辅导07 树与二叉树

L
R
L
R
二叉树的五种不同形态
6
二叉树的性质
性质1 性质1 若二叉树的层次从 0 开始, 则在二叉 开始, 个结点。 树的第 i 层最多有 2i 个结点。( i ≥ 0) [证明用数学归纳法] 证明用数学归纳法] 注：若二叉树的层次从 1 开始, 则在二叉树 开始, 个结点。 的第 i 层最多有 2i-1 个结点。( i ≥ 1)
A B H DF A B H D F K E C G
28
A B H D F EKCG H D B
A E F KCG
EKCG
线索二叉树
具有n个结点的二叉树：共有2n个指针，其中 有n-1个有效指针，n+1个空指针。线索二叉树充 分利用2n个指针，将空指针指向按照某种遍历次 序下该结点的前驱和后继结点。这种指针称为线 索，给二叉树加上线索的过程称为二叉树的线索 化。 为区分结点的指针是指向儿子结点、还是前驱、 后继结点，需要设置线索标记。
int Count (BinTreeNode *T) { if (T == NULL) return 0; return 1+Count (T->leftChild) +Count (T->rightChild); }
25
求二叉树高度的递归算法
int Height (BinTreeNode *T) { if (T == NULL) return -1; else { int m = Height (T->leftChild); int n = Height (T->rightChild)); return (m > n) ? m+1 : n+1; }
36
Huffman编码 Huffman编码
主要用途是实现数据压缩。 主要用途是实现数据压缩。
设给出一段报文： 设给出一段报文： CAST CAST SAT AT A TASA 字符集合是 { C, A, S, T }，各个字符出现的频度(次数) }，各个字符出现的频度(次数) 是 W＝{ 2, 7, 4, 5 }。 }。 若给每个字符以等长编码 A : 00 T : 10 C : 01 S : 11 则总编码长度为 ( 2+7+4+5 ) * 2 = 36. 36.
前序遍历二叉树算法的框架是： 前序遍历二叉树算法的框架是： 若二叉树为空，结束； 若二叉树为空，结束； 否则 / + (V)； 访问根结点 (V)； (L)； 前序遍历左子树 (L)； a f * e (R)。 前序遍历右子树 (R)。 遍历结果
b
-
-+a*b-cd/ef
c
d
21
二叉树递归的前序遍历算法
D I J
1层 2层 3层
4
树的表示
双亲表示法
便于求解父结点 不利于求解兄弟结点和儿子结点 不利于求解兄弟结点和父结点
孩子表示法 便于求解儿子结点 左孩子右兄弟表示法
二叉树表示法 二叉链表表示法
5
二叉树 (Binary Tree)
二叉树的定义
一棵二叉树是结点的一个有限集合， 一棵二叉树是结点的一个有限集合， 该集合或者为空， 该集合或者为空，或者是由一个根结点加 上两棵分别称为左子树和右子树的、 上两棵分别称为左子树和右子树的、互不 相交的二叉树组成。 相交的二叉树组成。
void PostOrder (BinTreeNode *T) { if (T != NULL) { PostOrder (T->leftChild); PostOrder (T->rightChild); visit (T->data); } }
24
应用二叉树遍历的事例
计算二叉树结点个数的递归算法
9
性质4 性质4：具有 n 个结点的不同二叉树的数目
b n = ∑ b i ⋅ b n −i −1
i =0 n −1
1
bi
bn-i-1
Catalan函数 Catalan函数 1 1 (2n)! n bn = C2n = n + 1 n!⋅n! n +1
10
定义1 定义1 满二叉树 (Full Binary Tree) 定义2 定义2 完全二叉树 (Complete Binary Tree) 若设二叉树的高度为h 则共有h+1 若设二叉树的高度为h，则共有h+1层。除 层外， 第 h 层外，其它各层 (0 ∼ h-1) 的结点数都 达到最大个数， 达到最大个数，第 h 层从右向左连续缺若干 结点，这就是完全二叉树。 结点，这就是完全二叉树。
前序 中序 后序 VLR LVR LRV
18
中序遍历 (Inorder Traversal)
中序遍历二叉树算法的框架是： 中序遍历二叉树算法的框架是： 若二叉树为空，结束； 若二叉树为空，结束； 否则 / + (L)； 中序遍历左子树 (L)； (V)； 访问根结点 (V)； a * e f (R)。 中序遍历右子树 (R)。 遍历结果 a+b*c-d-e/f
4 8
5
32Hale Waihona Puke 具有不同带权路径长度的二叉树
2 2 4 5 7 4 5 7 7 5 2 4
WPL = 2*2+ 4*2+5*2+ 7*2 = 36
WPL = 2*1+ WPL = 7*1+ 4*2+5*3+ 5*2+2*3+ 7*3 = 46 4*3 = 35
带权路径长度达到最小
33
构造哈夫曼树的过程： 1) 将给定的n个权值{w1,w2,...,wn}作为n个根结点的权值，构造 森林{T1,T2,...,Tn}，其中每棵二叉树只有一个根结点； 2) 在森林中选取两棵根结点权值最小的二叉树作为左右子树 构造一棵新二叉树，其根结点权值为子树树根的权值之和； 3) 删去上面选择的两棵二叉树，并将刚刚新构造的二叉树加 入到森林中； 4) 重复上面2）和 3），直到森林中只有一棵二叉树为止。这 棵二叉树就是哈夫曼树。
b c
d
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二叉树递归的中序遍历算法
void InOrder (BinTreeNode *T) { if (T != NULL) { InOrder (T->leftChild); visit (T->data); InOrder (T->rightChild); } }
20
前序遍历 (Preorder Traversal)
29
Huffman树（§11） 树 11）
1．哈夫曼树的定义
30
• 路径 • 路径的长度 • 带权路径长度（WPL）:树的各叶结点所带 树的各叶 树的各 的权值 wi 与该结点到根的路径长度 li 的乘 积的和， 积的和，即
WPL = ∑ wk lk
k =1
31
n
• 哈夫曼二叉树或最优二叉树：带权的路径长度 最小的二叉树
void PreOrder (BinTreeNode *T) { if (T != NULL) { visit (T->data); PreOrder (T->leftChild); PreOrder (T->rightChild); } }
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后序遍历 (Postorder Traversal)
11
性质5 性质5： 如果完全二叉树各层次结点从 1 开始编号： 则有以下关系： 开始编号：1, 2, 3, …, n，则有以下关系：
若i = 1, 则 i 无双亲 的双亲为 2 若i > 1, 则 i 的双亲为i / 2 若2*i <= n, 则 i 的左儿子为 2*i， 2*i 2*i 2*i 的右儿子为2*i 若2*i+1 <= n, 则 i 的右儿子为2*i+1 若 i 为奇数, 且i != 1, 为奇数, 则其左兄弟为i 则其左兄弟为i-1, 若 i 为偶数, 且i != n, 为偶数, 则其右兄弟为i 则其右兄弟为i+1 2 4 5 6
后序遍历二叉树算法的框架是： 后序遍历二叉树算法的框架是： 若二叉树为空，结束； 若二叉树为空，结束； 否则 / + (L)； 后序遍历左子树 (L)； (R)； 后序遍历右子树 (R)； a f * e (V)。 访问根结点 (V)。 遍历结果 abcd-*+ef/-
b c
d
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二叉树递归的后序遍历算法
2
树的特点
每棵子树的根结点有且仅有一个直接前 但可以有0个或多个直接后继。 驱，但可以有0个或多个直接后继。
A B E K L F C G H M D I J
0层 1层 2层 3层
3
结点 结点的度 分支结点 叶结点
B E K L F
子女 双亲 兄弟
A C G H M
祖先 子孙 结点层次
树的度 树深度 森林 0层
1 3 7
8 9 10
12
二叉树的顺序表示
0 1 3 7 8 4 9 5 2 6 7 3 1 4 5 0 2 6
8 9 10 11 12 13
0123456789 完全二叉树 的顺序表示
0123 5678 一般二叉树 的顺序表示
11 13
13
极端情形: 极端情形: 只有右单支的二叉树
对于完全二叉树， 对于完全二叉树， 用顺序表示较为 方便； 方便； 对于一般二叉树， 对于一般二叉树， 用链表表示较好； 用链表表示较好； 0 2 6 14 30
7
性质2 性质2 高度为 h 的二叉树最多有 2h+1-1个 结点。 结点。(h ≥ -1) [证明] 证明] h+1 20 + 21 + 22 + … + 2h = 2h+1-1 空树的高度为空树的高度为-1 只有根结点的树的高度为0 只有根结点的树的高度为0