Delaunay三角剖分
上下扫描线的delaunay三角剖分算法
上下扫描线的delaunay三角剖分算法Delaunay三角剖分是一种广泛应用于计算几何和数值分析的算法，它主要用于生成二维平面上的三角形网格。
Delaunay三角剖分具有很多优良的性质，例如空外接圆性质和最小角最大性质等。
上下扫描线的Delaunay三角剖分算法是一种高效的Delaunay三角剖分算法，其基本思想是利用扫描线从上到下或从下到上扫描整个区域，并在扫描过程中对点进行插入和删除操作，从而生成Delaunay三角剖分。
具体步骤如下：
1. 将所有点按照y坐标从大到小排序。
2. 从上到下扫描整个区域，对于每个扫描到的点，将其插入到Delaunay三角剖分中。
具体做法是：找到该点的最近点，然后删除该点，并将该点和最近点之间的线段加入到Delaunay三角剖分中。
3. 重复步骤2，直到扫描完所有点。
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为点的数量。
这是因为需要将所有点排序，并且每次插入一个点都需要在已排序的点中进行二分查找。
需要注意的是，该算法只能处理凸多边形的边界，如果存在凹多边形或自相交的情况，需要使用其他算法进行处理。
三维空间 delaunay三角剖分的分治算法
三维空间 delaunay三角剖分的分治算法
三维空间的Delaunay三角剖分可以使用分治算法来实现。
分
治算法是一种将问题分解成更小的子问题来解决的算法思想。
以下是三维空间Delaunay三角剖分的分治算法的基本步骤：
1. 将输入的点集P按照x坐标进行排序，得到有序点集P_x。
2. 对P_x进行分割，将点集分成两部分，左边部分为P_l，右
边部分为P_r。
3. 递归调用Delaunay三角剖分算法，分别对P_l和P_r进行处理。
这两个子问题可以分别在不同的处理器或线程上进行处理，从而加快算法的执行速度。
4. 将子问题的结果合并，得到整体的Delaunay三角剖分结果。
在递归调用Delaunay三角剖分算法时，同样的分治策略可以
应用到三维空间中。
对于每一个子问题，可以按照y坐标对点集进行排序，然后再递归地将子问题分割成更小的子问题。
当子问题中的点个数达到一个阈值时，可以使用其他的三维空间Delaunay三角剖分算法进行解决，如增量法或基于四面体的
方法。
通过使用分治算法，可以将大问题划分成许多小问题，并行地解决这些小问题，从而提高算法的执行效率。
同时，在三维空间中使用分治算法可以减少问题的复杂性，使得算法更易于实现和理解。
Delaunay三角剖分
2.没有相交边。（边和边没有交叉点）
3.平面图中所有的面都是三角面.且所有三介面的合集堆散点集V的凸包。
1.2 Delaunay
在实际中运用的鼓多的三角別分是Delaunay三角剖分.它绘一种待殊的三角剖分。先从Delaunay边说起：
【定义】Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端点为a,b）＞ e若满足下列条件.则称Z为Delaunay边：存在一个閲
丄・CvPoint2D32f fp;//This is our point holder//;.^我心点的f•} fIRS)
2・for(i = 0; i < as_many_points_as_you_want; i++ ) {
3・//However you want to set points〃如果我们的点集不足32位的.在这里我们将其转为CvPoint2D32于・如下两种方法.
第//
5.fp=your_32f_point_list[i];
6.cvSubdiv0elaunay2DInsert( subdiv, fp )j
7・}
转换为
1)
2)
肖可以通过输入点(散点集)得到
1.cvCalcSubdivVoronoi2D( subdiv);//Fill out Voronoi data in subdiv〃在subdiv充Vornoi的数州
1.
以下是Delaunay剖分所具备的优异特性：
1x最接近：以掖接近的三点形成三角形.且各线段《三角行的边〉皆不相交。
2.唯一性：不论从区域何处开始构建.最终都将得到一致的结果。
3.眾优性：任惫两个相邻三角形构成的凸四边形的对角线如何可以互换的话.那么两个三角形六个内角屮最小角度不 会变化，
Voronoi图和Delaunay三角剖分
Voronoi图和Delaunay三⾓剖分刷题的时候发现了这么⼀个新的东西：Voronoi图和Delaunay三⾓剖分发现这个东西可以O(nlogn)解决平⾯图最⼩⽣成树问题感觉⾮常棒然后就去学了..看的，感谢n+e的耐⼼教导..Voronoi图是个啥Delaunay三⾓剖分最优三⾓剖分就是使每⼀个三⾓形的外接圆都不包含其他的点的三⾓剖分这个算法就是求最优三⾓剖分的简单来说就是分治合并对于点数⼩于等于3的可以直接连边合并的时候1）先找到两边最下⾯的点，这个可以⽤凸包求，然后连边2）对于现在得到的两个点p1、p2，找到⼀个点连接着p1且由这三个点的外接圆不包含别的任何点，并删除这个外接圆经过的边，p2也是如此3）看现在找出来的两个点y1、y2，找其中⼀个点使得它与p1、p2的外接圆不包含另外⼀个点，使其与对应的点连边4）重复（2）（3）直到⽆边可连对n+e代码的修改⼀开始压根不知道怎么实现这个算法的时候去看了看n+e的代码..发现他的代码中每次都要遍历p1和p2的所有边，这样的做法在特殊的图⾥⾯是O(n2)的可以说他⾃⼰出的数据偏⽔？？（雾然后看了上⾯那篇详细的⽂章，发现它的边是按照顺时针或者逆时针的⽅向进⾏取边的，这样遇到的边要不删掉要不就是最优的所以我开了⼀个双向链表来储存边，使得边是按照(−π2,3π2]顺时针排列然后就会发现细节⼀⼤堆..调了我3天的东西就直接放上来好了判断⼀个点是否在某三个点的外接圆内在⾥⾯有讲，但是貌似图都爆掉了？？就是把点映射到z=x2+y2的抛物⾯上，这三个点就会形成⼀个新的平⾯，然后再判断剩下的那个点和这个平⾯的关系即可下⾯放⼏张n+e给我的图⽚⽅便理解？抛物⾯z=x2+y2其实第三张图应该很清晰了吧..在圆内的点都会在平⾯下⽅，⽽在圆外的都会在平⾯上⽅这个⽤三维叉积点积判⼀下就好了Code下⾯就贴⼀下我3天的成果吧..还有什么问题请指教..bzoj4219#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cmath>#include <vector>#define eps 1e-10using namespace std;const int Maxn = 100010;double _max(double x, double y) { return x > y ? x : y; }double _min(double x, double y) { return x < y ? x : y; }struct node {int y, nxt, frt, opp;}a[Maxn<<3]; int first[Maxn], last[Maxn], num[Maxn<<3], now;int sta[Maxn], tp;int pb(int x, int k, int y) {int u = num[now++];a[u].y = y; a[u].frt = k;if(k){a[u].nxt = a[k].nxt;if(a[k].nxt) a[a[k].nxt].frt = u;else last[x] = u;a[k].nxt = u;} else {if(first[x]) a[first[x]].frt = u;else last[x] = u;a[u].nxt = first[x]; first[x] = u;}return u;}int pf(int x, int k, int y) {int u = num[now++];a[u].y = y; a[u].nxt = k;if(k){a[u].frt = a[k].frt;if(a[k].frt) a[a[k].frt].nxt = u;else first[x] = u;a[k].frt = u;} else {if(last[x]) a[last[x]].nxt = u;else first[x] = u;a[u].frt = last[x]; last[x] = u;}return u;}void del(int x, int k) {num[--now] = k;if(a[k].nxt) a[a[k].nxt].frt = a[k].frt;else last[x] = a[k].frt;if(a[k].frt) a[a[k].frt].nxt = a[k].nxt;else first[x] = a[k].nxt;}double _abs(double x) { return x < 0 ? -x : x; }int zero(double x) { return _abs(x) < eps ? 1 : 0; }struct Point {double x, y;Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}bool operator<(const Point &A) const { return zero(x-A.x) ? y < A.y : x < A.x; } Point operator-(const Point &A) const { return Point(x-A.x, y-A.y); }}list[Maxn]; int n; double X, Y;double Cross(Point A, Point B) { return A.x*B.y-B.x*A.y; }double Dot(Point A, Point B) { return A.x*B.x+A.y*B.y; }double dis(Point A) { return sqrt(Dot(A, A)); }double dis(int x, int y) { return dis(list[y]-list[x]); }struct Point3 {double x, y, z;Point3(double x = 0, double y = 0, double z = 0) : x(x), y(y), z(z) {}Point3 operator-(const Point3 &A) const { return Point3(x-A.x, y-A.y, z-A.z); } };double Dot(Point3 A, Point3 B) { return A.x*B.x+A.y*B.y+A.z*B.z; }Point3 Cross(Point3 A, Point3 B) { return Point3(A.y*B.z-A.z*B.y, A.z*B.x-A.x*B.z, A.x*B.y-A.y*B.x); } Point3 t(Point A) { return Point3(A.x, A.y, A.x*A.x+A.y*A.y); }bool incir(Point D, Point A, Point B, Point C) {if(Cross(B-A, C-A) < -eps) swap(B, C);Point3 aa = t(A), bb = t(B), cc = t(C), dd = t(D);return Dot(Cross(bb-aa, cc-aa), dd-aa) < -eps;}bool incir(int D, int A, int B, int C) { return incir(list[D], list[A], list[B], list[C]); }void divi(int L, int R) {if(L == R) return;if(L+1 == R){int k1 = pb(L, 0, R); int k2 = pf(R, 0, L);a[k1].opp = k2; a[k2].opp = k1;return;}int mid = L+R>>1, i, j, k;divi(L, mid); divi(mid+1, R);int p1 = 0, p2 = 0; tp = 0;for(i = L; i <= R; i++){while(tp > 1 && Cross(list[i]-list[sta[tp-1]], list[sta[tp]]-list[sta[tp-1]]) > eps) tp--;sta[++tp] = i;}for(i = 1; i < tp; i++) if(sta[i] <= mid && sta[i+1] > mid){ p1 = sta[i]; p2 = sta[i+1]; break; }int kp1, kp2;for(kp1 = last[p1]; kp1; kp1 = a[kp1].frt){if(Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], list[p2]-list[p1]) < eps || Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], Point(0,1)) < -eps) break; }int k1 = pb(p1, kp1, p2);for(kp2 = first[p2]; kp2; kp2 = a[kp2].nxt){if(Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], list[p1]-list[p2]) > -eps || Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], Point(0,1)) > eps) break; }int k2 = pf(p2, kp2, p1);a[k1].opp = k2; a[k2].opp = k1;while(1){int np1 = 0, np2 = 0;for(; kp1; kp1 = a[kp1].frt){if(Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], list[p2]-list[p1]) > -eps){if(Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], Point(0,1)) > -eps) continue;else break;}if(a[kp1].frt && incir(a[a[kp1].frt].y, p1, p2, a[kp1].y)) del(a[kp1].y, a[kp1].opp), del(p1, kp1);else { np1 = kp1; break; }}for(; kp2; kp2 = a[kp2].nxt){if(Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], list[p1]-list[p2]) < eps){if(Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], Point(0,1)) < -eps) continue;else break;}if(a[kp2].nxt && incir(a[a[kp2].nxt].y, p1, p2, a[kp2].y)) del(a[kp2].y, a[kp2].opp), del(p2, kp2);else { np2 = kp2; break; }}if(!np1 && !np2) break;if(!np2 || (np1 && !incir(a[kp2].y, p1, p2, a[kp1].y))){p1 = a[kp1].y;k2 = pf(p2, kp2, p1);for(kp1 = last[p1]; kp1; kp1 = a[kp1].frt){if(Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], list[p2]-list[p1]) < eps || Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], Point(0,1)) < -eps) break; }k1 = pb(p1, kp1, p2);a[k1].opp = k2; a[k2].opp = k1;} else {p2 = a[kp2].y;k1 = pb(p1, kp1, p2);for(kp2 = first[p2]; kp2; kp2 = a[kp2].nxt){if(Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], list[p1]-list[p2]) > -eps || Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], Point(0,1)) > eps) break; }k2 = pf(p2, kp2, p1);a[k1].opp = k2; a[k2].opp = k1;}}}struct enode {int x, y; double d;enode(int x = 0, int y = 0, double d = 0) : x(x), y(y), d(d) {}bool operator<(const enode &A) const { return d < A.d; }}e[Maxn<<4]; int el;int fa[Maxn];int ff(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = ff(fa[x]); }int main() {int i, j, k;scanf("%d%lf%lf", &n, &X, &Y);for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf", &list[i].x, &list[i].y);now = 1;for(i = 1; i <= n<<3; i++) num[i] = i;sort(list+1, list+n+1);divi(1, n);for(i = 1; i <= n; i++){e[++el] = enode(i, n+1, _min(list[i].x, Y-list[i].y));e[++el] = enode(i, n+2, _min(list[i].y, X-list[i].x));for(k = first[i]; k; k = a[k].nxt) e[++el] = enode(i, a[k].y, dis(i, a[k].y)/2.0); }sort(e+1, e+el+1);for(i = 1; i <= n+2; i++) fa[i] = i;for(i = 1; i <= el; i++){int fx = ff(e[i].x), fy = ff(e[i].y);if(fx != fy){fa[fx] = fy;if(ff(n+1) == ff(n+2)){ printf("%lf\n", e[i].d); return 0; }}}return 0;}⼩总结？？虽然这次搞这个东西⽤的时间很长.. 但是收获还是很⼤的..最后差那么⼏个点wa还是很想放弃的..但是还是坚持下了来了嘛..加油啊..Processing math: 100%。
delaunay方法
delaunay方法
Delaunay方法，又称为Delaunay三角剖分，是前苏联数学家Delaunay在1934年提出的一种三角剖分方法。
该方法满足所谓的“最大-最小角”优化准则，即所有最小内角之和最大，从而使得划分的三角形不会出现某个内角过小的情况。
这种方法在二维情况下可以描述为：对于给定的平面点集，只存在着唯一的一种三角剖分方法，满足Delaunay三角剖分的条件，即任意一个三角形的外接圆内不包括其他结点。
Delaunay三角剖分方法在各种二维三角剖分中具有全局和局部最优性。
它可以应用于数值模拟的网格生成，尤其在复杂外形的非结构网格生成中有广泛应用。
此外，Delaunay 三角剖分方法还可以推广至多维问题，例如在三维情况下，四面体的外接球内不包含其他节点。
在具体实施过程中，三维情况下的Delaunay三角化可以包括以下步骤：在三维空间内定义一个大的凸壳区域以覆盖所有将要插入的点；根据网格步长分布要求在凸壳区域内引入一个新点；标记将被删除的四面体（其外接球包含新点的所有四面体）；建立空洞边界（由被标记的四面体组成的凸壳的外边界）；在剩余四面体中查找被标记四面体的邻居以
建立有效的空间连续性；利用空洞边界上每个三角形的三个顶点与新点组成新的四面体；建立空洞外原四面体和新生成的四面体的邻居关系。
delaunay 三角剖分 步骤
delaunay 三角剖分步骤1. Delaunay三角剖分是用于将点集分割成不规则三角形的方法。
The Delaunay triangulation is a method for dividing a set of points into irregular triangles.2.首先选择一个点作为起始点。
First, select a point as the starting point.3.然后选择另外两个点与起始点构成一个三角形。
Then select two other points to form a triangle with the starting point.4.接着选择一个未被包含在任何三角形内的点。
Then select a point that is not included in any triangle.5.在所有的三角形中寻找能将这个新点包含进去的三角形。
Find a triangle among all the triangles that can include this new point.6.如果找到了这样的三角形，将这个三角形和新点围成的区域删除。
If such a triangle is found, remove the area enclosed by this triangle and the new point.7.在新的边缘上寻找新的三角形。
Find new triangles on the new edges.8.重复以上步骤，直到所有的点都被包含在三角形内。
Repeat the above steps until all points are included in triangles.9. Delaunay三角剖分具有无重叠、最小化夹角和最大化最小角的性质。
Delaunay triangulation has the properties of non-overlapping, minimizing angles, and maximizing minimum angles.10.可以使用Delaunay三角剖分来进行网格生成和空间分析。
三维空间Delaunay三角剖分算法的研究及应用
三维空间Delaunay三角剖分算法的研究及应用一、本文概述随着计算几何和计算机图形学的发展，三维空间Delaunay三角剖分算法已成为一种重要的空间数据处理和分析技术。
本文旨在全面深入地研究三维空间Delaunay三角剖分算法的原理、实现方法以及应用领域。
本文将对三维空间Delaunay三角剖分算法的基本概念和性质进行详细的阐述，包括其定义、性质、特点以及与其他三角剖分算法的比较。
接着，本文将重点探讨三维空间Delaunay三角剖分算法的实现方法，包括增量法、分治法和扫描转换法等，并分析它们的优缺点和适用范围。
本文还将对三维空间Delaunay三角剖分算法在各个领域的应用进行详细的介绍和分析。
这些领域包括计算机科学、地理信息系统、地质学、气象学、生物医学等。
通过具体的应用案例，本文将展示三维空间Delaunay三角剖分算法在实际问题中的应用价值和效果。
本文还将对三维空间Delaunay三角剖分算法的未来发展方向进行展望，探讨其在新技术和新领域中的应用前景和挑战。
本文旨在全面系统地研究三维空间Delaunay三角剖分算法的理论和实践，为其在实际问题中的应用提供有力的支持和指导。
二、三维空间Delaunay三角剖分算法的基本原理Delaunay三角剖分算法是一种广泛应用于二维空间的数据处理算法，它的核心目标是将一组离散的二维点集剖分为一系列互不重叠的三角形，且这些三角形满足Delaunay性质。
简单来说，Delaunay 性质要求任何一个三角形的外接圆内部不包含该三角形之外的任何数据点。
初始化：为每个点分配一个初始的三角形。
这通常是通过连接每个点与它的两个最近邻点来完成的，形成一个初始的三角形网格。
合并三角形：接下来，算法会尝试合并相邻的三角形，以形成更大的三角形。
在合并过程中，算法会检查新形成的三角形是否满足Delaunay性质。
如果满足，则合并成功；如果不满足，则放弃合并，并标记这两个三角形为“已处理”。
delaunay-三角剖分算法
一、概述Delaunay 三角剖分算法是计算机图形学领域中常用的一种算法，它可以将给定的点集进行高效的三角剖分，用于构建网格、进行地理信息系统分析、建立三维模型等应用。
本文将对该算法的原理、实现和应用进行介绍。
二、算法原理1. 待剖分点集在进行Delaunay三角剖分之前，需要准备一个点集，这个点集是待剖分的对象。
点集的数量取决于具体的应用，可以是二维平面上的点，也可以是三维空间中的点。
2. Delaunay 三角形在进行三角剖分时，Delaunay 三角形是一种特殊的三角形，满足以下性质：a. 任意一个点要么位于Delaunay 三角形的外接圆内部，要么位于外接圆的边上；b. 任意两个Delaunay 三角形之间的外接圆不相交。
3. Delaunay 三角剖分Delaunay 三角剖分是将给定点集进行三角剖分的过程，它的目标是构建满足Delaunay 三角形性质的三角形集合。
三、算法实现1. 基于增量法的实现增量法是Delaunay 三角剖分的一种经典算法，它的基本思想是逐步增加点，并根据Delaunay 三角形的性质进行调整。
具体步骤如下： a. 初始化：选择一个超级三角形包含所有点集，作为初始三角剖分；b. 顺序插入点：逐个将待剖分点插入到当前三角剖分中，并进行调整；c. 边界检测：检测新增的边界是否需要进行修正；d. 优化处理：对新增点周围的三角形进行优化调整。
2. 时间复杂度分析增量法的时间复杂度主要取决于点集的数量和点的分布情况，一般情况下，其时间复杂度可以达到O(nlogn)。
四、算法应用1. 图形渲染在计算机图形学中，Delaunay三角剖分常用于构建网格、进行三维渲染等。
它可以有效地分割空间，使得渲染效果更加真实。
2. 地理信息系统地理信息系统中常常需要对地理数据进行空间分析，Delaunay三角剖分可以帮助构建地理网格，进行地形分析、资源评估等。
3. 三维建模在三维建模领域，Delaunay三角剖分可以用于构建复杂的三维模型，并支持模型的分析、编辑等功能。
C# Delaunay三角剖分
Delaunay三角剖分在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分。
首先，我们来了解一下Delaunay边。
Delaunay边的定义为：假设E中的一条边e（其端点为a,b），若e满足条件：存在一个圆经过a,b两点，圆内不含点集中任何其他的点，这一特性又称空圆特性，则称之为Delaunay边：Delaunay三角剖分的定义为：如果点集的一个三角剖分只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。
要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合下面两个重要的准则：1）空圆特性：Delaunay三角网是唯一的，在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在；2）最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。
从这个意义上讲，Delaunay 三角网是“最接近于规则化的”的三角网。
具体来说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角不再增大。
经典的Delaunay剖分算法主要有两类[1]：1）增量算法：又称为Delaunay空洞算法或加点法，其思路为从一个三角形开始，每次增加一个点，保证每一步得到的当前三角形是局部优化的三角形。
2）局部变换法：又称为换边或换面法，其思路为构造非优化的三角网，然后对两个共边三角形形成的凸四边形迭代换边优化。
迄今为止关于Delaunay剖分已经出现了很多算法，主要有分治算法、逐步插入法、三角网生长法等。
其中三角网生长算法由于效率较低,目前较少采用; 分治算法最为高效,但算法相对比较复杂;逐点插入法实现简单,但它的时间复杂度差[2]。
特别是近些年，随着计算机水平的不断提升，又出现了各种各样的改进算法。
本节将主要根据逐步插入法的原理，通过对给予的数据高程点进行Delaunay三角剖分。
其基本步骤为：1）获取点集坐标数组；2）获取点集外围边界；3）根据边界及内部点生成三角网。
三角剖分法
三角剖分法什么是三角剖分法？在计算几何学和计算机图形学中，三角剖分法是一种将给定的几何形状划分为一系列互不重叠的三角形的方法。
它可以用来处理不规则的几何形状，并被广泛应用于许多领域，如计算机辅助设计、计算流体力学和计算机图形学等。
三角剖分法通过连接给定几何形状的顶点来生成三角形。
这些连接线被称为三角形网格或剖分网格。
生成的三角形网格可以被用于计算形状的性质，比如表面积、体积和法向量等。
它也可以用于模拟物理过程，比如弹性形变和流体流动等。
为什么需要三角剖分法？在许多应用中，我们需要对复杂的几何形状进行计算或模拟。
例如，在计算机辅助设计中，我们需要对建筑物或机械零件进行分析和优化。
在计算流体力学中，我们需要模拟流体在复杂几何形状中的运动。
在计算机图形学中，我们需要渲染和变形复杂的三维模型。
然而，处理复杂的几何形状是一项困难的任务。
直接对不规则形状进行计算或模拟往往效率低下且难以实现。
这就引入了三角剖分法。
通过将复杂的几何形状划分为简单的三角形，我们可以更容易地进行计算和模拟。
三角剖分法具有以下优点：1.简化计算和模拟：通过将几何形状划分为三角形，我们可以将复杂的问题简化为简单的计算。
2.提高效率：对三角形进行计算比对复杂的几何形状进行计算更快更容易。
3.易于处理：三角形是计算机图形学中最基本的图元之一，因此我们可以使用现有的工具和算法来处理三角形网格。
4.适应不规则形状：三角剖分法可以处理各种不规则的几何形状，包括凸形状、凹形状和复杂的边界。
三角剖分法的应用三角剖分法在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：计算流体力学三角剖分法在计算流体力学中扮演着重要的角色。
它被用来模拟流体在复杂几何形状中的运动。
通过将流体域划分为三角形网格，我们可以更好地描述流体的运动和物理性质。
这对于设计飞机、汽车和建筑物等应用非常重要。
计算机辅助设计在计算机辅助设计中，三角剖分法被广泛用于对建筑物和机械零件进行分析和优化。
2三角剖分算法介绍
2三角剖分算法介绍三角剖分算法是计算机图形学中的一个重要算法，用于将给定的无序点云数据集划分为一组连续的三角形，以便进行后续处理，如三维建模、地理信息系统、有限元分析等。
在本文中，将详细介绍两种常用的三角剖分算法：Delaunay三角剖分和Ear Clipping算法，并分析它们的基本原理、优点和缺点。
1. Delaunay三角剖分算法Delaunay三角剖分是一种基于平衡和无重叠的三角形网络的方法。
它的基本原理是：对于给定的无序点云集合，通过连接点与点之间的连线，并满足以下两个条件来构建三角形网络：a.在点集内部不应存在任何其他的点；b.点集内的每个三角形的外接圆不包含其他点。
Delaunay三角剖分算法的步骤如下：1)初始化：首先在点集的边界上构建一个超级三角形，其包含所有的点集。
2) 构建等价类：将点集按照关系进行划分，即将满足Delaunay条件的点形成一个等价类。
3)过滤旧三角形：将超级三角形中的交叉三角形逐步过滤掉，得到原始点云的三角剖分。
4) 不断优化：通过插入和交换点的方式，对三角形进行不断地优化，使其满足Delaunay条件。
5) 结束条件：当不存在需要优化的三角形时，算法结束，得到最终的Delaunay三角剖分。
Delaunay三角剖分算法的优点：a. 满足Delaunay条件，保证了三角形的几何和拓扑质量；b. 具有唯一性，即对于同一点集，其构建的Delaunay三角剖分是唯一的；c.可扩展性强，对于大规模的点云数据集也能进行高效处理。
Delaunay三角剖分算法的缺点：a.随着数据量的增加，计算复杂度增加，耗费时间较长；b.难以处理边界问题，对于非凸点集和带洞点集处理不够灵活。
2. Ear Clipping算法Ear Clipping算法是一种简单且高效的三角剖分算法，它的基本原理是通过不断地剪掉耳朵（即凸耳）来完成三角剖分。
该算法的步骤如下：1)初始化：选择一个点作为起点，构建一个三角形；2)找到耳朵：从剩余的点中寻找凸耳，并将其剪掉，生成一个新的三角形；3)不断剪耳：重复步骤2，直到所有点都被剪掉。
图形算法-Delaunay三角剖分算法
[图形算法]Delaunay三角剖分算法1. 三角剖分与Delaunay剖分的定义如何把一个散点集合剖分成不均匀的三角形网格，这就是散点集的三角剖分问题，散点集的三角剖分，对数值分析以及图形学来说，都是极为重要的一项预处理技术。
该问题图示如下：1.1.三角剖分定义【定义】三角剖分：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。
那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件：1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。
2.没有相交边。
3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散点集V的凸包。
1.2. Delaunay三角剖分的定义在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一种特殊的三角剖分。
先从Delaunay边说起：【定义】Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其他的点，这一特性又称空圆特性。
【定义】Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。
1.3.Delaunay三角剖分的准则要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则：1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。
如下图所示：2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。
从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。
具体的说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角不再增大。
如下图所示：1.4.Delaunay三角剖分的特性以下是Delaunay剖分所具备的优异特性：1.最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段(三角形的边)皆不相交。
ue5 三角形剖分算法
ue5 三角形剖分算法UE5是一款由Epic Games开发的游戏引擎，它提供了丰富的工具和功能，帮助开发者创作出逼真而富有创意的游戏世界。
其中一个重要的功能是三角形剖分算法，它能够将复杂的几何形状分割成由三角形组成的网格，为游戏的渲染和碰撞检测等模块提供基础支持。
三角形剖分算法是计算机图形学中一项重要的技术，它在许多应用中起着至关重要的作用。
在游戏开发中，我们需要将复杂的几何形状进行剖分，以便进行光照计算、阴影投射、碰撞检测等操作。
UE5提供了多种三角形剖分算法，以满足不同应用场景的需求。
首先，我们来介绍最常用的Delaunay三角剖分算法。
Delaunay三角剖分算法是一种基于点集的剖分方法，它的最终结果是一个无重复边且没有任何点位于三角形的外接圆内的三角网格。
在UE5中，我们可以通过调用相应的函数来进行Delaunay三角剖分，输入是一组点的坐标，输出是一个网格。
这个网格可以被用于渲染几何模型或进行碰撞检测。
除了Delaunay三角剖分算法，UE5还提供了其他一些高级的三角形剖分算法。
例如，我们可以使用Voronoi三角剖分算法来生成泰森多边形，这是一种将平面分割为由点及其最近邻点组成的多边形的方法。
泰森多边形在游戏开发中常用于创建地形、自动道路生成以及区域分割等应用。
此外，UE5还实现了一种名为Ear Clipping的三角剖分算法。
Ear Clipping算法是一种简单而高效的方法，用于对简单多边形进行剖分。
在UE5中，我们可以通过调用相应的函数来对游戏场景中的多边形进行Ear Clipping剖分，从而生成三角形网格。
在实际的游戏开发过程中，三角形剖分算法在模型导入、地形生成、物理模拟等方面都起着重要的作用。
通过合理选择和应用合适的三角形剖分算法，我们可以提高游戏的效率和表现，为玩家带来更好的游戏体验。
总而言之，UE5中的三角形剖分算法是游戏开发中不可或缺的重要技术。
无论是Delaunay三角剖分、Voronoi三角剖分还是Ear Clipping剖分，都为开发者提供了强大的工具和功能，帮助我们创建出精美而细致的游戏世界。
matlab delaunay算法提取离散点边界的方法
matlab delaunay算法提取离散点边界的方法MATLAB Delaunay算法提取离散点边界的方法在现代科学和工程领域，我们经常会遇到需要处理离散点数据的情况。
地理信息系统、医学图像处理、地震学和遥感技术等领域都需要对离散点数据进行分析和处理。
而其中一个常见的问题就是如何从离散点数据中提取边界。
在MATLAB中，我们可以使用Delaunay算法来解决这个问题。
下面，我将深入探讨MATLAB中使用Delaunay算法提取离散点边界的方法并共享我的个人观点和理解。
1. Delaunay算法简介Delaunay三角剖分是一种将离散点集合转换为三角形网格的方法，它具有许多重要的性质，其中之一就是能够有效地提取离散点的边界。
在MATLAB中，我们可以使用`delaunay`函数来进行Delaunay三角剖分，该函数返回离散点的连接信息，也就是三角形的顶点索引。
接下来，我们可以根据这些连接信息来提取边界。
2. 提取离散点边界的方法在MATLAB中，我们可以通过以下步骤来提取离散点数据的边界：2.1 构建Delaunay三角形我们使用`delaunay`函数对离散点数据进行三角剖分，得到三角形的连接信息。
2.2 寻找边界三角形接下来，我们需要寻找属于边界的三角形。
一种简单的方法是遍历所有三角形，对每个三角形的边界进行检查，如果有边是不被其他三角形共享的，则将该三角形标记为边界三角形。
2.3 提取边界我们可以根据边界三角形的连接信息，提取离散点数据的边界。
这可以通过简单地将边界三角形的顶点连接起来来实现。
3. 我对提取离散点边界的方法的理解从我个人的角度来看，MATLAB中使用Delaunay算法提取离散点边界的方法具有一定的优势。
Delaunay三角剖分可以很好地保持三角形的形状，因此提取的边界也比较准确。
MATLAB提供了丰富的函数和工具，使得实现这一方法变得相对简单。
不过，需要注意的是，这种方法可能对于特定形状和分布的离散点数据并不适用，因此在实际应用中需要谨慎选择。
delaunay的最短路径dijkstra代码
delaunay的最短路径dijkstra代码Delaunay三角剖分是一种将点集分割成不相交的三角形的方法。
在这种分割中，三角形的外接圆内不含其他任何点。
在实际应用中，Delaunay三角剖分在计算机图形学、地理信息系统、分子建模等领域都有广泛的应用。
Dijkstra算法是一种用于求解加权有向图中单源最短路径的算法。
它的核心思想是通过不断地“松弛”边来逐步扩展到目标点的最短路径。
在Delaunay三角剖分中，我们可以将三角形看作节点，将相邻的三角形之间的边看作边，然后使用Dijkstra算法来求解从起点到终点的最短路径。
下面我们来具体介绍一下如何编写Delaunay的最短路径Dijkstra代码。
第一步，将Delaunay三角剖分转化为图。
构造一个空的加权有向图G，将每个三角形看作一个节点v，并为每对相邻的三角形u和v连接一条边e。
边权值为整数，表示两个三角形的外接圆心距离的平方。
如果两个三角形没有公共边，则它们之间没有边。
第二步，使用Dijkstra算法求解最短路径。
创建一个辅助数组dist，表示每个节点到起点的最短路径长度。
初始化dist数组，将起点的dist值设为0，其余节点的dist值设为正无穷大。
创建一个优先队列Q，将所有节点加入队列，按照dist值从小到大排列。
如果Q不为空，取出dist值最小的节点u。
遍历节点u的所有邻居v，如果通过u到达v的路径比当前最短路径更短，则更新v的dist值，并将v在队列中的位置调整为新的dist值。
重复这个过程，直到目标节点的dist值被更新或者队列为空。
第三步，根据dist数组反向生成路径。
从目标节点开始，沿着dist值逐步减小的方向向起点回溯。
每次选择一条dist值最小的边，直到回溯到起点。
需要注意的是，在实现Delaunay的最短路径Dijkstra代码时，对于相邻的三角形之间的边，需要判断它们是否共享一条公共边。
如果共享，则它们之间的距离为0，不需要计算边权值。
自相交多边形的三角剖分-概述说明以及解释
自相交多边形的三角剖分-概述说明以及解释1.引言1.1 概述【概述】自相交多边形是指一个多边形内部的边与其他边相交或重叠的特殊情况。
与传统的凸多边形或凹多边形相比，自相交多边形具有更复杂的拓扑结构和几何特征。
在计算机图形学、计算几何和计算机辅助设计等领域，对于自相交多边形的处理一直是一个重要而具有挑战性的问题。
本文旨在探讨自相交多边形的三角剖分方法，即将自相交多边形分解为一系列三角形，以便于后续的计算和应用。
三角剖分是将一个多边形或多维几何体划分为若干个互不相交的三角形或四面体的过程，广泛应用于计算机图形学、有限元分析、三维建模等领域。
本文将首先介绍自相交多边形的定义及其与传统多边形的区别。
然后，我们将详细探讨三角剖分的概念及其在几何计算中的重要性。
接下来，我们会讨论自相交多边形的三角剖分方法，并对不同的算法进行比较和分析。
最后，我们将总结自相交多边形的三角剖分在实际应用中的意义，并展望未来的研究方向。
通过本文的阅读，读者将对自相交多边形的三角剖分有一个全面的了解，并能够应用相关算法解决类似问题。
本文的研究对于计算机图形学、计算几何和计算机辅助设计等领域的研究人员和从业者具有一定的参考价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，首先对文章的主题进行了概述，介绍了自相交多边形的三角剖分的主要内容。
然后，对整篇文章的结构进行了说明，明确了各个章节的主题和内容。
最后，介绍了本文的目的，即为了讨论自相交多边形的三角剖分的重要性和相关方法。
正文部分将详细介绍自相交多边形的定义以及三角剖分的概念。
首先，会给出自相交多边形的准确定义，并解释该定义的意义和应用。
然后，会介绍三角剖分的基本概念，包括如何将自相交多边形划分为一组不相交的三角形，以及如何选择合适的三角形进行剖分。
在结论部分，将强调自相交多边形的三角剖分的重要性，指出该方法对于解决自相交多边形相关问题的有效性和实用性。
python中scipy库delaunay的simplices用法
python中scipy库delaunay的simplices用法Python中的SciPy库提供了许多用于科学计算和数据分析的功能，其中包括Delaunay三角剖分算法的实现。
在SciPy库中，Delaunay对象的simplices属性提供了三角剖分的结果，即每个三角形的顶点索引。
本文将介绍如何在Python中使用SciPy库中的Delaunay对象以及如何利用simplices属性来获取三角剖分的信息。
首先，我们需要导入SciPy库和相关模块：```pythonimport numpy as npfrom scipy.spatial import Delaunay```接下来，我们需要创建一组二维点坐标作为输入数据：```pythonpoints = np.array([[0, 0], [1, 0], [0, 1], [1, 1]])```然后，我们可以使用Delaunay对象对这组点进行三角剖分：```pythontri = Delaunay(points)```现在，我们可以通过simplices属性获取三角剖分的结果：```pythonprint(tri.simplices)```simplices属性返回一个二维数组，其中每一行表示一个三角形，每个元素表示一个点的索引。
例如，如果我们有四个点进行三角剖分，那么simplices的输出可能如下所示：```[[0 2 1][1 2 3]]```这表示了两个三角形，第一个三角形的顶点索引为0、2和1，第二个三角形的顶点索引为1、2和3。
通过使用Delaunay对象的simplices属性，我们可以轻松地获取三角剖分的结果，并进一步分析和处理这些结果。
在实际应用中，Delaunay三角剖分算法常用于网格生成、形状识别、插值等领域，对于处理空间数据具有重要的作用。
总之，Python中SciPy库的Delaunay对象的simplices属性提供了方便的接口来获取三角剖分的结果，为科学计算和数据分析提供了强大的支持。
alpha_shape算法原理文献
Alpha_shape算法原理简介一、概述1.1 算法概述Alpha_shape算法是一种用于处理多维点云数据的几何算法，它可以用来构建点云的凸壳或非凸壳，并且在三维空间中可以用来构建曲面。
1.2 发展历史Alpha_shape算法最早由Edelsbrunner等人于1983年提出，最初被应用于计算凸多面体的体积和表面积。
随后，在几何建模、CAD、地理信息系统等领域得到了广泛的应用。
二、算法原理2.1 Delaunay三角剖分在介绍Alpha_shape算法之前，我们需要了解一下Delaunay三角剖分。
Delaunay三角剖分是对给定的点云进行连接构成的三角形网络，满足以下性质：任意一个三角形的外接圆内不包含其他点。
Delaunay三角剖分的性质决定了其在构建Alpha_shape时的重要性。
2.2 Alpha_shape构建Alpha_shape通过调整参数alpha，从而构建不同形状的凸壳。
当alpha为正无穷时，得到的凸壳即为点云的凸包；当alpha为负无穷时，得到的凸壳即为点云的凸壳。
通过不同的alpha值，可以得到点云的不同形状的凸壳。
2.3 四面体化Alpha_shape算法还涉及到四面体化的概念，其作用是构建点云的三维曲面。
四面体化的目标是找到一组四面体，这些四面体的外接球没有包含点云中的其他点，从而形成点云的几何模型。
三、算法实现3.1 使用现有库实现目前，Alpha_shape算法已经有很多成熟的开源库可以进行实现，如CGAL库、Open3D库等。
通过这些库，可以很方便地实现Alpha_shape算法，从而应用于实际的点云数据处理中。
3.2 自行实现如果需要根据具体业务需求对Alpha_shape进行定制化，也可以选择自行实现该算法。
通常采用C++、Python等语言进行实现，并且需要对Delaunay三角剖分、四面体化等基础算法有一定的了解。
四、应用领域4.1 地理信息系统在地理信息系统中，Alpha_shape算法被广泛用于地形分析、地下水模拟等领域，用来构建地理空间数据的三维曲面模型。
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public Tin(Point_T p1, Point_T p2, Point_T p3) { pthree[0] = p1; pthree[1] = p2; pthree[2] = p3; lthree[0] = new Line_T(p1, p2); lthree[1] = new Line_T(p2, p3); lthree[2] = new Line_T(p3, p1); } }
envpts.Add(pts[0]); envpts.Add(pts[pts.Count - 1]); othpts.Remove(pts[0]); othpts.Remove(pts[pts.Count-1]); pts.Sort(comxandy); if(!envpts.Contains(pts[0])) { envpts.Insert(1, pts[0]); } if (!envpts.Contains(pts[pts.Count - 1])) { envpts.Add(pts[pts.Count - 1]); } othpts.Remove(pts[0]); othpts.Remove(pts[pts.Count-1]); //构建以x-y，x+y最大最小值组成的初始矩形框 int i = 0; int tag = 0; bool over = true; while(i<envpts.Count) { Line_T cline; if (i==envpts.Count-1) { cline = new Line_T(envpts[i], envpts[0]); } else { cline = new Line_T(envpts[i], envpts[i + 1]); } double dismax=0; for (int j = 0; j < othpts.Count ;j++ ) { if (IsLeftPoint(othpts[j], cline)) { double distance = PointToLine(othpts[j], cline); if (distance > dismax) { dismax = distance; tag = j;
List<Tin> deltins = new List<Tin>(); List<Point_T> envpts = EnvelopeTin(pts);//构建凸包 //for (int i = 0; i < envpts.Count - 1; i++) //{ // //} //gra.DrawLine(Pens.Black, new Point((int)envpts[0].X, (int)envpts[0].Y), new Point((int)envpts[envpts.Count - 1].X, (int)envpts[envpts.Count - 1].Y)); List<Point_T> dispts = new List<Point_T>();//非凸包上的离散点 foreach (Point_T pt in pts) { if (!envpts.Contains(pt)) { dispts.Add(pt); } } List<Tin> envtins = EnvelopeDivision(envpts);//凸包剖分 //foreach (Tin tin in envtins) //{ // // // // // // // //} deltins = TinInsert(envtins, dispts);//离散点内插 return deltins; } } gra.DrawPolygon(Pens.Blue, ctin); Point[] ctin = new Point[3]; for (int i = 0; i < 3; i++) { cp = new Point((int)tin.Pthree[i].X, (int)tin.Pthree[i].Y); ctin[i] = cp; gra.DrawLine(Pens.Black, new Point((int)envpts[i].X, (int)envpts[i].Y), new Point((int)envpts[i + 1].X, (int)envpts[i + 1].Y));
Delauney 三角网剖分
算法原理：分为三步： 一、 凸包生成： 1） 求出如下四点： min(x-y)、 min(x+y)、 max(x-y)、 max(x+y)并顺次放入一个数组，组成初始凸包；2）对于凸包上的 点 I，设它的后续点为 J，计算矢量线段 IJ 右侧的所有点到 IJ 的距 离，求出距离最大的点 K；3）将 K 插入 I,J 之间，并将 K 赋给 J； 4）重复 2，3 步，直到点集中没有在 IJ 右侧的点为止；5）将 J 赋 给 I，J 取其后续点，重复 2，3，4 步，当遍历了一次凸包后，凸 包生成完成。 二、环切边界法凸包三角剖分：在凸包数组中，每次寻找一 个由相邻两条凸包边组成的三角形，在该三角形的内部和边界上 都不包含凸包上的任何其他点，然后去掉该点得到新的凸包链表， 重复这个过程，最终对凸包数组中的点进行三角剖分成功。 三、离散的内插：1）建立三角形的外接圆，找出外接圆包含 待插入点的所有三角形，构成插入区域；2）删除插入区域内的三 角形公共边，形成由影响三角形顶点构成的多边形；3）将插入点 与多边形所有顶点相连，构成新的 Delaunay 三角形；4）重复 1， 2，3，直到所有非凸包上的离散点都插入完为止。 功能实现流程： 并且在工具栏 1. 在绘图菜单栏下添加一个子菜单项为 Delauney， 上添加一个工具项。 设置 text 为 Delaunay 三角剖分， name 为 delaunay
等属性，添加单击事件，并为单击事件代码 2.为事件函数添加如下代码
Graphics gra = panel1.CreateGraphics(); List<Point_T> pts = new List<Point_T>(); foreach (Geometry_T geo in choosegeos.Geofeatures) { if (geo.GetType() == typeof(Point_T)) { Point_T pt = (Point_T)geo; pts.Add(pt); } } List<Tin> deltins = DelauneyTin(pts);//根据多点构建delauney三角网 foreach (Tin tin in deltins) { Point[] ctin = new Point[3]; for (int i = 0; i < 3; i++) { cp = new Point((int)tin.Pthree[i].X, (int)tin.Pthree[i].Y); ctin[i] = cp; } gra.DrawPolygon(Pens.Red, ctin); }
4.圆的数据结构
public class Circle_T:Geometry_T { private Point_T cpt; public Point_T Cpt { get { return cpt; } set { cpt = value; } } double radius; public double Radius { get { return radius; } set { radius = value; } } public Circle_T() { } public Circle_T(Point_T pt, double r) { cpt = pt; radius = r; } }
5.实现 Delaunay 三角剖分算法 1）
public List<Tin> DelauneyTin(List<Point_T> pts)//根据多点构建delauney三角网；
分三步：构建凸包；凸包剖分；离散点内插 { Graphics gra = panel1.CreateGraphics();
} if ((angle - 60) < minangle) { minangle = angle - 60; tag = i; } } int btag=tag-1; int atag=tag+1; if (tag == 0) { btag = cpts.Count - 1; } else if (tag == cpts.Count - 1) { atag = 0; } Tin ctin = new Tin(cpts[btag], cpts[tag], cpts[atag]); envtins.Add(ctin); cpts.RemoveAt(tag); } return envtins; } public List<Tin> TinInsert(List<Tin> tins, List<Point_T> pts)//离散点内插 { List<Tin> deltins = new List<Tin>(); List<Tin> ctins = new List<Tin>();//临时凸包 foreach (Tin tin in tins) { ctins.Add(tin); } foreach (Point_T pt in pts)//对离散点遍历，内插 { List<Point_T> cpts = new List<Point_T>();//临时点集 foreach (Tin tin in ctins)//找到外接圆包含离散点的三角形 { Circle_T ccir = DelauneyCicle(tin);//构造外接圆 if (IsPointInCircle(pt, ccir))//点是否包含在圆内 { //for (int i = 0; i < 3; i++) //{ // if (!cpts.Contains(tin.Pthree[i]))