2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算不同．1．向量的坐标(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．(3)在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2，则对任一向量a ，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a ＝(a 1，a 2)．其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在y 轴上的坐标分量.(4)向量的坐标：设点A 的坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )．符号(x ，y )在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x ，y )，或向量(x ，y )．名师点拨同一个向量不论怎样平移，其坐标都是唯一的．这一结论告诉我们，当一个向量在原来位置不容易解决问题时，可以通过平移到合适的位置再进行处理，这样可以使得问题得以转化．与坐标轴平行的向量的坐标有何特点？答：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即b ＝(0，y )；与y 轴平行的向量的横坐标为0. 【自主测试1】已知{e 1，e 2}为正交基底，且e 1，e 2为单位向量，a 在此基底下的坐标为(2 011，－2 012)，且a ＝x e 1＋y e 2，则x ＝__________，y ＝__________.答案：2 011 －2 012 2．向量的直角坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2)，即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；若λ∈R ，则λa ＝(λa 1，λa 2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．归纳总结(1)在同一直角坐标系中，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如A (3,5)，B (6,8)，C (－5,3)，D (－2,6)，则AB →＝(3,3)，CD →＝(3,3)，显然AB →＝CD →，但A ，B ，C ，D 各点的坐标却不相同．(2)在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法．【自主测试2－1】已知a ＝(1，－1)，b ＝(3,0)，则3a －2b 等于( ) A ．(5,3) B ．(4，－1) C ．(－2，－1) D ．(－3，－3) 答案：D【自主测试2－2】已知向量ON ＝(9，－7)(O 为原点)，则点N 的坐标为( ) A ．(9，－7) B ．(9,7)C ．(－9,7)D ．(－9，－7) 答案：A对平面向量的坐标表示的理解剖析：(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y )．(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(3)在同一直角坐标系中，向量确定后，向量的坐标就被确定了，相等的向量，其坐标的表示必然相同．(4)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示．有了向量坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．题型一 求向量的坐标【例题1】已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为线段AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．分析：表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→得相应向量的坐标 解：如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 则AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.反思(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．〖互动探究〗本例中，在原条件的基础上，加上“E 为线段AB 的中点，G 为三角形ABC的重心”，求向量CE →，AG →，BG →，GD →的坐标．解：CE →＝(0，－3)，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36.题型二 平面向量的坐标运算【例题2】已知a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与MN →相等，其中M (－1,3)，N (1,3)，求x 的值．分析：先用坐标表示出向量MN →，然后根据两向量相等的充要条件列出关于x 的关系式．解：∵M (－1,3)，N (1,3)，∴MN →＝(2,0)．又∵a ＝MN →，∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1. 故x 的值为－1.反思向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行．若已知表示向量的有向线段的两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【例题3】已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，以AB ，AC 为一组基底来表示AD ＋BD ＋CD .分析：首先由点A ，B ，C 的坐标求得向量AB ，AC ，AD ，BD ，CD 等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式AD ＋BD ＋CD ＝mAB →＋nAC →，再列出关于m ，n 的方程组，进而解方程求出m ，n 的值．解：AB ＝(1,3)，AC ＝(2,4)，AD ＝(－3,5)，BD ＝(－4,2)，CD ＝(－5,1)， ∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m ，n ，使得AD ＋BD ＋CD ＝mAB →＋nAC →，即(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)，也就是(－12,8)＝(m ＋2n,3m ＋4n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝－22.∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB →－22AC →.反思本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目，求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点，尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标．题型三 用向量法证明几何问题【例题4】如图所示，正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF .分析：本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标法来解决，为此只要写出PA 和EF 的坐标，证明其模相等即可．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，则A (0，a )．设|D P →|＝λ(λ＞0)，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，22λ，∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，－22λ，PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，a －22λ.∵|EF |2＝λ2－2a λ＋a 2，|PA |2＝λ2－2a λ＋a 2， ∴|EF |＝|PA |，即PA ＝EF .反思直接证明几何命题有时较复杂，但合理建立坐标系，利用向量的坐标运算将几何中的边或角进行转换，往往能起到事半功倍的效果．题型四 易错辨析【例题5】已知A (3,5)，B (－2，－3)，将线段AB 向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段A ′B ′，则向量A ′B ′→的坐标为__________．错解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)，再根据平移，得A ′B ′→＝(－5－6，－8＋1)＝(－11，－7)．错因分析：向量是自由向量，向量的平移不会改变其坐标，但会影响其始点和终点的坐标．正解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)．又∵A ′B ′→＝AB ，∴A ′B ′→＝(－5，－8)．1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－2)，则a ＋b 与a －b 的坐标分别为( ) A ．(0,0)，(－2,4) B ．(0,0)，(2，－4) C ．(－2,4)，(2，－4) D ．(1，－1)，(－3,3) 答案：A2．已知AB ＝(x ，y )，点B 的坐标为(－2,1)，则OA 的坐标为( ) A ．(x －2，y ＋1) B ．(x ＋2，y －1) C ．(－2－x,1－y ) D ．(x ＋2，y ＋1) 解析：∵AB ＝OB －OA ，∴OA ＝OB －AB ＝(－2－x ，1－y )． 答案：C3．已知a ＝(－7,24)，|λa |＝50，则λ等于__________．解析：∵|λa |＝|λ||a |＝－2＋242|λ|＝50，∴|λ|＝2，∴λ＝±2.答案：±24．已知A (3，－1)，则OA 所在的直线与x 轴所夹的锐角为__________．解析：易知点A 在第四象限，如图，作AH ⊥x 轴于点H ，则在Rt △AHO 中，AH ＝1，HO＝3，则tan ∠HOA ＝33，故∠HOA ＝30°.答案：30°5．若作用在坐标原点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则作用在原点的合力F 1＋F 2＋F 3的坐标为__________．答案：(8,0)6．在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求出下列位移向量的坐标(如图所示)．(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个单位长度；(2)向量b 表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度； (3)向量c 表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度．解：如题图所示，设OP →＝a ，OQ →＝b ，OR →＝c ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)． x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为e 1，e 2.(1)因为∠POP ′＝45°，|OP →|＝2，所以a ＝OP →＝OP ′→＋P ′P →＝2e 1＋2e 2. 所以a ＝(2，2)．(2)因为∠QOQ ′＝60°，|OQ →|＝4，所以b ＝OQ →＝OQ ′→＋Q ′Q →＝－2e 1＋23e 2. 所以b ＝(－2,23)．(3)因为∠ROR ′＝30°，|OR →|＝6，所以c ＝OR →＝OR ′→＋R ′R →＝33e 1－3e 2. 所以c ＝(33，－3)．。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐 标公式
一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标
符号表示
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:确定出终点的坐标,即可确定向量������������的坐标. 解:设点 A(x,y), 则 x=|OA|cos 60°=2√3,y=|OA|sin 60°=6, 即 A(2√3,6),故������������=(2√3,6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
变式训练1
探究三
思维辨析
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
思维脉络
1.理解平面向量的正交 分解及坐标表示的意义. 2.理解向量加法、减法、 数乘的坐标运算法则,能
熟练进行向量的坐标运
算. 3.能借助向量的坐标,用 已知向量表示其他向量.
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
课前导引
情景导入
我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的位置关系.还记得吗,关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）可以表示一条直线.怎样体现两条直线平行？向量的共线又如何用坐标表示呢？
提示:直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0可以用系数A1、B1、C1、A2、B2、C2来表示，即A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0.与此类似，向量a=（x1,y1)与b=（x2,y2)平行也可以用它们的坐标来表示，即x1y2-x2y1=0.
知识预览
设a=（a1,a2),b=(b1,b2)，则a，b共线的充要条件为a1b2-a2b1=0.
用语言表述为两个向量平行的条件是，相应坐标成比例.
1。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂导学三点剖析一、向量a =AB 的坐标如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a=x i +y j . 我们把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标,记作a=(x,y).(*)其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a 相等的向量的坐标也为(x,y).特别地,i =(1,0),j =(0,1),0=(0,0).【例1】 在直角坐标系xOy 中,向量a 、b 、c 的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a =(a 1,a 2),a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ,则有⎩⎨⎧==.sin ||,cos ||21θθa a a a 解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2),则a 1=|a |cos45°=2×22=2, a 2=|a |sin45°=2×22=2, b 1=|b |cos120°=3×(-21)=23-,b 2=|b |sin120°=3×23323=,c 1=|c |cos(-30°)=4×3223=, c 2=|c |sin(-30°)=4×(-21)=-2, 因此a=(2,2),b=(233,23-),c=(32,-2). 各个击破类题演练 1已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |=34，∠xOA=60°,求向量OA 的坐标. 思路分析:要求向量OA 的坐标，就是要求OA 在x 、y 轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.解:设点A 的坐标为（x,y),则x=|OA |·cos60°=34×3221=, y=|OA |sin60°=34×23=6,即A （32，6）. ∴OA =（32，6）.变式提升 1如图,正方形ABCD 中,P 是对角线BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量证明PA=EF.思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出PA 与EF 的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD,故可以D 点为坐标原点,以DC 、AD 边所在直线分别为x 、y 轴,建立坐标系.证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,||=λ(λ>0),则A(0,a),P(22λ,22λ),E(a,22λ),F(22λ,0), ∴PA =(22-λ,a -22λ),EF =(22λ-a,22-λ). ∵|PA |2=λ2-2aλ+a 2,|EF |2=λ2-2aλ+a 2, ∴||2=||2,故PA=EF. 二、向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.(3)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a =(a 1,a 2),λ∈R ,则λa =(λa 1,λa 2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.【例2】 已知点A(-1,2),B(2,8)及=31,=-31,求点C 、D 和的坐标. 思路分析：根据题意可设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),然后利用=31和=-31相等关系可得关于x 1、y 1及x 2、y 2的方程组,可得C 、D 点坐标及CD 坐标.解:设C 、D 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由题意可得=(x 1+1,y 1-2),=(3,6), =(-1-x 2,2-y 2),=(-3,-6), ∵=31,=-31, ∴(x 1+1,y 1-2)=31(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-31(-3,-6),也就是(x 1+1,y 1-2)=(1,2),(-1-x 2,2-y 2)=(1,2).∴⎩⎨⎧=-=--⎩⎨⎧=-=+.22,11,22,112211y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.0,2,4,02211y x y x ∴C、D 的坐标分别为(0,4)、(-2,0). 因此CD =(-2,-4).类题演练 2(1)设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标.(2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a -b +c 的坐标.解:(1)a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),3a =3(-1,2)=(-3,6),2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a -b +c =3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(5,-8).变式提升 2 用坐标法证明AB ++=0.思路分析:先设出点A 、B 、C 的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出、和的坐标，再运用坐标运算证明等式.证明:设A （a 1,a 2)、B （b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则=(b 1-a 1,b 2-a 2),=(c 1-b 1,c 2-b 2),=(a 1-c 1,a 2-c 2), ∴+BC +CA =(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0). ∴AB +BC +CA =0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A 、B 、C 是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量.三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二者的法则互为补充.因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合,为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.【例3】 已知A （1，-2），B （2，1），C （3，2），D （-2，3），以，为一组基底表示++.思路分析:求解时，首先由点A 、B 、C 、D 的坐标求得向量，，，，的坐标.然后根据平面向量基本定理设AD +BD +CD =m AB +n AC .最后列出关于m ，n 的方程组求解. 解：AB =（1，3），AC =（2，4），AD =（-3，5），BD =（-4，2），CD =（-5，1）. 设++=m +n ,∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n).∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得AD +BD +=32AB -22. 温馨提示(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力.类题演练 3已知向量a =(x+3,x-3y-4)与AB 相等，若A （1，2），B （3，2），求x 、y 的值. 解:=-=（3，2）-（1，2）=（2，0）.∵a =，∴⎩⎨⎧=--=+.043,23y x x 故x=-1,y=35-. 温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）.变式提升 3如图,在ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点,已知AM =c ,AN =d ,试用c 、d 表示AB 和AD .思路分析:直接用c 、d 表示AB 、AD 比较困难,利用“正难则反”的原则,可先用AB 、AD 表示c 、d ,再来解关于、的方程组.解:设AB =a ,AD =b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得=21b ,DM =21a . +DM =,即b +21a =c .① +=AN ,即a +21b =d .② 由①②可得a =32(2d -c),b =32(2c -d ), 即AB =32(2d-c ),AD =32(2c -d).。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
木块产生垂直于斜面的压力F2，G＝ F1＋F2 叫做把重力 G 分解.
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 a , 均可以分解为不共线的两个向量 1e1和 2 e2 ，
使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
探究一：平面向量的坐标表示
rr (5)a =-4i
r rr (3)a =-i-3 j
r
r
r
答案：(1)a (2,3) (2)a (2, 3) (3)a (1, 3)
r
r
(4)a (0, 5) (5)a (4, 0)
rrrr 例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a，b，c，d，
并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
思考：如图,在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),
C(3,4),D(5,7).设 O A i, O B j, 填空：
y
（1）| i | ___1__,| j | ____1__,
7
D
| OC | ___5___;
（2）若用 i, j 来表示 OC,OD ，
则：O C
_3_ _i __4_ _j_ , O D
a b , a b ,a 的坐标吗？
rr r r
rr
提示: a + b = (x1i + y1 j) + (x2i + y2 j),
由向量线性运算的结合律和分配律可得
(x1i y1 j) (x 2 i y2 j) (x1 x 2 )i (y1 y2 ) j,
rr 即 a b (x1 x2, y1 y2)，
r rr a 2i 3 j r a (2,3)
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【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1)
=(-2，4)+(6，3)=(4，7)．
(2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3)
=(-7，-1)．
3 1 a 1 b 1 1，2 1 (2，1) ( 1，1) ( 2，1) ( 7，2).
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得 a=_x_i_+y_j_，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标. (3)坐标表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐标：i=__(1_，__0_) _，j=__(0_，__1_) _，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ ∈R，则有下表：
所以
AB (
3，1)，AD ( 1， 3 ).
22
22
答案：( 3，1)
22
( 1， 3) 22
【补偿训练】在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且 |a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.
【解题指南】题目中给出了向量a，b，c的模以及与坐标轴的夹角， 要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形 式，然后写出其相应的坐标.
2
22
4
类型三 由相等向量求坐标
【典例】1.(2015·江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若
ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为________.
2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若AC 3 AB，BD 4 BA，则 CD的坐标为____.
2
3
2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标
题型一 题型二 题型三
解:������������=(1,3),������������=(2,4),������������=(-3,5),������������=(-4,2),������������=(-5,1),
则������������ + ������������ + ������������=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
∵a=������������ ,∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0).
∴
������ + 3 = ������2-3������-4
2, =
0, 解得
������ = -1, ������ = -1 或������ = 4.
∴x=-1.
题型一 题型二 题型三
反思向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若 已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中 要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】 已知向量 a=(1,1),b=(1,-1),则12a-32b 等于( )
A.(2,1)
B.(-2,1)
C.(1,2)
D.(-1,2)
解析:12a-32b=
1 2
,
1 2
−
3 2,-Fra bibliotek3 2
=(-1,2).
答案:D
题型一 题型二 题型三
【例 3】 已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和 D(-2,3),以������������, ������������为一组 基底来表示������������ + ������������ + ������������.
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理课件新人教B版必修4
1
2
【做一做 1-2】 在四边形 ABCD 中,设������������=a,������������=b,用基底 a,b 表示������������=
答案:a-b
.
1
2
2.直线的向量参数方程式 已知 A,B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点,则对于直线 l 上任 一点 P,存在实数 t,使������������关于基底{������������, ������������}的分解式为������������= (1-t)������������+t������������,这个等式叫做直线 l 的向量参数方程式,其中实数 t 叫 做参变数,简称参数.
1 2 1 2
1
2
【做一做 2】 已知 M 为线段 AB 的中点,O 为平面上任一 点,������������=x������������+y������������,则 x= ,y= .
1 x=y= . 2
解析: 由线段 AB 的中点的向量表达式,知 答案:
1 2 1 2
学习平面向量基本定理要注意的问题 剖析(1)e1,e2是同一平面内的两个不共线向量; (2)该平面内的任意向量a都可用e1,e2线性表示,且这种表示是唯 一的; (3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都 可以作为一组基底; (4)教材中定理的证明,是用作图法证明了存在性,又用反证法证 明了唯一性. 名师点拨1.解题时,若基底没有给出,我们要选取合理的基底. 2.任一平面直线型图形,根据平面向量基本定理,都可以表示成某 些向量的线性组合,这样要解答几何问题,就可以先把已知和结论 表示为向量的形式,再通过向量的运算,达到解题的目的.
2.2
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面向量的正交分解及坐标表示 阅读教材P 94～P 95内容，完成下列问题. 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示.显然，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若OA →＝(2，－1)，则点A 的坐标为(2，－1).( )(2)若点A 的坐标为(2，－1)，则以A 为终点的向量的坐标为(2，－1).( ) (3)平面内的一个向量a ，其坐标是唯一的.( )【解析】 (1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同. (2)错误.以A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等. (3)正确.由平面向量坐标的概念可知. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理2 平面向量的坐标运算阅读教材P 96“思考”以下至P 97例4以上内容，完成下列问题.1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.向量坐标的几何意义：图2313在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1).如图2313所示.1.已知a ＝(2,1)，b ＝(3，－2)，则3a －2b 的坐标是( ) A.(0，－7) B.(0,7) C.(－1,3)D.(12，－1)【解析】 3a －2b ＝3(2,1)－2(3，－2) ＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7). 【答案】 B2.已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A.(－2，－1) B.(2,1) C.(1,2)D.(－1，－2) 【解析】 BA →＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2). 【答案】 C[小组合作型]平面向量的坐标表示(1)已知AB →＝(1,3)，且点A (－2,5)，则点B 的坐标为( )A.(1,8)B.(－1,8)C.(3,2)D.(－3,2)(2)如图2314，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.图2314图2315(3)如图2315，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标.【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标 【自主解答】 (1)设B 的坐标为(x ，y )，AB →＝(x ，y )－(－2,5)＝(x ＋2，y －5)＝(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝1，y －5＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8，所以点B 的坐标为(－1,8).(2)如题干图，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)， 同理OD →＝(－1,1).【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1)(3)由题意知B, D 分别是30°，120°角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).由三角函数的定义，得x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12， 所以B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32， 所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.[再练一题]1.已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标. 【导学号：00680048】【解】 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)， ∴C (1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.平面向量的坐标运算(1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →等于( ) A.(1＋m,7＋n ) B.(－1－m ，－7－n )C.(1－m,7－n )D.(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32 D.(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解. (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标.(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解. 【自主解答】 (1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB →＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n ). (2)12A B →＝12(OB →－OA →) ＝12[]－5，－－，－＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，∴12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12. 【答案】 (1)B (2)A(3)∵AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， ∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)， BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3).平面向量坐标的线性运算的方法：若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[再练一题]2.已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解】 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23. [探究共研型]向量坐标运算的综合应用探究1 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？【提示】 ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t ). 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.探究2 对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.【提示】 ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t ). 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解.故四边形不能成为平行四边形.已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10).若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R )，试求λ为何值时，(1)点P 在一、三象限角平分线上；(2)点P 在第三象限内. 【导学号：70512032】【精彩点拨】 解答本题可先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】 设点P 的坐标为(x ，y )， 则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，A B →＋λ·A C →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵A P →＝A B →＋λA C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若P 在一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，∴λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上.(2)若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.当λ<－1时，点P 在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.[再练一题]3.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2316所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图2316【解析】 以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3).由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】 41.已知OA →＝(4,8)，OB →＝(－7，－2)，则3AB →＝( ) A.(－9,18) B.(9，－18) C.(－33，－30)D.(33,30)【解析】 3AB →＝3(OB →－OA →)＝3[(－7，－2)－(4,8)]＝(－33，－30). 【答案】 C2.若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3)D.(0，－1)【解析】 3a ＋2b ＝3(2,1)＋2(1,0)＝(8,3). 【答案】 C3.若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →等于( ) A.(4,6) B.(－4，－6) C.(－2，－2)D.(2,2)【解析】 由AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A. 【答案】 A4.已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________.【导学号：00680049】【解析】 AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求MN →的坐标. 【解】 因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，所以CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6).设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，所以M (0,20)，同理可得N (9,2)， 所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18).。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂探究探究一 向量的坐标表示求向量的坐标有三种方法：(1)正交分解；(2)将向量的起点平移到原点，向量的终点，即为向量的坐标；(3)利用转角求横、纵坐标．【例1】 如图所示，分别用基底i 与j 表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．解：由题图可知，a ＝1AA u u u r ＋2AA u u u u r＝2i ＋3j ，所以a ＝(2,3)．同理，b ＝－2i ＋3j ＝(－2,3)；c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)；d ＝2i －3j ＝(2，－3)．点评 在直角坐标系中求向量的坐标，一般运用“数”与“形”相结合的方法求解． 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，a ，b 如图所示，分别求它们的坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝4×2＝a 2＝|a |sin 45°＝4×2＝． b 向量相对于x 轴正方向的转角为120°．所以b 1＝|b |cos 120°＝3×12⎛⎫-⎪⎝⎭＝－32， b 2＝|b所以a ＝()，b＝32⎛-⎝． 评注 公式a 1＝|a |cos θ，a 2＝|a |sin θ中θ是指a 的方向相对于x 轴正方向的转角，此点不容忽视． 探究二 向量的坐标运算向量用坐标表示后，向量的线性运算都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为熟知的数量运算．【例3】 已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC u u u r ＝13AB u u u r ，DA u u u r ＝－13BA ，求点C ，D 和CD的坐标．解：设C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意可得AC u u u r ＝(x 1＋1，y 1－2)，ABu u u r＝(3,6)，DA u u u r ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA u u u r＝(－3，－6)，因为AC u u u r ＝13AB u u u r ，DA u u u r ＝－13BA u u u r ，所以(x 1＋1，y 1－2)＝13×(3,6)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13×(－3，－6)， 即(x 1＋1，y 1－2)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝(1,2)．所以1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22,x y --=⎧⎨-=⎩所以110,4x y =⎧⎨=⎩和222,0.x y =-⎧⎨=⎩所以C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此CD uuu r＝(－2，－4)．方法技巧 此类题要充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数，求一个向量坐标需求出向量始点与终点坐标． 探究三 向量坐标法的应用通过建立适当直角坐标系从而求出向量的坐标，这是解决向量或几何问题的一种常用的方法．【例4】 已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA u u u r ＝a ，OB uuu r＝b ，OC u u u r＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c ．分析：由题中条件建立适当平面直角坐标系，由向量的模及向量与x 轴正半轴夹角求向量坐标，再利用向量的坐标运算用a ，b 表示c ．解：如图所示，以O 为原点，OA u u u r所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a|=2，所以a=(2,0)． 设b=()11,x y ，所以1x =|b|cos 150°=1×⎛ ⎝⎭y1=|b|sin 150°=1×12=12．所以b=12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．同理可得c=3,2⎛- ⎝⎭． 设c=1λ a+2λ b(1λ，2λ∈R)，所以3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭=1λ (2,0)+ 2λ 3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭=(21λ -22λ，122λ)． 所以 解得 所以c=-3a-3 b ． 探究四 易错辨析易错点：因忽视点的位置而漏解【例5】 如图所示，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A (4,3)，B (3，－1)，C (1，－2)，求顶点D 的坐标．错解：设顶点D (x ，y )，因为AB u u u r ＝(－1，－4)，DC u u u r ＝(1－x ，－2－y )，AB u u u r ＝DC u u ur ，所以11,42,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩所以顶点D 的坐标为(2,2)．错因分析：没有注意到平行四边形四个顶点的顺序不同而漏解． 解：设顶点D (x ，y )．①若平行四边形四个顶点的顺序为A ，B ，C ，D ，则AB u u u r＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)， DC u u u r＝(1－x ，－2－y )． 由AB u u u r ＝DC u u u r ，得11,42,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩故顶点D 的坐标为(2,2)．②若平行四边形四个顶点的顺序为A ，C ，B ，D ，则AC u u u r ＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)，DB u u u r＝(3－x ，－1－y )． 由AC u u u r ＝DB u u u r ，得33,51,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得6,4.x y =⎧⎨=⎩故顶点D 的坐标为(6,4)．③若平行四边形四个顶点的顺序为A ，B ，D ，C ，则AB u u u r＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，CD uuu r ＝(x －1，y ＋2)． 由AB u u u r ＝CD uuu r ，得11,42,x y -=-⎧⎨-=+⎩解得0,6.x y =⎧⎨=-⎩故顶点D 的坐标为(0，－6)．综上，顶点D的坐标是(2,2)，(6,4)或(0，－6)．。
平面向量的 正交分解与向量的直角坐标运算
例3．已知a=（2，1），b=（-3，4），
求a+b，a-b，3a+4b 的坐标．
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（2+（-3），1+4） =（-1，5）；
a-b=（2，1）-（-3，4）=（2-（-3），1-4） =（5，-3）；
2.2.2 平面向量的 正交分解与向量的 直角坐标运算
新课导入
a = a1 e1 + a2 e2
C
B D
C DB
e2
A e1
e2
A e1
向量正交分解的概念:
把一个向量分解为两个互相垂直的向
量,叫做把向量正交分解, a a1 e1 a2 e2
并称{ e1, e2 }为正交基底。
思 考
我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点 都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对 直角坐标平面内的每一个向量,如何表示?
4.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足
AP AB AC
(1) λ为何值时,点P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则
(2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7), 5λ+5<0,7λ+4<0 ,
已知 A（ a1，a2）， （B b1，b2）
求：AB 的坐标
y
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
B
a
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O e1
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点 的坐标减去始点的坐标．
2018版高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1平面向量的正交分解及坐标表示阅读教材P94～P95内容，完成下列问题.1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示.显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)→(1)若OA＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1).()(2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1).()(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的.()【解析】(1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同.(2)错误.以A为终点的向量有无数个，它们不一定全相等.(3)正确.由平面向量坐标的概念可知.【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2平面向量的坐标运算阅读教材P96“思考”以下至P97例4以上内容，完成下列问题.11.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.向量坐标的几何意义：图2313→→在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA＝(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1).如图2313所示.1.已知a＝(2,1)，b＝(3，－2)，则3a－2b的坐标是()A.(0，－7)B.(0,7)C.(－1,3)D.(12，－1)【解析】3a－2b＝3(2,1)－2(3，－2)＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7).【答案】 B→2.已知A(3,1)，B(2，－1)，则BA的坐标是()A.(－2，－1)B.(2,1)C.(1,2)D.(－1，－2)→【解析】BA＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2).【答案】 C[小组合作型]平面向量的坐标表示→(1)已知AB＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为()2A.(1,8)B.(－1,8)C.(3,2)D.(－3,2)→→→(2)如图2314，在正方形ABCD中，O为中心，且OA＝(－1，－1)，则OB＝________；OC＝→________；OD＝________.图2314图2315(3)如图2315，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B→→和点D的坐标和AB与AD的坐标.【精彩点拨】表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标→【自主解答】(1)设B的坐标为(x，y)，AB＝(x，y)－(－2,5)＝(x＋2，y－5)＝(1,3)，所以Error!解得Error!所以点B的坐标为(－1,8).→→(2)如题干图，OC＝－OA＝－(－1，－1)＝(1,1)，→由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以OB＝(1，－1)，→同理OD＝(－1,1).【答案】(1)B(2)(1，－1)(1,1)(－1,1)(3)由题意知B, D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义，3 1 得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，2 23 1所以B ( 2).，21x2＝cos 120°＝－，233 y2＝sin 120°＝，21 3所以D (－2).，2→ 3 1 → 1 3所以AB＝，，＝，.( 2) AD(－2)2 2求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.[再练一题]1.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D→→→→为AC的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD的坐标. 【导学号：00680048】【解】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，1 3∴C(1，3)，D( 2)，，2→→∴AB＝(2,0)，AC＝(1，3)，→BC＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，→ 1 3 3 3－2，BD＝( －0)＝(－，2).2 2 2平面向量的坐标运算→→→→(1)设AB＝(2,3)，BC＝(m，n)，CD＝(－1,4)，则DA等于()B.(－1－m，－7－n)4D.(－1＋m ，－7＋n )→→ 1→(2)已知向量OA ＝(3，－2)，OB ＝(－5，－1)，则向量 AB 的坐标是( )211A.(－4，2)B.(4，－2)3C.(－1，－2)D.(8,1)→→ → 1→(3)若 A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB ＋2BC ，BC － AC 的坐2 标.→→ → →【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA 分解为DC ＋CB ＋BA 来求解. → → → 1→(2)可借助AB ＝OB －OA 来求 AB 坐标.2→(3)可利用AB ＝(x B －x A ，y B －y A )来求解. → → → →【自主解答】 (1)DA ＝DC ＋CB ＋BA → → →＝－CD －BC －AB ＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n ). 1 → 1 → →(2) A B ＝ (OB －OA ) 2 2 1＝ [－5，－1－3，－2]2 111→ 1＝2(－8,1)＝(－4，2)，∴ AB ＝(－4，2).2【答案】 (1)B (2)A→ → →(3)∵AB ＝(－2,10)，BC ＝(－8,4)，AC ＝(－10,14)， → →∴AB ＋2BC ＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)，→ 1→ 1BC － AC ＝(－8,4)－ (－10,14) 2 25＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3).平面向量坐标的线性运算的方法：1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. 3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[再练一题]2.已知 a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： 1 1 (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3) a － b . 2 3 【解】 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). 1 1 1 1 (3) a － b ＝ (－1,2)－ (2,1) 2 3 2 312 1 7 2 ＝(－ ，1)－(＝3).，3) (－ ， 23 6[探究共研型]向量坐标运算的综合应用→ → → 探究 1 已知点 O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP ＝OA ＋tAB .当 t 为何值时，点 P 在 x 轴上？ 点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？→ → →【提示】 ∵OP ＝OA ＋tAB ＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t ). 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t ＝0， 2 ∴t ＝－ . 3若点 P 在 y 轴上，则 1＋3t ＝0， 1 ∴t ＝－ . 3若点 P 在第二象限，则Error! 2 1 ∴－ <t <－ . 3 3探究 2 对于探究 1条件不变，四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求出 t 的值；若不 能，请说明理由.6→→【提示】∵OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t).若四边形OABP为平行四边形，→→则OA＝PB，∴Error!该方程组无解.故四边形不能成为平行四边形.→→→已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10).若A P＝A B＋λA C(λ∈R)，试求λ为何值时，(1)点P在一、三象限角平分线上；(2)点P在第三象限内. 【导学号：70512032】【精彩点拨】解答本题可先用λ表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】设点P的坐标为(x，y)，→则A P＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，→→A B＋λ·A C＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ).→→→∵A P＝A B＋λA C，∴Error!则Error!(1)若P在一、三象限角平分线上，1则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝，21∴λ＝时，点P在一、三象限角平分线上.2(2)若P在第三象限内，则Error!∴λ<－1.当λ<－1时，点P在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.[再练一题]3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2316所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，7λ则＝________.μ图2316【解析】以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3).由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－1 λ3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.2 μ【答案】 4→→→1.已知OA＝(4,8)，OB＝(－7，－2)，则3AB＝()A.(－9,18)B.(9，－18)C.(－33，－30)D.(33,30)→→→【解析】3AB＝3(OB－OA)＝3[(－7，－2)－(4,8)]＝(－33，－30).【答案】 C2.若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是()A.(5,3)B.(4,3)C.(8,3)D.(0，－1)【解析】3a＋2b＝3(2,1)＋2(1,0)＝(8,3).【答案】 C→→→3.若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC等于()A.(4,6)B.(－4，－6)C.(－2，－2)D.(2,2)→→→【解析】由AC＝AB＋BC＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A.【答案】 A→4.已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为________.【导学号：00680049】8→AB→→ 1 3 4 【解析】AB＝(3，－4)，则与AB同方向的单位向量为＝(3，－4)＝5).5 (，－→ 5|AB|3 4【答案】( 5)，－5→→→→→5.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，CM＝3CA，CN＝2CB，求MN的坐标.→【解】因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以CA＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)，→CB＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，→→所以CM＝3CA＝(3,24)，→→CN＝2CB＝(12,6).→设M(x，y)，则CM＝(x＋3，y＋4)，即Error!解得Error!所以M(0,20)，同理可得N(9,2)，→所以MN＝(9－0,2－20)＝(9，－18).9。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
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1．向量的坐标
自主思考1 点的坐标和向量的坐标有何区别？
提示：(1)平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相等．
(2)相等的向量的坐标是相同的，但始点和终点的坐标却不一定相同．
2．向量的直角坐标运算
自主思考2 两个向量相等，则它们的起点和终点是否一定相同？
提示：两个向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定
相同，如，A (3,5)，B (6,8)，C (－5,3)，D (－2,6)，则AB u u u r ＝(3,3)，CD uuu r ＝(3,3)，显然AB
u u u r ＝CD uuu r ，但A ，B ，C ，D 各点的坐标却不相同．。
高中数学第二章平面向量2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件新人教B版必修452
求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原 点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐 标和终点坐标，再运用终点坐标 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，∠xOA＝60°， (1)求向量OA的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求BA的坐标． 解：(1)设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60°＝2 3， y＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3，6)，OA＝(2 3，6)． (2) BA＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差 及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量 的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[活学活用]
1．设平面向量 a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则 a－2b＝
＝(3＋8,15－2) ＝(11,13)． BC －2 AB＝(－5，－4)－2(1,5) ＝(－5－2，－4－10) ＝(－7，－14)． [答案] (11,13) (－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)， 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的
坐标．
()
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．
()
(4)点的坐标与向量的坐标相同．
()
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.2 向量的正交分解与向量的直
������2
=
-
3 2
,
解得
������1 = -3,
1 2
������2
=
-
3√3 2
,
������2 = -3√3.
所以 c=-3a-3√3b.
反思感悟通过建立适当直角坐标系从而求出向量的坐标,这是解
决向量或几何问题的一种常用的方法.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2如图所示,已知四边形ABCD是正方形,BE∥AC, AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.
1.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,给出下列四 个结论: ①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y); ②若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2; ③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O; ④若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y). 在以上四个结论中,正确的结论共有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 答案:A 2.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若������������=(2,4),������������=(1,3), 则������������等于( )
一
二
2.填空:
向量的直角坐标运算
一
二
3.做一做:若a=(0,2),b=(-1,1),则3a-2b=
.
答案:(2,4)
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”. (1)相等向量坐标一定相同. ( ) (2)若两向量坐标相同,则它们一定是相等的向量. ( ) (3)向量平移后,坐标也随之改变. ( ) (4)一个向量的坐标一定等于始点坐标减终点坐标. ( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共
(2)因为 M 为 EC 的中点,所以 M
0,
1 2
,
所以������������ =(-1,1)-
0,
1 2
=
-1,
1 2
,������������ =(1,0)-
0,
1 2
=
1,-
1 2
.
所以������������=-������������,所以������������ ∥ ������������.
√2 2
������
, ������������ =
-
√2 2
������,������-
√2 2
������
.
因为|������������ |2=λ2-√2aλ+a2,|������������ |2=λ2-√2aλ+a2,
所以|������������|=|������������|,即 PA=EF.
-������(1-������),
������ 3
-������(1-������)
,
������������ =(b(x-y)+ay,c(x-y)).
探究一
探究二
探究三
思想方法
因为 D,G,E 三点共线,所以������������ ∥ ������������.
因此
������+������ 3
所以������������
=
1 3
������������
=
2 3
,
2 3
,
������������
=
1 3
������������
=
-
2 3
,1