抛物线及其标准方程(公开课级课件)
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《抛物线及其标准方程》省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内; 2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心; 3.抛物线只有一种顶点、 一种焦点、一条准线; 4.抛物线旳离心率是拟定旳,为1;
y
P(x, y)
o F( p ,0) x
2
补充（1）通径： 经过焦点且垂直对称轴旳直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点旳线段叫做抛物线旳通径。
2
⑵有两个公共点
k 0 △ 16(2k 2 k 1) 0
1 k 0, 或0 k 1 2
⑶没有公共点
k 0 △ 16(2k 2
k
1)
0
k
1,
或k 1 2
综上所述
当k 1,或k 0,或k 1 时,直线与抛物线只有一个公共点; 2
当 1 k 0或0 k 1 时,直线与抛物线有两个公共点; 2
解:因焦点在y轴旳负半轴上,且p=4,故其原则 方程为:x 2= - 8y
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线旳原则方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线旳距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
4
O
x
当焦点在x轴旳负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
∴抛物3线旳原则方程为x2
=
9
y或y2
=
4
x
。
2
3
思索题、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
抛物线及其标准方程优质课-PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
代入解得 p 1 故所求方程为 y2 2x 或 x2 2 y
(3)原则方程为
y2
2 px ，由
p1得
24
p1 2
，
所求方程为 y2 x
(4)焦点是直线x+y+1=0与坐标轴旳交点, 故 F (0, 1)
或F ( 1, 0) ，所以
y2 4x
p 2
1,
p
2
，故方程为
x2
4 y
或
例2 一种卫星接收天线的轴 截面如图2.3
的抛物线的标准方程?
y
y
OF x
x
FO
y2=2px
想一想
如右图所示，两抛物线 有关y轴对称,只需在 y2 2 px 中以-x 代换x即可.
M y2 2 px
M' y2=2px
思索
请根据前面求出旳抛物线旳原则方程完毕下表:
图形
• 原则方 程
y2 2 px
p 0
焦点坐标 准线方程
p ,0 2
3 1 所示.卫星波束呈近似平行状 态射入轴
截面为抛物线的接收天 线,经反射聚集到焦
点处 .已知接收天线的口径 直径为 4.8m,深
度为0.5m,求抛物线的标准方程和 焦点坐标 . y A
1
图2.3 3
O
Fx
B
2
y
解 如图2.3 3 2,在接收天
A
线的轴截面所在平面内建立
直角坐标系,使接收天线的顶 O
例3 根据已知条件，求抛物线旳原则方程.
(1)焦点坐标为 F 0,2 (2)经过点(2 , 2)
(3)准线方程为 x 1 (4)焦点在直线x+y+1=0
抛物线及其标准方程(优秀课件)
抛物线与圆的 焦点与准线： 对于抛物线， 焦点在准线上； 对于圆，焦点
在圆外
抛物线与圆的 离心率：对于 抛物线，离心 率恒为1；对 于圆，离心率
恒为0
抛物线的应用与拓展
第七章
抛物线在几何中的应用
● 定义与性质：抛物线是一种特殊的二次曲线，具有对称性和准线等性质。 ● 方程与标准形式：抛物线的方程有多种形式，其中最常用的是标准方程y^2=4px。 ● 焦点与准线：抛物线的焦点位于其对称轴上，准线则是垂直于对称轴的直线。 ● 离心率：抛物线的离心率始终为1，这是其与椭圆和双曲线的重要区别。 ● 焦半径公式：对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离PF等于到准线L的距离PL。 ● 焦点弦长公式：对于抛物线上的任意两点AB，其到焦点的距离之和AF+BF等于到准线的距离之和AL+BL。 ● 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点的射影垂直，且切线斜率等于该点横坐标的平方根。 ● 切线方程：抛物线上任意一点的切线方程可以表示为y=kx^2，其中k为切线斜率。 ● 切线与准线的关系：抛物线上任意一点的切线与准线平行，且切线与准线的距离等于该点到焦点的距离。 ● 切线与直线的交点：抛物线上任意一点的切线与过该点的直线交于一点，该点坐标为(x0,y0)。
抛物线及其标准方 程
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 抛物线的定义与性质 03 抛物线的标准方程 04 抛物线的几何意义与图像特征 05 抛物线与直线的关系
06 抛物线与圆的关系
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汇报人：PPT
第一章
抛物线的定义与性质
3.3.1抛物线及其标准方程(PPT)课件(人教版)
1．抛物线 y＝41x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A 解析：因为 y＝41x2⇔x2＝4y，所以抛物线的准线方程是 y＝
－1.
2．顶点在原点，焦点是 F(0，3)的抛物线标准方程是( ) A．y2＝12x B．x2＝12y C．y2＝112x D．x2＝112y
解： (1)由于点 M(－6，6)在第二象限， 所以过点 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y2＝－2px(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝－2p×(－6)，所以 p＝3. 所以抛物线的方程为 y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝2p×6，所以 p＝3， 所以抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
3．已知动点 P(x，y)满足 （x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋45y－10|， 则点 P 的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 D 解析：由题意知，动点 P 到定点(1，2)和定直线 3x＋4y－10 ＝0 的距离相等，又点(1，2)不在直线 3x＋4y－10＝0 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1．已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3，4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
2 5 解析：由题意可知点 A(3，4)在抛物线的外部． 因为|PA|＋|PF|的最小值即为 A，F 两点间的距离，F(1，0)， 所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝ 42＋22＝2 5， 即|PA|＋|PF|的最小值为 2 5.
抛物线及其标准方程 课件
(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
抛物线及其标准方程(第一课时公开课课件
都不是，因为不满足椭圆和双曲线的定义
这条曲线叫抛物线
一、定义
前提： 1、平面内
2、定点不在定直线上 L
平面内到一个定点F和一条定直线 l 的 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。
N
M
· F ·
定点到定直线的距离叫焦准距
, 则点 M的轨迹是抛物线。 =︳ MF ︳ 即: 若 ︳ MN ︳
二、标准方程
想一想
椭圆和双曲线都有两条对称轴， 我们以这两条对称轴为坐标轴，可以 建立平面直角坐标系。而抛物线只有 一条对称轴，我们以这条对称轴作为 一条坐标轴，那么另一条坐标轴如何 选择才使方程最简？ N
l
M
· · F
二、标准方程
如图，建立直角坐标系： l N K o
设︱KF︱= p (p>0) p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y），
抛物线及其标准方程
分类探究
1、当定点F在定直线L上时，到定点F的距离等 于到定直线L的距离的点的轨迹会是什么图形？
l
∟F
·
2、当定点F不在定直线L上时，到定点F的距离 等于到定直线L的距离的点的轨迹会是什么图形？
L
M
∟
∟ ∟
N
· · · ·P ·· F · · · ·
抛物线
这是一条什么曲线？
是椭圆？是双曲线的一支？
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p= 当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px， 得p=
．
A
y
O
x
2 ∴抛物线的标准方程为x =
《抛物线及其标准方程》教学课件PPT
x= 2
p F (0, )
2 y=- p
2
F (0, -
p )
2
p y=
2
抛物线的标准方程有何特征？
1、左边是二次项且系数是1，右边是一次项， 无常数项
2、一次项变量决定了焦点位置，一次项系 数符号决定了开口方向。
1 3、焦点的非零坐标是一次项系数的 4
二次函数 y ax2 (a 0) 的图像为什么是抛物线？
不能作为二次函数的图象来研究了．今天， 我们突破函数研究中这个限制，从更一般
意义上来研究抛物线．
思考：
平面内与一个定点F的距离和
一条定直线l的距离的比是常数e
的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆
（ P47 例6），当e＞1时是双曲
线（ P59 例5），那么当e=1时，
它又是什么曲线？
抛物线的形成.gsp
一、定义
立直角坐标系（如下图所示），则定点F(0, 0) ，L 的方程
为x p
设动点 M (x, y)，由抛物线定义得
x2 y2 x p
y p 2
2
化简得： 2 px ( p 0)
二、标准方程的推导
y
解法三：以过F且垂直于 l 的直
M(x,y) 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点
Ko F
O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
焦点的坐标是 (2.88,0)
通过本节课的学习，你有什么收 获？
课堂小结： 1、抛物线的定义； 2、抛物线的标准方程及四种形式； 3、抛物线及其标准方程的运用。
作业：P73 A组4、7、8题
（1）y2 = 20x （3）2y2 +5x =0
（2）x2= 1 y 2
（4）x2 +8y =0
p F (0, )
2 y=- p
2
F (0, -
p )
2
p y=
2
抛物线的标准方程有何特征？
1、左边是二次项且系数是1，右边是一次项， 无常数项
2、一次项变量决定了焦点位置，一次项系 数符号决定了开口方向。
1 3、焦点的非零坐标是一次项系数的 4
二次函数 y ax2 (a 0) 的图像为什么是抛物线？
不能作为二次函数的图象来研究了．今天， 我们突破函数研究中这个限制，从更一般
意义上来研究抛物线．
思考：
平面内与一个定点F的距离和
一条定直线l的距离的比是常数e
的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆
（ P47 例6），当e＞1时是双曲
线（ P59 例5），那么当e=1时，
它又是什么曲线？
抛物线的形成.gsp
一、定义
立直角坐标系（如下图所示），则定点F(0, 0) ，L 的方程
为x p
设动点 M (x, y)，由抛物线定义得
x2 y2 x p
y p 2
2
化简得： 2 px ( p 0)
二、标准方程的推导
y
解法三：以过F且垂直于 l 的直
M(x,y) 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点
Ko F
O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
焦点的坐标是 (2.88,0)
通过本节课的学习，你有什么收 获？
课堂小结： 1、抛物线的定义； 2、抛物线的标准方程及四种形式； 3、抛物线及其标准方程的运用。
作业：P73 A组4、7、8题
（1）y2 = 20x （3）2y2 +5x =0
（2）x2= 1 y 2
（4）x2 +8y =0
《数学课件：抛物线及其标准方程》课件
特点
抛物线具有单一焦点，无端点，无尽头的特点。
抛物线的几何表达式
顶点坐标 (h, k) 焦点坐标 (h, k + 1/4a) 准线方程 y = k - 1/4a
解释 抛物线顶点的坐标为(h, k)。 解释 抛物线焦点的坐标为(h, k + 1/4a)。 解释 抛物线的准线方程为y = k - 1/4a。
抛物线标准方程的推导
1
第一步：焦点定点坐标
利用焦点和定点的坐标求出常数h和k 。
2
第二步：焦距
焦距为常数a。
3
第三步：标准方程
利用焦点、焦距和准线方程推导出标准方程。
抛物线标准方程的分析
h的影响
h值决定了抛物线的顶点在x轴 上的位置。
k的影响
k值决定了抛物线的顶点在y轴 上的位置。
a的影响
a值决定了抛物线的开口方向和 形状。
抛物线的形状被用于设计桥 梁、天桥和汽车跑道，以提拱门和圆顶被 广泛应用于建筑设计中，以 实现优美和均衡的结构。
总结和回顾
抛物线是一个具有许多有趣性质和广泛应用的数学曲线。通过学习抛物线的 定义、性质、几何表达式和标准方程，我们可以更好地理解和应用它。 感谢您的关注和学习！
数学课件：抛物线及其标 准方程
本课件将介绍抛物线的定义和性质，抛物线的几何表达式以及推导抛物线标 准方程，分析其应用场景举例，并总结回顾所学内容。
抛物线的定义和性质
定义
抛物线是由平面上到定点（焦点）和定直线（准线）的距离相等的点构成的曲线。
性质
抛物线对称于准线，且焦点到准线距离的垂线经过焦点。其形状与焦点到准线距离的比例有 关。
抛物线与其他曲线的关系
椭圆
抛物线是椭圆的一种特殊情况，其 离心率为1。
抛物线及其标准方程优秀课件
其中 p 叫焦参数，它的几何 意义是:焦点到准线的距离.
·
·
K
F
M
N
o
y
x
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程还有哪些形式? 想一想？ 其它形式的抛物线的焦点与准线呢？
图象
开口方向
标准方程
焦点
准线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向右
向左
向上
向下
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
焦点坐标
焦点位置判断
看指数，谁的指数为1，就在谁那
（2）准线方程 是x =
（3）焦点到准线的距离是2
解：y2 =12x
解：y2 =x
解：y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y
注重分类讨论的思想
注重树形结合的思想
抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
抛物线的标准方程及其焦点、准线
（0，—）
1
8
y= － —
1
8
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，－2）
y= 2
注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式
先定位(焦点位置)， 后定量（P的值）
已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程
反思研究
知识巩固二：
例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）
l
F
M
N
·
·
建系
列式
化简
设点
二、标准方程的推导
·
·
K
F
M
N
o
y
x
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程还有哪些形式? 想一想？ 其它形式的抛物线的焦点与准线呢？
图象
开口方向
标准方程
焦点
准线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向右
向左
向上
向下
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
焦点坐标
焦点位置判断
看指数，谁的指数为1，就在谁那
（2）准线方程 是x =
（3）焦点到准线的距离是2
解：y2 =12x
解：y2 =x
解：y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y
注重分类讨论的思想
注重树形结合的思想
抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
抛物线的标准方程及其焦点、准线
（0，—）
1
8
y= － —
1
8
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，－2）
y= 2
注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式
先定位(焦点位置)， 后定量（P的值）
已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程
反思研究
知识巩固二：
例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）
l
F
M
N
·
·
建系
列式
化简
设点
二、标准方程的推导
抛物线及其标准方程 课件
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
p的几何意义是: 焦点到准线的距离
焦点坐标是 ( p , 0) , 2
p 准线方程为: x
2
y .M(X,y)
O
.
F
x
l
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
是 (2.88,0)
（1）变量x(y)的幂次谁是一次，则焦点在谁上;
（2）一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.
抛物线焦点位置及开口方向的判断
“焦点位置看幂次，开口方向看正负”
y2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
p的几何意义是: 焦点到准线的距离
想一焦点想坐:标坐是标(系2p的, 0建) ,立准还线有方没程有为其: 它x 方案2p也
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程的形式如此简单 ？
y
y
y
ox
ox o x
y
o
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标
( p ,0) 2
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系， 使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
设抛物线的标准方程是 y2 2 px( p 0) ， y
由已知条件
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
7
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p
p
,m ，
2
因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p
p
,m ，
2
因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
抛物线的标准方程(公开课课件)PPT课件
即 2p＝136，2p1＝94.
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∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)由题意，可设抛物线的方程为 y2＝2px(p ＞0)． A(3，m)到焦点距离为 5，∴p2＋3＝5.即 p＝ 4. ∴所求抛物线方程为 y2＝8x.
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【点评】 求抛物线标准方程时，若抛物线 的焦点位置不确定，则要分情况讨论；另外，
学习目标
1.理解抛物线的定义，明确焦点、准线的概念； 2.了解用抛物线的定义推导开口向右的抛物线的标准 方程的推导过程，进一步得出开口向左、向上、向下 的抛物线的标准方程； 3. 熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开 口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系。
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生活中的抛物线
桥梁
∴m＝±2 6.
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考点二、 抛物线定义的应用
抛物线的定义可以实现到定点的距离与到定 直线距离的转化，利用这种等价性可以解决 相关的问题．
例2
求证：以抛物线的焦点弦(通过焦
点的弦)AB为直径的圆与抛物线的准线l相
切．
【思路点拨】 解答本题可结合抛物线的定
义，分析各线段与圆的半径的关系．
时，可将抛物线方程设为y2＝ax(a≠0)，此 时焦点在x轴上；(或x2＝ay(a≠0)，此时焦 点在y轴上，)再根据条件求a，若a>0，则 开口向右(上)；若a<0，则开口向左(下)．
(2)焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点，其 方程才具有标准形式，否则应用定义法或转 化法求抛物线的方程．
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∴P(2,2)．
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3.3.1抛物线及其标准方程 课件(可编辑图片版)(共35张PPT)
4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的 点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有
2＋
p 2
＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝
16.∴m＝±4.
答案：±4
题型一 求抛物线的标准方程 探究 1 直接法求抛物线方程 例 1 (1)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离 等于 3 的抛物线的标准方程是( ) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y
3.3.1抛物线及其标准方程
[知识要点]
要点一 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的 点的轨迹叫做__抛__物__线__．点 F 叫做抛物线的__焦__点____，直线 l 叫做 抛物线的_准__线___．
【方法技巧】(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一 个动点，设为 M；一个定点 F 叫做抛物线的焦点；一条定直线 l 叫 做抛物线的准线；一个定值，即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离之比等于 1.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距 离．( √ ) (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是 抛物线．( × ) (3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物 线才具有标准形式．( √ ) (4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写 成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( √ )
受二次函数的影响，误以为 y 根据抛物线方程求准线方程时，应
抛物线及其标准方程 课件
[规律方法] 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离 等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互 转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值 时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[规律方法] 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系． (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2＝mx 或 x2＝ny，这样可以 减少讨论情况的个数． (3)注意 p 与p2的几何意义．
抛物线的定义的应用
例 2、(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M(m， －3)到焦点的距离为 5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程．
(2)已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x2＝2my(m≠0)，由焦点到准 线的距离为 5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标 准方程分别为 x2＝10y 和 x2＝－10y.
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为 y2＝－ 2px(p>0)或 x2＝－2py(p>0)．
抛物线及其标准方程
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫 做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线． 思考 1：抛物线的定义中，若点 F 在直线 l 上，那么点的轨迹是什么？
[提示] 点的轨迹是过点 F 且垂直于直线 l 的直线．
[思路探究]
(1)(2)
由题意可确 定方程形式
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2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为( B) (A)1/8 (B)-1/8 (C)8 (D)-8
3．设 a 0 , a R ,则抛物线 y 4ax 2 的焦点坐标是（ C） A. a , 0 B. 0, a
1 C. 0, 16a 1 D. 0, 16a
课堂小结:
1.知识层面： 抛物线的定义、焦点、准线；四种标准方程 2.思想方面层面：
分类讨论、数形结合
y=ax2+bx+c
o
x
例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2 = 6x (2)x2 = -20y (3)2y2 +5x =0 (4)y=4x2
1 2 x 的焦点坐标和准线方程 变式：求抛物线 y 4a
小结：抛物线 mx的焦点坐标和准线方程 y ？
2
m m ,0 ，x 4 4
p 焦点坐标是 ( , 0) , 2
准线方程为:
p x 2
想一想: 椭圆和双曲线依据焦点位置的不同可以得到两 种标准方程，抛物线呢？
y
y
y2=2px
O F
x2=2py
x
F O l
y l O
x
l
y
y2=-2px
x
F O
x
F
x2=-2py
l
y
y
y
y l O
图
F
x
F
O
F
O
x
x
F O l
形
l
x
l
标准方程
例2．求分别满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F（－5，0） （2）焦点到准线的距离为１ （3）焦点在直线3x－4y－12＝0上 （4）经过点A（2，－3）
定位定型定量
课堂练习：
1.平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x 2 y 3 距离相 等的点的轨迹为( A ) (A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆
d MF ( F l )
准线
二、抛物线的标准方程:
设F 到 l 的距离为p，试建立恰当坐标系，求 出抛物线方程
yyy
l
M
y 2 px p
2
2
H
·
C
xxx
y 2 px p
2
2
0 0 0·
F
y 2 px
2
y 2 px
2
抛物线的 标准方程
y
l
H
M
·
C
x
0
·
F
p的几何意义是: 焦准距
焦点坐标 准线方程
y2=2px
p F ( ,0 ) 2 p x =2
y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2
x2=2py
p F ( 0, ) 2 p y =2
x2=-2py
p F (0, - ) 2 p y= 2
一次定焦点，正负定方向
如何由抛物线的标准方程确定焦点位置和开口方向？
为什么二次函数的图像抛物线，那么到 底什么是抛物线？抛物线是怎么定义的呢？它的 方程如何？为什么说二次函数的图像是抛物线？
抛物线及其标准方程
临安中学 陈伟军
几何画板
请结合抛物线的生成过 程，表述抛物线的定义 一、抛物线的定义:
l
H
d
M
·
C
焦 点
·
F
平面内,与一个定点F和一 条定直线l(l不经过点F)的距 离相等的点的轨迹叫抛物线.