x＝－4考点3 一元一次方程的应用考点突破：一元一次方程在生活中应用广泛，一元一次方程的应用在中考中时常出现，解一元一次方程的应用题，要明确已知量与未知量，找出题目中的相等关系，就能列出元一次方程，进而求解．一、选择题（2011山东日照，4，3分）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（）A．54盏B．55盏 C．56盏D．57盏考点：一元一次方程的应用。

一元一次方程复习讲义

第三章一元一次方程复习讲义知识点1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.例1(1)怎样从等式x-5=y-5得到等式x=y?(2)怎样从等式3+x=1得到等式x=-2?(3)怎样从等式4x=12得到等式x=3?例2利用等式的性质解下列方程：(1)x+7=26(2)-5x=203．方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1. 6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、匕是已知数，且aW0).8．一元一次方程解法的一般步骤：化简方程分数基本性质去分母同乘(不漏乘)最简公分母去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号.依据是去括号法则和乘法分配律，注意符号变化移项把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一合并同类项将未知数的系数相加，常数项相加.依据是乘法分配律合并后注意符号系数化为1在方程的两边除以未知数的系数.依据是等式性质二.例1解下列方程[1]用合并同类项的方法解一元一次方程(1)2x-£%=6-8;(2)7x—2.5x+3x-1.5x=-15x4—6x3.[2]用移项的方法解一元一次方程(1)7-2x=3-4x(2)4x+10=6x[3]利用去括号解一元一次方程去括号法则：去掉“+()”，括号内各项的符号不变.去掉“-()”，括号内各项的符号改变.用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a—b—c(1)2x-(x+10)=5x+2(x—1)(2)3x—7(x—1)=3—2(x+3)[4]利用去分母解一元一次方程(总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.)2x+2x+7x+x=33(2)3x+x-1=3-2x-1(1)^要点归纳1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数；2.去分母的依据是等式性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.10．列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法:多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法:…………多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程（组）的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案（包括单位）．［注意］审题是基础，找等量关系是关键.11．解实际应用题：知识点1:市场经，^、打折销售问题（1）商品利润=商品售价一商品成本价（3）商品销售额=商品销售价X 商品销售量（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X 销售量例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?变式1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？例3.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？（2）商品利润率= 商品利润商品成本价X 100%例4.某商场国庆节搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200元但不超过500元的优惠10%，超过500元，其中500元按9折优惠，超过的部分按8折优惠。

初一复习一元一次方程综合提高讲义

复习一元一次方程综合提高相关概念与性质：一元一次方程的定义1．一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，且未知数的系数不等于0的方程叫做一元一次方程。

2．一元一次方程的形式标准形式：0ax b+=〔其中0a≠，a，b是数〕的形式叫一元一次方程的标准形式．最简形式：方程ax b=〔0a≠，a，b为数〕叫一元一次方程的最简形式．【注意】任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．等式的概念用等号“＝〞来表示相等关系的式子，叫做等式．1.在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法如此．2.等式的性质等式的性质1：等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．假如a b=，如此a m b m±=±；等式的性质2：等式两边都乘以〔或除以〕同一个数〔除数不能是0〕或同一个整式，所得结果仍是等式．假如a b=，如此am bm=，a bm m=(0)m≠．【注意】〔1〕在对等式变形过程中，等式两边必须同时进展．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．〔2〕在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b=，那么b a=．②等式具有传递性，即：如果a b=，b c=，那么a c=．一元一次方程的解法1．解一元一次方程的一般步骤〔1〕去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．【注意】不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．〔2〕去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．【注意】不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．〔3〕移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．【注意】①移项要变号；②不要丢项．〔4〕合并同类项：把方程化成ax b =的形式．【注意】字母和其指数不变．〔5〕系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a 〔0a ≠〕，得到方程的解b x a=．【注意】不要把分子、分母搞颠倒． 2、一元一次方程实际应用提升练习题型一：1.如下各式中：①3x +；②2534+=+；③44x x +=+；④12x =；⑤213x x ++=； ⑥44x x -=-；⑦23x =；⑧2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程＿＿＿＿。

一元一次方程单元复习讲义

一元一次方程知识梳理一、主要概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。

3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

二、等式的性质等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

三、解一元一次方程的一般步骤及根据1、去分母-------------------等式的性质22、去括号-------------------分配律3、移项----------------------等式的性质14、合并----------------------分配律5、系数化为1--------------等式的性质26、验根---把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等。

四、解一元一次方程的注意事项1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。

五、列方程解应用题的一般步骤1、审题2、设未数3、找相等关系4、列方程5、解方程6、检验7、写出答案六、一元一次方程ax=b 的解的情况：（1）当a≠0时，ax=b 有唯一的解。

（2）当a=0，b≠0时，ax=b 无解。

（3）当a=0，b=0时，ax=b 有无穷多个解。

课堂练习1、选项中是方程的是（）A.3+2=5 B. a-1>2 C. a 2＋b 2－5 D. a 2+2a-3=5；2、下列各数是方程a 2+a+3=5的解的是（） A.2 B. -2 C.1 D. 1和-2；3、下列方程是一元一次方程的是（） A.x2+1=5 B. 3(m -1)-1=2 ； C. x-y=6 D.都不是 4、下列变形中，正确的是（）5、若=-=+++y x x y 则,0)5(22。

一元一次方程讲义

初一（上）数学第五章一元一次方程一、知识网络二、目标认知重点：一元一次方程的解法，列方程解应用题难点：列方程解应用题三、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果，那么；(c 为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么；如果，那么cb c a = 要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：mb ma bm amb a ÷÷==（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：6.12.045.03=+--x x ，将其化为：6.12401053010=+--x x 方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤常用步骤具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；合并同类项把方程化成ax ＝b(a≠0)的形式合并同类项法则计算要仔细，不要出差错；系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x ＝等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0时，方程有唯一解ab x =； ②a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。

《一元一次方程》讲义

《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程就像是一座基础的桥梁，连接着各种数学知识和实际问题。

那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程，简单来说，就是含有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是 1 的等式。

比如，“3x ＋ 5 ＝14”就是一个典型的一元一次方程，其中“x”是未知数，只有一个，而且“x”的次数是 1。

这个定义虽然听起来简单，但它却有着非常重要的作用。

它能够帮助我们解决很多生活中的实际问题，比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等等。

二、一元一次方程的形式一元一次方程一般可以写成“ax ＋ b ＝0”的形式，其中“a”和“b”是常数，“a”不能为 0 ，“x”是未知数。

当“a ＝1”，“b ＝－5”时，方程就是“x 5 ＝0”；当“a ＝2”，“b ＝3”时，方程就是“2x ＋ 3 ＝0”。

这种形式可以让我们更清楚地看到方程中各项的系数和常数，方便我们进行计算和分析。

三、一元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。

那么，什么是一元一次方程的解呢？一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值。

比如说，对于方程“2x ＋ 3 ＝7”，我们通过计算可以得出“x ＝2”，把“x ＝2”代入方程中，左边等于“2×2 ＋ 3 ＝7”，右边也是 7，方程左右两边相等，所以“x ＝2”就是这个方程的解。

那怎么求解一元一次方程呢？四、求解一元一次方程的步骤求解一元一次方程一般有以下几个步骤：1、去分母如果方程中存在分数，我们可以通过在等式两边同乘各分母的最小公倍数来去掉分母。

比如方程“（x ＋ 1)／2 ＋（x 1)／3 ＝6”，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，所以在等式两边同乘 6，得到“3(x ＋ 1) ＋ 2(x1) ＝36”。

2、去括号运用乘法分配律去掉括号。

对于上面得到的方程“3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝36”，去括号后变为“3x ＋ 3 ＋ 2x 2 ＝36”。

005第三章_一元一次方程_讲义

第三章一元一次方程一、重要知识点:(5个）1.从算式到方程（一元一次方程、等式的性质）2.解一元一次方程（合并同类项与移项）3.解一元一次方程（去括号与去分母）4.实际问题与一元一次方程二、例题讲解题型一：一元一次方程概念的问题1、下列方程中，是一元一次方程的有．（1）2x=x-（1-x ）；（2）2x - 12x+ 32=2x +1；（3）3y= 15x+ 34；（4）x+15-x-17=2；（5）3x- x1=2．2、已知05432=+-n x 是关于x 的一元一次方程，则.____________=n3、关于x 的方程()0521=+--k x k k 是一元一次方程，则k =____________.4、()0232=+++b ax x b a 是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则=x ______________.题型二：一元一次方程解的问题5、若2-是关于x 的方程a x x -=+243的解，则._________1100100=-aa6、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值 .7、关于x 的方程824+=+x ax 无解，则a =________________.8、关于x 的方程()2153161xk x kx +=--有无数个解，则k =_______________.题型三：同类项，单项式的问题6、若79b a x与12437---y x b a 是同类项，则.___________,__________==y x7、12473--n ba 是五次单项式，则n= 。

题型四：相反数的问题8、当m= 时，32-m 与221--m 互为相反数。

9、x 、y 互为相反数，且(x+y+3)(x －y －2)=6，则x= 。

题型五：互为倒数、负倒数的的问题10.3x —2与21互为倒数，则x= 。

11 2341--x 与32与为负倒数，则x= 。

一元一次方程(复习)

1 1
= 3 �� − 2 .
2
1Байду номын сангаас
总结：对于含有多重括号的方程，关键是去括号，去括号时可以由里向外，也可以由外向里. 4、列一元一次方程解应用题的方法与题型：（1）列方程解决实际问题的一般步骤： ①找——找准等量关系，找出能够表示题意的等量关系. ②设——设未知数，弄清题意和找准等量系后，用字母表示题目中的一个未知数. ③列——列出方程，用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量，依据找准的等量关系，列出方程. ④解——解方程.解出所列的方程,求出未知数的值. ⑤答——作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位. （2）列方程解应用题的三种常用分析方法： ①等量分析法：找出题中的等量关系，分析相等关系的左、右两边是否相符. ②图示法：根据题意画出示意图，利用图形来分析数量间的关系，从而列出方程.（以线段示意图为主）
当�� ≠ 0 时，方程的解为�� =
当�� = 0，�� = 0 时，方程�� = ��有无数多个解；当�� = 0，�� ≠ 0 时，方程�� = ��无解. （5）列方程解应用题的一般思路实际问题审题找出等量关系设未知数( 分直接设法和间接设法) 列方程解方程检验解的合理性. （6）一般方法步骤(简单概括为“审、找、设、列、解、验、答”七个字) 即：①审清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数； ②找出能够表示应用题含义的一个相等关系； ③根据这个相等关系设出需要的未知数，从而列出方程； ④解这个方程，求出未知数的值；
③列表法：对于较复杂的应用题，可以将题中的各个量列在表格中进行分析，从而找出等量关系列方程. （3）题型 ①等体积问题例 1 一个圆柱形水桶，底面半径为 11cm，高 25cm，将满桶的水倒入底面长 30cm，宽 20cm 的长方体容器，问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水（取 3.14，结果精确到 0.1cm）? ②打折销售问题例 2 某商场对一家店商品进行调价，按原价的 8 折出售，仍可获利 10%，此商品的原价是 2200 元，问商品的进价是多少? ③行程问题例 3 甲、乙两人相距 40km，甲先出发 1.5h 后乙出发，两人同向而行，甲在后，乙在前，甲的速度是 8km/h，乙的速度是 6km/h，问：甲出发几小时后追上乙？（思考：如果甲乙两人相向而行，几小时后两人相遇？） ④工程量问题例 4 甲、乙两水管往水池中注水，甲管单独打开用 20 小时可注满一池水，乙管单独打开用 40 小时可注满一池水.现在甲管单独打开 8 小时后，乙管才开始工作，问两管一起打开后需多少小时可注满水池？三、课后练习 1、解方程：3 �� + 1 − 2 �� − 1 = 2 �� − 1 − 2 �� + 1 . 2、解关于��的方程：3 �� − �� + 2 �� − 3 = 4(2�� ≠ 3). 3、某商品的进货单价为 280 元，按 25%的利润率确定售价.后因市场发生变化，决定按原定价格的八五折出售，问这时每售出一件这种商品，商店获利多少？ 4、用内径 18 毫米的圆柱形试管盛满水后，向一个底面是边长为 22 毫米的正方形，高是 15 毫米的空长方体容器内倒水，倒满容器后试管内水面下降约多少毫米？ 5、两人在环形跑道上同向急走，一圈为 400 米，甲的速度为平均每分钟 80 米，乙的速度是甲的 1.25 倍，如果乙在甲的前面 100 米，多少分钟后两人相遇？ 6、一个蓄水池，装有甲、乙两个进水管和一个出水管丙，如果单独开放甲管， 45 分钟可注满水池；如果单独开放乙管，90 分钟可注满水池；如果单独开放丙管，60 分钟可把满池水放完，问：三个水管一起开放，多少分钟可以注满水池？

专题一元一次方程(知识大串讲)(原卷版)

专题08 一元一次方程（知识大串讲）【知识点梳理】考点1 一元一次方程1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值考点2 等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；考点3含参一元一次方程1、次数含参：主要考察一元一次方程定义2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数考点4一元一次方程的解使一元一次方程等号左右两边相等的未知数的值。

【典例分析】【考点1 一元一次方程定义】【典例1】（2021秋•雅安期末）下列四个方程中，是一元一次方程的是（）A．x2﹣1＝0B．x﹣1＝0C．x+y＝1D．﹣1＝0【变式1】（2022春•沙坪坝区期末）下列方程是一元一次方程的是（）A．2x2﹣1＝0B．y＝x+1C．＝1D．x﹣2＝1【考点2 等式性质】【典例2】（2022春•龙凤区期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（）A．由a＝b，得＝B．由﹣3x＝﹣3y，得x＝﹣yC．由＝1，得x＝D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b【变式2-1】（2021秋•渭城区期末）根据等式的性质，下列变形错误的是（）A．若a＝b，则2a＝2b B．若2a＝3b，则2a﹣2＝3b﹣2C．若ac＝bc，则a＝b D．若＝，则2a＝2b【变式2-2】（2021秋•庄河市期末）已知等式2a﹣3b＝9，则下列等式不成立的是（）A．2a＝9+3b B．2a﹣4＝9+3b C．D．3b＝2a﹣9【考点3含参一元一次方程】【典例3】（2021秋•禹州市期末）已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a＝（）A．3或1B．1C．3D．0【变式3-1】（2021秋•巩义市期末）若使方程（m+2）x＝1是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．m≠﹣2B．m≠0C．m≠2D．m＞﹣2【变式3-2】（2022春•漳州期末）若关于x的方程2x m﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【典例4】（2022春•漳州期末）若x＝2是方程2x+a﹣5＝0的解，则a的值是（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【变式4-1】（2021秋•许昌期末）已知x＝2是关于x的方程2x﹣a+6＝0的解，则常数a 的值是（）A．8B．10C．﹣8D．﹣10【变式4-2】（2021秋•东莞市期末）若x＝2是方程4x+2m﹣14＝0的解，则m的值为（）A．10B．4C．﹣3D．3【典例5】（2021秋•山西期末）若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣b＝3的解，则4a﹣2b+1的值是（）A．7B．8C．﹣7D．﹣8【变式5】（2022•江津区一模）若x＝3是方程a﹣bx＝4的解，则﹣6b+2a+2021值为（）A．2017B．2027C．2045D．2029【考点4 解一元一次方程】【典例6】（2021秋•潼南区期末）方程5x﹣2（x﹣1）＝8去括号变形正确的是（）A．5x﹣2x+1＝8B．5x﹣2x﹣1＝8C．5x﹣2x+2＝8D．5x﹣2x﹣2＝8【变式6-1】（2021秋•天桥区期末）解方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1）时，去括号正确的是（）A．3﹣x+6＝5x+5B．3﹣x﹣6＝5x+1C．3﹣x+6＝5x﹣5D．3﹣x﹣6＝5x﹣1【典例7】（2022春•沙坪坝区期末）解方程﹣3时，去分母正确的是（）A．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3B．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×5C．5（2x﹣3）＝3×2x﹣3×15D．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×15【变式7-1】（2022春•交城县校级期末）解方程，以下去分母正确的是（）A．3（x+1）﹣2x﹣3＝1B．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1C．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6D．3（x+1）﹣2x+3＝6【变式7-2】（2021秋•铁西区期末）解一元一次方程（x+1）＝﹣x时，去分母正确的是（）A．3（x+1）＝2x B．3（x+1）＝x C．x+1＝2x D．3（x+1）＝﹣2x 【典例8】（2021秋•三原县期末）代数式3x+1与互为相反数，则x的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【变式8-1】（2021秋•福田区校级期末）如果单项式﹣xy b与是同类项，那么关于x的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3【变式8-2】（2021秋•海淀区校级期末）如果3（x﹣2）与2（3﹣x）互为相反数，那么x 的值是（）A．0B．1C．2D．3【典例9】（2021秋•秀英区校级期末）解下列方程：（1）4﹣（x+3）＝2（x﹣1）；（2）．【变式9-1】（2022春•二道区期末）解方程：3（x﹣2）＝x﹣（8﹣3x）．【变式9-2】（2022春•常宁市期末）解方程：．【变式9-3】（2021秋•邹平市校级期末）解方程（1）x﹣＝+1；（2）＝1；。

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