抛物线及其标准方程-课时作业
课时作业11：2.3.1 抛物线及其标准方程
§2.3 抛物线2．3.1 抛物线及其标准方程一、选择题1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标 答案 B解析 ∵y 2＝－8x ，∴p ＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1) 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2.由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，它与圆相切，所以必有3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，p ＝2. 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 考点 抛物线定义题点 由抛物线定义求距离 答案 B解析 由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6. 5．过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程 答案 C解析 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x 2＝12y .6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，且点A (－2,3)在准线上，故－p 2＝－2，解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x ，焦点F 的坐标为(2,0)，这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.7．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3D ．4考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求三角形面积 答案 C解析 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而纵坐标y P ＝±2 6. ∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.二、填空题8．若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a ＝________. 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 －18解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay .∵准线方程为y ＝2，∴a <0且－14a ＝2，∴a ＝－18.9．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为________．考点 圆锥曲线的综合应用 题点 圆锥曲线的综合应用 答案6解析 由题意知，左焦点为⎝⎛⎭⎫－p 2，0，则c ＝p 2. ∵a 2＝3，b 2＝p 24， ∴3＝p 24＋p 24，得p ＝ 6.10．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________． 考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标 答案1516解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116.由于点M 到焦点的距离为1，所以点M 到准线的距离也为1，所以点M 的纵坐标等于1－116＝1516.11．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.考点 圆锥曲线的综合应用 题点 圆锥曲线的综合应用 答案 4解析 由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2p216＝1，由此c 2＝3＋p 216，左焦点为⎝⎛⎭⎫－3＋p 216，0， 由y 2＝2px 得准线为x ＝－p2，∴－ 3＋p 216＝－p 2， ∴p ＝4. 三、解答题12．如图所示，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A ，B 都在抛线C 上，且FB →＝2OA →，求点A 的坐标． 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义求点的坐标解 (1)依题意，可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，其准线l 的方程为y ＝－p2.∵准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，∴圆心(0,0)到准线l 的距离d ＝0－⎝⎛⎭⎫－p2＝1， 解得p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1，①x 22＝4y 2，②由题意得F (0,1)， ∴FB →＝(x 2，y 2－1)，OA →＝(x 1，y 1)， ∵FB →＝2OA →，∴(x 2，y 2－1)＝2(x 1，y 1)＝(2x 1,2y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1＋1，代入②得4x 21＝8y 1＋4， 即x 21＝2y 1＋1，又x 21＝4y 1，所以4y 1＝2y 1＋1，解得y 1＝12，x 1＝±2，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，12或⎝⎛⎭⎫－2，12. 13．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若点B 的坐标为(3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． 考点 抛物线的定义 题点 由抛物线定义求最值解 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1.由抛物线的定义知，点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5. (2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±2 3.因为23>2，所以点B 在抛物线内部．过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知，|P 1Q |＝|P 1F |.所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4. 四、探究与拓展14．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．以上都对考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的应用答案 B解析 如图，取线段MF 的中点C ，作CE 垂直于抛物线的准线l 于点E ，则|CE |＝12(|MF |＋p )＝12|MF |＋p 2， 所以|CD |＝|CE |－p 2＝12|MF |，所以MF 的中点C 到y 轴的距离等于|MF |的一半．15．已知曲线C 上的任意一点到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等． (1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|F A |＝2，|FB |＝5，求原点O 到直线AB 的距离． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程解 (1)因为曲线C 上任意一点到点F (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等， 所以曲线C 的轨迹是以F (1,0)为焦点的抛物线， 且p2＝1，所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)由抛物线的定义结合|F A |＝2可得，A 到准线 x ＝－1的距离为2，即A 的横坐标为1，代入抛物线方程可得y ＝2， 即A (1,2)，同理可得B (4，－4)，故直线AB 的斜率k ＝2－(－4)1－4＝－2，故AB 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0， 由点到直线的距离公式，得原点O 到直线AB 的距离为|－4|22＋12＝455.。
课时作业10：2.3.1抛物线及其标准方程
2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1.已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是()A.5B.4C.3D.25.一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点()A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(4,0)二、填空题6.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.三、解答题9.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过x2a2-y2b2=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(32,√6),求抛物线和双曲线的方程.10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.11.已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|P A|的值最小.参考答案1. D【解析】由条件可知p 2=7,即p =14.∵准线方程为x =-7,∴焦点是x 轴正半轴上的(7,0)点,故方程为y 2=28x .2. D【解析】由y 2=ax 的准线方程为x =-a 4得,-a4=1, ∴a =-4,从而抛物线方程为y 2=-4x ,其焦点为(-1,0).3. D【解析】圆x 2+y 2-2x +6y +9=0的圆心为(1,-3),设抛物线方程为y 2=ax 或x 2=by ,把(1,-3)代入并解得a =9,b =-13,∴方程为y 2=9x 或y =-3x 2. 4. A【解析】由题知抛物线的准线方程为x =-3,设P (x ,y ),则x +3=8,∴x =5.5. C【解析】∵y 2=8x 的准线方程为x =-2,且动圆的圆心在抛物线上.根据抛物线的定义,动圆圆心到直线x =-2的距离等于到焦点的距离,∴动圆必过定点即焦点(2,0).6. 1516 【解析】抛物线y =4x 2的焦点坐标为(0,116),设M (x 0,y 0),则{y 0=4x 02,√x 02+(y 0−116)2=1,解得y 0=1516. 7. 2或-14【解析】∵抛物线方程为y 2=2px ,∴其焦点在x 轴上,又∵圆(x -3)2+y 2=16与x 轴的交点为(-1,0)和(7,0),由题意知准线方程为x =-1或x =7,即焦点为(1,0)或(-7,0),∴p2=1或-7,解得p =2或-14.8. 2√6【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为x 2=-2py (p >0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x 2=-2y ,当y =-3时,x 2=-2×(-3)=6,所以x =±√6,水面宽是2√6米.9.解 设抛物线方程为:y 2=2px (p >0),将点(32,√6)代入方程得p =2,所以抛物线方程为:y 2=4x .准线方程为:x =-1,由此知道双曲线方程中:c =1;焦点为(-1,0),(1,0),点(32,√6)到两焦点距离之差为2a =1,∴双曲线的方程为:x 214-y 234=1.10.解 方法一:设点P 的坐标为(x ,y ),则有√(x −1)2+y 2=|x |+1.两边平方并化简,得y 2=2x +2|x |,所以y 2={4x,x ≥0,0,x <0,即点P 的轨迹方程为y 2={4x,x ≥0,0,x <0.方法二:由题意,动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1,由于点F (1,0)到y 轴的距离为1,故当x <0时,直线y =0(x <0)上的点适合条件;当x ≥0时,可以看作是点P 到点F (1,0)与到直线x =-1的距离相等,故点P 在以点F 为焦点,x =-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y 2=4x (x ≥0).综上,点P 的轨迹方程为y 2={4x,x ≥0,0,x <0.【误区警示】解答本题时,方法一中,距离很容易因忘加绝对值号而出错,方法二也很容易因思考不全面而漏掉x <0的情况.11.解 ∵(-2)2<8×4,∴点A (-2,4)在抛物线x 2=8y 的内部.如图,设抛物线的准线为l ,过点P 作PQ ⊥l 于点Q ,过点A 作AB ⊥l 于点B ,由抛物线的定义可知:|PF |+|P A |=|PQ |+|P A |≥|AQ |≥|AB |,当且仅当P ,Q ,A 三点共线时,|PF |+|P A |取得最小值,即为|AB |.∵A (-2,4),∴不妨设|PF |+|P A |的值最小时,点P 的坐标为(-2,y 0),代入x 2=8y 得y 0=12,故使|PF |+|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(-2,12).。
选修1-1抛物线及其标准方程课时作业
课时作业11 抛物线及其标准方程时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )A ．y 2＝94x B ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y【答案】 D【解析】 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p ，p ＝94；4＝6p ′，p ′＝23.2．(2014·安徽文)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B. y ＝－2C. x ＝－1D. x ＝－2【答案】 A【解析】 本题考查了抛物线的准线方程的求法．将y ＝14x 2代为标准形式：x 2＝4y 知准线方程为y ＝－1.解题关键是明确y 2＝2px 或x 2＝2py 中p 的几何意义．3．设定点M (3，103)与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，点P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，点P 坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2)D ．(18，－12)【答案】 C【解析】 连接PF ，则d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |≥|MF |，知d 1＋d 2的最小值是|MF |，当且仅当M ，P ，F 三点共线时，等号成立，而直线MF 的方程为y ＝43(x －12)与y 2＝2x ，联立求得x ＝2，y ＝2；x ＝18，y ＝－12(舍去)，此时，点P 的坐标为(2,2)． 4.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】 D【解析】 由于C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，连接PC 1，则PC 1⊥C 1D 1，即点P 到直线C 1D 1的距离即PC 1.因此，动点P 到定点C 1与定直线BC 的距离相等，依抛物线的定义知，动点P 的轨迹为抛物线．5．抛物线y ＝14a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A ．a >0时为(0，a )，a <0时为(0，－a )B ．a >0时为(0，a 2)，a <0时为(0，－a 2)C ．(0，a )D ．(1a ，0)【答案】 C【解析】 a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不论a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，故选C.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】 B【解析】 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎨⎧ y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．二、填空题(每小题10分，共30分)7．(2013·北京文)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．【答案】 2 x ＝－1【解析】 由p 2＝1知p ＝2，则准线方程为x ＝－p 2＝－1.8．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.【答案】 2【解析】 如图，设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2，∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.9．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使该抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)．【答案】 ②⑤【解析】 由抛物线方程y 2＝10x 知，它的焦点在x 轴上，∴②适合．又∵它的焦点坐标为F (52，0)，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可知k PO ·k PF＝－1，∴⑤也适合，而①显然不成立，通过计算可知③、④不合题意．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知抛物线的方程如下，分别求它们的焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝ax (a >0)；3x ＝2y 2.【分析】 先根据抛物线的标准方程，求出p ，然后写出焦点坐标和准线方程．【解析】 (1)由抛物线的标准方程y 2＝ax (a >0)知，2p ＝a .故p 2＝a 4.因此，所给抛物线的焦点为(a 4，0)，准线方程为x ＝－a 4.(2)把所给的抛物线方程变形为标准方程得y 2＝32x ，故2p ＝32，即p 2＝38.因此，所给抛物线的焦点为(38，0)，准线方程为x ＝－38.【规律方法】 根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化成标准方程，求出p 2的值，即可写出焦点坐标和准线方程．11．(13分)已知抛物线x 2＝4y ，P 是此抛物线上的动点，点A (12,6)，求点P 到点A 的距离与到x 轴的距离之和的最小值．【分析】 如图所示，由于x 轴平行于准线，|PF |和点P 到准线的距离d 相等，因此|P A |＋|PC |＝|P A |＋d －1＝|PF |＋|P A |－1.【解析】 将x ＝12代入x 2＝4y ，得y ＝36>6，∴A 在抛物线外部，抛物线焦点F (0,1)，准线l ：y ＝－1.过P 作PB ⊥l 于B ，交x 轴于点C ，则|P A |＋|PC |＝|P A |＋|PB |－1＝|P A |＋|PF |－1，由图可知当A ，P ，F 三点共线时，|P A |＋|PF |最小，∴|P A |＋|PF |的最小值为|F A |＝13.故|P A |＋|PC |的最小值为12.【规律方法】 本题巧用抛物线的定义，将|P A |＋|PC |转为|PF |＋|P A |－1的形式，从而当A ，P ，F 三点共线时得到最小值．12．(14分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．【解析】 已知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设AB 方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立， 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，且x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24.∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝k 2p ＋2pk 2＋pp 24＋p 2·k 2p ＋2p k 2＋p24＝2p (为定值)．。
高中数学人教A版选修-课时作业--抛物线的标准方程含答案
23
14.[解析] 双曲线 3x2－y2＝1 的焦点分别为 F1 3 ，0 ，F2 ，0 ，若抛物线的焦
83
－
3
点为 F1，则抛物线的标准方程为 y2＝－
3
x；若抛物线的焦点为 F ，则抛物线的标准方程
2
83 为 y2＝ 3 x.
15.[解析] 设 P(x0,4)，因为 P 是抛物线上的一点，所以 3×42＝16x0.解得 x0＝3，即
2x2＋2＝x1＋1＋x ＋1.即 3
x2＝x1＋2 x3.
y1＋y3
( ) 线段
AD
中点为
x1＋x3 y1＋y3 2，
，所以
kAD＝yx33－ －yx11，AD
2 －0
中垂线斜率为 x1＋x3
.
－3
2
2
y3－y1
y1＋y3
所以x3－x1 · x1＋x3－6＝－1.
4x3－4x1 即 x23－x21 －6 x3－x1 ＝－1.
( ) ( ) ( ) y ，M(－x,0)，所以PM＝ －x，－2 ，PF＝ 1，－2
.
所以→PM·→PF＝－x＋y2＝0⇒y2＝4x，所以 N 点的轨迹方程为 y2＝4x. 4
(2)如右图所示，|AF|＝1x ＋1，|BF|＝x ＋1，|DF| 2 → →→
＝x3＋1，因为|AF|， |BF|，|DF|成等差数列，所以
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线 C 上除原点外的三点，且|AF|，|BF|，| → DF|成等差数列，当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时，求 B 点的坐标．
1.[解析]
依题意，抛物线开口向左，焦点在
x
课时作业3：3.3.1 抛物线及其标准方程
3.3.1 抛物线及其标准方程A 组 基础巩固练一、选择题1．在平面内，“点P 到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P 的轨迹为抛物线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．43．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－124．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A ．23 B ．4 C ．6D ．435.如图所示，南北方向的公路l ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 东偏北30°方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A 、到B 修建费用都为a 万元/km ，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )A ．(2＋3)aB ．2(3＋1)aC ．5aD ．6a二、填空题6．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．7．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________. 三、解答题9.探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60 cm ，灯深40 cm ，求抛物线的标准方程和焦点坐标．10.如图所示，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．B 组 素养提升练11．(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为y 2＝10x 的有( ) A ．焦点在x 轴上B ．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6C ．焦点到准线的距离为5D ．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点．若AB 的中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．无法确定13．(一题两空)已知抛物线C 的焦点F 与椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点重合，则抛物线C 的标准方程为________．若P 1，P 2，P 3是该抛物线上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 2，x 3成等比数列，又log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3＝3，则|P 2F |＝________.14．已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．C 组 思维提升练15.如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若|CD |＝9米，那么|DE |不超过多少米才能使货船通过拱桥？参考答案A 组 基础巩固练一、选择题1．【答案】B【解析】当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B. 2．【答案】D【解析】y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，而椭圆的右焦点为(2,0)，由p2＝2得p ＝4.故选D.] 3．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为x ＝－2，则焦点为F (2,0)．从而k AF ＝3－0－2－2＝－34.4．【答案】D【解析】如图，∵△FPM 是等边三角形，∴由抛物线的定义知PM ⊥l . 在Rt △MQF 中，|QF |＝2， ∠QMF ＝30°，∴|MF |＝4， ∴S △PMF ＝34×42＝4 3.故选D. 5.【答案】C【解析】依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、l 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线l 距离即可，因B 地在A 地东偏北30°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3(km)， ∴B 到直线l 距离为：3＋2＝5(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为：5a (万元)，故选C. 二、填空题 6．【答案】4【解析】抛物线标准方程为x 2＝－4y ，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y ＝1，则|MF |的长度等于点M 到准线y ＝1的距离，从而点M 到两定点F ，E 的距离之和的最小值为点E (1，－3)到直线y ＝1的距离．即最小值为4. 7．【答案】(－6,62)或(－6，－62)【解析】设所求点为P (x ，y )，抛物线y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3， 由题意知3－x ＝9，即x ＝－6.代入y 2＝－12x ，得y 2＝72，即y ＝±6 2. 因此P (－6,62)或P (－6，－62)． 8．【答案】6【解析】因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3， 所以|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6. 三、解答题9.解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由已知条件可得点A 的坐标是(40,30)，且在抛物线上，代入方程，得302＝2p ·40，解得p ＝454.故所求抛物线的标准方程为y 2＝452x ，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫458，0. 10.解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)，所以k AF ＝43，则F A 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎨⎧ y ＝－34x ＋2，y ＝43x －1，得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝⎛⎭⎫85，45.B 组 素养提升练11．【答案】ACD【解析】抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，A 满足；设M (1，y 0)是抛物线y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以B 不满足；因为y 2＝10x 中p ＝5，所以焦准距为5，所以C 满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝⎛⎭⎫52，0，设过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)，则k ＝－2，此时直线存在，所以D 满足．所以满足抛物线y 2＝10x 的有ACD. 12．【答案】C【解析】过点A ，M ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为C ，M ′，D ，如图所示，由抛物线的定义，得|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，∵M 为AB 的中点，且|MM ′|＝6，∴|AC |＋|BD |＝12，即|AB |＝|AF |＋|BF |＝12. 13．【答案】y 2＝4x 3【解析】椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1,0)，p2＝1，∴p ＝2.所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x .由抛物线的方程为y 2＝4x ，可得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∵x 1，x 2，x 3成等比数列，且log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3＝3，∴log 2x 32＝3，解得x 2＝2，∴|P 2F |＝x 2－(－1)＝3.]14．【答案】x 2＝－12y【解析】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .C 组 思维提升练15.解：如图所示，以点O 为原点，过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (9，－8)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∵B 点在抛物线上， ∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y .当x ＝92时，y ＝－2，即|DE |＝8－2＝6.∴|DE |不超过6米才能使货船通过拱桥．。
课时作业7:2.3.1 抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程一、选择题:1．经过点P (4, －2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2=x 或x 2=y B.y 2=－x 或x 2=8yC.x 2=－8y 或y 2=xD.x 2=－8y 或y 2=－x2．平面上动点P 到定点F (1, 0)的距离比到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=2xB.y 2=4xC.y 2=2x 和y =0(x ≤0)D.y 2=4x 和y =0(x ≤0)3．探照灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( )A.11.25cmB.5.625cmC.20cmD.10cm4．抛物线y =ax 2(a <0)的焦点坐标是( )A.(a , 0)B.(0, a )C.(0, 14a )D.(0,－14a) 5．动圆与定圆A : (x +2)2+y 2=1外切，且和直线x =1相切，则动圆圆心的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线6．方程mx +ny 2=0与mx 2+ny 2=1(mn ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )A B C D二、填空题:7．抛物线y 2=2x 上两点A , B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是 .8．以y 轴为对称轴，焦参数p =的抛物线的标准方程是 . 9． 抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m 后，则水面宽是 .21212110．有一个正三角形，它的两个顶点在抛物线y2=－4x上，另一个顶点在原点，则此正三角形的面积是_________ .三、解答题:11．指出抛物线x=ay2(a≠0)的顶点坐标和焦点坐标。
答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】28.【答案】y x ±=29.【答案】cm 6210.【答案】34811.【答案】 ).0,0(),0,41(,21,12,0),0,0(),0,41(,21,12,0,1,0:2顶点坐标为焦点坐标为时当顶点坐标为焦点坐标为时当故抛物线为解aa p a p a aa p a p a x a y a -=-=<-=∴=>=≠。
课时作业1：2.7.1 抛物线的标准方程
§2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程1．关于抛物线x ＝4y 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点坐标为(0,1)B ．开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116 C ．开口向右，焦点坐标为(1,0)D ．开口向右，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫116，0 答案 D解析 由x ＝4y 2得y 2＝14x ，∴开口向右，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫116，0. 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，它与圆相切，所以必有3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，p ＝2. 3．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 C解析 方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M 的轨迹是抛物线，故选C.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上点M (1，m )到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝4B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2 答案 D解析 因为抛物线方程为y 2＝2px ，所以抛物线焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， 又因为点M (1，m )到其焦点的距离为3，因为p >0，根据抛物线的定义，得1＋p 2＝3， 所以p ＝4，所以准线方程为x ＝－2.5．(多选)以双曲线16x 2－9y 2＝144的顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝12xB ．x 2＝16yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－16y 答案 AC解析 双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，a ＝3，b ＝4，c ＝5， 顶点坐标为(±3,0)，∴抛物线的标准方程为y 2＝±12x .6．(多选)已知拋物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，拋物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，则m 的值为( )A ．2 3B ．－2 3C ．2 6D ．－2 6答案 CD解析 设所求拋物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2. ∵M (m ，－3)在拋物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±26， ∴m ＝±2 6.7．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为________． 答案 1516解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116，由于点M 到焦点的距离为1，所以M 到准线的距离也为1，所以M 点的纵坐标等于1－116＝1516. 8．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________． 答案 112－1 解析 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为O ′(3,0)，要求|PQ |的最小值，只需求|PO ′|的最小值．设点P 坐标为(y 20，y 0)，则|PO ′|＝(y 20－3)2＋y 20＝(y 20)2－5y 20＋9 ＝⎝⎛⎭⎫y 20－522＋114， ∴|PO ′|的最小值为112， 从而|PQ |的最小值为112－1. 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P ，求点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值．解 易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，如图所示．动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度，其中F (1，0)为抛物线y 2＝4x 的焦点，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|42＋(－3)2＝2.10．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高为0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m 时，小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y . 当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54. 又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航．11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，等轴双曲线C 与抛物线y 2＝8x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则等轴双曲线C 的实轴长为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B解析 设等轴双曲线C 的方程为x 2－y 2＝λ，①因为抛物线y 2＝8x,2p ＝8，p ＝4，所以p 2＝2， 所以抛物线的准线方程为x ＝－2，设等轴双曲线与抛物线的准线x ＝－2有两个交点A (－2，y )，B (－2，－y )(y >0)， 则|AB |＝|y －(－y )|＝2y ＝23，所以y ＝3，将x ＝－2，y ＝3代入①，得(－2)2－(3)2＝λ，所以λ＝1，所以等轴双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1，所以等轴双曲线C 的实轴长为2.12．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析 抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9. 当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|P A |＋|PQ |的最小值为9.13．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5，则抛物线的标准方程为____________．答案 y 2＝±2x 或y 2＝±18x解析 设焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线的定义，得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2， 又(－3)2＝2pm ，所以p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .14．动点P 到直线x ＋4＝0的距离比它到点M (2,0)的距离大2，则点P 的轨迹方程是____________．答案 y 2＝8x解析 由题意得，点P 到x ＋2＝0的距离和它到点M (2,0)的距离相等．故点P 的轨迹为焦点为M ，准线为x ＋2＝0的抛物线，∴p ＝4，方程为y 2＝8x .15．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |等于( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.16.如图所示，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A ，B 都在抛物线C 上，且FB →＝2OA →，求点A 的坐标．解 (1)依题意，可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，其准线l 的方程为y ＝－p 2. ∵准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，∴圆心(0,0)到准线l 的距离d ＝0－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1， 解得p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1， ①x 22＝4y 2， ② 由题意得F (0,1)，∴FB →＝(x 2，y 2－1)，OA →＝(x 1，y 1)， ∵FB →＝2OA →，∴(x 2，y 2－1)＝2(x 1，y 1)＝(2x 1,2y 1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1＋1，代入②得4x 21＝8y 1＋4， 即x 21＝2y 1＋1，又x 21＝4y 1，所以4y 1＝2y 1＋1，解得y 1＝12，x 1＝±2， 即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，12或⎝⎛⎭⎫－2，12.。
2018-2019学年人教A版选修2-12.4.2抛物线及其标准方程第1课时课时作业
第二章 2.4 2.4.2 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．抛物线x 2＝－8y 的通径为线段AB ，则AB 长是导学号 9662738( C ) A ．2 B ．4 C ．8D ．1[解析] 抛物线x 2＝－8y ，通径为|－8|＝8，∴选C ．2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，点P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为导学号 9662738( C )A ．18B ．24C ．36D ．48[解析] 设抛物线方程y 2＝2px (p >0) |AB |即通径为∴2p ＝12，∴p ＝6，点P 到AB 的距离为P ＝6，∴S △ABP ＝12×12×6＝36．3．抛物线y 2＝9x 与直线2x －3y －8＝0交于A 、B 两点，则线段AB 中点的坐标为导学号 9662738( B )A ．(1138，－274)B ．(1138，274)C ．(－1138，－274)D ．(－1138，274)[解析] 由2x －3y －8＝0得，x ＝32y ＋4，代入y 2＝9x 中得y 2－272y －36＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝274，x 0＝x 1＋x 22＝12(32y 1＋4＋32y 2＋4)＝34(y 1＋y 2)＋4＝32y 0＋4＝1138，故选B ．4．(2017·福州市八县一中高二期末)已知抛物线C ：y 2＝12x ，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为导学号 9662738( C )A ．22B ．14C ．11D ．8[解析] 抛物线C ：y 2＝12x ，可得准线方程为：x ＝－3，过点P (2,0)且斜率为1的直线l ：y ＝x －2，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝12xy ＝x －2，可得x 2－16x ＋4＝0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为8， 则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为8＋3＝11．5．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是导学号 9662738( B )A ．π6或5π6B ．π4或3π4C ．π3或2π3D ．π2[解析] 解法一：∵抛物线y 2＝6x ，∴2p ＝6，∴p 2＝32，即焦点坐标F (32，0)设所求直线方程为y ＝k (x －32)与抛物线y 2＝6x 消去y ，得 k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ∴x 1＋x 2＝3k 2＋6k2∵直线过抛物线y 2＝6x 焦点，弦长为12． ∴x 1＋x 2＋3＝12，∴x 1＋x 2＝9 即3k 2＋6k 2＝9，解得k 2＝1k ＝tan α＝±1，∵α∈[0，π)∴α＝π4或3π4解法二：弦长|AB |＝2psin 2(α为直线AB 倾斜角)∴12＝6sin 2α，∴sin 2α＝12sin α＝±22，∴α∈[0，π)，∴α＝π4或α＝3π4．6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于导学号 9662738( B )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ， ∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4．二、填空题7．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝导学号 9662738[解析] 设正三角形边长为x ． 363＝12x 2sin60°，∴x ＝12．当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23， 当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23， 故a ＝±23．8．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为__a ≥1__.导学号 9662738[解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A (a ，a )，B (－a ，a )，C (x 0，x 20)，则CB →＝(－a －x 0，a －x 20)，CA →＝(a －x 0，a －x 20)，∵∠ACB ＝90°． ∴CA →·CB →＝(a －x 0，a －x 20)·(－a －x 0，a －x 20)＝0．∴x 20－a ＋(a －x 20)2＝0，∵x 20－a ≠0． ∴(a －x 20)(a －x 20－1)＝0，∴a －x 20－1＝0． ∴x 20＝a －1，又x 20≥0.∴a ≥1．三、解答题9．一抛物线拱桥跨度为52 m ，拱顶离水面6.5 m ，一竹排上载有一宽4 m ，高6 m 的大木箱，问竹排能否安全通过？导学号 9662738[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py ，则有A (26，－6.5)， 设B (2，y )，由262＝－2p ×(－6.5)得p ＝52， ∴抛物线方程为x 2＝－104y ． 当x ＝2时，4＝－104y ，y ＝－126，∵6.5－126>6，∴能安全通过．10．已知抛物线y 2＝8x ，导学号 9662738(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围．(2)以坐标原点O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB ，|OA |＝|OB |，若焦点F 是△OAB 的重心，求△OAB 的周长．[解析] (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0．(2)如图所示．由|OA |＝|OB |可知AB ⊥x 轴，垂足为点M ，又焦点F 是△OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |．因为F (2,0)，所以|OM |＝32|OF |＝3，所以M (3,0)，故设A (3，m )． 代入y 2＝8x 得m 2＝24， 所以m ＝26或m ＝－26， 所以A (3,26)，B (3，－26)， 所以|OA |＝|OB |＝33，所以△OAB 的周长为233＋46．B 级 素养提升一、选择题1．一个动圆圆心在y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点导学号 9662738( B )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[解析] 由题意得，抛物线的焦点坐标为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，因为动圆与x ＝－2相切，圆心在抛物线上，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，即动圆必过抛物线的焦点F (2,0)．2．设抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →的值是导学号 9662738( B )A ．34B ．－34C ．3D ．－3[解析] 抛物线y 2＝2x 焦点(12，0)当直线AB 斜率不存在时， 可得A (12，1)，B (12，－1)OA →·OB →＝(12，1)·(12，－1)＝14－1＝－34，∴选B ． 3．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，互相垂直的两条直线过F ，与抛物线相交所得的弦分别为AB ，CD ，则|AB |·|CD |的最小值为导学号 9662738( A )A ．16B ．8C ．4D ．2[解析] 设AB 倾斜角为α，则|AB |＝2sin 2α，因为AB ，CD 垂直，所以|CD |＝2cos 2α，因此|AB |·|CD |＝4sin 2αcos 2α＝16sin 22α≥16，选A ． 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于导学号 9662738( B )A ． 2B ． 3C ．2D ．2 3[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3， 又ba ＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，得e ＝3，故选B ． 二、填空题5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝__2__.导学号 9662738[解析] 由双曲线离心率为2得c 2a 2＝a 2＋b2a2＝4，∴ba＝3， 又∵|AB |＝3×p2×2＝3p ，∴S △AOB ＝12×3p ×p2＝3，∴p ＝2．6．(2017·山东理，14)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±2x __.导学号 9662738[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2．又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |， ∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p 2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2pb 2a 2＝p ， 即b 2a 2＝12， ∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ．三、解答题7．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离.导学号 9662738[解析] (1)因为抛物线方程为y 2＝6x ，所以准线方程为x ＝－32，F (32，0)，又因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l 的斜率为k ＝tan60°＝3，所以焦点l 的方程为y ＝3(x －32)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3(x －32)，消去y 得x 2－5x ＋94＝0，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)由抛物线的定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6， 于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以中点M 到准线的距离为3＋32＝92．8．如图所示，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△P AB 的面积最大，并求出这个最大面积.导学号 9662738[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知A (4,4)，B (1，－2)，则|AB |＝35．设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则： d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15|y 202－y 0－4|＝125|(y 0－1)2－9|．∵－2<y 0<4， ∴(y 0－1)2－9<0． ∴d ＝125[9－(y 0－1)2]．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274．因此，当点P 的坐标为(14，1)时，△P AB 的面积取得最大值，最大值为274．C 级 能力拔高定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标.导学号 9662738[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32．设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54．当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54．。
课时作业21：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段2．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是 ( )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 2225＋y 2100＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 2100＋y 2225＝13．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为 ( ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝14．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是 ( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．325．方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是 ( )A ．m >12B ．m >12且m ≠1C ．m >1D ．m >06．P 是椭圆x 212＋y 23＝1上的一点，F 1、F 2为两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为 ( ) A ．2 3 B ． 3 C ．4 D ．2二、填空题7．椭圆x 25＋y 24＝1的焦点坐标是____________.8．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为___________.三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程.B 级 素养提升一、选择题1．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <322．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为 ( ) A ．x 225＋y 29＝1B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)3．中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到两焦点的距离之和为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是 ( )A ．x 281＋y 245＝1B ．x 281＋y 29＝1C ．x 281＋y 272＝1D ．x 281＋y 236＝14．直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值为 ( ) A ．－1 B ．12C ．－1或1D ．－12或12二、填空题5．下列命题是真命题的是________.①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．6．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝______.三、解答题7．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a c ＝135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．8．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积.C级能力拔高如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程.参考答案A级基础巩固一、选择题1．【答案】D【解析】∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2． 2．【答案】A【解析】将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ． 3．【答案】D【解析】解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ． 4．【答案】B【解析】设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4．5．【答案】C【解析】 方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >02m －1>0m ≠2m －1，即m >12且m ≠1，所以方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是m >1，故选C ． 6．【答案】B【解析】根据椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝43， 平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝48.①在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝36.②由①－②得到|PF 1||PF 2|＝4． 故△F 1PF 2的面积为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝3．7．【答案】(－1,0)、(1,0)【解析】∵a 2＝5，b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝1， ∴椭圆x 25＋y 24＝1的焦点坐标是(－1,0)、(1,0)．8．【答案】x 24＋y 23＝1【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1． 故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1． 三、解答题9．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1． 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1． 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1．10．解：如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34．∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1． B 级 素养提升一、选择题【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D ．2．【答案】D【解析】∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ． 3．【答案】C【解析】椭圆上的点到两焦点的距离之和为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分， ∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C ．4．【答案】C【解析】椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1． 二、填空题 5．【答案】③【解析】①2<2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；③点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填③． 6．【答案】35【解析】设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35．三、解答题7．解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12． 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1．(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1．8．解：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ． 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中， 由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433．C 级 能力拔高解：如图所示，连接MA ，由题知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |．又点M 在AQ 的垂直平分线上，所以|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5． 又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆， 且2a ＝5，c ＝1，故a ＝52，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214．故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1．。
课时作业7：2.7.2 第二课时 抛物线方程及性质的应用
第二课时 抛物线方程及性质的应用一、选择题1.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A.－43B.－1C.－34D.－12答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2，3)在准线上，故－p 2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2，0)，这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.故选C. 2.若P 为抛物线y 2＝2px 的焦点弦AB 的中点，A ，B ，P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|，|BB 1|，|PP 1|，则有( ) A.|PP 1|＝|AA 1|＋|BB 1| B.|PP 1|＝12|AB | C.|PP 1|>12|AB | D.|PP 1|<12|AB |答案 B解析 如图所示，根据题意，PP 1是梯形AA 1B 1B 的中位线，故|PP 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A.x ＝1B.x ＝－1C.x ＝2D.x ＝－2答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2， 即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 消去x ， 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)， 所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.4.已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.0 答案 B解析 因为点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，所以x ≥0， 因为z ＝x 2＋12y 2＋3＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2， 所以当x ＝0时，z 最小，其值为3.5.已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <4)的焦点为F ，点P 为C 上一动点，A (4，0)，B (p ，2p )，且|P A |的最小值为15，则|BF |＝( ) A.4 B.92 C.5 D.112 答案 B解析 设点P (m ，n )，则n 2＝2pm ，|P A |＝（m －4）2＋n 2＝（m －4）2＋2pm ＝（m ＋p －4）2＋8p －p 2.当m ＝4－p 时，|P A |有最小值，且最小值为8p －p 2. 由题意，得8p －p 2＝15，整理得p 2－8p ＋15＝0，解得p ＝3或p ＝5. 又0<p <4，所以p ＝3，所以点B (3，32). 由抛物线的定义可得|BF |＝3＋32＝92，故选B. 二、填空题6.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，该抛物线上点P 的横坐标为2，则|PF |＝________. 答案 3解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1.因为P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，所以|PF |＝2＋1＝3.7.已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a ＞0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP →·FP →的最小值为________，此时点P 的坐标为________.答案 3－23 (0，3)解析 抛物线y ＝18x 2，即x 2＝8y 的焦点为F (0，2).所以a 2＝22－12＝3，故双曲线的方程为y23－x 2＝1.设P (x ，y )，因为点P 在x 轴上方且在双曲线上，故由双曲线的性质可得y ≥ 3. OP→＝(x ，y )，FP →＝(x ，y －2)， OP→·FP →＝x 2＋y (y －2)＝x 2＋y 2－2y ＝y 23＋y 2－2y －1＝43y 2－2y －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－32y －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－74. 因为y ＝34＜3，故函数t ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－74在[3，＋∞)上单调递增，当y ＝3时，取得最小值，最小值为43×(3)2－2×3－1＝3－2 3. 所以OP→·FP →的最小值为3－2 3. 点P 的横坐标为0，此时P 为(0，3).8.抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________. 答案 6解析 抛物线的焦点坐标F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2. 代入x 23－y 23＝1得|x |＝3＋p 24.要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p ＝3＋p 24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6.三、解答题9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程. 解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)， 设A (x 0，y 0)，由题意知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3， ∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17， ∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10.已知抛物线y 2＝4x ，A (a ，0)是x 轴上一点，P (x ，y )是抛物线上任意一点. (1)若a ＝1，求|P A |的最小值；(2)已知O 为坐标原点，若|P A |的最小值等于|OA |，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，A (1，0)为抛物线的焦点，此时|P A |的值等于P 到准线的距离， ∵当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离最小，最小值为1，∴|P A |的最小值为1.(2)|P A |＝（x －a ）2＋y 2＝x 2－2ax ＋a 2＋4x ＝（x ＋2－a ）2＋4a －4， ∵|P A |的最小值等于|OA |， ∴当x ＝0时，|P A |取得最小值，∴a －2≤0，即a ≤2.故a 的取值范围为(－∞，2].11.抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则|AB →||CD →|的最小值为( ) A. 3 B.1 C.233 D.2答案 B解析 如图，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为Q ，P .设|AF |＝a ，|BF |＝b ， 则由抛物线定义，得|AQ |＝|AF |＝a ，|BP |＝|BF |＝b ，在梯形ABPQ 中，2|CD |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .在△ABF 中，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝a 2＋b 2－ab . 配方得，|AB |2＝(a ＋b )2－3ab ， 又因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 所以(a ＋b )2－3ab ≥(a ＋b )2－34(a ＋b )2＝14(a ＋b )2，得到|AB |≥12(a ＋b )＝|CD |.所以|AB →||CD →|≥1，即|AB →||CD →|的最小值为1.12.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一点，A (1，1)，当△P AF 的周长最小时，PF 所在直线的斜率为( ) A.－43 B.－34 C.34 D.43答案 A解析 如图所示，抛物线的准线为l ，PN ⊥l 于N ，AG ⊥l 于G ，交抛物线于M ，连结AN .结合题意，要计算△P AF 周长的最小值，即计算|P A |＋|PF |的最小值，结合抛物线性质可知|PF |＝|PN |，所以|PF |＋|P A |＝|P A |＋|PN |≥|AN |≥|AG |，故当点P 运动到M 点处，三角形P AF 的周长最小，此时M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，故PF 所在直线的斜率为k ＝1－014－1＝－43.13.已知抛物线C ：y 2＝4x .(1)若P 是抛物线C 上任一点，Q (2，3)，求点P 到Q 和y 轴距离之和的最小值； (2)若△ABC 的三个顶点都在抛物线C 上，其重心恰好为C 的焦点F ，求△ABC 三边所在直线的斜率的倒数之和. 解 (1)设抛物线C 的焦点为F .由抛物线定义可知P 到Q 和y 轴距离之和为|PQ |＋|PF |－1≥|QF |－1＝10－1，当Q ，P ，F 三点共线时，取最小值.(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，∵F (1，0)，∴y 1＋y 2＋y 3＝0.又1k AB ＝y 21－y 224y 1－y 2＝y 1＋y 24，同理，1k BC ＝y 2＋y 34，1k AC ＝y 1＋y 34，∴1k AB ＋1k BC ＋1k AC＝y 1＋y 24＋y 2＋y 34＋y 1＋y 34＝y 1＋y 2＋y 32＝0.14.(多选题)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝8，则下列结论正确的是( ) A.p ＝4 B.DF →＝F A → C.|BD |＝2|BF | D.|BF |＝4答案 ABC解析 如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E ，M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则|PF |＝p ， 由于直线l 的斜率为3，∴其倾斜角为60°，∵AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°， 由抛物线的定义可知|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形， ∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°， ∴|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8， 得p ＝4，A 正确；∵|AE |＝|EF |＝2|PF |，PF ∥AE ，∴F 为AD 的中点，则DF →＝F A →，B 正确； 易得∠ADE ＝30°，∴|BD |＝2|BM |＝2|BF |，C 正确；∵|BD |＝2|BF |，∴|BF |＝13|DF|13|AF|＝83，D错误.＝。
高中数学第三章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程课时作业北师大版
§2 抛物线 2.1 抛物线及其标准方程课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F)的距离________的点的集合叫做抛物线，点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程(1)方程y 2＝±2px，x 2＝±2py(p>0)叫做抛物线的标准方程．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(3)抛物线y 2＝－2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(4)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．(5)抛物线x 2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．一、选择题1．抛物线y 2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )A .|a|4 B .|a|2 C ．|a| D ．－a 22．与抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )A ．(1,0)B ．(116，0)C ．(0,0)D ．(0，116)3．抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p 2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p 2C ．a ＋pD ．a －p4．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P(－3，m)到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x5．方程2[(x ＋3)2＋(y －1)2]＝|x －y ＋3|表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线 D ．抛物线6．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B．3 C. 5 D.92二、填空题7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．能力提升12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )A.12B．1 C．2 D．413．AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a (a为常数且a≥1)，求弦AB的中点M离x 轴的最近距离．1．理解抛物线定义，并能判定一些有关抛物线的点的轨迹问题．2．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．3．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．§2抛物线2．1 抛物线及其标准方程知识梳理1．相等焦点准线2．(2)(p 2，0) x ＝－p 2 向右 (3)(－p 2，0) x ＝p 2 向左 (4)(0，p 2) y ＝－p2 向上(5)(0，－p 2) y ＝p2向下作业设计1．B [因为y 2＝ax ，所以p ＝|a|2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a|2.]2．D [y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线为x 2＝14y ，∴2p＝14，p ＝18，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.]3．B [由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.]4．B [点P(－3，m)在抛物线上，焦点在x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px(p>0)．由抛物线定义知|PF|＝3＋p2＝5.所以p ＝4，所以抛物线的标准方程是y 2＝－8x.] 5．D [原方程变形为(x ＋3)2＋(y －1)2＝|x －y ＋3|2，它表示点M(x ，y)与点F(－3,1)的距离等于点M 到直线x－y ＋3＝0的距离．根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．] 6．A [如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF|.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.] 7．y ＝3解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3.8．y ＝4x 29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意知，设P(x 1，x 21－1)，Q(x 2，x 22－1)，又A(－1,0)，PA⊥PQ，∴PA →·PQ →＝0，即(－1－x 1,1－x 21)·(x 2－x 1，x 22－x 21)＝0，也就是(－1－x 1)·(x 2－x 1)＋(1－x 21)·(x 22－x 21)＝0.∵x 1≠x 2，且x 1≠－1，∴上式化简得x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1，由基本不等式可得x 2≥1或x 2≤－3.10．解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p>0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 11．解 方法一 设P 点的坐标为(x ，y)，则有(x －1)2＋y 2＝|x|＋1，两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x|.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x≥0，0， x<0，即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x≥0)或y ＝0 (x<0)．方法二 由题意，动点P 到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F(1,0)到y 轴的距离为1，故当x<0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P 到点F(1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 在以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y 2＝4x.故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x≥0)或y ＝0 (x<0)．12．C [方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.∵准线与圆相切，圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16，∴3＋p2＝4，∴p＝2.方法二 作图可知，抛物线y 2＝2px (p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，p ＝2.]13．解设A 、M 、B 点的纵坐标分别为y 1、y 2、y 3.A 、M 、B 三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′，如图所示． 由抛物线的定义，知|AF|＝|AA′|＝y 1＋14，|BF|＝|BB′|＝y 3＋14，∴y 1＝|AF|－14，y 3＝|BF|－14.又M 是线段AB 的中点，∴y 2＝12(y 1＋y 3)＝12⎝⎛⎭⎪⎫|AF|＋|BF|－12≥12×⎝⎛⎭⎪⎫|AB|－12＝14(2a －1)．等号在AB 过焦点F 时成立，即当定长为a 的弦AB 过焦点F 时，M 点与x 轴的距离最近，最近距离为14(2a －1)．。
课时作业2：2.7.1 抛物线的标准方程
2.7抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程基础达标一、选择题1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A.(2，0)B.(－2，0)C.(4，0)D.(－4，0)解析∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2，0).答案B2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线解析法一设动点P的坐标为(x，y).则（x－1）2＋（y－1）2＝|3x＋y－4|10.整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线.法二显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.答案D3.已知抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.12 B.1C.2D.4解析 抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，它与圆相切，所以必有－p2＝－1，p ＝2. 答案 C4.抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫716，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－74 解析 方程化为y 2＝－74x x ，抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，0. 答案 C5.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B.1 C.54D.74解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 答案 C 二、填空题6.动点到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是__________.解析 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x ＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线. 答案 以(3，0)为焦点，x ＝－3为准线的抛物线7.以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为____________.解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4，0). 设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.答案y2＝16x8.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.解析如图所示，直线AF的方程为y＝－3(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2，43).设P(x0，43)，代入抛物线方程y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，∴|PF|＝x0＋2＝8.答案8三、解答题9.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程.解法一设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴p2＝3，∴p＝6.∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.法二设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，即（x－3）2＋y2＝|x＋3|，化简，得y2＝12x.∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.10.已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离.解如图所示，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－12，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.由抛物线定义知|AA′|＝|F A|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12(|F A|＋|FB|)≥12|AB|＝12×3＝32，则M到y轴的距离d≥32－12＝1 (当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)，所以d min＝1，即M点到y轴的最短距离为1.能力提升11.已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k 等于( )A.12B.22C. 2D.2解析 由抛物线C ：y 2＝8x 得焦点(2，0)，由题意可知：斜率k ≠0，设直线AB 为my ＝x －2，其中m ＝1k . 联立⎩⎨⎧my ＝x －2，y 2＝8x 得到y 2－8my －16＝0，Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16. 又MA →＝(x 1＋2，y 1－2)，MB →＝(x 2＋2，y 2－2)， 所以MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2) ＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋(y 1－2)(y 2－2) ＝(m 2＋1)y 1y 2＋(4m －2)(y 1＋y 2)＋20＝－16(m 2＋1)＋(4m －2)×8m ＋20＝4(2m －1)2. 由4(2m －1)2＝0，解得m ＝12.所以k ＝1m ＝2.故选D. 答案 D12.设F (1，0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →·PF →＝0. (1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上除去原点外的不同三点，且2|BF →|＝|AF→|＋|DF →|，当线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3，0)时，求点B 的坐标. 解 (1)设N (x ，y )，由MN→＝2MP →，得点P 为线段MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x ，0)，∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2.由PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . ∴点N 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)由抛物线的定义，知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，|DF |＝x 3＋1， ∵2|BF→|＝|AF →|＋|DF →|， ∴2x 2＋2＝x 1＋1＋x 3＋1，即x 2＝x 1＋x 32.∵线段AD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32，y 1＋y 32，且线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3，0)，∴线段AD 的垂直平分线的斜率为k ＝y 1＋y 32－0x 1＋x 32－3＝y 1＋y 3x 1＋x 3－6.又k AD ＝y 3－y 1x 3－x 1，∴y 3－y 1x 3－x 1·y 1＋y 3x 1＋x 3－6＝－1，即4x 3－4x 1（x 23－x 21）－6（x 3－x 1）＝－1. ∵x 1≠x 3，∴x 1＋x 3＝2，又x 2＝x 1＋x 32，∴x 2＝1. ∵点B 在抛物线y 2＝4x 上，∴B (1，2)或(1，－2).创新猜想13.(多选题)当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是( ) A.x 2＝32y B.y 2＝32x C.x 2＝－32yD.x 2＝－12y解析 将直线的方程化为(3x ＋y ＋2)＋a (2x －4)＝0， 令⎩⎨⎧3x ＋y ＋2＝0，2x －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－8.∴P (2，－8). 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)，∴(－8)2＝2a 或22＝－8b ，解得a ＝32或b ＝－12，故抛物线的标准方程为y 2＝32x 或x 2＝－12y .故选BD. 答案 BD14.(多填题)如图所示，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切.(1)抛物线C 的标准方程为________________.(2)若点A ，B 都在抛物线C 上，且FB→＝2OA →，则点A 的坐标为________.解析 (1)依题意，可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p ＞0)，其准线l 的方程为y ＝－p 2，因为准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，所以圆心(0，0)到准线l 的距离d ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝1，解得p ＝2.故抛物线C 的标准方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则⎩⎨⎧x 21＝4y 1，①x 22＝4y 2，②由题意得F (0，1)， 所以FB →＝(x 2，y 2－1)，OA →＝(x 1，y 1). 因为FB→＝2OA →， 所以(x 2，y 2－1)＝2(x 1，y 1)＝(2x 1，2y 1)， 即⎩⎨⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1＋1，代入②得4x 21＝8y 1＋4， 即x 21＝2y 1＋1，又x 21＝4y 1，所以4y 1＝2y 1＋1，解得y 1＝12，x 1＝±2，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.答案 x 2＝4y ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12。
高中数学课时作业(湘教版选修第一册)课时作业(二十九) 抛物线的标准方程
课时作业(二十九) 抛物线的标准方程[练基础]1．[2022·湖南长郡中学高二期末]抛物线y ＝x 2的焦点坐标是( )A ．(12 ，0)B ．(14，0) C ．(0，12 ) D ．(0，14) 2．已知在平面直角坐标系中有一定点F (1，0)，动点P (x ，y )(x ≥0)到y 轴的距离为d ，且|PF |－d ＝1，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝2x3．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A ．14B ．－14C ．4D ．－44．若抛物线x 2＝8y 上一点P 到焦点的距离为8，则点P 的纵坐标为( )A ．6B ．±6C ．7D ．±435．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点M (4，y 0)为C 上一点，若|MF |＝2y 0，则C 的准线方程为( )A ．x ＝－2B ．y ＝－2C ．x ＝－3D ．y ＝－36.(多选)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3 ，则下列结论正确的是( )A ．准线方程为x ＝－3B ．焦点坐标F (32，0) C ．点P 的坐标为(92，33 ) D ．PF 的长为37．[2022·湖南平江一中高二月考]若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝________．8．抛物线x 2＝2py (p ＞0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5，则该抛物线的方程为________．9．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．[提能力]10．如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，则以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程为( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝4x C ．y 2＝33 x D ．y 2＝36x 11．[2022·湖南师大附中高二期末](多选)设抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，点M 为C 上一动点，E (3，1)为定点，则下列结论正确的是( )A ．准线l 的方程是x ＝－2B ．|ME |－|MF |的最大值为2C ．|ME |＋|MF |的最小值为5D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切12．[2022·湖南长沙高二期末]已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l 于A ，若直线AF 的倾斜角为120°，那么|P A |＝________．13．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若|MF |＝6，则点M 的横坐标为________； △MNF 的面积为________．14．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1，1)，求|P A |＋d 的最小值；(2)若B (3，2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[培优生]15．已知P 1、P 2、P 3、…、P 10是抛物线y 2＝8x 上不同的点，点F (2，0)，若FP 1＋FP 2＋…＋FP 10＝0，则|FP 1|＋|FP 2|＋…＋|FP 10|＝________．。
高二数学课时作业3.1《抛物线及其标准方程》
高二数学课时作业§ 3.1《抛物线及其标准方程》一．单选题1.若抛物线的准线方程为2024y =-，则其焦点坐标为（）A ．()0,2024-B ．()2024,0-C ．()0,2024D ．()2024,02.已知抛物线C 的方程为=−1,则此抛物线的焦点坐标为（A ．(-4,0)B ．−C ．(-2,0)D ．3.已知M 为拋物线22y px =上一点，且M 到抛物线焦点F 的距离为4，它到y 轴的距离为3，则p =（）A ．4B ．3C ．2D ．14.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 在抛物线C 上，点B 在准线l 上，若AFB △是边长为2的等边三角形，则p 的值是（）A ．1BC ．2D ．5.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD 的长）为（）A ．40米B ．30米C ．25米D ．20米6.已知抛物线216y x =的焦点与双曲线()22104x y m m+=≠的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．y =C ．12y x=±D ．2y x=±二．多选题7.已知抛物线21:(0)C y mx m =>与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线方程为3y =±C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为48.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点00(,)M x y 在C 上，若45MOF ∠= （O 为坐标原点），则（）A ．04x =B ．04y =C ．5MF =D ．3cos 5OFM =∠三．填空题9.已知抛物线的焦点是圆22310x y x +--=的圆心，则该抛物线的标准方程为．10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右支与焦点F 的抛物线2x y =交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则双曲线的离心率为.四．解答题11.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F(1)若点P 为C 上一点，且4PF =，求点P 的横坐标.(2)若斜率为2的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，线段AB 中点为M ，求点M 的轨迹方程．12.已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过点()2,1D 且斜率为1的直线经过点F ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 是抛物线C 上两个动点，在x 轴上是否存在定点M （异于坐标原点O ），使得当直线AB 经过点M 时，满足OA OB ⊥？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
高中数学课时作业12抛物线及其标准方程新人教A版选修2_1
课时作业12 抛物线及其标准方程|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．以直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点为焦点的抛物线的方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝12x D ．y 2＝－12x解析：因为焦点为直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点，所以令y ＝0，得x ＝4，则焦点为(4,0)，故所求抛物线的方程为y 2＝16x .答案：A2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1)解析：∵抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1，∴p2＝1，∴抛物线的焦点坐标为(1,0)．答案：B3．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆解析：由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大于1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．答案：A4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.答案：C5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2. 若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .答案：D二、填空题(每小题5分，共15分) 6．抛物线y 2＝4x 的准线方程为________．解析：由抛物线的方程y 2＝4x 可知p ＝2，开口向右，可直接得到准线方程是x ＝－1. 答案：x ＝－17．抛物线x ＝14m y 2的焦点坐标是________．解析：方程改写成y 2＝4mx ，得2p ＝4m ， ∴p ＝2m ，即焦点(m,0)． 答案：(m,0)8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0；(3)y 2＝ax (a >0)．解析：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110，准线方程是y ＝－110.(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.10．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5.解析：(1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .|能力提升|(20分钟，40分)11．若动点P 到定点F (1,1)的距离与它到直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，则由题意可得(x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|10，化简、整理，得x －3y ＋2＝0.所以动点P 的轨迹为直线，选D.答案：D12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：1413．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，且点M 到焦点的距离为10，求点M 的坐标．解析：由抛物线方程y 2＝－2px (p >0)，得焦点坐标为F (－p 2，0)，准线方程x ＝p2.设点M到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x .设点M 的纵坐标为y 0，由点M (－9，y 0)在抛物线上，得y 0＝±6，故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．14．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)解析：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．依题意有P ′(1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12.故得抛物线方程为x 2＝－y .点B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2， 即|AB |＝2，则|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2) m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.。
课时作业18：2.4.1 抛物线及其标准方程
§2.4 抛物线2．4.1 抛物线及其标准方程一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1 C.14 D.12考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答案 C解析 抛物线y ＝2x 2化为x 2＝12y ， ∴焦点到准线的距离为14. 2．若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答案 D解析 方法一 设动点P 的坐标为(x ，y )． 则(x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|10. 整理，得x 2＋9y 2＋4x －12y －6xy ＋4＝0，即(x －3y ＋2)2＝0，∴x －3y ＋2＝0.所以动点P 的轨迹为直线．方法二 显然定点F (1,1)在直线l ：3x ＋y －4＝0上，则与定点F 和直线l 距离相等的动点P 的轨迹是过F 点且与直线l 垂直的一条直线．3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程题点 求抛物线的焦点坐标答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.4．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x 或x 2＝－8yB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程答案 A解析 因为点P 在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于() A ．4 B ．2C ．1D ．8考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答案 C解析 如图，F ⎝⎛⎭⎫14，0，过A 作AA ′⊥准线l ，∴|AF |＝|AA ′|，∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.6．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答案 A解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r ，由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，所以点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹是抛物线．7．已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离为5，则△PFO 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其它知识结合的应用答案 B解析 由题意，知抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为抛物线y 2＝4x 上的一点P 到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P 到准线x ＝－1的距离是5，则点P到y 轴的距离是4，所以P (4，±4)，所以△PFO 的面积为12×1×4＝2. 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716考点 求抛物线的最值问题题点 根据抛物线定义转换求最值答案 A解析 如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|(－3)2＋42＝2.二、填空题9．已知双曲线x 2m－y 2＝1的右焦点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则m ＝________. 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程题点 求抛物线的焦点坐标答案 3解析 由题意得m ＋1＝22，解得m ＝3.10．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答案 9解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线为x ＝－1.由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.11．一抛物线形拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为________米．考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 4 2解析 以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由桥顶离水面2米时，水面宽4米可得图中点A 的坐标为(2，－2)，所以4＝－2p ×(－2)，解得p ＝1.所以抛物线的方程为x 2＝－2y .当水面下降2米，即当y ＝－4时，可得x 2＝－2×(－4)＝8，解得x ＝±22，因此水面宽为42米．三、解答题12．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p 2＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .13．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10考点 求抛物线的最值问题题点 根据抛物线定义转换求最值答案 C解析 抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，如图，设点P 在准线上的射影是点M ，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9. 当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|P A |＋|PQ |的最小值为9.故选C.14．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程． 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用解 方法一 由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x <0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等， 故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x ≥0，0， x <0. 方法二 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ， x ≥0，0， x <0. 即点P 的轨迹方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ， x ≥0，0， x <0.。
课时作业4：3.3.2 第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用
第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用课时对点练1．过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点作直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( )A ．16B ．12C ．10D ．8答案 B解析 由题意得p ＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋6＝12.2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆心C 的轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆答案 A解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r ，由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，所以圆心C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C 的轨迹是抛物线．3．直线2x －y －4＝0与抛物线y 2＝6x 交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为( )A ．8 B.2852 C.3052 D.3352 答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，2x －y －4＝0， 消去y 并整理得2x 2－11x ＋8＝0，Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝112，x 1x 2＝4， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4×1214－4×4＝2852. 4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3 答案 A解析 方法一 设与抛物线相切的直线，且与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0.与抛物线y ＝－x 2联立，消去y 可得3x 2－4x －m ＝0，由题意知，Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43. ∴最小值为两平行线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－43＋85＝43. 方法二 设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5， 当m ＝23时，取得最小值43. 5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为E ，O 为坐标原点，且|OE |＝13，则p 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．12答案 A解析 由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 为y ＝x －p 2， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，相减得， y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1＋y 2＝2p ， 因为E 为线段AB 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即E ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，p ，因为E 在直线AB ：y ＝x －p 2上，所以E ⎝⎛⎭⎫3p 2，p ， 又因为|OE |＝13，所以p ＝2.6．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|BF |＝16，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．8答案 C解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴直线AB 的方程为y ＝x －p 2， 代入y 2＝2px 可得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， 由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2， ∴|AF |·|BF |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2 ＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24＋32p 2＋p 24＝2p 2＝16，解得p ＝2 2.7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．答案 72解析 抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1，p ＝2.由抛物线的定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋p ＝7，故x 1＋x 2＝5.于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 8．已知抛物线C ：y 2＝2x ，斜率为k 的直线l 过定点M (x 0，0)，直线l 交抛物线C 于A ，B两点，且A ，B 位于x 轴两侧，OA →·OB →＝3(O 为坐标原点)，则x 0＝________.答案 3解析 设直线l 的方程为y ＝k (x －x 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与抛物线方程联立可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －x 0)， 消去y 并整理可得，k 2x 2－(2k 2x 0＋2)x ＋k 2x 20＝0，由根与系数的关系可得，x 1x 2＝x 20，则y 1y 2＝－4x 1x 2＝－2x 0，∵OA →·OB →＝3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝3，即x 20－2x 0＝3，解得x 0＝3(负值舍去)．9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A ，B 两点．求证：(1)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；(2)直线AB 过定点．证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x 0，y 0)，(1)k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2， ∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， ∴y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0， ∵y 1≠0，y 2≠0，∴y 1y 2＝－4p 2，∴x 1x 2＝4p 2.(2)当直线AB 的斜率存在时，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2， ∴k AB ＝2p y 1＋y 2， ∴直线AB ：y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2， ∵y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2， ∴y ＝2p y 1＋y 2(x －2p )， ∴AB 过定点(2p ,0)．当直线AB 的斜率不存在时，则k OA ＝1，∴直线OA ：y ＝x ，与抛物线方程联立，得x 2＝2px ，∴A (2p ,2p )，故直线AB 过定点(2p ,0)，综上，AB 过定点(2p ,0)．10.如图，已知抛物线y 2＝4x ，其焦点为F .(1)求以M (1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m ，n 都经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点和C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．解 (1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在．设所求直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2， ∴所求直线方程为2x －y －1＝0.(2)依题意知，直线m ，n 的斜率存在，设直线m 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，其两根为x 3，x 4，且x 3＋x 4＝4k 2＋2. 由抛物线的定义可知，|AB |＝2＋x 3＋x 4＝4k2＋4， 同理，|CD |＝4k 2＋4，∴四边形ACBD 的面积S ＝12(4k 2＋4)·⎝⎛⎭⎫4k 2＋4＝8⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2≥32.当且仅当k ＝±1时取得最小值．11．设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l ：3x ＋4y ＋12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B.153 C.163D ．3 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，3x ＋4y ＋12＝0， 得3y 2＋16y ＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解，∴直线3x ＋4y ＋12＝0与抛物线相离．又d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1，而d 1＋1为P 到准线x ＝－1的距离，故d 1＋1为P 到焦点F (1,0)的距离，从而d 1＋1＋d 2的最小值为F 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离， 即|1×3＋0×4＋12|32＋42＝3， 故d 1＋d 2的最小值为2.12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ， 解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2 3. ∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝3＋1＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形．∴点M 到直线NF 的距离为2 3.13．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32解析 设AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，Δ>0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32，当m ＝0时，y 21＋y 22的最小值为32.14．已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.答案 2解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点F 的坐标为(1,0)，所以直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ， 得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1， 因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋[k (x 1－1)－1]·[k (x 2－1)－1]＝(1－k －k 2)(x 1＋x 2)＋(1＋k 2)x 1x 2＋k 2＋2k ＋2＝(1－k －k 2)2(k 2＋2)k 2＋(1＋k 2)＋k 2＋2k ＋2＝0， 解得k ＝2.经检验，k ＝2符合题意．15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线y 2＝2px (p >0)，如图，一平行于x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后又射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于x 轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为__________．答案 y 2＝3x解析 由抛物线的光学性质可得，PQ 必过抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.当直线PQ 的斜率不存在时，易得|PQ |＝2p ；当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2⎝⎛⎭⎫x 2－px ＋p 24＝2px ， 整理得4k 2x 2－(4k 2p ＋8p )x ＋k 2p 2＝0，所以x 1＋x 2＝p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24. 所以|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2>2p . 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝3x .16.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．解 (1)由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则该直线方程为y ＝x －p 2， 代入y 2＝2px (p >0)，得x 2－3px ＋p 24＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p .∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x ，得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0.∵直线l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝0，解得b ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.由(1)可知x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.设P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))，PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)]·[y 2－(m ＋1)]＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)·(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2.∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4.∵y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴y 1＋y 2＝4×x 1－x 2y 1－y 2＝4， ∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2＝2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14，当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →取得最小值，最小值为－14.。
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抛物线及其标准方程
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为
( ) A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y
D.x2=-8y
2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为( )
A.(1,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(-1,0)
3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+
6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )
A.y=3x2或y=-3x2
B.y=3x2
C.y2=-9x或y=3x2
D.y=-3x2或y2=9x
4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
5.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( )
A.(0,2)
B.(0,-2)
C.(2,0)
D.(4,0)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.
7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.
8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.(2013·宜春高二检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程.
10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.
答案解析
1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,∴p=4,所以它的标准方程为x2=-8y.
【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何?
【解析】由条件可知=7,即p=14.∵准线方程为x=-7,∴焦点是x轴正半轴上的(7,0)点,故方程为y2=28x.
2.【解析】选D.由y2=ax的准线方程为x=-得,-=1,
∴a=-4,从而抛物线方程为y2=-4x,其焦点为(-1,0).
3.【解析】选D.圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心为(1,-3),设抛物线方程为y2=ax或x2=by,把(1,-3)代入并解得a=9,b=-,∴方程为y2=9x或y=-3x2.
4.【解析】选A.由题知抛物线的准线方程为x=-3,设P(x,y),则x+3=8,∴x=
5.
5.【解题指南】利用抛物线的定义求解.
【解析】选C.∵y2=8x的准线方程为x=-2,且动圆的圆心在抛物线上.根据抛物线的定义,动圆圆心到直线x=-2的距离等于到焦点的距离,∴动圆必过定点即焦点(2,0).
【变式备选】若动点P到定点(1,1)的距离与到直线2x+y-1=0的距离相等,则P 点的轨迹是( )
A.抛物线
B.线段
C.直线
D.射线
【解析】选A.因为点(1,1)不在直线2x+y-1=0上,故点的轨迹是以点(1,1)为焦点,以直线2x+y-1=0为准线的抛物线,故选A.
6.【解题指南】运用方程的思想,列方程组求解.
【解析】抛物线y=4x2的焦点坐标为(0,),设M(x0,y0),
则解得y0=.
答案:
7.【解析】∵抛物线方程为y2=2px,∴其焦点在x轴上,又∵圆(x-3)2+y2=16与x 轴的交点为(-1,0)和(7,0),由题意知准线方程为x=-1或x=7,即焦点为(1,0)或(-7,0),
∴=1或-7,解得p=2或-14.
答案:2或-14
8.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.
【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2×(-3)=6,所以x=±,水面宽是2米.
答案:2
9.【解析】设抛物线方程为:y2=2px(p>0),将点(,)代入方程得p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.准线方程为:x=-1,由此知道双曲线方程中:c=1;焦点为
(-1,0),(1,0),点(,)到两焦点距离之差为2a=1,∴双曲线的方程
为:-=1.
10.【解题指南】可以利用直接法求出动点P的轨迹方程,也可以用定义法求轨迹方程.
【解析】方法一:设点P的坐标为(x,y),
则有=|x|+1.
两边平方并化简,得y2=2x+2|x|,
所以y2=
即点P的轨迹方程为y2=
方法二:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).
综上,点P的轨迹方程为y2=
【误区警示】解答本题时,方法一中,距离很容易因忘加绝对值号而出错,方法二也很容易因思考不全面而漏掉x<0的情况.
11.【解题指南】根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离,画出草图,通过观察图形,利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标.
【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的
内部.
如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点
A作AB⊥l于点B,
由抛物线的定义可知:|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥
|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|.
∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2,y0),代入x2=8y得y0=,故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,).
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