材料物理性能-lec2

1. 电子之间的相互作用可以忽略；（实际上, 与理想气体比较, 固体中电子的密度应把电子划分到液体模型更合适。在考虑 电子之间的弱相互作用后，就有费米液体理论。） 2. 外电场为零时, 两次碰撞之间电子 自由飞行; 3. 每次碰撞时, 电子失去它在电场作 用下获得的能量。（与经典气体模型 不同, 电子之间没有碰撞, 电子只与离 子实发生碰撞。） 这些电子在一般情况下可沿所有方向运动。在电场作用下自由 电子将沿电场的反方向运动，从而在金属中产生电流。电子与 原子的碰撞妨碍电子的继续加速，形成电阻。
2 2 2 mv
1
所以：
ne 2 l j neu E 2m v

ne 2 l 2 mv
这里， l 是平均 自由程，即两次 碰撞之间的平均 行程，
动速度。
v 是平均热运
平均自由程 l 与温度无关，而公式中的热运动速度， T v 所以也可以定性说明金属电导率和温度关系。
kx
这部分电子对电流的贡献为
e 1 j n F m VF
ne 2 F eVF m
k F VF m
是费米速度
104 V/m, 10-14s 时， k 10 5 k F 例如：

ne F
2
m
右图中Ⅰ和Ⅱ是关于ky－kz面对 称的这两个区域的电子对电流的 贡献相互抵消，只有在费米面附 近未被补偿部分的电子才对传导 电流有贡献，这部分电子所占的 分数为
k kF e 1 e 1 F F k F m VF
ky

kF 0 Ⅱ Ⅰ
27
(k )
k
2
2
2m
F
k F kF
自由电子气的抛 物线型能带曲线
(1)一维情况下的能级:
假定电子被限制在宽度为L的无限深势阱中，其边界条件为
n(0)=0,n(L)=0。如果波函数为正弦形式，并且从0到L的宽度是半波长 的整数n倍，则边界条件得到满足
kn 2 n L
2 n A sin x ； n
材料的电性能
Electronic Properties of Materials
杜宇雷
材料科学与工程学院
2010年9月
材料的电性能是材料的重要物理性能之 一。导电材料、电阻材料、电热材料、半导 体材料、超导材料和绝缘材料等都是以材料 的电性能为基础。
主要学习内容：
1. 金属导电机制 2. 半导体 3. 超导体 4. 电性能测试方法及其应用
上述自由电子论的这些局限以及其他困难，是 因为没有考虑材料晶格的贡献，也没有考虑电子与晶 格的相互作用。自由电子论是一个过分简单的理论， 可通过把晶格的作用加入，以及考虑电子与晶格之间 的相互作用来解决自由电子论的困难。
5.1概述
能带理论
能带理论则是在量子自由电子论的基础上，考 虑了离子所造成的周期性势场的存在，从而导出了 电子在金属中的分布特点，并建立了禁带的概念。 从连续能量分布的价电子在均匀势场中的运动， 到不连续能量分布的价电子在均匀势场中的运动， 再到不连续能量分布的价电子在周期性势场中的运 动，分别是经典自由电子论、量子自由电子论、能 带理论这三种分析材料导电性理论的主要特征。
费米球应包含k空间中电子气处于基态下所有被 占据的电子轨道，无电场时，球体是对称的。加外 电场后，球体整体位移。
另一方面，电子由于碰撞而失去其定向运动。设电子 相邻两次碰撞之间的时间间隔为 ，且一旦发生碰撞，电 子就完全失去其定向运动。粗略假想，所有电子都在 时 间内同时发生碰撞，其结果使分布回到平衡状态，这样反 复循环。于是，可求出费米球心移动的距离为
Drude 经典理想气体
Sommerfeld 量子理想气体
金属的电导率：
当＝0时，费米球的球心在原点，这时，任何一 个量子态k，都有一个反方向的－k态与之对应，处在 这两种量子态的电子具有大小相等、方向相反的速度， 所以，系统的总电流为0。
当 0时，电子的定向运动可看成两个过程：
电子在电场的 作用下作加速运动；
2 n f 2 N 2 N Ef 2m L 2m 2 L 8m L
2 2
=L
4
=2L
2 1 0
1
2
x
L
(k )
k
2
2
2m
n En 2m L
2
2
布洛赫定理
经典电子论对欧姆定律的解释：
无外场时，电子做无规运动，无定向运动，电流 j＝0。
e 有外电场时，电子虽获得定向加速度，a m E
但因为不断和离子发生碰撞而不会无限制地加速，其定向平 均漂移速度为 u 1 u1 1 a 1 el 假定：v u E
能带概念的引入
电子共有化
晶体具有大量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。 电子受到周期性势场的作用。
E1—定域在特定原子的分立原 子轨道上，其能量和波函数可 以认为与孤立原子一样。
E2—不是很强地被束缚于某个 特定的离子，能够以较大的几 率穿透势垒而在点阵中移动。
E3—具有高于势垒的能量，不 被束缚于任何特定的原子，能 以很大的自由度在整个点阵中 运动，成为离域于任何特定的 离子的近自由电子。
能带的一般规律：
E
2P
1. 越是外层电子，能带越宽。 2. 点阵间距越小，能带越宽。 3. 两个能带有可能重叠。
2S
1S
0
a
离子间距
能带重叠示意图
能带中电子的排布 晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。
排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理 设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 l +1)个电子。 这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
经典自由电 子论
量子自由电 子论 能带理论
Paul Drude Arnold Sommerfeld Felix Bloch
经典自由电子论
• 德鲁特认为:金属中的价电子 电子气体 同 离子碰撞 达到热平衡 电子移动 电流 电导,热导. • 洛伦兹认为:电子气体服从麦克斯韦 ----玻尔兹曼 统计.
经典自由电子论
在完全的经典模型中，电子的速度取平均热运动速度，现 在取量子统计给出的费米速度作为平均速度，但仍用经典运动 方程的做法称作准经典近似。
自由电子论的本质困惑
a. 传导电子数目 根据自由电子论，金属的电导率电子密度n， 但为什么电子密度较大的二价金属（如Be、Mg、 Zn、 Cd等）和三价金属（如Al、In等）的电导率 反而低于一价金属（如Cu、Ag、Au等）？如何 确定对电导率有贡献的价电子数目？
根据这一模型，对传导电流有贡献的电子数目虽然少，但 其运动速度很快，其结果与高浓度但低漂移速度的电子对电流 的贡献相同。严格理论计算结果支持了这一种说法。这主要是 由于Pauli不相容原理的结果。能量比 EF低得多的电子，其附近 的状态仍被其他电子所占据，没有空状态来接纳它，因此，这 些电子不能吸收电场的能量而跃迁到较高的能态，对电导作出 贡献，能被电场激发的只有在费米面附近的一小部分电子。

载流子(Charge carrier)——电荷的载体称 为载流子。载流子可以是电子、空穴、正离 子、负离子。
控制材料的导电性能实际上就是控制材料中的载 流子的数量和这些载流子的移动速率。 对于金属材料来说，载流子的移动速率特别重要. 对于半导体材料来说，载流子的数量更为重要。
载流子的移动速率取决于原子之间的结合键、晶 体点阵的完整性、微结构以及离子化合物中的扩 散速率。
一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch） 和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为 晶体中电子的能带理论奠定了基础。 布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
b. 非导体 所有的原子都有价电子，为什么有的材料是不导 电的非导体（绝缘体）。
此外：
自由电子论不能解释为什么电子的平均自由程会比相 邻原子间距大得多（如Cu：300K时，310－8m； 而4.2K时， 310－3m ）； 自由电子论认为金属费米面的形状为球面，但是，实 验结果表明，在通常情况下，金属费米面的形状都不 是球面。
E3 E2 E1
一维晶体点阵中的周期性势能曲线
能带的形成——从分子轨道的形成来认识
能量 反键态 ΔΕ
原子轨道
成键态 分子轨道
原子轨道
连续的能带
双原子分子的分子轨道
反键
能量
成键
1
2
3
4
N→∞
分子轨道理论中的能级分裂
当原子相距较大而孤立存在时（原子间无相互作 用），每个原子的电子都处于原子的特定能级上。当 原子间距缩小到晶体中的正常原子间距时，属于两个 原子的同一个能级的电子云就会发生重叠。在分子轨 道理论中，构成双原子分子的两个原子的某一个原子 轨道相重叠，结果该原子轨道分裂成离域于两个原子 的两个分子轨道。对于N个原子的分子体系，每一个原 子能级将会分裂出N个分子轨道。随着分子轨道数目的 增加，各相邻分子轨道间的平均能隙必然减小，从而 形成连续的能带。
晶体中能带的形成
晶体点阵中，N个 近自由电子在周期性势 场中运动，每一个原子 态的能级都分裂成N个 相距很近的能级，每一 个能级都离域于晶体中 的所有原子。能级的间 隔和位置取决于离子的 间距。当N非常大时， 各能级相距非常近，因 而形成一连续的能带。
能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV。 若N~1023,则能带中两能级的间 距约10-23eV。