第一章集合与函数的概念章末检测B

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【创新设计】2019数学湘教版必修1练习第一章集合与函数章末复习提升含解析

1．本章主要内容有集合的初步知识；基于集合和对应观点的函数概念，函数的表示和基本性质；二次函数的图象和性质．2．集合是最基本的数学概念，元素和集合的关系(属于或不属于)，集合的关系及运算(包含、相等、交、并、补)，这些都是今后经常要使用的数学概念，要能熟练地运用集合语言描述数学事实．3．集合的表示方法有列举法、描述法和图象法，其中图象法又有维恩图表示和对特定数集(区间)在数轴上表示的方法．4．以x为自变量的函数y＝f(x)就是从它的定义域到值域的一个映射．设b＝f(a)，那么(a，b)就是函数图象上的一个点，所有这样的点组成的集合就是函数y＝f(x)的图象．显然，任作垂直于x轴的直线，它和任一函数的图象最多只能有一个公共点．5．函数的定义域有两种确定方式，即由解析式确定或由函数对应法则的实际含义所确定．一般说，如给出了一个解析式而未说明它的实际含义，那么这一函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．6．函数的单调递增和单调递减的概念、直观形象和基本判别方法；函数的最大(小)值和最大(小)值点的概念和直观形象；奇函数和偶函数的概念、直观形象和基本判别方法．7．二次函数的图象特征、增减性、对称性、顶点和在一个区间的最大、最小值．8．分段函数概念的引入是因为解决实际问题的需要，与分段函数有关的问题，必然要分段讨论，这里再次提醒，分段函数是一个函数而不是两个或更多个函数.题型一集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn 图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏．例1 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． (1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围． (2)是否存在a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}， ∴∁R A ＝{x |x <0，或x >2}． ∵(∁R A )∪B ＝R .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0，即a 的取值范围是[－1,0]． (2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时，－1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]，∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．跟踪演练1 (1)已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________. (2)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2]D ．[－2,1]答案 (1){6,8} (2)D解析 (1)先计算∁U A ，再计算(∁U A )∩B . ∵U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，∴∁U A ＝{6,8}．∴(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．(2)先化简集合A ，再借助数轴进行集合的交集运算． A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}∩{x ∈R |x ≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤1}．题型二函数的概念与性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合．例2 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值．解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n . 比较得n ＝－n ，n ＝0. 又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2. 因此，实数m 和n 的值分别是2和0. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x .任取x ∈[－2，－1]，且h ＜0，则f (x ＋h )－f (x )＝23(x ＋h ＋1x ＋h －x －1x )＝2h 3·x (x ＋h )－1x (x ＋h ). ∵h ＜0，x ∈[－2，－1]， ∴x (x ＋h )＞1，即x (x ＋h )－1＞0，∴f (x ＋h )－f (x )＜0，∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，因此f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53.跟踪演练2 (1)函数y ＝21－1－x 的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 答案 (1)B (2)－x (x ＋1)2解析 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，即x ≤1且x ≠0.(2)设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1)2.题型三函数图象及其应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．例3 对于函数f (x )＝x 2－2|x |.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |. 则f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．图象关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ≥0，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ＜0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1. 单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－1]，[0,1]．跟踪演练3 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是________．答案 2解析首先应理解题意，“函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．从图象观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3， x ≤0，－x ＋3， 0<x ≤1，32x ＋12， 1<x ≤5，x 2－4x ＋3， x >5.f (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2. 题型四分类讨论思想分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对∅的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等．例4 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上所述f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.跟踪演练4 已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .(1)当B ≠∅时，由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或2.当x ＝1时，a ＝2；当x ＝2时，a ＝1.(2)当B＝∅时，即当a＝0时，B＝∅，符合题意．故实数a组成的集合C＝{0,1,2}．1.函数单调性的判定方法(1)定义法．(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)，1f(x)，f(x)＋g(x)的单调性等．(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性．2.二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：(1)若h∈[m，n]，则y min＝f(h)＝k，y max＝max{f(m)，f(n)}；(2)若h∉[m，n]，则y min＝min{f(m)，f(n)}，y max＝max{f(m)，f(n)}(a<0时可仿此讨论)．3. 函数奇偶性与单调性的差异函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(－x)＝－f(x)或[f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．。

第一章·集合与函数概念 B综合拓展一遍过(2020一遍过·数学必修1RJA)

学科素养拓展训练
本章主要介绍了集合的含义与表示,集合间的基本关系与运算,函数的概念、图象、性质等,通过对集合的交、并、补运算的学习,以及对函数的单调性、奇偶性、周期性的研究,使同学们进一步理解数形结合、分类讨论、函数与方程和化归与转化等数学思想,旨在提高同学们提出、分析和解决问题的能力.过拓展部分主要通过函数中的新定义问题,提升同学们的数学抽象、逻辑推理等核心素养.
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答案
15.-16 【解析】 f(x)=[x-(a+2)]2-4-4a,g(x)=-[x-(a-2)]2+12-4a.由f(x)=g(x),解得x=a+2或x=a-2.又 H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},∴H1(x)的最小值A=-4-4a,H2(x)的最大值B=12-4a,∴A-B=(-4-4a)-(12-4a)= -16.
章末巩固综合检测
答案
章末巩固综合检测
答案
章末巩固综合检测
12.[2018陕西西安高级中学高一(上)期末考试]已知奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1,2所示,方程 f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数分别为a,b,则a+b= ( ) A.14 B.10 C.7 D.3
答案
章末巩固综合检测
5.[2019浙江杭州高三(上)第一次教学质量检测]已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,它们的部分图象如图所示,则f(x)g(x)的图象大致是 ( )
A
B
C
D
答案
5.C 【解析】由题意,得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).令F(x)=f(x)g(x),则F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),所以函数 F(x)=f(x)g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A,B.又由函数f(x),g(x)的图象可知,当x>0时,f(x)>0,g(x)>0,所以 F(x)>0,可排除D,故选C.

2012秋高一数学期末考试命题双向细目表

2012秋高一数学期末考试命题双向细目表
模块
章次
节次
课题
课时数
选择题
填空题
解答题
合计
必
修
模
块
（一）
第一章：集合与函数概念
1．1
集合
4
5分（易）
5分
1．2
函数及其表示
4
5分（易）
4分（中）
9分
1．3
函数的基本性质
3
10分（一易一中）
12分（中）
22分
第二章：基础初等函数（I）
2．1
指数函数
6
4分（中）
14分（中）
23分
2．2
对数函数
6
2．3
幂函数
1
5分（易）
第三章：函数的应用
3．1
函数与方程
3
5分（易）
5分
3．2
函数模型及其应用
4
12分（中）
12分
必
修
模
块
（二）
第一章：空间几何体
1．1
空间几何体的结构
2
5分（易）
5分1．2空间几何来自的三视图和直观图25分（易）
5分
1．3
空间几何体的表面积与体积
2
5分（易）
4分（中）
9分
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
2．1
空间点、直线、平面之间的位置关系
3
5分（中）
5分
2．2
直线、平面平行的判定及其性质
3
5分（中）
12分（中）
29分
2．3
直线、平面垂直的判定及其性质
3
12分（中）
第三章：直线与方程

高中数学(人教版A版必修一)全册课时练习及期末测试题(含答案)

第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果________的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A 不属于如果________中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________________一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是()A．著名的科学家B．留长发的女生C．2010年广州亚运会比赛项目D．视力差的男生2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．25．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.能力提升12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．(1)研究对象小写拉丁字母a，b，c，…(2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，… 2.确定性互异性无序性3．一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N N*或N＋Z Q R作业设计1．C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．] 2．C[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C[因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]6．A[方法一因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．方法二令x＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．] 7．①④解析①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.9．∈∈∉∉10．解(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，∴a＝－3 2.12．解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3表示成列举法，正确的是()A．{2,3}B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有() A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6()A．BC．{1,2}D．{(1,2)}二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.14159}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1}B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1}D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法 {x |x <10} {x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z } 作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．] 5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2} 解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}． 8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标； ②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集． 9．④解析只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④. 10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1000，n ∈N }；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．12．C[由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]13．A[M＝{x|x＝2k＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋24，k∈Z}，∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]1.1.2集合间的基本关系课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中，了解空集的含义．1．子集的概念一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果__________，就说集合A与B相等A＝B真子集如果集合A⊆B，但存在元素__________，称集合A是B的真子集A B(或B A)(1)定义：______________的集合叫做空集．(2)用符号表示为：____.(3)规定：空集是任何集合的______．5．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么___________________________．一、选择题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()A．P＝Q B．C．Q D．P∩Q＝∅2．满足条件M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A．3B．6C．7D．83．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B中的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A4．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．35．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()A．S P M B．S＝MC．S P＝M D．P＝S题号二、填空题7．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若B，则实数a的取值范围是________．9．已知集合{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．三、解答题10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a 的取值范围．11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围．能力提升12．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．13．已知集合{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.拓展当A不是B的子集时，我们记作“A B”(或A)．2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含)等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的．1．1.2 集合间的基本关系知识梳理1．任意一个 A ⊆B B ⊇A A 含于B B 包含A 2.封闭 3．A ⊆B 且B ⊆A x ∈B ，且x ∉A 4.(1)不含任何元素 (2)∅ (3)子集 5.(1)A ⊆A (2)A ⊆C 作业设计1．B [∵P ＝{x |y ＝x ＋1}＝{x |x ≥－1}，Q ＝{y |y ≥0} ∴Q ，∴选B.]2．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．] 3．C4．B [只有④正确．] 5．B [由N ＝{－1,0}，知M ，故选B.]6．C [运用整数的性质方便求解．集合M 、P 表示成被3整除余1的整数集，集合S 表示成被6整除余1的整数集．] 7．①②解析 ①、②显然正确；③中π与M 的关系为元素与集合的关系，不应该用”符号；④中{π}与M 的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号． 8．a ≥2解析在数轴上表示出两个集合，可得a ≥2. 9．6解析 (1)若A 中有且只有1个奇数，则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}； (2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅. 10．解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0， (1)当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立； (2)当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12}，B ⊆A 不成立；(3)当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立，则B ＝{－3,2}， ∴a ＝－3×2＝－6.综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6. 11．解 ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，∴m <2.②若B ≠∅，将两集合在数轴上表示，如图所示．要使B ⊆A ，则⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得⎩⎨⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.由①、②，可知m ≤3. ∴实数m 的取值范围是m ≤3.12．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a }．又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a }．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.13．5解析若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．(1)定义：一般地，________________________的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作________．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_________________________________________________________________ _______.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为下图中的阴影部分：(4)性质：A∪B＝________，A____，A∪B＝A⇔________，A____A∪B.2．交集(1)定义：一般地，由________________________元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝_________________________________________________________________ _______.(3)(4)性质：A∩B＝______，A∩____，A∩B＝A⇔________，1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于()A．{x|x<1}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1}D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N 为()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于() A．1B．2C．3D．46．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N二、填空题7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B ∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.三、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．613．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．1.3 集合的基本运算第1课时并集与交集知识梳理一、1.由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B 2.{x |x ∈A ，或x ∈B } 4.B ∪A A A B ⊆A ⊆ 二、1.属于集合A 且属于集合B 的所有 A ∩B 2.{x |x ∈A ，且x ∈B } 4.B ∩A A ∅ A ⊆B ⊆ 作业设计 1．A2．D [由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}．]3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C .] 4．D [M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.] 5．C [依题意，由A ∩B ＝{2}知2a ＝2，所以，a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选C.] 6．B [∵M ，∴M ∪N ＝M .] 7．0或1解析由A ∪B ＝A 知B ⊆A ， ∴t 2－t ＋1＝－3① 或t 2－t ＋1＝0② 或t 2－t ＋1＝1③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1. 8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴ (B ∪C ) ∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}， ∴a ＝－1，b ＝2.10．解由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}，即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3. ∴⎩⎨⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－4q ＝3. 11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a＝0或a＝1 2.12．D[x的取值为1,2，y的取值为0,2，∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.] 13．解符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．第2课时补集及综合应用课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．2．补集自然语言对于一个集合A，由全集U中________________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁U A＝____________图形语言3.补集与全集的性质(1)∁U U＝____；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁U A)＝____；(4)A∪(∁U A)＝____；(5)A∩(∁UA)＝____.一、选择题1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于()A．{x|－2<x<2}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{2}B．{2,3}C．{3}D．{1,3}4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是() A．A＝∁U P B．A＝PC．A P D．P5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)二、填空题7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________________，∁U B＝________________，∁B A＝____________.9．已知全集U，B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．三、解答题10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.能力提升12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x ∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.第2课时补集及综合应用知识梳理1．全集U 2.不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}3．(1)∅(2)U(3)A(4)U(5)∅作业设计1．D[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.]2．C[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．]3．D[由B＝{2,5}，知∁U B＝{1,3,4}．A∩(∁U B)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]4．B[由A＝∁U B，得∁U A＝B.又∵B＝∁U P，∴∁U P＝∁U A.即P＝A，故选B.]5．C[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a ∈∁I S，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S，故选C.]6．D[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．U9．∁U∁U A解析画Venn图，观察可知∁U∁U A.10．解∵∁U A＝{5}，∴5∈U且5∉A.又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．11．解因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}， U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}．综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．12．D [借助于Venn 图解，因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，所以选D.]13.解如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎨⎧a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．§1.1习题课课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于()A．{x|x>－1}B．{x|x<3}C．{x|－1<x<3}D．{x|1<x<3}2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于() A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}3．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()A．A B．a∉AC．{a}∉A D．{a A4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于()A．∅B．{d}C．{b，e}D．{a，c}5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为____________．6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩(∁A(B∪C))．一、选择题1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．符合条件{a P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2B．3C．4D．53．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是()A．M＝P B．PC．M D．M与P没有公共元素4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩S)∩(∁S P) D．(M∩P)∪(∁V S)5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的范围是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．∅二、填空题6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁U A＝{5}，则a＝________.9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)＝________________.三、解答题10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B 者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？能力提升12．对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合问题可变得更简单．§1.1习题课双基演练1．C[∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{x|－1<x<3}，故选C.]2．A[画出数轴，将不等式－3<x≤5，x<－5，x>5在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]3．D4．A[∵∁I M＝{d，e}，∁I N＝{a，c}，∴(∁I M)∩(∁I N)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.]5．A＝B解析4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.6．解∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}(1)又∵B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}∴A∩(∁A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．作业设计1．B[Q＝{x|－2<x<2}，可知B正确．]2．B[集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．]3．B[∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴P.]4．C [阴影部分是M ∩S 的部分再去掉属于集合P 的一小部分，因此为(M ∩S )∩(∁S P )．]5．B [根据题意可画出下图．∵a ＋2>a －1，∴A ≠∅.有⎩⎨⎧a －1≤3，a ＋2≥5.解得3≤a ≤4.]6．a ≤2解析如图中的数轴所示，要使A ∪B ＝R ，a ≤2. 7．1解析当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ；当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ；当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ；当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ；综上可知，A 中只有一个孤立元素5. 8．4解析 ∵A ∪(∁U A )＝U ，由∁U A ＝{5}知，a 2－2a －3＝5， ∴a ＝－2，或a ＝4.当a ＝－2时，|a －7|＝9,9∉U ，∴a ≠－2. a ＝4经验证，符合题意． 9．{x |x <1或x ≥5}解析 ∁U M ＝{x |x <1}，∁U N ＝{x |x <0或x ≥5}，故(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x <1或x ≥5}或由M ∩N ＝{x |1≤x <5}，(∁U M )∪(∁U N )＝∁U (M ∩N ) ＝{x |x <1或x ≥5}． 10．解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)∵C＝{x|x>－a2}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－a2<2，∴a>－4.11.解由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B 表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．12．解依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．13．解在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－13＝0且m＋34＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|23≤x≤34}，长度为34－23＝112；当n＝13且m＝14时，M∩N＝{x|14≤x≤13}，长度为13－14＝112.综上，M∩N的长度的最小值为1 12.§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A 中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A．1个B．2个C．3个D．4个2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝(x)2x和g(x)＝x(x)24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有()A．10个B．9个C．8个D．4个5．函数y＝1－x＋x的定义域为()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}6．函数y＝x＋1的值域为()A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．三、解答题11．已知函数f (1－x 1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应关系所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量定义域函数值值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.]3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．] 5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2，g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．。

集合、函数整合

数学必修1
第一章
集合与函数概念
知能整合提升热点考点例析章末质量评估
5．把握函数概念，重视构成要素函数的三要素是定义域、对应关系、值域． (1)定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值集合． (2)对应关系 f 可以是解析式、表格、图象，对应函数的三种表示方法—— 解析法、列表法、图象法． (3)函数的值域由自变量和对应关系确定．
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第一章
集合与函数概念
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4．集合之间的关系与运算的注意点 (1)正确判断元素与集合、集合与集合之间的关系．元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，集合与集合之间的关系是包含、真包含、相等的关系，要按照定义仔细区别． (2)灵活运用集合与集合之间关系与运算的判断方法．可将集合中的元素一一列举，直接观察得到；也可以根据定义判断；还可以借助数轴(集合中元素以不等式形式描述时)或 Venn 图判断．
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集合与函数概念
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7．分段函数的深入理解 (1)分段函数是一个函数，而它的解析式表现为多个，依据定义域来分段．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (2)分段函数的图象由几个不同部分组成，画分段函数的图象要将各段图象画在同一坐标系中，并注意各图象端点的虚实． (3)求函数值要“对号入座”，即先确定自变量所在定义域，再按对应解析式求值；求函数值对应的 x 值，要将函数值代入各解析式一一确定．
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集合与函数概念
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(3)Venn 图法是指对给定的集合用封闭曲线的内部 (常见的有圆和矩形)表示的方法． Venn 图表示集合时，要清楚集合中的元素是什么． (4)数轴通常用来表示不等式的解集．使用时要注意空心点与实心点的区别．

高一数学必修一集合与函数章末检测题附答案解析人教版

必修一第一章集合与函数概念章末检测题一、单选题1．已知全集U ＝{0，1，2}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )． A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{ x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )． A ．{a |a ≥1} B ．{a |a ≤1} C ．{a |a ≥2} D ．{a |a ＞2} 3．A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且AB A =，则m 的取值集合是( )．A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－，31B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－，31－，0C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－，31 ，0 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ，31 4．设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A ．M ∩(N ∪P )B ．M ∩(P ∩I N )C ．P ∩(I N ∩I M )D ．(M ∩N )∪(M ∩P )5．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－，x y y x |)(， P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}6．下列四组中的f (x )，g (x )，表示同一个函数的是( )．A ．f (x )＝1，g (x )＝x 0B ．f (x )＝x －1，g (x )＝xx 2－1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )4D ．f (x )＝x 3，g (x )＝39x7．函数f (x )＝x1－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 8．函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域是( )．A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1]9．已知f (x )在R 上是奇函数，f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )． A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．9810．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[0，＋∞)的图(第4题)PN象与f (x )的图象重合．设a ＞b ＞0，给出下列不等式：①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ). 其中成立的是( )．A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④ 二、填空题11．函数x x y +-=1的定义域是．12．若f (x )＝ax ＋b (a ＞0)，且f (f (x ))＝4x ＋1，则f (3)＝．13．已知函数f (x )＝ax ＋2a －1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a 的取值范围是．14．已知I ＝{不大于15的正奇数}，集合M ∩N ＝{5，15}，(I M )∩(I N )＝{3，13}，M ∩(I N )＝{1，7}，则M ＝，N ＝．15．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是_________．16．设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3)，那么当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝．三、解答题17．已知A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{ x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，且∅(A ∩B )，A ∩C ＝∅，求a 的值．18．设A 是实数集，满足若a ∈A ，则a－11∈A ，a ≠1且1A ∉．(1)若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素． (2)A 能否为单元素集合？请说明理由． (3)若a ∈A ，证明：1－a1∈A ．19．求函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上的最小值．20．已知定义域为R 的函数f (x )＝ab－x x ＋2＋21＋是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．参考答案一、选择题1．A解析：条件U A＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有∅，{0}，{1}，故正确选项为A．2．D解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，2∉B，故不满足条件A⊆B，所以，正确选项为D．3．C解析：据条件A∪B＝A，得B⊆A，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合∅，{－3}，{2}，所以，m的取值集合是C．4．B解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正确选项为B．5．B解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M P就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U(M P)就是点(2，3)的集合，即U(M P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．6．D解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数的定义域不同，正确选项为D．7．C解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如取x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．8．B解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．9．A解析：利用条件f (x ＋4)＝f (x )可得，f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)，再根据f (x )在R 上是奇函数得，f (7)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故正确选项为A ．10．C解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，函数f (x )，g (x )在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C ．二、填空题11．参考答案：{x | x ≥1}．解析：由x －1≥0且x ≥0，得函数定义域是{x |x ≥1}． 12．参考答案：319．解析：由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，所以a 2＝4，ab ＋b ＝1(a ＞0)，解得a ＝2，b ＝31，所以f (x )＝2x ＋31，于是f (3)＝319．13．参考答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛ 21，．解析：a ＝0时不满足条件，所以a ≠0． (1)当a ＞0时，只需f (0)＝2a －1＞0； (2)当a ＜0时，只需f (1)＝3a －1＞0．综上得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛ 21，． 14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．解析：根据条件I ＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M ∩N ＝{5，15}，M ∩(I N )＝{1，7}，得集合M ＝{1，5，7，15}，再根据条件(I M )∩(I N )＝{3，13}，得N ＝{5，9，11，15}．15．参考答案：(2，4]．解析：据题意得－2≤m ＋1＜2m －1≤7，转化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧7 ≤1－21－2＜1＋2－ ≥1＋m m m m ，解得m 的取值范围是(2，4]．16．参考答案：x (1－x 3)．解析：∵任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)，＋∞ ＋∞∴ f (－x )＝－x ［1＋(－x )3］＝－x (1－x 3)， ∵ f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )． ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，即当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为f (x )＝x (1－x 3)．三、解答题17．参考答案：∵B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}， C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}， ∴由A ∩C ＝∅知，4A -∉，2∉A ；由∅(A ∩B )知，3∈A ．∴32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2．当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝B ，与A ∩C ＝∅矛盾．当a ＝－2时，经检验，符合题意． 18．参考答案：(1)∵ 2∈A ，∴a －11＝2－11＝－1∈A ； ∴a －11＝1＋11＝21∈A ；∴a －11＝21－11＝2∈A ．因此，A 中至少还有两个元素：－1和21． (2)如果A 为单元素集合，则a ＝a－11，整理得a 2－a ＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集．(3)证明： a ∈A ⇒a －11∈A ⇒ a1－1－11∈A ⇒1＋－1－1a a ∈A ，即1－a 1∈A ．19．参考答案： f (x )＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛a x －＋3－22a ．(1)当2a＜－1，即a ＜－2时，f (x )的最小值为f (－1)＝5＋2a ； (2)当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛2a f ＝3－22a ；。

人教a版必修1章末检测：第一章《集合与函数概念》(含答案)

第一章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列说法正确的是( )A ．很小的实数可以构成集合B ．集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合C ．自然数集N 中最小的数是1D ．空集是任何集合的子集2．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,2,3}，N ＝{2,5}，则M ∩(∁U N )等于( )A ．{2}B ．{2,3}C ．{3}D ．{1,3}3．下列集合不同于其他三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{y |(y －1)2＝0}C ．{x ＝1}D ．{1}4．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≤2}5．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝2的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．0个或1个D ．不能确定6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)7．已知函数y ＝x 2的值域是[1,4]，则其定义域不可能是( )A ．[1,2]B ．⎣⎡⎦⎤－32，2 C ．[－2，－1] D ．[－2，－1]∪{1} 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)x 2 (x <0)，则f (f (－2))的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－49．若φ(x )，g (x )都是奇函数，f (x )＝aφ(x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f (x )在 (－∞，0)上有( )A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－310．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，那么( )A ．f (2)<f (1)<f (4)B ．f (1)<f (2)<f (4)C ．f (2)<f (4)<f (1)D ．f (4)<f (2)<f (1)11．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( ) A ．f (x )是奇函数，且f (1x)＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数，且f (1x)＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f (1x)＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数，且f (1x)＝f (x ) 12．设f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x 1<0，且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．函数y＝x＋1＋12－x的定义域为______．14．设函数f(x)＝{2，x>0，x2＋bx＋c，x≤0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式是____________________．15．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在[－4,4]上是单调函数，那么实数a的取值范围是________．16．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且f(x)＋g(x)＝x＋1，则f(x)＝________，g(x)＝________(填函数解析式)．三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R．(1)求A∪B，(∁U A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．18．(12分)已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a；若不存在，试说明理由；(2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b)．19．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域；(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，试判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论．20．(12分)函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．21．(12分)为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)．采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0．57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0．5元计算．(1)设月用电x度时，应交电费y元．写出y关于x的函数关系式；(2)小明家第一季度交纳电费情况如下：22．(14分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．第一章章末检测答案1．D2．D [∁U N ＝{1,3,4}，M∩(∁U N)＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}．]3．C [A 、B 、D 都表示元素是1的集合，C 表示元素为“x ＝1”的集合．]4．A [如图所示，∴a ≥2．]5．C [如果x ＝2与函数y ＝f(x)有公共点，则只有一个公共点，因为自变量取一个值只对应一个函数值；若无交点，则没有公共点，此时的x ＝2不在y ＝f(x)的定义域内．]6．D [∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，∴f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，x>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，x<0. 因为f(x)是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)在(－∞，0)上是增函数．由f(1)＝0知f(－1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，x>0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<f (1)，x>0， ∴0<x<1；⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，x<0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>f (－1)，x<0， ∴－1<x<0．]7．B8．C [∵x ＝－2<0，∴f(－2)＝(－2)2＝4，又4>0，∴f(f(－2))＝f(4)＝4．]9．C [由已知对任意x ∈(0，＋∞)，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≤5．对任意x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，且φ(x)，g(x)都是奇函数，有f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＋2≤5．即－aφ(x)－bg(x)＋2≤5，∴aφ(x)＋bg(x)≥－3．∴f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1．]10．A [由已知x ＝2是f(x)的对称轴且f(x)开口向上，∴f(1)＝f(3)且当x>2时，f(x)为增函数，∴f(2)<f(1)<f(4)．]11．C [由1－x 2≠0，得x ≠±1，定义域关于原点对称，f(－x)＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f(x)， ∴f(x)是偶函数，∴f(1x )＝1＋1x 21－1x 2＝x 2＋1x 2－1＝－f(x)．] 12．C [由题意可知：－x 2<x 1<0，又f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴f(－x 2)>f(x 1)，又f(x)是R 上的偶函数，∴f (－x 2)＝f (x 2)，∴f (x 2)>f (x 1)．]13．[－1,2)∪(2，＋∞)解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥02－x ≠0， ∴x ≥－1且x ≠2．14．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >0，x 2＋4x ＋2，x ≤0 解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >0，x 2＋4x ＋2，x ≤0. 15．a ≥5或a ≤－3解析由f (x )的对称轴为x ＝1－a ，∴1－a ≤－4或1－a ≥4解得a ≥5或a ≤－3．16．x 1解析由已知f (x )＋g (x )＝x ＋1，①∴f (－x )＋g (－x )＝－x ＋1，即－f (x )＋g (x )＝－x ＋1．②由①－②，得f (x )＝x ，由①＋②，得g (x )＝1．17．解 (1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}．∵∁U A ＝{x |x <2或x >8}，∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}．(2)∵A ∩C ≠∅，∴a <8．18．解 (1)设存在实数a ，使得对任意的实数b ，都有A ⊆B ，则当且仅当1、2都是A 中的元素．∵A ＝{a ＋4，a －4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＝2a －4＝1，这都不可能，∴这样的实数a 不存在．(2)因为A ⊆B 成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b a ＋4＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－6． ∴实数对为(5,9)、(6,10)、(－3，－7)、(－2，－6)．19．解 (1)已知f (x )＝ax 2＋bx ．由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，即2a ＋b ＝0．①方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等实根，且a ≠0，∴b －1＝0，∴b ＝1，代入①得a ＝－12． ∴f (x )＝－12x 2＋x ． (2)由(1)知f (x )＝－12(x －1)2＋12．显然函数f (x )在[1,2]上是减函数，∴x ＝1时，y max ＝12，x ＝2时，y min ＝0．∴x ∈[1,2]时，函数的值域是[0，12]． (3)∵F (x )＝f (x )－f (－x )＝(－12x 2＋x )－⎣⎡⎦⎤－12(－x )2＋(－x ) ＝2x ，∴F (x )是奇函数．证明如下：∵F (－x )＝2(－x )＝－2x ＝－F (x )，∴F (x )＝2x 是奇函数．20．解 ∵f (x )＝4(x －a 2)2－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2．由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2．∵a ≤0，∴a ＝1－2．②当0<a 2<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f (a 2)＝－2a ＋2．由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去． ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18．由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10．∵a ≥4，∴a ＝5＋10．综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10．21．解 (1)当0≤x ≤100时，y ＝0．57x ；当x >100时，y ＝0．5×(x －100)＋0．57×100＝0．5x －50＋57＝0．5x ＋7． ∴所求函数式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.57x (0≤x ≤100)，0.5x ＋7 (x >100). (2)据题意，一月份：0．5x ＋7＝76，∴x ＝138(度)，二月份：0．5x ＋7＝63，∴x ＝112(度)，三月份：0．57x ＝45．6，∴x ＝80(度)．所以第一季度共用电：138＋112＋80＝330(度)．答小明家第一季度共用电330度．22．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<3－2x <2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52．解得12<x <52．故函数g (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫12，52．(2)由g (x )≤0，得f (x －1)＋f (3－2x )≤0，∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)．而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥2x －3，12<x <52. 解得12<x ≤2． ∴g (x )≤0的解集为⎝⎛⎦⎤12，2．。

高中数学第1章集合与函数概念章末检测B 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若集合A 、B 、C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系是( ) A ．A C B ．CAC ．A ⊆CD ．C ⊆A2．已知函数y ＝1－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12)∩(－12，1]D ．(－∞，－12)∪(－12，1]3．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合运算：P *Q ＝{z |z ＝ab (a ＋b )，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，则P *Q 中元素之和是( )A ．0B ．6C ．12D ．184．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．45．集合M 由正整数的平方组成，即M ＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M 对下列运算封闭的是( )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法6．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝1}，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪N )等于( )A ．∅B ．{(2,3)}C ．(2,3)D ．{(x ，y )|y ＝x ＋1}7．已知偶函数f (x )的定义域为R ，且在(－∞，0)上是增函数，则f (－34)与f (a 2－a ＋1)的大小关系为( )A ．f (－34)<f (a 2－a ＋1)B ．f (－34)>f (a 2－a ＋1)C ．f (－34)≤f (a 2－a ＋1)D ．f (－34)≥f (a 2－a ＋1)8．函数f (x )＝cx 2x ＋3(x ≠－32)，满足f [f (x )]＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3C ．3或－3D ．5或－39．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－310．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值X 围是( )A ．f (1)≥25 B．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D．f (1)>2511．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6， x ≥0，x ＋6， x <0则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)12．定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f (7)＝6，则f (x )( )A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2 x ≥22x x <2，已知f (x 0)＝8，则x 0＝________.14．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥ba ，a <b，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．16．函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f (x 3)＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )，则f (13)＋f (18)＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈U }，求q 的值及∁U A .18．(12分)讨论函数f (x )＝x ＋a x(a >0)的单调区间．19．(12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (x y)＝f (x )－f (y )． (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (1x)<2.20．(12分)某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20， 0<t <25，t ∈N ，－t ＋100， 25≤t ≤30，t ∈N .该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．(1)求这种商品的日销售金额的解析式；(2)求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？21．(12分)已知13≤a ≤1，若函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )．(1)求g (a )的函数表达式；(2)判断函数g (a )在区间[13，1]上的单调性，并求出g (a )的最小值．22．(12分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足下列条件： ①当x ∈R 时，其最小值为0，且f (x －1)＝f (－x －1)成立； ②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x )≤2|x －1|＋1恒成立． (1)求f (1)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)求最大的实数m (m >1)，使得存在t ∈R ，只要当x ∈[1，m ]时，就有f (x ＋t )≤x 成立．章末检测(B)1．C [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选C.]2．D [由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2.故选D.]3．D [∵P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，a ∈P ，b ∈Q ，故对a ，b 的取值分类讨论．当a ＝0时，z ＝0；当a ＝1，b ＝2时，z ＝6；当a ＝1，b ＝3时，z ＝12.综上可知：P *Q ＝{0,6,12}，元素之和为18.]4．D [∵集合M 中的元素－1不能映射到N 中为－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0.∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝4.]5．C [设a 、b 表示任意两个正整数，则a 2、b 2的和不一定属于M ，如12＋22＝5∉M ；a 2、b 2的差也不一定属于M ，如12－22＝－3∉M ；a 2、b 2的商也不一定属于M ，如1222＝14∉M ；因为a 、b 表示任意两个正整数，a 2·b 2＝(ab )2，ab 为正整数，所以(ab )2属于M ，即a 2、b 2的积属于M .故选C.]6．B [集合M 表示直线y ＝x ＋1上除点(2,3)外的点，即为两条射线上的点构成的集合，集合N 表示直线y ＝x ＋1外的点，所以M ∪N 表示直线y ＝x ＋1外的点及两条射线，∁U (M ∪N )中的元素就是点(2,3)．]7．D [设x 1>x 2>0，则－x 1<－x 2<0， ∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，∴f (－x 1)<f (－x 2)，又∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数．又∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34)＝f (－34)．]8．B [cf x 2fx ＋3＝x ，f (x )＝3x c －2x ＝cx2x ＋3，得c ＝－3.]9．D [因为奇函数f (x )在x ＝0处有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.∴f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝3，从而f (－1)＝－f (1)＝－3.]10．A [函数f (x )的增区间为[m 8，＋∞)，函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，所以m8≤－2，m ≤－16，f (1)＝4－m ＋5≥25.]11．A [易知f (1)＝3，则不等式f (x )>f (1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.]12．B [由f (x )是偶函数，得f (x )关于y 轴对称，其图象可以用下图简单地表示，则f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.] 13. 6解析 ∵当x ≥2时，f (x )≥f (2)＝6，当x <2时，f (x )<f (2)＝4， ∴x 20＋2＝8(x 0≥2)，解得x 0＝ 6. 14．－2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2.15．(－∞，1]解析由题意知x ⊙(2－x )表示x 与2－x 两者中的较小者，借助y ＝x 与y ＝2－x 的图象，不难得出，f (x )的值域为(－∞，1]．16.34解析由题意得f (1)＝1－f (0)＝1，f (13)＝12f (1)＝12，f (12)＝1－f (12)，即f (12)＝12，由函数f (x )在[0,1]上为非减函数得，当13≤x ≤12时，f (x )＝12，则f (38)＝12，又f (13×38)＝12f (38)＝14，即f (18)＝14.因此f (13)＋f (18)＝34.17．解设方程x 2－5x ＋q ＝0的两根为x 1、x 2，∵x ∈U ，x 1＋x 2＝5，∴q ＝x 1x 2＝1×4＝4或q ＝x 1·x 2＝2×3＝6. 当q ＝4时，A ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}＝{1,4}， ∴∁U A ＝{2,3,5}；当q ＝6时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， ∴∁U A ＝{1,4,5}．18．解任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)·x 1x 2－ax 1x 2. 当0<x 1<x 2≤a 时，有0<x 1x 2<a ， ∴x 1x 2－a <0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x )在(0，a )上是减函数．当a ≤x 1<x 2时，有x 1x 2>a ，∴x 1x 2－a >0. ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．∵函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )在(－∞，－a ]上是增函数，在[－a ，0)上是减函数．综上所述，f (x )在区间(－∞，－a ]，[a ，＋∞)上为增函数，在[－a ，0)，(0，a ]上为减函数．19．解 (1)令x ＝y ≠0，则f (1)＝0.(2)令x ＝36，y ＝6，则f (366)＝f (36)－f (6)，f (36)＝2f (6)＝2，故原不等式为f (x ＋3)－f (1x)<f (36)，即f [x (x ＋3)]<f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>01x >00<x x ＋3<36⇒0<x <153－32. 20．解 (1)设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q . ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20－t ＋40－t ＋100－t ＋40＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800， 0<t <25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000， 25≤t ≤30，t ∈N .(2)由(1)知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800t 2－140t ＋4 000＝⎩⎪⎨⎪⎧－t －102＋900， 0<t <25，t ∈N ，t －702－900， 25≤t ≤30，t ∈N .当0<t <25，t ∈N ，t ＝10时，y max ＝900(元)；当25≤t ≤30，t ∈N ，t ＝25时，y max ＝1 125(元)．由1 125>900，知y max ＝1 125(元)，且第25天，日销售额最大．21．解 (1)∵13≤a ≤1，∴f (x )的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝1a ∈[1,3]．∴f (x )有最小值N (a )＝1－1a.当2≤1a ≤3时，a ∈[13，12]，f (x )有最大值M (a )＝f (1)＝a －1；当1≤1a <2时，a ∈(12，1]，f (x )有最大值M (a )＝f (3)＝9a －5；∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋1a 13≤a ≤12，9a －6＋1a 12<a ≤1.(2)设13≤a 1<a 2≤12，则g (a 1)－g (a 2)＝(a 1－a 2)(1－1a 1a 2)>0，∴g (a 1)>g (a 2)，∴g (a )在[13，12]上是减函数．设12<a 1<a 2≤1，则g (a 1)－g (a 2)＝(a 1－a 2)(9－1a 1a 2)<0，∴g (a 1)<g (a 2)， ∴g (a )在(12，1]上是增函数．∴当a ＝12时，g (a )有最小值12.22．解 (1)在②中令x ＝1，有1≤f (1)≤1，故f (1)＝1.(2)由①知二次函数的开口向上且关于x ＝－1对称，故可设此二次函数为f (x )＝a (x ＋1)2(a >0)，又由f (1)＝1代入求得a ＝14，故f (x )＝14(x ＋1)2.(3)假设存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f (x ＋t )≤x . 取x ＝1，有f (t ＋1)≤1，即14(t ＋2)2≤1，解得－4≤t ≤0.对固定的t ∈[－4,0]，取x ＝m ，有f (t ＋m )≤m ，即14(t ＋m ＋1)2≤m ，化简得m 2＋2(t －1)m ＋(t 2＋2t ＋1)≤0，解得1－t －－4t ≤m ≤1－t ＋－4t ，故m ≤1－t ＋－4t ≤1－(－4)＋－4×－4＝9，t ＝－4时，对任意的x ∈[1,9]，word11 / 11 恒有f (x －4)－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14(x －1)(x －9)≤0，所以m 的最大值为9.。

高一数学下学期期末考试知识点总结

高一数学下学期期末考试知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的肯定性; 2.元素的互异性;3.元素的无序性 .第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的肯定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是肯定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是同等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考核排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了肯定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}2.集合的表示方法：罗列法与描写法。

注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A罗列法：把集合中的元素一一罗列出来，然后用一个大括号括上。

描写法：将集合中的元素的公共属性描写出来，写在大括号内表示集合的方法。

用肯定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描写法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描写法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无穷集含有无穷个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

最新人教A版高一数学必修一单元测试题全册带答案解析

最新人教A版高一数学必修一单元测试题全册带答案解析章末综合测评(一)集合与函数的概念(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4}B．{1,5}C．{2,5}D．{2,4}【解析】由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．【答案】 D2．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①1∈{0,1,2}，正确；②空集是任何集合的子集，正确；③因为{1}⊆{0,1,2}，故不正确；④根据集合的无序性可知正确．故选A.【答案】A3．下列各图形中，是函数的图象的是()【解析】函数y＝f(x)的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，故A，B，C均不正确，故选D.【答案】 D4．集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2＋2}，则如图1阴影部分表示的集合为()图1A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≥2}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ＜2}【解析】易得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)，则题图中阴影部分表示的集合是∁A B ＝[1,2)．故选D.【答案】 D5．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，则f (1)的值等于( ) A ．2 B ．11 C ．5D ．－1【解析】由2x ＋1＝1得x ＝0，故f (1)＝f (2×0＋1)＝3×0＋2＝2，故选A . 【答案】 A6．下列四个函数：①y ＝x ＋1；②y ＝x －1；③y ＝x 2－1； ④y ＝1x ，其中定义域与值域相同的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③D ．②③④【解析】 ①y ＝x ＋1，定义域R ，值域R ；②y ＝x －1，定义域R ，值域R ；③y ＝x 2－1，定义域R ，值域[－1，＋∞)；④y ＝1x ，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0，＋∞)．∴①②④定义域与值域相同，故选B .【答案】 B7．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，(x ≥0)，f (x ＋2)，(x<0)，则f (－3)的值为( )A ．5B ．－1C ．－7D ．2【解析】依题意，f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1) ＝f (－1＋2)＝f (1)＝1＋1＝2，故选D. 【答案】 D8．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)【解析】因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.【答案】 C9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝3，则奇函数f (x )的值域是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,3] C ．[－3,3]D ．{－3,0,3}【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，设x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝－f (x )＝3， ∴f (x )＝－3，∴f (x )＝⎩⎨⎧3，x >0，0，x ＝0，－3，x <0，∴奇函数f (x )的值域是{－3,0,3}．【答案】 D10．已知f (x )＝x 5－ax 3＋bx ＋2且f (－5)＝17，则f (5)的值为( ) A ．－13 B ．13 C ．－19D ．19【解析】 ∵g (x )＝x 5－ax 3＋bx 是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )．∵f (－5)＝17＝g (－5)＋2，∴g (5)＝－15，∴f (5)＝g (5)＋2＝－15＋2＝－13. 【答案】 A11．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵集合M 中的元素－1不能映射到N 中为－2，∴⎩⎨⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1，即⎩⎨⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝4. 【答案】 D12．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)【解析】任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递减．又f (x )是偶函数，故f (x )在(－∞，0]上单调递增．且满足n ∈N *时，f (－2)＝f (2)，3＞2＞1＞0，由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大，∴f (3)＜f (－2)＜f (1)，故选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________．【解析】由A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，得B ＝{4,9,16}．【答案】 {4,9,16}14．若函数f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的增区间是________. 【解析】 ∵函数f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，∴a －1＝0，∴f (x )＝－x 2＋3，其图象是开口方向朝下，以y 轴为对称轴的抛物线．故f (x )的增区间为(－∞，0]．【答案】 (－∞，0]15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x>0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．【解析】 ∵f (1)＝2×1＝2，若a >0，则f (a )＝2a ，由2a ＋2＝0，得a ＝－1舍去，若a ≤0，则f (a )＝a ＋1，由a ＋1＋2＝0得a ＝－3，符合题意． ∴a ＝－3. 【答案】－316．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②函数f (x )＝xx －1是单函数； ③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)【解析】 ①函数f (x )＝x 2(x ∈R )不是单函数，例如f (1)＝f (－1)，显然不会有1和－1相等，故为假命题；②函数f (x )＝x x －1是单函数，因为若x 1x 1－1＝x 2x 2－1，可推出x 1x 2－x 2＝x 1x 2－x 1，即x 1＝x 2，故为真命题；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)为真，可用反证法证明：假设f (x 1)＝f (x 2)，则按定义应有x 1＝x 2，与已知中的x 1≠x 2矛盾； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真，因为单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是一对一的映射，故为真．【答案】 ②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求∁U (A ∩B )；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由集合B 中的不等式2x －4≥x －2，解得x ≥2，∴B ＝{x |x ≥2}，又A ＝{x |－1≤x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}，又全集U ＝R ，∴∁U (A ∩B )＝{x |x ＜2或x ≥3}． (2)由集合C 中的不等式2x ＋a ＞0，解得x ＞－a2，∴C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－a 2. ∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴－a2＜2，解得a ＞－4.18．(本小题满分12分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；(3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．【解】 (1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{－5,2}． (2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.(3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即为集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 19．(本小题满分12分)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，解析式为f (x )＝2x ＋3x ＋1. (1)求f (x )在R 上的解析式；(2)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上为减函数．【解】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－2x ＋3－x ＋1.又∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x ＋3－x ＋1，∴f (x )＝－2x ＋3x －1.又∵奇函数在0点有意义，∴f (0)＝0，∴函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3x －1，x <0，0，x ＝0，2x ＋3x ＋1，x >0.(2)证明：设∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋3x 1＋1－2x 2＋3x 2＋1＝(2x 1＋3)(x 2＋1)－(2x 2＋3)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－x 1＋x 2(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1＜x 2，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．20．(本小题满分12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的月产量．当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？【解】由于月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而利润f (x )＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －12x 2－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，有最大值25 000；当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，所以f (x )＝60 000－100×400＜25 000. 所以当x ＝300时，有最大值25 000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元．21．(本小题满分12分)已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f (f (x ))＝4x －1. (1)求f (x )；(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值与最小值．【解】 (1)由题意可设f (x )＝ax ＋b ，(a ＜0)，由于f (f (x ))＝4x －1，则a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，故⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得a ＝－2，b ＝1.故f (x )＝－2x ＋1. (2)由(1)知，函数y ＝f (x )＋x 2－x ＝－2x ＋1＋x 2－x ＝x 2－3x ＋1，故函数y ＝x 2－3x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝32，则函数y ＝f (x )＋x 2－x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2上为增函数．又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－54，f (－1)＝5，f (2)＝－1，则函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值为5，最小值为－54. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋b1＋x 2为奇函数． (1)求b 的值；(2)证明：函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数； (3)解关于x 的不等式f (1＋x 2)＋f (－x 2＋2x －4)＞0.【解】 (1)∵函数f (x )＝x ＋b1＋x 2为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝b ＝0.(2)由(1)可得f (x )＝x1＋x 2，下面证明函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．证明：设x 2＞x 1＞1，则有f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 21(1＋x 21)(1＋x 22)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). 再根据x 2＞x 1＞1，可得1＋x 21＞0,1＋x 22＞0，x 1－x 2＜0,1－x 1x 2＜0，∴(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数． (3)由不等式f (1＋x 2)＋f (－x 2＋2x －4)＞0，可得f (1＋x 2)＞－f (－x 2＋2x －4)＝f (x 2－2x ＋4)，再根据函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x 2＜x 2－2x ＋4，且x ＞1，求得1＜x ＜32，故不等式的解集为(1，32)．章末综合测评(二) 第二章基本初等函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝1log 0.5(2x ＋1)，则函数f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．(0，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 【解析】要使函数有意义，只需⎩⎨⎧2x ＋1＞0，log 0.5(2x ＋1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12，2x ＋1＜1，解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜0.故选C.【答案】 C2．已知函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N (字/分钟)所需的学习时间，N 表示打字速度(字/分)，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是( )A ．144小时B ．90小时C ．60小时D ．40小时【解析】 t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100＝－144lg 110＝144.【答案】 A3．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( ) A ．y ＝2x 2－x ＋3 B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13xC ．y ＝x 23D ．y ＝log 12x【解析】 ∵y ＝2x 2－x ＋3的对称轴x ＝14，∴在区间(0,1)上不是增函数，故A 错；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x及y ＝log 12x 为减函数，故B ，D 错；y ＝x 23中，指数23>0，在[0，＋∞)上单调递增，故C 正确．【答案】 C4．如图1为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是( )图1A ．m <0，n >1B ．m >0，n >1C ．m >0,0<n <1D ．m <0,0<n <1【解析】当x ＝1时，y ＝m ，由图形易知m<0，又函数是减函数，所以0<n <1. 【答案】 D5．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．a <1D ．0<a <1【解析】 ∵f (－2)＞f (－3)，∴f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是增函数，∴1a ＞1，∴0＜a ＜1，则a 的取值范围是0＜a ＜1，故选D.【答案】 D6．(2015·山东高考)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c<b C ．b <a <cD ．b <c<a【解析】因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .【答案】 C7．已知函数f (x )＝lg (1－x )的值域为(－∞，1]，则函数f (x )的定义域为( ) A ．[－9，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－9,1)D ．[－9,1)【解析】因为函数f (x )＝lg (1－x )的值域为(－∞，1]，所以lg (1－x )≤1，即0<1－x ≤10，解得－9≤x <1，所以函数f (x )的定义域为[－9,1)．【答案】 D8．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a的值为( )A.3 B ．3 C ．9D.32【解析】 ∵f (log 124)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 214＝f (－2)＝－f (2)＝－a 2＝－3，∴a 2＝3，解得a ＝±3，又a ＞0，∴a ＝ 3.【答案】 A9．已知f (x )＝a x ，g(x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (3)·g(3)<0，则f (x )与g(x )在同一坐标系里的图象是( )【解析】 ∵a >0且a ≠1，∴f (3)＝a 3>0，又f (3)·g(3)<0，∴g(3)＝log a 3<0，∴0<a <1，∴f (x )＝a x 在R 上是减函数，g (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，故选C.【答案】 C10．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上具有单调性，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)>f (a ＋1)C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定【解析】 ∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0，此时f (x )＝log a |x |.当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)；当0<a <1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)．综上可知f (b －2)<f (a ＋1)．【答案】 C11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 【解析】由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138，选B .【答案】 B12．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜2，a ≠1 C ．1＜a ＜2D ．a ≥2【解析】令g (x )＝x 2－ax ＋1(a ＞0，且a ≠1)，①当a ＞1时，g (x )在R 上单调递增，∴Δ＜0，∴1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，g (x )＝x 2－ax ＋1没有最大值，从而函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)没有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a ＜2.故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 表示log 125的值为________．【解析】 ∵lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 125＝lg 5lg 12＝1－lg 22lg 2＋lg 3＝1－a 2a ＋b .【答案】1－a2a ＋b14．方程log 2(9x －1－5)＝log 2(3x －1－2)＋2的解为________．【解析】依题意log 2(9x －1－5)＝log 2(4·3x －1－8)，所以9x －1－5＝4·3x －1－8，令3x －1＝t (t >0)，则t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1或t ＝3，当t ＝1时，3x －1＝1，所以x ＝1，而91－1－5<0，所以x ＝1不合题意，舍去；当t ＝3时，3x －1＝3，所以x ＝2,92－1－5＝4>0,32－1－2＝1>0，所以x ＝2满足条件．所以x ＝2是原方程的解．【答案】 215．已知当x ＞0时，函数f (x )＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，且a ≠12的值总大于1，则函数y ＝a 2x －x 2的单调增区间是________.【解析】由题意知：2a －1＞1，解得a ＞1，设t ＝2x －x 2，则函数y ＝a t 为增函数，∵函数t ＝2x －x 2的增区间为(－∞，1)，∴函数y ＝a 2x －x 2的单调增区间是(－∞，1)．【答案】 (－∞，1)(或(－∞，1]) 16．给出下列结论：①4(－2)4＝±2； ②y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]，y 的值域是[2,5]； ③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f (x )＝a x ＋1－2(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(－1，－1)； ⑤若ln a ＜1成立，则a 的取值范围是(－∞，e )．其中正确的序号是________．【解析】 ①4(－2)4＝2，因此不正确；②y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]，y 的值域是[1,5]，因此不正确；③幂函数图象一定不过第四象限，正确；④当x ＝－1时，f (－1)＝a 0－2＝－1，∴函数f (x )＝a x ＋1－2(a ＞0，a ≠1)的图象过定点(－1，－1)，正确；⑤若l n a ＜1成立，则a 的取值范围是(0，e)，因此不正确．综上所述：只有③④正确．【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2；(2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52. 【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－49＋49＝12.(2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52＝－14＋1－2＋2＝34.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a 2x ＋2a x －1(a ＞1，且a 为常数)在区间[－1,1]上的最大值为14.(1)求f (x )的表达式；(2)求满足f (x )＝7时，x 的值．【解】 (1)令t ＝a x ＞0.∵x ∈[－1,1]，a ＞1，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，f (x )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，故当t ＝a 时，函数f (x )取得最大值为a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，∴f (x )＝32x ＋2×3x －1. (2)由f (x )＝7，可得32x ＋2×3x －1＝7，即(3x ＋4)·(3x －2)＝0，求得3x ＝2，∴x ＝log 32. 19．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .图2(1)画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．【解】 (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围．【解】 (1)由⎩⎨⎧x －1＞0，3－x ＞0，得1＜x ＜3.∴函数h (x )的定义域为(1,3)． (2)不等式f (x )≥g (x )，即为log a (x －1)≥log a (3－x )．(*)①当0＜a ＜1时，不等式(*)等价于⎩⎨⎧1＜x ＜3，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2.②当a ＞1时，不等式(*)等价于⎩⎨⎧1＜x ＜3，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3.综上，当0＜a ＜1时，原不等式解集为(1,2]；当a ＞1时，原不等式解集为[2,3)．21．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a3x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．【解】 ∵函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a 3x －1＝a －13x －1，(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即2a －13x－1－13－x －1＝0，∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－13x －1，∴3x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－13x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴3x －1＞－1.∵3x －1≠0，∴0＞3x －1＞－1或3x －1＞0. ∴－12－13x －1＞12或－12－13x －1＜－12.即函数的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y >12或y <－12. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x . (1)求证：f (x )是奇函数； (2)求证：f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ； (3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，求f (a )，f (b )的值. 【解】 (1)证明：由函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ，可得1－x 1＋x >0，即x －11＋x <0，解得－1<x <1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，可得f (x )是奇函数．(2)证明：f (x )＋f (y )＝lg1－x 1＋x ＋lg 1－y 1＋y ＝lg (1－x )(1－y )(1＋x )(1＋y )，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝lg 1－x ＋y 1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝lg 1＋xy －x －y 1＋xy ＋x ＋y ＝lg (1－x )(1－y )(1＋x )(1＋y )，∴f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立． (3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，则由(2)可得f (a )＋f (b )＝1，f (a )－f (b )＝2，解得f (a )＝32，f (b )＝－12.章末综合测评(三) -第三章函数的应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )的图象与x 轴在区间[a ，b ]内( )A ．至多有一个交点B ．必有唯一一个交点C ．至少有一个交点D ．没有交点【解析】 ∵f (a )f (b )＜0，∴f (x )在[a ，b ]内有零点，又f (x )在区间[a ，b ]上单调，所以这样的点只有一个，故选B . 【答案】 B2．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )【解析】要使方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，只需y ＝f (x )与直线y ＝2在(－∞，0)上有交点，故D 正确．故选D.【答案】 D3．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )【解析】由二分法的定义与原理知A 选项正确．【答案】 A 4．函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ∵函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数即为f (x )＝0的根的个数，∴f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3＝0，即(x －1)ln(－x )＝0，∴x －1＝0或ln(－x )＝0，∴x ＝1或x ＝－1，∵⎩⎨⎧－x >0，x －3≠0，解得x ＜0，∵函数f (x )的定义域为{x |x ＜0}，∴x ＝－1，即方程f (x )＝0只有一个根，∴函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数为1个．故选A .【答案】 A5．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s 与时间t 的函数关系如图1所示，则下列说法正确的是 ( )图1A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲、乙两人的速度相同D ．甲比乙先到达终点【解析】由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.【答案】 D6．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m )＝1.06(0.50×[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是大于或等于m 的最小整数(例如[2.72]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为多少元．( )A ．3.71B ．3.97C ．4.24D ．4.77【解析】由[m ]是大于或等于m 的最小整数，可得[5.5]＝6，所以f (5.5)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.故选C .【答案】 C7．函数f (x )＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)【解析】由已知可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2单调递增且连续，∵f (－2)＝－269<0，f (－1)＝－136＜0，f (0)＝－1＜0，f (1)＝32>0，∴f (0)·f (1)＜0，由函数的零点判定定理可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2的一个零点所在的区间是(0,1)，故选C .【答案】 C8．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0，的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3；当x >0时，令－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数有两个零点．故选C .【答案】 C9．函数f (x )＝|x |＋k 有两个零点，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＞0 C ．0≤k ＜1D ．k ＜0【解析】在同一平面直角坐标系中画出y 1＝|x |和y 2＝－k 的图象，如图所示．若f (x )有两个零点，则必有－k ＞0，即k ＜0.【答案】 D10．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．a <α<β<bC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b【解析】 ∵α，β是函数f (x )的两个零点， ∴f (α)＝f (β)＝0.又f (a )＝f (b )＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a ，b 必在α，β之间．故选C .【答案】 C11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0【解析】 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )>0，而0<x 1<x 0，∴f (x 1)>0.【答案】 A12．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a 2x (a >0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( )A.5 B ．5 C ．±5D ．－ 5【解析】设投放x 万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20－x )万元，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x ，令y ≥5，则x 4＋a 2·20－x ≥5.∴a 20－x ≥10－x 2，即a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立，而f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a min ＝ 5.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．【解析】函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则f (0)＝0，∴m ＋3＝0，∴m ＝－3，则f (x )＝x 2－3x ，于是另一个零点是3.【答案】 314．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是________．【解析】令f (x )＝ln x －2＋x ，则f (1)＝ln 1－2＋1<0， f (2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32－2＋32＝ln 32－12＝ln 32－ln e ＝ln 32e ＝ln 94e <ln 1＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32·f (2)<0，∴下一个含根的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，215．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．【解析】设每个涨价x 元，则实际销售价为10＋x 元，销售的个数为100－10x ，则利润为y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x <10，x ∈N )．因此，当x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．【答案】 1416．已知函数f (x )＝log ax ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.【解析】 ∵2<a <3<b <4，∴f (2)＝log a 2＋2－b <1＋2－b ＝3－b <0，f (3)＝log a 3＋3－b >1＋3－b ＝4－b >0. 即f (2)·f (3)<0，易知f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴函数f (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(2,3)，∴n＝2.【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝e x－m－x，其中m∈R，当m>1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．【解】f(x)＝e x－m－x，所以f(0)＝e－m－0＝e－m>0，f(m)＝e0－m＝1－m.又m>1，所以f(m)<0，所以f(0)·f(m)<0.又函数f(x)的图象在区间[0，m]上是一条连续曲线，故函数f(x)＝e x－m－x(m>1)在区间(0，m)内存在零点．18．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log14x)≥0的x的取值集合.【解】∵－12是函数的一个零点，∴f⎝⎛⎭⎪⎫－12＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当log 14x≤0，解得x≥1，当log14x≥－12，解得x≤2，所以1≤x≤2.由对称性可知，当log 14x＞0时，12≤x＜1.综上所述，x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.19．(本小题满分12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【解】(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2Q 10，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5log28010＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.20．(本小题满分12分)设f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3,2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域为[0,1]时，求其值域．【解】 (1)因为f (x )的两个零点分别是－3,2，所以⎩⎨⎧f (－3)＝0，f (2)＝0，即⎩⎨⎧9a －3(b －8)－a －ab ＝0，4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0，解得a ＝－3，b ＝5，f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－3x ＋18的对称轴x ＝－12，函数开口向下，所以f (x )在[0,1]上为减函数，f (x )的最大值f (0)＝18，最小值f (1)＝12，所以值域为[12,18]．21．(本小题满分12分)如图2，直角梯形OABC 位于直线x ＝t 右侧的图形的面积为f (t )．图2(1)试求函数f (t )的解析式； (2)画出函数y ＝f (t )的图象. 【解】 (1)当0≤t ≤2时，f (t )＝S 梯形OABC －S △ODE ＝(3＋5)×22－12t ·t ＝8－12t 2，当2<t ≤5时，f (t )＝S 矩形DEBC ＝DE ·DC ＝2(5－t )＝10－2t ，所以f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧8－12t 2，(0≤t ≤2)，10－2t ，(2<t ≤5).(2)函数f (t )图象如图所示．22．(本小题满分12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为2.10元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元．已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)如甲、乙两户该月共交水费40.8元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y ＝(5x ＋3x )×2.1＝16.8x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x ＞4， y ＝4×2.1＋3x ×2.1＋3×(5x －4)＝21.3x －3.6. 当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4，y ＝8×2.1＋3(8x －8)＝24x －7.2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧16.8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，21.3x －3.6⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜x ≤43，24x －7.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均为单调递增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜40.8；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＜40.8；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －7.2＝40.8，解得x ＝2，所以甲用户用水量为5x ＝10吨，付费S 1＝4×2.1＋6×3＝26.40(元)；乙用户用水量为3x ＝6吨，付费S 2＝4×2.1＋2×3＝14.40(元)．模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}【解析】 ∵全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，∴∁U A ＝{0,4}，又B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．故选C .【答案】 C2．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2. 【答案】 C3．同时满足以下三个条件的函数是( )①图象过点(0,1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数． A ．f (x )＝－(x ＋1)2＋2 B ．f (x )＝3|x | C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D ．f (x )＝x －2【解析】 A ．f (x )＝－(x ＋1)2＋2关于x ＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③. B ．f (x )＝3|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②. C ．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，则三个条件都满足．D ．若f (x )＝x －2，则f (0)无意义，不满足条件①.故选C . 【答案】 C4．与函数y ＝－2x 3有相同图象的一个函数是( ) A ．y ＝－x －2xB ．y ＝x －2xC ．y ＝－2x 3D ．y ＝x2－2x【解析】函数y ＝－2x 3的定义域为(－∞，0]，故y ＝－2x 3＝|x |－2x ＝－x －2x ，故选A .【答案】 A5．函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)【解析】 ∵函数f (x )＝2x －1＋log 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，f (1)＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＜0，故连续函数f (x )的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C . 【答案】 C6．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是( )A.13 B ．－13 C ．3D ．－3【解析】设幂函数为y ＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以有－18＝(－2)α，解得α＝－3，所以y ＝x －3，由f (x )＝27，得x －3＝27，即x ＝13. 【答案】 A7．函数f (x )＝2x 21－x ＋lg (3x ＋1)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 【解析】要使函数有意义，只需⎩⎨⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13＜x ＜1，故函数f (x )＝2x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.【答案】 A8．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＜a ＜b B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c【解析】因为y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a ＞b ，c ＝log 0.30.2＞log 0.30.3＝1，而1＝0.50＞0.50.5.所以b ＜a ＜c .故选B . 【答案】 B9．若函数f (x )＝(k －1)ax －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )【解析】由f (x )＝(k －1)ax －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，所以k ＝2,0<a <1，再由对数的图象可知A 正确．【答案】 A10．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )【解析】 ∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A ，B .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C .【答案】 C11．在y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝x 2这三个函数中，当0＜x 1＜x 2＜1时，使f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f (x 1)＋f (x 2)2恒成立的函数的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】在0＜x 1＜x 2＜1时， y ＝2x使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2恒成立，y ＝log 2x 使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f (x 1)＋f (x 2)2恒成立，y ＝x 2使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2恒成立．故选B .【答案】 B12．若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则(x －1)f (x )＜0的解是( ) A ．(－3,0)∪(1，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,0)∪(1,3)【解析】 ∵f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴f (x )在(－∞，0)内也是增函数．又∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴当x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f (x )＜0；当x ∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f (x )＞0.∵(x －1)·f (x )＜0，∴⎩⎨⎧ x －1<0，f (x )>0或⎩⎨⎧x －1>0，f (x )<0，解得－3＜x ＜0或1＜x ＜3，∴不等式的解集是(－3,0)∪(1,3)，故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝ax －2－3必过定点________．【解析】因为a 0＝1，故f (2)＝a 0－3＝－2，所以函数f (x )＝ax －2－3必过定点(2，－2)．【答案】(2，－2)14．设A∪{－1,1}＝{－1,1}，则满足条件的集合A共有________个．【解析】∵A∪{－1,1}＝{－1,1}，∴A⊆{－1,1}，满足条件的集合A为：∅，{－1}，{1}，{－1,1}，共4个．【答案】 415．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，则f(－1)＝________.【解析】由题意知f(－1)＝－f(1)＝－1×(1＋31)＝－2.【答案】－216．下列命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)＝0；③f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)既不是奇函数也不是偶函数；④A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋1，则f为A到B的映射；⑤f(x)＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．其中真命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)【解析】①不正确，如y＝lg|x|，其在原点处无定义，其图象不可能与y轴相交；②正确，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－0)＝－f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0；③不正确，∵f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)＝4x2＋3，且f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数；④不正确，当x＝－1时，在B中没有元素与之对应；⑤不正确，只能说f(x)＝1x在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数．【答案】②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：(1)1.5－13×⎝⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42－；(2)12lg3249－43lg 8＋lg 245＋10lg 3.【解】 (1)原式＝×＝2.(2)原式＝12(lg 25－lg 72)－＋12lg (72×5)＋10lg 3＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＋3＝12lg 2＋12lg 5＋3＝12(lg 2＋lg 5)＋3＝72.18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}． (1)若A ≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)①当a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23≠∅，合题意；②当a ≠1时，由Δ＝9＋8(a －1)≥0，得a ≥－18且a ≠1. 综上所述，a 的范围为a ≥－18. (2)由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .①当A ＝∅时，a ＜－18，显然合题意；②当A ≠∅时，得到B 中方程的解1和2为A 的元素，即A ＝{1,2}，把x ＝1代入A 中方程，得a ＝0. 综上所述，a的范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＜－18，或a ＝0. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2x . (1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．【解】 (1)由已知得g (x )＝1－a －2x ， ∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a －2x ，解得a ＝1.(2)函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝2(x 1－x 2)x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而2(x 1－x 2)x 1x 2＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m 2＋4m －2. (1)若函数f (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数m 的取值范围； (2)若函数f (x )在区间[0,1]上有最小值－3，求实数m 的值．【解】 f (x )＝(x －m )2＋4m －2.(1)由f (x )在区间[0,1]上是单调递减函数得m ≥1.(2)当m ≤0时，f (x )min ＝f (0)＝m 2＋4m －2＝－3，解得m ＝－2－3或m ＝－2＋ 3. 当0＜m ＜1时，f (x )min ＝f (m )＝4m －2＝－3，解得m ＝－14(舍)．当m ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝m 2＋2m －1＝－3，无解．综上可知，实数m 的值是－2±3.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)， (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0.【解】 (1)要使函数有意义，则有⎩⎨⎧2x ＋1>0，1－2x >0，解得－12<x <12.∴函数F (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数． (3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0，即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )．①当0＜a ＜1时，有0<2x ＋1<1－2x ， ∴－12<x <0.②当a ＞1时，有2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12.综上所述，当0＜a ＜1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，使得f (x )－g (x )＞0；当a ＞1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使得f (x )－g (x )＞0. 21．(本小题满分12分)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲，乙两图：甲乙图1甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．【解】由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y 甲＝0.2x ＋0.8，图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲×y 乙＝1.2×26＝31.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设第m 年的规模最大，总出产量为n ，那么n ＝y 甲y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34)＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25，因此，当m ＝2时，n 最大值为31.2.即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．。

第01章集合与函数的概念章末重难点题型(举一反三)-2019-2020学年高一数学必修一举一反三

姓名，年级：时间：第一章集合与函数的概念章末重难点题型【举一反三系列】【考查角度1 集合中元素的个数】【考情分析】给定一个或多个集合和一些限制条件，求出其中某个特定集合中元素的个数,一般为选择题难度不大。

【考法解读】结合题设条件，利用枚举法列举出所有元素，剔除重复元素即可确定集合中元素的个数.【例1】(2019春•衡水校级月考）已知集合A＝{0，1,2，3}，集合B＝{(x，y)｜x∈A，y ∈A，x≠y，x+y∈A｝,则B中所含元素的个数为( ）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】通过x的取值,确定y的取值，推出B中所含元素的个数．【答案】解：当x＝0时，y＝1，2,3;满足集合B．当x＝1时，y＝0,2；满足集合B．当x＝2时,y＝0，1；满足集合B．当x＝3时，y＝0．满足集合B．共有8个元素．故选:C．【点睛】本题考查集合的基本运算,元素与集合的关系，考查计算能力．【变式1—1】（2019•嘉兴模拟）若集合A＝｛1，2，3｝,B＝｛（x,y）|x+y﹣4＞0，x，y∈A｝，则集合B中的元素个数为（）A．9 B．6 C．4 D．3【分析】通过列举可得x，y∈A的数对共9对,再寻找符合题意的（x，y）,即为集合B中的元素个数．【答案】解：通过列举，可知x,y∈A的数对共9对,即（1，1），(1,2)，(1，3），（2，1），（2，2）,（2,3），(3，1），（3，2），（3，3）共9种，∵B＝｛（x，y)|x+y﹣4＞0，x,y∈A}，∴易得(2，3),（3，2)，（3，3)满足x+y﹣4＞0，∴集合B中的元素个数共3个．故选:D．【点睛】列举题目中的几种不同情况，注意做到不重不漏,考查学生的分析能力，属于基础题．【变式1-2】（2019秋•湖北校级月考）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)丨x ∈A，y∈A，｜x﹣y｜∈A｝，则B中所含元素的个数为（）A．6 B．12 C．16 D．20【分析】依题意,x∈A,y∈A，｜x﹣y|∈A，可求得集合B的元素个数,从而可得答案．【答案】解:∵A＝{1，2，3,4，5},B＝{(x,y)|x∈A，y∈A，｜x﹣y｜∈A},∴当｜x﹣y|＝1时，（1，2），（2，3)，（3，4)，（4，5），(2,1），(3，2），(4，3）,（5，4）;当|x﹣y|＝2时，（1，3），（2，4）,（3，5），（3，1)，(4，2)，(5，3）；当|x﹣y|＝3时，(1，4），（2,5）,（4，1)，(5，2），当｜x﹣y|＝4时，(1，5）,（5，1)B＝{（x,y)丨x∈A，y∈A,|x﹣y|∈A｝,中元素的个数是20个．故选：D．【点睛】本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查排列组合的应用，考查分析运算能力，属于中档题．【变式1-3】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知A＝{1,2，3}，B＝{2,3，4,5},D＝｛(x，y）|x∈A∩B,y∈A∪B｝,则D中所含元素个数为（）A．8 B．10 C．16 D．25【分析】求出A与B的交集,确定出x,求出A与B的并集，确定出y，即可确定出D，做出判断．【答案】解：∵A＝{1,2，3｝,B＝{2，3，4,5｝，∴A∩B＝{2,3}，A∪B＝｛1,2，3,4，5｝，∵D＝{(x,y）｜x∈A∩B,y∈A∪B｝，则D中所含元素为（2，1）；（2，2）；（2,3）；(2，4）;（2，5）;（3，1）；（3，2)；（3,3）;（3，4）；（3，5)个数为10．故选：B．【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【考查角度2 判断集合间的关系】【考情分析】给定两个集合，考查两个集合间的包含、相等关系，这类试题难度很小，一般为送分题.【考法解读】认真分析两集合中的元素,结合集合间的包含、相等的定义即可获解.【例2】(2019春•和平区校级月考）已知集合M＝｛x|（x﹣1)(x﹣2）≤0｝，N＝｛x｜x ＞0}，则( ）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N＝∅D．M∪N＝R【分析】利用集合的子集真子集关系，集合的基本运算可得正确选项．【答案】解：已知集合M＝｛x|（x﹣1)(x﹣2）≤0｝＝｛x|1≤x≤2｝，N＝{x｜x＞0}，则由集合的运算和集合的关系可得:M⊆N，B正确;故选:B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，集合间的关系，比较基础．【变式2-1】已知集合M＝{x|x＝+,k∈Z｝，N＝｛x｜x＝+，k∈Z｝,则（) A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．M∩N＝∅【分析】将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论．【答案】解：M＝｛x|x＝+，k∈Z}＝{x｜，k∈Z｝,N＝{x|x＝+,k∈Z}＝｛x|,k∈Z}，∵k+2（k∈Z)为整数，而2k+1(k∈Z）为奇数，∴集合M、N的关系为N⊊M．故选：C．【点睛】本题考查集合的关系判断，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．【变式2-2】（2018秋•安庆期中)下列各组集合中,表示同一集合的是（）A．M＝｛(3,2）}，N＝｛(2,3）｝B．M＝｛3,2｝，N＝{2,3｝C．M＝{（x,y）｜x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1｝D．M＝｛1，2}，N＝｛（1，2）}【分析】根据题意，结合集合相等的意义，即其中的元素完全相同；依次分析选项，A中：M、N都是点集，但(2，3）与（3，2）是不同的点，则M、N是不同的集合，B中:M、N都是数集，都表示2，3两个数,是同一个集合,对于C:M是点集,而N是数集，则M、N是不同的集合，D中：M是数集，N是点集，则M、N是不同的集合,综合可得答案．【答案】解：根据集合的定义，依次分析选项可得：对于A：M、N都是点集，（2，3）与（3，2）是不同的点，则M、N是不同的集合，故不符合;对于B:M、N都是数集,都表示2，3两个数，是同一个集合，符合要求；对于C：M是点集，表示直线x+y＝1上所有的点,而N是数集,表示函数x+y＝1的值域，则M、N是不同的集合，故不符合;对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集,则M、N是不同的集合，故不符合；故选：B．【点睛】本题考查集合的概念与集合相等的意义,解题的关键在于分析集合的意义，认清集合中元素的性质．【变式2-3】（2018秋•张家口期末）设集合P＝｛y|y＝x2+1），M＝｛x｜y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（)A．M＝P B．P∈M C．M⊊P D．P⊊M【分析】由函数的定义域及值域得:P＝，M＝R，即P⊊M，得解【答案】解：因为y＝x2+1≥1，即P＝，M＝｛x|y＝x2+1｝＝R，所以P⊊M,故选：D．【点睛】本题考查了集合的表示及函数的定义域及值域，属简单题【考查角度3 集合间的运算】【考情分析】给你两个集合，考查两集合间的交、并、补或它们的综合运算的结果，这是高考中考查集合的最常见形式。

四川省成都市高中数学第一章集合与函数综合检测新人教A版必修1

第一章集合与函数的概念章末小结一、选择题1.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是().A.4B.3C.2D.1【解析】∵M∪{1}={1,2,3},∴M={2,3}或{1,2,3}.【答案】C2.已知函数f(x)f(f(3))=().A.4B.9C.-3D.-2【解析】∵3>0,∴f(3)=1-3=-2.又-2<0,∴f(f(3))=f(-2)=(1+2)2=9.【答案】B3.若函数y=f(x)的定义域为集合A={x|0≤x≤2},值域为集合B={y|1≤y≤2},则这个函数的图象可能是().【解析】由函数定义知,A不合定义域要求,B中y值的取值不唯一,C不合值域要求,故选D.【答案】D4.已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,则f(4)+f(-4)的值为().A.56B.10C.8D.不确定【解析】∵y=f(x)是偶函数,∴f(-4)=f(4)=5,∴f(4)+f(-4)=10.【答案】B5.如图,对应关系f是从A到B的映射的是().【解析】A选项中元素4,9在集合B中对应的元素不唯一,故不能构成A到B的映射,B,C选项中元素0在集合B中没有对应的元素,故选D.【答案】D6.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),0,则().A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)【解析】若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.∵3>2>1,∴f(3)<f(2)<f(1).又f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),∴f(3)<f(-2)<f(1),故选A.【答案】A7.函数f(x)().【解析】因为f(x)C.【答案】C8.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是().A.f(x)=9x+8B.f(x)=3x+2C.f(x)=-3x-4D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4【解析】∵f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2,∴f(x)=3x+2.【答案】B9.已知f(x)为奇函数,在[3,6]上单调递增,且在[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)等于().A.-15B.-13C.-5D.5【解析】因为函数f(x)在[3,6]上是增函数,所以f(6)=8,f(3)=-1.又因为函数为奇函数,所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.【答案】A10.已知函数f(x)=ax2+2(a-3)x+1在区间[-2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是().A.(-∞,3]B.[-3,0]C.[-3,0)D.[-2,0]【解析】当a=0时,函数f(x)为R上的减函数,所以在[-2,+∞)上也是减函数;当a≠0时,函数f(x)图象的对称轴为直线依题意有-3≤a<0.综上,实数a的取值范围为[-3,0].故选B.【答案】B11.已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)x的取值范围是().A BC D故选D.【答案】D12.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+2,则不等式2f(x)-1<0的解集是().ABCD【解析】因为f(x)为奇函数,所以当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-f(x)=-x+2,即f(x)=x-2.当x<0时,f(x)=x+2,由2f(x)-1<0,得2(x+2)-1<0,解得当x≥0时,f(x)=x-2,由2f(x)-1<0,得2(x-2)-1<0,解得综上可知,【答案】B二、填空题13.函数f(x)的定义域为.x≥-1且x≠2.∴函数的定义域是[-1,2)∪(2,+∞).【答案】[-1,2)∪(2,+∞)14.已知集合A={x|x≥2},B={x|x≥m},且A∪B=A,则实数m的取值范围是.【解析】∵A∪B=A,即B⊆A,∴实数m的取值范围为[2,+∞).【答案】[2,+∞)15.已知函数f(x)是奇函数,当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5,则当-4≤x≤-1时,函数f(x)的最大值是.【解析】当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,其最小值为1.又函数f(x)是奇函数,∴当-4≤x≤-1时,函数f(x)的最大值为-1.【答案】-116.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若f(-1)=0,0的解集为.【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,f(1)=f(-1)=0.当x>0,f(x)<0时,解得x>1;当x<0,f(x)>0时,解得-1<x<0.故原不等式的解集为{x|-1<x<0或x>1}.【答案】{x|-1<x<0或x>1}三、解答题17.设A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+2=0},B⊆A.(1)写出集合A的所有子集;(2)若B为非空集合,求a的值.【解析】(1)由题可知A={1,2},所以集合A的所有子集是⌀,{1},{2},{1,2}.(2)因为B是非空集合,所以当集合B中只有一个元素时,由Δ=0,得a2-8=0,即a=±此时B=或{不满足B⊆A.当集合B中有两个元素时,由A=B,得a=3,综上可知,a的值为3.18.已知函数f(x)(1)求f(f(-1))的值.(2)若f(x0)>2,求实数x0的取值范围.【解析】(1)因为f(-1)=-(-1)+3=4,所以f(f(-1))=f(4)=4×4=16.(2)当x0≤0时,由f(x0)>2,得-x0+3>2,即x0<1,此时x0≤0;当x0>0时,由f(x0)>2,得4x0>2,即x0综上可得,实数x0的取值范围为(-∞19.已知全集为R,集合B={x|a-2<x≤a+3}.(1)当a=0时,求(R A)∩B;(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.【解析】(1)要使,0<x≤2,∴A=(0,2],∴R A=(-∞,0]∪(2,+∞).当a=0时,B=(-2,3],∴(R A)∩B=(-2,0]∪(2,3].(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A=(0,2],-1≤a≤2.故实数a的取值范围为[-1,2].20.某省两相邻重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车.已知该车每次拖4节车厢,一天能来回16次,若每次拖7节车厢,则每天能来回10次.(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式.(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问:这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.【解析】(1)设每天来回y次,每次挂x节车厢,由题意设y=kx+b.当x=4时,y=16,当x=7时,y=10,所以16=4k+b,10=7k+b,解得k=-2,b=24,所以y=-2x+24.(2)设每天运营S节车厢,则S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,所以当x=6时,S max=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110×72=7920.故这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7920.21.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)若在区间[-1,1]上函数g(x)=f(x)-(2x+m)的图象与x轴无交点,求实数m的取值范围.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=1,∴c=1,∴f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x,(x)=x2-x+1.(2)由题意知函数g(x)在[-1,1]上的最小值大于0.∵g(x)=x2-3x+1,其图象的对称轴为直线∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数, ∴g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0,∴m<-1.故实数m的取值范围是(-∞,-1).22.已知函数f(x),且f(1)=2.(1)求a,b的值;(2)当0<x≤1时,判断函数f(x)的单调性,并给予证明;(3)求函数f(x).【解析】(1)∵函数f(x),且f(1)=2.∴f(-1)=-f(1)=-2.(2)由(1)知f(x)==x+.f(x)(0,1]上为减函数.证明如下:任取0<x1<x2≤1,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)=(x1-x2)(x1-x2∵x1-x2<0,10,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)(0,1]上为减函数.(3)由(2)知f(x),∴函数f(x)最小值为f(1)=2.。

章末第一章集合与函数概念

1章末集合与函数概念一、选择题1．已知集合M＝{y|y＝ax＋b，a≠0，x∈R}和集合P＝{(x，y>|y＝ax＋b，a≠0，x∈R}，下列关于它们的关系结论正确的是( >b5E2RGbCAPA．M PB．P MC．M＝PD．M∩P＝∅[答案] D[解读] 前者表示的是一个一次函数的值的集合，其中的元素是一元实数y，而后者则是一个以一次函数的图象上的点(x，y>为元素的集合，因此也就不具有包含、相等关系了，故选D.p1EanqFDPw2．设集合A＝{x|x∈Z且－10≤x≤－1}，B＝{x|x∈Z且|x|≤5}，则A∪B中元素的个数是( >DXDiTa9E3dA．11 B．10C．16 D．15[答案] C[解读] B＝{x|－5≤x≤5，x∈Z}，A∪B＝{x|－10≤x≤5，x∈Z}中共有16个元素．3．奇函数f(x>的定义域为(－∞，＋∞>，且在(－∞，0>上递减，若ab<0，且a＋b≥0，则f(a>＋f(b>与0的大小关系是( >RTCrpUDGiTA．f(a>＋f(b><0 B．f(a>＋f(b>≤0C．f(a>＋f(b>>0 D．f(a>＋f(b>≥0[答案] B[解读] ∵f(x>为奇函数，且在(－∞，0>上是减函数∴f(x>在(0，＋∞>上是减函数．∵ab<0.5PCzVD7HxA不妨设b<0∴a>0，又a＋b≥0∴a≥－b>0∴f(a>≤f(－b>又f(－b>＝－f(b>∴f(a>＋f(b>≤0.jLBHrnAILg4．设集合M＝{x|m≤x≤m＋错误!}，N＝{x|n－错误!≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是( >xHAQX74J0XA.错误!B.错误!C.错误!D.错误![答案] C[解读] 由题意知错误!∴错误!≤n≤1，LDAYtRyKfE同理0≤m≤错误!.借助数轴可知M∩N的长度在n＝1，m＝0时，有最小“长度”值为错误!－错误!＝错误!.Zzz6ZB2Ltk*5.若f(x＋1>的定义域为[－2,3]，则f(2x－1>的定义域为( >A．[0，错误!] B．[－1,4]C．[－5,5] D．[－3,7][答案] A[解读] ∵－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4，∴f(x>的定义域为[－1,4]．∴要使f(2x－1>有意义，须满足－1≤2x－1≤4，∴0≤x≤错误!.6．(09·四川文>已知函数f(x>是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1>＝(1＋x>f(x>，则f 错误!的值是( >dvzfvkwMI1A．0 B.错误!C．1 D.错误![答案] A[解读] 由xf(x＋1>＝(1＋x>f(x>得－错误!f错误!＝错误!f错误!，rqyn14ZNXI∴－f错误!＝f错误!＝f错误!，∴f错误!＝0，EmxvxOtOco又错误!f错误!＝错误!f错误!，错误!f错误!＝错误!f错误!，SixE2yXPq5∴f错误!＝0，f错误!＝0，故选A.6ewMyirQFL*7.某汽车运输公司购买了一批新型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元>与营运年数x(x∈N*>满足二次函数关系如图，则每辆客车营运________年，其营运年平均利润最大( >kavU42VRUsA．4 B．5C．6 D．7[答案] D [解读] 由题图可设y＝a(x－8>2＋15过点(6,11>，∴11＝a(6－8>2＋15，∴a＝－1，∴y＝－(x－8>2＋15，即y＝－x2＋16x－49.年平均利润u＝错误!＝－x－错误!＋16＝16－错误!，y6v3ALoS89∵x∈N*，∴x>0，此函数在(0,7]上是增函数，在[7，＋∞>上是减函数．∴当x＝7时，umax＝2，M2ub6vSTnP∴每辆客车营运7年，其年平均利润最大．二、解答题8．设f(x>＝x2＋ax＋b，A＝{x|f(x>＝x}＝{a}，由元素(a，b>构成的集合为M，求M.0YujCfmUCw [分析] 认真分析A＝{x|f(x>＝x}＝{a}的含义，解题思路呼之即出．从A＝{a}知集合A中有且仅有一个元素a，从A＝{x|f(x>＝x}知，集合A中的元素是方程f(x>＝x的解．由此即知方程f(x>＝x有且仅有一个实根a，即关于x的一元二次方程f(x>＝x有两相等实根a.eUts8ZQVRd [解读] 由题意知，方程f(x>＝x有且仅有一个实数根a，即x2＋(a－1>x＋b＝0仅有一实根a，∴错误!sQsAEJkW5T解之得：a＝错误!，b＝错误!，∴M＝{(错误!，错误!>}．GMsIasNXkA 9．已知y＝f(x>满足f(－x>＝－f(x>，它在(0，＋∞>上是增函数，且f(x><0，试问F(x>＝错误!在(－∞，0>上是增函数还是减函数？证明你的结论．TIrRGchYzg [解读] 任取x1、x2∈(－∞，0>且x1<x2，则有－x1>－x2>0，因为y＝f(x>在(0，＋∞>上是增函数，且f(x><0，所以f(－x2><f(－x1><0.又因为f(x>满足f(－x>＝－f(x>．所以f(x2>>f(x1>>0.于是F(x1>－F(x2>＝错误!－错误!＝错误!>0，即F(x1>>F(x2>．7EqZcWLZNX所以F(x>＝错误!在(－∞，0>上是减函数．*10.若A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．lzq7IGf02E(1>若A∩B＝A∪B，求a的值；(2>若∅A∩B，A∩C＝∅，求a的值．[解读] 由已知得：B＝{2,3}，C＝{2，－4}(1>∵A∩B＝A∪B∴A＝B于是2,3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由韦达定理知错误!解之得a＝5.zvpgeqJ1hk(2>由∅A∩B，A∩C＝∅得3∈A,2∉A，－4∉A由3∈A得32－3a＋a2－19＝0解得a＝5或a＝－2当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A矛盾，当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意，∴a＝－2.NrpoJac3v1申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

第一章集合与函数的概念(一)

第一章集合与函数的概念第一节集合（一）集合的概念：集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。

组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。

（二）集合的表示方法：1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在打括号内表示集合的方法叫做列举法2、描述法：一般形式为{x丨p（x）}，竖线前面的x表示集合中元素的一般形式，叫代表元素，竖线后的p（x）表示集合元素x的公共属性。

在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}3、图示法（也叫Venn图法）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合说明：（1）由列举法可以看清集合的元素，由描述法可以看清集合的特征（2）列举法和描述法中的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因而，{全体整数}中的“全体”二字重复，应为{整数}（三）元素与集合的关系元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。

构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

（四）集合的三要素1、确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合。

例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。

2、互异性：也就是说，在一个集合中不会重复出现相同的元素。

例如集合{a,b,b,c,d,d}的写法是错误的，应为{a,b,c,d}3、无序性：也就是说集合中的元素是没有顺序的，可以任意列出。

例如：{1，3，2}，{1，2，3}，{3，1，2}等（五）集合的分类:1、并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合成为A与B的并（集），记作“A∪B”2、交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合成为A与B的交（集），记作“A ∩B”。

第一章 集合与函数的概念章末检测B

【创新设计】2019数学湘教版必修1练习 第一章 集合与函数 章末复习提升 含解析