抛物线的标准方程
抛物线的标准方程和性质
抛物线的标准方程和性质平面内与一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的焦点，直线为x 轴l 叫做抛物线的准线，其中F ∉l .这就是抛物线的标准方程，所以点M 的轨迹是双曲线。
它表示的抛物线的焦点在x 轴上，坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p ，准线方程为2p x -=。
一条抛物线，由于它在坐标平面的位置不同，方程也不同。
所以抛物线的标准方程还有如下几种形式：px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.它们的焦点坐标，准线方程以及图我们根据抛物线的标准方程)0(22>=p px y ，来研究它的几何性质1、范围2、对称轴性3、顶点4、离心率例1、若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.求该正方形面积的最小值例2、在直角坐标平面上，已知直线)11(<<-+=a a x y 与抛物线21x y -=相交于点B A ,，点C 的坐标为)0,1(，问：当a 为何值时，三角形ABC 的面积最大？并求三角形ABC 面积的最大值.例3、给定圆P:222x y x +=及抛物线S:24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,,,A B C D ,如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.例4、在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．例5、已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．能力提高1、如图,已知⊙C 的圆心C 在抛物线py x 22=上(p>0)运动,且⊙C 过定点()p A ,0，点M,N 为⊙C 与x 轴的交点.如果x AN AM =.试求函数()x x x f 1+=的值域2、已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（1）求抛物线C 的方程．（2）设直线)0(≠+=k b kx y 与抛物线C 交于两点),(,),(2211y x B y x A ，且 )0(||21>=-a a y y ，M 是弦AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线C 于点D ， 得到ABD ∆；再分别过弦AD 、BD 的中点作平行于x 轴的直线依次交抛物线C 于点F E ,， 得到ADE ∆和BDF ∆；按此方法继续下去．解决下列问题：1)．求证：22)1(16k kb a -=； 2)．计算ABD ∆的面积ABD S ∆；3)．根据ABD ∆的面积ABD S ∆的计算结果，写出BDF ADE ∆∆,的面积；请设计一种求抛物线C 与线段AB 所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．。
抛物线的定义与标准方程
抛物线的定义与标准方程
抛物线是一种几何图形，它的形状像弓形，早在古希腊时期就已被哲学家用来描述天体运动的轨道。
抛物线拥有独特的几何结构，是分析数学中的一个重要的几何图形。
抛物线定义为一个二次方程
y=ax^2+bx+c的解集合，其中a是不等于0的实数，b与c是实数。
bx 和c分别表示抛物线的斜率和截距。
抛物线有若干不同的特性，其定义可以用标准方程表示，即：
y=ax2+bx+c，其中a、b、c分别是抛物线的系数，而a必须为不等于0的实数。
抛物线的系数a可以用来确定抛物线的开口方向，如果a>0，则抛物线向上开口；如果a<0，则抛物线向下开口。
抛物线的中点是抛物线函数的最高点或最低点，即y的最大值或最小值。
另外，抛物线的对称轴是横坐标x的值，由其标准方程中的b系数决定。
此外，抛物线的几何图形还具有一些特殊的性质，比如切线的斜率，其斜率的值等于解抛物线方程时的系数a。
另外，抛物线的曲线旁线总是平行于切线，这对抛物线几何图形的描述非常重要。
在学习数学时，抛物线可以用来解决许多复杂的问题，抛物线的定义与标准方程可以帮助人们理解抛物线的相关特性，从而更好地解决各种复杂的数学问题。
尽管抛物线的定义看起来很简单，但是人们在分析抛物线的运动轨迹及其性质时，还有许多需要注意的地方。
抛物线的标准方程
o F
y
(p/2,0) (-p/2,0) (0,p/2)
(0,-p/2)
F
y y
o
x
X= p/2
F
o y o x
y=
-p/2
F
x
y= p/2
例1
根据下列条件求抛物线的标准方程．
（1）焦点在x轴的正半轴上，并且p = 5；
（2）焦点为F（0，－2）； 1 （3）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
取过焦点F，且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于E，
以线段EF的垂直平分线为y轴建 立直角坐标系．
p 2 p ) y2 x ． 2 2
(x
将上式两边平方，得
(x p 2 p ) y 2 ( x ) 2， 2 2
标准方程
图形
y
焦点
x
准线
X= -p/2
y2=2px （p>0） y2=-2px （p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
兔子的安全区：兔子窝与树林。在哪些区域活动最安全？
窝
林子边界
生活中存在着各种形式的抛物线
抛物线的标准方程
y x 2 4 x 3 (2,7)
y
y 3x y 2 x2
O x
2
y
1 2 y x 4x 6 2 y
O
x
(4, 2)
O x
• 学习重点： 1、抛物线的定义； 2、根据具体条件求抛物线的标准方程； 3、由标准方程求焦点坐标、准线方程。
2
2 （ 2 ） x y 0． y 16 x； （1 ）
练 习
1．根据下列条件，求抛物线的标准方程： （1）焦点为F（ 3 ，0） ；
抛物线标准方程推导
抛物线标准方程推导抛物线是平面几何中常见的曲线，它具有许多重要的性质和应用。
在数学中，我们经常需要研究抛物线的性质和方程。
本文将详细推导抛物线的标准方程，帮助读者更好地理解抛物线的特点和性质。
假设抛物线的顶点坐标为（h，k），焦点坐标为（h，k+p），且抛物线开口向上。
现在我们来推导抛物线的标准方程。
首先，我们知道抛物线上任意一点的坐标可以表示为（x，y）。
根据抛物线的性质，我们可以得到抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到直线的垂直距离。
根据这一性质，我们可以得到抛物线上任意一点（x，y）到焦点（h，k+p）的距离公式为：√((x-h)²+(y-k-p)²)=|y-k|。
其中，|y-k|表示y-k的绝对值。
根据抛物线的定义，我们知道抛物线是关于直线y=k对称的，因此抛物线上任意一点（x，y）关于直线y=k的对称点为（x，2k-y）。
将对称点代入到到焦点的距离公式中，得到：√((x-h)²+(2k-y-k-p)²)=|2k-y-k|。
化简得：√((x-h)²+(y-k-p)²)=|y-k|。
展开平方并化简得：(x-h)²+(y-k-p)²=(y-k)²。
进一步化简得：x²-2hx+h²+y²-2kpy+p²=y²-2ky+k²。
消去y²，得到：x²-2hx+h²-2kpy+p²=-2ky+k²。
移项得：x²-2hx+h²=-2kpy+p²-2ky+k²。
化简得：x²-2hx+h²=4py。
将p代入得到抛物线的标准方程：x²-2hx+h²=4p(y-k)。
即为抛物线的标准方程。
通过以上推导，我们得到了抛物线的标准方程。
这个方程可以帮助我们更好地理解抛物线的性质和特点，也可以帮助我们在实际问题中应用抛物线。
抛物线的标准方程推导
抛物线的标准方程推导抛物线是我们在数学课上经常接触到的一个曲线，它具有许多有趣的性质和应用。
在学习抛物线的过程中，了解其标准方程是非常重要的。
本文将对抛物线的标准方程进行推导，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
首先，我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是平面上一个点到一条定直线的距离等于该点到另一定点的距离的轨迹。
在直角坐标系中，抛物线的标准方程一般可以表示为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
下面，我们将从几何和代数两个方面来推导抛物线的标准方程。
几何推导：我们知道，抛物线是由一个动点P到一条定直线L的距离等于该点到另一定点F的距离的轨迹组成的。
设定直线L的方程为y = k，定点F的坐标为(0, p)，动点P的坐标为(x, y)。
根据动点P到定直线L的距离公式可得：d1 = |y k| 。
根据动点P到定点F的距离公式可得：d2 = √((x-0)^2 + (y-p)^2)。
根据抛物线的定义可知，d1 = d2，因此有：|y k| = √(x^2 + (y-p)^2)。
对上式进行平方处理，得到：(y k)^2 = x^2 + (y-p)^2。
展开并整理得到：y^2 2ky + k^2 = x^2 + y^2 2py + p^2。
化简后得到：x^2 = 4a(y k)。
其中，a = 1/4p。
这就是抛物线的标准方程，即x^2 = 4ay。
代数推导：现在我们来用代数的方法推导抛物线的标准方程。
假设抛物线上任意一点的坐标为(x, y)，则根据抛物线的定义可知，该点到焦点的距离等于该点到直线的距离。
设抛物线的焦点为F(p, 0)，直线的方程为y = -p。
根据点到直线的距离公式可得：d1 = |y + p|。
根据点到焦点的距离公式可得：d2 = √((x-p)^2 + y^2)。
根据抛物线的定义可知，d1 = d2，因此有：|y + p| = √((x-p)^2 + y^2)。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程 制作人 曲径1、抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线． 2）．抛物线的标准方程3）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表：图形xyO FlxyO Fl标准 方程 y 2＝2px （p ＞0） y 2＝－2px （p＞0）x 2＝2py （p ＞0） x 2＝－2py （p ＞0）焦点 坐标 （2p ，0）（2p -，0）（0，2p ） （0，2p -） 准线 方程x ＝2p - x ＝2p y ＝2p -y ＝2p3.平面内到定点F 和定直线l 的距离之比等于常数e ，当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e ＝1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线．这就是圆锥曲线的统一定义．4.过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角5.典型例题［例1］(1)已知抛物线的标准方程是x 2＝4y ，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是(－3，0)，求它的标准方程．xy OFlxyOF l例2．求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F （－5，0） （2）经过点A （2，－3）例3．点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．例4、 提高训练1］若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，则｜PA ｜＋｜PF ｜取得最小值时点P 的坐标是( )A ．(0，0)B ．(1，1)B ．C ．(2，2)D ．(21，12、抛物线y 2＝2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是53，求此抛物线方程3、设抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．课后提升1．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A ．425B ．225C ．825D ．25解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l 的方程为y ＝34(x －2)．由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 8)2(342得B 点的坐标为(21，－2)．∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝2＋8＋2＋22521=，∴AB 的中点到准线的距离为425．答案：A2．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则2121x x y y 为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：特例法．当直线垂直于x 轴时，4),,2(),,2(222121pp x x y y p p B p p A -=-＝－4．答案：Ｂ3．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝16x B ．x 2＝－8yC ．y 2＝16x 或x 2＝－8yD ．y 2＝16x 或x 2＝8y解析：直线x －2y －4＝0与坐标轴的交点为(4，0)和(0，－2)，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ． 答案：C4．抛物线y ＝ax 2(a>0)与直线y ＝kx ＋b(k ≠0)有两个公共点，其横坐标分别是x 1、x 2；而直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是x 3，则x 1、x 2、x 3之间的关系是( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 3＝2111x x +C ．x 1x 3＝x 1x 2＋x 2x 3D ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3解法一：(特值法)取a ＝1，k ＝1，b ＝0，则x 1＝0，x 2＝1，x 3＝0， 可排除A 、B ． 再取a ＝1，k ＝1，b ＝1，可得x 1＋x 2＝1．x 1x 2＝－1，x 3＝－1，检验C 、D 可知D 选项适合． 解法二：(直接法)把y ＝kx ＋b 代入y ＝ax 2，得ax 2－kx －b ＝0，x 1＋x 2＝a k，x 1x 2＝－a b又x 3＝－k b，∴x 1x 2＝(x 1＋x 2)x 3答案：D5．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为______．解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0，由⎩⎨⎧=-=x y kx y 822得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝284kk +，∵AB 中点的横坐标为2，∴284kk +＝4，∴k ＝－1或k ＝2．∵当k ＝－1时方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A 、B 两点重合．∴k ≠－1． 答案：26．动圆M 经过点A(3，0)且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______． 解析：设圆M 与直线l 相切于点N ，∵｜MA ｜＝｜MN ｜， ∴圆心M 到定点A(3，0)和定直线x ＝－3的距离相等． 根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上．∵2p＝3，∴p ＝6．∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x ． 答案：y 2＝12x7．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求抛物线的标准方程．解：∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px ．由方程组⎩⎨⎧+==,1222x y px y得4x 2＋(4－2p)x ＋1＝0，∴｜x 1－x 2｜＝24416)24(22p p p -=--，∴pp x x 425||212212-=-+，∴154252=-p p ，∴p ＝6或p ＝－2，∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ．8．一直线与抛物线x 2＝y 交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为x 1和x 2，此直线在x 轴上的截距为a ，求证：21111x x a+=．证明：∵直线过(a ，0)点且与抛物线交于A 、B 两点， ∴设直线的方程为y ＝k(x －a)且k ≠0，由方程组⎩⎨⎧-==)(2a x k y y x 得x 2－kx ＋ka ＝0．由韦达定理，得x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝ka ． ∵a ≠0∴a kak x x x x x x 111212121==+=+．即a x x 11121=+．9．A 、B 是抛物线y 2＝2px(p ＞0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)．求证： (1)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； (2)直线AB 经过一个定点．证明：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 12＝2px 1、y 22＝2px 2 ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝4p 2·(－y 1y 2)∴y 1y 2＝－4p 2，从而x 1x 2＝4p 2也为定值．(2)∵y 12－y 22＝2p(x 1－x 2) ∴2121212y y p x x y y +=--∴直线AB 的方程为：y －y 1＝212y y p+(x －x 1)即y ＝p y y y p x y y p222212121⋅+-+＋y 1y ＝2121212y y y y x y y p+++亦即y ＝212y y p+(x －2p)∴直线AB 经过定点(2p ，0)．。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程抛物线是平面几何中的一种曲线，它是一种非常常见且重要的曲线形状。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
抛物线的标准方程是描述抛物线形状的数学表达式，它可以帮助我们更好地理解和分析抛物线的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨抛物线的标准方程及其相关知识点。
首先，我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点被称为焦点，定直线被称为准线。
抛物线是关于准线对称的，它是一条开口向上或向下的曲线。
接下来，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线的焦点为F（p,0），准线为直线x=-p，过焦点的直线方程为y=kx。
设抛物线上任意一点为P（x,y），则P到焦点的距离为PF，即√((x-p)²+y²)，P到准线的距离为PM，即|x+p|。
根据抛物线的定义可得：√((x-p)²+y²)=|x+p|。
整理得到：(x-p)²+y²=(x+p)²。
展开得到：x²-2px+p²+y²=x²+2px+p²。
化简得到：y²=4px。
这就是抛物线的标准方程。
从这个方程我们可以看出，抛物线的形状和焦点的位置密切相关，当p为正数时，抛物线开口向右，焦点在右侧；当p为负数时，抛物线开口向左，焦点在左侧。
而抛物线的开口方向由p的正负决定，抛物线的形状由p的大小决定。
抛物线的标准方程还可以进一步转化为其他形式，例如顶点坐标形式和参数方程形式。
顶点坐标形式为(y-k)²=4a(x-h)，其中顶点坐标为(h,k)，参数方程形式为x=at²，y=2at。
这些不同形式的方程可以帮助我们更灵活地应用抛物线的相关知识，解决各种实际问题。
在物理学中，抛物线的运动规律被广泛应用。
例如，抛物线运动是一种自由落体运动，它描述了一个物体在重力作用下的运动轨迹。
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
抛物线定义及标准方程
y2=-x
y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y
y2=16x或x2=-12y
焦点（7，0），准线x=-7
焦点(0,1/16a), 准线y=-1/16a;
焦点（0，3/16），准线y=-3/16
焦点（-5/8，0），准线x=5/8
例4 :在抛物线y2=4x上求点M，使它到定点P（2，2）和焦点F的距离之和为最小。
抛物线及标准方程（一）
抛物线是怎样形成的呢？
平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹是什么？
思考：
请看动画演示
平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
01
02
03
定点F叫做抛物线p=
9 4
9 2
4 3
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = - x
o
x
y
A
(3)
2 3
得 p=
变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F（3，0）； (2)准线方程是x=1/4； (3)焦点到准线的距离是2； (4)焦点在直线3x-4y-12=0上. 2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)y2=28x; (2)4x2=3y; (3)2y2+5x=0; (4)y=4ax2
开口与y轴正向同向:x2=2py
开口与y轴正向反向:x2=-2py
+
+
已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时，应先“定位”；后“定量”。
一次项变量对称轴，开口方向看正负
如何确定抛物线对称轴及开口方向
例1
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=6x （2）2x2+5y=0 (3)x=ay2(a≠0)
抛物线的标准方程
2-3.抛物线标准方程的其他形式
l N y
M
· · F
F
N
M
K o
· · F
y
x
· ·
M
M
· ·
F
o N x
l
N
l
﹒ ﹒ ﹒
o
y
图象 y
开口方向
标准方程
焦点
准线
x
向右 向左
y 2 2 px ( p 0) y 2 px
2
p F ( , 0) 2 p F ( , 0) 2 p F (0, ) 2 p F (0, ) 2
2
· · F
x
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程.
y
其中 p 为正常数，它的几何 意义是:焦点到准线的距离. K o
N
M
· · F
x
对“标准”的理解 y2 = 2px（p＞0）
l y
MNBiblioteka · · FN K o
M
· · F
x
一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴 上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程. 但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位 置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还 有其它形式.
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
o
x
( p 0) x 2 2 py ( p 0) x 2 2 py ( p 0)
y
o
x y
向上
﹒
o
x
向下
抛物线的标准方程
想 一 想 ？
怎样把抛物线的位置特 征（标准位置）和方程特 征（标准方程）统一起来？
抛物线的标准方程
抛物线标准方程公式
抛物线标准方程公式
抛物线是一种几何图形，它的标准方程是y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数，x是变量。
抛物线的形状取决于a的值，当a>0时，抛物线是一个开口向上的曲线；当a<0时，抛物线是一个开口向下的曲线。
b和c的值决定了抛物线的位置，当b=0时，抛物线的顶点在原点；当b≠0时，抛物线的顶点在(b/2a,c-b2/4a)处。
抛物线的应用非常广泛，它可以用来描述物体的运动轨迹，如抛物线可以用来描述一个物体以恒定的加速度从一个高度抛出后的运动轨迹。
此外，抛物线也可以用来描述热能传递的过程，如抛物线可以用来描述一个物体在不同温度下的热能传递过程。
抛物线的标准方程是一个非常重要的数学公式，它可以用来描述物体的运动轨迹和热能传递的过程，因此在物理学、力学和热学等领域都有着广泛的应用。
抛物线标准方程四种形式
抛物线标准方程四种形式
抛物线的标准方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的距离。
标准方程为：y²=2px（p>0）；y²=-2px（p>0）；x²=2py（p>0）；x²=-2py（p>0）。
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的平面曲线形状，它形似一条弯曲的碗，也可以理解为一弹出物飞行时所经过的曲线。
抛物线有许多重要的应用，如机械运动、射击学、光学和电子学等领域。
本篇文章将介绍抛物线的定义及其标准方程。
一、抛物线的定义抛物线可以由一个固定点(称为焦点)和一条直线(称为准线)所确定。
以焦点为原点，以准线到焦点的垂线长度为 x 轴的正半轴，则抛物线的反比例距离与该垂线长度成正比。
抛物线的几何性质：1. 抛物线有轴线对称性。
2. 抛物线的定点为焦点。
3. 抛物线上各点P到准线的距离等于该点到焦点的距离。
4. 抛物线上的点P到焦点F的距离等于P到直线的距离。
二、抛物线的标准方程为了描述抛物线更加方便，我们引入直角坐标系，坐标系原点是焦点，x 轴是准线，y 轴垂直 x 轴，向上取正。
设一个参数 p>0，焦点为 F(p,0)，准线为 x = -p，抛物线上任意一点 P(x,y) 到焦点的距离是：PF = √[(x-p)² + y²]抛物线上任意一点 P 到准线 x=-p 的距离是：PD = |x+p|由于抛物线上各点到焦点的距离等于该点到直线的距离，因此：PF = PD将 PF 的表达式代入，得：√[(x-p)² + y²] = |x+p|平方两边，得：(x-p)² + y² = (x+p)²化简得到标准方程：y² = 4px这个方程被称为抛物线的标准方程。
其中参数 p>0 决定了焦点与准线之间的距离。
若正抛物线，焦点在 y 轴下方；若负抛物线，焦点在 y 轴上方。
标准方程的性质：1. 抛物线的顶点位于原点。
2. 抛物线开口方向由参数 p 确定：当 p > 0 时，抛物线向右开口，当 p < 0 时，抛物线向左开口。
3. 抛物线的对称轴为 y 轴。
抛物线在实际应用中具有广泛的应用，如光学中的抛物面镜头、瞬时动作线、射流的发射、弹道轨迹以及天体运动等。
抛物线标准方程
p y 2
x 2 2 py p 0
p 0, 2
y
p 2
怎样把抛物线位置特征 （标准位置）和方程的特 点（标准方程）统一起来？
顶 点 在 原 点
对称轴 为x轴
标准方程为 y2=+ 2px
开口与x轴同向: y2=+2px 开口与x轴反向: y2=-2px
(p>0)
1、建系、设点 2、写出适合条件P的点M的集合 3、列方程
4、化简 5、（证明）
二、标准方程
l N
M
· · F
如何建立直角 坐标系？
二、标准方程
设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设动点M的坐标为（x，y）， l N
y
M
由定义可知，
K o
· · Fxp 2来自2 p ( x ) y | x | 2 2
开口与x轴正向反向:y2=-2px
开口与y轴正向同向:x2=2py
开口与y轴正向反向:x2=-2py
3. 已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时， 应先“定位”；后“定量”。
对称轴 为y轴
标准方程为 x2=+ 2py
开口与y轴同向: x2=+2py 开口与y轴反向: x2=-2py
(p>0)
如何确定抛物线对称轴及开口方向
一次项变量对称轴，开口方向看正负
例1
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
(1)y2=6x （2）2x2+5y=0
(3)x=ay2(a≠0)
例2
根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点坐标是F（0，-2） (2)焦点在直线3x-4y-12=0上 (3) 抛物线过点A（-3，2）。
抛物线的标准方程及性质
抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想： 定义中的定点与定直线有何位置关系？点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P 〉0 求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴 设︱KF ︱= p 则F （0,2p ）,l ：x = —2p 。
设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 ｜MF|=｜MN| 即：2)2(22px y P x +=+-化简得 y 2 = 2px （p ＞0) 二、标准方程把方程 y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （2P ，0)，l ：x = — 2P而p 的几何意义是： 焦 点 到 准 线 的 距 离｜FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
1．四种抛物线的标准方程对比图形 标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=p px y⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=)0(22>-=p px y⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=)0(22>-=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来? 顶点在原点三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则（1）范围：抛物线上的点(x ，y ）的横坐标x 的取值范围是x ≥0。
，在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.(3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程抛物线是一种常见的二次曲线，它在数学和物理学中都有着重要的应用。
在本文中，我们将讨论抛物线的标准方程，以及如何通过标准方程来描述和分析抛物线的特性。
首先，让我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是指平面上所有到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
这个定点和定直线分别称为焦点和准线。
抛物线是一种对称图形，其轴是垂直于准线的直线，过焦点并与准线垂直的直线称为对称轴。
接下来，我们来看一下抛物线的标准方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以写成：y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c是常数，且a不等于0。
这个方程描述了抛物线在坐标系中的形状和位置。
具体来说，a决定了抛物线的开口方向，正值表示抛物线开口向上，负值表示抛物线开口向下；b决定了抛物线在x轴上的平移；c决定了抛物线在y轴上的平移。
在实际应用中，我们经常需要根据给定的抛物线的顶点和焦点等信息来确定其标准方程。
例如，如果已知抛物线的顶点坐标为(h, k)，则可以通过平移变换将抛物线平移到以原点为顶点的位置，然后再根据焦点的位置确定a的值，最终得到抛物线的标准方程。
除了标准方程之外，抛物线还可以用其他形式的方程来描述，例如顶点形式和焦点形式。
这些形式的方程在不同的情况下可能更加方便和直观，因此在实际问题中也经常会用到。
最后，让我们来看一些抛物线的性质。
抛物线是一种平滑的曲线，其在顶点处有最值，且关于对称轴对称。
这些性质使得抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在抛物线运动和抛物面天线的设计中。
总之，抛物线是一种重要的曲线，在数学和物理学中都有着广泛的应用。
通过标准方程，我们可以描述和分析抛物线的各种特性，从而更好地理解和应用抛物线的知识。
希望本文能够帮助读者更好地理解抛物线的标准方程及其应用，同时也希望读者能够进一步深入学习和研究抛物线的相关知识。
抛物线的四种标准方程公式
抛物线的四种标准方程公式
抛物线，即参数方程，在建筑中体现的非常明显，著名的几何体之声，也就是
抛物线的发展，系几何学的一种抽象化的发展，一般有三种形式存在。
其中，四种标准抛物线的公式是：
第一种：y= ax^2 +bx+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第二种：y= a(x-h)^2+k，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第三种：x= ay^2+by+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
最后一种：x= a(y-h)^2 +K，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该
抛物线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入。
以上四种抛物线，是建筑中最基本的几何体，它们经常在建筑物中呈现，而一
些拥有非常令人惊叹的建筑作品便是基于这些抛物线原理才能营造出如此震撼的空间感。
举个例子，早期的拱顶，当时人们通过抛物线的参数公式，将多边形表面张开，就形成了一个完美的拱顶，而它的几何体也就凝结成了抛物线的形式。
因此，抛物线参数方程的高级应用，使建筑领域有了一定的蓬勃发展，可以运
用到多边形，穹顶，立体几何，甚至到三维空间中都是被做到的，它是建筑发展过程中最重要的几何加工机制。
在建筑专业中，抛物线参数方程被广泛用于建筑设计，艺术形象分析等方面，使建筑设计更加精致独特，更加丰富多彩。
9、抛物线的定义及标准方程
x
抛物线的特征：
顶点，对称轴，开口方向（左右，上下） 除了以上的几个特征，还有什么特点呢？
d: 表示 动点 M 到 直线 l 的 距离 |MF|: 表示 动点 M 到 定点 F的距离 y
d
o
பைடு நூலகம்
M
|MF|=d
F
x
抛物线的特点： 抛物线上的任意一点，
定义
到其焦点的距离 等于 到其准线的距离。 d:表示动点M到 准线 直线l 的距离 |MF|:表示动点M到定点 焦点F 的距离 准 |MF|=d 线 y
2、一个动点 P 到点（3,0）的距离比它到直线 x 2 的距离大 1，求该 动点 P 的轨迹方程。
3、抛物线 y2 4x 上的一点Ｍ的到焦点的距离为 1，求点 M 的纵坐标。 思考： 4、 已知 P 为抛物线 记 y 2 4x 上一点，
P 到此抛物线的准线的距离为 d1 ，
P 到直线 x 2 y 12 0 的距离为 d2 ，求 d1 d2 的最小值。
（3）已知点P为抛物线 y
2
2x上的一个动点，
17 2
。
则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线
的距离之和的最小值为
例2：定义法求轨迹方程
1.已知动圆Ｍ经过点A（3,0），且与直线l: x
相切，求动圆圆心Ｍ的轨迹方程。 2.已知动圆Ｍ与直线 y
3
2相切，且与 2 2 x ( y 3) 1外切，求动圆 定圆C：
1 (2)焦点的非零坐标是一次项系数的 倍， 4 1 准线方程中等式右边是一次项系数的 倍。 4
（3）P 为 焦准距（焦点到准线距离）
y 20 x x为一次项 x 5 (5, 0) 右 开口方向 ，焦点 ，准线方程 ；
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2．4.1 抛物线的标准方程
【学习要求】
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．2．会求简单的抛物线的方程．
【学法指导】
通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程．通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
课前预习
1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)__________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线标准方程的几种形式
图形标准方程焦点坐标准线方程
学生活动
问题1结合抛物线定义，想一想怎样求抛物线的标准方程？
问题2抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？
活动一由抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程
例1已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；
(3)y＝4x2；(4)y2＝a2x (a≠0)．
小结 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
跟踪训练1 (1)抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为____________．
(2)抛物线y ＝－14
x 2的准线方程是________．
活动二 求抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y ＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．
小结 求抛物线方程的主要步骤都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p 值，从而求出方程．
常用方法有两种：
(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程．
(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值．
跟踪训练2 (1)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为_________________．
(2)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程．
活动三 抛物线定义及标准方程的应用
例3 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12
. (1)求点M 的轨迹方程；
(2)是否存在M ，使MA ＋MF 取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
小结 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．
(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．
跟踪训练3 (1)抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．
(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是___．
课堂检测
1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为__________．
2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p 2
)，则点M 的横坐标是________． 3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．
4．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________．
课堂小结
1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上．
2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝my (m ≠0). 自我检测
1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________． 2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是__________．
3．双曲线x 24－y 212
＝1的焦点到渐近线的距离为________． 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.
5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．
6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为____________．
7．已知双曲线C ：x 24－y 2
m
＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是________． 8．已知圆C 过双曲线x 29－y 2
16
＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
9.如图所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲
线的离心率为______．
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x 216－y 2
4
＝1有公共焦点，且过点(32，2)．
11．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
12．求证：双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．
13．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c
，求该双曲线的离心率的取值范围．。