北京市西城区(普通校)2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
北京市西城区2014届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ）6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．（A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示， 那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.侧(左)视图16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.甲组 乙组 891a822 F BCEAHD19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……………… 4分所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- (8)分1sin 222x x =+ πsin(2)3x =+， (10)分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． (12)分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (5)分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能． (6)分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A==． (7)分（Ⅲ）解：当2a=时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，..................9分则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0,1,2,3,4. (10)分因此2(0)9P X==，2(1)9P X==，1(2)3P X==，1(3)9P X==，1(4)9P X==. (11)分所以随机变量X的分布列为： (12)分所以X的数学期望221115()01234993993E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (13)分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC BD⊥. (1)分因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，所以ED⊥平面ABCD， (2)分又因为AC⊂平面ABCD，所以ED AC⊥. (3)分因为 EDBD D =，所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分（Ⅱ）解：设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点， 所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ， 由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，BF =所以 (0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F ，C ，13()222H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF 的法向量AC =. …………7分 设直线DH 与平面BDEF 所成角为α， 由 33()22DH =， 得 32sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⨯⋅=<>===所以直线DH 与平面BDEF . ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13(,)222BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n (10)分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则1cos ,2ED ED ED⋅<>===-n n n . (13)分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分当0x ≠时，方程可化简为ex ax -=. 设函数()e x a F x x -=-，则()e 1x a F x -'=-， 令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=， 由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. (8)分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. ……………… 9分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =- (10)分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-， 所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==，所以5OD ≥，当且仅当点42(,)55D --时等号成立． (13)分由3125y k k =-=-，得15k =，验证知符合题意.所以当k =OD有最小值. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. .................. 1分 所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. (2)分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ (3)分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ……………… 8分（Ⅲ）证明：（充分性）因为1a N *Î，q N *Î，所以11n n a a q N -*=?，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立. 因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. 由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， (10)分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a qr++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾. 所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分高考资源网版权所有！投稿可联系QQ ：1084591801。
北京市西城区2014 — 2015学年高三(文)第一学期期末试卷
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B = （ ） （A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-【答案】B 【解析】“0x ∀>”的否定为“0x ∃>”，“2log 2x x >”的否定为“2log 2x x ≤” 所以，p ⌝为：2log 0,2x x x ∃>≤ 故答案为：B 【考点】全称量词与存在性量词 【难度】 13．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A 为锐角，2a b =，sin B =，则（ ）【答案】B 【解析】{}01B x x x =<>或，所以{}1,2A B =-故答案为：B 【考点】 集合的运算 【难度】 12．设命题p ：2log 0,2x x x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2x x x ∀>< （B ）2log 0,2x x x ∃>≤ （C ）2log 0,2x x x ∃>< （D ）2log 0,2x x x ∃>≥（A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin 3A =（D ）2sin 3A =【答案】A 【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin 2sin A aB b==，所以sin A =。
因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=故答案为：A【考点】 正弦定理 【难度】 14．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】C【解析】3x =时，328y ==，833<； 4x =时，4216y ==，1643<； 5x =时，5232y ==，3253<；6x =时，6264y ==，6463>，输出6x =。
北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编——幂指对
2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——幂指对（2015年1月·西城期末·2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．12（2015年1月·延庆期末·7．函数()log 21a y x =++的图像过定点 A ． ()2,1- B ．()2,1 C ． ()1,1-D ．)1,1(（2015年1月·东城期末·13. 求值：⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．278（2015年1月·顺义期末·10．函数y =_____[1,)+∞_______ .（2015年1月·顺义期末·9．函数()f x =的定义域为 (]0,3 .（2015年1月·顺义期末·11．2lg 2lg 25+的值等于 2 .（2015年1月·石景山期末·2.下列算式正确的是 ( )A ．222log (3)log 3log ππ=+B 2==-C ．lg 62lg3= D ． 3322555-==（2015年1月·石景山期末·13. 若函数()f x 的图象与2x y =的图象关于___y 轴_____对称，则函数()f x =__2x -__.（注：填上你认为正确的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）（2015年1月·昌平期末·3）已知函数2()log f x x =，当[1,4]x ∈时，函数()f x 的值域是（A ）[0,1] （B ）[0,2] （C ）[1,2] （D ）[1,4] （2015年1月·昌平期末·9）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23x f x x k =-+（k 为常数），则(1)f -= （A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）1-（2015年1月·昌平期末·10）设正数a ，b 满足23log log a b =，则下列结论中，不可能．．．成立的是（A ）1a b << （B ）01b a <<< （C ）a b = （D ）1b a << （2015年1月·昌平期末·11）函数()f x x α=的图象过点(2,4)，则(1)f -=_____ . 1（2015年1月·石景山期末·14. 三个变量123,,y y y 随x 的变化情况如下表：三个变量123,,y y y 中，变量___3y ____随x 呈对数函数型变化，变量__2y _____随x 呈指数函数型变化，变量___1y ____随x 呈幂函数变化.（2015年1月·丰台期末·9.已知变量y 随变量x 变化的数据如下表：则能基本反映这一变化规律的函数模型是（ ） A ． x y 2=B ．2x y =C ．x y 2log =D ．137.0--=x y（2015年1月·延庆期末·13．不等式212>x的解集为____ ___.),1(+∞-（2015年1月·密云期末·6. 函数log =a y x （0>a 且1≠a ）的图象经过点)1,2(-，函数=xy b （0>b 且1≠b ）的图象经过点)2,1(，则下列关系式中正确的是 A ． 22b a >B ． ba 22>C ． b a )21()21(> D ． 2121b a >（2015年1月·顺义期末·11．已知 4.10.9m =，0.94.1n =，0.9log 4.1p =，则这三个数从小到大用“<”连接的顺序是p m n <<_______________ .（2015年1月·昌平期末·4）设 2.50 2.51(),(2.5),22a b c ===，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）b c a >> （2015年1月·东城期末·6.设2log πa =，12log πb =，2πc -=，则A ．a b c >> B. b a c >> C. a c b >>D. c b a >>（2015年1月·房山期末·6）设3log 2a =，0.3eb =，8cos7c π=，则（A ）b a c << （B ）b c a << （C ）c a b <<（D ）c b a <<（2015年1月·丰台期末·6．已知3π=m ，3log π=n ，πtan =p ，则这三个数的大小关系是（ ）A ．p n m >>B ．m p n >>C ． n m p >>D ．n m p >>（2015年1月·海淀期末·7．设10.52,e ,0.5a b c -===，其中e 2.71828≈，则,,a b c 的大小顺序为 DA.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.b c a >>（2015年1月·延庆期末·17．已知3.0222,3.0log ,3.0===c b a ，则c b a ,,大小关系是_____ __. b a c >>（2015年1月·昌平期末·7）定义运算,,,,a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩则函数()12xf x =⊕的图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（2015年1月·海淀期末·9.已知函数()f x ax b =+的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象 可能是 BA. B. C. D.（2015年1月·海淀期末·12.右图中有五个函数的图象，依据图象用“<”表示出以下五个量,,,,1a b c d 的大小关系，正确的是 CA. 1a c b d <<<<B. 1a d c b <<<<2xxC. 1a c b d <<<<D. 1a c d b <<<<（2015年1月·东城期末·5. 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )A B C D（2015年1月·房山期末·14）已知()f x =ln , 0,2,0,x x x x >⎧⎨+⎩≤ 若0()0f x =，则0x =__________．2-或1（2015年1月·西城期末·3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．2-，1；（2015年1月·房山期末·15）如果函数()f x 的定义域为R ，(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(3)lg3lg 2f =-， (2)lg3lg5f =+，则(1)f（2015年1月·丰台期末·10．已知函数22(),1()3(1),1xx x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩，则()f x 在区间(,2015)-∞内的零点个数为（ ） A ．2015B ．2016C ．2017D ．无数个（2015年1月·密云期末·12. 已知函数21,(01),()2,(10),x x x f x x ⎧+<≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩且5()4f m =，则m 的值为 . 12（2015年1月·顺义期末·14.定义在R 上的函数()f x 满足2,(0()(1)(2),(0)x x f x f x f x x ⎧≤=⎨--->⎩.则(2015)________.f = 12（2015年1月·顺义期末·5.函数131()3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点一定位于下列的哪个区间A. (-1,0)B. (0,1)C. (1, 2)D. (2, 3)（2015年1月·延庆期末·12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，若实数a 满足)1(2)(log )(log 212f a f a f ≤+，则a 的取值范围是A ．]221[ B ． ]2,1[ C ． )21,0(D ．]2,0(（2015年1月·石景山期末·10．设函数()log (2)a f x x a =-+在区间(1,)+∞上恒为正值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)(1,2)⋃D ． 5(1,)2（2015年1月·延庆期末·19．（本题8分）求下列各式的植：（Ⅰ）0323321)12(])2[(2)41(-+-⨯+-；（Ⅱ）2lg 31025lg 4lg 27log +++ . 解：解：（Ⅰ）原式148121+⨯+=2=. ………………………………4分 （Ⅱ）原式2100lg 3log 33++=7223=++=. …………………8分（2015年1月·密云期末·15. （本小题满分13分） 已知函数2()1+log 1=--（）f x x . （I ）求函数()f x 的定义域；（II ）求(5)f 的值； （III ）求函数()f x 的零点.解：（I ）由题：10x ->, ----------------2分1.x ∴>∴函数()f x 的定义域{}1x x >. ----------------4分（II ）2(5)1log (51)121f =-+-=-+= ----------------8分 （III ）令2()1+log 1=--（）=0f x x ， 2log (1) 1.x ∴-=1 2.x ∴-=3.x ∴=∴函数()f x 的零点为3. ----------------13分（2015年1月·西城期末·7．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>． （Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】 证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则 212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->， 解得32log ()2ax b>-. 【 8分】② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xab-<， 解得32log ()2ax b<-.【10分】（2015年1月·东城期末·19．（本题满分9分）已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）证明:)(x f 是R 上的偶函数；（Ⅱ）判断)(x f 在(0,)+∞上的单调性，并证明. 19．（本题满分9分）解：（Ⅰ）因为函数)(x f 的定义域是R ，且()e e x x f x --=+=)(x f ， 所以)(x f 是偶函数. （Ⅱ）)(x f 在(0,)+∞上是单调递增函数. 设210x x <<，则112212()()()x x x x f x f x e e e e ---=+-+=1212(e -e )(1)x xx x e---.由210x x <<，得12e <e xx，所以12e -e0xx <.又由210x x <<得210x x --<，所以121x x e--<，所以1210x x e --->.所以，12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <.所以，)(x f 在(0,)+∞上是单调递增函数. （2015年1月·房山期末·21）（本小题满分12分）已知函数()log (21)x a f x =-（0a >，1a ≠）． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）当1a >时，判断函数()f x 的单调性,并用单调性的定义证明；（Ⅲ）若()1f x >，求x 的取值范围． 解：（Ⅰ）由()log (21)x a f x =-，要使函数有意义，则210x-> -----------------2分解得0x >. -----------------2分 ∴函数()f x 的定义域为(0,)+∞ -----------------1分 （Ⅱ）当1a >时，函数()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增 -----------------1分证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，设12x x <，则22112121log (21)log (21)log 21x x x a a a x y y y -∆=-=---=-210x x >>，21221x x ∴>>，即2121210x x->->.∴2121121x x->- 又1a >，所以2121log 021x a x->-，即0y ∆> -----------------2分 因此，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.（Ⅲ）由()log (21)1x a f x =->得 ()log (21)log x a a f x a =->当1a >时，得21xa ->，解得2log (1)x a >+ -----------------2分当01a <<时，得21xa -<，解得20log (1)x a <<+ -----------------2分 综上，当1a >时，x 的取值范围为2(log (1),)a ++∞，当01a <<时，x 的取值范围为2(0,log (1))a +.（2015年1月·丰台期末·17.（本小题满分8分） 已知对数函数()f x 图象经过点()3,8 （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若()1f x >,求x 的范围.解：（Ⅰ）设()x x f a log =（其中0>a 且1≠a ）因为函数()x f 图象经过点()3,8，有()38=f 即38log =a 得2=a所以此函数的解析式为()x x f 2l o g = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄４分（Ⅱ）由()1>x f 即2log 1log 22=>x ，解得2>x 所以x 的范围是()+∞,2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 （2015年1月·丰台期末·20. （本小题满分9分） 已知函数2()21x f x a =-+（Ⅰ）求出函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若()f x 是奇函数，求实数a 的值；（Ⅲ）设()(41)()(0)x g x f x x =-≥，且函数()g x 的最小值为21-，求实数a 的值. 解：（Ⅰ）()x f 的定义域为R ┄┄┄┄┄┄┄┄┄２分 （Ⅱ）因为()x f 是奇函数，则 ()()x f x f -=-即⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--122122xx a a 于是212221221221222=+++⨯=+++=-x x x x xa 得1=a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 （或由()x f 的定义域为R ，又()x f 是奇函数，则 ()()00f f -=得()00=f 于是01220=+-a 得1=a ，此时()()x f x f -=-满足条件，所以1=a ） （3）由()()()()2222142+-⨯-=-=a a x f x g xxx ()0≥x设()12≥=t t x ，令()222+--=a t at t h当0=a 时，()()122≥+-=t t t h ，无最小值，舍；当0<a 时，()2112+--⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a t a t h ，无最小值，舍；当0>a 时，()2112+--⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a t a t h若1≥a 即110≤<a，()t h 在[)+∞,1单调递增，()()01min ==h t h 不符合舍 若10≤<a 即11≥a ，()21211min -=+--=⎪⎭⎫⎝⎛=a a a h t h 即02522=+-a a 解得2=a （舍）或21=a 综上，a 值为21┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分。
北京市西城区2015_2016学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C【答案】C【知识点】倍角公式【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D【答案】D的值可以是（【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。
故答案为：A【答案】A【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为非零向量，夹角为，且，，所以，，，因为为非零向量，解得=故答案为：A【答案】A交点个数为（【试题解析】因为由图像可知共7个交点故答案为：C【答案】C【知识点】三角函数的图像与性质 【试题解析】因为当时，，当时单增所以，①②③均正确 故答案为：D 【答案】D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 【知识点】诱导公式 【试题解析】因为故答案为：【答案】12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB = a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）ABC【知识点】平面向量基本定理 【试题解析】因为故答案为：【答案】13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 【知识点】倍角公式 【试题解析】因为角终边上一点的坐标为，所以， 故答案为：【答案】14. 设向量(0,2),)a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】因为所以，的夹角等于。
北京市西城区2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题(普通校试题
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高一数学 2014.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．若sin 0<α，且cos 0>α，则角α是（ ） （A ）第一象限的角 （B ）第二象限的角 （C ）第三象限的角（D ）第四象限的角2．已知向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，那么122|+=|e e （ ）（A ）1（B （C ）2（D 3．若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan =α（ ）（A （B ） （C ）2- （D ）12-4．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB AC ⋅=（ ）（A （B ）1（C （D ）25．在平面直角坐标系xOy 中，函数2sin()6y x π=-的图象（ ） （A ）关于直线6x π=对称 （B ）关于直线6x π=-对称 （C ）关于点(,0)6π对称（D ）关于点(,0)6π-对称 6．已知非零向量,OA OB 不共线，且13BM BA =，则向量OM =（ ） （A ）1233OA OB +（B ）2133OA OB +（C ）1233OA OB -（D ）1433OA OB -7．已知函数1()cos 22f x x x =+，则()12f π=（ ）（A ）2（B ）2（C ）1（D 8．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（ ） （A ）120︒（B ）90︒（C ）60︒（D ）30︒9．已知函数()sin cos f x x x =ωω在区间[,]63ππ-上单调递增，则正数ω的最大值是（ ） （A ）32（B ）43（C ）34 （D ）2310．已知函数()cos(sin )f x x =，则下列结论中正确的是（ ） （A ）()f x 的定义域是[1,1]- （B ）()f x 的值域是[1,1]- （C ）()f x 是奇函数（D ）()f x 是周期为π的函数二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin()6π-=______.12. 若sin =α，且(0,)∈πα，则α=______. 13. 已知向量(1,3)=a ，(2,)k =-b ．若向量a 与b 共线，则实数k =_____. 14. 若tan 2=α，且32π∈(π,)α，则sin()2π+=α______. 15. 已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ．若π,3〈〉=a b ，则c o s ()-=αβ_____. 16. 定义在R 上的非常值函数()f x 同时满足下述两个条件：① 对于任意的x ∈R ，都有2()()3f x f x π+=； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()66f x f x ππ-=+.则其解析式可以是()f x =_____.（写出一个满足条件的解析式即可）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知3tan 4=-α. （Ⅰ）求πtan()4-α的值；（Ⅱ）求2sin 3cos 3sin 2cos --αααα的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 22cos2f x x x x =⋅． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若[,]84x ππ∈，求()f x 的最大值与最小值．19.（本小题满分12分）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1.,M N 分别是,BC DE 上的动点，且满足BM DN =.（Ⅰ）若,M N 分别是,BC DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （Ⅱ）求AM AN ⋅的取值范围.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合2{|430}A x x x =-+>，{|02}B x x =<≤，那么A B =_____.2. 已知2log 3a =，32b=，21log 3c =.将,,a b c 按从小到大排列为_____. 3. 若函数2()2f x x x =-在区间(,)a +∞上是增函数，则a 的取值范围是_____. 4. 函数12()|21|xf x x =--的零点个数为_____.5. 给定数集A .若对于任意,a b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合.给出如下四个结论：① 集合{4,2,0,2,4}A =--为闭集合； ② 集合{|3,}A n n k k ==∈Z 为闭集合； ③ 若集合12,A A 为闭集合，则12AA 为闭集合；④ 若集合12,A A 为闭集合，且1A R Ø，2A R Ø，则存在c ∈R ，使得12()c A A ∉.其中，全部正确结论的序号是_____.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6.（本小题满分10分）已知函数()log (2)1a f x x =+-，其中1a >.（Ⅰ）若()f x 在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.7.（本小题满分10分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）解不等式()3f x <；（Ⅱ）设0a >，求()f x 在区间[0,]a 上的最大值.8.（本小题满分10分）设函数()f x ，()g x 的定义域分别为f g D D ，，且f g D D Ø.若对于任意f x D ∈，都有()()g x f x =，则称()g x 为()f x 在g D 上的一个延拓函数.给定2() 1 (01)f x x x =-<≤.（Ⅰ）若()h x 是()f x 在[1,1]-上的延拓函数，且()h x 为奇函数，求()h x 的解析式； （Ⅱ）设()g x 为()f x 在(0,)+∞上的任意一个延拓函数，且()g x y x=是(0,)+∞上的单调函数.（ⅰ）判断函数()g x y x=在(0,1]上的单调性，并加以证明； （ⅱ）设0s >，0t >，证明：()()()g s t g s g t +>+.北京市西城区2013 —2014学年度第一学期期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D；2.D；3.C；4.B；5.C；6.A；7.A；8.B；9.C；10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12-；12.3π，或32π；13.6-；14.5-；15.12；16.sin3x等（答案不唯一）.注：12题，得出一个正确的结论得2分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（Ⅰ）解：因为3 tan4=-α，所以πtan tanπ4tan()π41tan tan4--=+⋅ααα【3分】7=-. 【6分】（Ⅱ）解：因为3 tan4=-α，所以2sin3cos2tan33sin2cos3tan2--=--αααααα【9分】1817=. 【12分】18.（Ⅰ）解：1cos4()2cos22xf x x x-=⋅1cos4422xx-=+【2分】1sin(4)62xπ=-+．【4分】因为242Tππ==，所以()f x的最小正周期是2π．【6分】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，1 ()sin(4)62f x xπ=-+．因为84x ππ≤≤， 所以 54366x πππ≤-≤， 【 8分】 所以 1sin(4)126x π≤-≤， 【 9分】所以 131sin(4)622x π≤-+≤． 【10分】所以，当6x π=时，()f x 取得最大值32；当4x π=时，()f x 取得最小值1．【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系. 【 1分】因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且,M N 分别是,BC DE 的中点，所以 5(,)44M ，1(2N ， 【 3分】所以 5311848AM AN ⋅=+=. 【 4分】 （Ⅱ）解：设BM DN t ==，则[0,1]t ∈.【 5分】所以(1,)22t M +，(1N t -. 【 7分】 所以3(1)(1)22t AM AN t t ⋅=+⋅-+2112t t ++=-213(1)22t =--+ 【10分】 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1； 【11分】 当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32. 【12分】一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{|01}x x <<；2.c b a <<；3. [1,)+∞；4. 2；5.②④. 注：5题，选出一个正确的序号得2分，有错选不给分.6.（Ⅰ）解：函数()log (2)1a f x x =+-的定义域是(2,)-+∞. 【 1分】因为 1a >，所以 ()log (2)1a f x x =+-是[0,1]上的增函数. 【 2分】 所以 ()f x 在[0,1]上的最大值是(1)log 31a f =-；最小值是(0)log 21a f =-.【 4分】 依题意，得 log 31(log 21)a a -=--， 【 5分】 解得a =【 6分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()log (2)1a f x x =+-是(2,)-+∞上的增函数. 【 7分】在()f x 的解析式中，令0x =，得(0)log 21a f =-， 所以，()f x 的图象与y 轴交于点(0,log 21)a -. 【 8分】 依题意，得(0)log 210a f =-≤， 【 9分】 解得 2a ≥. 【10分】 7.（Ⅰ）解：原不等式可化为22230x x x ≥⎧⎨--<⎩，，（1） 或22230.x x x <⎧⎨-+>⎩，（2） 【 1分】解不等式组（1），得 23x ≤<；解不等式组（2），得2x <. 【 3分】 所以原不等式的解集为{|3}x x <. 【 4分】（Ⅱ）解：222,2,()|2|2, 2.x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩ 【 5分】① 当01a <<时，()f x 是[0,]a 上的增函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-+. 【 6分】② 当12a ≤≤时，()f x 在[0,1]上是增函数，在[1,]a 上是减函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =. 【 7分】③ 当2a >时，令()(1)(2)10f a f a a -=-->，解得1a >. 所以，当21a <≤此时()(1)f a f ≤，()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =；当1a >此时()(1)f a f >，()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-.【 9分】记()f x 在区间[0,]a 上的最大值为()g a ，所以222,01,()1,112,1a a a g a a a a a ⎧-+<<⎪⎪=≤≤+⎨⎪->+⎪⎩ 【10分】8.（Ⅰ）解：当0x =时，由()h x 为奇函数，得(0)0h =. 【 1分】任取[10)x ∈-，，则(01]x -∈，， 由()h x 为奇函数，得22()()[()1]1h x h x x x =--=---=-+， 【 2分】所以()h x 的解析式为221,01,()0,0,1,10.x x h x x x x ⎧-<≤⎪==⎨⎪-+-≤<⎩【 3分】（Ⅱ）解：（ⅰ）函数()g x y x=是(0,1]上的增函数. 【 4分】证明如下：因为()g x 为()f x 在(0,)+∞上的一个延拓函数，所以当(01]x ∈，时，2()()1g x f x x ==-. 记()()1()g x f x k x x x x x===-，其中(0,1]x ∈. 任取12,(0,1]x x ∈，且12x x <，则210x x x ∆=->， 因为211221212112()(1)11()()()0x x x x y k x k x x x x x x x -+∆=-=---=>， 所以函数()g x y x=是(0,1]上的增函数. 【 6分】 （ⅱ）由()g x y x = 是(0,)+∞上的单调函数，且(0,1]x ∈时，()g x y x =是增函数，从而得到函数()g x y x= 是(0,)+∞上的增函数. 【 7分】因为 0s >，0t >， 所以 s t s +>，s t t +>， 所以()()g s t g s s t s+>+， 即 ()()()s g s t s t g s ⋅+>+⋅. 【 8分】 同理可得：()()()t g s t s t g t ⋅+>+⋅.将上述两个不等式相加，并除以s t +，即得 ()()()g s t g s g t +>+. 【10分】。
【精品】2014-2015年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
13． （5 分）现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序，要求 2 个小品 节目之间恰好有 3 个唱歌节目， 那么演出顺序的排列种数是 答） 14． （5 分）设 P，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线 PQ 旋 转 θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线 PQ 有 条． ． （用数字作
曲线 C 上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线 C 的方程为 率为 ．
第 2 页（共 22 页）
11． （5 分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差
数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么 x+y+z= 2 y x a z 3
．
12． （5 分）如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于点 E，F， 且 AC=2AE，那么 = ；∠A= ．
面 xOy 内一点， 若对于区域 D 内的任一点 A（x， y） ，都有 的最大值等于（ A．2 B．1 ） D．3
成立，则 a+b
C．0
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． （5 分）复数 ，则|z|= ． =1（a＞0）的左、右焦点，点 P 为双 ；离心
10． （5 分）设 F1，F2 为双曲线 C：
第 1 页（共 22 页）
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6． （5 分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正
确的是（
）
A．最长棱的棱长为 B．最长棱的棱长为 3 C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 D．侧面四个三角形都是直角三角形 7． （5 分）已知抛物线 C：y2=4x，点 P（m，0） ，O 为坐标原点，若在抛物线 C 上存在一点 Q，使得∠OQP=90°，则实数 m 的取值范围是（ A． （4，8） B． （4，+∞） C． （0，4） D． （8，+∞） 8． （5 分）设 D 为不等式组 表示的平面区域，点 B（a，b）为坐标平 ）
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合，，则集合 ______A. B. C. D.2. 设命题，，则为______A. ，B. ，C. ，D. ，3. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，则______A. B. C. D.4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为______A. B. C. D.5. 设函数的定义域为，则“ ”是“函数为奇函数”的______A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00 至17：00，设甲在当天13：00至 18：00 之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行且恰好能办理业务的概率是______A. B. C. D.7. 设抛物线的焦点为，过的直线与相交于，两点，记点到直线的距离为，则有______A. B.C. D.8. 如图，在空间四边形中，两条对角线，互相垂直，且长度分别为和，平行于这两条对角线的平面与边，，，分别相交于点，，，，记四边形的面积为，设，则______A. 函数的值域为B. 函数的最大值为C. 函数在上单调递减D. 函数满足二、填空题（共6小题；共30分）9. 复数，则 ______10. 设平面向量，满足，，，那么，的夹角 ______．11. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为______．12. 设，为双曲线：的左、右焦点，且直线为双曲线的一条渐近线，点为上一点，如果，那么双曲线的方程为______；离心率为______．13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支元，铅笔盒每个元，花费总额不能超过元，为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于个，那么该教师有______种不同的购买奖品方案．14. 设函数（1）如果，那么实数 ______；（2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数， ．（1）求函数 的最小正周期； （2）判断函数 在区间 上是否为增函数?并说明理由．16. 已知数列 满足 ，且其前 项和 ．（1）求 的值和数列 的通项公式；（2）设数列 为等比数列，公比为 ，且其前 项和 满足 ，求 的取值范围．17. 如图，在四棱柱 中， 底面 ， ． ，且， ．点 在棱 上，平面 与棱 相交于点 ．（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 ；（3）写出三棱锥 体积的取值范围．（结论不要求证明）18. 最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且年后投资盈亏的情况如下：（i ）投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概率（ii ）购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概率（1）当时，求 的值；（2）已知"购买基金"亏损的概率比"投资股市"亏损的概率小，求 的取值范围；（3）已知张师傅和李师傅两人都选中了"购买基金"来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．19. 已知椭圆的右焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ，点 满足条件．（1）求 的值；（2）设过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，记 和 的面积分别为 ， ，若 ，求直线 的方程．20. 对于函数，，如果它们的图象有公共点，且在点处的切线相同，则称函数和在点处相切，称点为这两个函数的切点．设函数（），．（1）当，时，判断函数和是否相切?并说明理由；（2）已知，，且函数和相切，求切点的坐标；（3）设，点的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切?若点的坐标为呢?（结论不要求证明）答案第一部分1. B2. B3. A4. C5. B6. D7. A8. D第二部分9.10.11.12. ；13.14. 或；第三部分15. （1）因为所以函数的最小正周期．（2）结论：函数在区间上是增函数．理由如下：由，解得所以函数的单调递增区间为，．当时，知在区间上单调递增．所以函数在区间上是增函数．16. （1）由题意，得，，因为，，所以．解得．所以．当时，由，得．验证知时，符合上式，所以，．（2）由（1），得．因为，所以，解得．又因为，所以的取值范围是．17. （1）因为是棱柱，所以平面 平面．又因为平面平面，平面平面，所以．又平面，平面．所以 平面．（2）在四边形中，因为，，且，，，所以，．所以，所以，即，因为平面，平面．所以．因为在四棱柱中，，所以．又因为平面，，所以平面．（3）三棱锥的体积的取值范围是．18. （1）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以．又因为，所以．（2）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得，因为，所以，解得．又因为，，所以．所以．（3）记事件为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”．用，，分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用，，分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有种，它们是，，，，，，，，，所以事件包含的结果有种，它们是，，，，，因此一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率．19. （1）因为椭圆的方程为，所以，，，则，，．因为．所以．（2）若直线的斜率不存在，则有，不合题意．若直线的斜率存在，设直线的方程为，，．由得．可知恒成立，且，，因为和的面积分别为，．所以，即，所以，，则即，即，解得．所以直线的方程为或．20. （1）结论：当，时，函数和不相切．理由如下：由条件知，由，得又因为，，所以当时，，，所以对于任意的，，当，时，函数和不相切．（2）若，则，．设切点坐标为，其中．由题意，得由，得，代入，得因为，且．所以．设函数，，则．令，解得或（舍）．当变化时，与的变化情况如下表所示．所以当时，取到最大值，且当时，．因此，当且仅当时．所以方程有且仅有一解．于是．因此切点的坐标为．（3）当点的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切；当点的坐标为时，不存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切．。
北京市西城区2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析
A 卷 本卷满分：50分一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为123,,P P P ，则（ ）A. 123P P P =<B. 231P P P =<C. 132P P P =<D. 123P P P ==【答案】D 【解析】试题分析：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三大抽样都是等概率抽样，因此对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，不管用哪种抽样，总体中每个个体被抽中的概率都相等 考点：三大抽样；2.从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（ ）A.61 B. 41C.31D.21 【答案】C 【解析】试题分析：从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，可能抽取到的数字有：12,13,14,23,24,34共六种，满足所取两个数之和为5的14,23，因此所取两个数之和为5的概率为2163= 考点：古典概型；3. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2B. 23C.35 D. 58 【答案】C考点：循环结构；4. 某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图。
现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在内的学生中抽取的人数为（ ）A. 24B. 18C. 15D. 12【答案】B 【解析】试题分析：根据学生成绩的频率分布直方图可以计算出，学生成绩在内的学生占所有学生的0.03100.3?，因此采用分层抽样的方法抽取60名学生时，应从成绩在内的学生中抽取600.318?人考点：分层抽样；5. 投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是 ={1，2，3，4，5，6}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷 高一数学 2015.1 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 A卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分
题号 一 二 三 本卷总分 17 18 19
分数
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知(0,2π)，且sin0，cos0，则角的取值范围是（ ） （A）π(0,)2 （B）π(,π)2 （C）3π(π,)2 （D）3π(,2π)2 2．已知向量(2,8)a，(4,2)b．若2cab，则向量c（ ） （A）(0,18) （B）(8,14) （C）(12,12) （D）(4,20) 3．已知角的终边经过点(3,4)P，那么sin（ ） （A）35 （B）45 （C）34 （D）34 4．在△ABC中，D是BC的中点，则AD（ ） （A）1()2ABAC （B）1()2ABAC （C）1()2ABBC （D）1()2ABBC 5．函数2(sincos)yxx的最小正周期为（ ） （A）2 （B）3π2 （C） （D）π2 6．如果函数cos()yx的一个零点是3，那么可以是（ ） （A）6 （B）6 （C）3 （D）3 7．如图，在矩形ABCD中，2AB，3BC， E是CD 的中点，那么AEDC（ ） （A）4 （B）2 （C）3 （D）1 8．当[0,π]x时，函数()cos3sinfxxx的值域是（ ） （A）[2,1] （B）[1,2] （C）[1,1] （D）[2,3]
9．为得到函数πcos()6yx的图象，只需将函数sinyx的图象（ ） （A）向左平移π3个单位 （B）向右平移π3个单位 （C）向左平移2π3个单位 （D）向右平移2π3个单位 10．已知a，b为单位向量，且mab，则||tab()tR的最小值为（ ） （A）21m （B）1 （C）||m （D）21m
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若向量(1,2)a与向量(,1)b共线，则实数_____．
12．已知是第二象限的角，且5sin13，则cos_____． 13．若(,)22，且tan1，则的取值范围是_____．
14．已知向量(1,3)a，(2,1)b，(1,1)c．若(,)Rca+b，则_____． 15．函数2()sinsincosfxxxx的最大值是_____． 16．关于函数()sin(2)()6fxxxR，给出下列三个结论： ① 对于任意的xR，都有2()cos(2)3fxx； ② 对于任意的xR，都有()()22fxfx； ③ 对于任意的xR，都有()()33fxfx． 其中，全部正确结论的序号是_____． 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知tan2，其中(,)2． （Ⅰ）求πtan()4的值； （Ⅱ）求sin2的值．
18．（本小题满分14分） 已知向量(cos,sin)a，13(,)22b，其中是锐角． （Ⅰ）当30时，求||ab； （Ⅱ）证明：向量ab与ab垂直；
（Ⅲ）若向量a与b夹角为60，求角．
19．（本小题满分10分） 已知函数()sincosfxaxbx，其中aZ，bZ．设集合{|()0}Axfx，{|(())0}Bxffx，且AB．
（Ⅰ）证明：0b； （Ⅱ）求a的最大值． B卷 [学期综合] 本卷满分：50分 一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．已知集合{,}Aab，则满足{,,}ABabc的不同集合B的个数是_____．
2．若幂函数yx的图象过点(4,2)，则_____． 3．函数2lg,0,()4,0,xxfxxx的零点是_____． 4．设()fx是定义在R上的偶函数，且()fx在[0,)上是减函数．若()(2)fmf，则 实数m的取值范围是_____． 5．已知函数()fx的定义域为D．若对于任意的1xD，存在唯一的2xD，使得
12()()fxfxM成立，则称函数()fx在D上的几何平均数为M．已知函数
()31([0,1])gxxx，则()gx在区间[0,1]上的几何平均数为_____．
二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）
已知函数()(2)()fxxxa，其中aR．
（Ⅰ）若()fx的图象关于直线1x对称，求a的值； （Ⅱ）求()fx在区间[0,1]上的最小值．
7．（本小题满分10分） 已知函数()23xxfxab，其中,ab为常数．
题号 一 二 本卷总分 6 7 8
分数 （Ⅰ）若0ab，判断()fx的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab，解不等式：(1)()fxfx．
8．（本小题满分10分） 定义在R上的函数()fx同时满足下列两个条件：
① 对任意xR，有(2)()2fxfx；② 对任意xR，有(3)()3fxfx． 设()()gxfxx． （Ⅰ）证明：(3)()(2)gxgxgx； （Ⅱ）若(4)5f，求(2014)f的值．
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷 高一数学参考答案及评分标准 2015.1
A卷 [必修 模块4] 满分100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.D； 2.B； 3.B； 4.A； 5.C； 6.A； 7.B； 8.A； 9.C； 10.D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.12； 12.1213； 13. (,)42； 14. 32； 15.122； 16. ① ② ③. 注：16题，少解不给分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan2，
所以 πtantanπ4tan()π41tantan4 【 3分】 3. 【 6分】
（Ⅱ）解：由π(,π)2，tan2，
得 2sin5， 【 8分】 1cos5. 【10分】 所以 4sin22sincos5. 【12分】
18.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当30时，31(,)22a， 【 1分】
所以 3131(,)22ab=， 【 2分】 所以 223131||()()222ab=． 【 4分】 （Ⅱ）证明：由向量(cossin)，a，13(,)22b， 得 13(cos,sin)22ab，13(cos,sin)22ab， 由 π(0,)2，得向量ab，ab均为非零向量. 【 5分】 因为 222213()()||||(sincos)()044ababab， 【 7分】 所以向量ab与ab垂直. 【 8分】 （Ⅲ）解：因为||||1ab，且向量a与b夹角为60，
所以 1||||cos602abab. 【10分】
所以 131cossin222， 即 π1sin()62. 【12分】 因为 π02， 所以 πππ663， 【13分】 所以 ππ66， 即3. 【14分】
19.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：显然集合A． 设 0xA，则0()0fx． 【 1分】 因为 AB， 所以 0xB， 即 0(())0ffx， 所以 (0)0f， 【 3分】 所以 0b． 【 4分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sinfxax，aZ． ① 当0a时，显然满足AB． 【 5分】 ② 当0a时，此时{|sin0}Axax； {|sin(sin)0}Bxaax， 即{|sin,}BxaxkkZ． 【 6分】
因为 AB， 所以对于任意xR，必有sinaxk (kZ，且0)k成立． 【 7分】
所以对于任意xR，sinkxa，所以 1ka， 【 8分】 即 ||||ak，其中kZ，且0k． 所以 ||a， 【 9分】 所以整数a的最大值是3． 【10分】
B卷 [学期综合] 满分50分 一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1. 4； 2. 12； 3. 2，1； 4. (2,2)； 5. 2. 注：3题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） （Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2fxxxaxaxa， 所以，()fx的图象的对称轴方程为22ax. 【 2分】 由212a，得0a. 【 4分】 解法二：因为函数()fx的图象关于直线1x对称， 所以必有(0)(2)ff成立， 【 2分】 所以 20a， 得0a. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()fx的图象的对称轴方程为22ax. ① 当202a，即 2a时， 因为()fx在区间(0,1)上单调递增， 所以()fx在区间[0,1]上的最小值为(0)2fa. 【 6分】 ② 当2012a，即 02a时， 因为()fx在区间2(0,)2a上单调递减，在区间2(,1)2a上单调递增， 所以()fx在区间[0,1]上的最小值为222()()22aaf. 【 8分】 ③ 当212a，即 0a时，