实用下料问题

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cj = 0，当 L- a ij (l i + 5) ≤0
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经过数学处理得：cj ={[L- a ij (l i + 5) ]+|L- a ij (l i + 5) |}/2
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故我们有废料总量：C= c jx j
j
二.问题分析
我们在实际的生产当中， 时常会遇到需要将原材料为长方形的一面切割成若 干个规格不同的小长方形的下料问题。比如最典型的有长方体钢材、木材的切割 问题。面对此类问题时，为了企业利益以及资源利用率的最大化，我们首先要考 虑在保证生产任务按时按量完成的前提下，如何使原材料的利用率最高，也即废 料最少，然后为了简化生产工序，提高生产效率，我们再考虑如何能使所需要的 切割方式达到最少。由于这是一个生产当中十分常见的问题，所以近年来国内外 对此的研究十分活跃，产生了不少的算法，如Gilmore与Gomore用线性规划建立 的一刀切问题的数学模型， Dyckhoff提出的线性规划方法以及Sarker提出的动态
［1］
三.问题假设
1.对于第1小问假设 ①每条锯缝所产生的损耗为5mm； ②该企业每天的最大下料能力为100块； ③增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0.08%； ④对于剩余长度为x+y(0≤y≤5)mm的材料， 可以通过细微调整锯缝的位置锯得 长度为xmm的零件。 2.对于第2小问的假设 ①切割所引起的锯缝损耗忽略不计； ②切割时锯缝可以是直的也可以是拐角为90°的折线； ③企业每天最大的下料能力是20块； ④原材料和零件都是长方体且厚度相同，我们只用考虑长宽确定的二维平面。
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规划方法等 。 现在我们来讨论本题中的具体案例， 从上述分析中我们可以看出能够分层建 立数学模型，先来考虑一维单一原材料实用下料问题，即第1小问： 在保证按量完成生产任务的前提下先仅考虑利用率最高的模型， 根据剩余的 需要生产的零件数，考虑时间上的限制条件，为了按时完成生产任务，分情况确 定各种零件的生产优先级，分别建立子模型确定各个情况下的利用率最高的方 案。再考虑该种模型的最多利用次数，即尽可能的保证所用的切割方案最少，然 后再考虑这样切割后剩余的需要生产的零件数，选择子模型，重复上述过程，这 样我们可得到最终所用的原材料数和下料方式数。 这时按量完成生产任务这一最 基本的要求已经满足，实际上由于我们有考虑各零件的生产优先级，所以按时完 成生产任务这一最基本的要求也是满足了的， 但为了建立数学模型的严谨性严密 性，我们最后再进行一次验证，保证是按时完成生产任务，这样我们就解决了第 1小问。 对于二维单一原材料实用下料问题，即第2小问，我们同样需要用到上述思 路。我们要先解决原材料的长边宽边与零件的长边宽边的对应问题，然后先对原 材料的一边——即长或者宽——的下料方式进行计算， 这时由于原材料的长度为 3000mm，宽度为100mm，而53种零件的长度最小的为155mm，这样就不会出现零件 的长边在原材料的宽边上切割的情况， 也就是说零件的长边都是顺着原材料的长 边切割的，如此，原材料的长边宽边与零件的长边宽边的对应问题解决了。又考 虑到零件的宽有20，30，35，50mm这4种规格，为了尽量节省材料，我们应该使 原材料在宽边上尽量利用完全， 这样，宽边完全利用的组合方式共有5种分别为： 50-50，50-30-20，30-30-20-20，35-35-30，20-20-20-20-20。我们把零件按宽 边的规格分为4类20，30，35，50，对每一类都可按第1小问处理一维下料问题的 方式找到最优的下料方式，然后再把它们按照上述5种方式进行组合以求得最优 的下料方式，最后再对时间进行验证。这样，第2小问也得到了解决。
MaxS = a i l i
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下面我们来确定各子模型 ： 先定义 g1 ，g2 为努力程度，g1表示某种下料方式中含有G1中零件的个数，g2 表示某种下料方式中含有G2中零件的个数。显然g1越大零件集合G1完成得越快， g2越大零件集合G2完成得越快。 ①当
i ∈G 1
［2］ ［3］
n ＞0时，可行域为：
i
a (l + 5) -5≤L
四．符号说明
L：原材料的长度（L=3000mm) W：原材料的宽度（W=100mm） N：所用的原材料总块数 K：所采用的下料方式总数量
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Li：第i号零件的长度（li≤L） wi：第i号零件的宽度（wi≤W） ni：第i号零件的需求量 aij：用第j种下料方式切割1块原材料所得第i号零件的数量 xj：按第j种下料方式切割的原材料的数量 cj：用第j种下料方式切割1块原材料所产生的废料长度（mm） G1：第1小问所要求在4天内完成的零件号的集合 （G1={5,7,9,12,15,18,20,25,28,36,48}） G2：第1小问所要求在6天内完成的零件号的集合 （G1={4,11,24,29,32,38,40,46,50}） G3：第2小问所要求在4天内完成的零件号的集合 （G1={3,7,9,12,15,18,20,25,28,36}） 显然，上述 N，K，ni，aij，xj 均为整数。在符号说明中指出的限制条件均 应用于模型的建立中。
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一.问题重述
“下料问题” 是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的 零件的问题， 此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用。这里的 “实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。 现考虑单一原材料下料问题。设这种原材料呈长方形，长度为L,宽度为W， 现在需要将一批这种长方形原料分割成m种规格的零件,所有零件的厚度均与原 材 料 一 致 ， 但 长 度 和 宽 度 分 别 为 (l1,w1), … ,(lm,wm), 其 中 wi ＜ li ＜ L,wi ＜ W,i=1,…,m。 m种零件的需求量分别为n1,…,nm下料时，零件的边必须分别和原材 料的边平行。这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。特别地，当所有零件 的宽度均与原材料相等，即wi=W,i=1,…,m，则问题称为一维下料问题。 一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成 本，提高经济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少 的下料方式来完成任务。因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成 本，又降低效率。此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业 生产能力的限制。 因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少 数量的原材料， 尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。现在我 们来考虑分别建立一维和二维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模 型求解下列问题： 制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求 出等额完成任务所需的原材料块数和所采用的下料方式数。 1.一维单一原材料实用下料问题（本题要要求算出废料总长度） ：单一原材 料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务。具体数据 见表一（略） ，其中li为需求零件的长度，ni为需求零件的数量。此外，在每个切 割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm。该企业每天最大下料能力是100块，要求在 4天内完成的零件标号i为：5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48；要求不迟于6天 完成的零件标号i为：4,11,24,29,32,38,40,46,50。 2.二维单一原材料实用下料问题： 这个问题的单一原材料的长度为 3000mm, 宽度为100mm,需要完成一项有43种不同长度和宽度零件的下料任务。 具体数据见 表二（略） ，其中li,wi,ni分别为需求零件的长度、宽度和数量。切割时的锯缝可 以是直的也可以是曲折的，切割所引起的锯缝损耗忽略不计。据估计，该企业每 天最大下料能力是20块，要求在4天内完成的零件标号(i)为: 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36。
实用下料问题
摘要 本文讨论在实际的生产当中， 时常会遇到的需要将原材料为长方形的一面切 割成若干个规格不同的小长方形的下料问题。目标是增大企业效益，提高资源利 用率。 针对本题中的具体案例， 我们可以分层建立数学模型。先考虑一维单一原材 ［2］ 料实用下料问题，即第1小问，对该小问我们采用整数线性规划模型 和整数多 ［3］ 层次逐层优化法 。 在保证按量完成生产任务的前提下先仅考虑利用率最高的模 型，根据剩余的需要生产的零件数，考虑时间上的限制条件，为了按时完成生产 任务， 分情况确定各种零件的生产优先级，分别建立子模型确定各个情况下的利 用率最高的方案。 再考虑该种模型的最多利用次数，即尽可能的保证所用的切割 方案最少，然后再考虑这样切割后剩余的需要生产的零件数，选择子模型，重复 上述过程， 这样我们可得到最终所用的原材料数和下料方式数。最后再进行一次 验证，保证是按时完成生产任务。 再来考虑二维单一原材料实用下料问题，即第2小问。由于原材料的长度为 3000mm，宽度为100mm，而53种零件的长度最小的为155mm，故零件的长边都是顺 着原材料的长边切割。又考虑到零件的宽有20，30，35，50mm这4种规格，为了 尽量节省材料， 我们应该使原材料在宽边上尽量利用完全，可得宽边完全利用的 组合方式。然后我们把零件按宽边的规格分类，对每一类都可按第1小问处理一 维下料问题的方式找到最优的下料方式， 再把它们按照宽边完全利用的几种组合 方式进行组合以求得最优的下料方式，最后再对时间进行验证。 ［3］ 对于第1小问，我们所采用的启发式多层次逐层优化方法 ，计算结果中材 料的利用率达到了98%以上且该方法适应能力强，这对于解决实际问题来讲是一 ［3］ 个巨大的优势。对于第2小问，我们采用的分类逐层分析模型 , 计算结果中材 料的利用率达到了97%以上。但此模型的缺陷是，没有很强的普遍性，对于每一 个数据不同的问题我们都需要重新进行分析，寻求新的方案。这一点决定了此模 型在工业应用中的局限性。 关键词：下料问题 整数线性规划 启发式多层次逐层优化 分类逐层分析
五．模型的建立和求解
在开始解决问题前，我们对所有的零件进行排序，第一问中四天内要制作完 成的零件按长度，从长到短重新排序为G1 ，第一问中六天内要制作完成的零件 按照长度， 从长到短重新排序为G2， 第二问中四天内要制作完成的零件按照长度， 从长到短重新排序为G3，剩余零件按照长度从长到短依次排列，因此编号也会发 生改变。 1.第1小问 该小问要求如下： ①在4天内完成零件标号i∈G1的零件； ②在6天完成零件标号i∈G2的零件； ③在对该小问假设②的限制条件下等额完成任务； ④在尽可能提高原材料利用率的条件下尽可能的减少下料方式。 先来看看废料的度量问题： L=3000mm且存在5mm的锯缝，故对任何一种可行的下料方式j我们都有
aij(li + 5) -5≤L 故若用单纯的 L- aij(li + 5) 来度量某种下料方式的废
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料是不合适的，这可能取到负值。又由假设④可知当 L- a ij (l i + 5) ≤0 时废料
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都为零，故我们有如下分段函数： L- a ij (l i + 5) ，当 L- a ij (l i + 5) ＞0
原材料废弃率定义为：q=C/ 3000 xj = c jx j / 3000 xj
j j j
原材料利用率定义为p=1-q=1- c jx j / 3000 xj
j j
接下来，我们根据前面的问题分析，我们先仅考虑利用率最高的模型，根据 剩余的需要生产的零件数， 为保证按时完成生产任务，分情况确定各种零件的生 产优先级，分别建立子模型确定各个情况下的利用率最高的方案。 记（a1j，a2j，…，a53j）为第j种下料方式。 这时我们的目标函数是，用我们想得到的最优下料方式切割1块原材料所能 生产的零件总数，即：