改进的信赖域内点算法在OPF中的应用
信赖域算法非线性优化问题课件
非ห้องสมุดไป่ตู้性优化问题的求解方法
总结词
非线性优化问题的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、 拟牛顿法、共轭梯度法等。此外，还有一些启发式算 法如模拟退火、遗传算法等也被广泛应用于求解非线 性优化问题。
详细描述
梯度法是最早用于求解非线性优化问题的方法之一， 其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向搜索。牛顿 法基于泰勒级数展开，构造一个二次模型逼近目标函 数，并在此基础上求解极小值。拟牛顿法是牛顿法的 改进，通过构造一个正定的拟牛顿矩阵来逼近海森矩 阵。共轭梯度法结合了梯度法和牛顿法的思想，在每 一步迭代中沿着当前搜索方向的前一方向共轭的方向 进行搜索。
可解释性与透明度
研究如何提高信赖域算法的可解释性和透明度，使其在关键领域（如 医疗、金融等）得到更广泛的应用。
信赖域算法的挑战和机遇
挑战
非线性、非凸、大规模、多模态等复杂优化问题对信赖域算法提出了更高的要求。同时，算法的稳定性和收敛速 度也是需要克服的难题。
机遇
随着计算能力的提升和算法理论的不断发展，信赖域算法有望在更多领域发挥重要作用。例如，在数据科学、机 器学习、人工智能、控制系统等领域，信赖域算法具有广阔的应用前景。同时，与其他先进技术的结合也为信赖 域算法的发展提供了新的机遇。
信赖域算法的未来发展
深度学习与机器学习集成
探索将信赖域算法与深度学习、机器学习等先进技术相结合，以解决 复杂、高维的非线性优化问题。
智能优化
结合人工智能和优化算法，开发能够自适应学习和进化的智能优化系 统。
强化学习与优化算法结合
利用强化学习中的智能体与环境交互学习的特点，与信赖域算法结合， 实现更高效的优化。
• 可以处理约束优化问题。
信赖域算法的优缺点
基于内点法的最优潮流计算
基于内点法的最优潮流计算Prepared on 22 November 2020摘要内点法是一种能在可行域内部寻优的方法，即从初始内点出发，沿着中心路径方向在可行域内部直接走向最优解的方法。
其中路径跟踪法是目前最具有发展潜力的一类内点算法，该方法鲁棒性强，对初值的选择不敏感，在目前电力系统优化问题中得到了广泛的应用。
本文采用路径跟踪法进行最优求解，首先介绍了路径跟踪法的基本模型，并且结合具体算例，用编写的Matlab程序进行仿真分析，验证了该方法在最优潮流计算中的优越性能。
关键词：最优潮流、内点法、路径跟踪法、仿真目次0、引言电力系统最优潮流，简称OPF（Optimal Power Flow）。
OPF问题是一个复杂的非线性规划问题，要求满足待定的电力系统运行和安全约束条件下，通过调整系统中可利用控制手段实现预定目标最优的系统稳定运行状态。
针对不同的应用，OPF模型课以选择不同的控制变量、状态变量集合，不同的目标函数，以及不同的约束条件，其数学模型可描述为确定一组最优控制变量u，以使目标函数取极小值，并且满足如下等式和不等式。
{min u f(x,u)S.t.ℎ(x,u)=0g(x,u)≤0（0-1）其中min u f(x,u)为优化的目标函数，可以表示系统运行成本最小、或者系统运行网损最小。
S.t.ℎ(x,u)=0为等式约束，表示满足系统稳定运行的功率平衡。
g(x,u)≤0为不等式约束，表示电源有功出力的上下界约束、节点电压上下线约束、线路传输功率上下线约束等等。
电力系统最优潮流算法大致可以分为两类：经典算法和智能算法。
其中经典算法主要是指以简化梯度法、牛顿法、内点法和解耦法为代表的基于线性规划和非线性规划以及解耦原则的算法，是研究最多的最优潮流算法, 这类算法的特点是以一阶或二阶梯度作为寻找最优解的主要信息。
智能算法主要是指遗传算法和模拟退火发等，这类算法的特点是不以梯度作为寻优信息，属于非导数的优化方法。
内点信赖域算法及其应用
内点信赖域算法及其应用马士谦Abstract界约束的非线性规划问题是一类特殊的约束非线性规划问题，一方面由于这类问题和无约束的优化问题非常的相似，仅有非常简单的界约束，另一方面，这类问题又是最简单的约束优化问题。
内点信赖域方法是求解这类问题的一个重要方法。
本文对求解界约束非线性规划问题的内点信赖域算法进行了研究，提出了一种新的内点信赖域算法求解此类问题。
并将内点信赖域算法应用到求解大规模图象恢复问题。
对于这种大规模的问题，我们还提出了一种子空间的内点信赖域算法，大大提高了求解图象恢复问题的效率。
内点算法是起源于线性规划的一类重要的优化算法，现在已被广泛应用于非线性规划，组合优化，互补问题等优化问题。
而信赖域方法最早是用来求解无约束优化问题的。
信赖域算法的特点在于不是用线搜索的方式确定步长，而是通过求解信赖域子问题来得到试探步，然后计算目标函数的真实下降量和模型的预估下降量的比值来决定接受或者拒绝该试探步。
对于界约束的问题，内点算法和信赖域算法可以相结合来设计出新的适合于该类问题的算法。
对于界约束的非线性规划问题，现在已经有了很多的算法。
这些算法主要可以分成三大类，即积极集法，投影梯度法和内点法。
我们将在第二章对这些方法做一个简单的介绍。
对于求解界约束非线性规划问题的内点信赖域算法，Coleman和Li等很多学者已经做了许多深入的研究。
在本文的第三章，我们提出了一个新的内点信赖域算法，其中应用到了投影技巧和曲线搜索技巧。
我们从理论上证明了我们提出的这个新的算法具有全局收敛性。
我们对一组标准的测试问题进行了数值实验，结果表明我们的算法优于Coleman和Li在1996年所提出的算法。
因此我们的算法应该有着非常强的实用价值。
在本文的第四章，我们将内点信赖域算法应用到数字图象处理领域来求解非负图象恢复问题。
图象恢复问题目前在遥感科学，大气成像分析等领域受到广泛的关注。
由于图象恢复问题本身的物理意义，对问题添加一个非负约束是非常必要的，从而这个问题可以归结为一个非负约束的非线性规划问题。
信赖域方法行业相关
2Mrk .
前面已经证明了lim k
rk
0，因此lim k
k
1.
另一方面，根据算法定义，当k
d12
d
2 2
s.t.d12
d
2 2
1
技术教学
15
5.例题讲解
得到子问题的K
T点，也是最优解d（1）
dd（ （1211） ）
0 1
函数值f（x（1） d（1）） 2，（1 d（1）） 2
实际下降量与预测下降量之比
1
f（x（1））- f（x（1） d（1））
f（x（1））-（1 d（1））
55-
2 2
3.信赖域算法
特点： 不要求目标函数的Hesse矩阵正定，在非正定的情况下也
能处理。 既有牛顿法的快速局部收敛性，也有理想的全局收敛性。 算法利用二次模型来修正步长，使得目标函数的下降比线
搜索方法更有效。 由于位移长度受到Taylor展开式有效的信赖域的限制，此
方法又称为有限步长法
技术教学
如果函数值实际下降量与预测下降量之比，即
k
f（x (k )）- f (x（k） d（k）)
f（x（k））- （k d（k））
太小，就认为逼近不成功，后继点仍取x（k），且信赖域半径rk1
1 2
rk；
若
比较大，则逼近成功，后
k
继点x（k
1）
x（k）
d（k），
且rk1 rk或rk1 2rk
技术教学
9
min：（k d）
f
(x(k)
)
f
(x(k)
)T
d
1 2
d T 2 f ( x（k)
)d
最优化方法 信赖域算法
算法概述
二 三 四
信 赖 域 算 法
算法思想 算法流程 算法收敛性
五
子模型求解
一、方法概述
信赖域算法概述
线搜索方法是把一个复杂的最优化问题转化成一系列简 单的一维寻优问题。方法的核心思想是先寻找“理想” 的下降方向，然后在确定的方向上确定长度。
信赖域方法是把最优化问题转化为一系列相对简单的局 部寻优问题。方法能够对局部的所有方向进行“搜索”， 进而同时确定“局部最好”的前进方向及长度。
k . sk ,
定义比值：
给定信赖域方法模型子问题的解
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
它衡量模型函数
qk s 与目标函数 f x 的一致性程度。
二、算法思想
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
三、算法流程
信赖域方法流程 步骤1: 给出
x0 R n , 信赖域半径的上界 , 0 0, , 0, 0 1 2 1, 0 1 1 2 , k 0.
g k , 停止． 求解子问题得到 sk .
如果
T k
步骤2: 步骤3:
1 T min qk s f k g s s Gk s 2
s.t
s k
步骤4:
计算
f xk sk 和 rk , 令：
xk sk xk rk 1 others
xk 1
四、算法流程
步骤5: 校正信赖域半径，令：
k 1 0, 1 k
rk 越接近于１， 表明模型函数 qk ( s )与目标函数 f ( x )
信赖域方法
信赖域方法信赖域方法在当前搜索点附近具有一个区域，其中关于局部极小化的二次模型被"信赖"为正确的，并且步骤被选择留在该区域内. 在搜索的过程中，区域大小根据模型和实际函数计算的符合程度被修改.非常典型地，信赖域采取的是一个满足的椭圆. 是一个对角缩放（通常采用近似Hessian 的对角），而是信赖域半径，它在每个步骤被更新.当基于二次模型的步骤本身位于信赖域之内的时候，那么就认为函数值在变小，因而采用这一步骤. 因此，正如线搜索方法中一样，步控制不会干涉算法在二次模型表现良好的极小值附近的收敛效果. 当基于二次模型的步骤位于信赖域之外时，则采用一个只到边界位置的步骤，以使得该步骤成为二次模型在信赖域边界处的近似极小化步骤.一旦一个步骤被选择，该函数就在新的点被计算，而实际函数值与通过二次模型预测所得到的值互相对照. 真正计算的是实际与预测减少量的比率.如果接近1，那么该二次模型是一个相当不错的预测器，该区域的大小可以扩大. 另一方面，如果太小，则该区域的大小就要被降低. 当低于某一阈值时，该步骤被拒绝并重新计算.您可以使用方法选项"AcceptableStepRatio"->控制这一阈值. 通常情况下，是相当小的，以避免走向极小值的步骤也被拒绝. 然而，如果在一个点获取二次模型相当昂贵（例如，计算Hessian 需要花费相对较长的时间），一个较大值的将降低Hessian 计算的次数，但是它可能增加函数计算的次数.要开始信赖域算法，需要确定一个初始半径. 默认情况下，Mathematica使用基于受比较宽松的相对步长限制的模型(1) 的步骤的大小. 然而，在某些情况下，这可能使您离开您原来感兴趣的区域，所以您可以使用选项指定一个初始半径. 该选项在它的名字中包含Scaled，因为信赖域半径使用了对角缩放，所以这不是一个绝对的步长.这里加载一个包含一些功用函数的程序包.In[1]:=这里显示在搜索一个与Rosenbrock函数类似的函数的局部极小值的过程中，所采用的步骤和计算，用的是了利用信赖域步控制的牛顿法.In[2]:=Out[2]=该图示看起来很糟糕，因为搜索在如此大的区域上延伸，以致函数的精细结构不能在这样的尺度上真正看到.这里显示了对同样函数的步骤和计算，但这里有一个限制了的初始信赖域半径. 这里，搜索更接近初始条件，并且沿着狭谷进行.In[3]:=Out[3]=我们还可以使用选项对信赖域半径设置一个整体上限，使得对任何步，.由于在函数计算中数值舍入的问题，信赖域方法也可能在不够光滑的函数上遇到困难. 当函数不足够平滑的时候，信赖域的半径将持续减少. 最终，它将达到一个实际上值为零的点.这里从Optimization`UnconstrainedProblems`程序包中以一种可以被FindMinimum求解的形式获得Freudenstein-Roth测试问题. （参见"测试问题".）In[4]:=Out[4]=这里使用默认方法对函数寻找一个局部极小值. 在这种情况下的默认方法是（信赖域）Levenberg-Marquardt 方法，因为函数是一个平方和的形式.In[5]:=Out[5]=出现的提示信息表明，相对于搜索点的大小，信赖域的大小实际上已经变为零，所以所采取的步骤将效果甚微. 注：在某些平台上，由于机器运算的微小差异，该信息可能不会显示. 这是因为产生该信息的原因与数值的不确定性有关，这在不同的平台上可能产生不同的变化.这里在最后找到的点沿着方向画出变差函数图.In[6]:=Out[6]=沿着一个方向的图使我们相当清楚为什么进一步的改进是不可能的. 在这种情况下Levenberg-Marquardt 方法陷入困境的部分原因是收敛相对缓慢，因为残差在极小值处非零. 使用牛顿方法，收敛速度更快，完整的二次模型可以更好地估计步长，因此FindMinimum可以对默认容差得到满足更有信心.In[52]:=Out[52]=下表总结了对于信赖域步骤控制的选项.选项名默认值"AcceptableStepRatio" 1/10000 阈值，使得当实际与预测减少量的比率时，搜索移动到已计算的步骤"MaxScaledStepSize" ∞值，使得对于所有步骤，信赖域大小"StartingScaledStepSize" Automatic 初始信赖域大小的方法选项.。
信赖域策略优化算法
信赖域策略优化算法信赖域策略优化算法是一种用于求解非线性优化问题的方法，它在求解复杂的目标函数时表现出色。
本文将介绍信赖域策略优化算法的原理、应用场景以及一些常见的改进方法。
1. 原理信赖域策略优化算法是一种迭代方法，通过在每次迭代中更新当前的解向量来逐步逼近最优解。
其基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤1：选择初始点首先需要选择一个初始点作为起始解。
这个初始点可以根据问题的特性或者启发式方法来选取。
步骤2：计算搜索方向在每次迭代中，需要计算一个搜索方向，该方向指示了在当前位置附近寻找更好解的方向。
常见的搜索方向有梯度下降法和牛顿法等。
步骤3：确定步长确定一个合适的步长，即沿着搜索方向移动的距离。
步长可以通过线搜索等方法来确定。
步骤4：更新解向量根据步长和搜索方向，更新当前解向量。
这一步通常使用线性搜索或者二次插值等方法来找到使目标函数最小化的解。
步骤5：判断终止条件判断是否满足终止条件，如果满足则停止迭代，否则返回步骤2。
2. 应用场景信赖域策略优化算法在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：优化问题信赖域策略优化算法可以用于求解各种类型的优化问题，例如非线性规划、参数拟合和机器学习中的模型训练等。
无约束问题对于没有约束条件的优化问题，信赖域策略优化算法可以有效地找到全局最优解。
凸优化问题对于凸优化问题，信赖域策略优化算法也能够找到全局最优解。
凸优化问题在机器学习和图像处理等领域中具有重要意义。
3. 改进方法虽然信赖域策略优化算法已经被广泛应用并取得了不错的效果，但仍然存在一些改进的空间。
以下是一些常见的改进方法：多项式插值方法多项式插值方法可以提高信赖域策略优化算法的性能。
通过使用更高阶的插值多项式，可以更准确地估计目标函数在搜索方向上的变化。
二次模型方法二次模型方法是信赖域策略优化算法的一种改进方法。
它使用一个二次模型来近似目标函数，从而更准确地确定步长和搜索方向。
改进的终止条件选择合适的终止条件也可以提高算法的性能。
非光滑优化的信赖域算法的改进
非光滑优化的信赖域算法的改进雷蕾辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000）E-mail: 1222leilei@摘 要：信赖域方法是处理非线性优化的一种相对较新的方法。
良好的可靠性、稳定性和收敛性使得它在数值优化算法领域中占有重要地位。
本文给出了无约束非光滑优化问题的一种改进的信赖域算法，改进后的算法不仅满足全局收敛性，而且算法中增加的内循环在有限步内必终止，进一步减少了矩阵的存储量，同时也缩短了计算时间。
关键词：非光滑优化；信赖域；全局收敛；数值实验1. 引 言信赖域方法[1]是一类很新的方法，它和线搜索法并列为目前求解非线性规划的两类主要的数值方法。
信赖域方法思想新颖，算法可靠，具有很强的收敛性，它不仅能很快地解决良态问题，而且也能有效地求解病态的优化问题。
因而对信赖域方法的研究是近20年来非线性规划领域的一个重要的研究方向，是当今寻求如何构造新的优化计算方法的主要途径。
信赖域方法所具有的两个好的性质决定了它将受到更大程度上的重视，其应用将更加广泛。
信赖域方法实现的关键是如何求得信赖域试探步。
试探步的计算，即求解信赖域子问题，是信赖域算法的难点之一。
相对而言，线搜索法得到试探步的计算量要少，效率也比较高。
如果试探步不能被接受，则可以沿着下降方向进行一次线搜索得到新的迭代点，并依然保持信赖域良好的收敛性质。
无论试探步以何种方法计算，预估下降量和实际下降量的比值都决定着它能否被接受。
和线搜索方法相比，信赖域方法，尤其是处理非光滑优化问题的信赖域方法还不够成熟。
所以，目前在实践中信赖域方法还没有线搜索方法应用广泛[2]。
2. 非光滑优化概述如果数学规划问题的目标函数和约束函数中有一个为不可微函数，则称该问题为非光滑优化问题。
对于带约束条件的非光滑优化问题：()x f Yx ∈min ,其中Y 为可行域.若定义距离函数()x y Y x dist Yy −=∈min ,,则从罚函数理论可知，在一定条件下，()x f Yx ∈min 等价于()()Y x dist x f nRx ,min σ+∈，其中0>σ为罚参数，从而把原约束非光滑优化问题转化为一等价的无约束非光滑优化问题。
内点法
内点法在求解非线性问题中的应用1、内点法求解线性规划问题本科时学过运筹学，线性规划是运筹学中的一个重要分支，研究较早，发展较快，应用广泛，方法也比较成熟。
单纯形法是求解线性规划问题的通用方法，我认为用单纯形法在求解线性规划问题时是很有效的。
单纯形法的基本思想是在顶点上找到最优解：先找出一个基本可行解，即可行域的一个极点，判断是否是最优解，若是，则问题就得到解决；否则，则要设法寻找另一个极点，使新的极点的目标值优于前一个极点。
因为基本可行解的个数有限，所以经过有限次迭代，一定可以得到问题的最优解。
如果问题无最优解也可以用这种方法判别。
用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。
用单纯形法求解线性规划问题可能会出现极端情况，就是对于具有n 个变量的问题，要最多寻找12-n 次才可获得最优解。
当变量太多时，12-n 呈现指数型，数值太大，此时用单纯形法求解线性规划问题计算时间太长，计算量太大。
现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，很方便也很实用。
但是单纯形法不是很经济的算法，于是就有数学家提出了改进的单纯形法。
为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，美国数学家G.B.丹齐克提出改进单纯形法。
改进单纯形法的基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。
这样做不但可以减少迭代中的累积误差，提高计算精度，而且还减少了在计算机上的存储量。
单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，检验它的判别数是否全部非负。
如果所有的判别数非负，基可行解就是最优解。
如果存在负判别数，则迭代到另一个基可行解。
单纯形法迭代过程中始终保持基解的可行性，但不能保证对偶规划解的可行性。
而对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发，通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。
在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。
信赖域策略优化算法
信赖域策略优化算法
信赖域策略优化算法（Trust Region Policy Optimization，TRPO）是一种用于优化策略的算法，广泛应用于深度强化学习中。
TRPO算法的目标是最大化策略在长期奖励上的期望值。
与传统的策略梯度方法不同，TRPO算法通过引入一个信赖域来限制优化的步长，以保证策略改进的稳定性，防止策略更新过大导致性能恶化。
TRPO算法的核心思想是，在每次迭代中，优化一个近似的目标函数。
具体来说，算法通过线性化策略在当前策略参数点附近并计算策略的优势函数，得到一个最优的步长，使得策略在信赖域内取得显著的改进。
然后，新的策略参数通过此最优步长进行更新，并通过线搜索来找到使目标函数达到最大化的步长大小。
TRPO算法的优点是可以保证每次策略更新都会带来性能的提升，并且相对于其他策略优化算法，比如策略梯度方法，更具稳定性。
然而，TRPO算法的计算复杂度较高，对于大规模问题存在一定的挑战。
近年来，TRPO算法的改进版本也相继提出，如Proximal Policy Optimization（PPO）。
这些改进算法对TRPO进行了一些改动，以提高计算效率和收敛性能。
总的来说，TRPO算法是一种信赖域策略优化算法，通过限制策略更新的步长来确保性能的改进稳定性。
该算法在深度强化学习中有着广泛的应用。
基于改进点扩散函数的遥感图像超分辨率重建
７１４
激 光 技 术
２０１９年 ９月
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ｓｕｐｅｒｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｏｎｔｏｃｏｎｖｅｘｓｅｔ；ｐｏｉｎｔｓｐｒｅａｄｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｅｄｇｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎ
引 言
如今在许多应用场合，人们对数字图像的空间分 辨率要求 越 来 越 高［１］。 提 高 图 像 分 辨 率 最 直 接 的 方 法是提高采集图像时所使用图像传感器的排列密度。 但是受物理条件的限制，各类图像传感器的排列密度 不可能无限制的提高，且传感器排列密度的提高也会 导致噪声的增加。在不改变成像硬件装置的前提下， 通过软件方法，由多幅序列低分辨率图究 生，主 要 研 究 领 域为遥感图像超分辨率重建。
通讯联系人。Ｅｍａｉｌ：ｇｂｆ＠ｈｄｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 收稿日期：２０１８１０１６；收到修改稿日期：２０１８１１２２
高分辨率图像的超分辨方法，不仅可以节约硬件成本， 且软件方法更为灵活，应用领域更广 。 ［２３］
ＦＡＮＧＹａｏｘｉｎ，ＧＵＯＢａｏｆｅｎｇ，ＭＡＣｈａｏ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ＨａｎｇｚｈｏｕＤｉａｎｚｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ３１００１８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｑｕａｌｉｔｙｏｆｒｅｍｏｔｅｓｅｎｓｉｎｇｉｍａｇｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｉｎｓｐａｔｉａｌｄｏｍａｉｎ，ｐｏｉｎｔｓｐｒｅａｄｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆ ｉｍｐｒｏｖｅｄｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｏｎｔｏｃｏｎｖｅｘｓｅｔ（ＰＯＣＳ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍｗａｓａｄｏｐｔｅｄａｎｄａｎｉｍｐｒｏｖｅｄＰＯＣＳｓｕｐｅｒｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｂａｓｉｃｐｒｉｎｃｉｐｌｅａｎｄｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔｅｐｓｏｆＰＯＣＳａｌｇｏｒｉｔｈｍｗｅｒｅｇｉｖｅｎ．Ｏｎｔｈｉｓｂａｓｉｓ，ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｗａｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄａｎｄｔｈｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｈｉｇｈｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｉｎｉｔｉａｌｆｒａｍｅｓｗｅｒｅｄｅｔｅｃｔｅｄｏｎｅｄｇｅ．Ｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｐｏｉｎｔｓｐｒｅａｄｆｕｎｃｔｉｏｎ（ＰＳＦ）ｗａｓ ａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅｄｅｔｅｃｔｅｄｅｄｇｅｐｉｘｅｌｓ．ＴｈｅｈｏｒｉｚｏｎｔａｌａｎｄｖｅｒｔｉｃａｌｄｉｒｅｃｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆＰＳＦｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｔｏｔｈｅｐｉｘｅｌｓａｔｔｈｅｅｄｇｅ ｗｅｒｅｓｅｔｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗｅｉｇｈｔｓａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｃｈａｎｇｅｏｆｔｈｅｓｌｏｐｅｏｆｔｈｅｅｄｇｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｗｏｓｅｔｓｏｆｄａｔａｓｅｔｓｗｅｒｅｕｓｅｄｔｏｖｅｒｉｆｙｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄＰＯＣＳａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄＰＯＣＳａｌｇｏｒｉｔｈｍｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｉｍｐｒｏｖｅｓｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆ ｉｍａｇｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅａｖｅｒａｇｅａｂｓｏｌｕｔｅｅｒｒｏｒｓｏｆｔｗｏｇｒｏｕｐｓｉｎｃｒｅａｓｅｂｙ０．７９％ ａｎｄ０．２６％，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｉｔａｃｈｉｅｖｅｓｔｈｅｇｏａｌ ｏｆｉｍｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅｑｕａｌｉｔｙｏｆｉｍａｇｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｇｏｏｄｐｒａｃｔｉｃａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｖａｌｕｅ．
一种改进的吸引域估计的方法
一种改进的吸引域估计的方法作者：金德泉禹磊来源：《科技视界》2018年第06期【摘要】在考察具有渐近稳定平衡点的非线性动力系统的时候，其吸引域范围是判断系统稳定性的一类重要指标.利用最优Lyapunovh函数法，可以得到一大类非线性动力系统所对应的Lyapunov函数，并利用该函数对吸引域范围进行估计. 基于最优最优Lyapunov函数，通过对原吸引域估计方法进行改进，可以显著提高估计的准确性，得到更好估计结果，并通过数值实验证明了这一点。
【关键词】渐近稳定平衡点；吸引域；迭代扩展法中图分类号： O175 文献标识码： A 文章编号：2095-2457（2018）06-0187-002【Abstract】When investigating the property of nonlinear dynamical system which has asymptotically equilibrium point， the range of its corresponding attractive domain is an important indicator for system stability. By using optimal Lyapunov function approach， the corresponding Lyapunov function can be obtained for large part of nonlinear dynamical systems， which can be used to estimate the range of attraction domain. On basis of optimal Lyapunov function， the original approach for estimating attraction is improved， which effectively increases the estimating accuracy to obtain better estimating result. Numerical Examples are given to show this.【Key words】Asymptotically stable equilibrium point；Attraction domain；Iterative expansion Approach0 引言对于一般的非线性系统而言，确定平衡点的吸引域的范围是一个具有相当难度的问题，也是非线性自治系统研究和应用中的一个重要问题[1-4]。
最优化方法信赖域方法
最优化方法信赖域方法Trusted Domain Method of Optimization Methods一、概述信赖域（Trusted Domain）法是一种针对多目标最优化问题的优化方法，属于启发式优化技术，又被称为受信域法（Credible Domain）法或者受信域增强法（Credible Domain Enhancement）。
它由A.K.Chentsov在1980年提出，目前已经在工业优化、控制优化、混合模糊优化等领域有广泛的应用。
信赖域法使多目标最优化问题中的搜索变得更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。
二、原理信赖域方法优化的原理是：在解空间中划分子空间，在每个子空间中进行最优优化，同时进行领域大小的优化，以找到最优解。
（1）划分的子空间划分的子空间由一组不可分割的解空间，即称为“信赖域（Trusted Domain）”确定，有一种收敛性的在同一信赖域上的解空间集合，该信赖域中必须包含一个或多个最优解点。
（2）之分的子空间有效性在信赖域中，有一种收敛性的解空间，该解空间必须包含一个或多个最优解点，且此处解的收敛性可以满足要求。
由此可以看出，划分的子空间有效的充分利用解空间，能够使对最优解的搜索效率更高，更快地找到最优解。
（3）领域大小的优化在划分解空间时，信赖域方法重点考虑领域大小的优化，以缩小搜索空间大小，并引导搜索过程朝最优解的方向发展。
三、应用1.工业优化信赖域方法已经在工业优化领域得到应用，使多目标工业优化问题中的搜索更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。
2.控制优化由于信赖域方法能够有效地处理多目标非凸性和高维问题，因此已经在控制优化中得到应用，用于设计准确性好的控制系统。
3.混合模糊优化信赖域方法在混合模糊优化领域也有应用，可以用来解决特殊类型的模糊控制优化问题，来有效地提高优化中的效率和准确性。
信赖域方法概论
信赖域方法概论非线性优化中的信赖域方法及其应用摘要信赖域方法是非线性优化的一类重要的数值计算方法它在近二十年来受到了非线性优化研究界非常的重视。
特别是最近几年，一直是非线性优化的研究热点。
目前，信赖域方法已经和传统的线收索方法并列为非线性规划的两类主要数值方法。
关键词：信赖域法非线性优化约束条件引言非线性最优化是20世纪50年代发展起来的，它讨论非线性决策问题的最佳选择之特性，构造寻求最佳解的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及实际计算表现。
随着电子计算机的发展和应用，非线性最优化理论和方法有了很大发展。
目前，它已成为运筹学的一个重要分支，并且在自然科学，工程技术，经济管理，系统工程，特别是“优化设计”等诸多领域得到广泛的应用，成为一门十分活跃的学科。
非线性优化的传统方法几乎都是线搜索类型的方法，即每次迭代时产生一搜索方向，然后在搜索方向上进行精确的或不精确的一维搜索，以得到下一个迭代点。
信赖域方法是一类很新的方法，它和线搜索法并列为目前求解非线性规划的两类主要的数值方法。
信赖域方法思想新颖，算法可靠，具有很强的收敛性，它不仅能很快地解决良态问题,而且也能有效地求解病态(ill-conditioned)的优化问题。
因而对信赖域方法的研究是近20年来非线性规划领域的一个重要的研究方向，是当今寻求如何构造新的优化计算方法的主要途径。
信赖域方法的研究起源于Powell 1970 年的工作，他提出了一个求解无约束优化问题的算法，该算法在每次迭代时强制性地要求新的迭代点与当前的迭代点之间的距离不超过某一控制量。
引入控制步长是因为传统的线搜索方法常常由于步长过大而导致算法失败，特别是当问题是病态时尤为如此。
控制步长实质上等价于在以当前迭代点为中心的一个邻域内对一个近似于原问题的简单模型求极值。
这种技巧可理解为只在一个邻域内对近似模型信赖，所以此邻域被称为信赖域(trust region)。
利用这一技巧的方法也就被称为信赖域法。
一种BFGS校正的改进信赖域方法
一种BFGS校正的改进信赖域方法章安阁;张舸【摘要】本文利用经典的信赖域方法,针对无约束优化问题,对信赖域进行改进,并在此基础上对算法进行BFGS校正.数值实验证明,相比传统的信赖域方法,改进的信赖域方法在计算效率上有了很大提高;而加入BFGS校正后,新算法相比改进的信赖域方法又有了进一步的提高.【期刊名称】《软件》【年(卷),期】2019(040)007【总页数】4页(P109-111,141)【关键词】无约束最优化;信赖域法;BFGS校正【作者】章安阁;张舸【作者单位】北京邮电大学理学院,北京 100876;北京邮电大学理学院,北京100876【正文语种】中文【中图分类】O224考虑无约束优化问题其中，是一个连续可微函数，确定上述问题的最优解一般采用迭代法，即首先给定迭代的初始点，经过一步步迭代，产生一个逐步接近最优解的迭代点列；当满足一个给定的条件后，取相应的迭代点作为所求最优解的一个近似，基本的迭代公式是：这里我们考虑单调下降算法，也就是说，目标函数在处的函数值相比有一定的下降量，至少是不大于的。
本文将使用信赖域法来确定这里的。
在传统的信赖域方法中，考虑如下的信赖域子问题：其中是当前迭代点的梯度，是在处的Hessian矩阵的近似，是一个的矩阵，是当前迭代的信赖域半径，此处的使用2-范数。
令是上述信赖域子问题的解，预测下降量是由近似模型的减少得到的，即实际下降量是由目标函数的减少得到的，即二者的比值是，这个比值决定了我们是否接受这一试探步，或者更进一步地调整下次迭代的信赖域半径。
如果这一试探步不满足要求，那么就要缩小信赖域半径；否则，就要扩大信赖域半径。
下次迭代的是如下定义的：这里是一个很小的常数。
下次迭代的信赖域半径如下：其中是正的常数，并且满足，。
在文献[1]中，作者提出了一种新的信赖域方法：信赖域半径选择，信赖域中心是。
由此得到启发，周庆华教授基于文献[2]在文献[3]中提出了改进的信赖域：信赖域中心是，信赖域半径选择。
OPF模型文档(中文)
目录网损最小的优化潮流数学模型 (2)一、概述 (2)二、OPF数学模型 (2)2 .1目标函数 (2)2 .2等式约束 (3)2 .3不等式约束 (4)三、模型中各类支路的等效处理 (5)四、优化潮流的求解算法 (6)网损最小的优化潮流数学模型一、 概述在分布式电源和非传统性负荷接入配电网的规模不断扩大的趋势和背景下，有必要对它们接入对配电网运行特性造成的影响进行分析研究。
配电网优化潮流的计算就是研究中重要的一部分内容。
配电网的优化潮流计算是指在配电网网络结构和参数给定的条件下，确定系统的控制变量，使得描述系统运行效益的某一给定的目标函数取得最优，同时满足系统的运行和安全约束。
用简洁的数学形式可以描述为：min (,).. (,)0 (,)f x u s t g x u h h x u h=≤≤ （1）其中，x 为系统的状态变量，u 为优化潮流的控制变量；(,)f x u 是给定的用来描述系统运行效益的某一目标函数；(,)g x u 是系统运行需要满足的等式约束； (,)h x u 是系统运行需要满足的不等式约束。
二、 OPF 数学模型本项目着力研究PV 、PHEV 等分布式电源和非传统型负荷接入配电网后，通过调节控制变量来实现优化潮流运行，比如实现整个网络的损耗最小、实现功率因数最大化或者多优化指标综合考虑的目标。
已建立的OPF 数学模型是以网损最小为目标，考虑非传统型负荷的约束，在优化变量上加入OLTC 的档位、补偿电容器组的补偿容量、电压调节器的位置、储能电池的充放电状态等。
2 .1 目标函数网损最小的目标函数可以用各节点的电压幅值、相角以及线路的电导等量具体化的表达出来：222111111min ()(2cos )22n n n n lossi j ij i i j ij j ij i j i j P U U G V VV V G θ=====--⋅=--+⋅∑∑∑∑ （2）其中，i V 和j V 分别为节点i 和j 的电压幅值； ij θ为节点i 和j 的电压相角差； ij G 是导纳矩阵中下标为ij 的元素；2 .2 等式约束等式约束主要还是指潮流的有功功率和无功功率的平衡方程，在此需要把电压调节器的变比t 、OLTC 的变比k 、储能电池充放电容量B P 以及电容器组的补偿容量C Q 对潮流的影响显式的体现出来：''''''221,1,2221,1,11.cos cos (cos cos )11(cos cos )(cos cos )0kkkknnGi Di Bi i ii ii i it t it iik k ik i ik ik t t S k k S ik ik nni im im m im i im imim i ij ij j ij i ij ij m m S j j S P P P V Y VY V V Y V V Y t t V k Y V V k Y V k Y V V Y αδδαδαδα=∉=∈=∈=∈------------=∑∑∑∑（3）''''''221,1,2221,1,11.sin sin (sin sin )11(sin sin )(sin sin )0k k kkn nGi Di Ci i ii ii i it t it i ik k ik iik ik t t S k k S ik iknni im im m im i im imim i ij ij j ij i ij ij m m S j j S Q Q Q V Y VY V V Y V V Y t t V k Y V V k Y V k Y V V Y αδδαδαδα=∉=∈=∈=∈-+-----------=∑∑∑∑（4）其中，ij k 是可调变压器支路ij 的变比；ik t 是含电压调节器支路ik 的变比，(1ik t -)就是串联绕组和公共绕组之比； ij Y 和ij α分别是节点i 、j 之间导纳的幅值和相角； ,i j δδ分别是节点i 、j 电压的相角； i j i i j δδαδ=--；'k S 是可调变压器i 侧集合，即含理想变压器侧集合； ''k S 是可调变压器j 侧集合，即不含理想变压器侧集合； '''k S 是含电压调节器支路节点的集合；Bi P 为第i 个节点储能电池的充电容量，且充电时取正、放电时取负； Ci Q 为第i 个节点投入电容器组的补偿容量；ii Y 是不考虑连接变比可变支路时的自导纳（连接变比可变支路部分的自导纳的影响单独考虑了）；1cos 0nGi Di Bi i it t it t P P P VY V δ=---=∑1sin 0nGi Di Ci i it t it t Q Q Q VY V δ=-+--=∑2 .3 不等式约束不等式约束考虑了电容器组补偿容量的上下限约束、电压调节器变比的调节范围、OLTC 变比的调节范围、节点电压幅值的上下限约束以及线路流动的有功功率的限值约束等。
基于信赖域的PSO-RBF代理模型的适应度计算
基于信赖域的PSO-RBF代理模型的适应度计算孔倩倩;何小娟;孙超利【摘要】针对适应度计算复杂问题,提出了一种基于改进信赖域方法的代理模型的适应度计算方法.该方法采用差分计算过程来代替信赖域方法中搜索时的导数计算过程,从而避免了在计算中遇到的函数不可导使算法无法正常进行的问题.并采用此改进的信赖域方法与微粒群算法(PSO)相结合更新采样空间,提高采样效率.再结合径向基神经网络(RBF)代理模型,进一步提高算法的优化性能.在几类典型的测试函数中进行仿真实验,结果表明本文算法具有较好的寻优能力.【期刊名称】《太原科技大学学报》【年(卷),期】2017(038)002【总页数】5页(P93-97)【关键词】信赖域;径向基函数;微粒群算法;适应度函数;差分法【作者】孔倩倩;何小娟;孙超利【作者单位】太原科技大学应用科学学院,太原030024;太原科技大学应用科学学院,太原030024;太原科技大学应用科学学院,太原030024【正文语种】中文【中图分类】O221近年来，进化算法在很多领域都得到广泛应用，但同时也面临一些挑战。
其中一个就是大量的复杂适应度计算。
在大多数情况下，由于问题本身的复杂性，适应度的精确计算很困难或难以实现。
学者们提出了一些改进的方法来提高计算效率，其主要思想就是用适应度估计来代替精确计算。
针对适应度估计的方法有很多，代理模型[1]估计适应度函数是最常用的方法之一。
常用的代理模型有：响应面法、人工神经网络、径向基函数、支持向量机、Kriging模型等。
学者们用代理模型来解决一些计算代价较大的复杂优化问题，提高优化效率。
文献[2]采用遗传算法优化径向基神经网络的方法来估计适应度函数。
文献[3]提出了一种基于信赖域的代理模型进化算法。
在文献[4]中，用粒子群算法对径向基系数进行了修正，提高了计算的精度。
文献[5]提出了分层代理模型的方法。
文献[6]给出了一种峰值追踪采样(MPS)方法，文献[7]提出基于信赖域的峰值追踪采样(TR-MPS)方法。
界约束非线性方程组的信赖域法
信赖域法是一种迭代方法，用于求解非线性方程组。
它是以特定初值作为起点，沿着一个信赖域（trust-region）内的迭代，最终达到收敛的解或最小值的近似值的方法。
信赖域法的基本思想是，每次迭代都会得到一个新的解，然后检查该解是否与上一次迭代的解在某个信赖域内，如果超出信赖域，则修正步长；如果在信赖域内，则更新解，并改变信赖域的大小，使得信赖域大小逐渐增加，以达到收敛的效果。
信赖域法可以用于求解非线性方程组。
它可以确保每次迭代都能得到更优的解，并且可以在可控范围内调整步长，从而控制收敛的速率。
同时，它也可以确保迭代解处于可靠的区域，从而避免计算结果出现大的误差。
因此，信赖域法可以很好地应用于求解具有边界约束的非线性方程组。
它可以有效地控制迭代的步长，确保方程组的解处于可靠的范围，从而保证迭代的准确性。
一种改进的自适应信赖域算法
一种改进的自适应信赖域算法
胡梦英
【期刊名称】《中国科技信息》
【年(卷),期】2016(0)17
【摘要】本文针对自适应信赖域算法提出了一种改进的算法。
新算法基于BB算法,利用BB算法得到的步长作为子问题的信赖域半径,自动调节信赖域半径,同时能提高运算效率。
实验结果表明,新算法是有效可行的。
【总页数】3页(P80-82)
【作者】胡梦英
【作者单位】北京邮电大学理学院
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一种改进的非单调自适应新锥模型信赖域算法 [J], 周新慧;李小伟
2.一种改进的的非单调自适应信赖域算法 [J], 钱慧敏;周新慧
3.一种无约束优化的新非单调自适应信赖域算法 [J], 邢治业
4.一种基于R-函数的自适应线搜索信赖域算法 [J], 李德华;芮绍平
5.一种基于R-函数的自适应线搜索信赖域算法 [J], 李德华;芮绍平
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基于零空间的现代内点最优潮流新算法
基于零空间的现代内点最优潮流新算法
全然;简金宝;韦化
【期刊名称】《电力系统及其自动化学报》
【年(卷),期】2014(026)005
【摘要】在约束条件苛刻时,现代内点法求解电力系统最优潮流OPF问题有时不收敛,为克服此不足,本文提出一种求解OPF问题的零空间内点算法.首先分析了现代内点法不收敛的原因;然后通过改进的原始对偶变量的修正方法和终止准则来保证迭代点的最优性和不等式约束的互补性;最后将所提方法用于求解5个IEEE标准算例.数值结果表明,所提算法与现代内点法求解OPF问题的结果一致,在约束条件苛刻时,本文算法具有更好的收敛性.
【总页数】7页(P12-17,32)
【作者】全然;简金宝;韦化
【作者单位】河南工业大学理学院,郑州 450001;玉林师范学院数学与信息科学学院,玉林 537000;广西大学电气工程学院,南宁 530004
【正文语种】中文
【中图分类】TM744
【相关文献】
1.基于Filter集合的内点最优潮流新算法 [J], 孙英云;何光宇;梅生伟
2.基于改进多中心校正解耦内点法的动态最优潮流并行算法 [J], 简金宝;杨林峰;全然
3.基于退火粒子群和内点法的改进最优潮流算法 [J], 陈丽光;文波;聂一雄
4.基于简化零空间内点法VSC-HVDC离散化最优潮流的研究 [J], 张昕;张勇;钱伟杰;章慧芸;胡仁
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第22卷第6期2005年12月现 代 电 力Modern Electric Power Vol 122 No 16Dec 12005文章编号:100722322(2005)0620013205 文献标识码:A 中图分类号:TM711改进的信赖域内点算法在OPF 中的应用陈 吉,韦 化(广西大学电气工程学院,广西南宁 530004)Application of an Improved T rust R egion Interior Point Algorithm in OPFChen Ji ,Wei Hua(School of Electrical Engineering ,Guangxi University ,Nanning 530004,China )基金项目:国家自然科学基金资助项目(50467001)摘 要:最优潮流的研究涌现出许多优秀方法。
基于内点法的逐线性规划方法因其不需要形成海森阵及收敛精度处理灵活等优点,在电力系统中获得广泛应用。
信赖域内点法可以很好地解决逐线性规划方法中的步长调整问题。
文中基于现代内点理论提出一种改进的信赖域内点算法。
新算法提出以下改进措施:①由常规潮流获得初始点,改善信赖域子问题可行性;②迭代中无须与潮流计算配合,增加算法通用性;③引入变量到信赖域子问题模型中确保计算的连续性;④改进信赖域子问题模型,提高计算精度;⑤调整收敛判据,加快计算速度;⑥由现代内点法求解信赖域子问题,并构造简约修正方程,减小计算量。
用改进算法求解两类OPF 问题。
在IEEE142300节点测试系统进行数值计算,表明所提出算法的正确性和有效性。
关键词:电力系统;最优潮流;逐线性规划;内点算法;改进;现代内点理论Abstract :Many outstanding methods have shown up on Optimal Power Flow.Successive linear programming based on interior point method has been widely applied in the power system f or its advantage of flexible disposal of the tolerances and not having to shape the Hessen matrix .T rust region interior point method can settle the problem of adjusting step sizes on successive linear pro 2gramming well.The paper deals with an improved trust region in 2terior point method based on the modern interior point theory.The f ollowing improved measures are presented :①The initial point is attained through the routine power flow calculation and the feasibility of the algorithm is amended accordingly;②Enhan 2cing the currency trait of the algorithm because of not including the power flow calculation;③Insuring the continuity of the algo 2rithm by introducing a variable into the trust region sub problem;④Heightening the precision of the calculation by bettering themodel of the trust region sub problem;⑤Adjusting the tolerances to speed up the computation;⑥The modern interior point methodis used to resolve the trust region sub problem and a reduced cor 2rection equation is derived to reduce the expenses of the computa 2tion.T wo kinds of OPF problems are resolved by the improved algorithm.Numerical computation on I EEE test systems that range in size f rom 14to 300,have shown that the proposed method is proper and efficient.K ey w ords :p ower system ;optimal p ower flow ;successive linea r p rogramming ;interior p oint met hod ;imp rovement ;modern interior p oint t heory0 引 言最优潮流(O PF )的研究中涌现出许多优秀成果,逐线性规划(SL P )不需形成海森阵,收敛精度处理灵活,在OPF 中获得广泛应用[1～3]。
SL P 存在步长约束与近似模型拟合程度及算法收敛速度配合困难的问题,采用动态步长约束方法[3]可以克服这一困难,但这种处理缺少严格数学理论支持,算法通用性受到限制。
文献[4]基于信赖域思想[5]解决SL P 的步长调整问题,开创性地提出一种信赖域内点算法,并成功求解O PF 中的最小有功网损问题。
本文基于现代内点理论,提出一种文献[4]算法的改进型方法,并尝试求解目标函数分别为系统总发电量和总发电费用的两类O PF 问题。
1 逐线性规划经典的OPF 模型:min f (x )s 1t 1h (x )=0g -≤g (x )≤ g(1) 假定当前点为x k ,则在x k 点展开得(1)式的线性化模型:min(Δf(x k))T ds1t1h(x k)+(Δh(x k))T d=0g -≤g(x k)+(Δg(x k))T d≤ g(2) 基于内点法的SL P基本步骤[1]:①潮流计算,给出满足等式约束的初始点x0;k=0; while k<k max(外循环):②求解(2)式,解出第k次位移d k(内循环);③若‖d k‖∞≤ε,停止计算;否则,转步④④令 x k+1=x k+d k,在 x k+1点进行潮流计算,得到满足等式约束的修正点x k+1;k=k+1;end while2 信赖域内点算法信赖域内点算法[4]对SL P作以下改进:①在(2)式中引入步长约束,得到信赖域子问题(简称子问题)模型如下:min1(Δf(x k))T ds1t1h(x k)+(Δh(x k))T d=0g-≤g(x k)+(Δg(x k))T d≤ g‖d‖∞≤Δk(3)Δk为信赖域半径,即步长约束。
②在第三步中引入基于精确罚函数的评价函数和近似系数,作为评价新点x k+1和步长约束Δk可以信赖的程度。
(1)式在x点的评价函数定义为M(x)=f(x)P M(‖h(x)‖∞+max(max(g--g(x),0),max(g(x)- g,0)))(4) P M为惩罚系数,取正常数。
同样,近似展开式的评价函数定义为A(x)。
对于迭代中的相邻点x k和x k+1,近似系数r k定义为r k=(M(x k)-M(x k+1))/(A(x k)-A(x k+1)) (5)式中分子、分母分别为评价函数的真实下降量和近似下降量,表示为M deck和A deck;r k用来衡量对原函数的近似效果:r kν1,近似误差大,须紧缩步长约束;r k≈1或r kµ1,近似误差小,应放松步长约束。
3 新算法的改进措施311 算法可行性的改进初始点的选择对信赖域算法的可行性和收敛性影响很大,文献[4]提出一种物理策略,改善由于初始点要求过松,引起的子问题不可行性。
新算法由常规潮流计算得到初始点。
为了维持系统的安全稳定运行,常规潮流结果应基本满足系统的安全约束和元件的运行条件,因此可以很好地改善算法的可行性。
312 算法复杂性的改进观察发现,当OPF问题的目标函数由控制变量作因变量(如总发电量或总发电费用)时,潮流计算结果可能引起目标函数值摆动。
原因是,为了与子问题求解配合,潮流计算中平衡点发电机有功出力有时须做较大调整,以维持该点电压相角不变。
新算法无须与潮流计算配合,增加算法的通用性,同时避免潮流计算和子问题求解的配合困难。
313 信赖域子问题的相容性问题将信赖域方法应用到约束优化时,近似展开后的约束在信赖域区域内可能无可行解,即相容性问题。
对本文的两类OPF问题,x0和Δ0的取值以及发电机的可调范围是影响子问题相容性的主要原因。
本文用一种数学方法[5～6]解决子问题的相容性问题,在(3)式中引入(0,1]区间内的变量参数θ,建立如下的修正子问题模型:min1(Δf(x k))T d+P(1-θ)s1t1θ・h(x k)+(Δh(x k))T d=0θ・g-≤θ・g(x k)+(Δg(x k))T d≤θ・ g ‖d‖∞≤Δk0≤θ≤1(6)式中对目标函数的处理使θ接近1,改善修正子问题与原子问题的等价性;对约束的处理相当于将可行域向当前点平移。
P为惩罚系数,取正常数。
不难看出,θ=0、d=0总能满足(6)式,新算法能够连续求解信赖域子问题。
314 信赖域子问题模型的改进在步长约束范围内,函数的二次展开比线性展开拟合更好。
由于形成等式海森阵计算量大,本文将子问题的目标函数和不等式约束改进为二次展开。
与后面数值比较后证实此方法可以有效提高计算精度。
315 收敛判据的调整逐次规划中建立的子问题模型是原问题的近似,故在迭代中可根据需要,兼顾计算的速度和精度,指定合适的收敛判据[3]。
新算法在较大系统中采用较大的收敛判据。
后面数值比较表明此措施行之有效。
316 信赖域子问题的求解内点法众多变型算法中,路径跟踪法已从理论上证明具有多项式复杂性,应用最为广泛。
基于扰41现 代 电 力 2005年动KKT 条件的原对路径跟踪内点法(现代内点法),具有收敛迅速、鲁棒性强、对初始点要求不高等优点,在OPF 中应用广泛。