安徽省马鞍山市2013届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(扫描版)

马鞍山市2013年高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学参考解答及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑.1．【答案】C 由复数的运算得i z 22-= ，故z =22，选C【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题2. 【答案】B【命题意图】本题考查集合运算，简单题.3. 【答案】C.【命题意图】本题考查简易逻辑，容易题.4．【答案】A.【命题意图】本题考查线性规划，容易题.5.【答案】B.【命题意图】本题考查二项式定理，中等题.6．【答案】C 该几何体为三棱柱，计算可得表面积【命题意图】本题考查三视图，几何体表面积，中等题.7. 【答案】A.【命题意图】本题考查程序框图、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，中等题.8．【答案】D 由函数性质，得1£a ,解得11-＃x 故选D【命题意图】本题考查函数基本性质，不等式，较难题.9．【答案】D,而12613()132n n n n a a A a +++==，又160a =，故当616n +=即10n =时n A 最小. 【命题意图】本题考查等差数列基础知识，中等题.10．【答案】 A.简解：由sin cos 0-=?a a a sin cos ααα=，知sin y x = ()0,2x π∈的过O 点的切线为，易知切线的斜率αααsin cos =，数形结合可知选A第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题． 11. 直线的极坐标方程为(cos sin )6+=r q q ，圆C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线的距离值为d ，则d 的最大值为 ▲ .【答案】1+.【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程及参数方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.12．函数sin()y A ωx φ=+的部分图像如图所示，其中0,02>>||<πA ωφ，，则其解析式为 ▲ 1112p 6p【答案】2sin(2)3y x p =-【命题意图】本题考查三角函数图象，中等题 13. 已知P 是椭圆22162+=x y 和双曲线222-=x y 的一个交点，若21,F F 分别是椭圆的左，右焦点，则=∠21cos PF F ▲【答案】0【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的基本知识，中等题.14．在ABC D 中，若120BAC ??，1AB AC ?-uu u r uuu r ，则||-AB AC uu u r uuu r 的最小值是 ▲ ..【命题意图】本题考查平面向量基本知识，中等题.15. 如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为正方形11BCC B 的中心，F 为棱11C D 上的动点（包括端点11C D ，）.给出下列命题： ① 存在点F ，使得1^EF AB C 平面；② 存在点F ，使得EF ABCD 与平面所成角为3p ； ③ 对任意的点F ，总有1^EF A D ； ④ 对任意的点F ，三棱锥1-A DEF 的体积为定值.其中正确的命题的序号是 . 【答案】①③④【命题意图】本题考查立体几何线面关系、线面角、几何体体积，较难题三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)（Ⅰ）证明：cos 2cos 22cos()cos()a b a b a b +=+-；（Ⅱ）在ABC ∆中，若3A p =，求22sin sin B C +的最大值. 【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量平行关系、正弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．（Ⅰ）证明：()()()()cos 2cos 2cos cos 轾轾+=++-++--臌臌a b a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]=+--++a b a b a b a b[cos()cos()sin()sin()]++-+++a b a b a b a b2cos()cos()=+-a b a b所以原等式成立.…………………………………………4分（Ⅱ）解法1 221cos 21cos 2sin sin 22--+=+B C B C ()11cos 2cos 22=-+B C ()()1cos cos =-+-B C B C ()11cos 2=+-B C ……………………8分 ∵3=A p ∴22(,)33-?B C p p ∴3==B C p 时，22max 3sin sin 2+=B C （）………………12分 解法22241cos(2)21cos 23sin sin )322---+-=+B B B B （p p 11cos 226骣÷ç=+-÷ç÷ç桫B p （以下同解法1）A 1A解法3 ∵3=A p 由余弦定理可得：22222222222++=+-?-=b c b c a b c bc b c ∴2222+?b c a ，由正弦定理可得2223sin sin 2sin 2+?B C A （以下略） 类似解法参照给分17．(本题满分12分) 某市高二年级甲校有1100人，乙校有900人.现对两校高二年级在当年学业水平考试中的数学学科成绩进行统计分析，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，整理得到以下统计表（本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）：（．（II ）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【命题意图】本题考查2×2列联表、抽样调查的方法，及用样本估计总体的基本思想和设计抽样方法收集数据等基础知识，考查应用意识和数据处理的能力.解：（Ⅰ）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，故10,15x y ==估计乙校平均分为55156530752585159557190⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈.………6分2200(40702070) 4.7141109060140k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 又因为4.714 3.841>故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 “两个学校的数学成绩有差异” ．……………………………………………………………………………12分18．(本题满分12分)如图，AB 为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF 是边长为1的正方形.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCF ；（Ⅱ）若平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60°，求圆柱的底面直径AB 长.【命题意图】利用圆柱为载体研究空间里的点、线、面之间的位置关系.如面面垂直，二面角等.中等题.（Ⅰ）证明：∵过圆柱母线的截面ACEF 是正方形，∴截面ACEF ⊥平面ABC, AE ⊥CF又AB 为圆柱的底面直径, ∴AC ⊥BC∴BC ⊥截面ACEF ∴ BC ⊥AE又∵Ç=CF BC C故AE ⊥平面BCF 又ÌAE ABE 平面∴平面ABE ⊥平面BCF …………………………6分（Ⅱ）解：平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60°，设AE ÇCF =M 由（Ⅰ）AE ⊥平面BCF ，过E 作^EH BF于H连接MH 轣MH BF \?EHM 为60°设=BC t则BE EH == 在Rt EMH V 中，依题sin ?=?EHM 解得1=t 故直径AB……………………………12分方法（2）建立空间直角坐标系如图设=BC t则(0,,0),(1,0,1),(0,0,1)(1,,1),(1,0,0)?-=B t F E BF t EF uu u ruu u r 设平面BEF 法向量为(,,)=m x y z u r 00(0,1,)00m EF x m t x ty z m BF ìïì?=ïï镲揶=眄镲-+=?ï镱ïîu r uu u r u r u r uu u r 又平面BCF 法向量为n r ，由^AE 平面BCF ， 故(1,0,1)=-n r1cos ,12=?m n t u r r ，故直径AB12分19．(本题满分13分)已知抛物线21116C y x =-：的顶点为P ， 两条互相垂直的直线恒与1C 相切,切点分别为M ，N 两点. （Ⅰ）若3OG OP OM ON =++uuu r uu u r uuur uuu r ,求G 点的轨迹2C 的方程； （Ⅱ）若直线210L mx y -+=：与1C 相交于A,B 两点, 与2C 相交于C,D 两点, 设PAB D ,PCD D 的面积分别是1S ,2S ,求证：不论实数m 取何值，12S S 为定值，并求出这个定值.【命题意图】本题考查抛物线及动点的轨迹方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，中等题.解: （Ⅰ）由2116y x =-得13y x ¢= 设2(,1)6m M m -,2(,1)6n N n -, 由PM PN L L ^得111933m n mn ?-?-A B CE F H M A B C E F 第18题图再设(,)G x y ，由(0,1)P -及3OG OP OM ON =++uuu r uu u r uuur uuu r2231836x m n m n y ì=+ïïïÞí+-ï=ïïïî2218()2189y m n mn x ?+--= 故G 点的轨迹2C 的方程为22x y =…………………………………………6分 （Ⅱ）显然12||||S AB S CD =，由22113906210y x x mx mx y ìïï=-ï?-=íïï-+=ïî 记11(,)A x y ,22(,)B x y，∴1221233||(4)92x x m AB m x x ì+=ïï?+íï?-ïî 记33(,)C x y ,44(,)D x y ，2221010y x x mx mx y ìï=ï?-=íï-+=ïî∴342121||(4)12x x m CD m x x ì+=ïï?=+íï?-ïî∴123S S =为常数 ∴命题成立，这个常数为3.……………………………………………………13分解法2：由解法1，记11(,)A x y ,22(,)B x y ，33(,)C x y ,44(,)D x y 由21116C y x =-：和2C ：22y x =的焦点都是点1(0,)2，且直线210L mx y -+=：过点1(0,)2 根据抛物线的定义可知：122112234234()+6+53122==3()+1422m x x S y y m m x x S y y m +++==++++ 20．（本题满分13分）函数2()(1)ln f x x b x =-+，其中b R Î. （Ⅰ）若函数在其定义域内是单调递增函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）设3222,()3467>=-+-+a g x x a x a a .当12b =时，若存在12,[1,2]x x Î ，使得121|()(|<2f x g x -），求实数a 的取值范围． 【命题意图】本题考察导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究. 中等题.解 （Ⅰ）函数2/22f (x)=2(x-1)+(0)b x x b x x x-+=> 由题意，f ′(x )≥0在(0，＋∞)内恒成立，故2220x x b -+?在(0，＋∞)内恒成立 即22112+22(-)22b x x x ?=-+恒成立． 显然，2112(-)22x -+在(0，＋∞)内的最大值为12，所以，b ≥12； 即b 的取值范围为1,2轹÷ê+?÷÷êøë.……………………………………………………6分 （Ⅱ）首先研究f (x )，g (x )在[1,2]上的性质．由（Ⅰ），当b ＝12时，21()(1)ln 2f x x x =-+ 在(0，＋∞)内单调递增，从而f (x )在[1,2]上单调递增，因此，f (x )在[1,2]上的最小值f (x )min ＝f (1)＝0，最大值f (x )max ＝f (2)＝1＋12ln 2.g ′(x )＝3(x 2－a 2)，由a >2，知当x ∈[1,2]时，g ′(x )＝3(x 2－a 2)<0， 因此，322()34a 67g x x a x a =-+-+在[1,2]上单调递减． g (x )在[1,2]上的最小值g (x )min ＝g (2)＝226150a a --+< 最大值g (x )max ＝g (1)＝268a a -+①若g (x )max ＝268a a -+≥0，即a ≥4时，两函数图象在[1,2]上有交点，此时a ≥4显然满足题设条件，②若g (x )max ＝268a a -+<0，即2<a <4，f (x )的图象在上，g (x )的图象在下．只需f (x )min －g (x)max <12，即f (1)－g (1)<12，即－(268a a -+)<12，所以，3＋22<a <4.综上，所求实数a 的取值范围是(3)++?.…………………………………………13分 21．（本题满分13分）已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有2n a ,2n b ,21+n a 成等差数列，n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列，且1a ，2a . （Ⅰ）求证：数列{n b }是等差数列； （Ⅱ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅲ）设22212111n n S a a a =+++L ，如果对任意正整数n ，不等式2aS n <2－22n nb a 恒成立，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查等差、等比数列综合应用，以及对裂项相消及不等式相关知识的理解应用，考查了分类讨论思想，中等题.（Ⅰ）证明 由已知，得22212+=+n n n b a a ① a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1 ② 将②代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2112-+=??n n nn n b b b bb即112-+=+n n n b b b ∴{b n }是等差数列．…………………………………………4分（Ⅱ）解 设数列{b n }的公差为d ，由a 1a 2经计算，得21b ＝252，22b ＝18.∴1b ＝522，d ＝2b －1b ＝32－522＝22，b n ＝522＋(n －1)·22＝22(n ＋4)．∴b n ＝22(n ＋4)，a n .…………………………………………………8分（Ⅲ）解 由（Ⅰ）得21na＝23)(4)++n n （ ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4.∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14－15＋⎝⎛⎭⎫15－16＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4＝2⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4. 不等式2aS n <2－22n nb a 化为4a ⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4<2－n ＋4n ＋3.即(a －1)n 2＋(3a －6)n －8<0，设f (n )＝(a －1)n 2＋(3a －6)n －8，则f (n )<0对任意正整数n 恒成立． 当a －1>0，即a >1时，不满足条件； 当a －1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a －1<0，即a <1时，f (n )的对称轴为x ＝－a －a －<0，f (n )关于n 递减，因此，只需f (1)＝4a －15<0.解得a <154，∴a <1.综上，a ≤1.………………………………………………………………………………13分。