有限元绪论
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有限元发展历史
Zienkiewicz 认为，难以确定有限元法的起源及发明它的准确时间[13]。把 复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合问题，许多经典的数学近似方 法以及工程中所用的各直接近似方法都属于这一范畴。有限单元这术语的出现， 意味着直接应用可用于离散系统的标准研究方法。在概念上，使我们对方法的理
1
已出现多种新单元（先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、 样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元）和求解方法（如半 带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等）。能解 决各种复杂耦合问题的软件和软件系统不断涌现。对网格自动剖分和网格自适应 过程的研究，大大加强了有限元法的解题能力，使有限单元法逐渐趋于成熟。
等截面梁单元 ................................................ 4 三结点三角形单元 ............................................ 5 双线性矩形单元 .............................................. 6 平面等参数单元 .............................................. 7 §5.4 数值方法的收敛性 ............................................ 10 5.5 有限单元法实施及 ANSYS 算例 .................................... 11 §5.5.1 有限元法实施步骤 ...................................... 11 §5.5.2 ANSYS 软件应用实例 ..................................... 12 ● ANSYS 软件概述[16] ...................................... 12 ● ANSYS 使用环境 .......................................... 12 ● ANSYS 软件功能 .......................................... 13 ● ANSYS 图形用户界面 ...................................... 16 ● ANSYS 程序应用实例 ...................................... 21
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已出现多种新单元（先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、 样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元）和求解方法（如半 带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等）。能解 决各种复杂耦合问题的软件和软件系统不断涌现。对网格自动剖分和网格自适应 过程的研究，大大加强了有限元法的解题能力，使有限单元法逐渐趋于成熟。
等截面梁单元 ................................................ 4 三结点三角形单元 ............................................ 5 双线性矩形单元 .............................................. 6 平面等参数单元 .............................................. 7 §5.4 数值方法的收敛性 ............................................ 10 5.5 有限单元法实施及 ANSYS 算例 .................................... 11 §5.5.1 有限元法实施步骤 ...................................... 11 §5.5.2 ANSYS 软件应用实例 ..................................... 12 ● ANSYS 软件概述[16] ...................................... 12 ● ANSYS 使用环境 .......................................... 12 ● ANSYS 软件功能 .......................................... 13 ● ANSYS 图形用户界面 ...................................... 16 ● ANSYS 程序应用实例 ...................................... 21
专业ABAQUS有限元建模经验笔记
基于ABAQUS的有限元分析和应用第一章绪论1.有限元分析包括下列步骤：2.为了将试验数据转换为输入文件，分析者必须清楚在程序中所应用的和由实验人员提供的材料数据的应力和应变的度量。
3.ABAQUS建模需注意以下内容：4.对于许多包含过程仿真的大变形问题和破坏分析，选择合适的网格描述是非常重要的，需要认识网格畸变的影响，在选择网格时必须牢牢记住不同类型网格描述的优点。
第二章ABAQUS基础1.一个分析模型至少要包含如下的信息：离散化的几何形体、单元截面属性、材料数据、载荷和边界条件、分析类型和输出要求。
①离散化的几何形体：模型中所有的单元和节点的集合称为网格。
②载荷和边界条件：2.功能模块：（1）Assembly（装配）：一个ABAQUS模型只能包含一个装配件。
（2）Interaction（相互作用）：相互作用与分析步有关，这意味着用户必须规定相互作用是在哪些分析步中起作用。
（3）Load（载荷）：载荷和边界条件与分析步有关，这意味着用户指定载荷和边界条件是在哪些分析步中起作用。
（4）Job（作业）：多个模型和运算可以同时被提交并进行监控。
3.量纲系统ABAQUS没有固定的量纲系统，所有的输入数据必须指定一致性的量纲系统，常用的一致性量纲系统如下：4.建模要点（1）创建部件：设定新部件的大致尺寸的原则必须是与最终模型的最大尺寸同一量级。
（2）用户应当总是以一定的时间间隔保存模型数据（例如，在每次切换功能模块时）。
（3）定义装配：在模型视区左下角的三向坐标系标出了观察模型的方位。
在视区中的第2个三向坐标系标出了坐标原点和整体坐标系的方向（X，Y和Z轴）。
（4）设置分析过程：（5）在模型上施加边界条件和荷载：用户必须指定载荷和边界条件是在哪个或哪些分析步中起作用。
所有指定在初始步中的力学边界条件必须赋值为零，该条件是在ABAQUS/CAE中自动强加的。
在许多情况下，需要的约束方向并不一定与整体坐标方向对齐，此时用户可定义一个局部坐标系以施加边界条件。
有限元绪论
现代列车车厢整体结构的有限元分析模型
空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程
人体肩部区域的骨胳有限元分析模型以及计算结果
有限元的发生与发展
• 从1943年Courant 对扭转的研究开始，50年代是理论的萌
芽阶段； 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组 能量原理和结构分析论文。
热分析 程序可处理热传递的3种基本类型：传导、对流和辐射。热传递 的3种类型均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。热分析还具有可以模 拟材料固化和熔解过程的相变分析能力以及模拟热与结构应力之间的热-结 构耦合分析能力。
电磁场分析 进行电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分 布、力、运动效应、电路和能量损失等。
有限元法分析过程
• 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特 别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。 • 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工 处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把 有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员 直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状 态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员 迅速的评价和校核设计方案。
流体动力学分析
可以是稳态和瞬态，得到压力、流量和温度分布。
声场分析 研究声波的传播、固体结构的动态特性、声场强度分布、水 对振动船体的阻尼等
压电分析 可以进行静态分析、模态分析、谐波响应分析、瞬态响应分析， 研究二维或三维结构对直流、交流电流的响应。
有限元软件的后处理功能 有限元分析软件的后处理过程包括：位移、 温度、应力、应变、速度及热流等，输出形 式可以有图形显示和数据列表2种。
有限元分析课程 第一章 绪论PPT
1 T I [ y ( x)] = ∫ [ y L( y ) + yT f ]d Ω + b.t.( y, g ) Ω 2
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
14
若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
23
转向机构支架的强度分析
24
动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
25
谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
14
若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
23
转向机构支架的强度分析
24
动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
25
谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P
第一讲有限元绪论
考虑微段dx，内力 N=q (L-x)
dx的伸长为
Δ(dx) N(x)dx q(L x)dx
EA
x截面上的位移：
x N(x)dx x q(L x)dx q
x2
u 0 EA 0
EA
(Lx )
EA
2
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
du q ε x dX EA(L X)
实验方法的最大优点是结果真实可靠，通
常被当作产品最终定型的权威性依据。
实验方法也存在不足：
1）实验一定要在样品或样机试制之后才 能进行，成本高、周期长，并且只适合 批量生产的产品。
2）可以获得的数据量有限，无法对设计 提供更多的指导，更无法进行结构优化。
3）受实验手段的限制，有些参数无法测 准。
应力
σx
Eε x
q A
(L X)
有限单元法求解直杆拉伸：
1、离散化
2、外载荷集中到结点上，即把投 影部分的重量作用在结点i上
L1
1
L2
2
Li Li+1
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li + Li+1)
Li+1
2
i+1
图 2-3
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
五、数值分析与实验分析的比较
分析方法可分为理论计算和实验两大类。
1、基于实验的分析方法
指通过的实验测试获取需要的性能参数的 方法。这种方法获取不同的性能参数需要采用 不同的测试方法、仪器设备和辅助实验装置。 如：强度实验，可以采用电阻应变片及应变仪、 光弹涂膜或云纹栅、应变涂料等；扭转与弯曲 刚度实验则需要专门的实验台等等。
有限元教案_绪论(新)
t=60s
t=180s
半导体芯片温度场的数值仿真
1.3 内容安排
1.平面杆系有限元方法 1.平面杆系有限元方法 2.平面梁系有限元方法 2.平面梁系有限元方法 3.平面问题有限元方法 3.平面问题有限元方法 4.平板问题有限元方法 4.平板问题有限元方法 5.空间问题有限元方法 5.空间问题有限元方法 6.板壳问题有限元方法 6.板壳问题有限元方法
1.1 有限元法的发展
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速 随着数值分析方法的逐步完善， 度的飞速发展， 度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越 来越少， 来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突 出。
在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方 10 程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计 程的有限元模型只需要用几十分钟。 算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 80% 和结果分析上。 和结果分析上。
1.1 有限元法的发展
数值模拟技术： 数值模拟技术：
以物理学（力学）和计算数学理论为基础， 以物理学（力学）和计算数学理论为基础， 借助计算机技术来获得满足工程要求的数值解 数值解， 借助计算机技术来获得满足工程要求的数值解， 是现代工程中解决问题的有力手段。 是现代工程中解决问题的有力手段。
工程领域常用的数值模拟方法： 工程领域常用的数值模拟方法：
CAE/CAD交互 交互 一体化框图
1.1 有限元法的发展
CAE软件的价值 软件的价值
增加设计功能，减少设计成本； 增加设计功能，减少设计成本； 缩短设计和分析的循环周期； 缩短设计和分析的循环周期； 增加产品和工程的可靠性； 增加产品和工程的可靠性； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 进行机械事故分析，查找事故原因。 进行机械事故分析，查找事故原因。
有限元基础教程绪论ppt课件
不单设考试，以大作业的报告、平时作业和考勤综合评定成绩。
绪论
1.1概况 1.2有限元方法的历史 1.3有限元分析的内容和作用 1.4有限元分析的一般过程 1.5有限元法的基本概念 1.6有限元法的发展趋势
1概况
有限元方法(finite element method)或有限元分析(finite element analysis)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常 有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。 有限元分析必须包含三个方面：
2有限元方法的历史
有限元软件应用及学术论文： 随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件
大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用；目前， 专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用 有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN， MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA， IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA， DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等； 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元 分析的学术论文，每年也不计其数，学术活动非常活跃，表12 列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。
位移函数的构造方法（广义坐标法）
广义坐标法
一维单元位移函数： u(x) 0 1x 1x2 ...n xn
i为待定系数，也称为广义 简记为 u(x)
坐标
{1 x x2 ... xn}
{0 1 2 ... n}T
位移函数的构造方法（插值函数法）
插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。
板壳单元
四面体单元
绪论
1.1概况 1.2有限元方法的历史 1.3有限元分析的内容和作用 1.4有限元分析的一般过程 1.5有限元法的基本概念 1.6有限元法的发展趋势
1概况
有限元方法(finite element method)或有限元分析(finite element analysis)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常 有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。 有限元分析必须包含三个方面：
2有限元方法的历史
有限元软件应用及学术论文： 随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件
大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用；目前， 专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用 有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN， MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA， IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA， DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等； 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元 分析的学术论文，每年也不计其数，学术活动非常活跃，表12 列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。
位移函数的构造方法（广义坐标法）
广义坐标法
一维单元位移函数： u(x) 0 1x 1x2 ...n xn
i为待定系数，也称为广义 简记为 u(x)
坐标
{1 x x2 ... xn}
{0 1 2 ... n}T
位移函数的构造方法（插值函数法）
插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。
板壳单元
四面体单元
有限元基础及应用
（2）对于静不定问题，则需要变形协调方程， 才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调 方程时，则需要一定的技巧；
（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则 可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基 于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的 求解。
方法二：节点位移求解及平衡关系
要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建 相应的平衡关系，然后再进行求解。
课程介绍
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进
行分析。 二、学习方法：
理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实 际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实 验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩
第一章 绪论
1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943
PA
C
A
Rc
a
b
A'
A
C
A
图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩
PB
平衡方程：
(a)
B
PB b PA a
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位
移图：
B b A a
综合可得：
(b)
B
即：
B
PA b B PB a A PAA PBB 0
上式是以功的形式表述的。表明：图a的
B'
平衡力系在图b的位移上作功时，功的总
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则 可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基 于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的 求解。
方法二：节点位移求解及平衡关系
要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建 相应的平衡关系，然后再进行求解。
课程介绍
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进
行分析。 二、学习方法：
理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实 际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实 验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩
第一章 绪论
1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943
PA
C
A
Rc
a
b
A'
A
C
A
图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩
PB
平衡方程：
(a)
B
PB b PA a
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位
移图：
B b A a
综合可得：
(b)
B
即：
B
PA b B PB a A PAA PBB 0
上式是以功的形式表述的。表明：图a的
B'
平衡力系在图b的位移上作功时，功的总
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
有限元课件1第一章-1
一.广义协调元
Q4薄板元[2]
该单元采用形函数谱方法，利用Q4膜元形函数导 出，采用四边形面积坐标QAC，单元对 网格畸变 不敏感[2]。
参考文献：[2]王丽，龙驭球，龙志飞.采用面积坐标方法和形函 数谱方法构造四边形薄板元[J].工程力学，2010,27（8）：1-4. 12
二. 基于理性有限元哲理的复合单元法 钟万勰院士于 1996 年提出了理性有限元概念，理性有限 元以弹性力学方程的解为引导，直接在物理面内列式，再 令以数学方法的逼近，求解结果可以取得很大的改善 曾攀教授在理性有限元基础上，研究了如何在单元内把 一个经典解析位移场有效地嵌入到常规有限元位移场中去， 发展了一种新的单元技术—复合单元。 基于理性有限元哲理的复合单元既具有常规有限元的灵 活性又不丢失经典力学具有的高精度，从而大大地提高了 数值分析精度，如今理性有限元已渐渐得到了广泛的应用。
13
二. 基于理性有限元哲理的复合单元法 高精度复合单元法( composite element method, CEM) 的思 想是把经典解析方法和常规有限元结合起来[3] 。
复合单元法的三节点三角形单元[3] a ～c 是1 阶复合自由度 d～f 是2 阶复合自由度
自由悬挂支撑条件下薄板 结构振动分析的计算精度[3]
四. 数值流形法 数值流形法主要优势在于处理如岩体力学等大位移与大变 形问题。
多块体破坏模式的流形元结果[5]
离心机模型试验边坡破坏结果[5]
流形元得出的模拟结果与实验结果相吻合，二阶流形元 法可以正确地模拟带强度的岩石边坡的倾倒破坏[5] 。
19
五. 无网格法
无网格法（ Meshless ）采用一系列无网格节点信息及其 局部支撑域上的权函数来实现局部化精确逼近。无网格方 法一般可分为两大类，一类是以拉格朗日方法为基础的粒 子 法 （ Particle method ） ， 如 光 滑 粒 子 流 体 动 力 学 （Smoothed Particle Hydrodynamics）法、运动粒子半隐 式（ Moving Particle Semiimplicit ）法等；另一类是以 欧拉方法为基础的无格子法（Gridless Methods）。
结构有限元法(绪论)
有限单元法的应用 有限单元法在应用上已远远超过了原来的范围。
它已由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题， 能对原子能反应堆、拱坝、飞机、船体、涡轮叶片等 复杂结构进行应力分析；它已出平衡问题扩展到稳定 问题与动力问题，由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性 问题，由结构的应力分析扩展到结构的优化设计。除 此，它在流体力学、热传导、磁场、建筑声学、 生物力学等等方面部有不同程度的应用。
近几十年来，随着电子计算机的高速化和普遍化， 有限元继续不断地向更加广阔、更加深入的方面发展。
有限单元法的发展借助于两个重要工具，在理论 推导方面，采用了矩阵方法，在实际计算中，采用了 电子计算机。有限元、矩阵、计算机是三位一体的。 由于有了现代化的、先进的计算工具，使得有限单元 法近年来以惊人的速度骤然崛起。
又有效的数值方法。
有限单元法的发展历史 有限单元法最初是在五十年代作为处理固体力学
问题的方法出现的。 追溯历史，早在一九四三年，库兰特(courant)已
应用了“单元”概念。在一九五六年，特纳(Turner) 等人把刚架位移法的解题思路，推广应用于弹性力学 平面问题。他们把连续体划分成一个个三角形的和矩 形的单元，单元中位移函数首先采用了近似表达式， 推导了单元刚度矩阵，建立了单元结点位移与结点力 之间的单元刚度方程。
即物体在引起形变的外力被除去以后，能够完 全恢复其原来的形状，这种性质称为“弹性”。如 果材料又服从虎克定律，即外力与变形之间的关系 成正比，这种弹性就叫做“线性弹性”。在这一假 定下的物体只能发生线性弹性变形。
（2）假设物体是连续的 这假设认为整个物体的体积都被组成这个物体
的物质所填满，而不留下任何空隙。这样物体中应 力、应变和位移等等物理量就可看成是连续的，因 而我们就可用坐标的连续函数来表示它们的变化规 律。
有限元ppt课件
h h
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
Lesson1 有限元第一章绪论
金属成形过程的分析（用Deform软件完成） 分析金属成形过程中的各种缺陷。
型材挤压成形的分析。型材在挤压 成形的初期，容易产生形状扭曲。
螺旋齿轮成形过程的分析
有限元应用实例
T形锻件的成形分析有限元应实例焊接残余应力分析（用Sysweld完成）
结构与焊缝布置
焊接过程的温度分布与轴向残余应力
有限元应用实例
1946年电子计算机诞生，杆系结构的结构矩阵法在计算机 上首先得到应用������
1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽 约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵 位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个 三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得 单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
思考：学习一种数学解题方法的关键？
1.3有限元法的一般描述
1.3.1 有限元法的基本思想
离散法：将不规则区域近似地分成有限个理 想的规则区域，对理想的规则区域一一求解， 从而得到全域的近似解。
依据：如果无限细分，则结果与真实结果无限 接近。•有限单元法是离散法的典型代表。
1.3.1 有限元法的基本思想（P3）
把结构或连续体分割成许多单元。
有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原 有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化， 再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元 之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连 线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格， 平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。
单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量 （vector）：
型材挤压成形的分析。型材在挤压 成形的初期，容易产生形状扭曲。
螺旋齿轮成形过程的分析
有限元应用实例
T形锻件的成形分析有限元应实例焊接残余应力分析（用Sysweld完成）
结构与焊缝布置
焊接过程的温度分布与轴向残余应力
有限元应用实例
1946年电子计算机诞生，杆系结构的结构矩阵法在计算机 上首先得到应用������
1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽 约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵 位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个 三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得 单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
思考：学习一种数学解题方法的关键？
1.3有限元法的一般描述
1.3.1 有限元法的基本思想
离散法：将不规则区域近似地分成有限个理 想的规则区域，对理想的规则区域一一求解， 从而得到全域的近似解。
依据：如果无限细分，则结果与真实结果无限 接近。•有限单元法是离散法的典型代表。
1.3.1 有限元法的基本思想（P3）
把结构或连续体分割成许多单元。
有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原 有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化， 再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元 之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连 线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格， 平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。
单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量 （vector）：
有限元法概论
k1 −k 1 0 −k1 k1 + k2 − k2 0 0 F1 − k2 u2 = P k2 u3 P
u2 2P k1 = u3 2P k1 +P k2
弹簧系统（ 弹簧系统（二）
弹簧（Spring）单元小结 弹簧（Spring）
每个节点1 每个节点1个节点自由度 u 2个节点 i, j 1个输入参数 k 每个节点1 每个节点1个节点力 f 单元刚度矩阵 K e = k −k −k k
例1
单元刚阵 总刚的组装
−k1 k k K = 1 , K 2 = 2 −k −k 1 k1 2
有限单元的类型
一维单元
弹簧、桁架杆、 弹簧、桁架杆、梁、管道等 单元
二维单元
平面问题、薄膜、 平面问题、薄膜、板壳等单 元
三维单元
实体单元
著名有限元法商业软件
ANSYS、MSC－NASTRAN、 ANSYS、MSC－NASTRAN、COSMOS
通用（结构、 通用（结构、热、电磁；线性、非线性） 电磁；线性、非线性）
弹簧2 弹簧2 的受力
f 2 = − f 2i = f 2 j = 200 (N)
杆件系统的有限元法（ 杆件系统的有限元法（一）
y
杆（Bar）单元——二维 Bar）单元——二维
f ′ 1 −1 ui′ i =k f j′ −1 1 u ′j
总体节点力列阵
总体节点自由度列阵
0
− k2
0 u1 F1 −k2 u2 = F2 k2 u3 F3
u2 2P k1 = u3 2P k1 +P k2
弹簧系统（ 弹簧系统（二）
弹簧（Spring）单元小结 弹簧（Spring）
每个节点1 每个节点1个节点自由度 u 2个节点 i, j 1个输入参数 k 每个节点1 每个节点1个节点力 f 单元刚度矩阵 K e = k −k −k k
例1
单元刚阵 总刚的组装
−k1 k k K = 1 , K 2 = 2 −k −k 1 k1 2
有限单元的类型
一维单元
弹簧、桁架杆、 弹簧、桁架杆、梁、管道等 单元
二维单元
平面问题、薄膜、 平面问题、薄膜、板壳等单 元
三维单元
实体单元
著名有限元法商业软件
ANSYS、MSC－NASTRAN、 ANSYS、MSC－NASTRAN、COSMOS
通用（结构、 通用（结构、热、电磁；线性、非线性） 电磁；线性、非线性）
弹簧2 弹簧2 的受力
f 2 = − f 2i = f 2 j = 200 (N)
杆件系统的有限元法（ 杆件系统的有限元法（一）
y
杆（Bar）单元——二维 Bar）单元——二维
f ′ 1 −1 ui′ i =k f j′ −1 1 u ′j
总体节点力列阵
总体节点自由度列阵
0
− k2
0 u1 F1 −k2 u2 = F2 k2 u3 F3
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有限单元法基础
The basis and fundamentals
of finite element methods
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 发展简史和现状 1.3 有限元法的应用 1.4 有限元法的基本思想 1.5 有限元分析实例 1.6 常用商业有限元软件
引言
解析推导可以解决简单的工程问题
有限元发展现状
由求解线性问题发展到求解非线性问题 线性理论已经远远不能满足设计的要求。许多工程问题 如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不 能解决，必须进行非线性分析求解。如：
如，航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要 考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各 种新材料的出现，只有采用非线性有限元算法才能解决。
有限元法的应用
应用领域 土木工程 航空航天 材料加工工程 „„
分析类型
静态分析 模态分析 动态分析
传统设计与现代设计的比较
2D图纸 3D模型 虚拟装配
零部件加工
装配
传统设计
FEA分析
现代设计
虚拟制造 试验 数控加工 产品 产品
有限元应用实例
汽车工业
整车分析
整车分析
有限元应用实例
机体系统—缸体温度场分析
q 2 u( x ) ( 2 Lx x ) 2 EA q ( x) ( L x) EA q ( x) ( L x) A
有限元分析实例
用有限元法求解
第一步：用若干个分点将该直杆 分割成为许多个有限长度的小微 段（这里各小段的长度不一定相 等），并将每个小段的重力等效 地移置到分点上去。分点称为节 点，小段称为单元，移置到节点 后的荷载称为节点荷载。本例中 分成3个小段（单元）。
有限元发展现状
有限元方法的发展三个方向
计算理论：弹性力学、非线性弹性力学、（弹）塑 性力学、复合材料力学、断裂力学和损伤力学等； 计算机硬件：使得计算规模、计算速度和计算机容 量不再是主要矛盾；
通用有限元分析软件：ANSYS、MSC/NASTRAN、 MSC/MARC、ALGOR、IDEAS、 RO/MECHANIC
有限元法分析的基本过程
3. 根据物理条件，建立单元应力和单元 应变之间关系； 4. 根据平衡条件，建立单元节点力和节 点位移之间的关系。 建立整体有限元方程：根据力的平衡条 件和边界条件，集合所有单元。 求解(Solving)：求解整体有限元方程，得 出节点位移。
思考题
思考题1：对于不同的结构，若采用不同的单元， 那么分析方法是否一致？ 答案：Yes！
电子行业
示器玻壳强度分析
有限元应用实例
高层建筑
深圳某民用住宅转换层抗震分析
有限元应用实例
桥梁工程
桥梁施工过程模拟
美国金门桥地震响应分析
桥梁基础沉降分析
有限元应用实例
船舶工程
5万吨集装箱船船体整体结构强度有限元分析
船舶的频率分析
水下爆炸
有限元应用实例
思考题2: 目前已经有许多非常成熟的有限元分析 软件，几乎所有复杂的有限元计算过程都由计算 机来完成，因此有些同学认为：没有必要掌握有 限元理论，只要学好软件程序的使用，就能够做 好有限元分析工作，进而为工程服务。请问，这 种观点是否正确？ 答案：No!
为什么要学习有限元
有限元应用的主要难题 1) 建立计算模型 2) 实现计算模型中各种支承、连接与实际结构相符 3) 确定载荷，尤其是动态载荷、路面载荷或者飞行载荷
有限元发展简史
1960年，Clough将它命名为有限元法，与弹性 力学中的取无限小微体的研究方法相区别。 20世纪60年代，我国数学家冯康：凡是椭圆形 偏微分方程都可用有限元方法求解。
2u 0, 2u 2u 2u ( 2 2 0) 2 x y z
此后，经过数学界的参与，使得FEM得到蓬勃发 展。
在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限 元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问 题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。 目前几乎所有的商业化软件都有功能很强的前置建模和后置 数据处理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网 格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的 计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所 需数据的列表输出。
重力荷载下的底盘的应力分布
刹车制动时底盘的应力分布
有限元应用实例
航空航天
热固耦合问题 – 热烧蚀
整机强度和副翼疲劳强度
飞机的紧急水面迫降
有限元应用实例
石油化工
受内压圆筒斜接管
锥壳径向接管
有限元应用实例
加工成型
圆锥管成型加工过程 进行模拟与仿真
冲压成型的模拟
工字钢成形过程模拟
有限元应用实例
核工业
预应力混凝 土压力容器 安全性分析
轻水反应堆中管道 的安全分析
有限元应用实例
军事工业
子弹穿甲模拟
弹丸超高速碰撞薄板
有限元应用实例
生物力学
人体颈椎后仰应力分析
人体股骨端受力分析
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 发展简史和现状 1.3 有限元法的应用 1.4 有限元法的基本思想 1.5 有限元分析实例 1.6 常用商业有限元软件
4) 施加载荷，以反映各种运动状态 „„
解决上述问题，要通过学习有限元基本理论，结合专 业知识，将学习有限元法和掌握程序操纵技巧结合起 来，才能很好的应用有限元方法和软件来分析解决实 际问题。
有限元法的分类
以方程中未知数代表的意义分类
有限元位移法：未知数为位移 有限元力法：未知数为力
专业有限元分析软件：LS-DYNA、AUTOFORM、 PAM-STAMP、ABQUES、DEFORM、INDEED等。
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 发展简史和现状 1.3 有限元法的应用 1.4 有限元法的基本思想 1.5 有限元分析实例 1.6 常用商业有限元软件
有限元法的应用
作用：实现产品效益最大化目标（降低 开发成本、缩短研制周期） 应用于产品设计开发的各个阶段： 概念设计阶段 产品设计阶段 样机试验阶段 应用领域 机械工程 车辆工程
其中
Ni
xj x x j xi
,
x xi Nj x j xi
Ni，Nj 称为单元形函数，是x的线性函数，反映 单元的位移形态。
有限元分析实例
记形函数矩阵为 [N]=[Ni Nj]
节点位移列阵为
ui { } u j
e
则有节点位移表示的单元位移
引言
对于如图所示的复杂工程问题，能用解析推导的方法解决吗？
引言
对于如图所示的复杂工程问题呢？
引言
复杂工程问题3
引言
解析法无能为力
计算机数值求解
数值求解方法？
有限单元法
finite element methods
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 发展简史和现状 1.3 有限元法的应用 1.4 有限元法的基本思想 1.5 有限元分析实例 1.6 常用商业有限元软件
解得
xi 1 ui uj x j xi x j xi 1 1 2 ui uj x j xi x j xi
xj
有限元分析实例
代回到前式中，得
xj x x xi ui {u} ， =Ni ui N j u j u x x x x j i j i j
有限元发展现状
在大力推广CAD/CAE技术的今天，从自行车到航天飞机，
所有的设计制造都离不开有限元分析计算，有限元在工
程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。主要体现 为：
由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解 由求解线性问题发展到求解非线性问题
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
{u} [ N ]{ }
e
有限元分析实例
下面我们用虚位移原理把每个单元 的重力等效地移置到节点上去。
对单元 eij ，如果该单元重力荷载移置 到节点i、j的节点荷载分别为Pie、Pje， 规定沿坐标轴x的正向为正，那么，单 元荷载移置就是要分析计算一下 Pie 、 Pje的值。
有限元分析实例
我们用eij表示任一单元，其中 的节点编号12、23、34。
为
单元编号①、②、③，ij为其两端点
设线性单元位移函数为
u 1 2 x
其中，1、2为待定常数，可由该单元 节点的位移值ui、uj来确定。
有限元分析实例
单元位移函数也适于单元节点，则由
ui 1 2 xi u j 1 2 x j
有限元混合法：未知数为力和位移
以推导方法分类
直接法
变分法 加权余数法
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 发展简史和现状 1.3 有限元法的应用 1.4 有限元法的基本思想 1.5 有限元分析实例 1.6 常用商业有限元软件
有限元分析实例
设有一根受自重作用的等截面直杆，上端 固定，下端自由，单位杆长的重力为q， 杆长为L，横截面积为A，材料弹性模量为 E。试求该直杆各横截面上的应力。其材 料力学的精确解答：
与CAD软件的无缝集成
有限元发展现状
由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解
The basis and fundamentals
of finite element methods
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 发展简史和现状 1.3 有限元法的应用 1.4 有限元法的基本思想 1.5 有限元分析实例 1.6 常用商业有限元软件
引言
解析推导可以解决简单的工程问题
有限元发展现状
由求解线性问题发展到求解非线性问题 线性理论已经远远不能满足设计的要求。许多工程问题 如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不 能解决，必须进行非线性分析求解。如：
如，航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要 考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各 种新材料的出现，只有采用非线性有限元算法才能解决。
有限元法的应用
应用领域 土木工程 航空航天 材料加工工程 „„
分析类型
静态分析 模态分析 动态分析
传统设计与现代设计的比较
2D图纸 3D模型 虚拟装配
零部件加工
装配
传统设计
FEA分析
现代设计
虚拟制造 试验 数控加工 产品 产品
有限元应用实例
汽车工业
整车分析
整车分析
有限元应用实例
机体系统—缸体温度场分析
q 2 u( x ) ( 2 Lx x ) 2 EA q ( x) ( L x) EA q ( x) ( L x) A
有限元分析实例
用有限元法求解
第一步：用若干个分点将该直杆 分割成为许多个有限长度的小微 段（这里各小段的长度不一定相 等），并将每个小段的重力等效 地移置到分点上去。分点称为节 点，小段称为单元，移置到节点 后的荷载称为节点荷载。本例中 分成3个小段（单元）。
有限元发展现状
有限元方法的发展三个方向
计算理论：弹性力学、非线性弹性力学、（弹）塑 性力学、复合材料力学、断裂力学和损伤力学等； 计算机硬件：使得计算规模、计算速度和计算机容 量不再是主要矛盾；
通用有限元分析软件：ANSYS、MSC/NASTRAN、 MSC/MARC、ALGOR、IDEAS、 RO/MECHANIC
有限元法分析的基本过程
3. 根据物理条件，建立单元应力和单元 应变之间关系； 4. 根据平衡条件，建立单元节点力和节 点位移之间的关系。 建立整体有限元方程：根据力的平衡条 件和边界条件，集合所有单元。 求解(Solving)：求解整体有限元方程，得 出节点位移。
思考题
思考题1：对于不同的结构，若采用不同的单元， 那么分析方法是否一致？ 答案：Yes！
电子行业
示器玻壳强度分析
有限元应用实例
高层建筑
深圳某民用住宅转换层抗震分析
有限元应用实例
桥梁工程
桥梁施工过程模拟
美国金门桥地震响应分析
桥梁基础沉降分析
有限元应用实例
船舶工程
5万吨集装箱船船体整体结构强度有限元分析
船舶的频率分析
水下爆炸
有限元应用实例
思考题2: 目前已经有许多非常成熟的有限元分析 软件，几乎所有复杂的有限元计算过程都由计算 机来完成，因此有些同学认为：没有必要掌握有 限元理论，只要学好软件程序的使用，就能够做 好有限元分析工作，进而为工程服务。请问，这 种观点是否正确？ 答案：No!
为什么要学习有限元
有限元应用的主要难题 1) 建立计算模型 2) 实现计算模型中各种支承、连接与实际结构相符 3) 确定载荷，尤其是动态载荷、路面载荷或者飞行载荷
有限元发展简史
1960年，Clough将它命名为有限元法，与弹性 力学中的取无限小微体的研究方法相区别。 20世纪60年代，我国数学家冯康：凡是椭圆形 偏微分方程都可用有限元方法求解。
2u 0, 2u 2u 2u ( 2 2 0) 2 x y z
此后，经过数学界的参与，使得FEM得到蓬勃发 展。
在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限 元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问 题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。 目前几乎所有的商业化软件都有功能很强的前置建模和后置 数据处理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网 格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的 计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所 需数据的列表输出。
重力荷载下的底盘的应力分布
刹车制动时底盘的应力分布
有限元应用实例
航空航天
热固耦合问题 – 热烧蚀
整机强度和副翼疲劳强度
飞机的紧急水面迫降
有限元应用实例
石油化工
受内压圆筒斜接管
锥壳径向接管
有限元应用实例
加工成型
圆锥管成型加工过程 进行模拟与仿真
冲压成型的模拟
工字钢成形过程模拟
有限元应用实例
核工业
预应力混凝 土压力容器 安全性分析
轻水反应堆中管道 的安全分析
有限元应用实例
军事工业
子弹穿甲模拟
弹丸超高速碰撞薄板
有限元应用实例
生物力学
人体颈椎后仰应力分析
人体股骨端受力分析
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 发展简史和现状 1.3 有限元法的应用 1.4 有限元法的基本思想 1.5 有限元分析实例 1.6 常用商业有限元软件
4) 施加载荷，以反映各种运动状态 „„
解决上述问题，要通过学习有限元基本理论，结合专 业知识，将学习有限元法和掌握程序操纵技巧结合起 来，才能很好的应用有限元方法和软件来分析解决实 际问题。
有限元法的分类
以方程中未知数代表的意义分类
有限元位移法：未知数为位移 有限元力法：未知数为力
专业有限元分析软件：LS-DYNA、AUTOFORM、 PAM-STAMP、ABQUES、DEFORM、INDEED等。
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 发展简史和现状 1.3 有限元法的应用 1.4 有限元法的基本思想 1.5 有限元分析实例 1.6 常用商业有限元软件
有限元法的应用
作用：实现产品效益最大化目标（降低 开发成本、缩短研制周期） 应用于产品设计开发的各个阶段： 概念设计阶段 产品设计阶段 样机试验阶段 应用领域 机械工程 车辆工程
其中
Ni
xj x x j xi
,
x xi Nj x j xi
Ni，Nj 称为单元形函数，是x的线性函数，反映 单元的位移形态。
有限元分析实例
记形函数矩阵为 [N]=[Ni Nj]
节点位移列阵为
ui { } u j
e
则有节点位移表示的单元位移
引言
对于如图所示的复杂工程问题，能用解析推导的方法解决吗？
引言
对于如图所示的复杂工程问题呢？
引言
复杂工程问题3
引言
解析法无能为力
计算机数值求解
数值求解方法？
有限单元法
finite element methods
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 发展简史和现状 1.3 有限元法的应用 1.4 有限元法的基本思想 1.5 有限元分析实例 1.6 常用商业有限元软件
解得
xi 1 ui uj x j xi x j xi 1 1 2 ui uj x j xi x j xi
xj
有限元分析实例
代回到前式中，得
xj x x xi ui {u} ， =Ni ui N j u j u x x x x j i j i j
有限元发展现状
在大力推广CAD/CAE技术的今天，从自行车到航天飞机，
所有的设计制造都离不开有限元分析计算，有限元在工
程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。主要体现 为：
由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解 由求解线性问题发展到求解非线性问题
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
{u} [ N ]{ }
e
有限元分析实例
下面我们用虚位移原理把每个单元 的重力等效地移置到节点上去。
对单元 eij ，如果该单元重力荷载移置 到节点i、j的节点荷载分别为Pie、Pje， 规定沿坐标轴x的正向为正，那么，单 元荷载移置就是要分析计算一下 Pie 、 Pje的值。
有限元分析实例
我们用eij表示任一单元，其中 的节点编号12、23、34。
为
单元编号①、②、③，ij为其两端点
设线性单元位移函数为
u 1 2 x
其中，1、2为待定常数，可由该单元 节点的位移值ui、uj来确定。
有限元分析实例
单元位移函数也适于单元节点，则由
ui 1 2 xi u j 1 2 x j
有限元混合法：未知数为力和位移
以推导方法分类
直接法
变分法 加权余数法
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 发展简史和现状 1.3 有限元法的应用 1.4 有限元法的基本思想 1.5 有限元分析实例 1.6 常用商业有限元软件
有限元分析实例
设有一根受自重作用的等截面直杆，上端 固定，下端自由，单位杆长的重力为q， 杆长为L，横截面积为A，材料弹性模量为 E。试求该直杆各横截面上的应力。其材 料力学的精确解答：
与CAD软件的无缝集成
有限元发展现状
由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解