2019高中数学 第二章 数列 2.3 平面与平面垂直导学案(无答案)新人教A版必修5
高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质导学案(无答案)新人教版必修2 学案
平面与平面垂直的性质【学习目标】（1）在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识； （2）能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养空间观念. （3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用. 重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
难点：运用性质定理解决实际问题。
【课前导学】α⊥β(1)α里的直线都和β垂直吗？(2)什么情况下α里的直线和β垂直？2.平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则垂直于的直线与另一个平面．(2)图形语言： (3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫⇒a ⊥β. (4)作用：①面面垂直⇒垂直；②作面的垂线． 【预习自测】αβ1.已知：两个平面与互相垂直，判断下列命题是否正确：(4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面。
2.课本Ｐ73 第１题（ ） 第３题（ ） 【典例探究】例1如图，已知平面α，β，α⊥β，直线a 满足a ⊥β， a ⊄α，试判断直线a 与平面α的位置关系.例2 已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝lbaαβαβ⊂⊥（1）若b ,则b 。
αββ⊥⊥（2）若=l,b l 则b 。
αβ⊂（3）若b ,则b 垂直于平面内的无数条直线。
A 1B 11CADαβDEF求证：l⊥γ变式：如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求证：BC⊥AC.【总结提升】【反馈检测】1．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是 ()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β2．在空间中，用x、y、z表示不同的直线或平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立，则x、y、z分别表示的元素是()A．x、y、z都是直线 B．x、y、z都是平面C．x、y是平面，z是直线 D．x是直线，y、z是平面3.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.4．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22 AD.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.(3)求三棱锥C-PBD的体积．。
高中数学 232平面与平面垂直的判定导学案 新人教A版必修2 学案
2.3.2平面与平面垂直的判定一、学习目标:知识与技能：正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；过程与方法：培养几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
情感态度与价值观：亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣,同时培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。
二、学习重、难点学习重点: 平面与平面垂直的判定；学习难点: 如何度量二面角的大小。
三、使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上.4、A级是自主学习,B级是合作探究,C 级是提升四、知识链接：直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直的判定定理：直线与平面所成的角：五、学习过程：自主探究一、二面角的定义问题1:半平面：二面角：二面角的表示:二面角的平面角:二面角的平面角∠AOB的特点：(1)角的顶点在棱上；(2)角的两边分别在二面角的两个面上；(3)角的两边分别和棱垂直。
特别指出：①二面角的大小是用平面角来度量的，其范围是[0，0180）；②二面角的平面角的大小与棱上点（角的顶点）的选择无关，是有二面角的两个面的位置惟一确定；③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的直二面角:规律：求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角最终都转化为线与线相交构成的角。
例1：如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱长均为2，求二面角A-BD-C的大小。
二、两个平面互相垂直两个平面互相垂直：两个互相垂直的平面画法：平面α与β垂直，记作：定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
高中数学人教版必修2导学案设计：2.3.2面面垂直判定(无答案)
高二数学必修2 2.3.2平面与平面垂直的判定学案【学习目标】:理解二面角的概念,掌握平面与平面垂直的判定【重难点】重点：能用面面垂直的判定定理证明面面垂直及求二面角的大小.难点: 求二面角的大小【知识】1、二面角(1)半平面的定义: 平面内的一条直线把这个平面分成________部分, 其中的每一部分都叫做半平面.(2)二面角的定义: 从一条直线出发的两个_________所组成的_________叫做二面角。
其中的直线叫做二面角的_____, 这两个半平面叫做二面角的_______.(3)二面角的记法: 棱为AB, 面分别为α, β的二面角记作二面角也可以用点记如二面角(4)二面角的平面角:在二面角的棱l上任取一点O, 以点O为垂足, 在半平面α和β内分别作__________于棱l的射线OA和OB, 则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 范围为2、面面垂直1、定义：平面角是_____的二面角叫做直二面角. 就说两个平面互相垂直2、判定定理①文字语言: 一个平面过另一个平面的__________, 则这两个平面垂直.②符号语言:【学法指导】垂直的转化（线面垂直→面面垂直）【学习内容】课本69页例3课本69页探究变式：如图2，P 是△ABC 所在平面外一点，AP、AB、AC两两垂直．求证：平面PAC⊥平面PAB.例2：如图4，已知PA ⊥平面ABCD，ABCD 为矩形，PA＝AD，M、N 分别是AB、PC 的中点，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.【学习小结】面面垂直的判定【达标检测】1.过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A. 0个B. 1个C. 无数个D. 1个或无数个2. 在三棱锥P－ABC中, 已知PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则在三棱锥P－ABC 的四个面中, 互相垂直的面有______对.3三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点．1)求证：B1C∥平面AC1M；(2)求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B.【学习反思】垂直的转化作业：试卷。
人教版高中数学(必修二)导学案：2.3.4平面和平面垂直的性质(无答案)
地面黑板高二数学 SX-G2-B2-U2-L2.3.42.3.4 《平面与平面垂直的性质》导学案编写人： 审核：高二数学组 编写时间：一、教学目标：1、结合课本第71-72页的叙述，能自己独立证明平面与平面垂直的性质定理；2、能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述平面与平面垂直的性质定理；3、进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想。
二、教学重、难点：重点：平面与平面垂直的性质及其应用。
难点：掌握两个平面垂直的性质及应用。
三、使用说明及学法指导:1、要求预习教材 P71~ P72，找出疑惑之处，并用笔画出来。
2、引导学生注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
四、知识链接:1、直线与平面垂直的判定定理是_____________________________________________________。
2、直线与平面垂直的性质定理是______________________________________________________。
3、两个平面垂直的定义是 。
4、两个平面垂直的判定定理是 。
五、教学过程:问题1：如图，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？这样的直线有多少条？它们之间有什么位置关系？在图中画出来。
由此，是否可以得出相关结论。
问题2：如图，长方体ABCD －A'B'C'D'中，平面A'ADD'与平面ABCD垂直，直线A'A 垂直于其交线AD ，平面A'ADD ’内的直线A'A 与平面ABCD 垂直吗？若垂直，能给出证明过程吗？试试看。
C AB βαD aαβ问题3：已知αβ⊥，,CD AB αβα=⊂I，,AB CD ⊥且 =B,AB CD I 求证：.AB β⊥归纳得到平面与平面垂直的性质定理:定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
高中人教版数学必修2《平面与平面垂直》精品导学案
平面与平面垂直学习目标：（1）正确理解和掌握“两个平面互相垂直”的概念；（2）掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理及其简单的应用；（3）理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.学习重点：平面与平面垂直的判定；学习难点：平面与平面垂直的判定。
一．复习引入：直二面角的定义：二．新课探知：1、平面与平面垂直的定义两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直。
若α和β垂直，表示为画出两个平面垂直的图像。
2、平面与平面垂直的判定定理（1）探究问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？（2）平面与平面垂直的判定定理：文字语言：____________________________________________简单概括：⇒符号语言：__________________________________________图形语言：反思：定理的实质是什么？__________________________________________作用：___________________________________________________________3、平面与平面垂直的判定定理应用例1、如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点, 求证:平面PAC⊥平面PBC.例2、已知如图AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，求证：平面ACD ⊥平面ABC.你还能发现哪些平面互相垂直？课后练习：1、下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. ④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直；其中正确的说法个数是（ ）.A.1B. 2C. 3D. 42、在三棱锥A —BCD 中，如果AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么（ ）.A. 平面ABD ⊥平面ADCB. 平面ABD ⊥平面ABCC. 平面BCD ⊥平面ADCD. 平面ABC ⊥平面BCD3、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）.A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°4、在直二面角AB αβ--棱AB 上取一点P ，过P 分别在,αβ平面内作与棱成45°角的斜线PC 、PD ，则∠CPD 的大小是（ ）.A ．45°B ．60°C ．120°D ．60°或120°5、设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下说法：①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆垂心； ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆垂心；③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC ==；④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心.6、E 是正方形ABCD 的AB 边中点，将△ADE 与△BCE 沿DE 、CE 向上折起，使得A 、B 重合为点P ，那么二面角D —PE —C 的大小为 .7、如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且PA ⊥平面ABCD 则在△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PAD 、△PAC 及△PBD 中，为直角三角形有_________个．8、A 是ΔBCD 所在平面外一点，AB=AD ，BC=CD,E 是BD 的中点，求证：平面AEC ⊥平面BCD9、已知Rt ∆ABC 中，AB=AC=a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角。
[精品]新人教A版必修二高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定导学案
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2. 3.2平面与平面垂直的判定【教学目标】（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
【教学重难点】重点：平面与平面垂直的判定。
难点：找出二面角的平面角。
【教学过程】（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们先利用具体的实物来进行观察,研探。
（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求OA ⊥L ，OB⊥L ；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
人教版高中数学(必修二)导学案：2.3.1直线和平面垂直的判定(无答案)
高二数学SX-G2-B2-U2-L2.3.12.3.1 《直线与平面垂直的判定》导学案编写人：审核：高二数学组编写时间：一、教学目标：1. 掌握直线与平面垂直的定义2. 掌握直线与平面垂直判定的定理3.理解直线与平面所成的角的定义及求法二、教学重难点学习重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
学习难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用三、教学策略:1、限定学生40分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求学生把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、对学生要求实验班完成80%以上问题,,平行班完成60%以上.4、A级是自主学习,B级是合作探究,C级是提升四、知识链接:直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行五、教学过程:1、线面垂直的定义A问题1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？A 问题2、直线与平面垂直的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α. 直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。
符号语言： 图形语言：思想： 直线与平面垂直 ⇒直线与平面垂直A 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？ （2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？即若αα⊂⊥a l ,，则a l ⊥2、直线与平面垂直的判定定理A 问题3、请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD （如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）（图1） （图2）（1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ A 问题4、直线与平面垂直的判定定理。
【学优推荐】高中数学新人教A版必修2学案第二章《23直线、平面垂直的判定及其性质》.doc
数学必修二第二章《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》导学案【学习目标】（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论；（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平血互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平血垂直的判定定理；（5）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用【重点难点】重点：直线与平僧垂直的定义和判定定理的探究；平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小实物观察，类比归纳，语言表达空间点、直线、平面之间的位置关系【学法指导】【知识链接】【学习过程】・一•预习自学1.线面垂直定义：如果一条直线/和平面a内的________________________________ ,我们就说直线/和平面a互相垂直，记作 ___________ ，其中直线/叫做平面的垂线，平面a叫做直线/的_________________ 直线与平面的交点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理：_______________________________________________________________3.平面的斜线：_____________________________________________________________________________4.直线和平面所成的角：_____________________________________________________________________5.____________________________________________________________________________________ 二面角： _____________________________________________________________________________________6.____________________________________________ 二面角的平面角：_________________________________________________ ・・______________________________7.面面垂直两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________________________ ,就说这两个平面互相垂直.记作 _____________两平面垂直的判定定理： _____________________________________________________________________ &直线和平面垂直的性质定理:9.两平面垂直的性质定理:二.典型例题例1.已知昭丄00所在的平面，初是的直径，C是。
高中数学 第二章 数列 2.3 直线与平面垂直导学案(无答案)新人教A版必修5
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————2.3 直线与平面垂直【基本知识】 1.直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或 相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直.3.直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论1：如果在两条 中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.推论2：如果两条直线，那么这两条直线平行.【归纳·升华·领悟】（1）判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交（即平行），即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的. 【典型例题】考点一 线面垂直的定义及判定定理的理解例1.有下列四个命题，正确的命题的序号是.①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m ，n 和平面α，若m n ⊥，m α⊥，则n α∥；③a ，b ，l 表示三条不同的直线，α表示平面，若a α⊂，b α⊂，l a ⊥，l b ⊥，则l α⊥；④若直线a 不平行于平面α，则直线a 垂直于平面α. 考点二 线面垂直的判定例2.如图所示，已知PA 垂直于O e 所在的平面，AB 是O e 的直径，C 是O e 上任意一点，过点A 作AE PC ⊥于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .考点三 线面垂直性质（推论2）的应用例 3.如图所示，正方体1111A B C D ABCD -中，EF 与异面直线AC ，1A D 都垂直相交.求证：1EF BD ∥.【习题跟踪】1.如果直线l 与平面α不垂直，那么在平面α内（ ）A.不存在与l 垂直的直线B.存在一条与l 垂直的直线C.存在无数条与l 垂直的直线D.任一条都与l 垂直2.下列说法中，正确的是（ ）A.若直线l 与平面α内无数条直线垂直，则l α⊥B.若直线l 垂直于平面α，则l 与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C.若a b ∥，a α⊂，l α⊥，则l b ⊥D.若a b ⊥，b α⊥，则a α∥的3.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，M 为线段1BB 上一动点，则直线AM 与直线BC 的位置关系为 .4.如图所示，在斜边为AB 的Rt ABC ∆中，过点A 作PA ⊥平面ABC ，AM PB ⊥于M ，AN PC ⊥于N .（1）求证：BC ⊥平面PAC ； （2）求证：PB ⊥平面AMN .5.已知直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面α，m n M =I ，直线a m ⊥，a n ⊥，直线b m ⊥，b n ⊥，则直线,a b 的位置关系是.6.如图，ABC ∆是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且2AE AB a ==，CD a =，F是BE 的中点，求证：（1）DF ∥平面ABC ； （2）AF BD ⊥.【方法·规律·小结】1.直线与平面垂直的判定方法 （1）利用定义；（2）利用判定定理关键是在面内找两条相交直线. 2.对于线面垂直的性质定理（推论2）的理解（1）直线与平面垂直的性质定理（推论2）给出了判定两条直线平行的另一种方法. （2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.。
高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定导学案 新人教A版必修2(3)
浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定导学案新人教A版必修2一、预案知识点1：二面角的定义__________________________________________________________________知识点2：度量二面角的大小（二面角的平面角）二面角的平面角：_______________________________________________________________知识点3：两个平面互相垂直两个平面互相垂直：_________________________________________两个互相垂直的平面画法：平面 与β垂直，记作：_________知识点4：面面垂直的判定定理判定两个平面互相垂直的定理: _______________________________________二、导案1.学习目标:1）．正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；2）．掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用。
2.学习重、难点重点: 平面与平面垂直的判定；难点:选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题。
3.教学过程：问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：观察打开的门与门框所在平面所成的角，请你类比平面角尝试用数学的语言来描述它。
问题3：我们常说“把门开大些”，是指哪个角大一些？我们应该怎样刻画二面角的大小呢？问题4：这个角的边与二面角的棱有什么关系？角AOB的大小与点O在L上的位置有关吗？问题5：教室相邻的两个面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱平面及其度数。
问题6：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理？例2：已知AB ⊥平面BC D ，BC ⊥CD 你能发现哪些平面互相垂直，为什么？例3:如图四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱长均为2，求二面角A-BD-C 的大小。
高中数学 第二章2.3.3～2.3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质导学案 新人教A版必修2
2.3.3～2.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质问题导学一、线面垂直性质的应用活动与探究1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．迁移与应用1．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( )①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．A．1 B．2 C．3 D．02．已知α∩β＝l，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B，a⊂α，a⊥AB．求证：a∥l．线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方法，在有线面垂直的条件下，要得平行线，可先考虑线面垂直的性质．二、面面垂直的性质的应用活动与探究2如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．若G为AD的中点，求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB．迁移与应用如图，已知V是△ABC外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC．求证：AC⊥AB．面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．三、线线、线面、面面垂直的综合应用活动与探究3如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．迁移与应用如图，平面PAC⊥平面ABC，试作出二面角P－AB－C的平面角．线面垂直的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，在解答垂直关系问题时要注意已知垂直条件，特别是线面垂直与面面垂直性质的应用．当堂检测1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )A．α∥γ B．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能2．下列说法中不正确的是( )A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边B．同一个平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3．平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有( )A．l∥βB．l⊂βC．l与β相交D．以上三种情况都有可能4．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长度．5．如图所示，三棱锥S－ABC中，平面SBC⊥底面ABC，且SA＝SB＝SC，试判断△ABC 的形状．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．平行a⊥α，b⊥α⇒a∥b预习交流1(1)提示：如图，过直线l作两个平面，分别与两个平面α，β相交于a，a′，b，b′，∵l⊥α，∴l⊥a，l⊥b．∵l⊥β，∴l⊥a′，l⊥b′．∴a∥a′，b∥b′．又a与b相交，a′与b′相交，∴α∥β．∴垂直于同一条直线的两个平面平行．(2)提示：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．2．垂直于交线α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l预习交流2(1)提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，∴a∥l．∴l ∥β或l ⊂β，即直线l 与平面β平行或在平面β内．(2)提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：对于(1)要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD 1⊥平面A 1DC ．对于(2)可利用平行的传递性加以证明．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D ． 又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1．∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON12CD 12AB ． ∴ON ∥AM ．又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ．∴M 是AB 的中点． 迁移与应用 1．B 2．证明：EA ⊥α，EB ⊥β, α∩β＝l ⇒⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥EA l ⊥EB ⇒l ⊥平面EAB ．又∵a ⊂α，EA ⊥α，∴a ⊥EA ．又∵a ⊥AB ，∴a ⊥平面EAB ．∴a ∥l ．活动与探究2 思路分析：(1)可利用面面垂直的性质定理去证明；(2)可通过垂直关系来转化．证明：(1)连接BD ，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为正三角形．又G为AD的中点，∴BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，∴BG⊥平面PAD．(2)∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．由(1)知BG⊥AD，又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG．∴AD⊥PB．迁移与应用证明：在平面VAB内，过点B作BD⊥VA于D．∵平面VAB⊥平面VAC，且交线为VA，∴BD⊥平面VAC．∴BD⊥AC．∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC．∵BD∩VB＝B，且VB⊂平面VBA，BD⊂平面VBA，∴AC⊥平面VBA，∴AC⊥AB．活动与探究3 思路分析：根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l与其平行即可．解：已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．求证：l⊥γ．证明：方法一：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β．∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB．又PA∩PB＝P，且PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ．方法二：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ．∴m∥n．又n⊂β，∴m∥β．又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l．∴l⊥γ．迁移与应用解：如图，在平面PAC内，过点P作PO⊥AC于O，在平面ABC内，过O作OD⊥AB于D，连接PD．则∠PDO就是二面角P－AB－C的平面角，证明如下：∵PO⊥平面ABC，∴AB⊥PO．又∵OD⊥AB，∴AB⊥平面PDO，∴AB⊥PD．∴∠PDO满足二面角的平面角的定义，即是二面角P－AB－C的平面角．【当堂检测】1．D 2．D 3．D4．解：∵AC⊥l，AC＝3 cm，AB＝4 cm，∴BC＝5 cm．∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD⊂β，∴BD⊥α．又BC⊂α，∴BD⊥BC．在R t△BDC 中，DC＝BD2＋BC2＝13 cm．5．解：如下图所示，取BC的中点O，∵SB＝SC，∴SO⊥BC．∵平面SBC⊥底面ABC，∴SO⊥平面ABC．∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC．∴∠A＝90°．∴△ABC为直角三角形．。
高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质导学案(无答案)新人教A版必修2
2.3.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。
【学习目标】1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用；2. 了解反证法证题的思路和步骤；3. 掌握平行与垂直关系的转化.【重点】理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用【难点】掌握平行与垂直关系的转化一、自主学习1.预习教材P70～ P72, 找出疑惑之处复习1：直线与平面垂直的性质定理是______________________________________________________.复习2：直线与平面垂直的判定定理是______________________________________________________.复习3：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.复习4：两个平面垂直的判定定理是_______________________________________________________.复习5：①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________；②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.2.导学提纲探究：直线与平面垂直的性质定理问题1：东升汇景酒店门口竖着三根旗杆，它们与地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系又是什么样的？问题2：如图12-1，长方体的四条棱AA'、BB'、CC'和DD'与底面ABCD是什么关系？它们之间又是什么关系？.图12-1反思：由以上两个问题，你得出了什么结论？自己能试着证明吗？和其它同学讨论讨论，看看难在哪里？问题3：如图12-2，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？黑板地面图12-2''与面问题4：如图12-3，在长方体中，面A ADDABCD垂直，AD是其交线，则直线AA'与AD关系如何？直线AA'与面ABCD呢？图12-3反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.二、典型例题例1. 如图12-3，已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，求证：a∥b.图12-4小结：由于无法直接运用平行直线的判定知识来证明a∥b,我们假设,a b不平行,进而推出“经过直线上同一点有两条直线与该直线垂直”的错误结论，说明假设不正确，即原命题正确：a∥b.这种证明命题的方法叫做“反证法”.例2 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.小结：体会“平行”与“垂直”之间的转化.例3 如图12-5，四棱锥P ABCD-的底面是个矩形，==PAB是等边三角形，且侧面PAB垂直于底面ABCD.AB BC2,⑴证明：侧面PAB⊥侧面PBC；⑵求侧棱PC与底面ABCD所成的角.图12-5三、拓展探究1.如图12-6，CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ， l αβ=I ，a α⊂，且a AB ⊥，求证：a ∥l图12-62. 平面α⊥平面β，P α∈，过点P 作平面β的垂线a ，求证：a α⊂.3．如图12-7，AB 是异面直线,a b 的公垂线（与,a b 都垂直相交的直线），a α⊥，b β⊥，c αβ=I ，求证：AB ∥c .图12-74． 如图12-8，,,CD CD AB αββ⊥⊂⊥，CE ,EF ⊂ α，90FEC ∠=°，求证：面EFD ⊥面DCE .图12-8四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后巩固处理练习册。
2019高中数学 第二章 数列 2.3 平面与平面垂直导学案(无答案)新人教A版必修5
2.3 平面与平面垂直【基本知识】知识点一 平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义如果两个平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.知识点二 平面与平面垂直的性质【归纳·升华·领悟】1.对于平面与平面垂直的判定定理的理解平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可.2.对面面垂直的性质定理的理解 （1）定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直.（2）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直. （3）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直. 【典型例题】考点一 面面垂直的判定例1.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，D 是棱1AA 的中点. 求证：平面1BDC ⊥平面BDC考点二 面面垂直的性质例2.如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC . 求证：BC AC ⊥.考点三 线线、线面、面面垂直的综合问题例3.已知：如图，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，AE ⊥平面PBC ，E 为垂足. （1）求证：PA ⊥平面ABC ；（2）当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形.【习题跟踪】1.给出下列四个命题：①若直线l 与平面α内无数条直线垂直，则直线l ⊥平面α；②平面α与β分别过两条互相垂直的直线，则αβ⊥；③若直线l ⊥平面α，则存在a α⊂，使l a ∥；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则αβ⊥.其中正确命题的个数为（ ） A.1B.2C.3D.42.ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD CE ∥，且2CE CA BD ==，M 是EA 的中点，求证：（1）DE DA =；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA .3.已知平面α，β和直线m ，l ，则下列命题中正确的是（ ）A.若αβ⊥，m αβ=I ，l m ⊥，则l β⊥B.若m αβ=I ，l α⊂，l m ⊥，则l β⊥C.若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥D.若αβ⊥，m αβ=I ，l ⊂，l m ⊥，则l β⊥4.如图，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是60DAB ∠=︒且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .若G 为AD 的中点，求证：（1）BG ⊥平面PAD ；（2）AD PB ⊥.5.如图，沿直角三角形ABC 的中位线DE ，将平面ADE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE 得到四棱锥A BCDE -.求证：平面ABC ⊥平面ACD .6.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别为CD 和PC 的中点，求证：（1）PA ⊥底面ABCD ； （2）BE ∥平面PAD ； （3）平面BEF ⊥平面PCD .【方法·规律·小结】线线、线面、面面垂直的关系线线垂直垐垎噲垐判定定义线面垂直垐垎噲垐判定性质面面垂直 运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.。
人教版高中数学(必修二)导学案：2.3.2平面和平面垂直的判定(无答案)
高二数学 SX-G2-B2-U2-L2.3.22.3.2 《平面与平面垂直的判定》导学案编写人： 审核：高二数学组 编写时间：一、教学目标：1、掌握二面角及其平面角的相关知识2．掌握面面垂直的定义和判定定理；并用来解决相关知识二、教学重难点平面与平面垂直的判定；三、教法指导:1、阅读教材，查阅资料。
四、知识链接:1、二面角的定义：__________________________________________________，下图中的二面角可记作： ；也可记作： 。
如果将棱记作l ，那么这个二面角记作： 或 。
2、二面角的大小由 来度量，二面角的 是多少度，就说这个二面角是多少度。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
例1：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求： （ⅰ）二面角C-BB 1-A 的大小（必做） （ⅱ）二面角C-BD-B 1的大小（必做）五、教学过程: (一) 二面角问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？ACBB 1A 1DC 1D 1它们有什么共同的特征？问题3、二面角的有关概念角二面角图形A边顶点 O B边Aβ棱lB α定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形构成射线—点（顶点）一射线表示∠AOB问题5（二）平面与平面垂直的定义及其判定定理定义定理三种语言知识小结：平面与平面垂直的判定方法有哪些？（三）例题分析题型一、面面垂直的定义及判定定理的应用例1 如图，在四面体ABCD中，2a ，AB=AD=CB=CD=AC=a 求证：平面ABD⊥平面BCD.练习：如图，在三棱锥V ABC -中，90oVAB VAC ABC ∠=∠=∠=，试判断平面VBA 与平面VBC 之间的位置关系，并说明理由。
题型二 二面角的求法例2已知:如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 1的正切值. 思路分析：解答求二面角问题的关键是根据已知条件先找出或作出平面角.练习：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中：（1）二面角A 1-AB-D 的大小为：（2）二面角D 1-AB-D 的大小为： （3）二面角D 1-BC-D 的大小为题型三 二面角的定义及面面垂直判定定理的内容 例3 判断是非:（1）两个相交平面组成的图形叫做二面角.（ ）（2）异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补.（ ）（3）二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角.（ ） （4）二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.（ ）VABC（5）若平面α⊥平面β,则α内的所有直线都与β垂直.（ ）（6）若平面α和平面β不垂直，则平面α内所有直线与β都不垂直.（ ）变式：过空间一点引和二面角两个面垂直的射线，则此二射线夹角和二面角的平面角的大小是（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.以上都不对 六、当堂检测1．已知PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，垂足为A ，连结,,,,PB PC PD AC BD ，则互相垂直的平面有 （ ）()A 5对 ()B 6对 ()C 7对 ()D 8对2．若三个平面γβα,,，之间有α⊥γ，β⊥γ，则α与β （ ）()A 垂直 ()B 平行()C 相交 ()D 以上三种可能都有3．在四面体ABCD 中，3,2AB AC AD ===，且60DAC BAC BAD ∠=∠=∠=o， 求证：平面BCD ⊥平面ADC4．如图，四棱锥P ABCD -是的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是,AB PD的中点，又二面角P CD B --的大小为45o， （1）求证：//AF 面PEC ；（2）求证：平面PEC ⊥平面PCD ； （3）设2,AD CD ==A 到平面PEC 的距离；A BCDPEFBADC5．三棱锥P ABC -中，,PB PC AB AC ==，点D 为BC 中点，AH PD ⊥于H 点，连BH ， 求证：平面ABH ⊥平面PBC七、教学反思：八．课后巩固1、如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l=β∩γ，l ∥α，m ⊂α，m ⊥γ，那么有（ ）A.α⊥γ和l ⊥mB.α∥γ和m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β和α⊥γ 2、正方体AC 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1和A 1D 1的中点，则截面AMN 与平面A 1MN ，所成的角的正弦值是（ ） A.552 B.83C.322D.36 3．如图正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是111111,,,A B BC C D B C 的中点， 求证：平面MNF ⊥平面ENF 。
高中数学人教A版必修22.3.2 平面与平面垂直的判定 导学案(无答案)
优质资料---欢迎下载§2.3.2 平面与平面垂直的判定教学目标：1.正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；2.掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； 教学重点、难点：重点：两个平面垂直的判定； 难点：两个平面垂直的判定及应用。
教学过程： 1．二面角的定义：从 所组成的图形，叫做二面角．这条直线叫做 ，这两个半平面叫做 ．棱为AB 、面分别为,αβ的二面角记作二面角 ．在,αβ内分别取点,PQ ，将这个二面角记作二面角 ．如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角 或 ． 2．二面角的平面角定义:在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足， 在半平面α和β内 的射线OA 和OB ， 则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做 . 二面角的平面角的范围是 ．3．二面角的大小可以用它的 来度量，二面角的 是多少度，就说这个二面角是多少度． 的二面角叫做直二面角． 4．平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们 ，就说这两个平面互相垂直． 平面α与β垂直，记作 ．5.两个互相垂直的平面的画法：6.平面与平面垂直的判定定理：典型例题：例1.如图，在四面体A BCD -中，2AB AC BC BD CD =====，AD =A BC D --的大小。
变式：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， 求二面角11A BD C --的余弦值。
ACD1B1C1D1ADCBA例2．如图，已知AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．例3．如图，在四面体ABCD 中，BA BD =，CD CA =，,,E G F 分别为,CD DA 和AC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGC ．例4．如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，PA =，BCDA EFGEDCA BP2AD =，AB =6BC =。
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2.3 平面与平面垂直
【基本知识】
知识点一平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
如果两个平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.
知识点二平面与平面垂直的性质
【归纳·升华·领悟】
1.对于平面与平面垂直的判定定理的理解
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可.
2.对面面垂直的性质定理的理解
（1）定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直.
（2）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
（3）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
【典型例题】
考点一面面垂直的判定
例1.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，D 是棱1AA 的中点. 求证：平面1BDC ⊥平面BDC
考点二 面面垂直的性质
例2.如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC . 求证：BC AC ⊥.
考点三 线线、线面、面面垂直的综合问题
例3.已知：如图，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，AE ⊥平面PBC ，E 为垂足.
（1）求证：PA ⊥平面ABC ；
（2）当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形.
【习题跟踪】
1.给出下列四个命题：①若直线l 与平面α内无数条直线垂直，则直线l ⊥平面α；②平面α与β分别过两条互相垂直的直线，则αβ⊥；③若直线l ⊥平面α，则存在a α⊂，使l a ∥；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则αβ⊥.
其中正确命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
2.ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD CE ∥，且2C E C A B D ==，M 是EA 的中点，求
证：
（1）DE DA =；
（2）平面BDM ⊥平面ECA ；
3.已知平面α，β和直线m ，l ，则下列命题中正确的是（ ）
A.若αβ⊥，m αβ=I ，l m ⊥，则l β⊥
B.若m αβ=I ，l α⊂，l m ⊥，则l β⊥
C.若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥
D.若αβ⊥，m αβ=I ，l ⊂，l m ⊥，则l β⊥
4.如图，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是60DAB ∠=︒且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .若G 为AD 的中点，
求证：（1）BG ⊥平面PAD ；（2）AD PB ⊥.
5.如图，沿直角三角形ABC 的中位线DE ，将平面ADE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE 得到四棱锥A BCDE -.求证：平面ABC ⊥平面ACD .
6.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，
PA AD ⊥，E 和F 分别为CD 和PC 的中点，求证：
（1）PA ⊥底面ABCD ； （2）BE ∥平面PAD ；
【方法·规律·小结】
线线、线面、面面垂直的关系
线线垂直垐垎噲垐判定定义线面垂直垐垎噲垐判定性质
面面垂直 运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.。