第2章 电磁场基本方程

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§2.1
静态电磁场的基本定律和基本场矢量
二、基本场矢量
•电场强度 E (V / m) 电场强度 •电通（量）密度 电通（ 电通
D (C / m 2 )：D = εE
•磁场强度 H ( A m ) 磁场强度 •磁通（量）密度 磁通（ 磁通
ρ v (C m 3 ) 体电荷密度
体电流密度 (A m 2 ) (不是 A m 3！)
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第2章 电磁场基本方程
主要内容
静态电磁场的基本定律 法拉第电磁感应定律和全电流定律 Maxwell方程组 Maxwell方程组 电磁场的边界条件 坡印廷定理和坡印廷矢量
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Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
b
ρl ρl b ln dρ = b) U = ∫l E ⋅ dl = ∫a 2περ 2πε a
ˆ 故 E =ρ
U ρ ln b a
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§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处： 同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处： EM发生于内导体表面处 U EM = a ln b a EM最大值发生于 c) EM最大值发生于
dEM U b = (ln − 1) = 0 b 2 da (a ln a ) a
得
b ln = 1 a
b =e a
故
b 1 .8 a= = = 0.662 cm e 2.718
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§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
高斯定理解题步骤： 高斯定理解题步骤： （1）分析电场是否具有对称性。 ）分析电场是否具有对称性。 封闭面)， 相等的曲面上。 （2）取合适的高斯面 封闭面 ，即取在 相等的曲面上。 ）取合适的高斯面(封闭面 即取在E相等的曲面上 （3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线 n ⊥ E 的面， 相等的面不构成闭合面时， 的面， ） 相等的面不构成闭合面时 ˆ 使其成为闭合面。 使其成为闭合面。
E
M
c)若给定b=1.8cm，应如何选择a c)若给定b=1.8cm，应如何选择a以使用同轴线承受的耐 若给定b=1.8cm 压最大？ 压最大？
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§2.1
静态电磁场的基本定律和基本场矢量
[解] a) 介质层中的电场都沿径向 ρ ，垂直于内外导体表面， 解 ˆ 垂直于内外导体表面， 其大小沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理， 其大小沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理，取半径
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电流连续性方程
§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 Maxwell提出，应保证Eq(e)成立， Maxwell提出，应保证Eq(e)成立，即取 提出 Eq(e)成立
∂ρ v ∇ ⋅ (∇ × H ) = 0 = ∇ ⋅ J＋ ∂t
∂D ∇ ⋅ D = ρ v , 则 ∇ ⋅ (∇ × H ) = ∇ ⋅ J + 利用Eq(c Eq(c) 利用Eq(c ∂t
第2章 章
电磁场基本方程
Fundamental Equations of Electromagnetic Fields 电磁学三大基本实验定律 (1)库仑(Coulumb)定律 (2)安培(Ampere)定律 (3)法拉第(Faraday)电磁感应定律 1831年法拉第发现了电磁感应现象，导致发电机的发明和 人类电气时代的到来. 1864年麦克斯韦创立了普遍的电磁场方程组—麦克斯韦方 程组,它是宏观电磁现象的基本规律，是本书学习的核心.
dΨ ∂B 称为感生电动势， ε＝－ = −∫ ⋅ d s 称为感生电动势，如变压器 s ∂t dt
• 磁场不变，回路切割磁力线情形有变 磁场不变，
ε＝－
dΨ 称为动生电动势， = ∫ (v × B )⋅ dl 称为动生电动势，如发电机 l dt
应用Stokes定理，如果回路是静止的(右边第二项为零) 应用Stokes定理，如果回路是静止的(右边第二项为零)，则 Stokes定理 ∂B (∇ × E ) ⋅ ds = − ∫ ⋅ ds 因S是任意的，从而有 是任意的， ∫S S ∂t
∂ρ v ∇• J = − ∂t
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§2.1 例2.1－2 －
静态电磁场的基本定律和基本场矢量
如图2.1- 所示， 如图2.1-3所示，同轴线的内外导体 2.1 半径分别为a 半径分别为a和b。在内外导体间加 电压U 则内导体通过的电流为I 电压U，则内导体通过的电流为I， 外导体返回的电流为外导体返回的电流为-I。 图2.1-3 同轴线 2.1a)设内外导体上单位长度的带电量分别为 a)设内外导体上单位长度的带电量分别为 ρ l 和 − ρ l ， 求内外导体间的 D及E ； b)用电压U来表示， b)用电压U来表示，则 用电压 =？其最大值 E =？
J c = σE
2、运流电流：在真空和气体中，带电粒子的定向运动形成： 运流电流：在真空和气体中，带电粒子的定向运动形成：
Jv = ρ v v
3、位移电流：电通量密度的时间变化率 位移电流：
∫ H ⋅ dl = I
l
∇×H = J
——安培环路定律 安培环路定律 (2) ∫S B ⋅ d s = 0 ——磁通连续性原理 磁通连续性原理
∇⋅B = 0 or ∇⋅ H = 0
静电场有散无旋，其通量源是静止电荷；恒定磁场有旋无散， 静电场有散无旋，其通量源是静止电荷；恒定磁场有旋无散，其 旋涡源是电流。它们互不相关。 旋涡源是电流。它们互不相关。
∇ ⋅ Dq = ρ v
静态磁场： ∇ × H q = J ∇ ⋅ Bq = 0 静态磁场： ∂B 时变电场： ∇ × Ei = − 时变电场：
dQ 电荷守恒定律： 电荷守恒定律： ∫SJ ⋅ ds = − dt
∂t
用散度定理， 用散度定理，将上式两端用体积分表示
∂ ∂ρ ρ v dv = − ∫ v dv V V ∂t ∂t ∫V ∂ρ 得电流连续性方程：∇ ⋅ J = − v (e) 得电流连续性方程： ∂t
James Clerk Maxwell 1831－1879） （1831－1879）
由此得 ∇ × H = J +
∂D (b ) H = Hi + Hq , D = Di + Dq , ∇ ⋅ H q = J,因 ∂ = 0 ∂t ∂t
定义
Jd =
∂D 位移电流密度(Displacement current density) ∂t 量纲： / m2 S = A m2（ 安/米2 ） C
∇×E = −
该感应电场是非保守场，其电力线呈闭合曲线。 该感应电场是非保守场，其电力线呈闭合曲线。变化的磁场 ∂B 12 是产生感应电场的涡旋源。 是产生感应电场的涡旋源。 ∂t
∂B ∂t
意义： 意义：随时间变化的磁场将激发电场
§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 二、位移电流和全电流定律 现有方程： 静态电场： 现有方程： 静态电场： ∇ × E = 0 q
一、基本定理
静电场： 静电场： 积分形式 (1) 微分形式 特点 无旋场（保守场， 无旋场（保守场， 位场） 位场）
∫ E ⋅ dl = 0
l
∇×E = 0
——静电场的环路定律 静电场的环路定律 (2)
∫ D ⋅ ds = Q
S
即
∇ ⋅ D = ρv
or
有散场， 有散场，通量 源是电荷
——高斯定理 高斯定理
(
)
∂D ∂ρ v (e ) ∇ ⋅ J = −∇ ⋅ = − ∂t ∂t
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
Maxwell方程组 方程组
∂B ∇×E = − ∂t ∂D ∇×H = J + ∂t
∇ ⋅ D = ρv
∇⋅B = 0
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 位移电流的性质 1）实质是变化电场，不产生焦耳热！ ）实质是变化电场，不产生焦耳热！ 2）在激发磁场方面与I等效 ）在激发磁场方面与 等效 3）激发的磁场B与其成右手螺旋关系： ）激发的磁场 与其成右手螺旋关系 与其成右手螺旋关系：
B (Wb / m 2 )：B = µH
图2.1-4 2.1-
电流密度的定义
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§2.1
静态电磁场的基本定律和基本场矢量
三、欧姆定律、电荷守恒定律 欧姆定律、 欧姆定律的微分形式， 欧姆定律的微分形式，本构关系 欧姆定律
J = σE
电流连续性方程
U = RI
∂ρ v dQ d ∫ J • ds = − dt = − dt ∫v ρv dv = −∫v ∂t dv s
dΨm dt = E ⋅ dl 回路所感应的电动势 l
Michael Faraday （1791－1867） 1791－1867）
ε
∫
ψ m = ∫ B ⋅ ds 回路所交链的磁通量 S
电场强度沿任一闭合路径的线积分等于该路径所交链的磁通量时 11 间变化率的负值
§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 引起磁通变化的原因分为二类： 引起磁通变化的原因分为二类： • 回路不变， 回路不变，磁场随时间变化
r D
Id
r ∂D > 0 ∂t
r D
Id
r ∂D < 0 ∂t
r B
r B
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
对Eq.(b)
∂D 两端作面积分， 两端作面积分， ∇× H = J + ∂t 并用Stokes定理将左边的面积分化为线积分， Stokes定理将左边的面积分化为线积分 并用Stokes定理将左边的面积分化为线积分，
ρ 长1
的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面，还应加上前后圆盘底面， 的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面，还应加上前后圆盘底面， 相平行，因而没有通量穿过，不必考虑。 但是它们与 D 相平行，因而没有通量穿过，不必考虑。 于是 得