抛物线及其标准方程

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抛物线及其标准方程

抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。

抛物线及其标准方程

解析答案
(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，抛物线在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一 xy) 的轨迹所在的曲线是 ________( 个作答). 解析设动点Q(x′，y′)，则有x′＝x＋y, y′＝xy，又有x2＋y2＝1，即(x＋y)2－2xy＝1，所以x′2－2y′＝1，故Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.
答案
知识点二
抛物线的标准方程
思考抛物线标准方程有何特点？
答案 (1)点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于 0 的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原 p 点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于2.
答案
梳理
一条抛物线，由于它在平面内的位置不同，所以方程也就不同，故
2
1 0 ， B. 4
2
1 ， 0 C. 4
1 0 ， D. 8
1 解析由 y＝2x ，得 x ＝2y， 1 1 所以 p＝4，故焦点坐标为0，8.
解析答案
1
2 3 4 5
2.焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是( D ) A.y2＝2x C.y2＝－4x 解析 B.x2＝4y D.y2＝4x
故所求的抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 2 6.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为 x＝2.
解析答案
类型三例3
抛物线的实际运用
一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射
入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口
径(直径)为4.8 m，深度为0.5 m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准

抛物线及其标准方程

生活中的抛物线
美丽的赵州桥
夜色下的喷泉
绚烂的烟花
我们知道，二次函数 y ax bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，而且还研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？
2
几何画板演示
一、抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
8 （0，-2）
焦点坐标（5，0） 1 （0，—） 5 8
准线方程 x=-5
y= -— x= —
y=2 8 5 8
1
(3)(4) 一定要先把方程化为标准方程,再求焦点坐标和准线方程
例2.已知抛物线y 2 4 x 的焦点为F, P为抛物线上一点，且点P的横坐标为4，求 PF .
解：由抛物线方程y 4x, 知准线方程为x 1.
1 4
y2 x
（3）焦点到准线的距离是2
y 2 4x 或 y2 4x 或 x2 4x 或 x2 4x
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20x (2)x2= 1 y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
2
(1)
(2)
(3) (4)
（- —，0）
· M
o
F
x
正常数 p的几何意义是
焦点到准线的距离
思考：
你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？
﹒ ﹒﹒ ﹒
y y y
o
x
o
x
o
x
o
y
x
(1)

2.4.1抛物线及其标准方程

复习：
1、抛物线定义,标准方程的焦点、准线， P的几何意义。 2、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法
3、焦半径公式
4、注重数形结合的思想。
一、定义
平面内与一个定点F 和一条定直 l 线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 N 定点F 叫做抛物线的焦点。
M
定直线l 叫做抛物线的准线。
MF ︳︳若 1, 则点︳︳ MN
· F ·
即:
M 的轨迹是抛物线。
方程 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程
2 y
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
﹒ ﹒ ﹒
y
图形
o
焦
点
准线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
问题：
根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形，焦点坐标，准线方程对应关系如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？第一：一次项的变量为X（或Y）则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上第二：一次项的系数决定了开口方向
课堂作业：
课本P73 3 、8
练习 1 若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离等于点M到准线的距离则点M的坐标是
2 已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF的距离之和最小，并求出这个最小值。若 A(3,7)呢？
例1:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2= x 即2p= a 解：抛物线的方程化为：y a
①当a>0时,

抛物线及其标准方程-ppt

P
则 p ，q如图。
PF PM , p 1 1
故 1 1 1 1 2 4a
4a 4a
M
pq p p p
等p于, q（
y
FQ
O
x
N
y
lo
x
F（0,－2）
解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，
并且
p 2
=
2，p
=
4
，所以所求抛物线的
标准方程是 x2 =－8y .
返回
yl
Fo
x
X=1
2.4.1抛物线及其标准方程
喷泉
球在空中运动的轨迹是抛物线规律, 那么抛物线它有怎样的几何特征呢?
二次函数
y ax2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的抛物线?
复习回顾：
我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条
定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
(其中定点不在定直线上)
(1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
l M
·F
l M
·F
l
·M
·F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
那么,当e=1时，它又是什么曲线？
提出问题：
如图，点 F是定点，L 是不经过点F 的定直线。H 是L上
任意一点，过点 F 作MH L，线段FH的垂直平分线m交 MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？
4
（2000.全国）过抛物线
y 2 的a焦x(点a 作0)一条直线 F
交抛物线于，P两点Q，若线段与 P的F长分别F为Q ，则

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程
抛物线是一种二次曲线，其标准方程为y^2=2px。

这个方程表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)，准线方程为x=-p/2。

抛物线的标准方程有不同的形式，如y^2=2px、y^2=-2px、x^2=2py和x^2=-2py等。

这些方程分别表示了不同的抛物线，其中p为焦点到准线的距离，决定了抛物线的形状和大小。

除了标准方程外，抛物线还可以用一般形式来表示，即y=ax^2+bx+c。

这个方程表示抛物线的开口方向、顶点坐标和与y轴的交点等特性。

另外，抛物线还可以用顶点式来表示，即y=a(x-h)^2+k。

这个方程表示抛物线的顶点坐标为(h,k)，a为开口方向的系数。

在求解抛物线的问题时，需要根据具体问题选择适当的方程形式，并利用已知条件来求解未知量。

抛物线及其标准方程

p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2 p (0， ) 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
l
O
F
x
y
F O
l y l
O F
x
x
课堂新授
例.(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,
求它的焦点坐标和准线方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
抛物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及其标准方程（一）
课堂新授
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
l y M
K
o
F
x
图
l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
课堂练习
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1) 焦点是F（0，3）,
1 (2) 准线方程是x=- , 4
(3) 焦点到准线的距离是2.
课堂练习
2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2=-10x (2) x2=-8y
(3)
y2=-
5 x 2
(4)–x2+6y=0
(6) y=-3x2
(5) 2y2+3x=0
课堂练习
3.点M与点F（0,-2）的距离比它
到直线l：y-3=0的距离小1,
求点M的轨迹方程。
课堂练习
4.已知抛物线的焦点为（3,3)，

抛物线的标准方程及性质

抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线想一想：定义中的定点与定直线有何位置关系？点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P 〉0 求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴设︱KF ︱= p 则F （0,2p ）,l ：x = —2p 。

设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知｜MF|=｜MN| 即：2)2(22px y P x +=+-化简得 y 2 = 2px （p ＞0) 二、标准方程把方程 y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （2P ，0)，l ：x = — 2P而p 的几何意义是：焦点到准线的距离｜FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。

1．四种抛物线的标准方程对比图形标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=p px y⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=)0(22>-=p px y⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=)0(22>-=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来? 顶点在原点三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则（1）范围：抛物线上的点(x ，y ）的横坐标x 的取值范围是x ≥0。

，在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.(3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。

抛物线标准方程

抛物线标准方程抛物线是平面上一类非常重要的曲线，它在物理学、几何学和工程学中都有着广泛的应用。

在数学中，抛物线通常以标准方程的形式进行研究和描述。

本文将介绍抛物线的标准方程及其相关性质。

首先，我们来看一下抛物线的定义。

抛物线是平面上一类曲线，它的定义可以有多种方式，其中一种常见的定义是：所有到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

抛物线通常可以用标准方程来表示，其标准方程的一般形式为：y = ax^2 + bx + c。

其中a、b、c为常数，且a不等于0。

这个方程描述了抛物线上所有点的坐标，通过这个方程我们可以推导出抛物线的各种性质。

接下来，我们来看一下如何通过已知的抛物线上的点来确定抛物线的标准方程。

假设我们已知抛物线上的三个点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)，我们可以通过这些点来确定抛物线的标准方程。

我们可以将这三个点代入抛物线的一般方程y = ax^2 + bx + c中，得到三个方程：y1 = ax1^2 + bx1 + c。

y2 = ax2^2 + bx2 + c。

y3 = ax3^2 + bx3 + c。

通过解这个方程组，我们可以求解出a、b、c的值，从而确定抛物线的标准方程。

除了通过已知点来确定抛物线的标准方程外，我们还可以通过抛物线的焦点和准线来确定抛物线的标准方程。

抛物线的焦点和准线的位置关系可以帮助我们确定抛物线的标准方程，这是抛物线研究中一个非常重要的方法。

在确定了抛物线的标准方程后，我们可以进一步研究抛物线的各种性质。

例如，我们可以通过标准方程来求解抛物线的焦点、准线、顶点等重要的点和线。

这些性质的研究对于抛物线的应用具有非常重要的意义。

总之，抛物线的标准方程是研究抛物线的重要工具，通过标准方程我们可以确定抛物线的位置、形状和各种性质。

在实际应用中，抛物线的标准方程有着广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要的意义。

希望本文对抛物线的标准方程有所帮助，谢谢阅读！。

抛物线及其标准方程

1、
）已知抛物线的标准方程是 2 = 6x，已知抛物线的标准方程是y ，求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程； 2，（2）已知抛物线的方程是 = －6x ）已知抛物线的方程是y 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是（0，-2），）已知抛物线的焦点坐标是F（，），求它的标准方程。求它的标准方程。
焦点坐标
准线方程
（1) （2) （3)
（5，0），）
1 （0，—），） 8 5 （- —，0），） 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
小结：
、抛物线的定义、标准方程和它抛物线的定义、标准方程和它定义的焦点、准线、的焦点、准线、方程
标准方程类型与图象的对应、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应抛物线的定义标准方程类型与图象的关系以及以及判断方法关系以及判断方法
3、注重数形结合的思想。、注重数形结合的思想数形结合的思想。
y
y
y
y l O F
图
F
O
F
O
x
x
F O l
形
l
x
l
点位置
x轴的轴的正方向 y2=2px
p F( ,0) 2 p x =-
x轴的轴的负方向 y2=-2px px
p F(- ,0) 2 p x=
y轴的轴的正方向 x2=2py
2 y
简得
= 2px（p＞0）（p＞）
2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做（＞）
抛物线的标准方程其中 p 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是:

2.4.1抛物线及其标准方程

2
10x
（2）
y 2 2 px( p 0)
1 2 x y （3） 4
（4）
y 2 ax(a 0)
课堂小结
1.抛物线的定义？
2.抛物线的标准方程？
3.求标准方程的方法？
抛物线及其标准方程
一.定义: MF MH
点M的轨迹叫做抛物线H 定点F 叫焦点，定直线l 叫准线
l y
M
标准方程的推导
探讨建立平面直角坐标系的方案(设F到 l 的距离是p) y y y . .
M M
.
M
O
.
F
x
l
.
l
F
x
l
O
.
F
x
l 方案(1)
y 2 px p
2 2
方案(2)
方案(3)
2
y 2 px p
2
y 2 px
2
标准方程的推导
（方案三）以过F且垂直于 l 的直线为 H M（x,y） x轴,垂足为K.以线段FK的中点O为坐 . x 标原点建立直角坐标系xOy. O F K 设点 M ( x, y) 为抛物线上的任意一点， FK P p 0 l 作 MH l 于点H. p p 则焦点 F ( , 0)，准线 l : x 2 2 p 2 p 2 由定义得 MF MH 所以 (x ) y x 2 2 两边平方，整理得 y 2 2 px( p 0)
2.4.1抛物线及其标准方程
喷泉
球在空中运动的轨迹是抛物线规律, 那么抛物线它有怎样的几何特征呢? 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的抛物线?
画抛物线

抛物线的四种标准方程公式

抛物线的四种标准方程公式
抛物线，即参数方程，在建筑中体现的非常明显，著名的几何体之声，也就是
抛物线的发展，系几何学的一种抽象化的发展，一般有三种形式存在。

其中，四种标准抛物线的公式是：
第一种：y= ax^2 +bx+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第二种：y= a(x-h)^2+k，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第三种：x= ay^2+by+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
最后一种：x= a(y-h)^2 +K，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该
抛物线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入。

以上四种抛物线，是建筑中最基本的几何体，它们经常在建筑物中呈现，而一
些拥有非常令人惊叹的建筑作品便是基于这些抛物线原理才能营造出如此震撼的空间感。

举个例子，早期的拱顶，当时人们通过抛物线的参数公式，将多边形表面张开，就形成了一个完美的拱顶，而它的几何体也就凝结成了抛物线的形式。

因此，抛物线参数方程的高级应用，使建筑领域有了一定的蓬勃发展，可以运
用到多边形，穹顶，立体几何，甚至到三维空间中都是被做到的，它是建筑发展过程中最重要的几何加工机制。

在建筑专业中，抛物线参数方程被广泛用于建筑设计，艺术形象分析等方面，使建筑设计更加精致独特，更加丰富多彩。

抛物线及其标准方程

即:
MF MH
l
1
H
M
定点F------焦点定直线l--------- 准线
· · F
想一想? 当直线l经过定点F，则点
M的轨迹是什么？经过点F且垂直于l的直线
F
l
·
如何求点M的轨迹方程？
M
H
想一想？
求曲线方程的基本步骤是怎样的？
F ·
l
建系
设点列式
找关系化简、证明
[1]建系
P 即 2 得p=4 2
∴所求的标准方程为x2= -8y
总结: 求抛物线标准方程的一般步骤：（1）确定抛物线的形式. 注意:焦点或开（2）求p值口方向不定，则（3）写抛物线方程要注意分类讨论
例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）
求它的标准方程。
2=-8x y （1）焦点是F（-2，0），它的标准方程_______.
2、一次项的系数的符号 x 2 py 决定了抛物线的开口方 p 0 向.
2
四种抛物线的标准方程对比图形标准方程
y 2 px
2
p 0
2
抛物线的标准方程的形式上的共同特点?
如何根据抛物线的标 y 2 px 准方程来判断抛物线 p 0 的焦点位置，开口方向？ 2 x 2 py 1 、焦点在一次项字母 p 0 对应的坐标轴上. 2、一次项的系数的符号 2 x 2 py 决定了抛物线的开口方 p 0 向.
变式:
2=8y x （2）准线方程是y = -2，它的标准方程_______.
（3）焦点到准线的距离是2,它的标准方程 _____. 2 2
x =±4y 、y =±4x

抛物线及其标准方程

p F(- ,0) 2 p x= 2
y轴的正方向 x2=2py
p F (0, ) 2 p y =2
y轴的负方向 x2=-2py
p F (0, - ) 2 p y= 2
y2=2px
p F ( ,0) 2 p x =2
抛物线的标准方程
抛物线方程
左右型
标准方程为
开口向右:
y2 =〒2px
(p>0)
y 32x F(-8,0)
2
y 2x
2
1 F( , 0) 2
y 8x 0
2
1 F(0, ) 32
x 8y 0
2
1 F( , 0) 32
练习3：请判断下列抛物线的准线方程
x 32 y
2
F(0,8)
x 2 y F(0,
2

1 2
)
是一次项系数的
y 32x F(-8,0)
2 2
当a>0时与当a<0时，结论都为：
1 1 焦点（0， )准线y=4a 4a
（课本67页练习1）根据下列条件写出抛物线的标准方程； y2=12x （1）焦点是（3，0）；
1 （2）准线方程是x= ； y2=x 4
（3）焦点到准线的距离是2；
y2=4x y2=-4x
x2=4y
x2=-4y
（课本67页练习2）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
课外作业：
《优化设计》课时作业P13 2.4.1抛物线及其标准方程第1——9题
（1）y2=20x
1 2= y （2）x 2
F（5，0） x=-5
1 1 F（0，） y=8 8 2+5x=0 5 5 （3）2y F（- ，0） x= 8 8 （4）x2+8y=0 F（0，-2） y=2

抛物线及其标准方程

．
A
y
O
x
2
3
例1 点M到点F(4，0)的距离比它到直线 l: x+5=0 的距离小 1，求点M的轨迹方程。解 1：设 M(x，y)，则由已知，得 |MF|+1=|x+5|
即 ( x 4) y 1 x 5
2 2
l
l'
y
.M .
o
F x
2 . y 化简得 16x 即为点M的轨迹方程
例2．在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。
由 y 2 8 x 知： 2 p 8，解： p4
F (2 ， 0) ，此抛物线的焦点坐标是
y
P
Q 4x
准线方程是x 2 .
K
由定义知： P到焦点F 的距离等于 P到准线l 的距离. 即 | PF || PK | .
y A’ O B’ A
AB AF BF
p p x1 x2 2 2
p ( , 0) F 2
B
x
| AB | x1 x2 p
p x 2
焦点弦中与对称轴垂直的弦叫做抛物线的通径，长度为2p.这是标准方程中2p的几何意义.
例3. 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与它交于两点A(x1，y1)， B(x2，y2)，通过点A和抛物线顶点的直线交准线于点 C， 2 p 求证：y1y2=-p2， x1 x2 ; 4 p p 设过焦点 F （， 0 ）的直线为： y k ( x ) ，( k 0 ) 证明： 2 2 p 1 2 x y 代入 y 2 px k 2

原创1：3.3.1　抛物线及其标准方程

x2＝－2py(p>0)
______________

p

0，－2
_______

p
y＝2
________
典例精析
题型一：求抛物线的标准方程
例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
解
(1)由于点M(－6,6)在第二象限，
50
1
而当x＝8时，y＝－ ×82＝－1.28，
50
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，
ห้องสมุดไป่ตู้
此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，

2
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
∴ ＝2，∴p＝4，
综上所述，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
典例精析
题型二：抛物线定义的应用
例2 (1)设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的
则点P到该抛物线焦点的距离是________．
6

2
解由抛物线的方程得＝2，
再根据抛物线的定义，
可知所求距离为4＋2＝6.
跟踪练习
3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程

2.4.1抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程-ppt

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程

抛物线的标准方程及性质

抛物线标准方程

抛物线及其标准方程

2.4.1抛物线及其标准方程

抛物线的四种标准方程公式

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程

原创1：3.3.1 抛物线及其标准方程

原创1：3.3.1　抛物线及其标准方程