2019秋金版学案高中数学必修2(人教A版)练习：1.1-1.1.2圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征含解析

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【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习：评估验收卷(一)(含答案解析)

评估验收卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等答案：B2．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是( )A ．圆柱B ．三棱柱C ．圆锥D ．球体解析：由三视图的特征，知几何体是圆锥．答案：C3．如图所示的直观图表示的四边形的平面图形A′B′C′D′是( )A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析：AB ∥Oy ，AD ∥Ox ，故A′B′⊥A′D′.又BC ∥AD 且BC≠AD ，所以为直角梯形．答案：B4．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.324πR 3 B.38πR 3 C.524πR 3 D.58πR 3 解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h. 依题意πR ＝2πr ，所以r ＝R2，则h ＝R 2－T 2＝32R.所以圆锥的体积V ＝13πr 2n ＝13π⎝⎛⎭⎫R 22·32R ＝324πR 3.答案：A5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )解析：由正视图和侧视图，几何体应为台体与主体的组合体．根据俯视图知是圆台与圆柱的组合体．答案：D6．若长方体相邻三个面的面积分别为2，3，6，则长方体的体积等于( ) A ． 6 B ．6 C ．6 6D ．36解析：设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则不妨设ab ＝6，ac ＝3，bc ＝ 2. 所以a 2b 2c 2＝2×3×6＝6. 故长方体的体积V ＝abc ＝ 6. 答案：A7．一个几何体的三视图如下图所示，已知这个几何体的体积为103，则h 为( )A ．32B ． 3C ．3 3D ．5 3解析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，其底面是长为6，宽为5的矩形，高为h ，所以V ＝13×6×5×h ＝103，解得h ＝ 3.答案：B8．过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的表面积的比值为( )A.316B.916C.38D.932解析：设球的半径为R ，截面圆的半径为r ，则⎝⎛⎭⎫R 22＋r 2＝R 2，所以r 2＝34R 2. 故S 截面S 球＝πr 24πR 2＝14×34＝316. 答案：A9．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比为( )A ．2∶3∶5B ．2∶3∶4C ．3∶5∶8D ．4∶6∶9解析：设球的半径为r ，则球的体积V 球＝43πr 3.外切等边圆柱的体积V 圆柱＝2πr 3. 外切等边圆锥的半径R ＝3r ，高h ＝3r. 所以外切等边圆锥的体积V 圆锥＝13πR 2h ＝3πr 3.故V 球：V 圆柱：V 圆锥＝4∶6∶9 答案：D10．(2014·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1截掉一个三棱锥D-A 1B 1C 1得到的，其中AC ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，AD ＝2，BC ⊥AC.所以几何体的体积V ＝12AC ·BC ·AA 1－13×12·A 1C 1·B 1C 1·A 1D ＝12×4×3×5－13×12×4×3×3＝30－6＝24.答案：C11．(2015·山东卷)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π解析：如图所示，过点D 作BC 的垂线，垂足为H.则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥．其中圆柱的底面半径R ＝AB ＝1，高h 1＝BC ＝2，其体积V 1＝πR 2h 1＝π×12×2＝2π.圆锥的底面半径r ＝DH ＝1，高h 2＝1. 圆锥的体积V 2＝13πr 2h ＝13×12×1＝π3.故所求几何体的体积为V ＝V 1－V 2＝2π－π3＝5π3.答案：C12．(2015·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5解析：如图所示，在几何体P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ＝AC 由三视图知，PA ＝l ，BC ＝2，且△ABC 的边BC 的高线为2. 所以S △ABC ＝12×2×2＝2，S △PAC ＝S △PAB ＝12×5×1＝52.S △PBC ＝12×2×5＝ 5.故该三棱锥的表面积S 表＝2＋2×52＋5＝2＋2 5.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．圆台的底面半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．解析：作圆台的轴截面如图所示，则r 1＝O 1D ＝1，r 2＝O 2A ＝2，AD ＝3.所以圆台的高h ＝AD 2－AH 2＝32－（2－1）2＝2 2. 因此圆台的体积V ＝π3(r 21＋r 22＋r 1r 2)h ＝14 2 π3. 答案：1423π14．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径为圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为r ，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r ，则有 πr 2·6r ＝8πr 2＋3×43πr 3，即2r ＝8，所以r ＝4. 答案：415．已知一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如下图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．解析：设正三棱柱的侧棱与底面边长为a ，则V 三棱柱＝34a 2·a ＝23，所以a ＝2，因此底面正三角形的高2×sin 60°＝ 3. 故侧视图(矩形)的面积S ＝3×2＝2 3. 答案：2 316．(2015·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由三视图可知，该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成的组合体．根据三视图的数据知，圆柱的底面圆的半径r ＝1 m ，高h ＝2 m ；圆锥的底面圆的半径和高都是1 m.所以V 柱＝πr 2·h ＝2π，V 锥＝2×13π×12×1＝2π3，因此组合体的体积V ＝V 柱＋V 锥＝2π＋2π3＝8π3(m 3)．答案：8π3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图(单位：cm)．(1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据； (2)按照给出的数据，求该几何体的体积．解：(1)该几何体的俯视图如图所示．(2)该几何体的体积V ＝V 长方体－V 三棱柱＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．18.(本小题满分12分)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 也相等，用a 将h 表示出来．解：V 圆锥液＝πh 2·h3，V 圆柱液＝π·(a2)2·h ，由已知得πh 33＝π·(a 2)2h ，所以h ＝32a.19．(本小题满分12分)将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x ，对角线长为2，截面的面积为A.(1)求面积A 以x 为自变量的函数式； (2)求出截得棱柱的体积的最大值．解：(1)横截面如图所示．由题意得A ＝x·4－x 2(0＜x ＜2)． (2)V ＝x·4－x 2＝－（x 2－2）2＋4，由(1)知0＜x ＜2，所以，当x ＝2时，V max ＝2. 即截得棱柱的体积的最大值为2.20．(本小题满分12分)在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S ，则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，所以r ＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.21．(本小题满分12分)如图所示是已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是由正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q A 1D 1P 的组合体．由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．22．(本小题满分12分)已知球心O 到过球面上三点A ，B ，C 的截面的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3cm ，求球的表面积和体积．解：如图所示，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O′，连接OO′，AO ，AO ′，因为AB ＝BC ＝CA ＝3cm ，所以O′为正三角形ABC 的中心，且AO′＝33AB ＝3cm. 设球的半径为R ，则OO′＝12R.由球的截面性质，知△OO′A 为直角三角形，所以AO′＝OA 2－OO′2＝R 2－14R 2＝32R ，所以R ＝2 cm.所以S 球＝4πR 2＝16π cm 2， V 球＝43πR 3＝323π cm 3.。

2019秋金版学案数学·选修2-2(人教A版)练习：模块综合评价(二) Word版含解析

姓名，年级：时间：模块综合评价（二)(时间:120分钟满分:150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）1．（1＋i）16－(1－i)16＝( ）A．－256 B．256iC．0 D．256解析:（1＋i)16－(1－i）16＝［（1＋i)2]8－［(1－i）2］8＝(2i）8－(－2i）8＝0.答案：C2．已知函数f(x）＝ln x－x，则函数f(x）的单调递减区间是（) A．（－∞，1) B．(0，1）C．(－∞,0),（1，＋∞）D．（1，＋∞）解析：f′(x）＝错误!－1＝错误!，x>0.令f′（x）<0，解得x>1。

答案：D3．设f（x）＝10x＋lg x，则f′(1)等于( ）A．10 B．10ln 10＋lg eC.错误!＋ln 10 D．11ln 10解析：f′(x）＝10x ln 10＋错误!,所以f′（1)＝10ln 10＋错误!＝10ln 10＋lg e.答案：B4．若函数f(x)满足f（x）＝e x ln x＋3xf′(1)－1，则f′(1)＝( ）A．－错误!B．－错误!C．－e D．e解析：由已知可得f′(x）＝e x ln x＋错误!＋3f′（1)，令x＝1，则f′（1)＝0＋e＋3f′（1），解得f′(1)＝－错误!.答案：A5．用反证法证明命题:“若a,b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a,b不都能被3整除D．a不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有"．答案:B6．若a＞0，b＞0,且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值,则ab的最大值等于（)A．2 B．3 C．6 D．9解析：因为f′（x）＝12x2－2ax－2b,又因为在x＝1处有极值，所以a＋b＝6,因为a＞0,b＞0，所以ab≤错误!错误!＝9,当且仅当a＝b＝3时取等号，所以ab的最大值等于9。

人教A版高中数学必修第二册全册学案

人教A版高中数学必修第二册全册学案人教A版高中数学必修第二册全册学案一、学案概述本学案是以人教A版高中数学必修第二册全册教材为基础，为学生提供全面的学习指导。

旨在帮助学生更好地掌握教材中的知识点，提高学习效率和学习成绩。

二、知识梳理本学案按照教材章节顺序，对各章节知识点进行了梳理。

对于每个知识点，学案提供了相关例题和解析，以便学生加深对知识点的理解和掌握。

第一章集合与函数1.1 集合及其表示方法 1.2 集合之间的关系 1.3 函数及其表示方法 1.4 函数的性质第二章三角函数2.1 正弦、余弦、正切函数的定义与性质 2.2 三角函数的图像及变换方法 2.3 三角函数的应用第三章数列3.1 数列的概念与分类 3.2 等差数列和等比数列的通项公式 3.3 数列的前n项和公式 3.4 数列的应用第四章平面几何4.1 点、线、面的基本概念和性质 4.2 三角形、四边形的性质和判定方法 4.3 多边形、圆、扇形、弓形的性质和面积计算方法 4.4 几何图形的作图方法第五章概率与统计5.1 概率的基本概念和计算方法 5.2 统计的基本概念和方法 5.3 中心极限定理的应用三、学习建议1、学生应根据个人学习情况，制定合理的学习计划，逐步掌握各章节知识点。

2、对于每个知识点，学生应通过多种方式进行练习，例如课堂练习、课后作业、自主解题等，加深对知识点的理解和掌握。

3、学生应注意知识点的归纳和总结，形成自己的知识体系。

4、学生应积极参加课堂讨论和提问，与老师和同学交流学习心得，提高学习效果。

四、总结归纳本学案对人教A版高中数学必修第二册全册教材进行了全面的知识梳理和学习指导，旨在帮助学生更好地掌握教材中的知识点，提高学习效率和学习成绩。

学生应根据个人学习情况，制定合理的学习计划，通过多种方式进行练习，注意知识点的归纳和总结，积极参加课堂讨论和提问，提高学习效果。

外研版高中英语必修3全册学案版本外研版高中英语必修3全册学案版本外语教学与研究出版社出版的《高中英语必修3》是一本针对高中英语教学的教材，旨在帮助学生掌握英语语言知识，提高英语应用能力。

2019秋金版学案高中数学必修3(人教A版)练习：1.1-1.1.2第2课时条件结构含解析

A 级基础巩固一、选择题1．解决下列问题的算法中，需要条件结构的是( ) A ．求两个数的和B ．求某个正实数的常用对数C ．求半径为r 的圆的面积D ．解关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0解析：解关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0时，需讨论Δ＝ b 2－4ac 的符号，故需要条件结构．答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，0<x ≤5，20，5<x ≤9，56－4x ，9<x <14，在求f (a )(0<a <14)的算法中，需要用到条件结构，其中判断框的形式是()解析：本题给定的分段函数有三个选择，所以要在条件结构内嵌套条件结构，符合这一条件的只有D.答案：D3．某市的出租车收费办法如下：不超过2千米收7元(即起步价7元)，超过2千米的里程每千米收2.6元，另外每车次超过2千米收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填( )A．y＝7＋2.6x B．y＝8＋2.6xC．y＝7＋2.6(x－2) D．y＝8＋2.6(x－2)解析：当x>2时，y＝7＋2.6(x－2)＋1＝8＋2.6(x－2)，所以①处应填y＝8＋2.6(x－2)．答案：D4．阅读下面的程序框图，若输入a，b，c分别是21，32，75，则输出的值是()A．96B．53C．107D．128解析：因为21<32，所以m＝21＋32＝53，即输出的值为53.答案：B5．如图所示的程序框图，其功能是()A ．输入a ，b 的值，按从小到大的顺序输出它们的值B ．输入a ，b 的值，按从大到小的顺序输出它们的值C ．求a ，b 的最大值D ．求a ，b 的最小值解析：取a ＝1，b ＝2知，该程序框图输出b ＝2，因此是求a ，b 的最大值．答案：C 二、填空题6．某程序框图如图所示，若分别输入的x 的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y 的值分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝________．解析：该程序框图的功能是输入自变量x 的值，输出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，1，x ＝1，4x ，x <1的函数值．对应的函数值记为y ＝f (x )，则a ＝f (0)＝40＝1，b ＝f (1)＝1，c ＝f (2)＝22＝4，a ＋b ＋c ＝6.答案：67．下图是求某个函数的函数值的程序框图，则满足该程序框图的函数的解析式为________．解析：当满足x <0时，f (x )＝2x －3；当不满足x <0，即x ≥0时，f (x )＝5－4x ，所以满足该程序框图的函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x <0，5－4x ，x ≥0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x <0，5－4x ，x ≥0.8．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理的程序框图如图所示．则3⊗2＝________．解析：由程序框图知，当a ≤b 时，输出b －1a ；当a >b 时，输出a ＋1b.因为3>2，所以输出3＋12＝2.答案：2 三、解答题9．写出输入一个数x ，求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，e x ，x <0，的函数值的程序框图．解：程序框图如下图所示：10．设计算法判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有实数根，并画出相应的程序框图．解：算法步骤如下：第一步，输入3个系数a，b，c.第二步，计算Δ＝b2－4ac.第三步，判断Δ≥0是否成立．若是，则输出“方程有实数根”；否则，输出“方程无实数根”．结束算法．相应的程序框图如下图：B级能力提升1．如图是某算法的程序框图，当输出的y的值等于2时，输入的x的值为________．解析：由框图可得：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，3－x －1，x ≤0.当y ＝2时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧3－x－1＝2，x ≤0.解得x ＝4或x ＝－1. 答案：4或－12．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，2－x ，x ＜2，如图所示是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写__________；②处应填写________．解析：因为满足判断框中的条件执行y ＝2－x ，所以①处应填x ＜2？.不满足x ＜2即x ≥2时，y ＝log 2x ，故②处应填y ＝log 2x . 答案：x ＜2？ y ＝log 2x3．儿童乘坐火车时，若身高h不超过1.2 m，则无须购票；若身高h超过1.2 m，但不超过1.5 m，则可买半票；身高h超过1.5 m应买全票．请设计一个算法，输入儿童的身高，输出购票情况，并画出程序框图．解：算法如下：第一步，输入h.第二步，判断h≤1.2是否成立，若成立，则输出“免费”；若不成立，则执行第三步．第三步，判断h≤1.5是否成立，若成立，则输出“半票”，若不成立，则输出“全票”．程序框图：。

2019秋金版学案高中数学必修2(人教A版)练习：模块综合评价含解析

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l1：2x＋my＝2，l2：m2x＋2y＝1，且l1⊥l2，则m的值为() A．0B．－1C．0或1 D．0或－1解析：因为l1⊥l2，所以2m2＋2m＝0，解得m＝0或m＝－1.答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()A.2π B．22πC．2π D．4π解析：设底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，r＝h＝22l，则12(2r)2＝1，r＝1，l＝ 2.所以圆锥的侧面积为πrl＝2π.答案：A3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：当三棱锥D-ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC.取AC的中点O，则∠DBO即为直线BD和平面ABC所成的角．易知△DOB是等腰直角三角形，故∠DBO＝45°.答案：C4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x解析：由题意知，圆心(1，0)到点P的距离为2，所以点P在以(1，0)为圆心、2为半径的圆上．所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.答案：B5．下列命题中，正确的是()A．任意三点确定一个平面B．三条平行直线最多确定一个平面C．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行解析：由线面垂直的性质，易知C正确．答案：C6．已知M(3，23)，N(－1，23)，F(1，0)，则点M到直线NF的距离为()A. 5 B．2 2C．2 3 D．3 3解析：易知NF的斜率k＝－3，故NF的方程为y＝－3(x－1)，即3x＋y－3＝0.所以M到NF的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3.答案：C7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：C8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，且与直线x －2y ＋5＝0相切，则圆C 的面积的最小值为( )A.45π B ．3－5π C.3－52πD ．(6－25)π解析：由题可知，(0，0)到直线x －2y ＋5＝0的距离为|5|12＋22＝ 5.又因为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，圆C 的直径的最小值为5－1，圆C 的面积的最小值为π（5－1）24＝3－52π.答案：C9．已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是( ) A ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β B ．若m ∥n ，α∩β＝m ，则n ∥α，n ∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β 解：由m ⊥α，m ∥n ，得n ⊥α. 又n ⊂β，所以α⊥β，故A 正确．在B 项中，m ∥n ，α∩β＝m ，则n ⊂α，n ∥β或n ∥α，n ⊂β或n ∥α，n ∥β. 所以选项B 不正确．由线面垂直，面面垂直的判定，C 、D 正确．答案：B10．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 到平面AB 1C 的距离是( )A.32B. 3C.33D ．4解析：由正方体的性质，易知AC ＝B 1C ＝AB 1＝2，所以S △AB 1C ＝34×(2)2＝32. 又S △ABC ＝12×12＝12.知V 三棱柱B 1-ABC ＝13×12×1＝16.设点B 到平面AB 1C 的距离为h ，从而V 三棱锥B-AB 1C ＝13·h ×32＝16，所以h ＝13＝33.答案：C11．已知直线(1＋k )x ＋y －k －2＝0恒过点P ，则点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是( )A ．(3，－2)B ．(2，－3)C ．(1，3)D ．(3，－1)解析：由(1＋k )x ＋y －k －2＝0得k (x －1)＋(x ＋y －2)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故点P 的坐标为(1，1)．设点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是(a ，b )，则⎩⎨⎧a ＋12－b ＋12－2＝0，b －1a －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，所以点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是(3，－1)．答案：D12．如图，多面体ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，则下面结论正确的是()A ．A 1B ∥B 1CB ．平面CB 1D 1⊥平面A 1B 1C 1D 1 C ．平面CB 1D 1∥平面A 1BDD ．异面直线AD 与CB 1所成的角为30°解析：若A 1B ∥B 1C ，因为A 1B ∥CD 1，所以B 1C ∥CD 1，矛盾，故A 错误．因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以平面BB 1D 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1，则平面CB 1D 1⊥平面A 1B 1C 1D 1也是错的，故B 错误．因为A 1B ∥CD 1，A 1D ∥CB 1，所以平面CB 1D 1∥平面A 1BD ，故C 正确．因为ABCDA 1B 1C 1D 1为正方体．所以∠BCB 1＝45°，又AD ∥BC ，所以AD 与CB 1所成的角为45°，故D 错误．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：114．已知直线l 1的方程为y 1＝－2x ＋3，l 2的方程为y 2＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线l ：y ＝kx 与曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2有两个不同交点，则k 的取值范围是________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3416．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S -ABC 的体积为V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33，即r 33＝9.所以r ＝3.所以S 球表＝4πr 2＝36π. 答案：36π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)． (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x .当l 3不过原点时，设l 3的方程为x a ＋y2a ＝1.又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2a ＋12a ＝1，得a ＝52，l 3的方程为2x ＋y －5＝0.综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0.18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，又PA ⊥平面ABCD ，所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32.19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫0，－23.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，所以|MN |的最小值为5－1＝4.(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，所以直线l 的方程为y ＝43x －23. 即4x －3y －2＝0. 因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则|4a －2|42＋32 ＞|a |.又a ＜0，所以2－4a ＞－5a ，解得a ＞－2. 所以a 的取值范围是(－2，0)．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D是线段AB上的动点．(1)当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD；(2)线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，则点E是BC1的中点，又点D是AB的中点，由中位线定理得DE∥AC1，因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.(2)解：当CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1.证明：因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD.又CD⊥AB，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1，因为CD⊂平面CDB1，所以平面ABB1A1⊥平面CDB1，故点D满足CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1.因为AB＝5，AC＝3，BC＝4，所以AC2＋BC2＝AB2，故△ABC是以角C为直角的三角形，又CD⊥AB，所以AD＝9 5.21．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若直线l过点(－2，0)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2，易求得直线l与圆C的交点为A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则圆心C到直线l的距离d＝|－k－2＋2k|k2＋1＝（2）2－12＝1，解得k＝3 4，所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. (2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM，所以△PMC为直角三角形．所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.设点P为(x，y)，由(1)知点C为(－1，2)，|MC|＝2，因为|PM|＝|PO|，所以（x＋1）2＋（y－2）2－2＝x2＋y2，化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|的最小值为35 10.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．(1)解：由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，故cos∠DAP＝ADAP＝55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)证明：如图，由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)解：过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，所以PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，所以BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25；在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.。

2019秋金版学案高中数学必修1(人教A版)练习：1.1-1.1.3第2课时补集及集合运算的综合应用含解析

A级基础巩固一、选择题1．(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|0<x≤1}B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}解析：全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁R B＝{x|x<1}．因为集合A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．答案：B2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝()A．{3} B．{0，1，2，4，7，8}C．{1，2} D．{1，2，3}解析：由Venn图可知U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，5，6}，所以(∁U B)∩A＝{1，2}．答案：C3．(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B ＝()A．{－1，0，1} B．{0，1} C．{－1，1}D．{0，1，2}答案：A4．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}解析：因为S＝{x|x＞－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．答案：C5．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，那么集合{2，7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：因为A∪B＝{1，3，4，5，6}，故∁U(A∪B)＝{2，7}．答案：D二、填空题6．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∩B)＝________．解析：因为A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，所以A∩B＝{3}，故∁U(A∩B)＝{1，2，4，5}．答案：{1，2，4，5}7．设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)＝________．解析：U＝{x∈N*|x<6}＝{1，2，3，4，5}，A∪B＝{1，3，5}，所以∁U(A∪B)＝{2，4}．答案：{2，4}8．设U＝R，已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x|x＞1}，所以∁U A＝{x|x≤1}．由B＝{x|x＞a}，(∁U A)∪B＝R可知，a≤1.答案：a≤1三、解答题9．设全集U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，已知A ＝{b ，2}，∁U A ＝{5}，求实数a ，b 的值．解：因为∁U A ＝{5}，所以5∈U 且5∉A .又b ∈A ，所以b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3.经检验都符合题意． 10．设全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，求∁R B ，∁R(A ∪B )及(∁R A )∩B .解：把集合A ，B 在数轴上表示如下：由图知∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥10}，A ∪B ＝{x |2<x <10}，所以∁R(A ∪B )＝{x |x ≤2，或x ≥10}．因为∁R A ＝{x |x <3，或x ≥7}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3，或7≤x <10}．B 级能力提升1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <3，或x ≥7}，B ＝{x |x <a }．若(∁U A )∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |a >3}B ．{a |a ≥3}C ．{a |a ≥7}D ．{a |a >7}解析：因为A ＝{x |x <3，或x ≥7}，所以∁U A ＝{x |3≤x <7}．又(∁U A )∩B ≠∅，所以a >3.答案：A2．已知集合A ＝{0，2，4，6}，∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∁U B ＝{－1，0，2}，则集合B＝______________．解析：因为∁U A＝{－1，1，－3，3}，A＝{0，2，4，6}，所以U＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}，又∁U B＝{－1，0，2}，所以B＝{1，4，6，－3，3}．答案：{1，4，6，－3，3}3．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)＝{3，5}，(∁U M)∩N＝{7，19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2，17}，求M，N.解：方法一U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，如图，所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．方法二因为M∩(∁U N)＝{3，5}，所以3∈M，5∈M且3∉N，5∉N.又因为(∁U M)∩N＝{7，19}，所以7∈N，19∈N且7∉M，19∉M.又因为(∁U M)∩(∁U N)＝{2，17}，所以∁U(M∪N)＝{2，17}，所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．。

【创新设计】高中数学(人教版必修二)配套练习：1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(含答案解析)

第一章空间几何体§1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．2．一般地，有一个面是多边形，其余各面都是________________________________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫________．4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫做圆锥．5．(1)用一个________________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．(2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．6．以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．一、选择题1．棱台不具备的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台3．下列说法正确的是()A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线4．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下二、填空题7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________．三、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．能力提升12．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形的是()13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维图形化归为二维图形求解．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解．第一章空间几何体§1．1空间几何体的结构1．1．1柱、锥、台、球的结构特征答案知识梳理1．互相平行2．有一个公共顶点的三角形3．圆柱4．直角边5．(1)平行于棱锥底面(2)平行6．直径作业设计1．C[用棱台的定义去判断．]2．C[A、B的反例图形如图所示，D显然不正确．]3．C[圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．]4．D[两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确，C不符合棱台的定义，所以应选D．] 5．C6．B7．48．圆锥9．①②10．解截面BCFE 右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面． EF ，B′C′，BC 是侧棱，截面BCFE 左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′．其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面． A′D′，EF ，BC ，AD 为侧棱． 11．解圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°．∴SO ＝AO ＝3x cm ，OO 1＝2x cm ．∴12(6x ＋2x)·2x ＝392，解得x ＝7，∴圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝2OO 1＝14 2 cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm ．12．C13．解把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB ＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π， ∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2．。

【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习：章末复习课2(含答案解析)

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不要随意推广平面几何中的结论平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．2．弄清楚空间点、线、面的位置关系解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．3．不要忽略异面直线所成的角的范围求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是(0°，90°]．两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．4．透彻理解直线与平面的关系直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与不在平面内(包括直线与平面平行和相交)；另一种分法是直线与平面平行(无公共点)和直线与平面不平行(直线在平面内和直线与平面相交)．5．使用判定定理时不要忽略条件应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点．专题一共点、共线、共面问题(1)证明共面问题．证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．(2)证明三点共线问题．证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．(3)证明三线共点问题．证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．[例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上．证明：(1)因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．(2)因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH.所以EG与FH必相交，设交点为M.而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC上．归纳升华证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做到合理、恰当地转化．[变式训练]三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．证明：如图所示，因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ.因为直线a和b不平行，所以a，b必相交．设α∩b＝P，则P∈a，P∈b.因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α.又α∩β＝c，所以P∈c.所以a，b，c三条直线必相交于同一点．专题二空间中的位置关系(1)空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面．(2)空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．(3)两个平面的位置关系：平行、相交．[例2](2014·辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．答案：B归纳升华若要否定一个结论，则只要举出一个反例即可；若要肯定一个结论，则需要进行严密的逻辑推理．[变式训练](2014·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面() A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：A中，由m⊥n，n∥α，可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α，可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误.答案：C专题三平行问题和垂直问题线线、线面、面面的平行与垂直是本章的重点，它包含了相关平行与垂直的证明，利用平行与垂直解决线、面等问题．其判定与性质之间并非孤立的，而是存在线线、线面、面面间平行与垂直关系的相互转化．在高考中，常以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重．[例3]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)，知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.归纳升华1．平行关系的转化．面面平行的性质是线线平行的判定要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思想和方向．2．垂直关系的转化．面面垂直的性质是线线垂直的判定在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．当有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．[变式训练](2015·江苏卷)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC ＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1.又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.专题四空间角的求解空间角一般指两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．[例4]如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．解：(1)因为A′C′∥AC，所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC.因为OC⊥OB，AB⊥平面BC′，所以OC⊥AB且AB∩BO＝B.所以OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，sin∠OAC＝OCAC＝12，所以∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)如图所示，作OE⊥BC于点E，连接AE，因为平面BC′⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角．在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，所以tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)因为OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，所以OC ⊥平面AOB. 又因为OC ⊂平面AOC ，所以平面AOB ⊥平面AOC. 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.归纳升华求空间角的问题，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求空间角的解题步骤：①找出这个角；②说明该角符合题意；③构造出含这个角的三角形，解三角形，求出角．[变式训练] 如图所示，平面角为锐角的二面角αEFβ，A ∈EF ，AG ⊂α，∠GAE ＝45°，若AG 与β所成角为30°，求二面角αEFβ的大小．解：作GH ⊥β于H ，作HB ⊥EF 于B ，连接GB.则GB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角．又∠GAH 是AG 与β所成的角，设AG ＝a ，则，GB ＝22a ，GH ＝12a ， sin ∠GBH ＝GH GB ＝22.所以∠GBH ＝45°，即二面角αEFβ的大小为45°.专题五转化与化归思想在立体几何中的应用立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想．(1)线线、线面、面面的位置关系，通过转化，使它们建立联系，如面面平行线面平行线线平就是通过这种联系和转化得到解决的．(2)通过平移，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题．(3)通过添加辅助线，将立体问题转化为平面问题．[例5]如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O 上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F.求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.证明：(1)因为AB是圆O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因为PA垂直于圆O所在的平面，即PA⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)由(1)，知AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.又因为AF⊥PB，且AF∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF.又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.归纳升华证明垂直关系时，注意面面垂直、线面垂直与线线垂直的相互转化．一般地，面面垂直问题可转化为线面垂直问题，线面垂直问题可转化为线线垂直问题．[变式训练]在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD ＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD.证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接EO.因为底面ABCD是正方形，所以O是AC的中点，所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO.又因为EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.(2)因为PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，所以PD⊥DC.因为PD＝DC，所以△PDC是等腰直角三角形．又因为DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC.因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形，所以DC⊥BC，所以BC⊥平面PDC.又因为DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.所以DE⊥平面PBC.又因为PB⊂平面PBC，所以DE⊥PB.又因为EF⊥PB，且DE∩EF＝E，所以PB⊥平面EFD.。

2019秋金版学案高中数学必修2(人教A版)练习：1.3-1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积含解析

A 级基础巩固一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．πB ．2πC ．4πD ．8π解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r＝4πr 2＝4π，所以r ＝1.所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.答案：B2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32cm 解析：S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，所以r 2＝4，所以r ＝2. 答案：B3.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1-ACD 的体积是( )A.16B.13C.12D ．1解析：三棱锥D 1-ACD 的体积V ＝13S △ACD ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝16.答案：A4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：由l ＝14×2πr ＝8得圆锥底面的半径r ＝16π≈163，所以米堆的体积V ＝14×13πr 2h ＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)．答案：B5．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由三视图可知此几何体是底面为梯形的直四棱柱，S 底面＝12×(1＋2)×2＝3(cm 2)，h ＝2 cm ，所以V 柱＝S 底面h ＝6 cm 3. 答案：C 二、填空题6．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，所以r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π.答案：33π 7.如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．解析：由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S ＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.答案：96＋6π8．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm ，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案：118.8 三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R ，高为h ，当圆柱的底面周长为2π时，h ＝4π，由2πR ＝2π，得R ＝1，所以V 圆柱＝πR 2h ＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h ＝2π，由2πR ＝4π，得R ＝2，所以V 圆柱＝πR 2h ＝4π·2π＝8π2. 所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA ′＝2 cm ，底面高B ′D ′＝2 3 cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83) cm 2，体积为8 3 cm 3.B 级能力提升1．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.答案：72．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将四棱柱还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD-A ′B ′C ′D ′.故该四棱柱的体积V ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32.答案：323．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．。

2019秋金版学案数学必修2(人教A版)练习：第二章评估验收(二) Word版含解析

姓名，年级：时间：评估验收(二）(时间:120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条直线（)A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析:如图所示，a∥b∥c，则l与a相交，l与b，c异面．答案:C2.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝22，则异面直线BD与AC所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析:如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE 即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝错误!,则∠BDE＝60°.答案：C3．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则( ）A．b⊥αB．b⊂αC．b∥αD．b∥α或b⊂α解析：当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时,a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时,a⊥α，则a∥b。

所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或b⊂α.答案：D4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D解析：因为A1B1∥DC,A1B1＝DC，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C，因为A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1D∥平面AB1C。

答案：D5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α,l⊥β,则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析:若l∥α，l∥β,则平面α与β可能相交,可能平行，故A错误;若l⊥α,l⊥β，则根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得B正确;若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能l⊂β，故D错误．答案：B6．在正四面体P。

2019秋金版学案数学·选修2-2(人教A版)练习：模块综合评价(一) Word版含解析

姓名，年级：时间：模块综合评价（一)（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设复数z满足z＝错误!,则｜z|＝（）A．3 B.错误!C．9 D．10解析：z＝错误!＝错误!＝错误!＝2－错误!i，|2－错误!i｜＝错误!＝3.答案：A2．当函数y＝x·e x取极小值时，x＝( )A．2 B．－2C．1 D．－1解析：由函数求导有:y′＝e x＋x e x＝e x（x＋1），当x<－1时，y′〈0，函数y＝x e x单调递减;当x>－1时，y′>0，函数y＝x e x单调递增；则x＝－1时，函数y＝x e x取得极小值．答案:D3．用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有"．答案：A4．给出下列三个类比推理的结论：①类比a x·a y＝a x＋y,则有a x÷a y＝a x－y；②类比log a（xy)＝log a x＋log a y，则有sin(α＋β)＝sin α＋sin β；③类比(a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，则有（错误!＋错误!)2＝错误!2＋2错误!错误!＋2.错误!其中，结论正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析:只有①③的结论是正确的．答案：B5．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时,该命题成立解析：由题意可知，命题对n＝4不成立（否则对n＝5成立）．故选C。

2019秋金版学案数学·选修2-2(人教A版)练习：第一章1.1-1.1.3导数的几何意义含解析

2019秋金版学案数学·选修2-2（人教A版）练习：第一章1.1-1.1.3导数的几何意义含解析
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第一章导数及其应用
1.1变化率与导数
1.1.3导数的几何意义
A级基础巩固
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)与f′(5)分别为()
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解：(1)因为y′＝
＝
＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x ＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x ＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2x0＋1)＝－1，所以x0＝－，
所以直线l2的方程为y＝－ x－ .
(2)解方程组得
又直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1，0)，，
所以所求三角形面积S＝ × × ＝ .
解析：可设点P的横坐标为x0，则
＝＝
＝Δx＋2x0＋2，＝2x0＋2.所以曲线C在点P处的切线的斜率为2x0＋2.由题意，得0≤2x0＋2≤1，所以－1≤x0≤－，所以点P的横坐标的取值范围为 .
答案：
3．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
解析：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.

2019秋金版学案高中数学必修2(人教A版)练习：第三章评估验收(三)含解析

评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：由3x ＋y ＋1＝0，知直线的斜率为－3，所以tan α＝－3，则倾斜角α＝120°. 答案：D2．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则定点坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(3，1)D ．(3，－1)解析：直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，由直线系方程知，此直线系过两直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4＝0，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即定点为(3，－1)．答案：D3．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 6 C ．2D. 2解析：由k AB ＝1，得b －a ＝1，所以|AB |＝（5－4）2＋（b －a ）2＝1＋1＝ 2. 答案：D4．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( )A.23 B ．－1 C ．2D ．－1或2解析：由a ×1＋2×(a －1)＝0，得a ＝23.答案：A5．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x ＋3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：因为直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，故可设l 的方程为3x ＋2y ＋b ＝0，又因为直线l 过点(－1，2)，所以－3＋4＋b ＝0，即b ＝－1. 故所求直线l 的方程为3x ＋2y －1＝0. 答案：A6．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：易知k PA ＝－4，k PB ＝34，画图观察可知k ≥34或k ≤－4.答案：A7．已知直线x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且两者之间的距离是5，则m ＋n 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由题意知所给两条直线平行，所以n ＝－2. 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋（－2）2＝|m ＋3|5＝ 5. 解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝0. 答案：B8．已知定点P (－2，0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：把直线l 的方程化为x ＋y －2＋λ(3x ＋2y －5)＝0，则直线l 过直线x ＋y －2＝0与3x ＋2y －5＝0的交点．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，解得Q (1，1)，所以点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝（1＋2）2＋12＝10. 故点P 到直线l 的距离的最大值为10. 答案：B9．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0，1)关于直线x ＝3的对称点(6，1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：D10．直线l 1与直线l 2：2x －3y －10＝0的交点在x 轴上，且l 1⊥l 2，则直线l 1在y 轴上的截距是( )A ．5B ．－5 C.152D ．－152解析：依题意得直线l 2：2x －3y －10＝0与x 轴的交点为(5，0)，斜率kl 2＝23.因为l 1⊥l 2，所以直线l 1的斜率kl 1＝－32.于是直线l 1的方程为y ＝－32(x －5)，即3x ＋2y －15＝0.令x ＝0，得y ＝152，即直线l 1在y 轴上的截距是152.答案：C11．若在直线y ＝－2上有一点P ，它到点A (－3，1)和B (5，－1)的距离之和最小，则该最小值为( )A ．2 5B ．4 5C ．5 2D ．10 2解析：如图所示，点B (5，－1)关于直线y ＝－2的对称点为B ′(5，－3)，设AB ′交y ＝－2于点P ，因为|PB |＝|PB ′|，所以|PA |＋|PB |＝|PA |＋|PB ′|.所求最小值即为|AB′|，|AB′|＝（5＋3）2＋（－3－1）2＝4 5.答案：B12．如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．210 B．6C．3 3 D．2 5解析：易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A′(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A′(－2，0)两点间的距离．于是|A1A′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．解析：设P(x，1)，则Q(2－x，－3)，将点Q的坐标代入x－y－7＝0，得2－x＋3－7＝0.所以x＝－2，所以P(－2，1)，所以k l ＝－23.答案：－2314．由点P (2，3)发出的光线射到直线x ＋y ＝－1上，反射后过点Q (1，1)，则反射光线所在直线的一般式方程为________________．解析：设点P 关于直线x ＋y ＝－1的对称点为P ′(x 0，y 0)，则P ′(x 0，y 0)满足条件⎩⎨⎧x 0＋22＋y 0＋32＝－1，y 0－3x 0－2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－3，所以点P ′的坐标为(－4，－3)．所以由直线的点斜式方程可求得反射光线所在直线方程为y －1＝－3－1－4－1·(x－1)，即4x －5y ＋1＝0. 答案：4x －5y ＋1＝015．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：设P (m ，n )，原点为O ，则|OP |2＝m 2＋n 2，显然|OP |的最小值即为点O 到直线ax ＋by ＋2c ＝0的距离d ，且d ＝|2c |a 2＋b 2＝2c a 2＋b2＝2cc ＝2.所以m 2＋n 2的最小值为4. 答案：416．已知平面上一点M (5，0)，若在某一直线上存在点P 使得|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝1；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：看所给直线上的点到定点M 的距离能否取4，可通过各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析；①d ＝5＋12＝32＞4，故直线上不存在到点M 的距离等于4的点P ，该直线不是“切割型直线”；②d ＝1＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到M 的距离等于4，该直线是“切割型直线”；③d ＝205＝4，所以直线上存在一个点P ，到点M 的距离等于4，该直线是“切割型直线”；④d ＝115＝1155＞4，故直线上不存在到点M 的距离等于4的点P ，该直线不是“切割型直线”．答案：②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1满足下列条件？(1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1.解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1.所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，解得m ＝－1或m ＝1(舍去)．直线方程为2x －2y －5＝0，符合题意，所以m ＝－1. (2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12或m ＝2，当m ＝－12或m ＝2时都符合题意，所以m ＝－12或m ＝2.18．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 过定点；(2)当－3＜x ＜3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．证明：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2，1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)．若当－3＜x ＜3时，直线上的点都在x 轴上方，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）≥0，f （3）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0.解得－15≤k ≤1.故实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1.19．(本小题满分12分)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1，3)和点B (5，2)的距离相等，求直线l 的方程．解：法一由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －10＝0，x ＋y －2＝0，得交点为(3，－1)．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)．即kx －y －3k －1＝0.则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1，解得k ＝－14. 所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0.又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意，故所求的直线l 的方程为x ＋4y ＋1＝0或x ＝3.法二同法一求得两直线的交点为(3，－1)．由直线l 与A ，B 的距离相等，可知l ∥AB 或l 过AB 的中点，所以由l ∥AB ，得l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0.由l 过AB 的中点，得l 的方程为x ＝3. 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求．法三设直线l 的方程为3x －y －10＋λ(x ＋y －2)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－1)y －10－2λ＝0，由题意，得|（3＋λ）＋3（λ－1）－10－2λ|（3＋λ）2＋（λ－1）2＝ |5（3＋λ）＋2（λ－1）－10－2λ|（3＋λ）2＋（λ－1）2. 解得λ＝－133或λ＝1. 故所求的直线l 的方程为x ＋4y ＋1＝0或x ＝3.20．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以点A 的坐标为(－1，0)．因为直线y ＝0为∠A 的平分线，故k AC ＝－k AB ＝－2－01＋1＝－1.于是，直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.因为BC 边上的高所在直线的斜率为12，所以k BC ＝－2.于是BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6.所以点C 的坐标为(5，－6)．21．(本小题满分12分)直线l 经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点．(1)若直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，求直线l 的方程； (2)点A (3，1)到直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，所以两直线的交点M (－2，2)．(1)设直线l 的方程为3x ＋y ＋c ＝0(c ≠－1)，把点(－2，2)代入方程，得c ＝4，所以直线l 的方程为3x ＋y ＋4＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－2，此时点A (3，1)到直线l 的距离为5，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋2＝0，则点A (3，1)到直线l 的距离d ＝|3k －1＋2k ＋2|k 2＋1＝|5k ＋1|k 2＋1＝5，所以k ＝125，则直线l 的方程为12x －5y ＋34＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或12x －5y ＋34＝0.22．(本小题满分12分)已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点O (0，0)，M (0，3)，试在l 上找一点P ，使得||PO |－|PM ||的值最大，并求出这个最大值．解：如图，设点O (0，0)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点O ′(x ，y )，则y x ·2＝－1，且2·x 2－y 2＋1＝0，由此得O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，25，则直线MO ′的方程为y －3＝134x ，由⎩⎨⎧y －3＝134x ，2x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝－115，即P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－115， ||PO |－|PM ||≤|MO ′|＝1855，即||PO |－|PM ||的最大值为1855.。

(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册全册学案

（2019新教材）人教A 版高中数学必修第二册全册学案6．1 平面向量的概念问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．(2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( )(5)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M答案：D已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定答案：C如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED →相等的向量有________．答案：AB →，DC →向量的相关概念给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．1．下列说法中正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A ，B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量与任一向量平行D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C.向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA →，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC →，如图所示．用有向线段表示向量的步骤已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．(1)作出向量AB →，BC →，CD →，DA →；(2)问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？解：(1)由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示．(2)依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°，所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.2．[变问法]本例条件不变，与AD →共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．1．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( ) A ．向量AC →与向量AB →一定同向B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B.根据共线向量的定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B.2．如图，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：(1)写出与BC →相等的向量； (2)写出与BC →共线的向量．解：(1)因为四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，所以BC ∥AD ∥DE ，BC ＝AD ＝DE ，所以BC →＝AD →＝DE →.故与BC →相等的向量为AD →，DE →.(2)与BC →共线的向量共有7个，分别是AD →，DE →，DA →，ED →，AE →，EA →，CB →.1.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.图中与AE →平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个． 2．下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量．解：画出图形，如图所示． (1)易知BC ∥AD ，BC ＝AD ，所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB →长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →. (3)与DA →共线的向量为AD →，BC →，CB →.[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D.AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →的方向不同，故AD →≠FC →，故选D.4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B.①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案：27．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 的长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：5328．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线，所以AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，所以m ＝0. 答案：09.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图． (1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量； (2)求证：BE →＝FD →.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB →，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →.(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以ED 綊BF ，所以四边形BFDE 是平行四边形，所以BE 綊FD ，所以BE →＝FD →.10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形．解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB →∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是 ( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：选D.由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E . 因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|. 因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →|＝32.答案：3214．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示．(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝5 5.[C 拓展探究]15．如图，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA →i (i ＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A i O →(i ＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A 1，A 2，…，A 8中四点为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．6．2.1 向量的加法运算考点学习目标核心素养问题导学预习教材P7－P10的内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？1．向量加法的定义及运算法则对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×已知非零向量a ，b ，c ，则向量(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(b ＋a )，c ＋(a ＋b )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案：D如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＋BA →＝( )A ．aB ．bC ．0D ．a ＋b答案：B在正方形ABCD 中，|AB →|＝1，则|AB →＋AD →|＝________．答案：2平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【解】法一：可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB →＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ； (3)再作向量OD →＝c ； (4)作平行四边形CODE ，则OE →＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .OE →即为所求．(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．如图，已知向量a ，b ，求作向量a ＋b .解：(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)． (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)． (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．平面向量的加法运算化简： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【解】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC → ＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB → ＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量加法运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．1．下列等式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ； ②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．①D ．③解析：选B.由向量的加法运算律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确．2.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解：(1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →. (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0.向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】如图，设此人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →.由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)，其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.1．化简OP →＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP →B.OQ →C.SP →D.SQ →解析：选B.OP →＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →.2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由AC →＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______．解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13. 答案：134.已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点)，求作：(1)AO →＋AC →； (2)DE →＋BA →.解：(1)延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →为所求．(2)在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →为所求．[A 基础达标]1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( ) A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →解析：选A.因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A.2．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO →解析：选B.OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →. 3．若向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向北航行 3 km ”，则向量a ＋b 表示( )A ．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km 解析：选B.如图，易知tan α＝13，所以α＝30°.故a ＋b 的方向是北偏东30°.又|a ＋b |＝2 km ，故选B.4.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．23解析：选B.由正六边形知FE →＝BC →，所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.故选B.5．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向 B ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与b 同向 C ．若a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向 D ．若a 与b 同向，则a ＋b 与b 同向解析：选B.a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向，所以B 错；a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向，也与b 同向．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 答案：AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________．解析：在菱形ABCD 中，连接BD ，因为∠DAB ＝60°，所以△BAD 为等边三角形，又因为|AB →|＝1，所以|BD →|＝1，所以|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 答案：18．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |. 其中正确的是________．解析：因为在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．答案：①③9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD 的形状： (1)AD →＝BC →；(2)AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|.解：(1)因为AD →＝BC →，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．(2)因为AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD 是菱形．10．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 解：如图，因为|OA →|＝|OB →|＝3，所以四边形OACB 为菱形，连接OC ，AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D . 因为∠AOB ＝60°，所以AB ＝|OA →|＝3. 所以在Rt △BDC 中，CD ＝332. 所以|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3.[B 能力提升]11．已知有向线段AB →，CD →不平行，则( ) A ．|AB →＋CD →|>|AB →| B ．|AB →＋CD →|≥|CD →| C ．|AB →＋CD →|≥|AB →|＋|CD →| D ．|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|解析：选D.由向量加法的几何意义得||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，等号当且仅当a ，b 共线的时候取到，所以本题中，|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|.12．若P 为△ABC 的外心，且P A →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝______.解析：因为P A →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形．又P 为△ABC 的外心，所以|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.因此∠ACB ＝120°. 答案：120°13．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|. ②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③14．如图，已知向量a ，b ，c ，d .(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a|＝2，e 为单位向量，求|a ＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →，因为e 为单位向量，所以点B 在以点A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.[C 拓展探究]15．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？解：如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N.所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝150 3(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150(N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6．2.2 向量的减法运算考点学习目标核心素养相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象问题导学预习教材P11－P12的内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？ 2．向量减法的几何意义是什么？1．相反向量(1)定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．(2)结论①－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． ■名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．(3)几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． ■名师点拨(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． (3)对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于0.( ) (2)两个相反向量之差等于0.( ) (3)两个向量的差仍是一个向量．( )(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →－DC →＝0 B.AD →－BA →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝0答案：C设b 是a 的相反向量，则下列说法一定错误的是( ) A ．a 与b 的长度相等 B ．a ∥bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的相反向量答案：C在平行四边形ABCD 中，向量AB →的相反向量为________．答案：BA →，CD →向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解】 (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB →.(2)法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.向量减法运算的常用方法1．下列四个式子中可以化简为AB →的是( )①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．③④解析：选A.因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以①正确，排除C ，D ；因为OB →－OA →＝AB →，所以④正确，排除B.故选A.2．化简下列向量表达式： (1)OM →－ON →＋MP →－NA →； (2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)．解：(1)OM →－ON →＋MP →－NA →＝NM →＋MP →－NA →＝NP →－NA →＝AP →.(2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →)＝AD →＋0＝AD →.向量的减法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解】法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c .过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c .法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c .法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向。

【金版新学案】高一数学人教A版必修二练习：第2章章末高效整合(含答案解析)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：画图或在正方体模型中观察可得．答案： B2．在空间四边形各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH 交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上解析：由已知P∈EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC，同理可得，P∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.答案： B3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．答案： B4．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，M 为AC 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C －BM －A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：如图所示，由AB ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝ 2.∵M 为A ′C 的中点，∴MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ， ∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角． ∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22， ∴∠CMA ＝90°. 答案： C5．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．相交成60°解析：如图所示，△ABC 为正三角形，故AB ，CD 相交成60°.答案： D6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l解析：根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l ，故选D. 答案： D7.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1解析：由BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，知BD ⊥平面ACC 1A 1. 又CE ⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥CE .故选B. 答案： B8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有AC ⊥BD . 因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD .又CC 1∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面CC 1O . 在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ，垂足为H ，则BD ⊥CH .又BD ∩C 1O ＝O ，所以CH ⊥平面BDC 1，连接DH ，则DH 为CD 在平面BDC 1上的射影，所以∠CDH 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2.在Rt △COC 1中，由等面积交换易求得CH ＝23.在Rt △CDH 中，sin ∠CDH ＝CH CD ＝23.答案： A9．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.1195解析：如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AE ， ∴BD ⊥PE .∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，P A ＝1，∴PE ＝1＋⎝⎛⎭⎫1252＝135.答案： B10.如图，点P 是△ABC 所在平面外一点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且PO ⊥平面ABC 于点O ，则点O 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心解析：如图所示，连接OA ，OC . 由于P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，所以P A ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ，所以BC ⊥P A .又PO ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥PO .又PO ∩P A ＝P ，所以BC ⊥平面P AO ，所以BC ⊥AO . 同理可证AB ⊥OC ，所以O 是△ABC 的垂心．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④若l 与α内的两条直线垂直，则直线l 与α垂直．上面命题中，正确的序号是________．(写出所有正确命题的序号)解析： ①即面面平行的判定定理；②即线面平行的判定定理；③由α内有一条直线垂直于l 不能得到该直线垂直于β，也就得不到α和β垂直，故不正确；④不符合线面垂直的判定定理，因此不正确．答案： ①②12．在四面体A －BCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为________．解析：如图所示，取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接EF ，BF ，BE ，DE . ∵AC ＝2，其余各棱长都为1，∴AD ⊥CD ，∴EF ⊥CD .又BF ⊥CD ， ∴∠BFE 是二面角A －CD －B 的平面角． ∵EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2.∴∠BEF 是直角． ∴cos ∠BFE ＝EF BF ＝33.答案：3313．如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．解析：由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使得B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1.此题还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件．答案： B 1D 1⊥A 1C 114．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角； ④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________．解析：如图，①取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD .故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确． ③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，∴③不正确．④分别取BC ，AC 的中点M ，N ，连接ME ，NE ，MN ，则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且EM ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ， ∴NE ＝12AC ＝12a ，∴△MEN 是正三角形， ∴∠EMN ＝60°，故④正确．答案： ①②④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .证明： (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.16．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．解析：(1) 证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2) 因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.所以CD⊥A1D，CD⊥DE.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 又∵A 1D ∩CD ＝D ，所以DE ⊥平面ADC . 所以V 三棱锥C －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.17．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，若D 是棱CC 1的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？证明你的结论．解析：当点E 为棱AB 的中点时， DE ∥平面AB 1C 1.证明如下：如图，取BB 1的中点F ，连接EF ，FD ，DE ，∵D ，E ，F 分别为CC 1，AB ，BB 1的中点， ∴EF ∥AB 1，∵AB 1⊂平面AB 1C 1，EF ⊄平面AB 1C 1， ∴EF ∥平面AB 1C 1. 同理可证FD ∥平面AB 1C 1.∵EF ∩FD ＝F ，∴平面EFD ∥平面AB 1C 1. ∵DE ⊂平面EFD ， ∴DE ∥平面AB 1C 1.18．(本小题满分14分)如图所示，已知三棱锥P －ABC ，∠ACB ＝90°，CB ＝4，AB ＝20，D 为AB 的中点，且△PDB 是正三角形，P A ⊥PC .(1)求证：平面P AC ⊥平面ABC ； (2)求二面角D －AP －C 的正弦值．解析： (1)证明：∵D 是AB 的中点，△PDB 是正三角形， AB ＝20，∴PD ＝12AB ＝10，∴AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， ∴AP ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥BC .又AC ⊥BC ，AP ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC . 又BC ⊂平面ABC ， ∴平面P AC ⊥平面ABC . (2)∵P A ⊥PC ，且P A ⊥PB ，∴∠BPC 是二面角D －AP －C 的平面角．由(1)知BC ⊥平面P AC ，则BC ⊥PC ， ∴sin ∠BPC ＝BC PB ＝25.。

2019秋金版学案高中数学必修2(人教A版)练习：第一章评估验收(一)含解析

评估验收(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是()A．棱柱的侧面都是长方形B．棱柱的所有面都是四边形C．棱柱的侧棱不一定相等D．一个棱柱至少有五个面解析：由棱柱的定义及性质，A，B，C不正确．三棱柱的面最少，两个底面和三个侧面，D正确．答案：D2．若一个圆柱的轴截面是面积为8的正方形，则这个圆柱的侧面积为()A．4πB．8πC．42π D．12π解析：设轴截面的边长为a，则a2＝8，所以a＝2 2.所以圆柱的底面半径R＝2，母线长l＝22，因此S圆柱侧＝2πR·l＝8π.答案：B3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103，则h为()A.32B. 3 C ．3 3D ．5 3解析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，其底面是长为6、宽为5的矩形，高为h ，所以V ＝13×6×5×h ＝103，解得h ＝ 3.答案：B4．如图，Rt △O ′A ′B ′是一平面图的直观图，斜边O ′B ′＝2，则这个平面图形的面积是( )A.22 B ．1 C. 2D ．2 2解析：因为Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′＝2，所以直角三角形的直角边长是2，所以直角三角形的面积是12×2×2＝1，所以原平面图形的面积是1×22＝2 2. 答案：D5．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为( )A.33πB.3πC.53π D.5π解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，如图所示，则2πr ＝πR ，因为r ＝1，所以R ＝2，所以圆锥的高h ＝R 2－r 2＝3，所以圆锥的体积V ＝13π×12×3＝33π.答案：A6．若长方体相邻三个面的面积分别为2，3，6，则长方体的体积等于( ) A. 6 B ．6 C ．6 6D ．36解析：设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则不妨设ab ＝6，ac ＝3，bc ＝ 2. 所以a 2b 2c 2＝2×3×6＝6. 故长方体的体积V ＝abc ＝ 6. 答案：A7．若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A.23 B.16 C.56D.13解析：易知V ＝1－8×13×12×12×12×12＝56.答案：C8．过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的表面积的比值为( )A.316B.916C.38D.932解析：设球的半径为R ，截面圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋r 2＝R 2，所以r 2＝34R 2.故S 截面S 球＝πr 24πR 2＝14×34＝316. 答案：A9．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°解析：设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，则由题意得πrl ＝2πr 2，所以l ＝2r ，所以圆锥的母线与轴所成的角为30°. 答案：A10．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()A ．24 cm 3B ．40 cm 3C ．36 cm 3D ．48 cm 3解析：由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去两个全等的与三棱柱等底面且高为2的三棱锥形成的，故该几何体的体积V ＝12×4×3×8－2×13×12×4×3×2＝40(cm 3)．答案：B11．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2解析：在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD 为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD ＝22＋22＋22＝2 3. 答案：B12．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆．如果圆柱的体积是V ，那么三棱柱的体积是( )A.2V πB.V 2πC.V πD.V 3π解析：设圆柱的底面圆半径为R ，高为h ，在等腰Rt △A 1B 1C 1中，A 1B 1＝2R . 所以S △A 1B 1C 1＝12(2R )2＝R 2，又S 圆＝πR 2，h ＝V πR 2，所以V 三棱柱＝h ·S △A 1B 1C 1＝hR 2＝Vπ.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为________．解析：S ΔDD 1E ＝12×1×1＝12，又点F 到平面DD 1E 的距离为1，所以V D 1-EDF ＝V F -DD 1E＝13S ΔDD 1E ×1＝16. 答案：1614.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．解析：设圆柱桶的底面半径为R ，油桶高为h ，油桶直立时油面的高度为x ，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为90°，则⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ，所以x h ＝14－12π.答案：14－12π15．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12 cm 、深2 cm 的空穴，则该球的半径是________ cm ，表面积是________ cm 2.解析：设球的半径为R cm ，由条件，知R 2＝62＋(R －2)2，解得R ＝10，S 表＝4πR 2＝400π(cm 2)．答案：10 400π16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，则这个三棱柱的体积是________．解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝32π3，得r ＝2，柱体的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3.答案：48 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．解：因为V 半球＝12×43πR 3＝12×43×π×43≈134(cm 3)，V圆锥＝13πr2h＝13π×42×12≈201(cm3)，因为134＜201，所以V半球＜V圆锥，所以冰淇淋融化了，不会溢出杯子．18．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．(1)求三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体的表面积的比值；(2)求三棱锥A′-BC′D的体积．解：(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，六表面皆是正方形，所以A′C′＝A′B＝A′D＝BD＝C′D＝2a.则S三棱锥A′-BC′D＝4×12×2a×62a＝23a2，又S正方体＝6a2，因此S三棱锥A′-BCD∶S正方体＝3∶3.(2)易知三棱锥A′-ABD，C-′BCD，D-A′D′C′，B-A′B′C′的体积相等．所以V三棱锥A′-BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′-ABD＝a3－4×13×12a2·a＝13a3.19．(本小题满分12分)已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径及两底面面积之和．解：如图所示，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO＝30°，在Rt △SO ′A ′中，rSA ′＝sin 30°，所以SA ′＝2r . 在Rt △SOA 中，2rSA＝sin 30°，所以SA ＝4r .因为SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，所以r ＝a .所以S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.所以圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.20．(本小题满分12分)在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S ，则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EBOC ，即323＝r 2，所以r ＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.21．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示． (1)求此几何体的表面积S ；(2)已知点P ，Q 在正视图中的位置(P 为所在线段的中点，Q 为所在线段的端点)，求在几何体的侧面上，从点P 到点Q 的最短路径的长．解：(1)由三视图知，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面面积之和．又S圆锥侧＝π×a×2a＝2πa2，S圆柱侧＝2πa×2a＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以S＝2πa2＋4πa2＋πa2＝(2＋5)πa2.(2)沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ＝AP2＋AQ2＝a2＋（πa）2＝a1＋π2.所以在几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长为a1＋π2.22．(本小题满分12分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解：(1)直观图如图所示．(2)易知该几何体是由长方体被截去一个三棱柱得到的，且该几何体的体积是以A 1B 1、A 1D 、AA 1的长为长、宽、高的长方体体积的34. 如图，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于点E ，因为AA 1＝AB ＝1 m ，所以四边形AA 1EB 是正方形，所以AA 1＝BE ＝1 m.在Rt △BEB 1中，BE ＝1 m ，EB 1＝1 m ，则BB 1＝ 2 m.因此几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1＝1×1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1×1＋1×2＝(7＋2)m 2. 几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32m 3. 故几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32 m 3.。

人教A版高中数学必修2《1章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.1.2 简单组合体的结构特征》优质课教案_1

教学设计1．1.2简单组合体的结构特征整体设计教学分析立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础．简单几何体(柱体、锥体、台体和球)是构成简单组合体的基本元素．本节教材主要是为了让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征．三维目标1．掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力．2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养学生的数学建模思想．重点难点描述简单组合体的结构特征．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在我们的生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？我们的教学楼的形状是柱体吗？钢笔、圆珠笔呢？这些物体都不是简单几何体，那么如何描述它们的结构特征呢？教师指出课题：简单组合体的结构特征．思路2.现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的课题是：简单组合体的结构特征．推进新课新知探究提出问题①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的．图1②观察图1，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体，它们之间具有怎样的关系？活动：让学生仔细观察图1，教师适当时候再提示．①略．②图1中的三个组合体分别代表了三种不同的形式．③学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示．讨论结果：①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成．图1(1)是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体；图1(2)是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图1(3)是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体．②常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合．其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图1(1)和(3)所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图1(2)所示的组合体．③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征：1°长方体的八个顶点在同一个球面上，此时长方体称为球的内接长方体，球是长方体的外接球，并且长方体的体对角线是球的直径；2°一球与正方体的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；3°一球与正方体的所有面相切，则正方体的棱长等于球的直径．应用示例思路11请描述如图2所示的组合体的结构特征．图2活动：回顾简单几何体的结构特征，再将各个组合体分解为简单几何体．依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断．解：图2(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；图2(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；图2(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体．点评：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力.图3一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球2)，所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体．活动：先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可．连接相应点后，得出图形如图4(1)，再作出判断．(1)(2)图4解：如图4(1)，正方体ABCD-A1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分别是各表面的中心．由点O1、O2、O3、O4、O5、O6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱．该多面体的图形如图4(2)所示．点评：本题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱．由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形，当然其他的如O1O2O6O4等也是正方形．为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4应画成虚线.1已知如图5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征．图5图6活动：让学生思考AB、AD、DC与旋转轴BC是否垂直，以此确定所得几何体的结构特征．解：如图6所示，旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体．点评：本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体.图7 图8所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.2如图9(1)图9活动：让学生分组讨论和思考，教师及时点拨和评价学生．解：图9(1)所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱，也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的组合体；而图9(2)所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体．点评：考查空间想象能力和组合体的概念.图1010(1)中的几何体可以看作是由一个知能训练1．若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是()A．64 B．66 C．68 D．70分析：由2、3、5的最小公倍数为30，由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数．答案：B2．图11是一个奖杯，可以近似地看作由哪几种几何体组成？图11答案：奖杯的底座是一个正棱台，底座的上面是一个正四棱柱，奖杯的最上部，在正棱柱上底面的中心放着一个球．拓展提升1．请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？活动：静止是相对的，运动是绝对的，点动成线，线动成面．用运动的观点看几何问题的形成，容易建立空间想象力，这样对于分割和组合图形是有好处的．明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程，以及柱、锥、台的相互关系，对于我们正确的割补图形也是有好处的．对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验．对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状．探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的答案：(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形．(2)截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形．(3)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形至少有一组对边平行．(4)截面不能是直角梯形．(5)截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形．(6)截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等．(7)截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形，即正六边形．截面图形如图12中各图所示：图12课堂小结本节课学习了简单组合体的概念和结构特征．作业习题1.1B组第2题．设计感想本节教学设计依据课程标准的要求：利用实物模型、计算机软件观察大量立体图形，认识简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构．在教学时，尽量多给学生一些图片，以便学生形成直观感知，初步获得感性认识．备课资料备用习题试描述图13轴承所示的承架的结构特征．图13答案：底板：其外部结构是一个长方体；半圆头竖板：其下部是一个长方体，上部是半个圆柱，中间挖了一圆柱孔．。

2019秋金版学案数学·选修2-2(人教A版)练习：评估验收卷(二) Word版含解析

姓名，年级：时间：评估验收卷（二)（时间:120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下面是某电影中的一个片段：女主人欲输入由十个数字组成的密码，当她依次输入了前八个数字11235813后，欲输入最后两个数字时她犹豫了,也许是忘记了最后两个数字，也许……请你根据上述相关数据信息推测最后两个数字最有可能是( ）A．2，1 B．2，0C．1，3 D．3,1解析：前八个数字11235813，发现1＋1＝2，1＋2＝3,2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，又8＋13＝21，所以最后两个数字最有可能是2，1.答案:A2．下面几种推理是合情推理的是( ）①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°;③由f （x）＝sin x满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x）＝sin x是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°,五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：合情推理分为类比推理和归纳推理,①是类比推理,②④是归纳推理,③是演绎推理．答案：C3．用数学归纳法证明“对一切n∈N＊,都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( ）A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1,n＝2，n＝3时命题成立解析：假设n＝k时不等式成立,即2k>k2－2，当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k〉2（k2－2)，2(k2－2）≥(k＋1）2－2⇒k2－2k－3≥0⇔ (k＋1）(k－3）≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1，2，3时命题成立．答案：D4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－错误!＋错误!－错误!＋…－错误!＝2错误!时，若已假设n＝k（k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．（）A．k＋1 B．k＋2C．2k＋2 D．2（k＋2)解析：根据数学归纳法的步骤可知,n＝k（k≥2且k为偶数）的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.答案：B5．已知｛b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29。

2019秋金版学案高中数学必修2(人教A版)练习：3.2-3.2.1直线的点斜式方程含解析

A 级基础巩固一、选择题1．直线y ＝kx －3k ＋2(k ∈R)必过定点( ) A ．(3，2) B ．(－3，2) C ．(－3，－2)D ．(3，－2)解析：已知直线的点斜式方程为y －2＝k (x －3)，所以直线过定点(3，2)．答案：A2．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4解析：由题意知，所求直线的斜率为－12，又直线在y 轴上的截距为4，故其方程为y ＝－12x ＋4.答案：D3．过点(－1，3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝12(x ＋1)B ．y ＋3＝12(x －1)C ．y －3＝12(x ＋1)D ．y －3＝12(x －1)解析：因为直线y ＝12(x ＋3)的斜率为12，所以所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)．答案：C4．过点(－1，3) 且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0解析：在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，则所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程为y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0.答案：A5．直线y －2m ＝m (x －1)与y ＝x －1垂直，则直线y －2m ＝m (x －1)过定点( ) A ．(－1，2) B ．(2，1) C ．(1，－2)D ．(1，2)解析：由两直线垂直得m ＝－1，把m ＝－1代入y －2m ＝m (x －1)得y ＝－x －1，则该直线过定点(1，－2)．答案：C 二、填空题6．若直线l 经过点(－2，0)，且与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的方程为________．解析：因为直线l 与斜率为－23的直线垂直，所以直线l 的斜率为32，又因为直线l 过点(－2，0)，所以直线l 的点斜式方程为y －0＝32(x ＋2)，即3x －2y ＋6＝0.答案：3x －2y ＋6＝07．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________．解析：由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 8．若直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P (3，3)，则直线l 的方程为________．解析：直线y ＝x ＋1的斜率为1，则倾斜角为45°，所以直线l 的倾斜角为90°，且l 过点P (3，3)，所以直线l 的方程x ＝3.答案：x ＝3 三、解答题9．已知直线l 与直线y ＝12x ＋4互相垂直，直线l 的截距与直线y ＝x ＋6的截距相同，求直线l 的方程．解：直线l 与直线y ＝12x ＋4互相垂直，所以直线l 的斜率为－2，直线l 的截距与直线y ＝x ＋6的截距相同，则其截距为6，故直线l 的方程为y ＝－2x ＋6.10．已知斜率为2的直线l 不过第四象限，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，求直线l 的方程．解：依题意，设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，又直线l 不过第四象限，所以b ≥0.对于直线l ，令x ＝0，则y ＝b ；令y ＝0则x ＝－b2.由已知可得12·|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 2＝4，即|b |2＝16，所以b ＝4或b ＝－4(舍去)．故直线l 的方程为y ＝2x ＋4.B 级能力提升1．将直线l ：x －y ＋1＝0绕着点A (2，3)逆时针方向旋转90°，得到直线l 1的方程是( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝0解析：设l 1的倾斜角为α，由题意，得l 的倾斜角为45°，所以α＝135°.所以l 1的斜率为－1.由点斜式得y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0. 答案：C2．若原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的点斜式方程为________．解析：因为直线OP 的斜率为－12，又OP ⊥l ，所以直线l 的斜率为2，所以直线l的点斜式方程为y －1＝2(x ＋2)．答案：y －1＝2(x ＋2)3．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求l ′的斜截式方程，使得： (1)l ′与l 平行，且过点(－1，3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 解：因为直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，所以直线l 的斜率为－34.(1)因为l ′与l 平行，所以直线l ′的斜率为－34.所以直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)，即y ＝－34x ＋94.(2)因为l ′⊥l ，所以k l ′＝43.设l ′在y 轴上的截距为b ，则l ′在x 轴上的截距为－34b ，由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34b ＝4，所以b ＝±463，所以直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －463.。