2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二(下)期中数学试卷(文科)
(精品)2016-2017学年甘肃省白银市会宁一中高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年甘肃省白银市会宁一中高二（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}2．（5分）复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．（5分）已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣4．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，+∞）5．（5分）下列函数在R上是减函数的为（）A．y=0.5x B．y=x3 C．y=log0.5x D．y=2x6．（5分）在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．7．（5分）在极坐标系中，点P（ρ，θ）关于极点对称的点的一个坐标是（）A．（﹣ρ，﹣θ）B．（ρ，﹣θ）C．（ρ，π﹣θ）D．（ρ，π+θ）8．（5分）若M点的极坐标为，则M点的直角坐标是（）A．（﹣，1） B．（﹣，﹣1）C．（，﹣1） D．（，1）9．（5分）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）A．39 B．21 C．81 D．10210．（5分）下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是（）A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形11．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中a的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.512．（5分）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（）A．一条直线B．一个圆C．一条抛物线D．一条双曲线二．填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）求值：2log3+log312﹣0.70+0.25﹣1=．14．（5分）若幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）•x的图象不过原点，则m的值为．15．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为．16．（5分）点Q的直角坐标是，则它的柱坐标是．三．解答题（共6小题）17．（10分）在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．（1）5x+2y=0（2）x2+y2=1．18．（12分）设复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值，使得（1）z是纯虚数；（2）z对应的点位于复平面的第二象限．19．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中n=a+b+c+d）20．（12分）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．21．（12分）已知曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=﹣1，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．22．（12分）已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．（1）求a的值；（2）若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．2016-2017学年甘肃省白银市会宁一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2017•武邑县校级二模）设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}【解答】解：∵m=elne=e，∴m∈A，故选：C．2．（5分）（2017•凉山州模拟）复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【解答】解：=，则复数的虚部是1，故选：C3．（5分）（2014•安徽模拟）已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：设，则z1=kz2，所以m+2i=k（3﹣4i），故，解得．故选D．4．（5分）（2017•清新区校级一模）函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，+∞）【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣且x≠0，故选：B．5．（5分）（2017•红桥区模拟）下列函数在R上是减函数的为（）A．y=0.5x B．y=x3 C．y=log0.5x D．y=2x【解答】解：y=x3，y=2x在R上都是增函数；y=0.5x在R上为减函数；函数y=log0.5x的定义域为（0，+∞），即在（﹣∞，0]上没定义．故选：A．6．（5分）（2015•顺义区二模）在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：点的直角坐标为（﹣，），直线：l：即ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标方程为x+y﹣1=0．由点到直线的距离公式得d==，故选B．7．（5分）（2016春•松桃县校级期末）在极坐标系中，点P（ρ，θ）关于极点对称的点的一个坐标是（）A．（﹣ρ，﹣θ）B．（ρ，﹣θ）C．（ρ，π﹣θ）D．（ρ，π+θ）【解答】解：把点P（ρ，θ）绕极点逆时针旋转π弧度，即可得到点P关于极点对称的点，故点P（ρ，θ）关于极点对称的点的一个坐标是（ρ，θ+π），故选：D．8．（5分）（2016春•陕西校级期末）若M点的极坐标为，则M点的直角坐标是（）A．（﹣，1） B．（﹣，﹣1）C．（，﹣1） D．（，1）【解答】解：∵=﹣，y=2=1，∴M点的直角坐标是．故选：A．9．（5分）（2017•宝清县一模）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）A．39 B．21 C．81 D．102【解答】解：第一次循环，S=3，n=2；第二次循环，S=3+2×32=21，n=3；第三次循环，S=21+3×33=102，n=4；第四次循环，不满足条件，输出S=21+3×33=102，故选D．10．（5分）（2016春•松原校级期末）下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是（）A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形【解答】解：因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C．11．（5分）（2017•自贡模拟）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中a的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5【解答】解：由题意可知：产量x的平均值为==4.5，由线性回归方程为=0.7x+0.35，过样本中心点（，），则=0.7+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5，解得：=3.5，由==3.5，解得：a=4.5，表中a的值为4.5，故选：D．12．（5分）（2016春•邯郸校级期末）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（）A．一条直线B．一个圆C．一条抛物线D．一条双曲线【解答】解：极坐标方程ρcos2θ=4sinθ化为ρ2cos2θ=4ρsinθ，∴x2=4y．因此极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是一条抛物线．故选：C．二．填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2016•衡阳县校级学业考试）求值：2log3+log312﹣0.70+0.25﹣1=4．【解答】解：∵=﹣2log32+1+2log32﹣1+4=4．故答案为：4．14．（5分）（2016•武汉校级模拟）若幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）•x的图象不过原点，则m的值为m=1或m=2．【解答】解：∵幂函数的图象不过原点，∴，解得m=1或m=2．故答案为：m=1或m=2．15．（5分）（2017•河西区一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为．【解答】解：点A（1，）的直角坐标为A（0，1），曲线曲线ρsin2θ=4cosθ的普通方程为y2=4x，是抛物线．直线ρcosθ+1=0的直角坐标方程为x+1=0，是准线．由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点A（0，1）的距离，所以当A，P，F三点共线时，其和最小，最小为|AF|=，故答案为：．16．（5分）（2017春•会宁县校级期中）点Q的直角坐标是，则它的柱坐标是（2，，2）．【解答】解：设Q的柱坐标为（ρ，θ，h），则ρ==2，h=2，，解得，又又0≤θ＜2π，∴θ=．故答案为（2，，2）．三．解答题（共6小题）17．（10分）（2017春•会宁县校级期中）在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．（1）5x+2y=0（2）x2+y2=1．【解答】解：伸缩变换，则，（1）若5x+2y=0，则5（2x′）+2（3y′）=0，即5x+3y=0，为一条直线；（2）若x2+y2=1，则（2x′）2+（3y′）2=1，即4x2+9y2=1，为椭圆．18．（12分）（2017春•会宁县校级期中）设复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值，使得（1）z是纯虚数；（2）z对应的点位于复平面的第二象限．【解答】解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0由，得m=3．（6分）（2）当复数对应的点在第二象限时，由，得﹣1＜m＜3．（12分）19．（12分）（2016•许昌二模）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为=，∴男性应该抽取20×=4人…．（4分）（II）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A，B）、（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f），共8种情况，故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=．…．（8分）（III）∵K2≈8.333，且P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．（12分）20．（12分）（2017•江苏一模）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（5分）（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．（10分）21．（12分）（2015春•定州市期末）已知曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=﹣1，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣），即ρ2=2ρ（cosθ+sinθ），化为直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=﹣1即x+y=﹣1，即x+y+2=0．圆心C2（1，1）到曲线C1的距离为d==，故曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值为d+r=+．22．（12分）（2017•深圳一模）已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．（1）求a的值；（2）若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．【解答】解：（1）由已知得（）﹣a=2，解得a=1．（2）由（1）知f（x）=（）x，又g（x）=f（x），则4﹣x﹣2=（）x，即（）x﹣（）x﹣2=0，即[（）x]2﹣（）x﹣2=0，令（）x=t，则t2﹣t﹣2=0，即（t﹣2）（t+1）=0，又t＞0，故t=2，即（）x=2，解得x=﹣1，满足条件的x的值为﹣1．:刘老师；maths；涨停；wkl197822；minqi5；caoqz；沂蒙松；yhx01248；铭灏2016；wfy814；zlzhan；zhczcb；danbo7801；zuozuo（排名不分先后）菁优网2017年6月5日。
2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高三(下)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，x，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．不能确定2．（5分）已知，则“x1+x2＞0”是“f（x1）•f（x2）＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣34．（5分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．245．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.46．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）A．S=S+x n B． C．S=S+n D．8．（5分）函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＜f（π）．则下列结论正确的是（）A．f（π）=﹣1B．f（）C．f（x）是奇函数D．f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）10．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]11．（5分）过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．1912．（5分）已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切，符合情况的切线l（）A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，则|φ|的最小值为．14．（5分）F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+|| ．15．（5分）过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度．16．（5分）已知动点P（x，y）满足：，则x2+y2﹣6x的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．18．（12分）某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人重随机抽取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证；平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M、N两点，且|MN|=16．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D（0，4），若动圆P与x轴交于A、B两点，且|DA|＜|DB|，求的最小值．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣a x（a＞0，且a≠1），g（x）=f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数）．（1）当a=e时，求g（x）的极大值点；（2）讨论f（x）的零点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2012•鄄城县校级模拟）已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，x，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．不能确定【解答】解：∵M∩N={2}，∴2∈M而M={0，x}则x=2∴M={0，2}而N={1，2}，∴M∪N={0，1，2}故选C．2．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）已知，则“x1+x2＞0”是“f（x1）•f（x2）＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x1）•f（x2）＜1⇔＜1，即＜1，⇔x1+x2＞0．∴“x1+x2＞0”是“f（x1）•f（x2）＜1”的充要条件．故选：C．3．（5分）（2017•蚌埠三模）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．4．（5分）（2016•全国二模）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．24【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，∵要求入座的每人左右均有空位，∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可∴不同的坐法种数为A52=20，故选：C．5．（5分）（2017•汕头三模）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（2）2x=12.6，x=1.6．故选：B．6．（5分）（2014秋•宿州期末）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F 1，作x 轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F 1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选：D．7．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）如图是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）A．S=S+x n B． C．S=S+n D．【解答】解：由题目要求可知：该程序的作用是求样本x1，x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n故选：A．8．（5分）（2016•长春二模）函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a 的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．9．（5分）（2013•顺义区一模）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＜f（π）．则下列结论正确的是（）A．f（π）=﹣1B．f（）C．f（x）是奇函数D．f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：∵f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，∴2×+φ=kπ+⇒φ=kπ+，k∈Z．∵f（）＜f（π）⇒sin（π+φ）=﹣sinφ＜sin（2π+φ）=sinφ⇒sinφ＞0．∴φ=2kπ+，k∈Z．不妨取φ=f（）=sin2π=0，∴A×；∵f（）=sin（+）=sin=﹣sin＜0，f（）=sin（+）=sin＞0，∴B×；∵f （﹣x ）≠﹣f （x ），∴C ×；∵2kπ﹣≤2x +≤2kπ+⇒kπ﹣≤x ≤kπ+，k ∈Z ．∴D√；故选D10．（5分）（2015•鹰潭校级模拟）已知实数x ，y 满足，若目标函数z=﹣mx +y 的最大值为﹣2m +10，最小值为﹣2m ﹣2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，2]B ．[﹣2，1]C ．[2，3]D ．[﹣1，3]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）． 由目标函数z=﹣mx +y 得y=mx +z ，则直线的截距最大，z 最大，直线的截距最小，z 最小．∵目标函数z=﹣mx +y 的最大值为﹣2m +10，最小值为﹣2m ﹣2， ∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大， 当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx +y 的目标函数的斜率m 满足比x +y=0的斜率大，比2x ﹣y +6=0的斜率小， 即﹣1≤m ≤2， 故选：A ．11．（5分）（2017•泉州模拟）过双曲线x 2﹣=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F 1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF 1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．12．（5分）（2016•漳州二模）已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f （x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切，符合情况的切线l（）A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在【解答】解：函数f（x）=x﹣的导数为f′（x）=1﹣e，依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0时，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；②a＞0时，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1﹣）x﹣1．假设l与曲线y=e x相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得，设h（x）=e x x﹣e x﹣1，则h′（x）=e x x，令h′（x）＞0，则x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则，而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2017•湖北二模）已知函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，则|φ|的最小值为．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，∴2•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ﹣，k∈Z，则|φ|的最小值为，故答案为：．14．（5分）（2016•全国二模）F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+|| 6．【解答】解：椭圆=1的a=6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，=（+），可得B为AF1的中点，=（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|=|AF2|，|OC|=|AF1|，即有||+||=（|AF1|+|AF2|）=a=6，故答案为：6．15．（5分）（2016•沈阳校级模拟）过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度R．【解答】解：由题意，球心在正四面体中心，设AB=a，则截面BCD与球心的距离d=a﹣R，过点B、C、D的截面圆半径r=a，所以（a）2=R2﹣（a﹣R）2，得a=R．故答案为：R．16．（5分）（2017•湖北二模）已知动点P（x，y）满足：，则x2+y2﹣6x的最小值为．【解答】解：由，∵y+＞y+|y|≥0，∴，∵函数f（x）=是减函数，∴x≤y，∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如下图：∵x2+y2﹣6x=（x﹣3）2+y2﹣9．由点到直线的距离公式可得，P（3，0）区域中A（）的距离最小，所以x2+y2﹣6x的最小值为．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017春•肃南裕县校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：，∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，∴sinA+2sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴，∵0＜C＜π．∴．（Ⅱ）∵，又∵，∴，∴，即．故得sin2A+sin2B的取值范围是[，）．18．（12分）（2017•湖北二模）某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人重随机抽取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）由图知，P（25≤x＜30）=0.01×5=0.05，故x=100×0.05=5；（2分）P（30≤x＜35）=1﹣（0.05+0.35+0.3+0.1）=1﹣0.8=0.2故y=100×0.2=20，（4分）其==0.04…（6分）（II）∵各层之间的比为5：20：35：30：10=1：4：7：6：2，且共抽取20人，∴年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人．（8分）X可取0，1，2，P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=．故X的分布列为：（10分）故E（X）=0×+1×+2×=．（12分）19．（12分）（2017•大庆三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证；平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】解：（I）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=2，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）解：如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）于是=（1，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣1）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）（2017•渝中区校级模拟）已知抛物线C：x2=2py（p＞0），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M、N两点，且|MN|=16．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D（0，4），若动圆P与x轴交于A、B两点，且|DA|＜|DB|，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的焦点为，则直线，由，得x2﹣2px﹣p2=0…（2分）∴x1+x2=2p，∴y1+y2=3p，∴|MN|=y1+y2+p=4p=16，∴p=4…（4分）∴抛物线C的方程为x2=8y…（5分）（Ⅱ）设动圆圆心P（x0，y0），A（x1，0），B（x2，0），则，且圆，令y=0，整理得：，解得：x1=x0﹣4，x2=x0+4，…（7分），，…（9分）当x0=0时，，当x0≠0时，，∵x0＞0，∴，，∵，所以的最小值为．…（12分）21．（12分）（2017•湖北二模）设函数f（x）=x2﹣a x（a＞0，且a≠1），g（x）=f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数）．（1）当a=e时，求g（x）的极大值点；（2）讨论f（x）的零点个数．【解答】解：（1）a=e时，g（x）=2x﹣e x，g′（x）=2﹣e x，令g′（x）=0得：2﹣e x=0，解得x=ln2，∴当x＜ln2时，g′（x）＞0；当x＞ln2时，g′（x）＜0，∴g（x）的极大值点为ln2．（2）（Ⅰ）当a＞1时，f′（x）=2x﹣lna•a x，∴当x≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，∵f（﹣1）=1﹣＞0，f（0）=﹣1＜0，∴f（x）在（0，+∞）有一个零点；当x＞0时，令f（x）=0得x2=a x，即lna=，令h（x）=，则h′（x）=．∴当0＜x＜e时，h′（x）＞0；当x＞e时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，做出y=h（x）的图象如下图，由图象可知：①当lna＞即a＞e时，f（x）在（0，+∞）上无零点；②当lna=即a=e时，f（x）在（0，+∞）上有1个零点；③当0＜lna＜即1＜a＜e时，f（x）在（0，+∞）上有2个零点；（Ⅱ）当0＜a＜1时，f′（x）=2x﹣lna•a x，∴当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（0）=﹣l＜0，f（1）=1﹣a＞0，∴f（x）在（0，+∞）上有1个零点；当x＜0时，令f（x）=0得lna=，令H（x）=，则H′（x）=，∴当﹣e＜x＜0时，H′（x）＞0，当x＜﹣e时，H′（x）＜0，∴H（x）在（﹣∞，﹣e）上单调递减，在（﹣e，0）上单调递增，作出y=H（x）的函数图象如图：由图象可知：当lna＜﹣即0时，f（x）在（﹣∞，0）上无零点；当lna=﹣即a=e时，f（x）在（﹣∞，0）上有1个零点；当﹣＜lna＜0即e＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，0）上有2个零点；综上：①当0＜a＜e或a＞e时，f（x）有1个零点；②当a=e或a=e时，f（x）有2个零点；③当e＜a＜1或1＜a＜e时，f（x）有3个零点．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•郴州三模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•湖北二模）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c 的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．【解答】解：（1）f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c≤|b+a|+c，当且仅当x≥b时等号成立，∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最大值为a+b+c．又已知f（x）的最大值为10，所以a+b+c=10．（4分）（2）由（1）知a+b+c=10，由柯西不等式得[（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2]（22+12+12）≥（a+b+c﹣6）2=16，即（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2≥（7分）当且仅当（a﹣1）=b﹣2=c﹣3，即a=，b=，c=时等号成立．（10分）参与本试卷答题和审题的老师有：minqi5；沂蒙松；刘长柏；whgcn ；lcb001；刘老师；caoqz ；清风慕竹；maths ；双曲线；zcq ；左杰；qiss ；zhczcb （排名不分先后） 菁优网2017年7月4日赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
2016-2017学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年甘肃省张掖市高台一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知（x+i）（1﹣i）=y，则实数x，y分别为（）A．x=﹣1，y=1 B．x=﹣1，y=2 C．x=1，y=1 D．x=1，y=22．（5分）在复平面内，复数z=cos3+isin3（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设没有一个钝角C．假设至少有两个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角4．（5分）函数f（x）=（2πx）2的导数是（）A．f′（x）=4πx B．f′（x）=4π2x C．f′（x）=8π2x D．f′（x）=16πx5．（5分）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的6．（5分）现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选1人参加某项活动，则不同选法种数为（）A．60 B．12 C．5 D．57．（5分）若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．则（）A．x=1是最小值点B．x=0是极小值点C．x=2是极小值点D．函数f（x）在（1，2）上单调递增8．（5分）要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（）A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．C．D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥09．（5分）若f（x）=﹣x2+mlnx在（1，+∞）是减函数，则m的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）10．（5分）过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=011．（5分）利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n ﹣1），n∈N*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）A．2k+1 B．C．D．12．（5分）设函数f′（x）=x2+3x﹣4，则y=f（x+1）的单调减区间为（）A．（﹣4，1）B．（﹣5，0）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．（5分）一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法种．（以数字作答）15．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx+x+1在上的最大值为．16．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x在点处的切线为l，则直线l、曲线f（x）以及直线所围成的区域的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）复数，z2=1﹣2a+（2a﹣5）i，其中a∈R．（1）若a=﹣2，求z1的模；（2）若是实数，求实数a的值．18．（12分）已知a为实数，且函数f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），f'（﹣1）=0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值．19．（12分）求证：tan2x+=．20．（12分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？21．（12分）数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．22．（12分）设函数f（x）是定义在[﹣1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=x3﹣ax（a∈R）．（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？2016-2017学年甘肃省张掖市高台一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2010•江西）已知（x+i）（1﹣i）=y，则实数x，y分别为（）A．x=﹣1，y=1 B．x=﹣1，y=2 C．x=1，y=1 D．x=1，y=2【解答】解：考查复数的乘法运算．可采用展开计算的方法，得（x﹣i2）+（1﹣x）i=y，没有虚部，即，解得：x=1，y=2．故选D．2．（5分）（2010•惠州模拟）在复平面内，复数z=cos3+isin3（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵∴sin3＞0，cos3＜0∴对应的点在第二象限．故选B．3．（5分）（2015春•蠡县校级期末）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设没有一个钝角C．假设至少有两个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故选C．4．（5分）（2015秋•张家口期末）函数f（x）=（2πx）2的导数是（）A．f′（x）=4πx B．f′（x）=4π2x C．f′（x）=8π2x D．f′（x）=16πx【解答】解：f′（x）=2（2πx）（2πx）′=8π2x故选C5．（5分）（2015秋•孝感期末）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．6．（5分）（2013春•渭南期末）现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选1人参加某项活动，则不同选法种数为（）A．60 B．12 C．5 D．5【解答】解：∵三个年级共有3+5+4=12名学生，∴由计数原理可得，从中任选1人参加某项活动共有12种选法．故选B．7．（5分）（2017春•高台县校级期中）若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．则（）A．x=1是最小值点B．x=0是极小值点C．x=2是极小值点D．函数f（x）在（1，2）上单调递增【解答】解：由图象得：f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴x=2是极小值点，故选：C．8．（5分）（2017春•高台县校级期中）要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（）A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．C．D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0【解答】解：要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（a2﹣1）（1﹣b2）≤0，只要证明（a2﹣1）（b2﹣1）≥0．故选：D．9．（5分）（2017春•高台县校级期中）若f（x）=﹣x2+mlnx在（1，+∞）是减函数，则m的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）【解答】解：f（x）=﹣x2+mlnx，f′（x）=﹣x+=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，符合题意，m＞0时，只需﹣x2+m≤0在x∈（1，+∞）恒成立即可，即m≤x2≤1，综上：m≤1，故选：C．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0【解答】解：y'=2x+1，设切点坐标为（x0，y0），则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切线方程为y﹣x02﹣x0﹣1=（2x0+1）（x﹣x0），因为点（﹣1，0）在切线上，可解得x0=0或﹣2，当x0=0时，y0=1；x0=﹣2时，y0=3，这时可以得到两条直线方程，验正D正确．故选D11．（5分）（2012•崇明县校级模拟）利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1），n∈N*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）A．2k+1 B．C．D．【解答】解：由题意，n=k 时，左边为（k+1）（k+2）…（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3）…（k+1+k+1）；从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1），故选C．12．（5分）（2014•开福区校级模拟）设函数f′（x）=x2+3x﹣4，则y=f（x+1）的单调减区间为（）A．（﹣4，1）B．（﹣5，0）C．D．【解答】解：∵函数f′（x）=x2+3x﹣4，f′（x+1）=（x+1）2+3（x+1）﹣4=x2+5x，令y=f（x+1）的导数为：f′（x+1），∵f′（x+1）=x2+5x＜0，解得﹣5＜x＜0∴y=f（x+1）的单调减区间：（﹣5，0）；故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2017•成都模拟）复数z=（i为虚数单位）的虚部为1．【解答】解：z==i+1的虚部为1．故答案为：1．14．（5分）（2017春•高台县校级期中）一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法37种．（以数字作答）【解答】解：由题意可知选择拿语文书：有12种不同的拿法，数学书有14种不同的拿法，英语书有11种不同的拿法，则从中取出一本，则不同的取法共有12+14+11=37种；故答案为：37．15．（5分）（2017春•高台县校级期中）函数f（x）=sinx﹣cosx+x+1在上的最大值为π+2．【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cosx+x+1=sin（x﹣）+x+1．则f′（x）=cos（x﹣）+1，∵x∈，∴x﹣∈[，]，令f′（x）=0．则：x=π或．当x∈（，π）时，f′（x）＞0，则f（x）在x∈（，π）上单调递增，当x∈（π，）时，f′（x）＜0，则f（x）在x∈（π，）上单调递减．∴当x=π，函数f（x）取得最大值为：π+2．故答案为：π+2．16．（5分）（2017春•高台县校级期中）已知函数f（x）=1﹣2sin2x在点处的切线为l，则直线l、曲线f（x）以及直线所围成的区域的面积为．【解答】解：由f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，得f′（x）=﹣2sin2x．∴f′（）=﹣2sin=﹣2，又f（）=cos=0，∴直线l的方程为y﹣0=﹣2（x﹣），即y=﹣2x+．如图：∴直线l、曲线f（x）以及直线x=所围成的区域的面积为：=（）=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2017春•高台县校级期中）复数，z2=1﹣2a+（2a ﹣5）i，其中a∈R．（1）若a=﹣2，求z1的模；（2）若是实数，求实数a的值．【解答】解：（1）a=﹣2，则=3+6i，则，∴z1的模为；（2）=（6﹣a）+[（a2﹣10）+（2a﹣5）]i=（6﹣a）+（a2+2a﹣15）i，∵是实数，∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3．故a=﹣5或a=3．18．（12分）（2017春•高台县校级期中）已知a为实数，且函数f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），f'（﹣1）=0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）（a∈R），∴f'（x）=2x（x﹣a）+x2﹣4=3x2﹣2ax﹣4．∵f'（﹣1）=0，∴3+2a﹣4=0，解得，∴．则R．f'（x）=3x2﹣x﹣4=（3x﹣4）（x+1），令f'（x）=0，解得．由f'（x）＞0得或x＜﹣1，此时函数单调递增，由f'（x）＜0得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）当﹣2≤x≤2时，函数f（x）与f'（x）的变化如下表：由表格可知：当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，，当时，函数f（x）取得极小值，，又f（﹣2）=0，f（2）=0，可知函数f（x）的最大值为，最小值为．19．（12分）（2017春•高台县校级期中）求证：tan2x+=．【解答】证明：左边=+=======右边．∴tan2x+=．20．（12分）（2005•陕西）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解答】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．21．（12分）（2016春•来宾期末）数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1．当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以．同理：，．由此猜想…（5分）（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，=s k+1﹣s k=2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k=2+a k﹣a k+1，那么n=k+1时，a k+1所以2a k=2+a k，所以，+1这表明n=k+1时，结论成立．由①②知对一切n∈N*猜想成立．…（8分）22．（12分）（2017春•高台县校级期中）设函数f（x）是定义在[﹣1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=x3﹣ax（a∈R）．（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？【解答】解：（I）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（II）f'（x）=﹣3x2+a，∵x∈（0，1]⇒3x2∈[﹣3，0），又a＞3，∴a﹣3x2＞0，即f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上为增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7 分（III）当a＞3时，f（x）在（0，1]上是增函数，f max（x）=f（1）=a﹣1=1⇒a=2．（不合题意，舍去）﹣﹣﹣8 分当．如下表：∴，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当a＜0时，f'（x）=a﹣3x2＜0，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]无最大值．∴存在上有最大值1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；rxl；caoqz；wdnah；ywg2058；wfy814；刘老师；刘长柏；wukexing；小张老师；沂蒙松；danbo7801；左杰；sxs123；陈高数；xiaolizi；若尘（排名不分先后）菁优网2017年6月18日。
甘肃省张掖市肃南一中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)
2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 1=m 2﹣3m +m 2i ，z 2=4+（5m +6）i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1﹣z 2=0，则m 的值为（ ） A ．4B ．﹣1C ．6D ．02．已知复数z 满足（1+2i 3）z=1+2i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数等于（ ）A ． +B ．﹣+C ．﹣D ．﹣i3．若椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±2xC ．y=±4xD ．y=±x4．已知函数，则=（ ）A ．B ．0C ．D ．5．∫|x 2﹣4|dx=（ ）A ．B ．C ．D ．6．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪{1}B．（﹣∞，﹣2]∪[1，2]C．[1，+∞）D．[﹣2，1]8．若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k9．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．10．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B．C． D．11．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，）C．（0，）D．[，e]12．已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx ＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（﹣1）dx=．14．已知函数f（x）=e x﹣ax在（3，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是．15．若复数z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i，且为纯虚数，则|z1|=．16．已知f（x）=x3﹣3x+m，若在区间[0，2]上任取三个数a、b、c，均存在以f （a）、f（b）、f（c）为边长的三角形，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=e x（x2﹣3）．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）的极值．18．如图所示，平面ABCD⊥平BCEF，且四边形ABC为矩形，四边BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；（Ⅱ）求直线BE与平面ADE所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B到平面ADE的距离．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点M的横坐标为3，焦点为F，且|MF|=4．直线l：y=2x﹣4与抛物线C交于A，B两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若P是x轴上一点，且△PAB的面积等于9，求点P的坐标．20．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，，若O为AD的中点，且CD⊥A1O．（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P的大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由．21．已知椭圆C：的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x（m∈R），令F（x）=f（x）+g （x）．（1）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z1=m2﹣3m+m2i，z2=4+（5m+6）i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1﹣z2=0，则m的值为（）A．4 B．﹣1 C．6 D．0【考点】A3：复数相等的充要条件．【分析】由题意可得m2﹣3m+m2i=4+（5m+6）i，根据两个复数相等的充要条件可得，解方程组求得m的值．【解答】解：由题意可得z1 =z2 ，即m2﹣3m+m2i=4+（5m+6）i，根据两个复数相等的充要条件可得，解得m=﹣1，故选B．2．已知复数z满足（1+2i3）z=1+2i（i为虚数单位），则z的共轭复数等于（）A． +B．﹣+C．﹣D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（1+2i3）z=1+2i，∴（1﹣2i）z=1+2i，∴（1+2i）（1﹣2i）z=（1+2i）2，化为：z=．∴z的共轭复数=﹣．故选：D．3．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=，即有=，则双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，即有y=±x．故选A．4．已知函数，则=（）A．B．0 C．D．【考点】63：导数的运算．【分析】先对函数f（x）进行求导，再将x=代入即可．【解答】解：∵∴，∴．故选C．5．∫|x2﹣4|dx=（）A．B．C．D．【考点】67：定积分．【分析】利用定积分的运算法则，找出被积函数的原函数，同时注意通过对绝对值内的式子的正负进行分类讨论，把绝对值符号去掉后进行计算．【解答】解：A=∫03|x2﹣4|dx=∫02（4﹣x2）dx+∫23（x2﹣4）dx=（4x﹣x3）|02+（x3﹣4x）|23=．故选：C．6．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角棱长为1，则B1E=B1F=，EF=，∴cos∠EB1F=，故选D．7．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪{1}B．（﹣∞，﹣2]∪[1，2]C．[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】26：四种命题的真假关系．【分析】据复合命题的真假与简单命题真假的关系，得到p，q全真；p真即不等式恒成立转化成求最值，q真即二次方程有根，△≥0【解答】解：∵“p∧q”为真命题，∴得p、q为真，若p为真则有a≤（x2）min=1；若q为真则有△=4a2﹣4（2﹣a）≥0．故得a≤﹣2或a=1．故选项为A8．若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由题意得，区间（k﹣1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，从而求出实数k的取值范围．【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，而f′（x）=3x2﹣12的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，故选B．9．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与长方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解．2=8，【解答】解：由已知易得：S长方形=4×S阴影=∫04（）dx===，故质点落在图中阴影区域的概率P==，故选A．10．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B．C． D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2=90°在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选D11．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，）C．（0，）D．[，e]【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax 有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．12．已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx ＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx），∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，则g（﹣）＜g（﹣），即，∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正确．g（0）＜g（），即，∴f（0）＜2f（），故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（﹣1）dx=﹣2．【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的计算法则和定积分的几何意义即可求出．【解答】解：dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的二分之一，故dx=，dx=x|=1﹣（﹣1）=2，故（﹣1）dx=﹣2，故答案为：﹣214．已知函数f（x）=e x﹣ax在（3，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，e3] ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x﹣a ≥0在区间（1，+∞）上恒成立，⇔a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．【解答】解：f′（x）=e x﹣a，∵函数f（x）=e x﹣ax在区间（3，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x﹣a≥0在区间（3，+∞）上恒成立，∴a≤[e x]min在区间（3，+∞）上成立．而e x＞e3，∴a≤e3．故答案为：（﹣∞，e3]．15．若复数z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i，且为纯虚数，则|z1|=．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i，则=，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据已知条件列出方程组，求解可得a的值，代入z1，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由复数z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i，则===，∵为纯虚数，∴，解得：a=．则z1=a+2i=，∴|z1|=．故答案为：．16．已知f（x）=x3﹣3x+m，若在区间[0，2]上任取三个数a、b、c，均存在以f （a）、f（b）、f（c）为边长的三角形，则实数m的取值范围为（6，+∞）．【考点】3T：函数的值．【分析】三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等关系，即可求解．【解答】解：f（x）=x3﹣3x+m，求导f'（x）=3x2﹣3，由f'（x）=0得到x=1或者x=﹣1，又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m．在[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，三个不同的数a，b，c对应的f（a），f（b），f（c）可以有两个相同．由三角形两边之和大于第三边，可知最小边长的二倍必须大于最大边长．由题意知，f（1）=﹣2+m＞0…（1），f（1）+f（1）＞f（0），得到﹣4+2m＞m…（2），f（1）+f（1）＞f（2），得到﹣4+2m＞2+m…（3），由（1）（2）（3）得到m＞6为所求．故答案为：（6，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=e x（x2﹣3）．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）的极值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，f′（0）=﹣3，直线斜率为﹣3，且过点（0，﹣3），利用点斜式方程，求得切线方程；（2）先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x（x2﹣3），则f′（x）=e x（x2+2x﹣3）=e x（x+3）（x﹣1），故f′（0）=﹣3，又f（0）=﹣3，故曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y+3=﹣3x，即3x+y+3=0；（2）由（1）知f′（x）=0可得：x=1或x=﹣3，如下表：令f′（x）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1；此时函数单调递增；令f′（x ）＜0，解得﹣3＜x ＜1，此时函数单调递递减．当x=﹣3时取极大值，极大值为：f （﹣3）=6e ﹣3， 当x=1取极小值为f （1）=﹣2e ．18．如图所示，平面ABCD ⊥平BCEF ，且四边形ABC 为矩形，四边BCEF 为直角梯形，BF∥CE ，BC⊥CE ，DC=CE=4，BC=BF=2． （Ⅰ）求证：AF ∥平面CDE ；（Ⅱ）求直线BE 与平面ADE 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点B 到平面ADE 的距离．【考点】MK ：点、线、面间的距离计算；LS ：直线与平面平行的判定；MI ：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以C 为坐标原点，以CB 、CE 、CD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，通过与平面CDE 的一个法向量的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为=（x 1，y 1，z 1），取z 1=1，得=（0，1，1），求出法向量与的夹角的余弦值值，计算即可；（Ⅲ）根据面ADE 的一个法向量为=（0，1，1）以及的坐标，求出点B 到平面ADE 的距离即可．【解答】（Ⅰ）证明：以C 为坐标原点，以CB 、CE 、CD 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系如图，根据题意可得C（0，0，0），A（2，0，4），B（2，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），F（2，2，0），∴=（0，0，4），易得=（1，0，0）是平面CDE的一个法向量，∵•=（0，0，4）•（1，0，0）=0，∴AF∥平面CDE；（Ⅱ）解：设平面ADE的一个法向量为=（x1，y1，z1），∵=（﹣2，0，0），=（0，4，﹣4），则，∴，取z1=1，得=（0，1，1），，设直线BE与平面ADE所成角为θ，则，所以，所以BE与平面ADE所成角的余弦值为；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ADE的一个法向量为=（0，1，1），∴，∴点B到平面ADE的距离为．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点M的横坐标为3，焦点为F，且|MF|=4．直线l：y=2x﹣4与抛物线C交于A，B两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若P是x轴上一点，且△PAB的面积等于9，求点P的坐标．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）代入计算即可得出答案；（Ⅱ）先求出AB的长度，再根据三角形的面积公式，即可求得点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）依题意得， +3=4，∴p=2，∴抛物线方程为C：y2=4x；（Ⅱ）将直线方程与抛物线的方程进行联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，y2﹣2y﹣8=0，∴A（1，﹣2），B（4，4），∴|AB|==3，设P（a，0），P到直线AB的距离为d，则d==，=|AB|•d，又S△ABP代入计算可得，|a﹣2|=3，∴a=5或a=﹣1，故点P的坐标为（5，0）和（﹣1，0）20．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，，若O为AD的中点，且CD⊥A1O．（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P的大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得△A1AD为等边三角形，A1O⊥AD，再由CD⊥A1O，能证明A1O⊥平面ABCD．（Ⅱ）过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出当BP的长为时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．【解答】证明：（Ⅰ）∵，且AA1=AD=2，∴△A1AD为等边三角形∵O为AD的中点，∴A1O⊥AD，…又CD⊥A1O，且CD∩AD=D，∴A1O⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）则A（0，﹣1，0），，…设P（1，m，0）（m∈[﹣1，1]），…平面A1AP的法向量为，∵，，且，取z=1，得…平面A1ADD1的一个法向量为…由题意得，…解得或（舍去），…∴当BP的长为时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．…21．已知椭圆C：的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）运用离心率公式和焦点坐标，直接求出a，b；（2）利用设而不求的方法，设出要求的常数，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等）【解答】解：（1）由已知得，∴a2=2，b2=1，∴椭圆C的标准方程：（2）依题意过点D（0，2）且斜率为k的直线l的方程为：y=kx+2由得（1+2k2）x2+8kx+6=0设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣，x1x2=；又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣．y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4=．设存在点E（0，m），则．所以==要使=t（t为常数），只要=t，从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0即2m2﹣2﹣2t=0且m2﹣4m+10﹣t=0由（1）得t=m2﹣1，代入（2）解得m=，从而t=，故存在定点E（0，），使恒为定值．22．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x（m∈R），令F（x）=f（x）+g （x）．（1）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即为lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1≤0恒成立，令h（x）=lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1，求得导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m的最小值．【解答】解：（1）当m=时，f（x）=lnx﹣x2，（x＞0），由f′（x）=﹣x=＞0，得x＜1，又∵x＞0，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）．（2）关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即为lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1≤0恒成立，令h（x）=lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1，h′（x）=﹣mx+1﹣m=，当m≤0可得h′（x）＞0恒成立，h（x）递增，无最大值，不成立；当m＞0时，h′（x）=，当x＞，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜，h′（x）＞0，h（x）递增，则有x=取得极大值，且为最大值．由恒成立思想可得ln﹣+≤0，即为2mlnm≥1，显然m=1不成立，m=2时，4ln2≥1即有24≥e成立．整数m的最小值为2．2017年6月10日。
2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高一(下)期中数学试卷
2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在四边形ABCD中，设，且，，则四边形ABCD的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形2．（5分）O是△ABC内一点，且|，则O是△ABC的（）A．重心B．内心C．外心D．垂心3．（5分）cos263°cos203°+sin83°sin23°的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知，，若，则m ﹣n的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣35．（5分）设α为锐角，若，则sin=（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则△ABC中最短边的边长等于（）A．B．C．D．7．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位8．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定9．（5分）若（a为实常数）在区间[0，]上的最小值为﹣4，则a的值为（）A．﹣6 B．4 C．﹣3 D．﹣410．（5分）若α∈（，），x=（sinα），y=（cosα），则x与y的大小关系为（）A．x＞y B．x＜y C．x=y D．不确定11．（5分）已知向量，满足||=1，与的夹角为，若对一切实数x，|x+2|≥|+|恒成立，则||的取值范围是（）A．[，∞）B．（，∞）C．[1，+∞）D．（1，+∞）12．（5分）在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1 B．﹣C．D．﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则可化简为．14．（5分）△ABC中，AC=2，∠B=45°，若△ABC有2解，则边长BC长的范围是．15．（5分）已知O是△ABC的外心，且AB=5，AC=8，存在非零实数x，y使且x+2y=1，则cos∠BAC=．16．（5分）由正弦的和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ与正弦二倍公式sin2α=2sinαcosα．求①sin3α=（用sinα表示）；②利用二倍角和三倍角公式及，求sin18°=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．18．（12分）锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足2sin（A+B）﹣=0，求：（1）角C的度数；（2）边c的长度及△ABC的面积．19．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．20．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．（Ⅰ）若•=1，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）记f（x）=•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a ﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．21．（12分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．22．（12分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）在四边形ABCD中，设，且，，则四边形ABCD的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【解答】解：∵；∴四边形ABCD是平行四边形；如图，；且；∴；∴平行四边形ABCD是矩形．故选B．2．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）O是△ABC内一点，且|，则O是△ABC的（）A．重心B．内心C．外心D．垂心【解答】解：O是△ABC内一点，且|，可知O到顶点A，B，C距离相等，所以O是△ABC的外心．故选：C．3．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）cos263°cos203°+sin83°sin23°的值为（）A．B．C．D．【解答】解：cos263°cos203°+sin83°sin23°=cos（180°+83°）cos（180°+23°）+sin83°sin23°=sin83°sin23°+cos83°cos23°=cos60°=．故选：A．4．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）已知，，若，则m﹣n的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【解答】解：，，m+n=（2m+n，m﹣2n），，可得：，可得m=2，n=5．m﹣n=﹣3故选：D．5．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）设α为锐角，若，则sin=（）A．B．C．D．【解答】解：∵α为锐角，若，∴α+是锐角，∴sin（）==，则sin=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos+﹣cos（α+）sin=•﹣•=，故选：A．6．（5分）（2016秋•历下区校级期末）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则△ABC中最短边的边长等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵B=45°，C=60°，c=1，∴由正弦定理=得：b===．故选D7．（5分）（2014•浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x 的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：C．8．（5分）（2015•高安市校级模拟）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A9．（5分）（2008•丰台区一模）若（a为实常数）在区间[0，]上的最小值为﹣4，则a的值为（）A．﹣6 B．4 C．﹣3 D．﹣4【解答】解：f（x）=2cos2x+sin2x+a=cos2x+1+sin2x+a=．∵x∈[0，]，∴2x∈[0，π]，∈[，]，∈[，1]．∴，即a=﹣4．故选D．10．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）若α∈（，），x=（sinα），y=（cosα），则x与y的大小关系为（）A．x＞y B．x＜y C．x=y D．不确定【解答】解：∵α∈（，），∴0＜cosα＜sinα＜1，由x=（sinα），y=（cosα），得logαx=logαcosα•logαsinα，logαy=logαsinα•logαcosα，∴logαx=logαy，即x=y．故选：C．11．（5分）（2016春•厦门校级期末）已知向量，满足||=1，与的夹角为，若对一切实数x，|x+2|≥|+|恒成立，则||的取值范围是（）A．[，∞）B．（，∞）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：∵||=1，与的夹角为，∴|x+2|≥|+|，化为，即≥0，∵对一切实数x，|x+2|≥|+|恒成立，∴﹣4≤0，化为，解得．故选：C．12．（5分）（2016•陕西校级一模）在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1 B．﹣C．D．﹣【解答】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ﹣sinθ，∵小正方形的面积是，∴（cosθ﹣sinθ）2=又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞si nθ∴cosθ﹣sinθ=又∵（cosθ﹣sinθ）2=1﹣2sinθcosθ=∴2cosθsinθ=∴1+2sinθcosθ=即（cosθ+sinθ）2=∴cosθ+sinθ=∴sin2θ﹣cos2θ=（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）=﹣=﹣故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）若，则可化简为2cosθ．【解答】解：因为，∴sinθ＜cosθ，sinθ+cosθ＜0．所以=|sinθ﹣cosθ|﹣|sinθ+cosθ|=2cosθ，故答案为：2cosθ．14．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）△ABC中，AC=2，∠B=45°，若△ABC有2解，则边长BC长的范围是．【解答】解：∵在△ABC中，BC=x，AC=2，B=45°，且三角形有两解，∴如图：xsin45°＜2＜x，解得2＜x＜2，∴x的取值范围是．故答案为：．15．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）已知O是△ABC的外心，且AB=5，AC=8，存在非零实数x，y使且x+2y=1，则cos∠BAC=．【解答】解：如图，设AC中点为D，则；∴；∵x+2y=1；∴O，D，B三点共线，连接BO；∵O是△ABC的外心；∴OD⊥AC；∴BD⊥AC，且D为AC的中点；∴在Rt△ABD中，AB=5，AD=4；∴．故答案为：．16．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）由正弦的和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ与正弦二倍公式sin2α=2sinαcosα．求①sin3α=3sinα﹣4sin3α（用sinα表示）；②利用二倍角和三倍角公式及，求sin18°=．【解答】解：（1）∵sin3α=sin（2α+α）=sin2αcosα﹣cos2αsinα=2sinα•cos2α﹣（1﹣2sin2α）sinα=2sinα•（1﹣sin2α）﹣（1﹣2sin2α）sinα=3sinα﹣4sin3α（2）设α=18°，则5α=90°，从而3α=90°﹣2α，于是cos3α=cos（90°﹣2α），即cos3α=sin2α，展开得4cos3α﹣3cosα=2sinαcosα，∵cosα=cos18°≠0，∴4cos2α﹣3=2sinα，化简得4sin2α+2sinα﹣1=0，解得sinα=．再根据sinα＞0，可得sinα=，故答案为：3sinα﹣4sin3α；．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2012秋•龙华区校级期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵=sin+cos=2sin （+），∴f（x）的最小正周期T==4π．当sin（+）=﹣1时，f（x）取得最小值﹣2；当sin（+）=1时，f（x）取得最大值2．（Ⅱ）g（x）是偶函数．理由如下：由（1）知f（x）=2sin（+），又，∴g（x）=2sin[（x+）+]=2sin（+）=2cos．∵g（﹣x）=2cos（﹣）=2cos=g（x），∴函数g（x）是偶函数．18．（12分）（2014秋•梧州期末）锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足2sin（A+B）﹣=0，求：（1）角C的度数；（2）边c的长度及△ABC的面积．【解答】解：（1）由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，∵△ABC是锐角三角形，∴A+B=120°，∴∠C=60°，（2）∵a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，ab=2，∴c2=a2+b2﹣2abcosC，=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，∴c=，=absinC==．∴S△ABC19．（12分）（2010•辽宁）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．20．（12分）（2015•金家庄区校级模拟）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．（Ⅰ）若•=1，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）记f（x）=•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a ﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵∴∵（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA∵sinA＞0∴cosB=∵B∈（0，π），∴∴∵∴∵∴∴21．（12分）（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【解答】解：（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：v2t2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=当t=时，取得最小值，此时，v=30（2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°解得：t=，此时∠BOD=30°此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．22．（12分）（2014•信阳一模）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．【解答】解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…（6分）（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）∴S△PMN=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，=（t+1+）∴S△PMNθ=，当t=，的最大值为．…..…（14分）∴S△PMN参与本试卷答题和审题的老师有：wkl197822；qiss；w3239003；caoqz；sllwyn；zhwsd；sxs123；沂蒙松；lcb001；wdnah；wodeqing；吕静（排名不分先后）菁优网2017年6月10日。
2016-2017学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
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20． （12 分）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性有 55 名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节 目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育 迷” ，已知“体育迷”中有 10 名女性． （1）根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？ 非体育迷 男 女 总计 （2）将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷” ，已知“超级体育 迷”中有 2 名女性，若从“超级体育迷”中任意选取 2 名，求至少有 1 名女性观众的概 率． 附：K ＝ P（K
，则 z＝2x+y 的最大值为（
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）
A．3 8． （5 分）函数 A．R
B．4 的值域是（ B． （0，+∞） ）
C．6
D．7
C． （2，+∞）
D． ）
9． （5 分）根据此程序框图输出 S 的值为
，则判断框内应填入的是（
A．i≤8？
*
B．i≤6？
C．i≥8？
D．i≥6？
10． （5 分）设 n∈N ，f（n）＝1+ + +…+ ，计算知 f（2）＝ ，f（4）＞2，f（8）＞ ， f（16）＞3，f（32）＞ ，由此猜测（ A．f（2n）＞ C．f（2 ）≥
18． （12 分）等差数列{an}中，a2＝4，a4+a7＝15． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn＝ +n，求 b1+b2+b3+…+b10 的值．
【全国百强校word】甘肃省肃南县第一中学2017届高三下学期期中考试数学(文)试题
绝密★启用前【全国百强校word 】甘肃省肃南县第一中学2017届高三下学期期中考试数学（文）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知公差不为的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A ．B ．C ．D ．2、以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（ ）A ．B ．1C ．D ．23、如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为（）A ．的值B ．的值C ．的值D ．的值4、设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．5、复数与复数互为共轭复数（其中为虚数单位），则（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知函数在定义域上的导函数为，若方程无解，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8、已知函数，，的零点依次为，，，则（ ） A ．B ．C ．D ．9、已知函数（，，）的图象的相邻两对称中心的距离为，且，则函数是（ ）A ．奇函数且在处取得最小值B ．偶函数且在处取得最小值C ．奇函数且在处取得最大值 D ．偶函数且在处取得最大值10、已知函数，则关于的不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．11、若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的侧面积等于（）A ．B ．C ．D ．12、下列有关命题的说法正确的是（） A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则”的逆否命题为真命题 C ．命题“，使得”的否定是“，使得”D ．“若，则互为相反数”的逆命题为真命题第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、设数列，满足且，若表示不超过的最大整数，则__________．14、过定点作动圆的一条切线，切点为，则线段长的最小值是__________．15、设函数的导函数，则的极值点是__________．16、已知，则的最大值是__________．三、解答题（题型注释）17、选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求的最大值.18、已知函数（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当，时，证明：（其中为自然对数的底数）.19、某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图(如下图)．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（Ⅰ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关？ 附：.20、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，垂直于底面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求四棱锥的体积和截面的面积．21、已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，为的中点．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值．22、已知抛物线，过其焦点作斜率为的直线交抛物线于、两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，且，求的最小值.23、选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值.参考答案1、C2、A3、C4、C5、A6、D7、A8、A9、D10、C11、C12、D13、201514、15、-216、317、（1）；（2）.18、（1）见解析；（2）见解析.19、（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．20、（1）见解析（2）21、（1）（2）22、（I）;（2）.23、（1）（2）【解析】1、所以，选C.2、试题分析：以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，∴，故选A．考点：椭圆，双曲线的标准方程及其性质．3、试题分析：第①次执行循环体得；第②次执行循环体得；第③次执行循环体得，由于条件不成立，所在输出.故选C.考点：1.秦九韶算法；2.程序框图.4、双曲线焦点,,又,,,,由勾股定理逆定理得为直角三角形,面积为5、。
甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
甘肃省肃南县第一中学2017年下学期期中考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知2213i z m m m =-+，()2456i z m =++，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为（ ）A ．4B ．1-C ．6D ．02．已知复数z 满足()31212i z i +=+（i 为虚数单位），则z 共轭复数z 等于（ ） A ．3455i + B ．3455i -+ C ．3455i - D ．3455i --3．若椭圆22221x y a b +=（0a b >>22221y x a b-=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 4．已知函数()sin 23f x x xf π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．0C ．12D 5．3204x dx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2536．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，分别为11A B ，1BB 的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（ ）A ．2 B ．10 C ．25 D ．357．已知命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”，命题q ：“x R ∃∈，2220x ax a ++-=”，若命题“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]{},21-∞-UB ．(][],21,2-∞-UC ．[)1,+∞D ．[]2,1- 8．若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ）A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥B ．31k -<<-或13k <<C ．22k -<<D ．不存在这样的实数k9．如图，长方形的四个顶点为()0,0O ，()4,0A ，()4,2B ，()0,2C，曲线y =过点B .现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）A ．512 B ．12 C ．34 D ．2310．点P 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F 、2F 分别为双曲线左右焦点，且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A．2 C．．211．已知函数()()()1114ln 1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x +>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()023f f π⎛⎫>⎪⎝⎭ D ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．)111dx -=⎰ ．14．已知函数()e xf x ax =-在()3,+∞单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 15．若复数12z a i =+（a R ∈），234z i =-，且12z z 为纯虚数，则1z = ． 16．已知()33f x x x m =-+，若在区间[]0,2上任取三个数a 、b 、c ，均存在以()f a 、()f b 、()f c 为边长的三角形，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数()()23xf x ex=-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的极值.18．如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==. （Ⅰ）求证：AF ∥平面CDE ；（Ⅱ）求直线BE 与平面ADE 所成角的余弦值.19．已知抛物线C ：22y px =（0p >）上的一点M 的横坐标为3，焦点为F ，且4MF =.直线l ：24y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 是x 轴上一点，且PAB V 的面积等于9，求点P 的坐标.20．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=，若O 为AD 的中点，且1CD A O ⊥.（Ⅰ）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --的大小为3π？若存在，求出BP 的长；若不存在，说明理由.21．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，左焦点为()1,0F -，过点()0,2D 且斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）在y 轴上，是否存在定点E ，使AE BE ⋅u u u r u u r恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由.22．已知函数()2ln f x x mx =-，()212g x mx x =+，R m ∈令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.高二（理科）数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:BDBAC 6-10:CABDB 11、12：CA二、填空题13．22π- 14．(3,e ⎤-∞⎦ 15．10316．()6,+∞ 三、解答题17．解：（1）由题()()223x f x e x x '=+-()()31x e x x =+-， 故()03f '=-，又()03f =-，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为33y x +=-，即330x y ++=； （2）由()0f x '=可得1x =或3x =-， 如下表所示，得()()336f x f e -=-=极大， ()()12f x f e ==-极小.18．解：（Ⅰ）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，BF CG ∥Q 且BF CG =，∴四边形BFGC 为平行四边形，则BC FG ∥且BC FG =. Q 四边形ABCD 为矩形，BC AD ∴∥且BC AD =，FG AD ∴∥且FG AD =，Q 四边形AFGD 为平行四边形，则AF DG ∥.DG ⊂Q 平面CDE ，AF ⊄平面CDE ，AF ∴∥平面CDE .（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ，()2,0,0AD =-uuu r Q ，()0,4,4DE =-uu u r，则110,AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uuu r u r uuur u r 11120440x y z -=⎧∴⎨-=⎩，取11z =，得()10,1,1n =u r . ()2,4,0BE =-uur，设直线BE 与平面ADE 所成角为θ，则111sin cos ,BE n BE n BE n θ⋅==uur u r uur u r uur ur 5==.所以cos 5θ==所以BE 与平面ADE19．解：（Ⅰ）依题意得342p+=，所以2p = 所以抛物线方程为C ：24y x =（Ⅱ）联立方程2244y x y x =-⎧⎨=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ，消去x 得2280y y --= 从而121228y y y y +=⎧⎨=-⎩有弦长公式得AB ==设(),0P a ，P 到直线AB 的距离为d ，则d ==，又12ABP S AB d =⋅V ，则2ABP S d AB ⋅=V ，=23a ⇒-=5a ⇒=或1a =-， 故点P 的坐标为()5,0和()1,0-. 20．（Ⅰ）证明：13A AD π∠=Q ，且12AA AD ==，1A AD ∴V 为等边三角形O Q 为AD 的中点 1AO AD ∴⊥， 又1CD A O ⊥，且CD AD D =I ，1A O ∴⊥平面ABCD .（Ⅱ）解：过O 作Ox AB ∥，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图） 则()0,1,0A -，(1A ， 设()1,,0P m （[]1,1m ∈-），平面1A AP 的法向量为()1,,n x y z =u r，(1AA =uuu r Q ，()1,1,0AP m =+uu u r，且()111010n AA y n AP x m y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u r uuu r u r uu u r ， 取1z =，得))11,n m =+u r平面11A ADD 的一个法向量为()21,0,0n =u u r由题意得121cos ,2n n ==u r u u r解得13m =-或53m =-（舍去）， ∴当BP 的长为23时，二面角1D A A P --的值为3π21．解：（1）由已知可得21c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22a =，21b =所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设点()0,2D 且斜率为k 的直线l 的方程为2y kx =+.由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22128k x kx ++60+=. 则()22642412k k ∆=-+216240k =->解得：2k <-或2k > 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122812k x x k +=-+，122612x x k =+ 又()()121222y y kx kx =++()212122k x x k x x =++2224421k k -+=-+，()1212y y kx +=+()()2122kx k x x ++=+24421k +=+.设存在点()0,E m ，则()11,AE x m y =--uu u r ，()22,BE x m y =--uu r，所以12AE BE x x ⋅=uu u r uu r ()21212m m y y y y +-++22621m m k =+-+2224242121k k k -⋅-++ ()22222241021mk m m k -+-+=+，要使得AE BE t ⋅=uu u r uur （t 为常数），只要()22222241021m k m m t k -+-+=+， 从而()22222m t k --+24100m m t -+-=， 即()()222220,14100,2m t m m t ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩由（1）得21t m =-， 代入（2）解得114m =，从而10516t =，故存在定点110,4E ⎛⎫⎪⎝⎭，使AE BE ⋅uu u r uur 恒为定值10516.22．解：（1）()21ln 2f x x x =-，0x >，()1f x x x'=-=21x x -，（0x >），由()0f x '>得210x ->又0x >，所以01x <<，所以()f x 的单增区间为()0,1.（2）令()()()1G x F x mx =--()21ln 112x mx m x =-+-+. 所以()()11G x mx m x'=-+-()211mx m x x -+-+=.当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>所以()G x 在()0,+∞上是递增函数， 又因为()31202G m =-+>. 所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立，当0m >时，()()11m x x m G x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=-. 令()0G x '=得1x m =，所以当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>；当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0G x '<.因此函数()G x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭是减函数.故函数()G x 的最大值为11ln 2G m m m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令()1ln 2h m m m =-，因为()1102h =>，()12ln 204h =-<. 又因为()h m 在()0,m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <. 所以整数m 的最小值为2.。
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2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二（下）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）复数z=的模为1，则a的值为（ ）
A． B．﹣ C．± D． 2．（5分）已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程=x+必过点（ ） x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A．（2，2） B．（1，2） C．（1.5，4） D．（1.5，0） 3．（5分）若a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，则a33=（ ） A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6 4．（5分）椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||=（ ） A． B． C． D．4 5．（5分）如果f（a+b）=f（a）f（b）且f（1）=2，则++=（ ） A． B． C．6 D．8 6．（5分）下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180° B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 C．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180° D．在数列{an}中，a1=1，，由此归纳出{an}的通项公 式 7．（5分）已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是（ ） A．x＞y B．y＞x C．x＞y D．不能确定 8．（5分）程序框图输出a，b，c的含义是（ ）
A．输出的a是原来的c，输出的b是原来的a，输出的c是原来的b B．输出的a是原来的c，输出的b是新的x，输出的c是原来的b C．输出的a是原来的c，输出的b是新的x，输出的c是原来的b D．输出的a，b，c均等于x
9．（5分）已知双曲线C1：﹣=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（ ） A． B． C． D．4 10．（5分）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A．[0，） B． C． D． 11．（5分）已知对于x的方程x2+（1﹣2i）x+3m﹣i=0有实根，则实数m满足（ ） A．m≤﹣ B．m≥﹣ C．m=﹣ D．m= 12．（5分）设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥﹣ 5，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）复数的共轭复数是 ． 14．（5分）定义“等和数列”：在一个数列，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1=2，公和为5，则a18的值为 ． 15．（5分）已知P为抛物线y2=4x上的动点，过P分别作y轴与直线x﹣y+4=0的垂线，垂足分别为A，B，则PA+PB的最小值为 ． 16．（5分）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放．从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）= ；f（n）= （答案用n表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）通过市场调查，得到某种产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如表所示： 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 2 3 5 6 9 （Ⅰ）画出数据对应的散点图；
（Ⅱ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程=bx+a； （Ⅲ）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？ （参考公式：） 18．（12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； 下面的临界值表供参考： p（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中n=a+b+c+d） 19．（12分）（1）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是： ①实数？ ②虚数？ ③纯虚数？ （2）已知=1﹣ni，（m、n∈R，i是虚数单位），求m、n的值． 20．（12分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为﹣4． （1）求a，b，c的值； （2）求函数的递减区间． 21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一交点为B． （1）求椭圆的方程； （2）若l与直线x=a交于点P，求•的值； （3）若|AB|=，求直线l的倾斜角． 22．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣x2﹣ax，，a∈R． （1）当a=0时，求f（x）的极值； （2）令h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调减区间． 2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014春•西华县校级期末）复数z=的模为1，则a的值为（ ）
A． B．﹣ C．± D．
【解答】解：∵||===1， ∴a2=， 解得：a=±． 故选：C．
2．（5分）（2016•福建模拟）已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程=x+必过点（ ） x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A．（2，2） B．（1，2） C．（1.5，4） D．（1.5，0） 【解答】解：回归方程必过点（，）， ∵==，==4， ∴回归方程过点（1.5，4）． 故选：C
3．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）若a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，则a33= （ ） A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6 【解答】解：∵a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，∴a3=a2 ﹣a1=3，a4=a3 ﹣a2=﹣3，a5=a4
﹣a3 =﹣6，
a6=a5 ﹣a4 =﹣3，a7=a6 ﹣a5 =3，a8=a7 ﹣a 6=6…， 故该数列{an}的周期为6，则a33=a3=3， 故选：A．
4．（5分）（2016秋•七里河区校级期末）椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||=（ ） A． B． C． D．4 【解答】解：椭圆的左准线方程为x=﹣=﹣． ∵=e=，∴|PF2|=．
故选：C． 5．（5分）（2014•奎文区校级模拟）如果f（a+b）=f（a）f（b）且f（1）=2，则++=（ ）
A． B． C．6 D．8 【解答】解：∵f（1）=2，f（a+b）=f（a）f（b）∴f（2）=f（1）f（1），f（4）=f（3）f（1），f（6）=f（5）+f（1） ∴，，∴=3f（1）=6 故选C
6．（5分）（2013秋•新余期末）下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180° B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 C．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180° D．在数列{an}中，a1=1，，由此归纳出{an}的通项公
式 【解答】解：A为演绎推理， 在推理过程“两条直线平行，同旁内角互补， 如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角， 则∠A+∠B=180°”中 两条直线平行，同旁内角互补，是大前提 如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，是小前提 则∠A+∠B=180°为结论． B是类比推理 C、D为归纳推理 故选A
7．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是（ ） A．x＞y B．y＞x C．x＞y D．不能确定 【解答】解：∵x2=（+）2=（a+b+2），y2=a+b=（a+b+a+b）＞（a+b+2）=x2， 又∵x＞0，y＞0． ∴y＞x．
8．（5分）（2017春•肃南裕县校级期中）程序框图输出a，b，c的含义是（ ）