抛物线及其标准方程(优质课) ppt

p p 2 2 d | x |, | MF | ( x ) y 2 2 p 2 p 2 ( x ) y | x | . 2 2
2 y 将上式两边平方并化简，得： 2 px
y
方程
y 2 px 叫抛物线的标准
2
方程，它表示的抛物线的焦点在x轴 的正半轴上，焦点坐标是 (
(4)焦点是直线x+y+1=0与坐标轴的交点, 故 F (0, 1) p 2 1 , p 2 或 F ( 1, 0) ，所以 ，故方程为 x 4 y 或
y 4x
2
例 2 一种卫星接收天线的轴 截面如图2.3 3 1 所示.卫星波束呈近似平行状 态射入轴 截面为抛物线的接收天 线, 经反射聚集到焦 直径为 4.8m, 深 点处 . 已知接收天线的口径 度为0.5 m, 求抛物线的标准方程和 焦点坐标 .
y 2 2 px
y2=2px
请根据前面求出的抛物线的标准方程完成下表:
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 2 px
p 0
y 2 2 px p 0
x 2 2 py p 0
p ,0 2
p ,0 2
p x 2
p 0
p 0, 2
p y 2
作业布置：
课本p64 练习2、3、5.
课外练习：
1、求抛物线 y a x (a 0) 的焦点和准线方程。
2
2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
新课讲授:
1、定义
平面内与一个定点F和一条定 直线l（l不经过点F）的距离相等 的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。
2、标准方程
想 一 想 ？
步骤：
（1）建系设点 （2）找等量关系式 （3）代入坐标 （4）化简方程 （5）证明（常略）
如何建立直角 坐标系？
p 2
思 考
共你 同能 点说 和出 不四 同种 点图 吗形 ？的
x
p 0, 2
y
p 2
x 2 2 py
p 0
p 0, 2
p y 2
y 2 2 px
p 0
y 2 2 px p 0
x 2 2 py p 0
2因为抛物线焦点在 y轴的负半轴上, 且
p 2, p 4, 所以, 所求抛物线的标准方程 2 是 x 2 8 y .
例3 根据已知条件，求抛物线的标准方程. (1)焦点坐标为 F 0,2 (2)经过点(2 , 2)
p 解： (1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且 2 2, p 4,
y
A
O
F x
1
图 2 .3 3
B
2
A 解 如图 2.3 3 2, 在接收天 线的轴截面所在平面内 建立 直角坐标系 , 使接收天线的顶 O F x 点 即抛物线的顶点 与原点 B 2 重合 . 图 2 .3 3 2 设抛物线的标准方程是 y 2 px p 0 . 由已知条件可得 , 点A的坐标是
求p！
想一想
求抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程时，关键是求什么？
例题讲解
例1
1已知抛物线的标准方程是
y 6 x,
2
求它的焦点坐标和准线方程 ; 方程.
解
2已知抛物线的焦点是0,2, 求它的标准
1因为p 3, 所以抛物线的焦点坐标
3 3 是 ,0 , 准线方程是 x . 2 2
y 2 12 x
课堂小结
1、掌握抛物线的定义。 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F） 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
2、深化曲线方程的求解方法: （1）建系设点（2）找等量关系式 （3）代入 （4）化简.
3、掌握并理解抛物线的四种形式的标准方程. 注：①p的几何意义是：焦点到准线的距离； ②对称轴看一次项系数,符号确定开口方向。
(3)准线方程为 x
1 4
(4)焦点在直线x+y+1=0
代入解得 p 1 故所求方程为 y 2 2 x 或 x2 2 y 1 p 1 2 (3)标准方程为 y 2 px，由 2 4 得 p 2 ， 所求方程为 y 2 x
2
所以所求抛物线的标准方程是x2 =－8y. (2)标准方程为 y 2 2 p x 或 x2 2 p y ，将点(2 , 2)
（第一课时）
复习引入:
1、平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离 的比为常数e(0<e<1 )的点的轨迹是椭圆. 2、平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离 的比为常数e(e>1 )的点的轨迹是 双曲线. 那么当e=1，即平面内与一 个定点F和一条定直线l 的距离 相等时，点的轨迹是什么呢？
做 一 做
求曲线方程的基本 步骤是怎样的？
如图，建立直角坐标系xOy， 使x轴经过点F且垂直于直线 l ，垂足为K， 并使原点与线段KF的中点重合.
y
设 KF p( p 0) ，那么焦点F的坐标
p p 为( ,0) ， 准线 l 的方程为 x . 2 2
O
x
设点M（x,y）是抛物线上任意
一点，点M到l 的距离为d.由抛物线的 定义可知， | MF | d
y
0.5,2.4, 代入方程得 2.4
2
2 p 0.5 , 即p 5.76.
所以, 所求抛物线的标准方程 是 y 2 11.52x, 焦点坐标是 2.88,0.
反馈练习
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（ 1 ）y 2 20 x 1 2 （2）x y 2 2 （3）2 y 5 x 0
x 2 2 py
p 0
数形共同点: (1)焦点在坐标轴上; (3)抛物线过原点 ；
(2)对称轴为坐标轴; (4)焦点到准线的距离均为p；
(5) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。 口诀: 对称轴要看一次项,符号确定开口方向; （看x的一次项系数,正时向右,负向左; 看y的一次项系数,正时向上,负向下.）
（4）x 2 8 y 0 2、根据下列条件写出抛物线的标准方程
F (5 ，0) ；x 5 1 1 F (0 ， ) ；y 8 8 5 5 F ( ， 0) ； x 8 8 F (0 ， 2) ；y 2
（ 1 ）焦点是F (3 ， 0)；
1 2 （2）准线方程是 x ； y x 4 2 2 （3）焦点到准线的距离为 2； y 4 x或 x 4 y
图形
标准方程
y 2 2 px
焦点坐标
p ,0 2
p ,0 2
准线方程
x p 2
p 0
y 2 2 px p 0
x 2 2 py p 0
p x 2
p 0, 2
p y 2
x 2 2 py
的准线方程是 x p . 2
p ，它 ,0 ) 2
O
x
注意：
p的几何意义是：焦点到准线的距离。
思考：能否从抛物线y2=2px 推出开口相反 的抛物线的标准方程 ? y y
O F
x

F O
x
y2=2px
如右图所示，两抛物线
关于y轴对称,只需在 y 2 2 px
想一想
M
M'
中以-x 代换x即可.