同济大学第五版高等数学下课件D114函数展开成幂级数47993

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高数同济版幂级数
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在我们的后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚的工人总是说工具不好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎能克服任何恐惧。因为，请记住，除了在脑海中，恐惧无处藏身。-- 戴尔．卡耐基。
Байду номын сангаас
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特

《同济版高数下》PPT课件

L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy

Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy

Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds

第一类: 第二类:
始终非负有向投影
基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2
2
例求柱面 x3 y3 1在球面 x2 y2 z2 1内
的侧面积.
2019/5/6
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
对面积的曲面积分
曲
曲
线
联计
联计面
积
系算
系算积
分
分
对坐标的曲线积分
对坐标的曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
其中 L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y 0.
2019/5/6
24
例计算
L
xdy 4x2
yyd2x，其中L是以
1,
0

为
为中心，R为半径 R 1的圆，逆时针方向

同济版高数课件PPT课件

1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 n
f
2 n
f
n n
19
极限运算与对数运算换序得
三、利用定积分的定义计算积分 b xdx ，( a b ) . a
25
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：
1
1、
1 x2dx ;
0
4
2、
2
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知闸门上水的压强 P 是水深 h 的函数，且有
p 9.8h(千米米2 )，若闸门高H 3米，宽 L 2米，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
b
f ( x)dx 0.
a
48
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
49
性质5的推论：
51
性质6 设M 及m 分别是函数
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例若 a b c,
c
a
f ( x)dx
b
a f ( x)dx

高等数学同济五版ppt合集精编版

1. f ( x) 在 [a , b] 上有界; 2. f ( x) 在 [a , b] 上达到最大值与最小值; 3. f ( x) 在 [a , b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f ( a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) , 使 f ( ) 0.
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半开区间 [ a , b ) x a x b ( a , b ] x a x b 无限区间 [ a , ) x a x ( , b ] x x b
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一、集合
1. 定义及表示法定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集
M max f ( x) , m min f ( x) y
x[ a , b ] x[ a , b ]
故 x [ a , b ] , 有 m f ( x) M ,
因此 f ( x) 在[a, b] 上有界 .
M
y f ( x)
m
o a 1 2 b x
y
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a ) f (b) 0 至少有一点
M *表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . n a A a , a , , a 例: 有限集合 i i 1 1 2 n (2) 描述法： M x x 所具有的特征自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n

同济大学第五版高数

当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．
方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号.
例2 确定函数 f ( x) 2x 3 9x 2
12x 3的单调区间.
解 D : (,).
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
六、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0，得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
证
(1)

f ( x0 )
lim
x0
f ( x0

x) x
f ( x0 ) 0,
故f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，

同济大学第五版高数

两个重要极限
等价无穷小及其性质
无穷小的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
1、极限的定义
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切xn ,不等式xn a 都成立,那末就称常数a 是数列xn 的极限,或者称数列xn 收敛于a,记为
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
右极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
9、双曲函数与反双曲函数
双曲 si正 n xh ex 弦 ex 2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ;si2 n x 2 h six n co h x ;s co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h 反双曲 ya正 rsi弦 nx;h
x
3、反函数
由 yf(x)确定 yf的 1(x)称为.反函
ysinxh yf1(x)arsinxh
4、隐函数
由方F程(x, y)0所确定的函数 y f(x)称为隐函 . 数如 yxey0

同济第五版高数下第七章课件

2 2 2
z
（3）同理在xOz面上的投影
也为线段.
1 z 2, y 0 | x | 3 2 ;
O
y
x
例4 求抛物面 y z x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
2 2
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
z: b 0 b 0 b ,
令 2 ,
h 2b
( t , b
z
x a cos t y a sin t z vt v

)
则上升的高度: 称为螺距.
h

x
o
z
y
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
2 2
例6 求上半球面和锥面所围的立体在 xoy 面上的投影. 解所求投影是二曲面交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二曲面交线
x o
z
C
1
y
在xoy 面上的投影曲线所围区域为圆域:
x y 1, z 0.
2 2
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
( t为参数 )
当给定 t
( x 1 , y 1 , z 1 ),
t1
时,就得到曲线上的一个点
随着参数的变化可得到曲线上的
全部点.
例3 如果空间一点M在圆柱面 x y a 上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z轴上升，那么点M构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程. z 取时间t为参数，动点从A点出发, 解经过t 时间，运动到M点. M 在 xoy 面的投影 M ( x , y , 0 )

线性代数同济大学第五版课件4-5PPT课件

第10页/共20页
三、向量的坐标
定义 8 如果在向量空间 V 中取定一个基
a1 , a2 , ···, ar , 那么 V 中任一向量 x 可唯一地表示为
x = 1a1 + 2a2 + ···+ rar , 数组 1 , 2 , ···, r 称为向量 x 在基 a1 , a2 , ···, ar
V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r 维向量空间.
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例如：由向量组 a1 , a2 , ···, am 所生成的向量空间
L ={ x = 1a1 + 2a2 + ···+ mam | 1, ···, m R }, 显然向量空间 L 与向量组 a1 , a2 , ···, am 等价, 所以向量组 a1 , a2 , ···, am 的最大无关组就是L 的一个基, 向量组 a1 , a2 , ···, am 的秩就是 L 的维数.
第17页/共20页
即基变换公式为
(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P , 其中表示式的系数矩阵 P = A-1B 称为从旧基到
新基的过渡矩阵.
设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为
y1 , y2 , y3 和 z1 , z2 , z3 ，即
y1
z1
x (a1, a2 , a3 ) y2 , x (b1, b2 , b3 ) z2 ,源自例 20 齐次线性方程组的解集
S = { x | Ax = 0 }
因为由齐次线性方程组的解的性质1、2，
即知其解集 S 对向量的线性运算封闭.
S是一个向量空间，
称为齐次线性方程组的解空间.
第4页/共20页

同济大学第五版高等数学课件D81基本概念

微分方程的问题
微分方程的定义
微分方程是描述函数及其导数之间关系的数学模型，通常用来描述自然现象或工程问题中的动态变化过程。
微分方程的解法
微分方程的解法包括分离变量法、常数变易法、参数变易法等，这些方法可以帮助我们求解微分方程并得到其通解或特解。
空间解析几何的问题
要点一
空间解析几何的基本概念
基础性
同济大学第五版高等数学（下）课件 D81是学习高等数学的基础，对于后续的学习具有重要的支撑作用。
同济大学第五版高等数学（下）课件D81的应用场景
科学计算
同济大学第五版高等数学（下）课件D81的概念在科学计算中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域的研究和计算。
实际问题解决
通过同济大学第五版高等数学（下）课件D81的概念，可以解决许多实际问题，如优化问题、统计分析等。
同济大学第五版高等数学（下课件 D81基本概念
目录
• 同济大学第五版高等数学（下）课件 D81的简介
• 同济大学第五版高等数学（下）课件 D81的基本概念
目录
• 同济大学第五版高等数学（下）课件 D81的基本定理
• 同济大学第五版高等数学（下）课件 D81的基本问题
01
同济大学第五版高等数学（下）课件D81的简介
积分的问题
01
积分的定义
积分是描述函数在某个区间上的面积的数学概念，即函数在某个区间上的定积分值等于该区间上所有小区间上函数的增量之和的极限。
02
积分的性质
积分具有一些重要的性质，如线性性、可加性、积分中值定理等，这些性质在研究函数的性质和解决数学问题中具有重要的作用。
03
积分的计算
积分的计算是高等数学中的基本技能之一，包括换元法、分部积分法、有理函数积分法等，这些方法可以帮助我们快速准确地计算出函数的积分值。

经典高等数学课件幂级数演示文稿

a xn 在 n
x x0( x0 0)
处收敛，
n0
则它在满足不等式 x x0 的一切x处绝对收敛.
(2)如果级数
a xn 在 n
x
x0 处发散，则它在满足不等式
n0
x x0 的一切x处发散.
简记: (1)若 an xn在x0收敛,当 x x0 时, an xn绝对收敛.
n0
n0
(2)若 an xn在x0发散,当 x x0 时, an xn发散.
当 1 x2 1, 即 x 2
当 1 x2 1, 即 x
2
第二十二页，共25页。
2 时，级数绝对收敛, 2 时，级数发散,
R
2
22 22
例3.
求幂级数
n1
x
2
n1
的收敛区间及收敛域.
2n
因为原级数的收敛区间为 ( 2, 2 ).
当x
2时，级数为
1
, 级数发散,
n1 2
当x
2
时，
级数为
1,
级数发散,
n1 2
所以原级数的收敛域为: ( 2, 2 ).
23
第二十三页，共25页。
23
例4.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径.
故直接由
lim
u (x) n1
lim
[ 2(n 1)] ! [ (n 1) ! ]2
x 2( n1)
n0
(, x0 ) ( x0 , )内的任何x都使幂级数 an xn发散.
n0
在原点与收敛点之间不可能有发散点.
几何说明:
绝对收敛
发散

高等数学同济第五版(下)微分方程

dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
s t0 0 ,
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
此齐次线性方程的通解为 y C2ex (x 1)
利用衔接条件得 C2 2(e 1)
因此有
y 2(e 1) ex (x 1)
3) 原问题的解为
y
2(1ex ), 2(e 1) ex
0 ,
x
x 1
1
四、全微分方程（数一）
一、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
即
两端积分得对应齐u 次方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxeC P(x)dx
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
e
P(
x)
dd x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
例1. 解方程
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0

同济第五版高数下第七章课件

验证不定积分的计算结果
03
通过与积分表中的结果进行比对，可以验证自己计算
的不定积分是否正确。
06
定积分
定积分的概念与性质
定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
几何意义
定积分的值等于曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的面积。
性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分第二基本定理等性质。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行微分，将一个函数的不定积分转化为另一个函数的不定积分。
积分表的使用
查询基本初等函数的不定积分
01
积分表列出了常用基本初等函数的不定积分，方便查
询。
简化复杂函数的不定积分
02 对于一些复杂函数，可以通过积分表查询类似函数的
已知不定积分，进而求得该复杂函数的不定积分。
05
不定积分
不定积分的概念与性质
不定积分的定义
不定积分是微分的逆运算，即求一个函数的原函数或不定原函数。
不定积分的性质
不定积分具有线性性质、积分常数性质和积分区间可加性。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的性质和基本初等函数的积分公式，直接求出不定积分。
换元积分法
通过引入中间变量进行换元，将复杂函数的不定积分转化为简单函数的不定积分。
02
复合函数的导数
03
隐函数的导数
如果一个函数是由多个基本初等函数复合而成，可以通过链式法则计算其导数。
对于由方程确定的隐函数，可以通过对方程两边求导来得到其导数。
微分的概念与运算
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小增量，它描述了函数值随自变量微小变化时的近似变化量。

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析

word 完美格式第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

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N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx N 2 px
q
;
第20页/共45页
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x2
x3 5x 6
x3 ( x 2)( x 3)
数或反三角函数为 u.
第6页/共45页
例5 求积分 sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t2
dt )
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
第26页/共45页
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3
2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1
t
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
f ( x)dx ex2 C ,

同济大学第五版高等数学下课件D114函数展开成幂级数47993

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