动态 规讲义划问题
最新算法设计与分析(霍红卫)_第3章 动态规划教学讲义PPT课件
2 then error “incompatible domensions”
3 else for i ← 1 to rows［A］
4
do for j ← 1 to- columns［B］
5
do C［i, j］← 0
6
for k ← 1 to columns［A］
7
do C［i, j］← C［i, j］+A［i, k］·B［k, j］
第我3们章给矩动阵态加规上划括号的方式会对矩阵的计算开销产生巨大 影响。首先考虑两个矩阵的乘积。 标准计算两个矩阵乘积的算 法MATRIX-MULTIPLY描述如下，其中rows和columns分别表示 矩阵的行数和列数。
MATRIX MULTIPLY(A, B)
1 if columns［A］≠rows［B］
将这个问题形式描述如下：
约束条件为
max vixi
1in
(3.1)
wixi W,xi{0,1} (3.2)
8 11
24
(a)
9 13 ＋ 5
4＋
34 22
(b)
9 13
＋ 7 10
23
(c)
图 3-4 0-1背包问题示例
第3章 动态规划 (1) 刻画0-1背包问题最优解的结构。
图 3-5 算法KNAPSACK-DP示例
第(34)章根据动计态算规的结划果， 构造问题最优解。
KNAPSACK-DP返回的c可用于快速构造背包问题的一个 最优解。如果c［i, w］=c［i-1, w］，表明xi=0，然后考察c ［i-1，w］；否则xi=1，接着考察c［i-1，w-wi］。这个过程初 始调用为OUTPUT-SACK(c, W)。
OUTPUT SACK (c, w)
中考数学专题复习——动态变化问题(经典题型)
中考数学专题复习——动态变化问题（经典题型）【专题点拨】动态型问题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动和面动；其运动形式而言就是平移、旋转、翻折和滚动等。
动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活，多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展同学们的空间想象能力。
解答动态型试题的策略是：（1）动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；（2）动静互化，抓住静的瞬间。
找到导致图形或者变化规律发生改变的特殊时刻，同时在运动变化的过程中寻找不变性及其变化规律。
【典例赏析】【例题1】（2017黑龙江佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG 交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG ：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2﹣2．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG ：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG ：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD==2，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=2﹣2．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．【例题2】（2017黑龙江佳木斯）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题；（2）①如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，由△BEO≌△ODA即可解决问题；②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又因为∠OAD+∠ADO=90°，所以∠ADO+∠BOH=90°，所以OH⊥AD（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH⊥AD．【例题3】（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD 在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC=3，OD=2，将经过A、B 两点的直线l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC 交于点F，设AE的长为t（t≥0）．（1）四边形ABCD的面积为20 ；（2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请直接写出S关于t的函数解析式；（3）当t=2时，直线EF上有一动点，作PM⊥直线BC于点M，交x轴于点N，将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF，探究：是否存在点P，使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据函数解析式得到OA=5，求得AC=7，得到OC=4，于是得到结论；（2）①当0≤t≤3时，根据已知条件得到四边形ABFE是平行四边形，于是得到S=AE•OC=4t；②当3≤t＜7时，如图1，求得直线CD的解析式为：y=2x﹣4，直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，解方程组得到G（，t﹣7），于是得到S=S四边形ABCD ﹣S△DE′G=20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣t2+7t﹣，③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此时直线EF 的解析式为：y=﹣2x﹣6，设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），求得PM=|（﹣2m ﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，如图2，连接PT，FT，②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，如图3，连接PT，FT，根据全等三角形的判定性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）在y=﹣2x﹣10中，当y=0时，x=﹣5，∴A（﹣5，0），∴OA=5，∴AC=7，把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得，y=﹣4∴OC=4，∴四边形ABCD的面积=（3+7）×4=20；故答案为：20；（2）①当0≤t≤3时，∵BC∥AD，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴S=AE•OC=4t；②当3≤t＜7时，如图1，∵C（0，﹣4），D（2，0），∴直线CD的解析式为：y=2x﹣4，∵E′F′∥AB，BF′∥AE′∴BF′=AE=t，∴F′（t﹣3，﹣4），直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，解得，∴G（，t﹣7），∴S=S四边形ABCD ﹣S△DE′G=20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣t2+7t﹣，③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，综上所述：S关于t的函数解析式为：S=；（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此时直线EF的解析式为：y=﹣2x﹣6，设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），∵PM⊥直线BC于M，交x轴于n，∴M（m，﹣4），N（m，0），∴PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，如图2，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴=2，作FK⊥x轴于K，则KF=4，由△TKF∽△PNT得， =2，∴NT=2KF=8，∵PN2+NT2=PT2，∴4（m+3）2+82=4（m+1）2，解得：m=﹣6，∴﹣2m﹣6=﹣6，此时，P（﹣6，6）；②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，如图3，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴=2，作PH⊥y轴于H，则PH=|m|，由△TFC∽△PTH得，，∴HT=2CF=2，∵HT2+PH2=PT2，即22+m2=4（m+1）2，解得：m=﹣，m=0（不合题意，舍去），∴m=﹣时，﹣2m﹣6=﹣，∴P（﹣，﹣），综上所述：直线EF上存在点P（﹣6，6）或P（﹣，﹣）使点T恰好落在y轴上．【能力检测】1.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AF G=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC，再由GE=2BG 结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．2.（2017乌鲁木齐）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）A．B．C．D．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x 轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．【解答】解：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB=DP+DC+CQ+AB=PQ+AB=+=4+2=6，故选：B．3.（2017黑龙江鹤岗）如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是 5 ．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LE：正方形的性质．【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，则AE的长即为PC+PE的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．【解答】解：连接AC、AE，∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于直线BD对称，∴AE的长即为PC+PE的最小值，∵CD=4，CE=1，∴DE=3，在Rt△ADE中，∵AE===5，∴PC+PE的最小值为5．故答案为：5．4.（2017黑龙江鹤岗）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=OA，OD=OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=OA，OD=OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴=，∴△AOC′∽△BOD′，∴==，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．5.如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC 的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得=，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N 点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为▱BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S﹣S四边形BNN′B′，可分别得到S与t的函数关系式．△OGN′【解答】解：（1）∵|x﹣15|+=0，∴x=15，y=13，∴OA=BC=15，AB=OC=13，∴B（15，13）；（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，∵tan∠CBD=，∴=，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，∴∠ONM=∠CBD，∴=，∵DE∥ON，∴==，且OE=3，∴=，解得OM=6，∴ON=8，即N（0，8），把N、B的坐标代入y=kx+b可得，解得，∴直线BN的解析式为y=x+8；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，由题意可知四边形BN N′B′为平行四边形，且NN′=t，∴S=NN′•OA=15t；当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，∵NN′=t，∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t，令y=0，可得x=3t﹣24，∴OG=24，∵ON=8，NN′=t，∴ON′=t﹣8，∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）=﹣t2+39t﹣96；综上可知S与t的函数关系式为S=．。
中考数学专题——动态问题(非常全面)
（中考数学专题3） 动态几何问题【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．D NCM B A（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）A DC B P M Q 60图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。
专题五 动态问题+课件+2024年中考数学专题复习(广东专版)
，
=
．
∴
=
．
∵AE=AF，∴DP=CP=1．∴点G在直线AP上
运动．当点E与点A重合时，点G与点A重合．
如图2，当点E与点B重合时，点G在BD上，
图1
点G运动路径长度为AG．过点G作GH⊥AB于点H．
图2
-返回目录-
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=2，
殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系．分析过程中，特别要
关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位
置）．动点问题一直是考试热点．
-返回目录-
【例 1】（2021·广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
AB=2，E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF=AE，且CF，
DE相交于点G．
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，☉O与CD相切，求证：AA'= 3CA'；
②如图3，☉O与CA'相切，AD=1，求☉O的面积．
-返回目录-
（1）证明：∵点A关于BD的对称点为A'，
∴E是AA'的中点，∠AEO=90°．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴O是AC的中点．∴OE是△ACA'的中位线．∴OE∥A'C．
∴CD∥BF，BD=2．∴△CDG∽△FBG．
∴ = ，即 = ．
∵ + = = ， ∴ =
在 △ 中， =
∴GH=
，
∴ = +
∴AG=
浙江大学 acm程序设计竞赛 动态规划讲义
Tom
的 烦 恼
Tom的烦恼 按结束时间排序，枚举结束时间作为 当前状态,以前状态就是该结束时间 对应的起始时间，这是已经确定的.
Tom
文 字 游 戏
文字游戏(fairfox邀请赛1) 给你一份单词表，和一个句子。求出该句 子能有多少中不同的划分方法.例如: 单词是ab cd a b c d 句子是abcd 他共有4种完全划分方案: ab/cd a/b/c/d a/b/cd ab/c/d; 当前状态就是单词在句子中向后靠的位置, 以前状态就是确定这个单词位置以后,除 掉这个单词长度后的一个位置.状态转移 方程是:F[i]:=F[i]+F[ilength(word[j])] IOI中有一题《前缀》也是类似的题目.
拦 截 导 弹
拦 截 导 弹
状态的表示－f[i]，表示当第i个导 弹必须选择时，前i个导弹最多能拦 截多少。 每个导弹有一定的高度，当前状态 就是以第i个导弹为最后一个打的导 弹。以前状态就是在这个导弹以前 打的那个导弹。 显然这是十分能够体现状态间的联 系的题目。
最 长 公 共 子 串
给定起点站和终点站还有 L1,L2,L3,C1,C2,C3，求出要从 起点到终点最少要花多少钱.
买 车 票
怎 么 办
当前所在的某个车站
买 车 票
这一题的以前状态其实只有3种.即 满足3种距离(收费)情况的3个车站. 要知道这3个车站可以先做一个预 处理.显然这3个车站在满足距离限 制的条件下应该越远越好.
可以看出动态规划的实质就是
动 态 规 划 的 实 质
这也就是为什么我们常说动态 规划必须满足重叠子问题的原 因.记忆化,正符合了这个要求.
2020年中考数学二轮复习重要考点精析--动态型问题
中考数学二轮复习重要考点精析动态型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．如图，⊙O 的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S 关于⊙O 的半径r （r ＞0）变化的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．1．C考点二：动态几何型题目 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
第二部分 专题八 动态问题
(3)小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转一周的过程中，△
DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若
不能，请说明理由．
图 Z8-5
图 Z8-6
(1)解：∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′， ∴CD′＝CD＝2. 在 Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，∴∠CD′E＝30°.
∴△GCD′≌△E′CD(SAS)．∴GD′＝E′D.
(3)解：能．理由如下： ∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD. ∵CD＝CD′，∴CB＝CD′. ∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形．
当∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′.
①当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时， 360° －90° α＝ ＝135° ； 2 ②当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时， 1 ∠BCD′＝∠DCD′＝2∠BCD＝45° ， 90° 则 α＝360° － 2 ＝315° . 即当旋转角 α 的值为 135° 或 315° 时， △DCD′与△CBD′ 全等．
(3)成立．理由如下： 由(1)，同理可证 AE＝DF，∠DAE＝∠CDF. 如图 Z8-2，延长 FD，交 AE 于点 G， 则∠CDF＋∠ADG＝90°.∴∠ADG＋∠DAE＝90°.
∴∠8-2
图 Z8-3
(4)如图 Z8-3，由于点 P 在运动中保持∠APD＝90°， ∴点 P 的路径是一段以 AD 为直径的圆弧． 设 AD 的中点为 O，连接 OC，交弧于点 P，此时 CP 的长 度最小．
图 Z8-4
解析：如图 Z8-4，连接 OE，∵∠ACB＝90°， ∴A，B，C 在以点 O 为圆心，AB 为直径的圆上． ∴点 E，A，B，C 共圆． ∵∠ACE＝3°×24＝72°， ∴∠AOE＝2∠ACE＝144°. ∴第 24 秒点 E 在量角器上对应的读数是 144°.
九年级数学中考专题系列-动态问题专题辅导全国通用
动态问题在改革精神和新课标理念的指导下，近年来各省、市的中考命题出现了立意和题型都锐意创新的繁荣局面，一方面百花齐放，各有新招，另方面又呈现出体现指导思想的共同特点和发展趋势．主要有以下几个最新动态：一、依纲靠本依纲就是以“课标”为命题大纲，靠本就是以教材为命题依据，这是一个方向性的问题．我们对依纲与靠本要有一个辩证的把握，既全面覆盖，又善于抓住课程体系的重点和中考的热点．【例1】如图，小华在地面上放置一个平面镜E 来测量铁塔AB 的高度，镜子与铁塔的距离20EB =米，镜子与小华的距离2ED =米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A ．已知小华的眼睛距地面的高度 1.5CD =米，则铁塔AB 的高度是米．【解析】解决本题的关键是把这个实际问题翻译成数学问题，从示意图可以发现这是个三角形相似的问题．因为DEC AEB ∠=∠，CDE ABE Rt ∠=∠=∠，所以CDEABE ，所以AB BECD DE=，即201.52AB =，解得，AB=15． 【点评】本题与苏科八下课本第146页第7题同源，灵活应用相似形的判定与性质解决实际应用问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，即“数学建模”．要这个过程中，要注意审题，弄清题意，然后借助日常生活中的经验（如本题中的入射角等于反射角，与地面垂直的线段等）构建相似形，再利用相似形的判定和性质解决问题．二、重视考查学生的用数学意识近年来中考题大都设置了实际应用问题，题量和分值都有所增加，不题题材都取自学生熟悉的生活情景，时代气息与教育价值比较强．从身边实际或其他学科提出的问题中抽象出数学模型，并运用数学知识与方法去解决，一方面有利于学生对数学思想方法的领悟与理解，另一方面有利于学生用数学意识的加强和问题解决能力的提高．【例2】“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12％，玉米超产10％，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？【解析】设原计划生产小麦x 吨，生产玉米y 吨，根据题意，得1812102018.x y x y +=⎧⎨+=-⎩，％％解得108.x y =⎧⎨=⎩，10(112)11.2⨯+=％（吨），8(110)8.8⨯+=％（吨）． 答：该专业户去年实际生产小麦11.2吨，玉米8.8吨．【点评】本题以关注三农，“种粮补贴”为问题背景，从题中找出两个有效的等量关系是解题的关键． 三、突出数学思想方法的理解与简单应用．重视数学思想方法的教学与考查是一种共识，问题在于怎样体现的？近年来的中考题主要采用情景题、探究题、开放题、应用题等方式来考查思维能力与创新意识，有的地方还通过操作实验的过程来认识数学的本质．中考题所体现的基本数学思想方法主要有：用字母表示数的思想、集合与对应的思想、函数与方程的思想、抽样统计的思想等；数学解题方法主要有：消元法、降次法、代入法、因式分解法、换元法、配方法、待定系数法，图象法等；一般性思维方法主要有：观察、试验、比较、分类、归纳、类比、猜想等．【例3】在学习勾股定理时，我们学会运用图2（I ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为2()a b +，也可表示为c 2+4(21ab)，即(a+b)2=c 2+4(21ab),由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．图2（1）请你用图2（II ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）．（2）请你用2（III ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++． （3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．【解析】本题是一道设计比较新颖,与图形的组合验证数学关系式有关的题目.实际上是对课本知识的一个变式．涉及到勾股定理和整式的乘法两个方面的知识，掌握好图形面积的计算方法，不难组合成与表达式相符合的图形．（1）图形大正方形的面积可表示为c 2，也可以表示为4(ab 21)+(a-b)2,即c 2=4(ab 21)+(a -b)2,由此可推导出c 2=a 2+b 2.(2)用2（III ）所给的四个图形拼一个边长为(x+y)的正方形即可,如图3所示.(3)只要一个边长为x 的正方形,一个长为q,宽为p 的长方形,一个长为q,宽为x 长方形和一个长为p,宽为x 长方形(如图4),拼成一个长为(x+q),宽为(x+p)的大 长方形即可(如图5)图3图4图5【点评】本较好的考查了数形结合思想，这种拼图验证关系式问题,是一种比较重要的题型,这类问题多数以课本知识为素材,对不同的知识点作以综合归纳即可编拟一道考题.我们在复习时应注意课本知识点的复习.四、关注学生获取数学信息、认识数学对象的过程和方法这类考题体现和落实了过程性目标．考题本身让学生去经历和体验，让考生经历观察、实验、猜想的过程，得出结论，并获得数学学习的感悟．【例4】如图，把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6cm AB =，7cm DC =，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15得到D CE ''△如图乙．这时AB 与CD '相交于点O ，D E ''与AB 相交于点F ．（1）求OFE '∠的度数； （2）求线段AD '的长．（3）若把三角形D CE ''绕着点C 顺时针再旋转30得D CE ''''△，这时点B 在D CE ''''△的内部、外部、还是边上？证明你的判断．【解析】第（1）问分别考查了三角形内角、外角性质，第（2）间接在应用勾股定理求解；第（3）在旋转变换的基础上开放性探究，要判断点B 与D CE ''''△的位置关系，就要实现问题的转化，分析设BC （或延长线）交D E ''''于点B '，进而分析CB 与CB`的大小即可．（1）315∠=，90E '∠=，12∠=∠，175∴∠=．又45B ∠=，14575120OFE B '∴∠=∠+∠=+=．（2）连结AD '．120OFE '∠=，60D FO '∴∠=，又30CD E ''∠=，490∴∠=．又AC BC =，6AB =，3OA OB ∴==，AC B ED（甲） E 'A CB OFD ' （乙）C '例5答图90ACB ∠=，116322CO AB ∴==⨯=． 又7CD '=，734OD CD OC ''∴=-=-=．在Rt AD O '△中，5AD '==． （3）点B 在D CE ''''△内部．理由如下：设BC （或延长线）交D E ''''于点B '．153045B CE '''∠=+=，在Rt B CE '''△中，2CB '''==，又32CB =<，即CB CB '<， ∴点B 在D CE ''''△内部．【点评】本题主要变化经过程是把三角板CDE 绕点C 顺时针旋转．边操作，边设置问题，从而，实现了图形变换与问题探究的有机结合．此类开放探究问题考查考生的发散性思维，在解题过程中，要注重解题后的回顾与反思，积极思考“能否变换条件”、“还能得到哪些结论”等提升性问题．。
中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题
中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分真题精讲【例1】（2022，密云，一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD3，DC5，BC10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．ADNBMC（1）当MN∥AB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。
但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。
由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DE∥AB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形．ADNBEMC∵AB∥DE，AB∥MN．∴DE∥MN．（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）∴∴【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。
中考数学复习讲义课件 中考专题巧突破 专题9 动态问题
[解答]解：(3)当 5＜t≤8 时，如图 3 所示， BF＝t－5，GC＝8－t，设 EF 交 AB 于点 H. ∵△FBH∽△FPE，PF＝4， ∴BF∶PF＝(t－5)∶4， ∴S△FBH∶S△FPE＝(t－5)2∶42. 又 S△FPE＝6，∴S△FBH＝38(t－5)2.
设 EG 交 CD 于 R，由△RCG∽△EPG， 同理可得 S△RCG＝38(8－t)2. ∴S＝12－38(t－5)2－38(8－t)2＝－34t2＋349t－1871＝－34t－1232＋11665. ∴当 t＝123时，S 最大，最大值为11665cm2.
(3)当 5 秒＜t≤8 秒时，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值． [分析] (3)当 5≤t≤8 时，BF＝t－5，GC＝8－t，设 EF 交 AB 于点 H， 由△FBH∽△FPE，PF＝4，得出 BF∶PF＝(t－5)∶4，得出 S△FBH＝38(t －5)2，同理得 S△RCG＝38(8－t)2，得出 S＝－34t2＋349t－1781，再把二次函数 化成顶点式，即可得出结果．
动的过程中所构成的特征情形或特殊图形，
综合方程、函数、几何知识等解决相关问
题．
▪ ☞示例1 (2021·省卷)如图1，在△ABC中， AB＝BC，BD⊥AC于点D(AD＞BD)．动点M从点A 出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停 止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y， y与x的函B数图象如图2，则AC的长为( )
②如图 2，x＝BM＝83.
在△MBD 中，BD＝4，BM＝83.
设∠B＝β，则 cosB＝23＝cosβ，
∴sinβ＝
35，tanβ＝
5 2.
过点 M 作 MH⊥BD 于点 H， 则 BH＝BM·cosβ＝196， ∴MH＝BH·tanβ＝895，HD＝BD－BH＝290，∴MD2＝HD2＋MH2＝890， ∴BD2＝BM2＋MD2，∴∠BMD＝90°， ∴y＝MN＝MD·tanβ＝(DB·sinβ)tanβ＝130.]
初三数学专题讲义动态问题中的分类讨论
初三数学讲义 动态问题中的分类讨论一．课堂衔接1.课前交流，帮助整理知识点。
2.复习旧知，课前练习。
二．知识点归纳整理函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. HM NGPOAB图1x y二、应用比例式建立函数解析式例2 如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=,x CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；(2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由.例3如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.(1)求证: △ADE∽△AEP.(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP的长. AEDCB图2A3(2)三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的取值范围. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.拓展提高1、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．ABCO图8H2、如图，抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A 的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．(1)求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 的位置关系，并说明理由．(参考数：2 1.41≈3 1.73≈5 2.24≈)家庭作业1．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，将矩形ABCD 在直线l 上按顺时针方向不滑动．．．的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A 经过的路线长为 ．2．如图，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是 . 3．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2008的位置，则点P 2008的横坐标为 ．4．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在BC 边上运动，连结DP ，过点A 作AE ⊥DP 于E ，设DP ＝x ，AE ＝y ，则y 与x 之间函数关系的大致图象是 （ ）5．挂钟分针的长为10cm ，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是 （ ）A ．15π2cmB ．15πcmC ．75π2cm D ．75πcm435O yx x y O 534x y O 534435O y x A ． B ． C ． D ． 32l 1A A A DC B A （第1题） PO B A （第2题） y x P 1PO A （第3题）6．如图，在钝角三角形ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝12cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是 （ ）A ．3秒或4.8秒B ．3秒C ．4.5秒D ．4.5秒或4.8秒7．如图，A 是半径为12cm 的⊙O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动.（1）如果∠POA ＝90°，求点P 运动的时间； （2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB ＝OA ，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与⊙O 的位置关系，并说明理由．8．△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2cm ．长为1cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M 、N 分别作AB 的垂线交直角边于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t s ．（1）若△AMP 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？（第6题）NM QP CB A （第8题）9．如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在⊙O 上运动． （1）当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切； （2）当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；（3）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．10．如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．。
定轨迹,化动为静解决动态问题
化动为静定轨迹，破解动态求最值韶关市一中实验学校李仙群摘要：动态问题是数学中考中的常见问题，考查了学生对初中数学知识、方法、技能的运用能力，需要学生有较强的数学直观思维和综合解决问题的能力。
教学中教师应授之以渔，化繁为简，化难为易，点拨解题方法，启迪学生思维，提高学生的知识应用能力，促进学生的发展。
关键字：动态问题；初中数学；解题方法.动态问题一直是数学中考中的常见题型，这类题以初中数学知识为铺垫，源于教材，高于教材。
动态问题考查的知识点较多，需要学生有一定的数学直观思维，较强的计算能力，对学生综合应用知识的能力较强，较全面的考查了学生分析问题、设计解决问题方案、解决问题的能力。
动态问题也是数学中考中的常见压轴题，压轴题通常考查知识面广、方法多、思维散。
解决动态类问题的中考题要求学生能正确理解题中的“动”和“静”，能正确进行“动”“静”转换，用“静”表示“动”。
因此解题教学时，如何转化“动”“静”是关键，只有学生学会了转化，能力才能得到真正提高和进化。
一.问题呈现接下来本文以2019年山东泰安的一道数学中考最后一道选择题第12题为例，探究“动”“静”转化，如何化“动”为“静”解决中考压轴题。
如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．分析：本题是中考选择题中的压轴题，有一定难度。
题目主要考查了轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是如何确定线段BP长度取最小值的特殊位置。
解题教学时教师可以从点F的特殊位置出发，确定点P的运动轨迹，最终寻找到BP取最小值的特殊位置，解决问题。
二.问题探究本题寻找点P的运动轨迹是解决问题的关键和难点，因此，教学时可以设计一系列的问题，指引学生利用从特殊到一般的规律归纳出点P的运动轨迹，然后矩形的性质、勾股定理等知识解决问题。
设计问题时，可以假定当前点P、F为定点（把动点看成静点），寻找特殊位置的点P’、F’（其实是点P、F的不同表示方式，其实还是点P、F），通过点P’与点P、F’与F的位置特点归纳出点P的运动轨迹。
中考中的“动态问题”归类举例
动态问题---点动是源泉动态问题一般是指几何图形的运动，包括点动（点在线或弧上运动）、线动（线的平移、对称、旋转）、面动（平面几何图形的平移、对称（翻折）、旋转）。
这类问题具有灵活性，多变性，融入三角形，四边形，圆，甚至函数图象，综合运用全等知识，相似知识，三角函数，勾股定理等知识；同时运动产生变量，又和函数联系起来，利用一次函数、二次函数性质解释动态问题。
数形结合的升华部分就在此。
但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点可以形成各种图形，所以图形的运动其实是无数个点的运动。
点动带动图形动，图形动引起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷，但万变不离其中，解决问题要抓住一些关键点即可，现举例说明：一、双点动回归单点动点动包括单动点型、双动点型，其中双动点型在中考里常见的，两点速度可以是同速、异速，方向随图形形状而有所要求。
例1 （09浙江丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒.(1)填空：菱形ABCD 的边长是 、面积是 、高BE 的长是 ； (2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值.解析：此题P 点限定在一条线段上，而Q 点是在折线上运动，由此注意分类。
（2）①中重新限定了Q 点在线段上，所以只需求出三角形高（用相似知识）即可；②中Q 点的速度是变量，且运动路线分段，故需分类讨论，解决这一问还需知道两个三角形能组成菱形，则此三角形必是等腰三角形。