安徽省六安市徐集中学2016届高三(上)第四次月考数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年安徽省六安市徐集中学高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求的）1．已知M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N=（）A．{0，x，1，2} B．{1，2，0，1} C．{0，1，2}D．无法确定2．方程2cosx=1的解集为（）A．B．C． D．3．函数y=x3﹣3x在[﹣1，2]的最小值为（）A．2 B．0 C．﹣4 D．﹣24．若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．5．已知角α的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sinα+cosα的值是（）A．1或﹣1 B．或﹣C．1或﹣D．﹣1或6．下列命题正确的是（）A．若•=•，则=B．若|+|=|﹣|，则•=0C．若∥，∥，则∥D．若与是单位向量，则•=17．计算下列几个式子，①tan25°+tan35°+tan25°tan35°，②2（sin35°cos25°+sin55°cos65°），③，④，结果为的是（）A．①②B．③C．①②③ D．②③④8．函数y=cos（﹣2x）的单调递增区间是（）A．[kπ+，kπ+π] B．[kπ﹣π，kπ+]C．[2kπ+，2kπ+π]D．[2kπ﹣π，2kπ+]（以上k∈Z）9．若函数f（x）=，则该函数在（﹣∞，+∞）上是（）A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值10．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）11．若log m9＜log n9＜0，那么m，n满足的条件是（）A．m＞n＞1 B．n＞m＞1 C．0＜n＜m＜1 D．0＜m＜n＜112．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上任意n个值x1，x2，…x n总满足 [f（x1）+f（x2）+…+f（x n）]≤f（），则称f（x）为D的凸函数，现已知f（x）=sinx 在（0，π）上是凸函数，则三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A．B．3C．D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若f′（x0）=2，则=．14．设sinα﹣sinβ=，cosα+cosβ=，则cos（α+β）=．15．曲线在在x=1处的切线的倾斜角为．16．函数的单调递减区间是．三、解答题（共大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题P：x1、x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数，若命题p是假命题，同时命题q是真命题，求a的取值范围．18．已知函数f（x）=sinx+cosx．（Ⅰ）求f（x）的周期和振幅；（Ⅱ）用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象；（Ⅲ）写出函数f（x）的递减区间．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＜1的解集．20．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．（3）求函数f（x）的最小值g（a），并求g（a）的最大值．21．已知：f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0．（1）求：常数a、b的值；（2）求：f（x）的单调区间．22．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．2015-2016学年安徽省六安市徐集中学高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求的）1．已知M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N=（）A．{0，x，1，2} B．{1，2，0，1} C．{0，1，2}D．无法确定【考点】并集及其运算．【分析】由交集性质求出x=1，由此能求出M∪N．【解答】解：∵M={0，x}，N={1，2}，M∩N={1}，∴x=1，∴M={0，1}，∴M∪N={0，1，2}．故选：C．2．方程2cosx=1的解集为（）A．B．C． D．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】若2cosx=1，则cosx=，解得原方程的解集．【解答】解：若2cosx=1，则cosx=，则，故原方程的解集为：，故选：C．3．函数y=x3﹣3x在[﹣1，2]的最小值为（）A．2 B．0 C．﹣4 D．﹣2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导函数的零点，通过函数在区间[﹣1，2]，求出端点的函数值以及极值，比较后可得函数y=x3﹣3x在[﹣1，2]上的最小值．【解答】解：∵y=x3﹣3x，∴y′=3x2﹣3，令y′=0，解得x=﹣1或x=1，由f（﹣1）=2；f（1）=﹣2；f（2）=2；可得函数y=x3﹣3x在[﹣1，2]上的最小值为﹣2．故选：D．4．若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由已知，求出a，c，确定f（x），再求出y=f（﹣x）的解析式，确定图象．【解答】解：由已知得，﹣2，1是方程ax2﹣x﹣c=0的两根，分别代入，解得a=﹣1，c=﹣2．∴f（x）=﹣x2﹣x+2．从而函数y=f（﹣x）=﹣x2+﹣x+2=﹣（x﹣2）（x+1）它的图象是开口向下的抛物线，与x轴交与（﹣1，0）（2，0）两点．故选B．5．已知角α的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sinα+cosα的值是（）A．1或﹣1 B．或﹣C．1或﹣D．﹣1或【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】求出OP的距离r，对m＞0，m＜0，分别按照题意角的三角函数的定义，求出sinα和cosα的值，然后再求2sinα+cosα的值，可得结果．【解答】解：，当m＞0时，，；当m＜0时，，．故选B．6．下列命题正确的是（）A．若•=•，则=B．若|+|=|﹣|，则•=0C．若∥，∥，则∥D．若与是单位向量，则•=1【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量．【分析】利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方；再利用向量的运算律：完全平方公式化简等式得到【解答】解：∵，∴，∴，∴，故选B．7．计算下列几个式子，①tan25°+tan35°+tan25°tan35°，②2（sin35°cos25°+sin55°cos65°），③，④，结果为的是（）A．①②B．③C．①②③ D．②③④【考点】三角函数的化简求值．【分析】先令tan60°=tan（25°+35°）利用正切的两角和公式化简整理求得tan25°+tan35°=（1﹣tan25°tan35°），整理后求得tan25°+tan35°+tan25°tan35°=；②中利用诱导公式把sin55°转化才cos35°，cos65°转化为sin25°，进而利用正弦的两角和公式整理求得结果为；③中利用正切的两角和公式求得原式等于tan60°，结果为，④中利用正切的二倍角公式求得原式等于，推断出④不符合题意．【解答】解：∵tan60°=tan（25°+35°）==∴tan25°+tan35°=（1﹣tan25°tan35°）∴tan25°+tan35°+tan25°tan35°=，①符合2（sin35°cos25°+sin55°cos65°）=2（sin35°cos25°+cos35°sin25°）=2sin60°=，②符合=tan（45°+15°）=tan60°=，③符合==tan=，④不符合故结果为的是①②③故选C8．函数y=cos（﹣2x）的单调递增区间是（）A．[kπ+，kπ+π] B．[kπ﹣π，kπ+]C．[2kπ+，2kπ+π]D．[2kπ﹣π，2kπ+]（以上k∈Z）【考点】余弦函数的单调性．【分析】把函数的解析式变形，再利用余弦函数的增区间是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈z，列出不等式，求得自变量x的取值范围．【解答】解：函数y=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），根据余弦函数的增区间是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈z，得：2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ+，故选B．9．若函数f（x）=，则该函数在（﹣∞，+∞）上是（）A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】利用复合函数求解，先令u（x）=2x+1，f（u）=．u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增且u（x）＞1，f（u）=在（1，+∞）上单调递减，再由“同增异减”得到结论．【解答】解：令u（x）=2x+1，则f（u）=．因为u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增且u（x）＞1，而f（u）=在（1，+∞）上单调递减，故f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，且无限趋于0，故无最小值．故选A10．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）【考点】偶函数．【分析】偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出（﹣∞，0]内的范围，再根据对称性写出解集．【解答】解：当x∈（﹣∞，0]时f（x）＜0则x∈（﹣2，0]．又∵偶函数关于y轴对称．∴f（x）＜0的解集为（﹣2，2），故选D．11．若log m9＜log n9＜0，那么m，n满足的条件是（）A．m＞n＞1 B．n＞m＞1 C．0＜n＜m＜1 D．0＜m＜n＜1【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数函数的图象与性质可知，当x=9＞1时，对数值小于0，所以得到m与n 都大于0小于1，又log m9＜log n9，根据对数函数的性质可知当底数小于1时，取相同的自变量，底数越大对数值越小，所以得到m大于n．【解答】解：根据log m9＜0，log n9＜0，得到0＜m＜1，0＜n＜1；又log m9＜log n9，得到m＞n，所以m．n满足的条件是0＜n＜m＜1．故选C12．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上任意n个值x1，x2，…x n总满足 [f（x1）+f（x2）+…+f（x n）]≤f（），则称f（x）为D的凸函数，现已知f（x）=sinx 在（0，π）上是凸函数，则三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A．B．3C．D．3【考点】函数的值．【分析】由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC≤3，即可得出．【解答】解：由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC≤3==，当且仅当A=B=C=时取等号．∴sinA+sinB+sinC的最大值为．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若f′（x0）=2，则=﹣1．【考点】极限及其运算．【分析】利用导数定义及=﹣，计算即得结论．【解答】解：=﹣=﹣f′（x0）=﹣•2=﹣1，故答案为：﹣1．14．设sin α﹣sin β=，cos α+cos β=，则cos （α+β）=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】将分别已知的两个等式两边平方得到两个关系式记作①和②，然后①+②，利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的余弦函数公式化简，即可得到所求式子的值．【解答】解：把sina ﹣sinb=和cosa +cosb=两边分别平方得：sin 2a +sin 2b ﹣2sinasinb=①，cos 2a +cos 2b +2cosacosb=②，①+②得：1+1+2cosacosb ﹣2sinasinb=，则cos （a +b ）=cosacosb ﹣sinasinb=×=﹣．故答案为：﹣．15．曲线在在x=1处的切线的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角；导数的几何意义．【分析】利用求导法则求出曲线解析式的导函数，把x=1代入求出对应的导函数值即为切线方程的斜率，根据直线斜率与倾斜角的正切值相等，可得出倾斜角的正切值，根据倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数． 【解答】解：求导得：y ′=x 2﹣2x ，把x=1代入导函数得：y ′|x=1=1﹣2=﹣1，∴切线方程的斜率k=tan α=﹣1（设α为切线的倾斜角），又α∈[0，π），∴α=．故答案为：16．函数的单调递减区间是 （﹣1，1] ．【考点】复合函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，设t （x ）=﹣x 2+2x +3，对称轴x=1，根据复合函数的单调性判断即可．【解答】解：∵，∴﹣x 2+2x +3＞0， ∴﹣1＜x ＜3，设t （x ）=﹣x 2+2x +3，对称轴x=1，∵＜1∴根据复合函数的单调性判断：函数的调增区间为（﹣1，1]．故答案为（﹣1，1]．三、解答题（共大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题P：x1、x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数，若命题p是假命题，同时命题q是真命题，求a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】由题条件，先解出两个命题为真命题时的等价条件，再根据命题p是假命题，同时命题q是真命题，求a的取值范围【解答】解：p为真命题时，由，∴a≥6或a≤﹣1q为真命题时，由p假q真，∴18．已知函数f（x）=sinx+cosx．（Ⅰ）求f（x）的周期和振幅；（Ⅱ）用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象；（Ⅲ）写出函数f（x）的递减区间．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；正弦函数的单调性．【分析】（I）利用两角和的正弦公式对解析式进行化简后，求出函数的振幅和周期；（II）把“”作为一个整体，根据正弦函数图象的五个关键点列表，再由正弦函数的图象进行描点、连线；（III）把“”作为一个整体，根据正弦函数的单调区间，即由求出x的范围，即求出函数的减区间．【解答】解：（I））=∴函数f（x）的周期为T=2π，振幅为2．（II）列表：图象如图．（III）由解得：所以函数的递减区间为19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＜1的解集．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（0）=0；当x＜0时，﹣x＞0，结合x＞0时，f（x）=x2﹣x﹣1，及f（﹣x）=﹣f（x）可得x＜0时，函数的解析式，最后综合讨论结果，可得函数f（x）的解析式；（2）分当x＞0时，当x=0时，和当x＜0时三种情况，求解不等式f（x）＜1，最后综合讨论结果，可得不等式f（x）＜1的解集．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x﹣1．∴f（0）=0，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=x2+x﹣1=﹣f（x）．∴f（x）=﹣x2﹣x+1，∴f（x）=，（2）当x＞0时，解f（x）=x2﹣x﹣1＜1得：0＜x＜2；当x=0时f（0）=0＜1符合题意；当x＜0时，解f（x）=﹣x2﹣x+1＜1得：x＜﹣1；综上所述，不等式f（x）＜1的解集为：（﹣∞，﹣1）∪[0，2）20．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．（3）求函数f（x）的最小值g（a），并求g（a）的最大值．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的值域；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）当a=﹣1时，函数f（x）=（x﹣1）2+1，再利用二次函数的性质求得函数在[﹣5，5]上的最值．（2）根据y=f（x）的对称轴为x=﹣a，且在区间[﹣5，5]上是单调函数，可得﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，由此求得a的范围．（3）由于y=f（x）=（x+a）2+2﹣a2的对称轴为x=﹣a，再根据对称轴和区间的关系分类讨论，根据函数的单调性求得g（a）的解析式，从而求得g（a）的最大值．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=x2+2ax+2=x2 ﹣2x+2=（x﹣1）2+1，再由x∈[﹣5，5]，可得当x=1时，函数取得最小值为1，当x=﹣5时，函数取得最大值为37．（2）∵y=f（x）=x2+2ax+2=（x+a）2+2﹣a2的对称轴为x=﹣a，且在区间[﹣5，5]上是单调函数，可得﹣a≤﹣5，或﹣a≥5．解得a≥5，或a≤﹣5，故a的范围为[5，+∞）∪（﹣∞，﹣5]．（3）由于y=f（x）=x2+2ax+2=（x+a）2+2﹣a2的对称轴为x=﹣a，故当﹣5≤﹣a≤5时，即﹣5≤a≤5时，f（x）在区间[﹣5，5]上最小值g（a）=2﹣a2．当﹣a＜﹣5时，即a＞5时，由于f（x）在区间[﹣5，5]上单调递增，g（a）=f（﹣5）=27﹣10a，当﹣a＞5时，即a＜﹣5时，由于f（x）在区间[﹣5，5]上单调递减，g（a）=f（5）=27+10a．综上，g（a）=．当a＜﹣5时，g（a）＜﹣23；当﹣5≤a≤5 时，﹣23≤g（a）≤2；当a＞5时，g（a）＜﹣23．综合可得，g（a）的最大值为2，此时，a=0．21．已知：f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0．（1）求：常数a、b的值；（2）求：f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）已知函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=1处有极值0，即f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；（2）分别解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2+6ax+b，（a＞1），函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，∴f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，∴﹣1+3a﹣b+a2=0，3﹣6a+b=0，解得a=2，b=9．（2）f（x）=x3+6x2+9x+4，∴f′（x）=3x2+12x+9，∴由f′（x）=3x2+12x+9＞0得x∈（﹣∞，﹣3）或（﹣1，+∞），由f′（x）=3x2+12x+9＜0得x∈（﹣3，﹣1），∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣3），（﹣1，+∞），减区间为：（﹣3，﹣1）．22．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得，从而xf′（x）≤x2+ax+1可转化为lnx﹣x≤a，令g（x）=lnx﹣x，求出函数的最值，即可求得a的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1，即lnx﹣x+1≤0，可证0＜x＜1时，f（x）≤0；x≥1时，f（x）≥0，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得，…∴xf′（x）=xlnx+1，题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx﹣x≤a，令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=．…当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，∴x=1是g（x）的最大值点，∴g（x）≤g（1）=﹣1．…综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1，即lnx﹣x+1≤0；当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）≤0；…当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx+x（lnx+﹣1）≥0所以（x﹣1）f（x）≥0…2016年11月19日。