#5 运筹学讲义[目标规划、动态规划]
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x3 x5 x6 x8 x9 3 x4 x6 x7 x9 2
0-1规划模型
课号
课名
先修课要求
1
微积分
2
线性代数
3
最优化方法 微积分；线性代数
4
数据结构
计算机编程
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
9
数学实验 微积分；线性代数
2x1 2x2 12
s
.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
模型求解（LINDO） 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x3 x1 , x3 x2
2x3 x1 x2 0 x4 x7
2x5 x1 x2 0 x6 x7 0
现假定：
第1优先级P1——企业利润； 第2优先级P2——甲乙产品的产量保持1:1的比例 第3优先级P3——设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性 比设备B大三倍。
• 上述目标规划模型可以表示为：
min z
P1
d
1
P2
(d
2
d
2
)
3
P3
(d
3
d
3
)
P3
d
4
例； (3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。 要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
• 线性规划模型存在的局限性：
• 1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际 问题中并非所有约束都需要严格满足。
d
3
P2
d
4
P3
d
2
3
0
x1
2x1
12x2 x2
d 1
d
2
d
1
d
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
x1
60
x12
x2
0,
d
l
,
d
l
0
100 (l 1.2.3.4)
目标规划数学模型的一般形式
L
K
minZ
Pl (
d lk k
lk
d
k
)
l 1
k 1
达成函数
n
ckj x j
d
k
d
k
gk (k 1.2
K)
j1
n
aij x j
( . )bi
(i 1.2 m)
j1
x j 0 (j 1.2 n)
表2
A B C D E F 航线 起点城市 终点城市 每天航班数
A 0 1 2 14 7 7
1E
D
3
B 1 0 3 13 8 8
C 2 3 0 15 5 5
2
B
C
2
D 14 13 1 0 17 20
5
3A
F
1
E 7 8 5 17 0 3
4D
B
1
F 7 8 5 20 3 0
表1
表2
• 解：公司需配备船只分两部分:
微积分；线性代数 计算机编程
微积分；线性代数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代数
为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
决策变量
课号
课名
所属类别
1
微积分
数学
2
线性代数
数学
3 最优化方法 数学；运筹学
4
数据结构
数学；计算机
5
应用统计
数学；运筹学
，C到E每天调度的船只为 x13 ，F到B每天调度的船只为 x32
，D到A每天调度的船只为 x21
，
D到B每天调度的船只为 x22
F到E每天调度的船只为 x33
，
航程天数为Z，整数规划模型如下：
min z 2x11 3x12 5x13 14x21 13x22 17x23 7x31 8x32 3x33
xx1211
x12 x22
x13 x23
2 2
x31 x32 x33 1 s.t.x11 x21 x31 1
x12 x22 x32 1
x13 x23 x33 3 int xij 0
目标规划
( Goal programming )
目标规划问题及其数学模型
• 例1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品 分别要在A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文 件规定，如表所示。
A
B
甲
1
1
乙
2
2
最大负荷 12
8
C
D
单件利 润
4
0
2
0
4
3
16
12
问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最 大？
• 解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建 立线性规划模型： max z 2x1 3x2
0
2
D
3
1
2
E
0
3
-3
F
1
0
1
要求各港口间调度所需最少船只数,可以用下列表建立运输问题求解
A
B E 每天多余船只
C
2
3 52
D
14
13 17 2
F
7
8 31
每天缺少船只
1
1 35
设C到A每天调度的船只为 x11 ，D到E每天调度的船只为 x23
，C到B每天调度的船只为 x12 F到A每天调度的船只为 x31
d
0
若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望d-
>0用目标约束可表为:
min{d d }
x1
x2
d
d
0
• 2）力求使利润指标不低于12元，目标约束
表示为：
百度文库
min{d }
2 x1
3x2
d
d
12
• 3）设备B必要时可加班及加班时间要控制，
6 计算机模拟 计算机；运筹学
7 计算机编程
计算机
8
预测理论
运筹学
9
数学实验 运筹学；计算机
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
9
Min Z xi i 1
x1 x2 x3 x4 x5 2
4x1 16
4 x2 12
s.t
2
x1
3
. x1 x2
x2
d
2
d 1
d
2
d 1
0
12
2 x1
2x2
d
3
d
3
12
x1
2x2
d
4
d
4
8
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0
(i 1,...,4)
d
k
.
d
k
0
(k
1.2
K)
目标约束
其中：gk为第k个目标约束的预期目标值，
lk
和
l k为pl
优先因子
对应各目标的权系数。
• 用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
求出满意解
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
分析各项目标 完成情况
目标规划应用举例
• 例 已知一个生产计划的线性规划模型如下，
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B 产量。 max Z 30x1 12x2
2 x1 x2 140 (甲资源)
x1
60 (乙资源) x2 100 (丙资源)
x12 0
现有下列目标：
1. 设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。
偏差变量用下列符号表示：
d+——超出目标的偏差，称正偏差变量 d-——未达到目标的偏差，称负偏差变量
正负偏差变量两者必有一个为0。 当实际值超出目标值时： d+>0, d-=0; 当实际值未达到目标值时： d+=0, d->0; 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0;
• ∵正负偏差不可能同时出现，故总有：
• x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
• 1]载货航程需要的周转船只数:
• E->D需(17+2)*3=57条船 B->C 需 (3+2)*2=10条船
• A->F需(7+2)*1=9条船 D->B 需 (13+2)*1=15条船
• 总共需91条船
2]各港口间调度所需船只数:
港口城市 每天到达 每天需求 余缺数
A
0
1
-1
B
1
2
-1
C
2
选课策略
课号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
课名
微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
学分
5 4 4 3 4 3 2 2 3
所属类别
数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
先修课要求
• 2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中， 目标和约束可以相互转化。
• 3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地 位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上 的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。
• 4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只 需找出满意解就可以。
• 目标规划怎样解决上述线性规划 模型建模中的局限性？
故恒有d+×d-=0
目标规划问题及其数学模型
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
4x1 16 4x2 12
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过 目标约束来表达。 1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为： x1=x2。由于这个比例允许有偏差， 当x1<x2时，出现负偏差d-，即： x1+d- =x2或x1－x2+d- =0 当x1>x2时，出现正偏差d+，即： x1-d+ =x2或x1－x2-d+ =0
1. 要求总利润必须超过 2500 元；
2. 考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过 60 件 和 100 件；
3. 由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型。
解：以产品 A,B 的单件利润比 2.5 :1 为权系数，模型如下：
minZ
P1d
1
2.5
P2
在许多客观实际问题中，要达到的目标往 往不止一个。例如，设计导弹时既要使其 射程最远，有要燃料最省，还要精度最高。 这类含有多个目标的优化问题称为多目标 规划问题。
目标规划是一个新的多目标决策工具，它 能把决策者的意愿反映到数学模型中。目 标规划不像线性（或非线性）规划那样去 直接求目标函数的最大（小）值，而是寻 求实际能够达到的值与目标之间的偏差变 量的最小值，这些偏差变量表示目标的达 成程度。
x8 x5 0
2x9 x1 x2 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
学分最多
9
Min Z xi i 1
Max W 5x1 4x2 4x3 3x4 4x5 3x6 2x7 2x8 3x9
目标规划问题及其数学模型
•问题的提出：
• 目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济 管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来 的一个分支。
• 目标规划是实行目标管理的有效工具，它根据 企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序， 考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标或从总 体上离规定目标的差距为最小。
• 整数规划问题 • 运输问题模型 • 某航运公司承担六个港口城市A、B、C、D、
E、F的四条固定航线的物资运输任务，已知各 条航线的起点、终点城市及每天航班数见表1， 假定各条航线使用相同型号的船只，又各城市 间的航程天数见表2。 • 又知每条船只每次装卸货的时间各需1天，则该 航运公司至少应配备多少条船，才能满足所有 航线的运货需求？
目标约束表示为：
min{d }
x1
2x2
d
d
8
• 4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班，
目标约束表示为：
min{d d }
2 x1
2x2
d
d
12
3. 目标的优先级与权系数
在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些 目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低 可分别通过优先因子P1,P2,…表示。对于同一层次优先级的不同 目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个 具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
0-1规划模型
课号
课名
先修课要求
1
微积分
2
线性代数
3
最优化方法 微积分；线性代数
4
数据结构
计算机编程
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
9
数学实验 微积分；线性代数
2x1 2x2 12
s
.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
模型求解（LINDO） 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x3 x1 , x3 x2
2x3 x1 x2 0 x4 x7
2x5 x1 x2 0 x6 x7 0
现假定：
第1优先级P1——企业利润； 第2优先级P2——甲乙产品的产量保持1:1的比例 第3优先级P3——设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性 比设备B大三倍。
• 上述目标规划模型可以表示为：
min z
P1
d
1
P2
(d
2
d
2
)
3
P3
(d
3
d
3
)
P3
d
4
例； (3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。 要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
• 线性规划模型存在的局限性：
• 1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际 问题中并非所有约束都需要严格满足。
d
3
P2
d
4
P3
d
2
3
0
x1
2x1
12x2 x2
d 1
d
2
d
1
d
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
x1
60
x12
x2
0,
d
l
,
d
l
0
100 (l 1.2.3.4)
目标规划数学模型的一般形式
L
K
minZ
Pl (
d lk k
lk
d
k
)
l 1
k 1
达成函数
n
ckj x j
d
k
d
k
gk (k 1.2
K)
j1
n
aij x j
( . )bi
(i 1.2 m)
j1
x j 0 (j 1.2 n)
表2
A B C D E F 航线 起点城市 终点城市 每天航班数
A 0 1 2 14 7 7
1E
D
3
B 1 0 3 13 8 8
C 2 3 0 15 5 5
2
B
C
2
D 14 13 1 0 17 20
5
3A
F
1
E 7 8 5 17 0 3
4D
B
1
F 7 8 5 20 3 0
表1
表2
• 解：公司需配备船只分两部分:
微积分；线性代数 计算机编程
微积分；线性代数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代数
为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
决策变量
课号
课名
所属类别
1
微积分
数学
2
线性代数
数学
3 最优化方法 数学；运筹学
4
数据结构
数学；计算机
5
应用统计
数学；运筹学
，C到E每天调度的船只为 x13 ，F到B每天调度的船只为 x32
，D到A每天调度的船只为 x21
，
D到B每天调度的船只为 x22
F到E每天调度的船只为 x33
，
航程天数为Z，整数规划模型如下：
min z 2x11 3x12 5x13 14x21 13x22 17x23 7x31 8x32 3x33
xx1211
x12 x22
x13 x23
2 2
x31 x32 x33 1 s.t.x11 x21 x31 1
x12 x22 x32 1
x13 x23 x33 3 int xij 0
目标规划
( Goal programming )
目标规划问题及其数学模型
• 例1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品 分别要在A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文 件规定，如表所示。
A
B
甲
1
1
乙
2
2
最大负荷 12
8
C
D
单件利 润
4
0
2
0
4
3
16
12
问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最 大？
• 解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建 立线性规划模型： max z 2x1 3x2
0
2
D
3
1
2
E
0
3
-3
F
1
0
1
要求各港口间调度所需最少船只数,可以用下列表建立运输问题求解
A
B E 每天多余船只
C
2
3 52
D
14
13 17 2
F
7
8 31
每天缺少船只
1
1 35
设C到A每天调度的船只为 x11 ，D到E每天调度的船只为 x23
，C到B每天调度的船只为 x12 F到A每天调度的船只为 x31
d
0
若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望d-
>0用目标约束可表为:
min{d d }
x1
x2
d
d
0
• 2）力求使利润指标不低于12元，目标约束
表示为：
百度文库
min{d }
2 x1
3x2
d
d
12
• 3）设备B必要时可加班及加班时间要控制，
6 计算机模拟 计算机；运筹学
7 计算机编程
计算机
8
预测理论
运筹学
9
数学实验 运筹学；计算机
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
9
Min Z xi i 1
x1 x2 x3 x4 x5 2
4x1 16
4 x2 12
s.t
2
x1
3
. x1 x2
x2
d
2
d 1
d
2
d 1
0
12
2 x1
2x2
d
3
d
3
12
x1
2x2
d
4
d
4
8
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0
(i 1,...,4)
d
k
.
d
k
0
(k
1.2
K)
目标约束
其中：gk为第k个目标约束的预期目标值，
lk
和
l k为pl
优先因子
对应各目标的权系数。
• 用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
求出满意解
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
分析各项目标 完成情况
目标规划应用举例
• 例 已知一个生产计划的线性规划模型如下，
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B 产量。 max Z 30x1 12x2
2 x1 x2 140 (甲资源)
x1
60 (乙资源) x2 100 (丙资源)
x12 0
现有下列目标：
1. 设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。
偏差变量用下列符号表示：
d+——超出目标的偏差，称正偏差变量 d-——未达到目标的偏差，称负偏差变量
正负偏差变量两者必有一个为0。 当实际值超出目标值时： d+>0, d-=0; 当实际值未达到目标值时： d+=0, d->0; 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0;
• ∵正负偏差不可能同时出现，故总有：
• x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
• 1]载货航程需要的周转船只数:
• E->D需(17+2)*3=57条船 B->C 需 (3+2)*2=10条船
• A->F需(7+2)*1=9条船 D->B 需 (13+2)*1=15条船
• 总共需91条船
2]各港口间调度所需船只数:
港口城市 每天到达 每天需求 余缺数
A
0
1
-1
B
1
2
-1
C
2
选课策略
课号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
课名
微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
学分
5 4 4 3 4 3 2 2 3
所属类别
数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
先修课要求
• 2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中， 目标和约束可以相互转化。
• 3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地 位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上 的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。
• 4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只 需找出满意解就可以。
• 目标规划怎样解决上述线性规划 模型建模中的局限性？
故恒有d+×d-=0
目标规划问题及其数学模型
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
4x1 16 4x2 12
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过 目标约束来表达。 1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为： x1=x2。由于这个比例允许有偏差， 当x1<x2时，出现负偏差d-，即： x1+d- =x2或x1－x2+d- =0 当x1>x2时，出现正偏差d+，即： x1-d+ =x2或x1－x2-d+ =0
1. 要求总利润必须超过 2500 元；
2. 考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过 60 件 和 100 件；
3. 由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型。
解：以产品 A,B 的单件利润比 2.5 :1 为权系数，模型如下：
minZ
P1d
1
2.5
P2
在许多客观实际问题中，要达到的目标往 往不止一个。例如，设计导弹时既要使其 射程最远，有要燃料最省，还要精度最高。 这类含有多个目标的优化问题称为多目标 规划问题。
目标规划是一个新的多目标决策工具，它 能把决策者的意愿反映到数学模型中。目 标规划不像线性（或非线性）规划那样去 直接求目标函数的最大（小）值，而是寻 求实际能够达到的值与目标之间的偏差变 量的最小值，这些偏差变量表示目标的达 成程度。
x8 x5 0
2x9 x1 x2 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
学分最多
9
Min Z xi i 1
Max W 5x1 4x2 4x3 3x4 4x5 3x6 2x7 2x8 3x9
目标规划问题及其数学模型
•问题的提出：
• 目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济 管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来 的一个分支。
• 目标规划是实行目标管理的有效工具，它根据 企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序， 考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标或从总 体上离规定目标的差距为最小。
• 整数规划问题 • 运输问题模型 • 某航运公司承担六个港口城市A、B、C、D、
E、F的四条固定航线的物资运输任务，已知各 条航线的起点、终点城市及每天航班数见表1， 假定各条航线使用相同型号的船只，又各城市 间的航程天数见表2。 • 又知每条船只每次装卸货的时间各需1天，则该 航运公司至少应配备多少条船，才能满足所有 航线的运货需求？
目标约束表示为：
min{d }
x1
2x2
d
d
8
• 4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班，
目标约束表示为：
min{d d }
2 x1
2x2
d
d
12
3. 目标的优先级与权系数
在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些 目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低 可分别通过优先因子P1,P2,…表示。对于同一层次优先级的不同 目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个 具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。