09.09.28改稿

作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水
压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位 面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成 分，用记号、 来表示。 、
体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、
磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三 个成分，用记号X、Y、Z表示。
y
u+
v+ ¶v dy ¶y
应变分量与位移分量的关系
¶u dy ¶y
A点在Y方向的位移分量 为v；
C'
B点在Y方向的位移分量：
D"b D '
D C
v+
B'
¶v dx ¶x
线素AB的转角为：
dy
u
A
A'
a
B"
B
u+ ¶u dx ¶x
v+
v
¶v dx ¶x
dx 0 ¼ Í 1-5v ¶v (v + dx) v ¶x = = ¶x ¶u ¶u dx + dx 1+ ¶x ¶x
x = y = z = xy = yz = zx = 0
有：
¶u ¶v ¶w ¶u ¶v ¶v ¶w ¶w ¶u = 0， = 0， = 0， + = 0， + = 0， + =0 ¶x ¶y ¶z ¶y ¶x ¶z ¶y ¶x ¶z
积分后，得
u = u0 + y z z y v = v0 + z x x z w = w0 + x y y x
弹性力学 — 区别与联系 —
1、研究的内容：基本上没有什么区别。
材料力学
弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运 动，以及由此产生的应力和变形。
2、研究的对象：有相同也有区别。
材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件， 即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究 杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它 实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸 相当的构件。
x y z = = x y z xy yz zx xy yz zx


T
(1 - 3 - 2)
刚体位移
由几何方程(1-3)可见，当弹性体的位移分量完全确定 时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确 定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状 的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试 在(1-3)中命：
体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角 都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以 用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差； 并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都 可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方 程。
1-2 应力的概念
应变
体素的变形可以分为两类： 一类是长度的变化，一类是角度的变化。 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称 正应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应 x、 的角码，分别用 y、 z 来表示。当线素伸长时，其线应变为 正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号 规定相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称 为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的角应变， 则加上相应的角码，分别用 xy、 yz、 zx 来表示。规定当夹角变 小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应 (正的 xy 引起正的 xy ，等等)。
¶v ¶u xy = a + b = + ¶x ¶y
同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形 情况，可得：
¶w ¶v ¶w ¶w ¶u z = ， yz = + ， zx = + ¶z ¶z ¶y ¶x ¶z
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间 的关系。 ¶u ¶v ¶w
弹性力学中关于材料性质的假定
(1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体
的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如 应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。
(2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除
去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样， 当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬 时所受的外力，与它过去的受力情况无关。
¶v v + dx ¶x
dy
u
A'
a
v
x =
(u +
¶u dx) u ¶u ¶x = dx ¶x
A dx 0 ¼ Í
B
u+
¶u dx ¶x
B"
x
1-5
同理，AD的正应变为： ¶v (v + dy ) v ¶v ¶y y = = dy ¶y
求剪应变 xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变 X向线素AB的转角 a Y向线素AD的转角 b
a
B"
B
u+ ¶u dx ¶x
v+
v
¶v dx ¶x
同理，Y向线素AD的转角 ¶u b = ¶y 因此，剪应变为：
A dx 0 ¼ Í
x
1-5
¶v ¶u xy = a + b = + ¶x ¶y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，
x =
¶u ¶x
y =
¶v ¶y
(1 - 4)
式中的 u0、v0、w0、 x、 y、 z、 是积分常数
积分常数的几何意义
y
zy
a
z x
P
u = u0 + y z z y v = v0 + z x x z w = w0 + x y y x
(1 - 4)
u0代表弹性体沿x方向的刚 体移动。v0 及 w0 分别代表
弹性力学 — 区别与联系 —
3、研究的方法：有较大的区别。
材料力学
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。
求剪应变 xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变 X向线素AB的转角 a Y向线素AD的转角 b
y
u+
¶v v+ dy ¶y
应变分量与位移分量的关系
¶u dy ¶y
C'
由于变形是微小的，所 以上式可将比单位值小 得多的 ¶u 略去，得
D"b D '
D C
¶v a= ¶x
B'
¶x
dy
u
A'
有限元分析
第一章 弹性力学简介
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 材料力学与弹性力学 应力的概念 位移及应变，几何方程，刚体位移 应力应变关系，物理方程 虚功原理及虚功方程 两种平面问题
1-1 材料力学与弹性力学
有限单元法
— 本课程中所指的是有限单元法在弹 性力学问题中的应用。因此要用到弹性力 学的某些基本概念和基本方程。本章将简 单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有 限单元法的预备知识。
(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成
的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因 而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。
弹性力学中关于材料性质的假定
(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方
向的物理性质和机械性质都是相同的。
(5) 物体的变形是微小的， 亦即当物体受力以后，整个物
弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
1-2 应力的概念
弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素
PA=dx,PB=dy,PC=dz 每一个面上的应力 分解为一个正应力 和两个剪应力，分 别与三个坐标轴平 行
图 1-4
s 剪应力
正应力
正应力
s

1-2 应力的概念
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一 个角码，例如，正应力s x 是作用在垂直于x轴的面 上同时也沿着X轴方向作用的。
应变分量与位移分量的关系
ABCD---A’B’C’D’ 求线素AB、AD的正应变 x、 y ，用位移分量来表示：
y
u+
v+ ¶v dy ¶y
¶u dy ¶y
A点在X方向的位移分量 为u；
C'
B点在X方向的位移：
D" b D '
D C
u + u = u +
B'
¶u dx ¶x
线素AB的正应变为：
x = xy
¶u ¶v ¶v ¶w = + ， yz = + ， zx ¶y ¶x ¶z ¶y ¶x ， y = ¶y ， z = ¶z ¶w ¶u = + ¶x ¶z (1 - 3 - 1)
应变分量矩阵
可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方 向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正 应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出 它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该 点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。 六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：