一种改进的Delaunay 三角形化剖分方法

收稿日期:2000205221
作者简介:徐明海(1964-),男(汉族),山东平度人,副教授,硕士,现从事稠油热采数值模拟及优化方面的研究。

文章编号:100025870(2001)022*******
一种改进的Delaunay 三角形化剖分方法
徐明海1,　张俨彬2,　陶文铨3,
(1.石油大学储运工程系,山东东营257061;2.胜利石油学校,山东东营257061;3.西安交通大学,陕西西安710049)
摘要:提出了一种基于Bowyer 2Wats on 算法的平面区域Delaunay 三角化剖分的改进方法。

它结合了前沿推进法的内部结点生成技术和Delaunay 联点网格生成技术,使得每插入一点所破坏的单元尽可能地少。

采用适当的数据结构,使Delaunay 搜索过程限于局部,算法大为简化,易于编程,浮点计算量少,同时也避免了使用函数递归调用。

采用在基网格上定义网格步长的办法控制网格的疏密,使网格疏密易于控制。

几个算例表明,该算法是行之有效的。

关键词:非结构网格;三角形单元;Delaunay 剖分;数值模拟中图分类号:T K 121 文献标识码:A
引　言
非结构化网格是相对于结构化网格而言的,它具有分布灵活、适应复杂区域剖分及局部任意加密的优点。

非结构网格需要较多的前期处理工作,网格形成一般不能用手工操作,须采用计算机自动剖分。

三角形网格自动剖分以Delaunay 三角化和前沿推进法两类方法为基础。

为了提高自动剖分程度、减小剖分的手工工作量和运行机时,近20年内发展了许多剖分技巧。

Peraire [1]给出了基于两点的前沿推进网格生成的基本方法,Eymard [2]给出了基于三点的前沿推进法。

Joe [3,4]和Weatherill [5]给出了Delaunay 剖分的各种改进方法。

两类方法相比较,前沿推进法所用到的数据结构较为简单,但浮点运算工作量较大,容易因硬件舍入误差引起失效。

Delaunay 剖分的浮点运算主要集中在搜索插入新点所破坏三角形的过程中,相对而言,其浮点运算较少,但一般需要全域枚举或采用递归技术局部寻找被破坏的三角形。

枚举寻找工作量极大,网格节点多时尤其如此。

通过适当的数据结构实现局部搜索,可使计算工作量大为减少,但须采用允许递归调用的程序语言编程,否则编程很复杂。

但递归调用使其程序运行内存占用量大为增加,执行效率大为降低[7]。

Delaunay 算法的另一个缺点是判断一点在圆内还是圆外,是基于浮点运算的结果,有时会因舍入误差导致判断失误。

本文结合文献[1]基网格的思想和文献[5]的剖分思想,提出了一种
易于实现又不采用递归调用的Delaunay 网格剖分方
法。

1　Delaunay 网格生成算法原理
Delaunay 原理要求每个三角形的外接圆内不包
含其他节点,这样的三角形系统具有最小角最大的特点。

根据这一原理,可以构造出各种生成二维区域网格的算法。

Shamos 和Hoey [13]提出了分治法的思想,Lee
和Schachter [14]对其作了改进和完善,把某一点集连接成三角网。

Green 和Sibson 首次实现了Voronoi 图的三角网生长法[15],其基本步骤是以任
意点为起始点找到距其最近的点构成一个基本边,然后找第三点形成Delaunay 三角形,依次处理所有边。

其找点过程按照Delaunay 原则进行,故生成Delaunay 三角形网。

Lawson [16]提出了逐点插入法
的基本思想,Bowyer 等人[17～19]对其作了完善,Weatherill [5]对Bowyer 与Watson 的算法作了改进,
使之能够剖分大型网格系统。

逐点插入算法的基本思想是在Delaunay 三角形网格系统中插入一点P ,找到外接圆包含点P 的三角形集合S (破坏的三角形集合),去掉集合S 中的三角形,构成插点空腔
H ,连接点P 和H 的顶点而形成新的三角形网格系
统。

具体步骤如图1所示。

Delaunay 三角形化算法的浮点运算主要集中在
寻找集合S 上,早期的算法采用枚举法完成。

Weatherill 结合三角形和其对偶的Voronoi 多边形
图构造了一种数据结构,使得寻找S 的工作限于局
2001年　第25卷 石油大学学报(自然科学版) Vol.25　No.2　第2期 Journal of the University of Petroleum ,China Apr.2001
部,提高了剖分效率,但须采用递归算法才能实现。

图1　Delaunay 网格生成示意图
2　算法的改进
Delaunay 三角形网格系统建立的的过程,就是
插入新点打断原有部分连接而建立新连接的过程,因此把寻找破坏三角形的过程改为直接寻找打断的连接和形成围绕新点的凸腔。

2.1　数据结构
N T R (3,I E )表示三角形的三个结点,N TL (3,I E )表示三角形的三条边,L E (2,IL )表示每条边的
两个相关三角形,X (2,I )表示第I 个结点的坐标。

2.2　修改步骤
寻找被破坏的三角形集合S 就是寻找被打断的边,而判断一条边被打断的原则是,以此边为公共边的两个三角形的外接圆均包含新插入点。

其算法如下:
(1)建立包含带剖分区域的大凸壳,用某种方
法把区域边界进行剖分。

(2)以新插点所在的三角形(或某个被破坏的
三角形)为起始凸腔H 。

(3)依次检验凸腔H 的边是否被打断。

若被
打断,去掉该边,把新找到的三角形的另两条边放到凸腔中;若未被打断,则检验下一个边。

(4)重复步骤(3),直到凸腔H 的所有边均不
被打断为止。

(5)连接新点与H 的顶点,形成插点后的网格
系统,更新数据结构。

(6)插入下一个点,重复步骤(2)～(4),直到所
有点全部被插完。

具体实施时,寻找新插点所在的或被破坏的三角形(起始空腔)的工作量较大,为此,分开进行边界点插入和内点插入。

边界点插入阶段为网格初始化,内点插入为正规插入阶段。

在初始化阶段,网格系统中三角形总数较少,寻找被破坏的三角形从三角形序列的最后一个开始向前找,这样比较容易找到,有时可能要遍历所有三角形才能找到。

把边界结点按一定顺序排列,可以有利于减少搜索时间。

正规阶段中这一工作大为简化,因为已经知道新插
点所在的三角形,不须再找。

判断边是否被打断也比较容易,因为每条边只有两个相关三角形,其中之一已在凸腔中,只须判断另一个三角形的外接圆是否包含该点即可。

很显然,改进后不须进行递归调用,编程也很简短,其缺点是内存占用量有所增加。

3　剖分的实施
3.1　一致性检验
在网格剖分过程中,浮点运算的舍入误差可能误判三角形是否被破坏,并会导致程序执行非正常
中断。

这种问题是Delaunay 类剖分算法最为致命的,在剖分均匀网格系统中一般表现不出来。

对于剖分复杂的区域,特别是边界尺度对比较大的情况,就很容易发生。

为避免这种差错,在计算三角形外接圆半径、圆心坐标和距离时,采用双精度数运算,逻辑判断采用{X c -X
p -R 2c }<ε。

其中X c 为三角形外接圆圆心坐标,X p 为插入点的坐标,R c 为外接圆的半径,ε为与舍入误差有关的小数。

单凭上述措施尚不能保证不发生非正常中断,还须检验围绕新点的凸腔H 是否为凸多边形或星形多边形(要求H 的所有边对于新插入点而言是可见的)。

若不是星形多边形,则须稍微调整插入点的坐标,或者用可视化手段人为地调节一下,重新寻找H 的边。

通过上述手段,可保证剖分过程能进行下去。

在完成剖分后,移动的点再恢复到原来位置。

这种方法是可行的,因为H 非凸的原因是在做包含判断时,新点P 位于三角形外接圆上。

由于舍入误差的影响,外接圆是由一定宽度的线带围成,故对微调点的位置可以做出合理的决定。

另一个较为严重的问题是,剖分多连通域时生成的网格系统与几何体不一致,对于如图2所示的较为简单的几何域,也会有这样的结果。

图2　网格匹配示意图
产生这一问题的原因是Delaunay 技术在剖分
过程中仅仅计入了点分布的影响,没有计入域边界的影响。

当网格步长大于区域边界间的距离时,这种不一致就很容易发生,而通过减小网格步长可避免这种情况发生。

Schroeder [12]提出了在被破坏的
・
101・第25卷　第2期 徐明海等:一种改进的Delaunay 三角形化剖分方法
边界处增加额外节点的方法克服此问题(实际上就是减小不一致区域周围的网格步长),即先找到位于边界上的单元边,检验它们是否首尾相接,围成几何体的边界;如果不是,则说明出现了网格不匹配,则在漏失边界的两个点中间插入一新点,则可找回该边,经过反复迭代就会找到所有边界。

网格一致性检验在初始化后进行,找到所有边界后,清除域外网格。

边界边的两个相关单元只有一个是有效的,无效的一个用-1代替,这样在内点插入阶段,就不会破坏边界。

3.2　插入点的确定
在Delaunay三角化剖分算法中须解决剖分效率和网格质量两个问题,其中决定剖分效率的关键因素是搜索和连接被打断的插入点。

如果这一过程是在局部范围内进行,其效率比较高;否则,效率就比较低。

本方法在新插点周围的局部范围内搜索。

决定网格质量的因素是插点位置的确定,Delaunay网格剖分实际上仅是联点技术,即给定点集连成三角形网格。

按这种技术联点形成的网格系统具有最小角最大的特点,这一特点是在给定节点分布的条件下所具有的结果。

但在网格剖分过程中,结点分布是未知的,不能保证网格是最优的。

因此在Delaunay剖分过程中,插点位置有许多选取方法。

例如,可取三角形的形心位置、内心位置、三角形内任意点,或按照某种原则确定插点位置。

前者较简单,增加的计算量很少,但网格质量很差;后一种方法须增加很多浮点运算,大大影响效率,但生成的网格质量较好。

影响Delaunay算法效率的另一个重要因素是每插入一点后破坏的单元数目,被破坏单元数目越多,效率越低。

而破坏单元的数目与插入点位置有很大的关系,目前理论上尚没有很好的解决办法。

有的作者提出了先疏后密、随机插入的方法[12],但这样难以保证确定起始凸腔的工作量少,其效率被抵消了一部分。

为此,本研究把三角形按外接圆无量纲半径的大小分类,把单元分成好单元和坏单元两类。

单元的无量纲外接圆半径定义为单元的外接圆半径与该处控制网格步长之比,好单元是无量纲半径小于1.2的三角形。

把坏单元按照无量纲外接圆半径由大到小排列,取无量纲外接圆半径最大的三角形作为起始凸腔。

按照前沿推进法确定新点的方法确定插入点的位置,即选择三角形的最短或其一侧为好单元的边为基边,在其垂直平分线上找点。

为了保证插入点后形成的单元在随后的插点过程中尽量不遭到破坏,插入点满足如下几个条件:①在该三角形内;②与三角形三个顶点的距离大于或等于该点的控制网格尺度;③与垂分点的距离尽量接近0.87,L且小于等于垂分点处的网格步长H(L为三角形最短边的边长)。

由于对插入点做了上述限制,而且边界边是根据网格疏密划分的,故总能找到这样的边,且插入一个点,就至少会形成一个有效单元。

此单元在随后的插点过程中被破坏的可能性较小,这样就兼顾了插点的随机性,单元质量也有所提高。

图3给出了形心插点和本方法插点对环形区域剖分的结果。

图3　插点方法与网格质量的关系
3.3　网格疏密的控制
控制网格疏密是数值计算中最基本的要求,也是非结构网格灵活性好的特征之一,网格疏密控制有许多方法,例如偏微分方程法、基网格法和边界驱动法等。

其中偏微分方程方法是通过求解网格尺度倒数的偏微分方程,即采用在微分方程中加入源项的办法来控制网格的疏密,区域内网格疏密过渡光滑,但计算工作量大。

边界驱动法则不能够实现区域内部的网格加密和放大,只能实现边界网格尺度向内部平稳过渡。

这里采用基网格和边界驱动结合方法控制网格的疏密程度,为了简化计算,基网格采用结构网格。

对于均匀网格,基网格只需一个矩形,在其4个顶点上定义要求的网格尺度。

对于需要局部加密的网格系统,基网格的节点数目根据须加密的局部区域数目确定。

为保证基网格上所定义的网格参数与边界节点的间距匹配,基网格的顶点应尽量位于网格最密和最疏的地方。

网格疏密的控制也用于确定剖分过程是否结束,这一问题并没有形成标准的解决方法。

这里选用外接圆半径作为控制参数,主要因为附加的浮点运算量较少,并不一定是最好的策略。

内点插点准则是从坏三角形集合中选取无量纲外接圆半径最大的单元作为插点单元,当坏单元集合为空时停止插点。

三角形形心处的网格步长采用距离倒数权平均的方法计算,三角形形心M处外接圆半径的计算公式如下:
・
2
1
・石油大学学报(自然科学版) 2001年4月
　R M =
R I /d I +R J /d J +R K /d K
1/d I +1/d J +1/d K
.
(1)
其中,R I ,R J 和R K 分别是点M 所处的基网格三角形3个顶点I ,J ,K 处的外接圆半径,d I ,d J 和d K 是M 到I ,J ,K 三点的距离。

3.4　网格的光滑处理
由于在生成过程中按照人为的某种规则插点,网格的节点连接不一定是最佳的,一般须进行光滑处理。

另外,在两个边界交叉处,可能出现三个顶点全在边界上的单元,这种单元是不希望有的,须在其形心处再插入一点,这会使网格不规正,可通过光滑使之规正一些。

光滑的指标是三角形外接圆和内切圆半径之比最小及三角形势能最小。

这里取三角形势能最小为光滑的指标,因为这种方法易于实施,其效果也不错。

三角形的势能为
F i (x ,y )=0.5{(x -x i )2+(x -x j )2+(x i -x j )2
+(y -y i )2
+(y -y j )2
+(y i -y j )2
}.
(2)
实施光滑的具体步骤是,针对每个内节点,使与该节点相关的单元三角形的势能之和最小,即
　X N EW =min ∑F i (x ,y ),
(3)　X N EW =X OLD +ω(X N EW -X OLD ).
(4)式中,X 为节点坐标,ω为松弛因子。

由于在光滑计算时,每个节点周围的节点坐标不变,故须反复迭代,ω可取1.75左右,迭代30～40次即可。

3.5　网格的清理
在完成边界结点插入后须对网格系统进行清理,消去域外的单元。

多连通域处理较为复杂,须计算内
边界的外法线方向来确定无效的三角形。

当内边界曲线较复杂时,计算较为困难。

采用插入预置点和单元分类方法,可以很容易地解决这一问题。

所谓预置点就是在内边界曲线围成的图形内或外边界内凹的地方,放置一点或几点作为首先插入点,这样内边界点就会与这些点形成三角形,凡是含有这些点之一的三角形均在计算区域之外,去掉它们即可。

预置的无效点数根据内边界的复杂程度而定,要求所有的内边界点都能至少看见一个无效点。

图4给出了环形区域初始化后的网格系统,图4(a )为清理前的情况,中心一点就是无效点,清理掉的无效三角形要么含有这一点,要么含有包壳的4个顶点之一。

采用预置点的方法有时并不能完全清除无效域外网格,传统方法是判断外边界的外法线方向与连接边界上边的中点和对应第三点的连线矢量的点积是否大于零,这样计算工作量较大。

这里根据网格系统中的单元相邻关系清除无效网格[12]。

该算法的特点是给单元增加属性,根据属性判断无效单元并删除,网格分类算法见图5。

图4　
多连通域预置无效点初始化结果
图5　网格分类算法
・
301・第25卷　第2期 徐明海等:一种改进的Delaunay 三角形化剖分方法
边界边两侧的单元必然有一个是域内,而另一个是域外;非边界边两侧的单元则要么是域外,要么是域内,其属性是相同的。

从已知的某个域外单元开始,根据相邻关系可以标识单元属性。

凡是单元属性P=0的单元均在域外,P=1的单元均在域内。

删除P=0的单元,即完成了网格清理。

本算法对多连通域和单连通域都适用,并且没有浮点运算。

这里提出的算法和数据结构是在初始化后进行网格清除,以往的算法是在网格全部剖分完成后进行。

这样无论是在网格清除还是在正规插点阶段,参入运算的单元数目大为减少,有利于提高剖分效率。

4　改进算法的优点
新剖分方法的浮点运算主要是集中在圆心坐标、圆半径和判断新插点打断的连接以及确定新插点的位置。

圆心坐标可采用解方程组的方法确定,也可采用矢量积的方法,这里采用后者。

根据外接圆的定义,可得圆心坐标如下:
　X C=X M+βn M,
　β=[(X N-X M)×n M]・(n M×n N)
(n M×n N)・(n M×n N)
其中,X M为三角形某边的中点坐标,n M为该边的
内法线方向,n N为另一边的内法线方向。

矢量积分
方法的计算精度高于解方程方法。

图6给出了网格
节点数与占用机时的关系。

图6　占用机时与网格节点数的关系
为了避开机时与计算机品牌型号的关系,图中
的纵坐标为相对机时,即剖分节点数为N P时占用
的时间与剖分1000个节点占用时间之比。

当网格
节点数超过10×104个时,再增加节点数,工作量增
加较快,占用机时与节点数的关系为:COS T=
N1.533×10-4.81。

其中,COS T为相对占用机时,N
为剖分节点数。

图7给出了几个剖分的例子,可以
看出,网格疏密过渡比较光滑。

图7　剖分示例
5　结　论
新提出的二维区域三角化方法具有计算工作量少及程序代码易于编制的特点,克服了传统方法须采用递归调用及在多连通域剖分内边界复杂情况下清理网格困难的缺点,同时也避免了矩形区域角点单元出现三个节点全在边界上的情况。

采用约束插点技术,使得每插入一个新点,至少生成一个有效单元,提高了网格生成的效率。

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(责任编辑　吕　鹏)
(上接第99页)
由图3(a)及(b)可知,对α=10°的弧裂纹,当裂纹中心角在β0=90°附近时,f1(σ2)取极值;在β
0=0°和β0=180°时,f2(σ2)取极值。

由图3(c)和(d)可知,当裂纹中心角β0=0°,α由0°逐渐变化到180°时,因子f1(σ2)和f2(σ2)分别在α=120°和α=60°左右取极值。

这些极值点分别对应着外载
τ∞
yz
(或D∞y)和τ∞xz(或D∞x)导致的强度因子的极值点。

对任意曲线裂纹,可由复变函数理论确定变换表达式(4),参照例2的椭圆问题进行分析。

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(责任编辑　吕　鹏)
・
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1
・
第25卷　第2期 徐明海等:一种改进的Delaunay三角形化剖分方法
cracks and elliptical cracks are obtained in s ome s pecial cases.
K ey w ords :piezoelectric material ;curvilinear crack ;anti 2plane strain ;Faber series
About the first author :HOU Mi 2shan ,prof essor ,received MS degree f rom Northeast Heavy Machinery Institute in
1987.Now he is working on solid mechanics in the University of Petroleum ,China (Dongying :257061).
XU Ming 2hai ,
ZHA N G Yan 2bin and T A O Wen 2quan/
A MODIFIE D DE LAUNA Y ME SH G ENER A TI ON
METH OD F OR 22D DOMAIN /2001,25(2):100～105
A method for constructing two 2dimensional unstructured meshes using the Delaunay triangulation criterion is described.The algorithm is based on the Bowyer 2Wats on ’s idea to construct the node links and on the advancing front method for generating the inner nodes.In the triangulation process ,the latter inserted nodes may break less links by using this method.By taking the edges into the data structure ,the Delaunay searching is a local process ,and the recursive function calling can be av oided.S o it is easy to construct the code ,and the floating 2point computation is reduced.The mesh densi 2ty is controlled through defining the mesh step on the vertices of the ground mesh.S ome examples show that the algo 2rithm is robust and effective.
K ey w ords :unstructured grid ;triangular cell ;Delaunay triangulation ;numerical simulation
About the first author :XU Ming 2hai ,male ,associate prof essor ,works on sim ulation and optimal recovery of heavy oil in the University of Petroleum ,China (Dongying :257061).
L I Zi 2li and FEN G S hu 2chu/INF LUEN CE OF OVERF LOW ORIFICE DIAMETER ON DISCH ARG E PRE SSURE
OF H YDR OC YC LONE /2001,25(2):106～107
The overflow Euler number (Eu o )and the underflow Euler number (Eu u )are defined.The results of experiments show that the overflow orifice diameter has more effect on overflow discharge pressure than on underflow discharge pressure.For a orifice with a certain diameter ,the case that the overflow Euler number equals the underflow Euler number can be found.The split ratio corres ponding to this case decreases while the orifice diameter increases.K ey w ords :hydrocyclone ;overflow orifice diameter ;Euler number ;discharge pressure
About the first author :L I Zi 2li ,male ,associate prof essor ,graduated f rom East China Petroleum Institute in 1985and obtained MS degree f rom the University of Petroleum in 1993.Now he is working on m ulti 2phase separation and saf ety of oil storage at the Department of Transf orm and Storage Engineering in the University of Petroleum ,China (Dongying :257061).
ZHA O Wei 2min and WA N G Bing 2ying /EFFE CT OF C OMPONENT OF E LE CTR ODE C OA TING ON U SABI LIT Y
OF ST AIN LE SS STEE L E LE CTR ODE /2001,25(2):108～110
The component of electrode coating has certain effects on the usability of stainless steel electrode.About a hundred kinds of electrodes are tested ,and a new com ponent of electrode is developed.The results of test show that the ratio of carbon 2ate to fluoride has s ome effects on the stability of arc ,spatter and weld appearance.The ratio of TiO 2to aluminosilicate should be controlled more than 3.5∶1to assure detachability.Powerful deoxidizers ,such as silicon and titanium ,can im 2prove the detachability of electrode obviously.The thicker the coating of electrode is ,the smaller the s patter will be ,and the better the detachability is ,too.
K ey w ords :stainless steel ;electrode ;electrode coating ;component ;usability
About the first author :ZHA O Wei 2min ,f emale ,lecturer ,received MS degree f rom the University of Petroleum in
1997.Now she is a doctoral candidate and works on welding technology and anticorro sion technology in the University
of Petroleum ,China (Dongying :257061).
ZHA N G L ai 2bin and WA N G Zhao 2hui /SEPAR A TI ON OF SIGNA L F OR C ONTINU OU S KN OCK RE SPON SE IN
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Ⅹ・ Journal of the University of Petroleum ,China (Edition of Natural Science )
Vol.25　No.2
Apr.2001。