信号与系统ch2

uc zi(t) = e uc (0− ):只与电容两端的初始状态有关，与输入激励无关 只与电容两端的初始状态有关， 只与电容两端的初始状态有关
1 1 p • x ≠ • px p p
(二）转移算子 H ( p)
n阶线性微分方程为： 阶线性微分方程为： 阶线性微分方程为 de dnr dn−1r dr dme dm−1e +an−1 n−1 +⋯+a1 + a0r = bm m +bm−1 m−1 +⋯+b1 +b0e n dt dt dt dt dt dt pnr +an−1 pn−1r +⋯+a1 pr+a0r = bm pme +bm−1 pm−1e +⋯+b1 pe+b0e
τ
2 2 1
τ
t
t
τ
τ
函数值均为零， 或定义: 或定义: 在 t ≠ 0 时，函数值均为零，在 t = 0 处函 数值为无限大， 数值为无限大，而脉冲面积为1。 即
∞ δ (t ) dt = 1 ∫− ∞ δ (t ) = 0, t ≠ 0
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第二章 连续时间系统的时域分析
延迟的单位冲激函数： 延迟的单位冲激函数：
( pn + an−1 pn−1 +⋯+ a1 p + a0 )r = (bm pm + bm−1 pm−1 +⋯+ b1 p + b0 )e 即
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第二章 连续时间系统的时域分析
令
D( p) = p n + an−1 pn−1 + ⋯+ a1 p + a0
N( p) = bm pm + bm−1 pm−1 + ⋯+ b1 p + b0
即（系统的）全响应＝自由响应＋受迫响应 系统的）全响应＝自由响应＋ λ1t λ2 t i (t ) = c1e + c 2 e + ih (t ) 此法适合于激励函数为直流， 此法适合于激励函数为直流，正弦或指数等简单 形式的情况，复杂函数激励时，可用叠加积分法 叠加积分法或变 形式的情况，复杂函数激励时，可用叠加积分法或变 换域方法． 换域方法． 全响应＝零输入响应＋ 全响应＝零输入响应＋零状态响应 2．变换域分析法：为了便于求解微分方程而将时间变 量变换成其它变量如频率（频域） 量变换成其它变量如频率（频域）等 2
定义
0, (t < 0) ε (t ) = 1, (t > 0)
1 0
ε (t )
t
2.延迟的阶跃信号（函数） 延迟的阶跃信号（函数）
0, (t < t0 ) Aε (t − t0 ) = A, (t > t0 )
A 0
Aε (t − t 0 )
0, (t < t 0 ) f (t )ε (t − t 0 ) = f (t ), (t > t 0 )
定义： 定义： 1 , 0≤t ≤∆ δ∆ (t) = ∆
0,
+∞
otherwise
则任意函数 x(t ) 可近似表示为: 可近似表示为
ˆ x(t) =
k =−∞
∑x(k∆)∆δ
+∞ k =−∞
∆
(t − k∆)
∆
x(t) = lim
∆→0
∑x(k∆)∆δ
(t − k∆)
k 当 ∆ → 0(dτ )时， ∆ → τ , δ ∆ (t ) → δ (t ), ∑ → ∫, 于是: 于是 +∞ x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
则有 D ( p )r (t ) = N ( p )e(t ) N ( p) r (t ) = e(t ) D( p) 定义 H ( p) = N ( p)
D( p)
—— 转移算子
于是系统方程可写成： 于是系统方程可写成：r (t ) = H ( p )e(t ) 求零输入响应时， 此时方程为齐次方程： 求零输入响应时， (t) = 0 此时方程为齐次方程： e
1
第二章 连续时间系统的时域分析
古典解法：微分方程的解＝齐次方程的通解＋ 古典解法：微分方程的解＝齐次方程的通解＋特解
d 2i (t ) di (t ) 1 + i (t ) = 0 齐次方程为 L 2 + R dt dt C
c1e λ1t + c 2 e λ2t ——自然响应（自由响应） 通解为： 通解为： 自然响应（自由响应） 非齐次方程特解的形式由激励函数决定——受迫响应
−∞
f (t)δ (t − t0 )dt = f (t0 )
t
(2) 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数
∫
−∞
δ (τ ) d τ = ε ( t )
(3) 单位阶跃函数的导数是单位冲激函数
d ε (t ) = δ (t ) dt
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第二章 连续时间系统的时域分析
(4)奇异函数的若干次积分和若干次微分也都是奇异函数 (4)奇异函数的若干次积分和若干次微分也都是奇异函数 如单位阶跃函数的积分是单位斜变函数： 如单位阶跃函数的积分是单位斜变函数： 单位斜变函数
四、卷积积分及其性质 五、LTI 连续时间系统的时域求解
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第二章 连续时间系统的时域分析
一、用算子表示微分方程
（一）微分算子及其运算规则
d dn = p = pn , dt n 令微分算子 dt t 1 积分算子 ∫−∞ dt = p t 1 dnx n = p x , −∞ xdt = x 于是 n p dt d 2i(t) di(t) 1 de(t) 微分方程： 微分方程： L dt 2 + R dt + C i(t ) = dt 1 2 可写为： 可写为： Lp i(t ) + Rpi (t ) + i (t ) = pe(t ) C 或简化为： 或简化为： ( Lp 2 + Rp + 1 )i (t ) = pe(t ) C
2
求导
−
δ ′(t )
τ
2
（5）∫− ∞ δ ′(t ) f (t ) dt = − ∫− ∞ δ (t ) f ′(t ) dt = − f ′(0 ) ） （6） f (t )δ ′(t ) = f (0)δ ′(t ) − f ′(0)δ (t ) ）
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第二章 连续时间系统的时域分析
3.任意函数表示为冲激函数的积分 3.任意函数表示为冲激函数的积分
∞ δ (t − t )dt = 1 ∫−∞ 0 δ (t − t 0 ) = 0, t ≠ t 0
δ(t-t0） δ(t （1） 0 t0 t Αδ(t） Αδ(t （A） 0 t
2.冲激函数的性质 2.冲激函数的性质
δ （1） (t ) 的抽样性质
∫ ∫
∞
−∞ ∞
f (t )δ (t ) dt = f ( 0 )
t0
t
阶跃函数具有切除的作用！ 阶跃函数具有切除的作用！
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第二章 连续时间系统的时域分析
利用阶跃信号（函数） 3. 利用阶跃信号（函数）表示矩形脉冲
Rτ (t )
Gτ (t )
1 0
1
τ
t
−
τ
2
τ
2
t
1
1
0 + -1
τ
于是 Gτ (t ) = Rτ (t + τ ) = ε (t + τ ) − ε (t − τ )
第二章 连续时间系统的时域分析
一、用算子表示微分方程
（一）微分算子及其运算规则
(二）转移算子 H ( p)
二、奇异信号（函数） 奇异信号（函数）
(一）阶跃信号（函数） 阶跃信号（函数） （二）冲激信号（函数） 冲激信号（函数）
三、系统的零输入响应与零状态响应
（一）零输入响应与零状态响应的概念 (二）冲激响应和阶跃响应
② 引进 后，微分方程 → 代数方程，一般情况下， 引进p后 代数方程，一般情况下， 代数方程的运算规则也适用于算子方程，但有例外： 代数方程的运算规则也适用于算子方程，但有例外： 其一，对算子多项式可进行因式分解， 其一，对算子多项式可进行因式分解，但不能进 行公因子相消， 行公因子相消，如：
( p 2 + 5 p + 6) x = ( p + 2)( p + 3) x
di (t ) 1 L + dt C
Ｌ
+ – +
∫
t
−∞
i (τ ) dτ + Ri (t ) = e(t )
e(t)
i(t)
C
uc(t)
–
Ｒ
-uR (t) +
两边微分 ，得系统数学模型
d 2 i (t ) di(t ) 1 de(t ) L +R + i (t ) = dt C dt dt 2
此为一个二阶系统
D ( p ) r (t ) = 0
利用初始条件求解此方程即得零输入响应 算子形式的微分方程与其拉普拉斯变换式形式相似！ 算子形式的微分方程与其拉普拉斯变换式形式相似！
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第二章 连续时间系统的时域分析
二、奇异信号（函数） 奇异信号（函数）
(一）阶跃信号（函数） 阶跃信号（函数） 1.单位阶跃信号（函数） 单位阶跃信号（函数）
f (t −t0 )
0(t <0) f (t) =∫ ε(t)dt= −∞ t(t ≥0)
t
f (t )
1 0 1
t
1 0
t0 t0 + 1 t
单位冲激函数的导数是单位冲激偶: 单位冲激函数的导数是单位冲激偶: 单位冲激偶