九章二节动态规划应用举例
动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
动态规划.pdf
第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
动态规划的应用举例大全
在0/1背包问题的基础上，通过动态规 划的方式解决多个约束条件下的物品 选择问题。
排程问题
作业车间调度问题
通过动态规划的方式，求解给定一组作业和机器，如何分配作业到机器上，使得 完成时间最早且总等待时间最小。
流水线调度问题
通过动态规划的方式，解决流水线上的工件调度问题，以最小化完成时间和总延 误时间。
应用场景
在基因组测序、进化生物学和生物分类学等领域中，DNA序列比对是关键步骤。通过比对，可以发现物种之间的相 似性和差异，有助于理解生物多样性和进化过程。
优势与限制
动态规划算法在DNA序列比对中具有高效性和准确性，能够处理大规模数据集。然而，对于非常长的序 列，算法可能需要较长时间来运行。
蛋白质结构预测
应用场景
深度学习中的优化算法广泛应用于语音识别、图像处理、 自然语言处理等领域，动态规划可以帮助提高训练效率和 模型的准确性。
自适应控制和系统优化
问题描述
动态规划方法
自适应控制和系统优化是针对动 态系统的优化和控制问题。在这 些问题中，动态规划可以用于求 解最优控制策略和系统参数调整。
通过定义状态转移方程和代价函 数，将自适应控制和系统优化问 题转化为动态规划问题。状态表 示系统的当前状态和参数，代价 函数描述了在不同状态下采取不 同行动的代价。
考虑风险因素和概率
动态规划可以考虑到风险因素和概率，以制定最优的风险评估和管 理策略。
考虑风险承受能力和资本充足率
动态规划可以考虑到风险承受能力和资本充足率，以制定最优的风 险评估和管理策略。
04 动态规划在生物信息学中 的应用
DNA序列比对
算法描述
DNA序列比对是生物信息学中常见的问题，通过动态规划算法可以高效地解决。算法将DNA序列视为字符串，并寻 找两个或多个序列之间的最佳匹配。
动态规划练习例题
动态规划方法总结
动态规划算法的设计步骤
– – – – – – – 将问题表示成多步判断 确定是否满足优化原则——必要条件 确定子问题的重叠性——估计算法效率 列出关于优化函数的递推方程(或不等式)和边界条件 自底向上计算子问题的优化函数值----非递归的算法 备忘录方法记录中间结果 标记函数追踪问题的解
• S(i)表示结束于位置i的最大子区间和 • max{S(i)}即为所求最大子区间和 • 考虑如何递推求解并反算问题解
最大子矩阵
• 已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的 和。给定一个矩阵，找到最大的非空(大小 至少是1 * 1)子矩阵。 • 例如这个矩阵的最大子矩阵大小为15。
0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2
动态规划练习例题在棋盘上移动在一个nn的棋盘上棋子可以向上方右上方或左上方移动每次从x方格移动到y方格将获得pxy元钱pxy不一定是正数现求一个获得钱最多的从底边到顶边的一种移动棋子的方案
动态规划练习例题
在棋盘上移动
• 在一个n×n的棋盘上，棋子可以向上方、 右上方或左上方移动，每次从x方格移动到y 方格将获得p(x,y)元钱， p(x,y)不一定是正 数，现求一个获得钱最多的从底边到顶边 的一种移动棋子的方案。
解题思路
Qx, y 1 Q x, y max Qx 1, y 1 Q x 1, y 1 y 1 px, y 1, x, y y 1 px 1, y 1, x, y y 1且x 1 px 1, y 1, x, y y 1且x 字符串X=x1,x2,…xm和Y=y1,y2,…yn 使用一系列编辑操作将字符串X转变成Y。允许使 用插入，删除，修改三种操作，每种操作都有 一定的代价，求一个总代价最小的操作序列。 – 设从字符X中删除符号xi的代价为D(xi) – 将符号yj插入X的代价为I(yj) – 将X中的符号xi修改成yj的代价为C(xi,yj)
动态规划的应用-排序问题
动态规划求解
? 最优排序方案：尽量减少在B上等待加 工的时间，使总加工时间最短。
? 阶段：机床A上更换工件的时刻k=1， 2，…，n。
? 状态变量：（X,t） X: 在机床A上等待加工的的工件集合。 x：不属于X的在A上最后加工完的工 件。 t: 在A上加工完x的时刻算起到B上 加工完x所需的时间。
工件是被加工的对象，是要完成的任务；机 器是提供加工的对象，是完成任务所需要的资源。
排序问题的分类：
多台机器的排序问题 单台机器的排序问题
单件作业（Job-shop）排序问题： 工件的加工路线不同
流水作业（Flow-shop）排序问题： 所有工件的加工路线完全相同
下面主要介绍三种排序问题： ? 1、一台机器、n个工件的排序问题 ? 2、两台机器、n个工件的排序问题 ? 3、 n／m／P /Fmax 排序问题
s2 ? T1( s1 , u1 ) ?s3 ?? T 2 ( s 2 , u 2 ) sk ?1 ? Tk (sk , uk )
动态规划中能 处理的状态转移
方程的形式。
动态规划方法的关键在于正确地 写出基本的递推关系式和恰当的边界 条件。要做到这一点，就必须将问题 的过程分成几个相互联系的阶段，恰 当的选取状态变量和决策变量及定义 最优值函数，从而把一个大问题转化 成一组同类型的子问题，然后逐个求
1
1.8
4
0.922Fra bibliotek051.3
3
0.5
6
1.5
应该按照什么样的加工顺序来加工这六个零件，才 能使得这六个零件在车间里停留的平均时间为最少？
可知这六个零件的停留时间为：
T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6＝ P1 + ( P1 + P2 ) + (P1 + P2 + P3 ) + (P1 + P2 + P3 + P4 ) +(P1 + P2 + P3 + P4 + P5) + (P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 ) ＝ 6 P1 + 5 P2 + 4P3 + 3P4 + 2P5 + P6.
动态规划(完整)
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理
§7.3 动态规划应用举例
例 求解最短路问题
A1 2 Q 4 3 A3 A2 6 3 7 4 B1 1 4 2 4 4 1 5 6 B2 3 B3 3 3 C2 C1 3 4 T
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
分阶段的最短路径
• • • • • • • Ⅳ ： C1—T Ⅲ --Ⅳ : B1—C1—T Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ： Q—A2—B1—C1—T Q--A3—B1—C1—T Q--A3—B2—C2—T 3 4 7
决策为 xk 时的指标，则它就是第 k 段指标函
数，简记为vk 。 （2）过程指标函数（也称目标函数） 用f(sk , xk)表示第k子过程的指标函数。表
示处于第 k 段 sk 状态且所作决策为xk时，
从 sk 点到终点的距离。由此可见， f(sk , xk)
不仅跟当前状态 sk 有关，
还跟该子过程策略 pk(sk) 有关,严格说来，应
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
（1）阶段指标函数（也称阶段效应）
用vk(sk , xk)表示第 k 段处于状态 sk且所作
资规划, 排序问题和生产过程的最优控制
等问题;
§7.2 动态规划的基本概念和基本思想
一、基本概念
使用动态规划方法求解决策问题首先要将 问题改造成符合动态规划求解要求的形式, 要涉及以下概念: (1)阶段 (3)决策与策略 (2)状态 (4)状态转移方程
动态规划-动态规划-美国数学家贝尔曼-动态规划领域
物品
1 2 … j …n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an
每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
类似问题：工厂里的下料问题、运输中的 货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。
生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求 是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳 生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度 地根据库存和需求决定生产计划。
描述状态的变量称为状态变量，它可用一个数、 一组数或一向量（多维情形）来描述，第k阶段 的状态变量常用sk表示，通常一个阶段有若干个 状态。
第k阶段的状态就是该阶段所有始点的集合， 用Sk表示。在第1阶段状态变量s1是确定的，称初 始状态。如引例中:
S1 A，S2 B1, B2, B3，S3 C1,C2,C3，S4 D1, D2
min
4
9
12
决策点为B3
AB3
f2
B3
3 9*
f1(A)=12说明从A到E的最短距离为12，最短路 线的确定可按计算顺序反推而得。即
A→B3→C2→D2→E 上述最短路线问题的计算过程，也可借助于图
形直观的表示出来：
12 2 A4
3
11
B1
7 4
6
93
B2 2
4
96
B3
2 5
6
C1 3
多阶段决策过程特点：
（1）根据过程的特性可以将过程按空 间、时间等标志分为若干个互相联系又互相 区别的阶段。
（2）在每一个阶段都需要做出决策，从 而使整个过程达到最好的效果。
（3）在处理各阶段决策的选取上，不仅只 依赖于当前面临的状态，而且还要注意对以后 的发展。即是从全局考虑解决局部（阶段）的 问题。
动态规划算法详解及经典例题
动态规划算法详解及经典例题⼀、基本概念（1）⼀种使⽤多阶段决策过程最优的通⽤⽅法。
（2）动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，⼜随即引起状态的转移。
⼀个决策序列就是在变化的状态中产⽣出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
假设问题是由交叠的⼦问题所构成，我们就能够⽤动态规划技术来解决它。
⼀般来说，这种⼦问题出⾃对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包括了同样问题的更⼩⼦问题的解。
动态规划法建议，与其对交叠⼦问题⼀次重新的求解，不如把每⼀个较⼩⼦问题仅仅求解⼀次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的）。
这样就能够从表中得到原始问题的解。
（3）动态规划经常常使⽤于解决最优化问题，这些问题多表现为多阶段决策。
关于多阶段决策：在实际中，⼈们经常遇到这样⼀类决策问题，即因为过程的特殊性，能够将决策的全过程根据时间或空间划分若⼲个联系的阶段。
⽽在各阶段中。
⼈们都须要作出⽅案的选择。
我们称之为决策。
⽽且当⼀个阶段的决策之后，经常影响到下⼀个阶段的决策，从⽽影响整个过程的活动。
这样，各个阶段所确定的决策就构成⼀个决策序列，常称之为策略。
因为各个阶段可供选择的决策往往不⽌⼀个。
因⽽就可能有很多决策以供选择，这些可供选择的策略构成⼀个集合，我们称之为同意策略集合（简称策略集合）。
每⼀个策略都对应地确定⼀种活动的效果。
我们假定这个效果能够⽤数量来衡量。
因为不同的策略经常导致不同的效果，因此，怎样在同意策略集合中选择⼀个策略，使其在预定的标准下达到最好的效果。
经常是⼈们所关⼼的问题。
我们称这种策略为最优策略，这类问题就称为多阶段决策问题。
（4）多阶段决策问题举例：机器负荷分配问题某种机器能够在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。
在⾼负荷下⽣产时。
产品的年产量g和投⼊⽣产的机器数量x的关系为g=g(x)，这时的年完善率为a，即假设年初完善机器数为x，到年终时完善的机器数为a*x(0<a<1)；在低负荷下⽣产时，产品的年产量h和投⼊⽣产的机器数量y 的关系为h=h(y)。
动态规划(生产和存储问题)
动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。
二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。
通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。
阶段变量一般用k=1.2….n.表示。
1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。
它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。
通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。
描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。
变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。
用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。
n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。
动态规划-例题众多-详细讲解
步骤2：状态转移方程：
步骤3：以自底向上的方法来计算最优解
12
程序的实现
BuyTicks(T, R)
1 n ← length[T]
2 f[0] ← 0
3 f[1] ← T[1]
4 for i ← 2 to n do
5
f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
6
if f[i] > f[i-1]+T[i] then
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
2
递归 vs 动态规划
递归版本:
F(n)
1 if n=0 or n=1 then
2
return 1
3 else
4
return F(n-1) + F(n-2)
太慢!
动态规划:
F(n)
1 A[0] = A[1] ← 1
这里是某支股票的价格清单： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 日期 2 5 6 10 价格 69 68 64 62 输入 第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数 第2行: N个数，是每天的股票价格。 输出 输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231) 当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方 案被认为是相同的。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要 几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者从
给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选
择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
阶段变量描述当前所处的阶段位置，一 般用下标 k 表示;
(2) 确定状态
每阶段有若干状态(state), 表示某一阶段决策 面临的条件或所处位置及运动特征的量,称为 状态。反映状态变化的量叫作状态变量。 k 阶段的状态特征可用状态变量 sk 描述;
每一阶段的全部状态构成该阶段的状态集合Sk ，并有skSk。每个阶段的状态可分为初始状 态和终止状态，或称输入状态和输出状态， 阶段的初始状态记作sk ，终止状态记为sk+1 ，也是下个阶段的初始状态。
状态转移方程在大多数情况下可以由数学公 式表达, 如: sk+1 = sk + xk；
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
• 2、在全过程最短路径中，将会出现阶段的最优路
径；-----递推性
• 3、前面的终点确定，后面的路径也就确定了，且 与前面的路径（如何找到的这个终点）无关；----
-无后效性
• 3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程
最优路径。-----动态规划
§7.1多阶段决策问题
• 动态规划是解决多阶段最优决策的方法, 由美国数学家贝尔曼(R. Bellman) 于 1951年首先提出;
数学建模动态规划
u5*(E2)F.
4
6
D2 2
F
3
1
D3
3
E2 u4 *(D 1)E1.
f4(D2)5 u4 *(D 2)E2.
f 3 ( C 2 ) m d 3 ( C 2 , D 1 i ) f 4 n ( D 1 ) d 3 ( { C , 2 , D 2 ) f 4 ( D 2 )}
m 4 i7 ,5 n 5 } { 1 . 0
一、基本概念
阶段：是指问题需要做出决策的步数。阶段总数常记为n，相 应的是n个阶段的决策问题。阶段的序号常记为k，称为阶段 变量，k=1,2, …,n. k即可以是顺序编号也可以是逆序编号， 常用顺序编号。 状态：各阶段开始时的客观条件，第k阶段的状态常用状态
变量 s k 表示，状态变量取值的集合成为状态集合，用 S k
4
A
5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
D1
3
5 6
D2 2
1
D3
3
u5*(E1)F,
E1
4
3
E2
u5*(E2)F.
F
f 4 ( D 1 ) m d 4 ( D 1 , E 1 i ) f n 5 ( E 1 ) d 4 ( { D , 1 , E 2 ) f 5 ( E 2 )}
到过程终止时的最佳效益。记为
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。 基本方程：此为逐段递推求和的依据，一般为：
式中opt 可根据题意取 max 或 min. 例如，案例1的基本方程为：
第9章 动态规划
动态规划问题的提出
第9章 动态规划
在实际的决策过程中，由于涉及的参数比较多， 往往需要将问题分成若干个阶段，对不同阶段采取 不同的决策，从而使整个决策过程达到最优。 显然，由于各个阶段选择的策略不同，对应的整 个过程就可以有一系列不同的策略。 动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方 法。这种方法把困难的多阶段决策问题变换成一系 列互相联系的比较容易的单阶段问题，解决了这一 系列比较容易的单阶段问题，也就解决了困难的多 阶段决策问题。 有时阶段可以用时间表示，在各个时间段，采用 不同决策，它随时间而变动，这就有“动态”的含 RUC, Information School, Ye Xiang 意
第9章 动态规划
决策变量：对每个物品要确定是否带的同 时，还要确定放在哪个包里（如果增加一个 虚拟包，把不带的物品放在里面，则问题就 转化为确定每个物品放在哪个包里。这里的 数学模型和电子表格模型没有用虚拟包）。 因此可设决策变量为第i个物品是否放在第 j个包中（1-放，0-不放）。
xij 1,0 (i 1,2, ,17; j 1,2,3)
季度 1 2 3 生产能力 (平方米) 600 300 500 市场需求 生产成本 库存成本 (平方米) (元/平方米) (元/平方米) 400 2 0.25 500 400 5 3 0.25 0.25
4
400
400
3
RUC, Information School, Ye Xiang
9.2.1 生产与存贮问题
补充：背包问题
（容量一定的背包里装尽可能多的物品）
第9章 动态规划
Excel求解结果为：
包1 包2 包3 没有放 放3件 放5件 放4件 5件 物品1 物品4 物品2 物品8 物品3 物品5
动态规划的基本概念和基本原理
第1章 动态规划的基本概念和基本原理在这一章中，我们将通过一个具体而典型的例子（最短行军路线问题），引出有关动态规划的一些名词和记号，进而得到动态规划的基本原理。
1.1 最短行军路线问题及标号法问题描述：图1.1中给出一个行军路线网络，从A 点要走到G 点，中间要经过B 、C 、D 、……等很多点，各点间的距离如图中所示，今要求选择一条由A 点到G点的最短行军路线。
图 1.1这是个多阶段决策问题。
从A 点到G 点可以分为6个阶段，从A 点出发到B 点为第一阶段。
这时有两个选择：一是到B 1点；二是到B 2点。
若我们选择到B 2点的决策，则B 2点就是第一阶段决策的结果，它既是第一阶段的终点，又是下一阶段（第二阶段）路线的始点。
在第二阶段，再从B 2点出发，这时有三个选择，即对应于B 2点就有一个可供选择的终点集合{,,}。
若选择由B 2C 3C 4C 2走到C 2为第二阶段的决策，则C 2就是第二阶段的终点，同时又是第三阶段的始点。
类似地可以递推下去，直到终点G 点。
我们可以看到，各个阶段的决策不同，所走的路线也就不同。
现在要求：在各个阶段中选取一个恰当的决策，使由这些决策所决定的一条路线，其总距离最近。
下面我们利用“标号法”来求解这个问题。
首先要注意到下面一个明显面重要的事实：如果某一条路线，如是最优路线，那么无论从该路线中的哪一点开始（如从D G F E D C B A →→→→→→221211点开始）到达终点G 点的那一段路线，仍然是从D 1点到达终点G 的所有可能选择的不同的路线的最优路线，称为由D 1出发的最短子路线。
这一事实，以后我们称之为“最优化原理”。
因为如果不是这样，从D 1点到终点还有另一条更短的子路线存在，那么把它和原来最短路线由始点A 到达D 1点的那部分连接起来，就会形成一条比原来最短路线更短的路线，而这是不可能的。
根据上面的事实，我们可以从后段开始逐段往前求最优子路线，从而得到全过程最优路线。
动态规划的基本原理和基本应用
例2 生产和存储控制问题
某工厂生产某种季节性商品，需要作下一 年度的生产计划，假定这种商品的生产周期需 要两个月，全年共有6个生产周期，需要作出 各个周期中的生产计划。
设已知各周期对该商品的需要量如下表所示： 周期 1 2 3 4 5 6
需求量 5 5 10 30 50 8
8
例2
假设这个工厂根据需要可以日夜两班生产或只是日 班生产，当开足日班时，每一个生产周期能生产商品15 个单位，每生产一个单位商品的成本为100元。当开足 夜班时，每一生产周期能生产的商品也是15个，但是由 于增加了辅助性生产设备和生产辅助费用，每生产一单 位商品的成本为120元。由于生产能力的限制，可以在 需求淡季多生产一些商品储存起来以备需求旺季使用， 但存储商品是需要存储费用的，假设每单位商品存储一 周期需要16元，已知开始时存储为零，年终也不存储商 品备下年使用，问应该如何作生产和存储计划，才能使 总的生产和存储费用最小？
5
例1
若以y与x-y分别投入生产方式A与B，在第一 阶段生产后回收的总资源为x1=ay+b(x-y)，再将x1 投入生产方式A和B，则可得到收入g(y1)+h(x1-y1)， 继续回收资源x2=ay1+b(x1-y1)，……
若上面的过程进行n个阶段，我们希望选择n 个变量y,y1,y2,…,yn-1，使这n个阶段的总收入最大。
6
例1
因此，我们的问题就变成：求y,y1,y2,…,yn-1，以使 g(y)+h(x-y)+g(y1)+h(x1-y1)+…+g(yn-1)+h(xn-1-yn-1) 达到最大，且满足条件
x1=ay+b(x-y) x2=ay1+b(x1-y1)
动态规划部分知识点总结
动态规划部分知识点总结动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以用“递推”来描述。
在解决一个问题时，通常需要先确定一个递推关系，然后利用递推关系逐步求解问题的最优解。
以求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）问题为例，最长递增子序列是指在一个无序的序列中找到一个最长的子序列，要求子序列中的元素是递增的。
假设原序列为A，最长递增子序列的长度为LIS(i)，则可以通过递推关系来解决这个问题：LIS(i) = max(LIS(j)+1)，其中j<i 且A[j]<A[i]通过这个递推关系，我们可以逐步求解出从A[1]到A[n]的最长递增子序列的长度，最终得到整个序列的最长递增子序列。
动态规划的特点动态规划有一些特点，可以帮助我们更好地理解和应用这种方法。
1. 重叠子问题：动态规划的关键特点之一是重叠子问题，即原问题可以分解为若干个子问题，不同的子问题可能有重叠的部分。
通过记录和利用子问题的解，可以避免重复计算，提高计算效率。
2. 最优子结构：动态规划适用于具有最优子结构性质的问题。
最优子结构指的是原问题的最优解可以通过子问题的最优解来求解。
换句话说，原问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。
3. 状态转移方程：动态规划问题通常可以通过状态转移方程来描述。
状态转移方程是指原问题与子问题之间的关系，它可以用数学公式或递推关系来表示。
通过状态转移方程，可以确定问题的递推规律，从而求解问题的最优解。
动态规划的应用动态规划广泛应用于各种领域，比如算法设计、优化问题、数据挖掘等。
它可以解决许多经典问题，比如最短路径、背包问题、编辑距离、最长公共子序列等。
1. 最短路径：最短路径问题是指在一个加权有向图或加权无向图中，找到一条从起点到终点的路径，使得路径上的边权重之和最小。
动态规划可以用于求解最短路径问题，比如利用Floyd-Warshall算法或Dijkstra算法，通过记录并利用子问题的解来求解最短路径。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态 规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推 和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一 个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则 称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而 就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略 不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在 预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段 数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外， 也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许 有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索 的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪 费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以 后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地 表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免 了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是 非常实用的.
【动态规划理论】：一篇文章带你彻底搞懂最优子结构、无后效性和重复子问题
【动态规划理论】：一篇文章带你彻底搞懂最优子结构、无后效性和重复子问题上一节，我通过两个非常的问题，向你展示了用动态规划问题的过程。
今天主要讲一些理论知识。
学完这节内容，可以帮你解决这几个问题：什么样的问题可以用动态规划来解决？解决动态规划问题的一般思路是什么？贪心、分治、回溯、动态规划这四种算法思想又有什么区别和联系。
“一个模型三个特征”理论的讲解动态规划作为一个非常成熟的算法思想，很多人对此做了非常全面的总结，我把这部分理论总结为“一个模型三个特征”。
首先，“一个模型”指的是动态规划适合解决问题的模型。
我把这个模型定义为“多阶段决策最优解模型”。
具体来说，我们一般是用动态规划来解决最优问题。
而解决问题的过程，需要经历多个决策阶段。
每个决策阶段都对应一组状态。
然后我们寻找一组决策序列，经过这组决策序列，能够产生最终期望求解的最优值。
“三个特征”，分别是最优子结构、无后效性和重复子问题。
这三个概念比较抽象，逐一解释一下。
1、最优子结构最优子结构指的是，问题的最优解包含子问题的最优解。
反过来说就是，我们可以通过子问题的最优解，推导出问题的最优解。
如果我们把最优子结构，对应到我们前面定义的动态规划问题模型上，那我们也可以理解为，后面阶段的状态可以通过前面状态推导出来。
2、无后效性无后效性，有两层含义，第一层含义是，在推导后面阶段状态的时候，我们只关心前面阶段的状态值，不关心这个状态是怎么一步步推导出来的。
第二层含义是，某阶段状态一旦确定，就不受之后阶段的决策影响。
无后效性是一个非常“宽松”的要求。
只要满足前面提到的动态规划问题模型，其实基本上都会满足无后效性。
3、重复子问题这个概念，前面一节，已经多次提到。
用一句话概括就是：不同的决策序列，到达某个相同的阶段时，可能会产生重复的状态。
“一个模型三个特征”实例剖析“一个模型三个特征”这部分理论知识，比较抽象，你看了之后可能还是有点懵，有种似懂非懂的感觉，没关系，这个很正常。
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本节将通过动态规划的三种应用 类型——资源分配问题、复合系统可 靠性问题、设备更新问题，进一步介 绍动态规划的特点和处理方法。
一、资源分配问题
1. 问题的一般提法 设有某种资源，总数量为a，用于生产n种产品； 若分配数量xi用于生产第i种产品，其收益为gi(xi)。 问应如何分配，可使总收益最大？ 2. 数学规划模型
解：阶段k =1,2,3依次表示把设备分配给甲、乙、丙厂的过程； 状态sk 表示在第k阶段初还剩有的可分台数； 决策xk 表示第k阶段分配的设备台数； 状态转移sk+1 = sk- xk ； 阶段指标vk 表示第k阶段分配后产生的效益； 指标函数vk3 = ∑v ( x )；
3
v +f } f = Max { 基本方程 f = 0, k = 3,2,1
pn(xn) n xn
1 x1
阶段k =1,…,n表示安排第k个部件备用件的过程； 状态sk 表示在给第k个部件安排之前还剩有的容许重量； 决策xk 表示第k个部件上安排的备用件数量； 状态转移sk+1 = sk- wkxk ； 阶段指标vk 表示第k部件安排备用件后产生的可靠性； 指标函数vkn = ∏ p ( x )；
= g ( x )；
k k n i =k i i
ห้องสมุดไป่ตู้
k
xk
k
k +1
n +1
例3 某公司拟将某种高效设备5台分配给所属甲、 乙、丙3厂。各厂获此设备后可产生的效益如下 表。问应如何分配，可使所产生的总效益最大？
效益 设备台数 0 1 2 3 4 5 厂 甲 0 3 7 9 12 13 乙 0 5 10 11 11 11 丙 0 4 6 11 12 12
二、复合系统工作可靠性问题
1. 问题的一般提法 设某工作系统由n个部件串接而成，为提 高系统的可靠性，在每个部件上装有备用件。 已知部件i上装有xi个备用件时，其正常工作的 概率为pi(xi)；每个部件i的备用件重量为wi，系 统要求总重量不超过W。问应如何安排备用件 可使系统可靠性最高？ 串接:
三、设备更新问题
例4 某运输公司购进一批卡车投入运营，公司每年初需 对卡车作出更新或继续使用的决定。假设第k年中，rk(tk) 表示车龄为tk的车使用一年的收入，uk(tk)表示车龄为tk的 车使用一年的维修费用，ck(tk)表示车龄为tk的车更新成新 车的费用。现公司需制定一个10年计划，以决定如何安排 使10年的总收入最大。 问题：状态和决策怎样设置？ v1 v2 s2 S1=？ 1 2 x1 x2 v10 … s10 10 x10
1 x1
阶段k =1,…,n表示把资源分配给第k种产品的过程； 状态sk 表示在给第k种产品分配之前还剩有的资源量； 决策xk 表示分配给第k种产品的资源量； 状态转移sk+1 = sk- xk ； 阶段指标vk 指标函数vkn
v +f } f = Max { 基本方程 = ∑ g ( x )； f = 0, k = n , ,1
i =k i i n
v ×f } f = Max { 基本方程 f = 1, k = n , ,1
k xk k k +1 n +1
可靠性问题的应用很广泛，例如：
1.某重要的科研攻关项目正在由3个课题 组以3种不同的方式进行，各组已估计出失败 的概率。为减少失败的概率，选派了2名高级 专家去充实科研力量。若可估计出各组增加 专家后的失败概率，问应如何分派专家可使 总的失败概率最小？ 2.已知x1+x2+…+xn=c，求z=x1x2…xn的最大 值。
1 2
2. 数学规划模型
决策变量： 设给第i 个部件安排x 个备用件
i
目标函数： Maxz = ∏ p ( x )
i =1 i i
n
∑w x ≤W 约束条件： x 为非负整数
n i =1 i i i
模型的特点 ——变量分离。
3.用动态规划方法求解
p1(x1)
S1=W
p2(x2) s2 2 x2 s3 ... sn
k xk k k +1 4
i =k
i
i
问题：本问题是属于离散型还是属于连续型？怎样解？ ——离散型，用表格的方式求解。
效益 设备台数 0 1 2 3 4 5
厂
甲 0 3 7 9 12 13
乙 0 5 10 11 11 11
丙 0 4 6 11 12 12
k
Sk
0 1 2 3 4 5
xk
0 1 2 3 4 5
vk
0 4 6 11 12 12
vk+fk+1
0+0 4+0 6+0 11+0 12+0 12+0
fk
0 4 6 11 12 12
P
0 1 2 3 4 5
∗
kn
3
k
Sk
0 1 2
xk
0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5
vk
0 0 5 0 5 10 0 5 10 11 0 5 10 11 11 0 5 10 11 11 11
vk+fk+1
0+0 0+4 5+0 0+6 5+4 10+0 0+11 5+6 10+4 11+0 0+12 5+11 10+6 11+4 11+0 0+12 5+12 10+11 11+6 11+4 11+0
fk
0 5 10
P
∗
kn
0-0 1-0 2-0
3
2
4
14
2-1
16
1-3 2-2
5
21
2-3
—— 决策是更新与否，可用0-1变量表示；状态可设为车龄。
阶段k = 1,…,10表示第k年的决策过程； 状态sk = tk表示第k年的车龄；
1, 第k年更新 决策xk = 0，第k年不更新
状态转移tk+1 = tk (1-xk) +1 阶段指标vk = rk[tk (1-xk) ] - uk[tk (1-xk) ] - xk ck(tk)
决策变量： 设分配给第i种产品的资源数量为x
目标函数： Maxz = ∑ g ( x )
n i =1 i i
i
∑x =a 约束条件： x ≥ 0, i = 1,, n
n i =1 i i
3.用动态规划方法求解
g1(x1)
S1=a
g2(x2) s2 2 x2 s3 ... sn
gn(xn) n xn
k
Sk
xk
0 1 2 3 4 5
vk
0 3 7 9 12 13
vk+fk+1
0+21 3+16 7+14 9+10 12+5 13+0
fk
P
∗
kn
1
5
21
0-2-3 2-2-1
最优策略：P*13 为0-2-3或2-2-1， 即分给甲厂0台、分给乙厂2台、分给丙厂3台， 或分给甲厂2台、分给乙厂2台、分给丙厂1台。 最优值： f1=21。 可见，最优解可以是不唯一的，但最优值是唯一的。
10 i =k i
指标函数vkn = ∑v ；
{ v +f } f = Max { } 基本方程 f = 0, k = 10, ,1
k x k ∈ 0 ,1 k k +1 11
资源分配问题的应用很广泛，例如：
1.某学生正在备考4门功课，还剩7天时间， 每门功课至少复习1天。若他已估计出各门功 课的复习天数与能提高的分数之间的关系， 问他应怎样安排复习时间可使总的分数提高 最多？ 2.背包问题：旅行者携带的背包中能装的 物品重量为a，现他要从n种物品中挑选若干 数量装入背包，问他应如何挑选可使所带的 物品总价值最大？