专题训练(六)矩形折叠问题

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四边形折叠问题专项训练

矩形折叠问题专项训练学习目标：1、理解折叠问题的实质，熟练发现相等的线段和相等的角。

2、能利用已有知识作出正确的推理论证。

3、体会数学中的方程思想、转化思想、数形结合思想.学习重点：折叠的本质、方程的思想.学习难点：通过对不同题型的分析和训练，找到解题的切入点从而突破难点. 探究一：求角的度数1. 将矩形ABCD 的纸片，沿EF 折成如图所示；已知∠ EFG=55º，则∠ FGE= 。

2. 如图，矩形ABCD 沿BE 折叠，使点C 落在AD 边上的F 点处，如果∠ ABF=60º，则∠ CBE 等于（）。

(A)15º (B)30º (C )45º (D)60º3、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC ，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（）A 、60°B 、75 °C 、90 °D 、95 °（第1题）（第2题）（第3题）探究二求线段的长度1、将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠, 点B 落在点E 处。

求证：AF=CF2、将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠, 点B 落在点E 处。

若AD=4,AB=3. 求FC 的长度. （已证AF=FC ）B C AD FE D'C'GA B C D E F探究三：求面积3、将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠, 点B落在点E处。

若AD=4,AB=3.求重合部分△AFC的面积.探究四判断位置关系4、将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠, 点B落在点E处。

连接DE，求证：DE∥AC.探究五判断形状5、若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的M正好重合，连接AM，试判断四边形AMCF的形状，并说明理由。

（六）课堂小结：谈谈你今天的收获吧!巩固练习：求折痕的长1、如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=10cm，沿AE折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，求EC的长。

矩形的折叠问题(专题)

→ Bx
D
，故OE= 。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， C ∠C=90º ，沿着B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合。当∠A满足什么条件时，点D恰好是AB的中点？写出一个你 B 认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点。条件：∠A=30º
E D A
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ，在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º， ∴ BC= ∴ BD =
答案：矩形的长为10，宽为8。
D F E A
C
B
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x. (1)用x表示△AMN的面积SΔ AMN。 (2)Δ AMN沿MN折叠，设点A关于Δ AMN对称的点为A¹ ， Δ A¹ MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？
矩形的折叠问题
（复习课）
练习1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE 重合，求CD
A E C B D
如图，折叠矩形的一边AD，点D 落在BC边上点F处，已知AB=8， BC=10，求EC的长 D A
E B F C
练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、 C分别落在AB上的D¹ 、C¹ 处，折痕为EF。若CD=3，EF=4，则AD¹ +BC¹ = 。

矩形折叠问题

① 判断△OBM是什么三角形,并说明理由； ② 试求直线MN的解析式.
y
B C
O
Ax
2.关于某条直线对称的两个图形是全等形。
3.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
矩形的翻折一直是中考的重点,关于矩形的翻折通常有以下几种情况
一、将一边折到对角线上二、将一个顶点折到一边上三、一边沿对角线翻折四、一条对角线的顶点折叠重合
一、将一边折到对角线上
E
A F
D
B
C
1、如图,已知矩形ABCD,将△BCD沿对角线 BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F。 2 若AB=4,BC=8,求AF。
E
AF
D
B
C
1、如图,已知矩形ABCD,将△BCD沿对角线
BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F。
3 在 2 的条件下,试求
重叠部分△DBF的面积。
E
1 若∠BAF＝60°,求∠EAF的度数； 2 若AB＝6cm,
AD＝10cm, 求线段CE的长及△AEF的面积.
2、如图,矩形纸片ABCD中,现将A、C重合,使纸片
折叠压平,设折痕为EF。 1 连结CF,四边形AECF是什么 A
特殊的四边形为什么
G
F
D
2 若AB＝4cm,AD＝8cm,你能 B
例１、折叠矩形纸片ＡＢＣＤ,先折出折痕对角线ＢＤ,再折叠ＡＤ边与对角线ＢＤ重合,得折痕ＤＧ。若ＡＢ＝２,ＢＣ＝１, 求ＡＧ
Ｄ
ＥＣ
ＡＧ
Ｂ
二、一条对角线的顶点折叠重合
例２、如图,矩形纸片ＡＢＣＤ的长ＡＤ＝９cm, 宽ＡＢ＝3cm,将其折叠,使点Ｄ与点Ｂ重合,那么折叠后ＤＥ的长和折痕ＥＦ的长分别是多少

矩形折叠问题知识点总结

矩形折叠问题知识点总结1. 问题概述矩形折叠问题的基本情境是，给定一个长方形纸张，要求将其折叠成一个给定形状，通常是通过将纸张折叠后在两个边缘进行切割。

这个问题最早可以追溯到19世纪，由著名的数学家亨利·杜迪尼（Henri Dudeney）提出。

在这个问题中，关键点在于如何找到最优的折叠方法，使得得到的形状与目标形状最接近。

2. 解决方法矩形折叠问题涉及到了几何学、数学分析、最优化等多个学科知识，因此解决这个问题需要综合运用多种方法。

下面我将介绍一些常见的解决方法。

（1）分割法分割法是解决矩形折叠问题的一种常见方法。

首先将目标形状细分成若干个小矩形，然后将原始的长方形纸张按照这些小矩形进行折叠，最后再将边缘上多余的部分切掉，就可以得到最终的形状。

这种方法的关键在于如何将目标形状进行合理的分割，找到合适的折叠点和切割线。

（2）几何分析法几何分析法是另一种解决矩形折叠问题的常见方法。

通过对目标形状的几何特征进行分析，可以找到最优的折叠方法。

这种方法通常需要借助于数学工具，例如微积分、线性代数等，对目标形状进行数学建模，然后通过求解最优化问题，得到最佳的折叠方案。

（3）仿射变换法仿射变换法是一种比较高级的解决方法，它利用了几何变换的性质，将目标形状通过仿射变换映射成一个简单的形状，然后再将纸张按照这个简单的形状进行折叠，最后再通过逆变换将折叠后的纸张映射回原来的形状。

这种方法需要较强的数学功底和熟练的计算能力，但是可以得到非常优美的折叠结果。

3. 相关知识点解决矩形折叠问题需要涉及到很多相关的数学知识点，下面我将逐一介绍这些知识点。

（1）几何形状矩形折叠问题本质上是一个关于几何形状的问题，因此需要熟悉各种几何形状的性质，包括面积、周长、对称性等方面的知识。

在解决矩形折叠问题时，需要对目标形状进行合理的分割和组合，这就需要对几何形状的特征有深入的了解。

（2）数学分析数学分析是解决矩形折叠问题的重要数学工具，通过对目标形状进行数学建模，并利用微积分、线性代数等数学工具，可以求解最优的折叠方案。

专题：矩形折叠问题的常用方法

5、(2010徐州)如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿 EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP． (1)如图②，若M为AD边的中点， ①,△AEM的周长=_____cm； ②求证：EP=AE+DP； (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
说一说：（1）折叠后：
C′ A E
BC=AD CD=AB C′D=＿＿＿＿＿ , BC′=＿＿＿＿＿ ;
1 2
D
∠4=∠ADB ∠1=∠2=∠ABD ＿＿＿＿＿, ∠3= ＿＿＿＿. （2）图中有哪些全等三角形？（3）重叠部分是什么图形？
3
B
4
C
探索方法折法二：将矩形纸片沿折痕EF折叠，记点D的对应点为D′,点C恰好落在点A处.（AB=3,BC=5)
折法三：将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使点D落在 BC边上的点F处.
（1）△ABF与△FCE相似吗？(2)求EC的长.
A D E C
分析： ∠D=∠AFE=90°,得 Rt△ABF∽Rt△FCE
3
B F
5
折叠问题常用方法2：利用相似三角形由相似比列方程求解.
挑战中考
（湖州2008）已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在
直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上
k 的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 y (k 0) x 的图象与AC边交于点E．
（1)点E 的坐标为( 数式来表示)
),点F (
).(结果可以用k的代
（2）用k的代数式表示出线段EC 与CF的长度；

思想方法专题矩形中的折叠问题

思想方法专题矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题是数学中的一个经典问题，涉及到几何形状的变换和计算。

这个问题可以帮助我们锻炼思维能力，培养抽象思维和空间想象能力，同时也有助于解决实际生活中的一些问题。

首先，我们来具体描述一下矩形中的折叠问题。

假设有一张长为a，宽为b的矩形纸，我们可以将其沿着一条边折叠，并将两边粘合在一起，形成一个三维的物体。

那么，这个折叠后的物体的体积是多少呢？要解决这个问题，我们首先需要明确物体的形状。

物体是由两个相同的矩形面围成的，形成一个长方体。

其中，折叠出的两个面作为上下两个底面，长度为a，宽度为b；而另外两个面作为侧面，长度为b，宽度为折叠的厚度。

接下来，我们需要确定物体的厚度。

厚度取决于折叠的方式。

如果将矩形纸沿着长边折叠，那么物体的厚度为a；如果将矩形纸沿着短边折叠，那么物体的厚度为b。

有了这些信息，我们就可以计算物体的体积了。

物体的体积可以通过长方体的体积公式来计算，即V=a*b*h，其中V表示体积，a表示底面的长度，b表示底面的宽度，h表示高度或厚度。

由于问题中给出的是矩形纸的长和宽，我们还需要确定折叠的方式。

不同的折叠方式会得到不同的厚度，从而得到不同的体积。

因此，我们需要分别计算两种折叠方式下的体积，并找出较大的那个作为最终的结果。

那么，如何确定哪种折叠方式下的体积较大呢？我们可以通过比较高度来判断。

在折叠过程中，长边折叠得到的物体的高度为a，短边折叠得到的物体的高度为b。

由于长边折叠得到的物体的高度大于短边折叠得到的物体的高度，所以长边折叠得到的体积必然大于短边折叠得到的体积。

经过上述分析，我们得出结论：在矩形中的折叠问题中，长边折叠得到的体积较大，为a*b*a；短边折叠得到的体积较小，为a*b*b。

总结起来，矩形中的折叠问题可以通过分析物体的形状和厚度，利用长方体的体积公式进行计算。

通过比较两种折叠方式下的体积，我们可以得出哪种方式的折叠会得到更大的物体。

专题：矩形折叠问题的常用方法

A
B
4、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕， ∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为＿＿．
5、(2010徐州)如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿 EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP． (1)如图②，若M为AD边的中点， ①,△AEM的周长=_____cm； ②求证：EP=AE+DP； (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
k 的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 y (k 0) x 的图象与AC边交于点E．
（1)点E 的坐标为( 数式来表示)
),点F (
).(结果可以用k的代
（2）用k的代数式表示出线段EC 与CF的长度；
4-
k 3
3-
温馨提示：
点（ห้องสมุดไป่ตู้标）
k 4
3
3
G
C′
4
k 4
线段
(3)请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿 EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
D
X
5-X
C
(2) 若∠D′EA=50°，则 115° ∠DEF的度数为＿＿；集中 (3) 由 AB=3,BC=5,
3.4 . 则 AE=＿＿求解
折叠问题常用方法1：
找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身的特点借助于勾股定理构造方程求解.
折法三：将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使点D落在 BC边上的点F处.

矩形折叠问题(解析版)-中考数学训练

矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长。

解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。

问题：根据已知信息，求翻折后各边长。

模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M ,点N 分别为DC ，AB 中点思路：模型七：点A '为BC 中点思路：过点F 作FH ⊥AE ，垂足为点H设AE =A 'E =x ，则BE =8-x 由勾股定理解得x =174∴BE=154由于△EBA '∽△A 'CG ∽△FD 'G ∴A 'G =3415CG =1615GD '=2615DF =D 'F =AH =134HE =1EF =17【培优过关练】1.(2022秋·山东青岛·九年级统考期末)如图，在正方形ABCD 中，AB =9，点E 、F 分别在边AB 、CD上，∠FEB =120°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点C 恰好落在AD 边C 上，则C D 的长度为()A.3B.33C.32D.3【答案】B 【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．【详解】解：在正方形ABCD 中，CD =AB =9，CD ∥AB ，∠D =90°，∴∠FEB +∠EFC =180°，∴∠EFC =∠C FE =60°，∴∠C FD =180°-∠EFC -∠C FE =60°，∴∠DC F =30°，∴C F =2DF ，又∵C F =CF ，CF +DF =9，∴DF =3，C F =6，∴C D =62-32=33，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折及正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．2.(2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，沿着BE 折叠使点A 落在边CD 上的点F 处，若tan ∠ABE =13，AD =3，则DF 的长为()A.1B.2C.43D.32【答案】A 【分析】先根据折叠的性质和正切的定义得出EF BF=13，再证明△DEF ∽△CFB ，最后利用相似三角形的性质得出结论．【详解】解：由折叠可知，∠ABE =∠FBE ，∴tan ∠ABE =tan ∠FBE =13，∴EF BF =13，∵∠EFB =∠C =∠D =90°，∴∠DFE +∠DEF =90°，∠DFE +∠BFC =90°，∴∠DEF =∠BFC ，∴△DEF ∽△CFB ，∴EF FB =DF CB=13，∵BC =AD =3，∴DF =1，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是证明△DEF ∽△CFB ．3.(2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为1,3 ，将矩形沿对角线AC 折叠，使点B 落在D 点的位置，且交y 轴交于点E ，则点D 的坐标是()A.-35，83B.-35，2C.-45，145D.-45,125【答案】D【分析】过D 作DF ⊥AO 于F ，根据折叠可以证明△CDE ≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE =DE ,OA =CD =1，设OE =m ，那么CE =3-m ，DE =m ，利用勾股定理即可求出m ，然后利用已知条件可以证明△AEO ∽△ADF ，而AD =AB =3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了点D 的坐标．【详解】如图，过D 作DF ⊥AO 于F ，∵点B 的坐标为1,3 ，∴AO =1，AB =3，根据折叠可知CD =BC =OA ，而∠ADC =∠AOE =90°，∠DEC =∠AEO∴△CDE ≌△AOE ，∴OE =DE ,OA =CD =1，设OE =m ，那么CE =3-m ，DE =m ，在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴3-m 2=m 2+12，解得m =43，∵DF ⊥AF ，∴DF ∥EO ，∴△AEO ∽△ADF而AD =AB =3，∴AE =CE =3-43=53，∴AE AD =EO DF =AO AF ，即533=43DF =1AF，∴DF =125,AF =95，∴OF =95-1=45，∴D 的坐标为-45,125，故选：D ．【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．4.(2023春·广东广州·九年级专题练习)如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 落在对角线BD 上，折痕为DG ，点A 的对应点为A ，那么AG 的长为()A.1B.43C.32D.2【答案】C【分析】首先设AG=x，由矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22=4-x2，解此方程即可解决问题．【详解】解：设AG=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=4，AD=3，∴BD=AD2+AB2=5，由折叠的性质可得：A D=AD=3，A G=AG=x，∠DA G=∠A=90°，∴∠BA G=90°，BG=AB-AG=4-x，A B=BD-A D=5-3=2，∵在Rt△A BG中，A G2+A B2=BG2，∴x2+22=4-x2，解得：x=3 2，∴AG=32．故选：C．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．5.(2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△HFG；③四边形BGDE的面积等于35；④AG+DF=FG．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=12∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，利用勾股定理得到x2+42=(8-x)2，得到AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明△DEF∽△HFG，于是可对②进行判断；根据S四边形BGDE=S矩形ABCD -S△ABG-S△EBC可对③进行判断．【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=12∠CBF+12∠ABF=12∠ABC=45°，所以①正确；在Rt△ABF中，AF=BF2-AB2=102-62=8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2，∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；在△DEF中，DF=2，设DE=a，则CE=EF=6-a∴6-a2=a2+22解得a=8 3∴EC=6-83=103∵SΔABG=12×6×3=9，S△BCE=12×10×103=503，∴S四边形BGDE =S矩形ABCD-S△ABG-S△EBC=6×10-9-503=1033≠35．所以③不正确．∵DF=2,DE=83,EF=103，GH=3,HF=4,GF=5∴DF GH =DEHF=EFFG∴△DEF∽△HFG故②正确故选：C．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．6.(2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E为BC的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为()A.185B.6C.325D.365【答案】D【分析】连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC =90°，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接BF ，交AE 于H ，∵BC =12，点E 为BC 的中点，∴BE =6，又∵AB =8，∴AE =AB 2+BE 2=36+64=10，由折叠知，BF ⊥AE (对应点的连线必垂直于对称轴)，∴BH =AB ×BE AE=245，则BF =485，∵FE =BE =EC ，∴∠EFB =∠EBF ，∠EFC =∠ECF ，∵∠EFB +∠EBF +∠EFC +∠ECF =180°，∴∠BFC =90°，∴CF =BC 2-BF 2=122-485 2=365，故选：D ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7.(2022秋·广西贵港·九年级统考期中)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =11，M 是BC 上的点，且CM =3，将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C 处，折痕为MN ，当PC 与线段BC 交于点H 时，则线段BH 的长是()A.3B.5516C.4D.7316【答案】B 【分析】连接PM ，证明△PBM ≌△PC M 即可得到CM =C M =PB =3，证明△PBH ≌△C MH ，得出BH =HC =x ，然后列出关于x 的方程，解方程即可．【详解】解：连接PM ，如图所示：∵矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =11，∴CD =AB =8，∠A =∠B =∠C =∠D =90°，∵CM =3，∴BM =11-3=8，根据折叠可知，CD =PC =8，∠C =∠C =90°，C M =CM =3，∴∠B =∠C ，∴BM =PC =8，∵PM =PM ，∴Rt △PBM ≌Rt △PC M HL ，∴C M =PB =3，∵∠PHB =∠C HM ，∠B =∠C ，∴△PBH ≌△C MH ，∴BH =HC ，设BH =HC =x ，则HM =8-x ，∵HM 2=HC 2+C M 2，∴8-x 2=x 2+32，解得：x =5516，∴BH =5516，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件BM =PC =8，证明三角形全等，学会利用翻折不变性解决问题．8.(2022秋·山东枣庄·九年级校考期中)如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM =()A.12B.2-2C.3-1D.2-1【答案】B【分析】根据题意先求BD =2AB =22，OD =2，再求BE =EF =CF =BD -DE =BD -CD =22-2，进而根据△ODM ∽△CDF 的线段比例关系，即可求出OM 的长．【详解】解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD =BC =CD =2，∠BCD =∠COD =∠BOC =90°，OD =OC ，∴BD =2AB =22，OD =2，由折叠的性质可知，∠OEF =∠DCB =90°，∠EDF =∠CDF ，DE =CD ，∴∠BEF =90°，∴∠BFE =∠FBE =45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴BE =EF =CF =BD -DE =BD -CD =22-2，∵∠DCB =∠COD =90°，∠EDF =∠CDF ，∴△ODM ∽△CDF ，∴OM CF =OD CD ，即OM 22-2=22，∴OM =2-2．故选：B ．【点睛】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握图形翻折的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．9.(2022·辽宁营口·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把△BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF ⊥EC ，垂足为F ，若CD =1,CF =2，则线段AE 的长为()A.5-2B.3-1C.13D.12【答案】A【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=5，从而可得AD= BC=5，最后求得AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵BF⊥EC，∴∠BFC=∠CDE，∵把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∠DEC=∠FCB ∠BFC=∠CDE BC=EC∴△BFC≌△CDE(AAS)，∴DE=CF=2，∴CE=CD2+DE2=12+22=5，∴AD=BC=CE=5，∴AE=AD-DE=5-2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．10.(2022·贵州毕节·统考中考真题)矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4，BC=6，则CF的长是()525【答案】D【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数(或相似)求出BF，则根据FC=BC2-BF2计算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE∴△ABE与△AFE关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=12BC=3∴AE=AB2+BE2=42+32=5∵sin∠BAE=BEAE =BG AB∴BG=BE⋅ABAE =3×45=125∴BF=2BG=2×122=245∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=180°2=90°∴FC=BC2-BF2=62-2452=185故选D【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．11.(2022·四川宜宾·统考中考真题)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为()17151715【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF，DF= BF，设AF=EF=x，则BF=5-x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，根据折叠可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∠C=90°，∴在△AFD和△EFB中∠A=∠E=90°∠AFD=∠EFB AD=BE=3 ，∴ΔAFD≌ΔEFB(AAS)，∴AF=EF，DF=BF，设AF=EF=x，则BF=5-x，在RtΔBEF中，BF2=EF2+BE2，即5-x2=x2+32，解得：x=85，则DF=BF=5-85=175，∴cos∠ADF=ADDF =3175=1517，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明ΔAFD≌ΔEFB，是解题的关键．12.(2022·浙江湖州·统考中考真题)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是()A.BD=10B.HG=2C.EG∥FHD.GF⊥BC 【答案】D【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得HD,BG，进而判断B，根据折叠的性质可得∠EGB=∠FHD=90°，进而判断C选项，根据勾股定理求得CF的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项【详解】∵BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，∴BC=AD=8,AB=CD=6∴BD=BC2+CD2=10故A选项正确，∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，∴BG=AB=6，DH=CD=6∴DG=4,BH=BD-HD=4∴HG=10-BH-DG=10-4-4=2故B选项正确，∵EG⊥BD,HF⊥DB,∴EG∥HF，故C正确设AE=a，则EG=a，∴ED=AD-AE=8-a，∵∠EDG=∠ADB∴tan∠EDG=tan∠ADB即EGDG=ABAD=68=34∴a 4=34∴AE=3，同理可得CF=3若FG∥CD则CFBF=GDBG∵CF BF =35,GDBG=46=23，∴CF BF ≠GD BG，∴FG不平行CD，即GF不垂直BC，故D不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．13.(2022·江苏连云港·统考中考真题)如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是()A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④【答案】B【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD =BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=2a，然后利用勾股定理再求得DF=FO=a2，据此求解即可．【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO)=90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正确；根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=2a，∴AB=22a=2AD，故②不正确；设DF=FO=x，则FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x =b 2-a 2b =a 2，即DF =FO =a 2，GE =a 2+b 2=3a ，∴GE DF =3aa 2=6，∴GE =6DF ；故③正确；∴OC OF =2a a 2=22，∴OC =22OF ；故④正确；∵∠FCO 与∠GCE 不一定相等，∴△COF ∽△CEG 不成立，故⑤不正确；综上，正确的有①③④，故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．14.(2021·广西来宾·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD ，AD :AB =2:1，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA 并延长交线段CD 于点G ，则EF AG的值为()A.22B.23C.12D.53【答案】A【分析】根据折叠性质则可得出EF 是AA 的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO =∠AGD ，∠FHE =∠D =90°，根据相似三角形判定推出△EFH ∽△GAD ，再利用矩形判定及性质证得FH =AB ，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵点A ，B 的对应点分别为A ，B ，∴EA =EA ，FB =FB ，∴EF是AA＇的垂直平分线．∴∠AOE=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠D=90°．∴∠OAE+∠AEO=∠OAE+∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE=∠D=90°．∴△EFH∽△GAD．∴EF AG =FH AD．∵∠AHF=∠BAD=∠B=90°，∴四边形ABFH是矩形．∴FH=AB．∴EF AG =FHAD=ABAD=12=22；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．15.(2011·吉林长春·中考真题)如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，CF=CE2-EF2=52-32=4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+4)2=x2+82，解得x=6，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解．16.(2020·广东深圳·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．【详解】连接BE,由折叠可知BO=GO，∵EG⎳BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA)，∴EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，由折叠可知BE=EG，则四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；∵四边形EBFG为菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③错误；当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，∴∠AEB=30°，∠DEF=12∠DEB=75°，故④正确．综合，正确的为①②④．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质,菱形的判断,折叠的性质,关键在于结合图形对线段和角度进行转换．17.(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E、H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A 、D点的对称点为D ，若∠FPG=90°，△A EP的面积为8，△D PH的面积为2，则矩形ABCD的长为()A.65+10B.610+52C.35+10D.310+52【答案】D【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H=12x，由S△D′PH=12D′P·D′H=12A′P·D′H，可解得x=22，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.【详解】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵∠FPG=90°，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D ′H =12x ，∵S △D ′PH =12D ′P ·D ′H =12A ′P ·D ′H ，即12⋅x ⋅12x =2，∴x =22(负根舍弃)，∴AB =CD =22，D ′H =DH =2，D ′P =A ′P =CD =22，A ′E =2D ′P =42，∴PE =42 2+22 2=210，PH =22 2+2 2=10，∴AD =42+210+10+2=52+310，故选D .【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18.如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则cos ∠ADF 的值为()A.1113B.1315C.1517D.1719【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≌△OBP (AAS )，根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4-x 、BF =PC =3-x ，进而可得出AF =1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∠EOF =∠BOP∠E =∠B =90°OF =OP，∴△OEF ≌△OBP (AAS )，∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =4-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即(1+x )2+32=(4-x )2，解得：x =35，∴DF =4-x =175，∴cos ∠ADF =AD DF =1517，故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF =1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．19.(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为正方形，点E 是BC 的中点，将正方形ABCD沿AE 折叠，得到点B 的对应点为点F ，延长EF 交线段DC 于点P ，若AB =6，则DP 的长度为___________．【答案】2【分析】连接AP ，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt △AFP ≌Rt △ADP (HL )，可得PF =PD ，设PF =PD =x ，则CP =CD -PD =6-x ，EP =EF +FP =3+x ，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP ，如图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =AD =6，∠B =∠C =∠D =90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE =CE =12AB =3，由翻折可知：AF =AB ，EF =BE =3，∠AFE =∠B =90°，∴AD =AF ，∠AFP =∠D =90°，在Rt △AFP 和Rt △ADP 中，AP =AP AF =AD ，∴Rt △AFP ≌Rt △ADP (HL )，∴PF =PD ，设PF =PD =x ，则CP =CD -PD =6-x ，EP =EF +FP =3+x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得：EP 2=EC 2+CP 2，∴(3+x )2=32+(6-x )2，解得x =2，则DP 的长度为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．20.(2022·贵州黔东南·统考中考真题)如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm ．【答案】53##123【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明ΔFEG ∼ΔFBM ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接DF ,如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =DA =4,∠A =∠B =∠C =∠CDA =90°.∵点M 为BC 的中点，∴BM =CM =12BC =12×4=2由折叠得，ME =CM =2,DE =DC =4,∠DEM =∠C =90°,∴∠DEF =90°，∠FEG =90°,设FE =x ,则有DF 2=DE 2+EF 2∴DF 2=42+x 2又在Rt ΔFMB 中，FM =2+x ,BM =2，∵FM 2=FB 2+BM 2∴FB =FM 2-BM 2=(2+x )2-22∴AF =AB -FB =4-(2+x )2-22在Rt ΔDAF 中，DA 2+AF 2=DF 2,∴42+4-2+x 2-22 2=42+x 2,解得，x 1=43,x 2=-8(舍去)∴FE =43,∴FM =FE +ME =43+2=103∴FB =2+43 2-22=83∵∠DEM =90°∴∠FEG =90°∴∠FEG =∠B ,又∠GFE =∠MFB .∴△FEG ∼ΔFBM∴FG FM =FE FB ,即FG 103=4383∴FG =53,故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．21.(2022·浙江丽水·统考中考真题)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P处，折痕为EF ．(1)求证：△PDE ≌△CDF ；(2)若CD =4cm ,EF =5cm ，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)163cm 【分析】(1)利用ASA 证明即可；(2)过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =xcm ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF=∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，∠P =∠CPD =CD ∠PDE =∠CDF,∴△PDE≌△CDF(ASA)；(2)如图，过点E作EG⊥BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴GF=EF2-EG2=3cm,设AE=xcm，∴EP=xcm，由△PDE≌△CDF知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，PE2+PD2=DE2,即x2+42=3+x2，解得，x=7 6，∴BC=BG+GC=76+3+76=163(cm)．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．22.(2022·河南·统考中考真题)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=______°，∠CBQ=______°；②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ=1cm时，直接写出AP的长．【答案】(1)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC(2)①15，15；②∠MBQ=∠CBQ，理由见解析(3)AP=4011cm或2413cm【分析】(1)根据折叠的性质，得BE=12BM，结合矩形的性质得∠BME=30°，进而可得∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°；(2)根据折叠的性质，可证RtΔBQM≅RtΔBQC HL，即可求解；(3)由(2)可得QM=QC，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设AP= PM=x，分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．(1)解：∵AE=BE=12AB，AB=BM∴BE=12BM∵∠BEM=90°，sin∠BME=BEBM =12∴∠BME=30°∴∠MBE=60°∵∠ABP=∠PBM∴∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°(2)∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∵BM=BC，BQ=BQ∴RtΔBQM≅RtΔBQC HL∴∠MBQ=∠CBQ∵∠MBC=30°∴∠MBQ=∠CBQ=15°②∵BM=BC，BQ=BQ∴RtΔBQM≅RtΔBQC HL∴∠MBQ =∠CBQ(3)当点Q 在点F 的下方时，如图，∵FQ =1cm ，DF =FC =4cm ，AB =8cm∴QC =CD -DF -FQ =8-4-1=3(cm )，DQ =DF +FQ =4+1=5(cm )由(2)可知，QM =QC设AP =PM =x ，PD =8-x ，∴PD 2+DQ 2=PQ 2，即8-x 2+52=x +3 2解得：x =4011∴AP =4011cm ；当点Q 在点F 的上方时，如图，∵FQ =1cm ，DF =FC =4cm ，AB =8cm∴QC =5cm ，DQ =3cm ，由(2)可知，QM =QC设AP =PM =x ，PD =8-x ，∴PD 2+DQ 2=PQ 2，即8-x 2+32=x +5 2解得：x =2413∴AP =2413cm ．【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23.(2022·吉林长春·统考中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A 4纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A 4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD =2AB ．他先将A 4纸沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上，点B 的对应点为点E ，折痕为AF ；再沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上，点C 的对应点为点H ，折痕为FG ；然后连结AG ，沿AG 所在的直线再次折叠，发现点D 与点F 重合，进而猜想△ADG ≌△AFG ．【问题解决】(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．(用含a的代数式表示)【答案】(1)见解析(2)22.5°，2-1.(3)52a【分析】(1)根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可证明结论；(2)根据折叠的性质可得∠DAG=12∠DAF=22.5°;证明ΔGCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；(3)根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=24a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．由折叠得，∠CFG=∠GFH=45°，∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°∴∠AFG=∠D=90°又AD=AF，AG=AG∴△ADG≌△AFG(2)由折叠得，∠BAF=∠EAF,又∠BAF+∠EAF=90°∴∠EAF=12∠BAE=12×90°=45°,由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=12∠FAD=12×45°=22.5°,∠AFG=∠ADG=90°,又∠AFB=45°∴∠GFC=45°,∴∠FGC=45°,∴GC=FC.设AB=x,则BF=x,AF=2x=AD=BC,∴FC=BC-BF=2x-x=(2-1)x∴GF=2FC=(2-2)x∴GF AF =(2-2)x2x=2-1.(3)如图，连接FD,∵DG=FG∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PR⊥AD交AD于点R，∵∠DAF=∠BAF=45°∴∠APR=45°.∴AR=PR又AR2+PR2=AP2=a22=a24∴AR=PR=24a,∴DR=AD-AR=2a-24a=342a在RtΔDPR中，DP2=AR2+PR2∴DP =AR 2+PR 2=24a 2+324a 2=52a ∴PQ +FQ 的最小值为52a 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．24.(2021·湖北荆州·统考中考真题)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，F 是对角线AC 上不与点A ，C重合的一点，过F 作FE ⊥AD 于E ，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，点G 在射线AD 上，连接CG ．(1)如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，∠FGC =90°，延长GF 交AB 于H ，连接CH ．①求证：△CDG ∽△GAH ；②求tan ∠GHC ．(2)如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，∠GCF =90°，判断△GCF 与△AEF 是否全等，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②23；(2)不全等，理由见解析【分析】(1)①先根据同角的余角相等得出∠DCG =∠AGH ，再根据两角对应相等，两三角形相似即可得出结论；②设EF =x ，先证得△AEF ~△ADC ，得出EF AE =CD AD=24=12，再结合折叠的性质得出AE =EG =2x ，AG =4x ，AH =2EF =2x ，再由△CDG ~△GAH ，得出比例式AG DC =AH DG =HG CG ，求出EF 的长，从而得出HGCG的值，即可得出答案；(2)先根据两角对应相等，两三角形相似得出△AEF~△ACG，得出比例式AEAC =AFAG，得出EF=5 4，AE=52，AF=545，从而判定△GCF与△AEF是否全等．【详解】(1)①在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=90°∴∠DCG+∠DGC=90°又∵∠FGC=90°∴∠AGH+∠DGC=90°∴∠DCG=∠AGH∴△CDG~△GAH②设EF=x∵△AEF沿EF折叠得到△GEF∴AE=EG∵EF⊥AD∴∠AEF=90°=∠D∴EF⎳CD⎳AB∴△AEF~△ADC∴EF CD =AE AD∴EF AE =CDAD=24=12∴AE=EG=2x∴AG=4x∵AE=EG，EF⎳AB∴EF AH =EGAG=12∴AH=2EF=2x ∵△CDG~△GAH∴AG DC =AHDG=HGCG∴4x2=2x4-4x=HGCG∴x=34∴4x2=32=HGCG∵∠FCG=90°∴tan∠GHC=CGHG =23(2)不全等理由如下：在矩形ABCD中，AC=AB2+AD2=22+42=25由②可知：AE=2EF∴AF=AE2+EF2=5EF由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC∴△AEF~△ACG∴AE AC =AF AG∴2EF 25=54∴EF=54∴AE=52，AF=545∴FC=AC-AF=25-545=345∴AE≠FC，EF≠FC∴不全等【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，得出AE= 2EF是解题的关键．。

矩形的折叠问题归类

矩形的折叠问题归类矩形的折叠问题是指在二维平面上，将一个矩形沿某一方向进行折叠，使得其中的某一条边与另一条边重合的问题。

这个问题可以分为以下几类。

1.水平折叠：在这种情况下，矩形按照水平方向进行折叠。

即将矩形的上边与下边进行折叠，使得它们重合。

这种情况下，折叠中心通常是矩形的中点。

2.垂直折叠：与水平折叠类似，垂直折叠是指将矩形的左边和右边进行折叠，使得它们重合。

折叠中心通常是矩形的中点。

3.对角线折叠：对角线折叠是指将矩形的一条对角线进行折叠，使得它与另一条对角线重合。

这种情况下，折叠中心就是矩形的中心点。

4.不对称折叠：不对称折叠是指将矩形沿任意一条线进行折叠，使得其中的两条边重合，但折叠中心不是矩形的对称中心。

这种类型的折叠通常需要一些几何推理和计算来求解。

5.多次折叠：在这种情况下，矩形可以进行多次折叠，使得多个边重合。

这种问题通常需要分析每次折叠的效果，并综合考虑到所有边的重合情况。

通过以上分类，我们可以看出矩形的折叠问题是一个几何学和空间想象力的结合。

解决这类问题通常需要从折叠后的形状入手，利用几何知识和计算方法，通过推理和计算找到解决方案。

例如，对于水平折叠问题，可以通过计算矩形的上边和下边的重合点来求解。

类似地，对于垂直折叠问题，可以计算矩形的左边和右边的重合点。

而对于对角线折叠问题，可以通过计算矩形的对角线的重合点来求解。

在不对称折叠问题中，可能需要通过几何推理来找到折叠点的位置，然后再进行计算。

这可能涉及到一些较为复杂的几何分析和角度计算。

在多次折叠问题中，可以通过类似的方法逐步解决每个折叠步骤，然后整合所有步骤的结果。

总之，矩形的折叠问题是一个有趣的几何学问题，需要运用数学和空间想象力来解决。

通过分类和分析不同类型的折叠问题，我们可以更好地理解和解决这类问题。

中考专题复习矩形折叠问题

中考专题复习矩形折叠问题矩形折叠问题是中考数学中的一个经典题型，要求考生在给定条件下进行折纸后，求出折纸后的面积或者边长等相关问题。

本文将对中考专题复习矩形折叠问题进行详细介绍和分析。

1. 矩形折叠问题简介矩形折叠问题是指将一个完整的矩形纸张按照规定方式进行折叠后，求折叠后的形状和相关属性的问题。

常见的矩形折叠问题包括求折叠后的面积、边长、对角线长度等。

这些问题需要考生设计折纸方式，并利用数学知识进行求解。

矩形折叠问题考察了考生的空间想象能力、几何思维和数学推理能力。

2. 矩形折叠问题的解题步骤矩形折叠问题的解题步骤一般包括以下几步：（1）明确问题：理解题目描述，明确所求的目标。

（2）分析折叠方式：根据题目要求，分析如何将矩形纸张折叠，确定折叠方式，可以画图帮助理解。

（3）建立模型：将折纸过程进行数学建模，标记各个关键点、线段等，建立相应的几何关系。

（4）求解问题：根据已建立的模型，应用数学知识或者几何关系，求解问题，得到所需的结果。

（5）检查答案：将得到的结果与题目要求进行对照，检查是否满足条件。

3. 矩形折叠问题的例题及解析例题1：将一块长20cm、宽10cm的矩形纸张沿中线对折，然后再折叠形成一个三角形后，求该三角形的面积。

解析：首先，将矩形纸张沿中线对折，得到两个相等的长方形，其长为10cm，宽为20cm/2=10cm。

然后将其中一个长方形按对角线进行折叠，即可形成一个三角形。

由于对折前的长方形和对折后的三角形是全等的，所以该三角形的底边长为10cm，高为10cm，因此三角形的面积为（10cm×10cm）/2=50cm²。

例题2：将一块矩形纸张按照下图所示方式进行折叠，求折叠后形成的矩形的面积。

解析：根据题目给出的折叠图形，我们可以看到折叠后的矩形纸张的高等于原矩形纸张的宽，宽等于原矩形纸张的长减去原矩形纸张的宽。

因此，折叠后形成的矩形的面积为（20cm-10cm）×10cm=100cm²。

人教版数学八年级下册专题训练：矩形中的折叠问题.doc

学校班级姓名思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想 ◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45° ◆类型二折叠中求线段长 3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC ＝∠EFC ′＝125°.∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF ＝∠DEF ＝55°，∴∠BED ＝110°.∵四边形ABCD 为矩形，∠A ＝90°，∴∠ABE ＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5.185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10.7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠ANM ＝∠D ＝90°，∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN 2＋NQ 2，即(x ＋1)2＝32＋x 2，解得x ＝4，∴NQ ＝4，AQ ＝5.∵△NAB 和△NAQ 在AB 边上的高相等，AB ＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12×AN ·NQ ＝45×12×3×4＝245.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

初三几何专题练习折叠问题

初三几何专题练习折叠问题折叠问题实际上是轴对称问题的应用，解题关键是抓住对称的性质1)关于同一条直线对称的图形全等； 2)对称轴是轴对称点连线的垂直平分线。

1、矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝5cm ，若将矩形折叠，使B 、D 重合，则折痕EF 长为？2一面积为1的正方形纸片ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边的中点，将点C 折致MN 上，落在P 点位置，折痕为BQ ，连结PQ 。

1）求MP 的长；2）求证：以PQ 为边长的正方形面积＝313、矩形ABCD 中，AB ＝1，点M 在对角线AC 上，AM ＝41AC ，直线L 过M 点且与AC 垂直与边AD 交于点E 。

1)、若AD ＝3，求证：点B 在直线L 上。

A D CBMN P2)、若L 与BC 交于H ，且把矩形的面积分成72的两部分，求AD 长。

若L 与AD 、AB 交于点E 、G （包括G 与C 重合），设AD长为x （33≤x ≤3）找出x 的取值范围。

4、把矩形纸片放入直角坐标系中，使OA 、OC 与X 轴、Y 轴正半轴重合，连AC 将△ABC 沿AC 翻折，点B 落在该坐标系内，设落点为D ，CD 交X 轴于E ，若CE ＝5，OE 、OC 长是方程x 2＋（m －1）x ＋12＝0的两根，且OC ＞OE ；1）求点D 坐标；2）若点F 是AC 中点，判断（8，－20）是否在过D 、F 两点的直线上。

5、ABCD 为一矩形纸，E 是AB 上一点，且BE ∶AE ＝5∶3，EC ＝15，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设为F 点；求：1）AB 与BC 长；2）若☉O 内切于以F 、E 、B 、C 为顶点的四边形，求⊙O 的面积。

6、矩形纸片OABC 放入直角坐标系XOY 中，使OA 、OC 分别与X 轴、Y 轴正半轴上，连结AC 、且AC=45。

Tan ∠1) 求A 、C 两点坐标 2) 求AC 所在直线的解析式3) 将纸片OABC 折叠，使点A 与点C 重合(折痕为EF)，求折叠后纸片重叠部分面积。

矩形的折叠问题

专题训练矩形的折叠问题类型之一沿矩形对角线所在直线对折1．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠,记点C的对应点为点C′，若∠ADC′＝20°,求∠BDC 的度数．2．如图,将矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△AEC的位置,且CE与AD相交于点F。

求证：EF ＝DF.3．如图,在矩形纸片ABCD中，AB＝8 cm,把矩形纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点E处,AE交DC于点F，若AF＝错误! cm,求AD的长．图8－ZT－34．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置,AB′与CD相交于点E。

若AB ＝8，DE＝3，P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC于点H,试求PG＋PH的值，并说明它是定值．类型之二沿仅过矩形一个顶点的直线对折5．如图，在矩形纸片ABCD中,AB＝4,AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，求AG的长．6．如图，折叠矩形ABCD，使顶点D与BC边上的点F重合，如果AB＝6，AD＝10，求BF，DE的长．7．如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，已知CE＝3 cm,AB＝8 cm，求图中阴影部分的面积．8．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CF折叠,使点D与AB的中点E重合,求AF∶FD的值．类型之三沿矩形对角线的垂直平分线对折9．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点B和点D重合,折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，求重叠部分△DEF的面积．10．如图，在矩形ABCD中,沿EF将矩形折叠，使A，C两点重合,AC与EF相交于点H.（1)求证:△ABE≌△AGF；（2)若AB＝6，BC＝8，求△ABE的面积．11．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处,EF为折痕．(1)求证：△FGC≌△EBC；（2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF（阴影部分）的面积．详解详析1．解：∵∠ADC′＝20°,根据矩形的性质可知∠ABC′＝20°,由折叠的性质可知∠DBC＝∠C′BD＝35°,∴∠BDC＝90°－35°＝55°.2．证明:由折叠和矩形的性质可知∠D＝∠B＝∠E，AE＝AB＝CD.在△AEF和△CDF中,｛∠E＝∠D，∠AFE＝∠CFD，AE＝CD∴△AEF≌△CDF（A.A.S.），∴EF＝DF.3．解:由折叠和矩形的性质可知∠EAC＝∠BAC＝∠DCA，则AF＝CF，已知AB＝8 cm，AF＝错误! cm，根据矩形的性质可知DF＝错误! cm，由∠D＝90°，根据勾股定理可求得AD＝6 cm。

第六章《特殊的平行四边形》专项训练利用矩形的性质巧解折叠问题

专项训练利用矩形的性质巧解折叠问题类型一利用矩形的性质巧求折叠中的角1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D1，C1的位置ED1的延长线交BC于点G.若∠EFG=64°，则∠EGB的度数为( )A.128°B.130°C.132°D.136°第1题第2题2.如图所示为一张矩形纸片ABCD，M是对角线AC的中点，点E在边BC上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF.若MF=AB，则∠DAF=____°. 类型二利用矩形的性质巧求折叠中线段的长度3.如图，将矩形ABCD(AB<AD)沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，AB=4，BC=8.求：(1)FD的长；(2)点F到BD的距离.类型三利用矩形的性质巧求折叠中线段的关系4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点B'处，且AB'//BD，连接B'D.求证：(1)△ABO是等边三角形；(2)B'D//AC.类型四利用矩形的性质巧判断折叠中四边形的形状5.如图，将一张矩形纸片A'B'C'D'沿EF折叠，使点B'落在A'D'边上的点B处；沿BG 折叠，使点D'落在点D处，且BD过点F.(1)试判断四边形BEFG的形状，并证明你的结论；(2)当∠BFE为多少度时，四边形BEFG是菱形？参考答案1.A2. 183.(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠A=90°，AD//BC.∴∠DBC=∠FDB.由折叠性质，得∠DBC=∠FBD.∴∠FDB= ∠FBD.∴FD=BF.设AF=x，则BF=FD=8-x.在Rt △ABF中，由勾股定理得AB2+AF2=BF2,即42+x2=(8−x)2,解得x=3.∴FD=8-3=5.(2)由折叠的性质，得BE=BC=8，DE=CD=4，∠E=90°.∴EF =BE−BF=8−5=3.∴S△DEF=12EF·DE=12×3×4=6,S△DDD=S△BO D−S△DDD=12BE·DE−6=12×8×4−6=10,BD=√AD2+AB2=√82+42=4√5.设点F到BD的距离为h，则S△DBF= 12BD⋅D,即10=12×4√5Dℎ,解得h=√5.∴点F到BD的距离为√5.4.(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB=OD=OC.∴∠OAD=∠ADO.∵AB′//BD,∴∠B'AD=△ADB...∠B'AD=∠DAC.∵将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点B'处，∴∠BAC=∠CAB′,∠AB'C=∠A BC=90°.∴∠DAC=12∠BAC.∴∠BAC+12∠BAC=90°;∠BAC=60°;∵OA=OB,∴△ABO是等边三角形.(2)由(1)，得△ABO是等边三角形，∴AB=OA.由翻折，得AB=AB′.∴AB′=OA.∵OA= OD,∴AB'=OD.又∵AB'//BD，∴四边形AODB'为平行四边形.∴B′D//AC.5.(1)四边形BEFG为平行四边形.∵四边形A'B'C'D'为矩形，∴BE//FG.∴∠EFB'=△BEF.由折叠，得∠EFB'=∠EFB.∴∠BEF=∠EFB.∴BE=BF.同理得BF=FG.∴BE=FG.∴四边形BEFG是平行四边形.(2)当∠BFE=60°时，四边形BEFG是菱形∵∠BFE=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形.∴BE=EF.∴平行四边形BEFG是菱形.。

细说矩形折叠题

细说矩形折叠题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--细说矩形折叠题为了考查同学们的数行结合思想的运用和空间想象能力，近年来中考中出现众多的折叠问题。

解决这类问题的关键是要根据轴对称图形的性质，弄清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠前后图形之间的关系以及哪些条件可以用。

下面分类说明矩形中折叠问题的求解策略。

一、折叠后求长度例1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（）A ．1B ．2C ．2 D．3 解析：由对称的性质，易得BC=CO ，则四边形AECF 为菱形，则AC=2CO ，所以AC=2BC ，又四边形ABCD 是矩形，所以∠B=90°，则在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC 2－BC 2=AB 2，所以3BC 2=9，则BC=3。

所以边BC 的长是3厘米。

评注：本题在应用矩形和菱形的性质的同时，充分运用了对称的性质和勾股定理等知识，既考查了同学们的空间想象能力，同时考查同学们综合运用知识的能力。

二、折叠后求角度例2、将矩形纸片ABCD （图3－1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图3－2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3－3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（）A BCD FE OAD 图2图1图3－1 图3－2 图3－3（A）60° （B）° （C）72° （D）75°解析：解决本题的关键是要能想象出折叠的整个过程，或动手操作展示折叠过程，然后利用轴对称的性质进行求解。

如图3－2的虚线就是折叠的过程，在第一次折叠时，可得∠B AE=∠EAF=45°，再由第二次折叠，可得∠EA1F=∠EAF=45°，∠AFE=∠EF A1=21∠AFA1，又因为在矩形ABCD中，因为AD∥BC，∠EA1F+∠AFA1=180°，所以∠AFA1=135°，所以∠AFE=°。

专训利用矩形的性质巧解折叠问题

5、一个人在科学探索的道路上，走过弯路，犯过错误，并不是坏事，更不是什么耻辱，要在实践中勇于承认和改正错误。 ——爱因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才是长在恶性土壤中的最好。 ——培根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光。
8、人们常用“心有余而力不足”来为自己不愿努力而开脱，其实，世上无难事，只怕有心人，积极的思想几乎能够战胜世间的一切障碍。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友，以经验为参谋，以当心为兄弟，以希望为哨兵。 ——爱迪生
十、理解感悟。
（一）
蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（）的嘴角，好像有话要跟你说。在那极富个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让人觉得舒畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几分矜（）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇凭着他的天才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了永恒的美的象征。
证明：(1)由折叠的性质可得点A，C关于直线MN对称， ∴∠ANM＝∠CNM. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC.∴∠ANM＝∠CMN. ∴∠CMN＝∠CNM.∴CM＝CN.
1、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序渐进，逐步实现目标，才能避免许多无谓的挫折。
19、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶油泼掉，别因为犯了一点错误就把一生的事业扔掉。——蒙古 20、许多人之所以在生活中一事无成，最根本原因在于他们不知道自己到底要做什么。在生活和工作中，明确自己的目标和方向是非常必要的。只有在知道你的目标是什么、你到底想做什么之后，你才能够达到自己的目的，你的梦想才会变成现实。

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