抛物线的标准方程

2．4.1 抛物线的标准方程

【学习要求】

1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．2．会求简单的抛物线的方程．

【学法指导】

通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程．通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

课前预习

1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)__________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．

2．抛物线标准方程的几种形式

图形标准方程焦点坐标准线方程

学生活动

问题1结合抛物线定义，想一想怎样求抛物线的标准方程？

问题2抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？

活动一由抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程

例1已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．

(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；

(3)y＝4x2；(4)y2＝a2x (a≠0)．

小结 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．

跟踪训练1 (1)抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为____________．

(2)抛物线y ＝－14

x 2的准线方程是________．

活动二 求抛物线的标准方程

例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)准线方程为2y ＋4＝0；

(2)过点(3，－4)；

(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．

小结 求抛物线方程的主要步骤都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p 值，从而求出方程．

常用方法有两种：

(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程．

(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值．

跟踪训练2 (1)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为_________________．

(2)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程．

活动三 抛物线定义及标准方程的应用

例3 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12

. (1)求点M 的轨迹方程；

(2)是否存在M ，使MA ＋MF 取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

小结 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．

(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．

跟踪训练3 (1)抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．

(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是___．

课堂检测

1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为__________．

2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p 2

)，则点M 的横坐标是________． 3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．

4．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________．

课堂小结

1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上．

2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝my (m ≠0). 自我检测

1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________． 2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是__________．

3．双曲线x 24－y 212

＝1的焦点到渐近线的距离为________． 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.

5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．

6．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为____________．

7．已知双曲线C ：x 24－y 2

m

＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是________． 8．已知圆C 过双曲线x 29－y 2

16

＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．

9.如图所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲

线的离心率为______．

10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x 216－y 2

4

＝1有公共焦点，且过点(32，2)．

11．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

12．求证：双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．

13．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c

，求该双曲线的离心率的取值范围．