河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考数学(理)试题Word版含答案

洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考高三试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合1|1A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|ln 0B x x =<，则()R A B ð等于（ ） A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．RD ．{}0,12.已知复数z 满足2(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则||z 为（ ）A ．12B ．2C D ．13.如图，圆O ：222x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）A ．24πB ．34πC ．22πD ．3π24.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．1C ．23D ．135.设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>6.图中的程序框图所描述的算法，若输入209m =，121n =，则输出的m 的值为（ ）A ．0B ．11C ．22D ．887.在等比数列{}n a 中，3a ，16a 是方程2620x x ++=的根，则2169a a a 的值为（ ） A．22+-B． CD．8.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB =+（m ，n R ∈），则（ ） A ．2m n +≤-B ．21m n -≤+<-C ．1m n +<-D ．10m n -<+<9.设双曲线C ：221169x y -=的右焦点为F ，过F 作渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任一点P 到直线MN 的距离，则||dPF 的值为（ ） A ．34B ．45C ．54D ．无法确定10.已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（ ） ABCD11.已知函数()sin(sin )cos(sin )f x x x =+，x R ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数且最小正周期为πB ．函数()f x 是奇函数C ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎣ D ．函数()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数 12.已知函数2()(ln )(ln )f x ax x x x x =+--有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123x x x <<），则2312123ln ln ln (1)(1)(1)x x x x x x ---的值为（ ） A ．1a -B ．1a -C ．1-D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知x ，y 满足条件0,,3412,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则231x y x +++的取值范围是 ．14.已知随机变量~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，若(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >= ．15.已知5(1)ax by ++（a ，b 为常数*a N ∈，*b N ∈）的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，则函数sin 2())4x b f x x π+=+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为 ． 16.已知数列{}n a 满足22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，其中11a =，22a =，若1n n a a +<对任意的*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（1）求ACP ∠；（2）若APB ∆，求sin BAP ∠． 18.如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，的如图2所示的几何体．（1）求证：AB ⊥平面ADC ；（2）若1AD =，二面角C AB D --，求二面角B AD E --的余弦值．19.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合阅读市场占有率y 与月份代码x 之间的关系．求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月份（即7x =时）的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两单车使用寿命频数如表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为y bx a =+，其中1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．20.如图，点F 是抛物线τ：22x py =（0p >）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且(2,0)AF =，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 斜率分别为1k ，2k ．（1）求抛物线τ的方程；（2）若212k k -=，点D 是抛物线在点B ，C 处切线的交点，记BCD ∆的面积为S ，证明S 为定值．21.已知函数32()(63)xf x x x x t e =-++，t R ∈．（1）若函数()y f x =有三个不同的极值点，求t 的值；（2）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，求正整数m 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,x m y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，且直线l 经过曲线C 的左焦点F ．（1）求直线l 的普通方程；（2）设曲线C 的内接矩形的周长为L ，求L 的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()|12|||f x x a x a =+-+-，a R ∈，224()24(1)g x x x x =--+-． （1）若2(21)4|1|f a a ->-，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数x ，y ，使()()0f x g y +≤，求实数a 的取值范围．洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题（理科）答案 一、选择题1-5:CBBCD 6-10:BBCBA 11、12：CD二、填空题13.[]3,9 14.0.1 15.2 16.[0,)+∞三、解答题17.解：（1）在APC ∆中，因为60PAC ∠=︒，2PC =，1AP AC +=， 由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅⋅∠， 所以2222(4)2(4)cos60AP AP AP AP =+--⋅⋅-⋅︒， 整理得2440AP AP -+=， 解得2AP =， 所以2AC =，所以APC ∆是等边三角形， 所以60ACP ∠=︒．（2）由于APB ∠是APC ∆的外角，所以120APB ∠=︒，因为APB ∆1sin 2AP PB APB ⋅⋅⋅∠=，所以3PB =， 在APB ∆中，2222cos AB AP PB AP PB APB =+-⋅⋅⋅∠2223223cos120=+-⨯⨯⨯︒19=，所以AB = 在APB ∆中，由正弦定理得sin sin AB PBAPB BAP=∠∠，所以sinBAP ∠==．18.（1）证明：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ， 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥， 又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D =，所以AB ⊥平面ADC ．（2）解：由（1）知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D --的平面角为CAD ∠． 又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC AD ⊥．依题意tan CDCAD AD∠==，因为1AD =，所以CD =设AB x =（0x >），则BD =依题意ABD ∆~BDC ∆，所以AB CDAD BD =，即1x=解得x =AB =，BD =，3BC ==．因为DC ⊥平面ABD ，过点E 作EF //DC 交BD 于F ，则EF ⊥平面ABD ， 因为AD ⊂平面ABD ，所以EF AD ⊥， 过点F 作FG AD ⊥于G ，连接GE ， 所以AD ⊥平面EFG ，因此AD GE ⊥， 所以二面角B AD E --的平面角为EGF ∠，由平面几何知识求得12EF CD ==，122FG AB ==，所以EG ，所以1cos 2FG EGF EG ∠==， 所以二面角B AD E --的余弦值为12．19.解：（1）由数据计算可得1234563.56x +++++==，111316152021166y +++++==，由公式计算可得2b =，162 3.59a =-⨯=，所以月度市场占有率y 与月份序号x 之间的线性回归方程为29y x =+， 当7x =时，27923y =⨯+=，故M 公司2017年4月份的市场占有率预计为23%． （2）由频率估计概率．每辆A 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1， 所以每辆A 款车可产生的利润期望值为()(5001000)0.2(10001000)0.35(15001000)0.35(20001000)0.1175E X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（元），由频率估计概率．每辆B 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2， ∴每辆B 款车可产生的利润期望值为()(5001200)0.1(10001200)0.3(15001200)0.4(20001200)0.2150E Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（元），∴()()E X E Y >， ∴应该采购A 款单车．20.解：（1）设00(,)A x y ，由题知(0,)2p F ，所以00(,)2pAF x y =--(2,0)=， 所以002,,2x p y =-⎧⎪⎨=⎪⎩代入22x py =（0p >）中得24p =，即2p =，所以抛物线的方程是24x y =．（2）过D 作y 轴平行线交BC 于点E ，并设211(,)4x B x ，222(,)4x C x ， 由（1）知(2,1)A -，所以22212121211144224x x x x k k x x ----=-=++， 又212k k -=，所以218x x -=，直线BD ：21124x x y x =-，直线CD ：22224x x y x =-，解得1212,2,4D D x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因直线BC 方程为21122()44x x x y x x +-=-，将D x 代入得22128E x x y +=， 所以221212121()111||()()()()322228E D x x S DE x x y y x x x x -=-=--=⋅⋅-=． 21.解：（1）32'()(393)xf x x x x t e =--++，令32()393g x x x x t =--++，则方程()0g x =有三个不同的根， 又22'()3693(23)3(1)(3)g x x x x x x x =--=--=+-， 令'()0g x =，得1x =-或3，且()g x 在区间(,1)-∞-，(3,)+∞递增，在区间(1,3)-递减，故问题等价于(1)0,(3)0,g g ->⎧⎨<⎩即有80,240,t t +>⎧⎨-<⎩解得824t -<<．（2）不等式()f x x ≤，即32(63)xx x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-，转化为存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈， 不等式3263xt xex x x -≤-+-恒成立，即不等式32063xxe x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立，即不等式2063xe x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立．设2()63xx ex x ϕ-=-+-，则'()26x x e x ϕ-=--+，设()'()26xr x x e x ϕ-==--+，则'()2x r x e -=-，因为1r m ≤≤，有'()0r x <，故()r x 在区间[]1,m 上是减函数，又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，3(3)0r e -=-<，故存在0(2,3)x ∈，使得00()'()0r x x ϕ==，当01x x ≤<时，有'()0x ϕ>，当0x x >时，有'()0x ϕ<，从而()y x ϕ=在区间[]01,x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减．又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<，所以当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有'()0x ϕ<．故使命题成立的正整数m 的最大值为5．22.解：（1）因为曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并化简得22142x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=，于是2222c a b =-=，(F ，直线l 的普通方程为x y m -=，将(F 代入直线方程得m =，所以直线l 的普通方程为0x y -+=．（2）设椭圆C 的内接矩形在第一象限的顶点为(2cos )θθ（02πθ<<），所以椭圆C 的内接矩形的周长为2(4cos ))L θθθϕ=+=+（其中tan ϕ=，此时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值．23.解：（1）∵2(21)4|1|f a a ->-，∴22|22||1|4|1|a a a a -+->-，∴|1|(2|||1|4)0a a a -++->，∴|2||1|4a a ++>且1a ≠．①若1a ≤-，则214a a --->，∴53a <-；②若10a -<<，则214a a -++>，∴3a <-，此时a 无解； ③若0a ≥且1a ≠，则214a a ++>，∴1a >，综上所述，a 的取值范围为53a <-或1a >，即5(,)(1,)3a ∈-∞-+∞.（2）∵224()(1)551(1)g x x x =-+-≥=--，显然可取等号， ∴min ()1g x =-，于是，若存在实数x ，y ，使()()0f x g y +≤，只需min ()1f x ≤， 又222()|12||||(12)()|(1)f x x a x a x a x a a =+-+-≥+---=-， ∴2(1)1a -≤，∴111a -≤-≤，∴02a ≤≤，即[]0,2a ∈．。