抛物线及其标准方程-课时作业
课时作业11：2.3.1 抛物线及其标准方程
§2.3 抛物线2．3.1 抛物线及其标准方程一、选择题1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标 答案 B解析 ∵y 2＝－8x ，∴p ＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1) 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2.由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，它与圆相切，所以必有3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，p ＝2. 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 考点 抛物线定义题点 由抛物线定义求距离 答案 B解析 由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6. 5．过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程 答案 C解析 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x 2＝12y .6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，且点A (－2,3)在准线上，故－p 2＝－2，解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x ，焦点F 的坐标为(2,0)，这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.7．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3D ．4考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求三角形面积 答案 C解析 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而纵坐标y P ＝±2 6. ∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.二、填空题8．若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a ＝________. 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 －18解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay .∵准线方程为y ＝2，∴a <0且－14a ＝2，∴a ＝－18.9．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为________．考点 圆锥曲线的综合应用 题点 圆锥曲线的综合应用 答案6解析 由题意知，左焦点为⎝⎛⎭⎫－p 2，0，则c ＝p 2. ∵a 2＝3，b 2＝p 24， ∴3＝p 24＋p 24，得p ＝ 6.10．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________． 考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标 答案1516解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116.由于点M 到焦点的距离为1，所以点M 到准线的距离也为1，所以点M 的纵坐标等于1－116＝1516.11．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.考点 圆锥曲线的综合应用 题点 圆锥曲线的综合应用 答案 4解析 由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2p216＝1，由此c 2＝3＋p 216，左焦点为⎝⎛⎭⎫－3＋p 216，0， 由y 2＝2px 得准线为x ＝－p2，∴－ 3＋p 216＝－p 2， ∴p ＝4. 三、解答题12．如图所示，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A ，B 都在抛线C 上，且FB →＝2OA →，求点A 的坐标． 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义求点的坐标解 (1)依题意，可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，其准线l 的方程为y ＝－p2.∵准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，∴圆心(0,0)到准线l 的距离d ＝0－⎝⎛⎭⎫－p2＝1， 解得p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1，①x 22＝4y 2，②由题意得F (0,1)， ∴FB →＝(x 2，y 2－1)，OA →＝(x 1，y 1)， ∵FB →＝2OA →，∴(x 2，y 2－1)＝2(x 1，y 1)＝(2x 1,2y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1＋1，代入②得4x 21＝8y 1＋4， 即x 21＝2y 1＋1，又x 21＝4y 1，所以4y 1＝2y 1＋1，解得y 1＝12，x 1＝±2，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，12或⎝⎛⎭⎫－2，12. 13．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若点B 的坐标为(3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． 考点 抛物线的定义 题点 由抛物线定义求最值解 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1.由抛物线的定义知，点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5. (2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±2 3.因为23>2，所以点B 在抛物线内部．过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知，|P 1Q |＝|P 1F |.所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4. 四、探究与拓展14．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．以上都对考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的应用答案 B解析 如图，取线段MF 的中点C ，作CE 垂直于抛物线的准线l 于点E ，则|CE |＝12(|MF |＋p )＝12|MF |＋p 2， 所以|CD |＝|CE |－p 2＝12|MF |，所以MF 的中点C 到y 轴的距离等于|MF |的一半．15．已知曲线C 上的任意一点到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等． (1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|F A |＝2，|FB |＝5，求原点O 到直线AB 的距离． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程解 (1)因为曲线C 上任意一点到点F (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等， 所以曲线C 的轨迹是以F (1,0)为焦点的抛物线， 且p2＝1，所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)由抛物线的定义结合|F A |＝2可得，A 到准线 x ＝－1的距离为2，即A 的横坐标为1，代入抛物线方程可得y ＝2， 即A (1,2)，同理可得B (4，－4)，故直线AB 的斜率k ＝2－(－4)1－4＝－2，故AB 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0， 由点到直线的距离公式，得原点O 到直线AB 的距离为|－4|22＋12＝455.。
课时作业10：2.3.1抛物线及其标准方程
2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1.已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是()A.5B.4C.3D.25.一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点()A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(4,0)二、填空题6.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.三、解答题9.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过x2a2-y2b2=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(32,√6),求抛物线和双曲线的方程.10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.11.已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|P A|的值最小.参考答案1. D【解析】由条件可知p 2=7,即p =14.∵准线方程为x =-7,∴焦点是x 轴正半轴上的(7,0)点,故方程为y 2=28x .2. D【解析】由y 2=ax 的准线方程为x =-a 4得,-a4=1, ∴a =-4,从而抛物线方程为y 2=-4x ,其焦点为(-1,0).3. D【解析】圆x 2+y 2-2x +6y +9=0的圆心为(1,-3),设抛物线方程为y 2=ax 或x 2=by ,把(1,-3)代入并解得a =9,b =-13,∴方程为y 2=9x 或y =-3x 2. 4. A【解析】由题知抛物线的准线方程为x =-3,设P (x ,y ),则x +3=8,∴x =5.5. C【解析】∵y 2=8x 的准线方程为x =-2,且动圆的圆心在抛物线上.根据抛物线的定义,动圆圆心到直线x =-2的距离等于到焦点的距离,∴动圆必过定点即焦点(2,0).6. 1516 【解析】抛物线y =4x 2的焦点坐标为(0,116),设M (x 0,y 0),则{y 0=4x 02,√x 02+(y 0−116)2=1,解得y 0=1516. 7. 2或-14【解析】∵抛物线方程为y 2=2px ,∴其焦点在x 轴上,又∵圆(x -3)2+y 2=16与x 轴的交点为(-1,0)和(7,0),由题意知准线方程为x =-1或x =7,即焦点为(1,0)或(-7,0),∴p2=1或-7,解得p =2或-14.8. 2√6【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为x 2=-2py (p >0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x 2=-2y ,当y =-3时,x 2=-2×(-3)=6,所以x =±√6,水面宽是2√6米.9.解 设抛物线方程为:y 2=2px (p >0),将点(32,√6)代入方程得p =2,所以抛物线方程为:y 2=4x .准线方程为:x =-1,由此知道双曲线方程中:c =1;焦点为(-1,0),(1,0),点(32,√6)到两焦点距离之差为2a =1,∴双曲线的方程为:x 214-y 234=1.10.解 方法一:设点P 的坐标为(x ,y ),则有√(x −1)2+y 2=|x |+1.两边平方并化简,得y 2=2x +2|x |,所以y 2={4x,x ≥0,0,x <0,即点P 的轨迹方程为y 2={4x,x ≥0,0,x <0.方法二:由题意,动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1,由于点F (1,0)到y 轴的距离为1,故当x <0时,直线y =0(x <0)上的点适合条件;当x ≥0时,可以看作是点P 到点F (1,0)与到直线x =-1的距离相等,故点P 在以点F 为焦点,x =-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y 2=4x (x ≥0).综上,点P 的轨迹方程为y 2={4x,x ≥0,0,x <0.【误区警示】解答本题时,方法一中,距离很容易因忘加绝对值号而出错,方法二也很容易因思考不全面而漏掉x <0的情况.11.解 ∵(-2)2<8×4,∴点A (-2,4)在抛物线x 2=8y 的内部.如图,设抛物线的准线为l ,过点P 作PQ ⊥l 于点Q ,过点A 作AB ⊥l 于点B ,由抛物线的定义可知:|PF |+|P A |=|PQ |+|P A |≥|AQ |≥|AB |,当且仅当P ,Q ,A 三点共线时,|PF |+|P A |取得最小值,即为|AB |.∵A (-2,4),∴不妨设|PF |+|P A |的值最小时,点P 的坐标为(-2,y 0),代入x 2=8y 得y 0=12,故使|PF |+|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(-2,12).。
选修1-1抛物线及其标准方程课时作业
课时作业11 抛物线及其标准方程时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )A ．y 2＝94x B ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y【答案】 D【解析】 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p ，p ＝94；4＝6p ′，p ′＝23.2．(2014·安徽文)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B. y ＝－2C. x ＝－1D. x ＝－2【答案】 A【解析】 本题考查了抛物线的准线方程的求法．将y ＝14x 2代为标准形式：x 2＝4y 知准线方程为y ＝－1.解题关键是明确y 2＝2px 或x 2＝2py 中p 的几何意义．3．设定点M (3，103)与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，点P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，点P 坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2)D ．(18，－12)【答案】 C【解析】 连接PF ，则d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |≥|MF |，知d 1＋d 2的最小值是|MF |，当且仅当M ，P ，F 三点共线时，等号成立，而直线MF 的方程为y ＝43(x －12)与y 2＝2x ，联立求得x ＝2，y ＝2；x ＝18，y ＝－12(舍去)，此时，点P 的坐标为(2,2)． 4.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】 D【解析】 由于C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，连接PC 1，则PC 1⊥C 1D 1，即点P 到直线C 1D 1的距离即PC 1.因此，动点P 到定点C 1与定直线BC 的距离相等，依抛物线的定义知，动点P 的轨迹为抛物线．5．抛物线y ＝14a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A ．a >0时为(0，a )，a <0时为(0，－a )B ．a >0时为(0，a 2)，a <0时为(0，－a 2)C ．(0，a )D ．(1a ，0)【答案】 C【解析】 a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不论a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，故选C.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】 B【解析】 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎨⎧ y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．二、填空题(每小题10分，共30分)7．(2013·北京文)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．【答案】 2 x ＝－1【解析】 由p 2＝1知p ＝2，则准线方程为x ＝－p 2＝－1.8．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.【答案】 2【解析】 如图，设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2，∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.9．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使该抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)．【答案】 ②⑤【解析】 由抛物线方程y 2＝10x 知，它的焦点在x 轴上，∴②适合．又∵它的焦点坐标为F (52，0)，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可知k PO ·k PF＝－1，∴⑤也适合，而①显然不成立，通过计算可知③、④不合题意．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知抛物线的方程如下，分别求它们的焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝ax (a >0)；3x ＝2y 2.【分析】 先根据抛物线的标准方程，求出p ，然后写出焦点坐标和准线方程．【解析】 (1)由抛物线的标准方程y 2＝ax (a >0)知，2p ＝a .故p 2＝a 4.因此，所给抛物线的焦点为(a 4，0)，准线方程为x ＝－a 4.(2)把所给的抛物线方程变形为标准方程得y 2＝32x ，故2p ＝32，即p 2＝38.因此，所给抛物线的焦点为(38，0)，准线方程为x ＝－38.【规律方法】 根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化成标准方程，求出p 2的值，即可写出焦点坐标和准线方程．11．(13分)已知抛物线x 2＝4y ，P 是此抛物线上的动点，点A (12,6)，求点P 到点A 的距离与到x 轴的距离之和的最小值．【分析】 如图所示，由于x 轴平行于准线，|PF |和点P 到准线的距离d 相等，因此|P A |＋|PC |＝|P A |＋d －1＝|PF |＋|P A |－1.【解析】 将x ＝12代入x 2＝4y ，得y ＝36>6，∴A 在抛物线外部，抛物线焦点F (0,1)，准线l ：y ＝－1.过P 作PB ⊥l 于B ，交x 轴于点C ，则|P A |＋|PC |＝|P A |＋|PB |－1＝|P A |＋|PF |－1，由图可知当A ，P ，F 三点共线时，|P A |＋|PF |最小，∴|P A |＋|PF |的最小值为|F A |＝13.故|P A |＋|PC |的最小值为12.【规律方法】 本题巧用抛物线的定义，将|P A |＋|PC |转为|PF |＋|P A |－1的形式，从而当A ，P ，F 三点共线时得到最小值．12．(14分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．【解析】 已知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设AB 方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立， 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，且x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24.∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝k 2p ＋2pk 2＋pp 24＋p 2·k 2p ＋2p k 2＋p24＝2p (为定值)．。
高中数学人教A版选修-课时作业--抛物线的标准方程含答案
23
14.[解析] 双曲线 3x2－y2＝1 的焦点分别为 F1 3 ，0 ，F2 ，0 ，若抛物线的焦
83
－
3
点为 F1，则抛物线的标准方程为 y2＝－
3
x；若抛物线的焦点为 F ，则抛物线的标准方程
2
83 为 y2＝ 3 x.
15.[解析] 设 P(x0,4)，因为 P 是抛物线上的一点，所以 3×42＝16x0.解得 x0＝3，即
2x2＋2＝x1＋1＋x ＋1.即 3
x2＝x1＋2 x3.
y1＋y3
( ) 线段
AD
中点为
x1＋x3 y1＋y3 2，
，所以
kAD＝yx33－ －yx11，AD
2 －0
中垂线斜率为 x1＋x3
.
－3
2
2
y3－y1
y1＋y3
所以x3－x1 · x1＋x3－6＝－1.
4x3－4x1 即 x23－x21 －6 x3－x1 ＝－1.
( ) ( ) ( ) y ，M(－x,0)，所以PM＝ －x，－2 ，PF＝ 1，－2
.
所以→PM·→PF＝－x＋y2＝0⇒y2＝4x，所以 N 点的轨迹方程为 y2＝4x. 4
(2)如右图所示，|AF|＝1x ＋1，|BF|＝x ＋1，|DF| 2 → →→
＝x3＋1，因为|AF|， |BF|，|DF|成等差数列，所以
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线 C 上除原点外的三点，且|AF|，|BF|，| → DF|成等差数列，当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时，求 B 点的坐标．
1.[解析]
依题意，抛物线开口向左，焦点在
x
课时作业3：3.3.1 抛物线及其标准方程
3.3.1 抛物线及其标准方程A 组 基础巩固练一、选择题1．在平面内，“点P 到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P 的轨迹为抛物线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．43．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－124．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A ．23 B ．4 C ．6D ．435.如图所示，南北方向的公路l ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 东偏北30°方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A 、到B 修建费用都为a 万元/km ，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )A ．(2＋3)aB ．2(3＋1)aC ．5aD ．6a二、填空题6．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．7．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________. 三、解答题9.探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60 cm ，灯深40 cm ，求抛物线的标准方程和焦点坐标．10.如图所示，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．B 组 素养提升练11．(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为y 2＝10x 的有( ) A ．焦点在x 轴上B ．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6C ．焦点到准线的距离为5D ．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点．若AB 的中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．无法确定13．(一题两空)已知抛物线C 的焦点F 与椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点重合，则抛物线C 的标准方程为________．若P 1，P 2，P 3是该抛物线上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 2，x 3成等比数列，又log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3＝3，则|P 2F |＝________.14．已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．C 组 思维提升练15.如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若|CD |＝9米，那么|DE |不超过多少米才能使货船通过拱桥？参考答案A 组 基础巩固练一、选择题1．【答案】B【解析】当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B. 2．【答案】D【解析】y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，而椭圆的右焦点为(2,0)，由p2＝2得p ＝4.故选D.] 3．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为x ＝－2，则焦点为F (2,0)．从而k AF ＝3－0－2－2＝－34.4．【答案】D【解析】如图，∵△FPM 是等边三角形，∴由抛物线的定义知PM ⊥l . 在Rt △MQF 中，|QF |＝2， ∠QMF ＝30°，∴|MF |＝4， ∴S △PMF ＝34×42＝4 3.故选D. 5.【答案】C【解析】依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、l 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线l 距离即可，因B 地在A 地东偏北30°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3(km)， ∴B 到直线l 距离为：3＋2＝5(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为：5a (万元)，故选C. 二、填空题 6．【答案】4【解析】抛物线标准方程为x 2＝－4y ，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y ＝1，则|MF |的长度等于点M 到准线y ＝1的距离，从而点M 到两定点F ，E 的距离之和的最小值为点E (1，－3)到直线y ＝1的距离．即最小值为4. 7．【答案】(－6,62)或(－6，－62)【解析】设所求点为P (x ，y )，抛物线y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3， 由题意知3－x ＝9，即x ＝－6.代入y 2＝－12x ，得y 2＝72，即y ＝±6 2. 因此P (－6,62)或P (－6，－62)． 8．【答案】6【解析】因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3， 所以|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6. 三、解答题9.解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由已知条件可得点A 的坐标是(40,30)，且在抛物线上，代入方程，得302＝2p ·40，解得p ＝454.故所求抛物线的标准方程为y 2＝452x ，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫458，0. 10.解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)，所以k AF ＝43，则F A 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎨⎧ y ＝－34x ＋2，y ＝43x －1，得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝⎛⎭⎫85，45.B 组 素养提升练11．【答案】ACD【解析】抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，A 满足；设M (1，y 0)是抛物线y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以B 不满足；因为y 2＝10x 中p ＝5，所以焦准距为5，所以C 满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝⎛⎭⎫52，0，设过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)，则k ＝－2，此时直线存在，所以D 满足．所以满足抛物线y 2＝10x 的有ACD. 12．【答案】C【解析】过点A ，M ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为C ，M ′，D ，如图所示，由抛物线的定义，得|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，∵M 为AB 的中点，且|MM ′|＝6，∴|AC |＋|BD |＝12，即|AB |＝|AF |＋|BF |＝12. 13．【答案】y 2＝4x 3【解析】椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1,0)，p2＝1，∴p ＝2.所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x .由抛物线的方程为y 2＝4x ，可得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∵x 1，x 2，x 3成等比数列，且log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3＝3，∴log 2x 32＝3，解得x 2＝2，∴|P 2F |＝x 2－(－1)＝3.]14．【答案】x 2＝－12y【解析】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .C 组 思维提升练15.解：如图所示，以点O 为原点，过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (9，－8)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∵B 点在抛物线上， ∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y .当x ＝92时，y ＝－2，即|DE |＝8－2＝6.∴|DE |不超过6米才能使货船通过拱桥．。
课时作业7:2.3.1 抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程一、选择题:1．经过点P (4, －2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2=x 或x 2=y B.y 2=－x 或x 2=8yC.x 2=－8y 或y 2=xD.x 2=－8y 或y 2=－x2．平面上动点P 到定点F (1, 0)的距离比到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=2xB.y 2=4xC.y 2=2x 和y =0(x ≤0)D.y 2=4x 和y =0(x ≤0)3．探照灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( )A.11.25cmB.5.625cmC.20cmD.10cm4．抛物线y =ax 2(a <0)的焦点坐标是( )A.(a , 0)B.(0, a )C.(0, 14a )D.(0,－14a) 5．动圆与定圆A : (x +2)2+y 2=1外切，且和直线x =1相切，则动圆圆心的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线6．方程mx +ny 2=0与mx 2+ny 2=1(mn ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )A B C D二、填空题:7．抛物线y 2=2x 上两点A , B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是 .8．以y 轴为对称轴，焦参数p =的抛物线的标准方程是 . 9． 抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m 后，则水面宽是 .21212110．有一个正三角形，它的两个顶点在抛物线y2=－4x上，另一个顶点在原点，则此正三角形的面积是_________ .三、解答题:11．指出抛物线x=ay2(a≠0)的顶点坐标和焦点坐标。
答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】28.【答案】y x ±=29.【答案】cm 6210.【答案】34811.【答案】 ).0,0(),0,41(,21,12,0),0,0(),0,41(,21,12,0,1,0:2顶点坐标为焦点坐标为时当顶点坐标为焦点坐标为时当故抛物线为解aa p a p a aa p a p a x a y a -=-=<-=∴=>=≠。
课时作业1：2.7.1 抛物线的标准方程
§2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程1．关于抛物线x ＝4y 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点坐标为(0,1)B ．开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116 C ．开口向右，焦点坐标为(1,0)D ．开口向右，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫116，0 答案 D解析 由x ＝4y 2得y 2＝14x ，∴开口向右，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫116，0. 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，它与圆相切，所以必有3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，p ＝2. 3．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 C解析 方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M 的轨迹是抛物线，故选C.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上点M (1，m )到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝4B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2 答案 D解析 因为抛物线方程为y 2＝2px ，所以抛物线焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， 又因为点M (1，m )到其焦点的距离为3，因为p >0，根据抛物线的定义，得1＋p 2＝3， 所以p ＝4，所以准线方程为x ＝－2.5．(多选)以双曲线16x 2－9y 2＝144的顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝12xB ．x 2＝16yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－16y 答案 AC解析 双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，a ＝3，b ＝4，c ＝5， 顶点坐标为(±3,0)，∴抛物线的标准方程为y 2＝±12x .6．(多选)已知拋物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，拋物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，则m 的值为( )A ．2 3B ．－2 3C ．2 6D ．－2 6答案 CD解析 设所求拋物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2. ∵M (m ，－3)在拋物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±26， ∴m ＝±2 6.7．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为________． 答案 1516解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116，由于点M 到焦点的距离为1，所以M 到准线的距离也为1，所以M 点的纵坐标等于1－116＝1516. 8．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________． 答案 112－1 解析 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为O ′(3,0)，要求|PQ |的最小值，只需求|PO ′|的最小值．设点P 坐标为(y 20，y 0)，则|PO ′|＝(y 20－3)2＋y 20＝(y 20)2－5y 20＋9 ＝⎝⎛⎭⎫y 20－522＋114， ∴|PO ′|的最小值为112， 从而|PQ |的最小值为112－1. 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P ，求点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值．解 易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，如图所示．动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度，其中F (1，0)为抛物线y 2＝4x 的焦点，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|42＋(－3)2＝2.10．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高为0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m 时，小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y . 当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54. 又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航．11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，等轴双曲线C 与抛物线y 2＝8x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则等轴双曲线C 的实轴长为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B解析 设等轴双曲线C 的方程为x 2－y 2＝λ，①因为抛物线y 2＝8x,2p ＝8，p ＝4，所以p 2＝2， 所以抛物线的准线方程为x ＝－2，设等轴双曲线与抛物线的准线x ＝－2有两个交点A (－2，y )，B (－2，－y )(y >0)， 则|AB |＝|y －(－y )|＝2y ＝23，所以y ＝3，将x ＝－2，y ＝3代入①，得(－2)2－(3)2＝λ，所以λ＝1，所以等轴双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1，所以等轴双曲线C 的实轴长为2.12．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析 抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9. 当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|P A |＋|PQ |的最小值为9.13．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5，则抛物线的标准方程为____________．答案 y 2＝±2x 或y 2＝±18x解析 设焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线的定义，得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2， 又(－3)2＝2pm ，所以p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .14．动点P 到直线x ＋4＝0的距离比它到点M (2,0)的距离大2，则点P 的轨迹方程是____________．答案 y 2＝8x解析 由题意得，点P 到x ＋2＝0的距离和它到点M (2,0)的距离相等．故点P 的轨迹为焦点为M ，准线为x ＋2＝0的抛物线，∴p ＝4，方程为y 2＝8x .15．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |等于( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.16.如图所示，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A ，B 都在抛物线C 上，且FB →＝2OA →，求点A 的坐标．解 (1)依题意，可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，其准线l 的方程为y ＝－p 2. ∵准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，∴圆心(0,0)到准线l 的距离d ＝0－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1， 解得p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1， ①x 22＝4y 2， ② 由题意得F (0,1)，∴FB →＝(x 2，y 2－1)，OA →＝(x 1，y 1)， ∵FB →＝2OA →，∴(x 2，y 2－1)＝2(x 1，y 1)＝(2x 1,2y 1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1＋1，代入②得4x 21＝8y 1＋4， 即x 21＝2y 1＋1，又x 21＝4y 1，所以4y 1＝2y 1＋1，解得y 1＝12，x 1＝±2， 即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，12或⎝⎛⎭⎫－2，12.。
2018-2019学年人教A版选修2-12.4.2抛物线及其标准方程第1课时课时作业
第二章 2.4 2.4.2 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．抛物线x 2＝－8y 的通径为线段AB ，则AB 长是导学号 9662738( C ) A ．2 B ．4 C ．8D ．1[解析] 抛物线x 2＝－8y ，通径为|－8|＝8，∴选C ．2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，点P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为导学号 9662738( C )A ．18B ．24C ．36D ．48[解析] 设抛物线方程y 2＝2px (p >0) |AB |即通径为∴2p ＝12，∴p ＝6，点P 到AB 的距离为P ＝6，∴S △ABP ＝12×12×6＝36．3．抛物线y 2＝9x 与直线2x －3y －8＝0交于A 、B 两点，则线段AB 中点的坐标为导学号 9662738( B )A ．(1138，－274)B ．(1138，274)C ．(－1138，－274)D ．(－1138，274)[解析] 由2x －3y －8＝0得，x ＝32y ＋4，代入y 2＝9x 中得y 2－272y －36＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝274，x 0＝x 1＋x 22＝12(32y 1＋4＋32y 2＋4)＝34(y 1＋y 2)＋4＝32y 0＋4＝1138，故选B ．4．(2017·福州市八县一中高二期末)已知抛物线C ：y 2＝12x ，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为导学号 9662738( C )A ．22B ．14C ．11D ．8[解析] 抛物线C ：y 2＝12x ，可得准线方程为：x ＝－3，过点P (2,0)且斜率为1的直线l ：y ＝x －2，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝12xy ＝x －2，可得x 2－16x ＋4＝0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为8， 则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为8＋3＝11．5．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是导学号 9662738( B )A ．π6或5π6B ．π4或3π4C ．π3或2π3D ．π2[解析] 解法一：∵抛物线y 2＝6x ，∴2p ＝6，∴p 2＝32，即焦点坐标F (32，0)设所求直线方程为y ＝k (x －32)与抛物线y 2＝6x 消去y ，得 k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ∴x 1＋x 2＝3k 2＋6k2∵直线过抛物线y 2＝6x 焦点，弦长为12． ∴x 1＋x 2＋3＝12，∴x 1＋x 2＝9 即3k 2＋6k 2＝9，解得k 2＝1k ＝tan α＝±1，∵α∈[0，π)∴α＝π4或3π4解法二：弦长|AB |＝2psin 2(α为直线AB 倾斜角)∴12＝6sin 2α，∴sin 2α＝12sin α＝±22，∴α∈[0，π)，∴α＝π4或α＝3π4．6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于导学号 9662738( B )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ， ∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4．二、填空题7．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝导学号 9662738[解析] 设正三角形边长为x ． 363＝12x 2sin60°，∴x ＝12．当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23， 当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23， 故a ＝±23．8．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为__a ≥1__.导学号 9662738[解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A (a ，a )，B (－a ，a )，C (x 0，x 20)，则CB →＝(－a －x 0，a －x 20)，CA →＝(a －x 0，a －x 20)，∵∠ACB ＝90°． ∴CA →·CB →＝(a －x 0，a －x 20)·(－a －x 0，a －x 20)＝0．∴x 20－a ＋(a －x 20)2＝0，∵x 20－a ≠0． ∴(a －x 20)(a －x 20－1)＝0，∴a －x 20－1＝0． ∴x 20＝a －1，又x 20≥0.∴a ≥1．三、解答题9．一抛物线拱桥跨度为52 m ，拱顶离水面6.5 m ，一竹排上载有一宽4 m ，高6 m 的大木箱，问竹排能否安全通过？导学号 9662738[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py ，则有A (26，－6.5)， 设B (2，y )，由262＝－2p ×(－6.5)得p ＝52， ∴抛物线方程为x 2＝－104y ． 当x ＝2时，4＝－104y ，y ＝－126，∵6.5－126>6，∴能安全通过．10．已知抛物线y 2＝8x ，导学号 9662738(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围．(2)以坐标原点O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB ，|OA |＝|OB |，若焦点F 是△OAB 的重心，求△OAB 的周长．[解析] (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0．(2)如图所示．由|OA |＝|OB |可知AB ⊥x 轴，垂足为点M ，又焦点F 是△OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |．因为F (2,0)，所以|OM |＝32|OF |＝3，所以M (3,0)，故设A (3，m )． 代入y 2＝8x 得m 2＝24， 所以m ＝26或m ＝－26， 所以A (3,26)，B (3，－26)， 所以|OA |＝|OB |＝33，所以△OAB 的周长为233＋46．B 级 素养提升一、选择题1．一个动圆圆心在y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点导学号 9662738( B )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[解析] 由题意得，抛物线的焦点坐标为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，因为动圆与x ＝－2相切，圆心在抛物线上，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，即动圆必过抛物线的焦点F (2,0)．2．设抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →的值是导学号 9662738( B )A ．34B ．－34C ．3D ．－3[解析] 抛物线y 2＝2x 焦点(12，0)当直线AB 斜率不存在时， 可得A (12，1)，B (12，－1)OA →·OB →＝(12，1)·(12，－1)＝14－1＝－34，∴选B ． 3．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，互相垂直的两条直线过F ，与抛物线相交所得的弦分别为AB ，CD ，则|AB |·|CD |的最小值为导学号 9662738( A )A ．16B ．8C ．4D ．2[解析] 设AB 倾斜角为α，则|AB |＝2sin 2α，因为AB ，CD 垂直，所以|CD |＝2cos 2α，因此|AB |·|CD |＝4sin 2αcos 2α＝16sin 22α≥16，选A ． 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于导学号 9662738( B )A ． 2B ． 3C ．2D ．2 3[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3， 又ba ＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，得e ＝3，故选B ． 二、填空题5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝__2__.导学号 9662738[解析] 由双曲线离心率为2得c 2a 2＝a 2＋b2a2＝4，∴ba＝3， 又∵|AB |＝3×p2×2＝3p ，∴S △AOB ＝12×3p ×p2＝3，∴p ＝2．6．(2017·山东理，14)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±2x __.导学号 9662738[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2．又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |， ∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p 2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2pb 2a 2＝p ， 即b 2a 2＝12， ∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ．三、解答题7．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离.导学号 9662738[解析] (1)因为抛物线方程为y 2＝6x ，所以准线方程为x ＝－32，F (32，0)，又因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l 的斜率为k ＝tan60°＝3，所以焦点l 的方程为y ＝3(x －32)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3(x －32)，消去y 得x 2－5x ＋94＝0，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)由抛物线的定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6， 于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以中点M 到准线的距离为3＋32＝92．8．如图所示，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△P AB 的面积最大，并求出这个最大面积.导学号 9662738[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知A (4,4)，B (1，－2)，则|AB |＝35．设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则： d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15|y 202－y 0－4|＝125|(y 0－1)2－9|．∵－2<y 0<4， ∴(y 0－1)2－9<0． ∴d ＝125[9－(y 0－1)2]．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274．因此，当点P 的坐标为(14，1)时，△P AB 的面积取得最大值，最大值为274．C 级 能力拔高定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标.导学号 9662738[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32．设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54．当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54．。
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抛物线及其标准方程
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为
( ) A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y
D.x2=-8y
2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为( )
A.(1,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(-1,0)
3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+
6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )
A.y=3x2或y=-3x2
B.y=3x2
C.y2=-9x或y=3x2
D.y=-3x2或y2=9x
4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
5.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( )
A.(0,2)
B.(0,-2)
C.(2,0)
D.(4,0)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.
7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.
8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.(2013·宜春高二检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程.
10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.
答案解析
1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,∴p=4,所以它的标准方程为x2=-8y.
【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何?
【解析】由条件可知=7,即p=14.∵准线方程为x=-7,∴焦点是x轴正半轴上的(7,0)点,故方程为y2=28x.
2.【解析】选D.由y2=ax的准线方程为x=-得,-=1,
∴a=-4,从而抛物线方程为y2=-4x,其焦点为(-1,0).
3.【解析】选D.圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心为(1,-3),设抛物线方程为y2=ax或x2=by,把(1,-3)代入并解得a=9,b=-,∴方程为y2=9x或y=-3x2.
4.【解析】选A.由题知抛物线的准线方程为x=-3,设P(x,y),则x+3=8,∴x=
5.
5.【解题指南】利用抛物线的定义求解.
【解析】选C.∵y2=8x的准线方程为x=-2,且动圆的圆心在抛物线上.根据抛物线的定义,动圆圆心到直线x=-2的距离等于到焦点的距离,∴动圆必过定点即焦点(2,0).
【变式备选】若动点P到定点(1,1)的距离与到直线2x+y-1=0的距离相等,则P 点的轨迹是( )
A.抛物线
B.线段
C.直线
D.射线
【解析】选A.因为点(1,1)不在直线2x+y-1=0上,故点的轨迹是以点(1,1)为焦点,以直线2x+y-1=0为准线的抛物线,故选A.
6.【解题指南】运用方程的思想,列方程组求解.
【解析】抛物线y=4x2的焦点坐标为(0,),设M(x0,y0),
则解得y0=.
答案:
7.【解析】∵抛物线方程为y2=2px,∴其焦点在x轴上,又∵圆(x-3)2+y2=16与x 轴的交点为(-1,0)和(7,0),由题意知准线方程为x=-1或x=7,即焦点为(1,0)或(-7,0),
∴=1或-7,解得p=2或-14.
答案:2或-14
8.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.
【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2×(-3)=6,所以x=±,水面宽是2米.
答案:2
9.【解析】设抛物线方程为:y2=2px(p>0),将点(,)代入方程得p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.准线方程为:x=-1,由此知道双曲线方程中:c=1;焦点为
(-1,0),(1,0),点(,)到两焦点距离之差为2a=1,∴双曲线的方程
为:-=1.
10.【解题指南】可以利用直接法求出动点P的轨迹方程,也可以用定义法求轨迹方程.
【解析】方法一:设点P的坐标为(x,y),
则有=|x|+1.
两边平方并化简,得y2=2x+2|x|,
所以y2=
即点P的轨迹方程为y2=
方法二:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).
综上,点P的轨迹方程为y2=
【误区警示】解答本题时,方法一中,距离很容易因忘加绝对值号而出错,方法二也很容易因思考不全面而漏掉x<0的情况.
11.【解题指南】根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离,画出草图,通过观察图形,利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标.
【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的
内部.
如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点
A作AB⊥l于点B,
由抛物线的定义可知:|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥
|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|.
∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2,y0),代入x2=8y得y0=,故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,).
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