信号与系统期末考复习题

2t
1 4t e 6
1 r (0) A1 A2 6 1 2 r (0) A1 2 A2 2 3 11 A1 3 得 5 A2 2
所以，系统响应为 11 t 5 2t 1 4t r (t ) e e e 3 2 6 t 0
(t >0)
由于在零输入状态下，无外界激励作用，因而系统的状态不会 发生变化， r(0+) =r(0-)=1，r'(0+)=r'(0-)=2，代入求出常数 A1 4 A2 3
0+状态为
例2-5：给定系统的微分方程
d2 d d r (t ) 3 r (t ) 2r (t ) e(t ) 3e(t ) 2 dt dt dt
求系统的完全响应r(t)。 解：1、零输入响应rzi(t) rzi(t)为满足微分方程
(1)
，r (0 ) 2 若激励信号为 e(t ) u (t )， 起始状态为 r (0 ) 1
d2 2 r (t ) a (t ) bu (t ) dt d r (t ) au (t ) dt r (t ) 0
(0-< t <0+)
代入式(2)
a (t ) bu(t ) 3au(t ) 2 0 (t ) 3u(t )
(3)当e(t)=e1(t)时,r1(t)=e1(-t)
e(t)=e2(t)=e1(t-t0)时, r2(t)=e2(-t)=e1(-t-t0) 而 r1(t-t0)=e1[-(t-t0)]= e1(t0-t) 由于r2(t) r1(t-t0),所以系统是时变的。
第二章 连续时间系统的 时域分析
f3(t) 2 1 -2 -1 0 1
t0
t0+
f2(t)=E[u(t-t0)-u(t-t0-)]
-1
( c)
f3(t)=u(t+2)+u(t+1)-3u(t-1)+u(t-2)
例：求图(a)所示信号的偶分量和奇分量。
f(t) (a) t 0 t fe(t) ( c)
0
dt
解: 换路前
2 4 i (0 ) i L ( 0 ) A R1 R2 5 d i (0 ) 0 dt 4 3 6 uC (0 ) iL (0 ) R2 V 5 2 5
2
+ +
1
-
i(t)
C
图(1)
换路后，作出0+时刻等效电路，见图(2)。
1 1 6 14 i(0 ) [e(0 ) uC (0 )] (4 ) A R1 1 5 5
代入t=0时方程，求出a0，a1，a2，…，am，b。
则
dn dn n r (0 ) n r (0 ) b dt dt d n 1 d n 1 n 1 r (0 ) n 1 r (0 ) a0 dt dt r ( 0 ) r ( 0 ) dn dn n r (0 ) b n r (0 ) dt dt d n 1 d n 1 n 1 r (0 ) a0 n 1 r (0 ) dt dt r ( 0 ) r ( 0 )
fo(t) (b) t 0 (d)
f(-t) t 0
例：某系统的数学模型如式(1) ，试画出对应的方框图。
由式(1)可得： d r (t ) b0 e(t ) a0 r (t ) dt
d r (t ) a0 r (t ) b0 e(t ) dt
(2)
(1)
式(2)可改写如下：
r (t ) [b0 e(t ) a0 r (t )] 由式(2)可画出系统方框图 如下： b0 r ( t) e(t)
iC
+ u ( t) -
iR (t ) iL (t ) iC (t ) iS (t )
将式(1)(2)(3)代入式(4)并化简，有
(4) (5)
d2 1 d 1 d C 2 u (t ) u (t ) u (t ) iS (t ) dt R dt L dt
例2-3：电路见图(1)。t <0开关S处于1的位置且已经达 d 到稳态；t =0时， S由1转向2，求i (0 )和 i (0 ) 。
dn (m) ( m 1) r ( t ) a ( t ) a (t ) a1 (t ) a0 (t ) bu (t ) m m 1 n dt d n 1 ( m 1) ( m2) r ( t ) a ( t ) a (t ) a1 (t ) a0 u (t ) n 1 m m 1 dt r (t )
0+状态为
r ( 0 ) r (0 ) 1 d d r ( 0 ) 1 r (0 ) 1 2 3 dt dt
一般情况，t=0时微分方程为 dn d n 1 d C0 n r (t ) C1 n 1 r (t ) Cn 1 r (t ) Cn r (t ) dt dt dt (0-< t <0+) dm d m 1 d E0 m (t ) E1 m 1 (t ) Em 1 (t ) Em (t ) Em u (t ) dt dt dt 可以设
3 t
移位
-3
f(2t+1)
尺度
2 t f(-2t+1) 1 0
-4
-2
0
t 1
(b )
(c )
反褶
t
-1
2
(d )
例 1-1 已知信号 f(t) 的波形如图 1.10(a) 所示，试 画出信号f(-2-t)的波形。 解： f(t)→f(-2-t)=f(-(t+2))可分解为
反转 平移 f(t)—— f(-(t)) —— f(-(t+2)) t→-t t→t+2
求0+状态 r (0 )，r(0 )。 解：将e(t)=u(t)代入方程式(1)，求得t=0时微分方程表示为
d2 d r (t ) 3 r (t ) 2r (t ) (t ) 3u (t ) 2 dt dt
(2)
Δu(t)为0-到0+相对单位跳变函数，方程(2)右端自由项中含有 (t)，故从0-到0+状态发生跳变。 方程(2)右端的冲激函数项最高阶次是 (t)，因而可以设
信号与系统期末考试 复习题目
第一章 信号与系统的基本概念
例： r (t)=3e(t) 可逆系统； 其逆系统为： r(t)=e(t)/3。 r (t ) e2 (t ) 不可逆系统。
例1：已知f(t)的波形如图
f(t) 1 0 1
(a) 试画出f(-2t+1)的波形。
f(t+1) 1 0
(a )
d2 d r (t ) 3 rzi (t ) 2rzi (t ) 0 2 zi dt dt
及起始状态r(0-)=1， r (0-)=2的解。 特征方程： 2 3 2 0 特征根为：1= -1 ，2= -2
t
(2)
零输入响应的形式： rzi (t ) A 1e
A2e2t
B为待定系数，代入方程后有：
16Be4t 12Be4t 2Be4t e 4t 1 B 6 1 特解为： rp (t ) e 4 t 6
3)求完全解r(t)
r (t ) rh (t ) rp (t ) A1e
由初始条件确定常数A1，A2。
t
A2 e
d 1 d d i (0 ) [ e(0 ) uC (0 )] dt R1 dt dt 1 d 1 [ e(0 ) (i (0 ) iL (0 ))] R1 dt C i(0+) + 1 1 14 4 [0 ( )] 2 A / s 1 1 5 5
系统的特征方程为 2 3 2 0
对应的齐次解为：rh (t ) A 1e 2)求特解 rp (t )
特征根为： 1= -1 ，2= -2
t
A2e
2t
4t 代入方程右端，得 e ( t ) e 将
d2 d 4t r ( t ) 3 r ( t ) 2 r ( t ) e dt 2 dt 选特解函数式 rp (t ) Be4t
-a0
a0 r (t ) b0 [e(t ) r (t )] (3) b0
由式(3)可画出系统方框 图如下： e(t)

-a0
b0
r ( t)
两种方框图效果不变
例: 判断下列系统是否为线性系统： (1) r(t)=te(t)； (2) r(t)=e(t)+2 解：
(1) ae(t) tae(t)=ate(t)=a r(t)，满足齐次性； e1(t)+e2(t) t[ e1(t)+e2(t)]=t e1(t)+t e 2(t)=r1(t)+r2(t)，
f (t)
f (-t) 1 t
2
f(-(t+2))
1
-t -2 -1 0 1 -1 (b) 2 t
t
t+2
1 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 2 t
-1
0 1 -1 (a)
t
(c)
f1(t)
例1：用阶跃函数表示信号 图(a)(b)(c)信号。
f2(t) E t -
1 t
0
f1(t)= u(t+)- u(t-)
例2-2：求下图所示RLC并联电路的端电压u(t)与激励 源is(t)间的关系。