湖南省高一上学期期末考试数学试题(含答案)
湖南省长沙市教育集团2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含答案
教育集团2023年下学期期末考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分命题人：一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1.已知集合{20}A xx =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A.{2,1,0,1,2}--B.{22}x x -≤≤∣C.{2,1,0}-- D.{20}x -≤≤【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】因为{20}A xx =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，所以{}2,1,0A B =-- ，故选：C. 2.函数()2x f x x=的定义域为（）A.(],2-∞ B.(),2-∞C.()(],00,2-∞⋃ D.[)2,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果.【详解】由题意得：20x x -≥⎧⎨≠⎩得：2x ≤且0x ≠，()f x \定义域为()(],00,2-∞⋃.故选：C.3.将885- 化为)()360Z,0,360k k αα⎡+⋅∈∈⎣的形式是（）A .()1652360︒︒-+-⨯ B.()1953360︒︒+-⨯C.()1952360︒︒+-⨯ D.()1653360︒︒+-⨯【答案】B 【解析】【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.【详解】由600,3α︒︒⎡⎤∈⎣⎦知()88519533195108060︒︒-+-⨯=-= .故选：B.4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,a b c R ∈，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若01a <<，则3a a<C.若0a b >>，则11b ba a+<+ D.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <【答案】B 【解析】【分析】利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.【详解】A 中，0a b <<有11a b<，错误；B 中，01a <<时，3a a <成立，正确；C 中，2,1a b ==时，2132>，错误；D 中，由题设，当0b =时，220cb ab ==，错误；故选：B5.函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A.54313，12B.354，13，12C.12，13354，D.13，12，543【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 5113423>>>.故选：C ．6.若角α，β均为锐角，25cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β=（）A.255B.55C.55-D.255【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答.【详解】角α，β均为锐角，即0αβ<+<π，而3cos()5αβ+=，则4sin()5αβ+=，又5cos 5α=，则5sin 5α=，所以，4535sin sin[()]sin()cos cos()sin 5555βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯55=.故选：B7.将函数()4cos 2f x x ⎛π=⎫⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3，…，A n ，若P 点坐标为（0，1），则12n PA PA PA +++=（）A.B.C.D.0【答案】A 【解析】【分析】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫= ⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5根据()31,0A 为()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点，得到15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称，再用中点坐标公式得到1234535+=+++PA PA PA PA PA PA 求解.【详解】由题意作出图象如图，共得5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知，1A 和5A ，2A 和4A 关于3A 对称，()31,1PA =-，152432PA PA PA PA PA +=+= ，∴12+++=n PA PA PA 故选：A.8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()24f =，则不等式()2f x x>的解集为（）A.()4,+∞ B.()0,4 C.()0,2 D.()2,+∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，由单调性的定义可判断得()g x 在()0,∞+上单调递增，再将题设不等式转化为()()2g x g >，利用()g x 的单调性即可求解.【详解】令()()f x g x x=，因为对()120,x x ∀∈+∞、，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，不妨设120x x <<，则120x x -<，故()()21120x f x x f x -<，则()()1212f x f x x x <，即()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又因为()24f =，所以()()2222f g ==，故()2f x x>可化为()()2g x g >，所以由()g x 的单调性可得2x >，即不等式()2f x x>的解集为()2,+∞.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若－1＜x ＜4是－3＜x ＜a 的充分不必要条件，则实数a 的值可能是（）A.3B.4C.5D.6【答案】BCD 【解析】【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果．【详解】∵－1＜x ＜4是－3＜x ＜a 的充分不必要条件，∴{x |－1＜x ＜4}{x |－3＜x ＜a }，∴a ≥4，∴实数a 的值可以是4，5，6．故选：BCD ．10.若0x >，0y >，0n ≠，R m ∈，则下列各式中，恒等的是（）A.()lg lg lg x y x y +=+ B.lglg lg xx y y=-C.log log mnx x my yn= D.1lg lg nx x n=【答案】BD 【解析】【分析】根据对数的运算法则、换底公式逐一判断得解.【详解】因为0x >，0y >，0n ≠，m ∈R ，对于A ，lg lg lg()x y xy +=，A 错误；对于B ，lglg lg xx y y=-，B 正确；对于C ，当1,0x m ≠≠时，lg lg log log lg lg mn nx m x y n y n y y x m x m===，C 错误；对于D ，1lg lg nxx n=，D 正确.故选：BD11.下列说法正确的是（）A.向量AB 与CD共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件B.若//a b ，则存在唯一实数λ使得b aλ=C.已知()()=1,3,1,1= a b ，则a 与a b l + 的夹角为锐角的充要条件是()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.在△ABC 中，D 为BC 的中点，若AB AC AD AB ACλ+=，则BD 是BA 在BC 上的投影向量【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A ；根据向量共线的充要条件可判断B ；根据向量夹角的坐标运算可判断C ；由平面向量加法和BAC ∠的平分线表示的向量平行的向量可得AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线可判断 D.【详解】对于A 选项：A ，B ，C ，D 四点共线⇒向量AB 与CD共线，反之不成立，所以A 正确；对于B 选项：当0a = ，0b ≠时，不存在实数λ使得b a λ= ，当0a = ，0b =时，存在无数个实数λ使得b a =，故B 错误；对于C 选项：因为()1,3a = ，()1,1b =r ，所以()1,3a b λλλ+=++ ，则a 与a b l +的夹角为锐角的充要条件是()·0a a b λ+>且a 与a b l + 不同向共线，即()()1,3·1,31931040λλλλλ++=+++=+>1≠，解得()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭，则实数λ的取值范围是()5,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项：由平面向量加法可知：AB ACAB AC+ 为“与BAC ∠的平分线表示的向量平行的向量”因为AB AC AD AB ACλ+=，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，所以BD是BA 在BC的投影向量，故选项D 正确.故选：ACD.12.函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A.函数()g x 的最大值为3B.函数()g x 关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.函数()g x 的最小正周期为π【答案】AD 【解析】【分析】根据给定的函数图象求出函数()f x ，进而求出()g x ，再借助余弦函数的图象和性质，逐项判断即可.【详解】观察图象知，3A =，函数()f x 的周期T 有，35ππ3π()41234T =--=，即πT =，则2ω=，显然5(312f π=，则5ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，即π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，因此π()3sin(2)3f x x =-，πππ()3sin[2(]3sin(2)3cos21232g x x x x =--=-=-，函数()g x 的最大值为3，A 正确；ππ(3cos 0126g =-≠，B 错误；π(0,)2x ∈，()20,πx ∈，函数()g x 在π(0,2上单调递增，C 错误；函数()g x 的最小正周期为2ππ2=，D 正确.故选：AD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分13.命题“,π[]0x ∀∈，sin 0x ≥”否定是_________.【答案】[0,π]x ∃∈，sin 0x <.【解析】【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定写出结论即得.【详解】命题“,π[]0x ∀∈，sin 0x ≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“,π[]0x ∀∈，sin 0x ≥”否定是：[0,π]x ∃∈，sin 0x <.故答案为：[0,π]x ∃∈，sin 0x <.14.若()2,1,1x x f x a x x-+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(]0,1.【解析】【分析】分段函数单调递减，则每一段均为递减函数，且在分段处，左边的函数值大于等于右边的函数值，从而得到不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】由题意得：012a a >⎧⎨-+≥⎩，解得：01a <≤，故实数a 的取值范围为(]0,1.故答案为：(]0,1.15.把函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形对应的函数解析式为__________.【答案】sin 2y x =-【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.【详解】将函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，可得cos 2y x =的图象，再向左平移4π个单位，所得图象的解析式为cos 24y x π⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：sin 2y x =-16.若2sin cos 5αα=-，则tan α=__________.【答案】2-或12-【解析】【分析】利用齐次式法列式，求解方程即得.【详解】由2sin cos 5αα=-，得22sin cos 2sin cos 5αααα=-+，即2tan 2tan 15αα=-+，整理得22tan 5tan 20αα++=，所以tan 2α=-或1tan 2α=-.故答案为：2-或12-四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}1,2,3A =，{}10B x ax =-≥.（1）当2a =时，求A B ⋂与A B ⋃；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{1,2,3}A B ⋂=，1{|}2A B x x =≥ ；（2）1a ≥.【解析】【分析】（1）把2a =代入求出集合B ，再利用交集、并集的定义求解即得.（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】当2a =时，1{|210}{|}2B x x x x =-≥=≥，而{}1,2,3A =，所以{1,2,3}A B ⋂=，1{|}2A B x x =≥ .【小问2详解】由A B A = ，得A B ⊆，则10210310a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是1a ≥.18.已知函数()sin cos (R)f x x x x =-∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数2()1,0,2y f x x x π⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值．【答案】（1）π3π2π2π44k k 轾-++犏犏臌，，Z k ∈（2，最小值-2，【解析】【分析】（1）根据辅助角公式化简()f x ，利用整体换元法即可求解增区间，（2）由二倍角公式和辅助角公式化简，由整体法即可求解最值.【小问1详解】由于π()sin cos sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,故πππ2π2π242k x k -+≤-≤+，解得π3π2π2π44k x k -+≤≤+，Z k ∈,故函数()f x 的单调递增区间为π3π2π2π44k k 轾-++犏犏臌，，Z k ∈【小问2详解】22ππ()212sin 22cos 22sin 242y f x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫=-=----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2cos 2,6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当π5π2π,612x x +==时，取最小值-2，当ππ2,066x x +==19.已知函数()211x b f x x +-=+（[]1,1x ∈-）是奇函数,()()221g x x a x =+-+是偶函数.（1）求a b +;（2）判断函数()f x 在[]1,1-上的单调性并说明理由;（3）若函数()f x 满足不等式()()120f t f t -+<,求出t 的范围.【答案】（1）3;（2）单调递增,理由见解析;（3）10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】(1)根据奇偶性的定义将点代入求出a b +即可;(2)先判断()f x 单调性,再用单调性定义证明,注意变形时需要变到几个因式乘积;(3)根据()f x 的奇偶性,将不等式化为()()12f t f t -<-,再根据()f x 的单调性及定义域写出范围解出即可.【小问1详解】解:由题知()211x b f x x +-=+（[]1,1x ∈-）是奇函数,()100,11b f b -∴==∴=,()()221g x x a x =+-+ 是偶函数,()()11g g ∴=-,2222a a ∴+-=-+,2a ∴=,故3a b +=;【小问2详解】()f x 在[]1,1-上的单调递增,理由如下:由(1)知()21x f x x =+,任取[]1212,,1,1x x x x <∈-,()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()()()22122122121111x x x x x x +-+=++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++()()()()12122212111x x x x x x --=++,[]1212,1,1,10x x x x ∈-∴-> ,12120x x x x <∴-< ,()()120,f x f x ∴-<()()12,f x f x <∴故()f x 在[]1,1-上的单调递增;【小问3详解】由(1)(2)知()21x f x x =+是奇函数且在[]1,1-上的单调递增,()()120,f t f t -+<()()()()12,12f t f t f t f t \-<-\-<-,11112112t t t t -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩,103t ∴≤<,故10,3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.20.某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元），当年产量不足80台时，()21402C x x x =+，当年产量不小于80台时，()101C x x =+81002180x -，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润.【答案】20.2160500,080,N 281001680,80,N x x x x y x x x x ⎧-+-≤<∈⎪⎪=⎨⎪--≥∈⎪⎩；21.90台，1500万元.【解析】【分析】（1）考虑080x ≤<和80x ≥两种情况，根据()100500y x C x =--计算得到答案.（2）利用二次函数性质和均值不等式依次计算分段函数的最值，比较得到答案.【小问1详解】当080x ≤<，N x ∈时，()2211100500100405006050022y x C x x x x x x =--=---=-+-；当80x ≥，N x ∈时，()8100810010050010010121805001680y x C x x x x x x =--=--+-=--，所以年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式是2160500,080,N 281001680,80,N x x x x y x x x x ⎧-+-≤<∈⎪⎪=⎨⎪--≥∈⎪⎩.【小问2详解】当080x ≤<，N x ∈时，()22116050060130022y x x x =-+-=--+，当60x =时，y 最大值为1300；当80x ≥，N x ∈时，8100168016801500y x x =--≤-=，当且仅当8100x x=，即90x =时取等号，而15001300>，所以当90x =时，y 有最大值为1500.21.已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）m =（2）764m ≤<.【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴a b +===∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2cos a b x +== ，()cos22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2m t =，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2min 12m y =-=-∴m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32m =舍，综上，m =.（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=，∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴312741273477m m m m ≤<≤<≠∴727637{840m m m ≤<≤<≠∴764m ≤<.22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，所以m 的取值范围是()1,2.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。
湖南省益阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题含答案
益阳市2022年下学期期末质量检测高一数学（答案在最后）注意事项：1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题､多项选择题､填空题和解答题四部分，共4页，时量120分钟，满分150分.2.答题前，考生务必将自己的姓名､考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置.请按答题卡的要求在答题上上卡作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.试题卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}0,1,2,1,2,3A B ==，则A B ⋃=（ ）A.∅B.{}1,2C.{}0,1,2D.{}0,1,2,32.已知:sin sin ,:p x y q x y ==，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.函数()()e ln 21xf x x =++的定义域为（ ） A.(),∞∞-+ B.()0,∞+ C.1,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D.1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4.化简：1cos2cos 2x x π-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ） A.sin x B.cos x C.2sin x D.2cos x5.已知函数()2,0,1,0,x x x f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()2f -=（ ） A.6 B.3 C.2 D.1-6.下列函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是（ ）A.3y x =B.ln y x =C.e e x x y -=+D.tan y x =7.为了得到函数2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只要把2sin y x =的图象上的所有的点（ ） A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D.向右平移3π个单位长度 8.已知函数()y f x =的部分图象大致如图所示，则其解析式可以是（ ）A.()()2ln 12x f x x =+-B.()()2ln 14x f x x =+- C.()2e e x x f x x -=+- D.()3e e 2x x f x x -=--二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()2sin f x x =，则（ ）A.()f x 是R 上的奇函数B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 有最大值1D.()f x 在[]0,π上为增函数10.下列命题正确的是（ ）A.若a b >，则22a b >B.若33a b >，则a b >C.若0,0a b >>，且6a b +=，则3ab ≤D.若1a >-，则111a a +≥+11.已知231log ,log 23a b c ===，则（ ） A.a b > B.b c >C.a c >D.1ac <12.已知函数()()cos32lg 1f x x x x +-+的所有非负零点从小到大依次记为12,,,n x x x ，则（ ）A.8n =B.9n =C.1211049n x x x π-+++>D.121319n x x x π+++> 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.计算：32916⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 14.若点()3,4P -在角α的终边上，则sin α=__________.15.科学家研究发现，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+，记里氏9.0级地震､7.0级地震所释放出来的能量分别为12E E ､，则12E E =__________. 16.已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()1y f x =+是R 上的偶函数，且()112f =，则()()()122022f f f +++=__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）（1）已知5,cos 13ABC A =，求tan A 的值. （2）求证：1sin2cos sin cos sin x x x x x+=++. 18.（本小题满分12分）设集合{}251,{1}A xx B x x a =-≤=>-∣∣. （1）当2a =时，求A B ⋂；（2）若A B ⋂≠∅，求a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数()222,f x x mx x =-+∈R （1）若()0f x >对一切实数x 都成立，求m 的取值范围；（2）已知2m =，请根据函数单调性的定义证明()f x 在(),2∞-上单调递减.20.（本小题满分12分） 已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象与y 轴交于P 点()0,1，若123,,x x x 是方程()10f x -=的三个连续的实根，且122315,88x x x x +=+=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调递增区间.21.（本小题满分12分）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量w 进行监测.第一次监测时的总量为0w （单位：吨），此时开始计时，时间用t （单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达w 与t 的变化关系：①0w dw =；①()0log 1(0a w b t w a =++>且1)a ≠.（1）请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式；（2）根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量w 由0w 翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量w 再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：lg30.48,lg17 1.23≈≈）22.（本小题满分12分）已知函数()e ex x a f x =-. （1）若函数()f x 是R 上的奇函数，求a 的值；（2）若函数()f x 的在R 上的最小值是，确定a 的值；（3）在（2）的条件下，设()()22e 4e (0x x mf x g x mm -+-=>且1)m ≠，若()g x 在[]0,4上的最小值为1，请确定m 的值. 益阳市2022年下学期普通高中期末考试高一数学参考答案及评分标准一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.B3.C4.C5.B6.A7.B8.A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AB 10.BD 11.ACD 12.BC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2764 14.45 15.310 16.12四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（1）A 是ABC 的内角，()0,A π∴∈，又5cos 13A =，12sin 13A ∴==， sin 12tan cos 5A A A ∴== （2）证明：221sin2sin cos 2sin cos cos sin cos sin x x x x x x x x x+++=++ 2(sin cos )cos sin x x x x+=+ cos sin x x =+18.（本小题满分12分）解：{}{}2513A xx x x =-≤=≤∣∣ （1）当2a =时，{1}B x x =>-∣， {}3{1}{13}A B x x x x x x ∴⋂=≤⋂>-=-<≤∣∣∣（2）,13A B a ⋂≠∅∴-<，解得：2a >-，所以，a 的取值范围是()2,∞-+.19.（本小题满分12分）解：（1）x R ∀∈，有()0f x >，即2220x mx -+>恒成立， 2Δ480,m ∴=-<解得m <<m 的取值范围是( （2）由已知有()242f x x x =-+，任取()12,,2x x ∞∈-，设12x x <，()()()()22121122121242424,f x f x x x x x x x x x -=-+-+-=-+-则()12121212,,2,0,40x x x x x x x x ∞∈-<∴-<+-<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，()f x ∴在(),2∞-上单调递减.20.（本小题满分12分）解：（1）123,,x x x 是方程()10f x -=的三个连续的实根，且122315,88x x x x +=+=，记45,x x x x ==是三根之间从左到右的两条相邻对称轴， 则4515,1616x x ==， ()54122T x x ∴=-=，即24Tπωπ==， 再将点P代入得：1ϕ=，且2πϕ<得4πϕ=，()44f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. （2）由()242242k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈ 解之得：31162162k k x -+≤≤+ ()f x ∴的单调递增区间为()31,162162k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 21.（本小题满分12分）解：（1）由已知将前2列数据代入解析式①得：0024dw dw =⎧⎪⎨=⎪⎩.解之得：02,dw c =⎧⎪⎨=⎪⎩∴①2w =； 将前2列数据代入解析式①得：0024log 3a w b w =⎧⎨=+⎩，解之得：0322log w b a =⎧⎨=⎩， ①()()332log log 122log 12a w a t t =++=++.（2）当8t =时，模型①426w =+=，模型①32log 926w =+=； 当16t =时，模型①27.66w =+≈，模型①32lg172log 17227.13lg3w =+=+≈； ∴选模型①；当总量w 再翻一番时有：()382log 12t =++，解之得26t =，即再经过26-2=24个月时，总量w 能再翻一番.22.（本小题满分12分）解：（1）()f x 是R 上奇函数，()()0f x f x ∴-+=即0,1x x x x e ae e ae a ---+-=∴=；（2）当0a <时，()e e x x a f x =-≥()ln 2a x -=时取等，即2a =∴=-；当0a ≥时，()e ex x a f x =-在R 上单调递增，没有最小值；综上所述，函数()f x 在R 上的最小值是2a =-.（3）由（2）以及()f x 的单调性可知：当[]0,4x ∈时，()442f x e e -⎡⎤∈+⎣⎦， ()()()()()2224422244,x x ee mf x f x mf x x x f x e eg x m m -+----=++∴==， 记()()()24u x f x mf x =--，则()()u x g x m =在[]0,4上的最小值为1， ∴当01m <<时，()u g u m =单调递减，有()[]()max 00,4u x x =∈，当1m >时，()u g u m =单调递增，有()[]()min 00,4u x x =∈，记()t f x =，则()2444,2u t t mt t e e -⎡⎤=--∈+⎣⎦； ①当01m <<时，()22424m m u t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，其中12m <， ()u t ∴在442t e e -⎡⎤∈+⎣⎦上单调递增， ()()()24444max 2240u t e e m e e --∴=+-+-=， 解之得44444212m e ee e --=+->+（舍）； ①当1m >时，122m >，（a ）当m ≤2m ≤()u t 在442t e e -⎡⎤∈+⎣⎦上单调递增， ()(min 840u t u ∴==--=，解之得m =；（b ）当()4422m e e -≥+时，4422m e e -≥+，此时()u t 在442t e e -⎡⎤∈+⎣⎦上单调递减，()()()24444min 2240u t e e m e e --∴=+-+-=， 解之得()44444442222m e e e e e e---=+-<++（舍）；（c ）当()4422m e e -<+时，4422m e e -⎡⎤∈+⎣⎦，此时()u t 在2m t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，44,22m t e e -⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()22min 40242m m m u t u ⎛⎫∴==--< ⎪⎝⎭（舍）；综上所述，m =.。
湖南省衡阳市耒阳市第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
湖南省衡阳市耒阳市第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,2,13M N x x =-=≤≤，则M N ⋂=A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2D ．{}1,2,32．已知命题:,21x p x x ∃∈≤+N ，则命题p 的否定为（）A ．,21x x x ∃∈>+N B ．,21x x x ∃∈≥+N C ．,21x x x ∀∈≤+N D ．,21x x x ∀∈>+N 3．若sin 0α>且tan 0α<，则2α的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或第三象限D ．第三象限或第四象限4．设()35f x ax bx =+-，且()77f -=，则()7f =（）A ．7-B ．7C ．17D ．17-5．设0.21()a e-=，lg 2b =，6cos π5c =，则（）A ．a c b <<B ．c<a<b C ．b<c<aD ．c b a<<6．已知函数(12)1(1)()(1)xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．12[,]23B ．12()23，C ．12(]23，D ．12[,237．鱼塘中的鱼出现了某种因寄生虫引起的疾病，养殖户向鱼塘中投放一种灭杀寄生虫的药剂，已知该药剂融于水后每立方的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的关系用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每立方的水中含药量不少于0.25毫克时，才能起到灭杀寄生虫的效果，则投放该杀虫剂的有效时间为（）A ．4小时B ．7116小时C ．7916小时D ．5小时8．已知函数y ＝f (x )的表达式为f (x )＝|log 2x |，若0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，则2m +n 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．()+∞D ．)∞⎡+⎣二、多选题9．设a 、b 、c 为实数且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b>B ．ln ln a b>C ．()20221a b ->D ．()()2211a c b c +>+10．已知函数()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 的判断正确的是（）A ．在区间,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于直线6x π=成轴对称D ．图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称11．下列结论中正确的有（）A ．若命题“x ∃∈R ，240x x m ++=”为假命题，则实数m 的取值范围是()4,+∞B ．若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件D ．当0x >时，2xx+的最小值为12．已知函数()223,2211,2x x x f x x x ⎧--+≥-=⎨--<-⎩若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的值可以是（）A ．8-B ．7-C ．6-D ．5-三、填空题13．已知71cos 85πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 8πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.14．函数()2lg 243y kx kx =--+的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_______________.15．已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若不等式x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围为________.16．已知函数())22log 31xf x e =+++，[]6,6x ∈-，若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2|120A x x x =--≤，{}|132B x a x a =-≤≤-.(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.18．已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间.（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()f x 的值域.19．已知函数()221x f x a =-+为奇函数，R a ∈.(1)求a 的值；(2)若()()2240f x x f x k -++--<恒成立，求实数k 的取值范围.20．漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()2217,02()850251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，且单株施用肥料及其它成本总投入为2010x +元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？21．已知函数()()()2110x g x a a -=++>的图象恒过定点A ，且点A 又在函数()()f x x a =+的图象上.(1)求实数a 的值并解不等式()f x a <；(2)函数()()22h x g x =+-的图象与直线2y b =有两个不同的交点时，求b 的取值范围.22．已知函数2()21f x ax x =-+．（Ⅰ）当34a =时，求()f x 在区间[1,2]上的值域；（Ⅱ）当12a ≤时，是否存在这样的实数a ，使方程2()log 04x f x -=在区间[1,2]内有且只有一个根？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【解析】根据交集的定义，找出集合M,N 的公共元素即可．【详解】因为集合{}{}1,0,1,2,13M N x x =-=≤≤，所以{}1,2M N = ，故选C.【点睛】本题考查集合的表示方法，交集的定义与运算，属于基础题．2．D【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：命题:,21x p x x ∃∈≤+N 的否定为：,21x x x ∀∈>+N .故选：D 3．C【详解】由sin 0α>且tan 0α<，知α为二象限角，即2,2,2k k k Z παπππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭.则,,242k k k Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，当k 为偶数时，2α的终边在第一象限；当k 为奇数时，2α的终边在第三象限.故选C.4．D【分析】根据f (x )＝ax 3＋bx －5，可得g (x )＝f (x )＋5＝ax 3＋bx 为奇函数，根据f (－7)＝7，求出g (－7)的值，再根据奇函数的性质，求出g (7)的值，进而得到f (7)的值．【详解】令g (x )＝f (x )＋5＝ax 3＋bx ，∵g (－x )＝a (－x )3＋b (－x )＝－ax 3－bx ＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，∵f (－7)＝7，∴g (－7)＝f (－7)＋5＝12，又∵g (－7)＝－g (7)，∴g (7)＝－12，又∵g (7)＝f (7)＋5，∴f (7)＝－17，故选：D ．5．D【分析】由指数函数的性质求得1a >，由对数函数的性质求得(0,1)b ∈，由三角函数的诱导公式，可得0c <，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.20111((e ea ->==，由对数函数的性质，可得lg 2lg101b =<=且0b >，即(0,1)b ∈，由三角函数的诱导公式，可得6cos cos()cos 0555c ππππ==+=-<，所以c b a <<.故选：D.6．C【分析】分段函数在R 上单调递减，即：各段上都单调递减且分界点在左边解析式的函数值大于等于分界点在右边解析式的函数值.【详解】由题意，120120123121a a a a a-<⎧⎪<<⇒<≤⎨⎪-+≥⎩故选：C.7．C【分析】分01t <≤和1t >两种情况令14y ³，解不等式得到t 的范围即可得到杀虫剂的有效时间.【详解】由题图可知34,011,12t t t y t -<≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，当01t <≤时，令14y ³，即144t ≥，解得1116t ≤≤；当1t >时，令14y ³，即31124t -⎛⎫⎪≥⎝⎭，解得15t <≤，所以投放该杀虫剂的有效时间为17951616-=小时.故选：C.8．D【分析】根据函数的解析式和,m n 的取值范围可求出mn ＝1，从而利用基本不等式即可求出2m +n 的取值范围.【详解】因为f (x )＝|log 2x |，0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，所以22log log m n =，即22log log m n -=，所以mn ＝1．∴2m +n ≥2m ＝n ，即2m n =故2m +n 的取值范围为)⎡+∞⎣.故选：D ．9．CD【分析】取0a b >>，可判断A 选项；利用对数函数的基本性质可判断B 选项；利用指数函数的单调性可判断C 选项；利用不等式的基本性质可判断D 选项.【详解】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误；对于B ，函数ln y x =的定义域为()0,∞+，而a 、b 不一定是正数，所以B 错误；对于C ，因为0a b ->，所以()20221a b ->，所以C 正确；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：CD 10．ABD【分析】逐个选项进行验证，结合正切型函数的性质进行判断可得.【详解】对于选项A ，,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，4,323x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为增函数；对于选项B ，()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为T ωπ==π；对于选项C ，因为(0)()3f f π==，(0)(3f f π≠，所以图象不是关于直线6x π=成轴对称；对于选项D ，令32k x ππ+=，Z k ∈，得23k x ππ=-，令1k =得6x π=，所以图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称.故选：ABD.【点睛】本题主要考查正切型函数的性质，熟记性质的求解方法是解决本题的关键.侧重考查逻辑推理的核心素养.11．ACD【分析】转化为x ∀∈R ，240x x m ++≠，计算2440m ∆=-<，可得出m 的范围，即可判断A 项；根据不等式的性质，可判断B 项；求出11a<的等价条件为1a >或a<0，即可判断C 项；根据基本不等式，即可判断D 项.【详解】对于A 项，等价于x ∀∈R ，240x x m ++≠，则2440m ∆=-<，解得4m >，故A 项正确；对于B 项，因为22ab cb >，显然20b >，210b>，所以a c >；因为a c >，若0b =，则22ab cb =，故B 项不正确；对于C 项，111a a a--=，所以11a <等价于10a a -<，即()10a a ->，所以1a >或a<0.显然“1a >”是“1a >或a<0”的充分不必要条件，故C 项正确；对于D 项，当0x >时，2xx+≥2x x=，即x D 项正确.故选：ACD.12．CD【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到230x x +=，1(7,3]x ∈--，即可得到答案.【详解】函数()223,2211,2x x x f x x x ⎧--+≥-=⎨--<-⎩的图象图所示：设123x x x <<，因为()()()123f x f x f x ==，所以230x x +=，当2113x --=时，7x =-，2115x --=-时，3x =-，所以1(7,3]x ∈--，即1231(7,3]x x x x ++=∈--.故选：CD13．15-【分析】观察出788ππααπ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用诱导公式求解即可.【详解】因为71cos 85πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以771cos cos cos 8885πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：15-【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单.14．3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据题意，将问题转化为22430kx kx --+>恒成立问题，结合二次函数的性质即可得解.【详解】由题意可知，22430kx kx --+>恒成立，当0k =时，30>恒成立，当0k ≠时，20Δ16240k k k <⎧⎨=+<⎩，解得302k -<<，综上：302k -<≤，故k 的取值范围为3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.15．()4,2-.【分析】利用基本不等式求出x +2y 的最小值，进而得出m 的范围.【详解】∵x >0，y >0，x +2y =xy ，∴21x y+=1，∴2142(2)()4428x y x y x y x y y x +=++=++≥+，当且仅当4x yy x=，即4,2x y ==时等号成立，∴2x y +的最小值为8，由228m m +<解得42m -<<，∴实数m 的取值范围是()4,2-故答案为：()4,2-．16．8【分析】先对()f x 变形得())21log 41xxe f x e -=+++，再构造函数)21()log 1xxe g x x e -=++，判断()g x 为奇函数，从而由奇函数的性质可得答案【详解】由题意可得()))2221log 3log 411xx xe f x e e -=++=++++，令)21()log 1xxe g x e-=++，则()()4f x g x =+，[]6,6x ∈-因为)21()log 1xxe g x e ----=++21log +1x xe e -=121log )1xxe e --=-+21[log )]()1xxe g x e -=-+=-+所以)21()log 1xxe g x e ----=++为奇函数，所以()g x 在[6,6]-最大值与最小值之和为0，所以8M m +=.故答案为：8【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，解决本题的关键是将函数()f x 变形，得到())21log 41xxe f x e -=+++后，判断函数)21()log 1xxe g x x e -=++为奇函数，考查计算能力，属于中档题17．(1){}|24A B x x =≤≤ (2)(],2-∞【分析】（1）先解二次不等式化简集合A ，再根据集合的交集运算即可求得答案；（2）根据题意得到B A ⊆，分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列出关于a 的不等式组，解之即可.【详解】（1）由2120x x --≤可得34x -≤≤，所以{|34}A x x =-≤≤，又当3a =时，{|27}B x x =≤≤，所以{|24}A B x x ⋂=≤≤.（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当B =∅时，321a a -<-，可得12a <；当B ≠∅时，32113324a a a a -≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，可得122a ≤≤；综上：2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.18．（1）T π=；37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）⎡⎤⎣⎦【解析】（1）由2T πω=得到最小正周期，由3222242k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，得到()f x 的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦得到32444x πππ-≤-≤，从而得到()f x 的值域.【详解】（1）函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期为22T ππ==，由3222242k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，得37()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，k ∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以32444x πππ-≤-≤，所以sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()2sin 24f x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()f x的值域为⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查求正弦型函数的周期，单调区间和值域，属于简单题.19．(1)1a =(2)()2,+∞【分析】（1）根据()00f =得1a =，再检验即可；（2）先证明函数()f x 在R 上是增函数，再根据奇偶性得224x x k -+<恒成立，再结合二次函数性质求解即可.【详解】（1）解：∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，即02021a -=+，解得1a =；∴()22112121x x x f x -=-=++，∴()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，满足奇函数定义，∴1a =（2）解：设12,x x 是R 上的任意两个值，且12x x <，∴()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()1221122222221212121x x x x x x -=-=++++，∵12x x <，∴1222x x <，1211x +>，2211x +>，12220x x -<，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在R 上是增函数；∵()()2240f x x f x k -++--<∴()()224f x x f x k -+<---，∵()f x 为奇函数，∴()()224f x x f x k -+<+，∵()f x 为R 上单调递增函数，∴224x x x k -+<+，即224x x k -+<恒成立，∴()2max 24x x k -+<，∵()2224212x x x -+=--+，∴当1x =时，224x x -+取得最大值为2，∴2k >，即实数k 的取值范围为()2,+∞.20．（1）22020330,02()8049020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩；（2）3千克，最大利润是390元.【解析】（1）根据题意可以直接得到利润表达式；（2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案.【详解】（1）由已知()()10()2010f x W x x =-+，∴()22017(2010),02()80500(2010),251x x x f x x x x ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+<≤⎪-⎩，∴22020330,02()8049020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩.（2）由（1）得当02x ≤≤时，221()2020330203252f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴当02x ≤≤时，()()2370f x f ≤=；当25x <≤时，8080()4902049020(1)2011f x x x x x ⎡⎤=--=-+-+⎢⎥--⎣⎦8047020(1)1x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦470390≤-=，当且仅当()802011x x =--时，即3x =时等号成立，∵370390<，∴当3x =时，max ()390f x =，即当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21．(1)1a =，不等式的解集为()1,0-(2)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由指数函数的性质可求得定点，再将定点代入())f x x a =+即可求得a ，再解不等式()f x a <即可求得结果.（2）由（1）求得()g x ，再求得()h x 的解析式，画出图像，由图像可得b 的取值范围.【详解】（1）函数()g x 的图象恒过定点A ，当20x -=时，即2,2x y ==，∴A 点的坐标为()2,2，又A 点在()f x 上，∴()()222f a =+=，解得1a =，()f x a <，∴()10x +<=，∴011x <+<，∴10x -<<，∴不等式的解集为()1,0-；（2）由（1）知()()221x g x g x -==+，∴()()22212x h x g x b =+-=-=，分别画出()y h x =与2y b =的图象，如图所示：由图象可知：021b <<，故b 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．（Ⅰ）1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）存在，102a <≤.【解析】（Ⅰ）先把34a =代入解析式，再求对称轴，进而得到函数的单调性，即可求出值域；（Ⅱ）函数2()log 4x y f x =-在区间[]1,2内有且只有一个零点，转化为函数2()log h x x =和2()23g x ax x =-+的图象在[]1,2内有唯一交点，根据()g x 中a 是否为零，分类讨论，结合函数的性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）当34a =时，23()214f x x x =-+，对称轴为：43x =，所以函数()f x 在区间41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增；则()()()min max 41,2033f x f f x f ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间[1,2]上的值域为1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）由222()log 23log 4x y f x ax x x =-=-+-，令0y =，可得2223log 0ax x x -+-=，即2223log ax x x -+=，令2()23g x ax x =-+，2()log h x x =，[]1,2x ∈，函数2()log 4x y f x =-在区间[]1,2内有且只有一个零点，等价于两个函数()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点；①当0a =时，()23g x x =-+在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增，而()()()()1101,2112g h g h =>==-<=，所以函数()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点.②当a<0时，()g x 图象开口向下，对称轴为10x a=<，()g x 在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增，()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点，当且仅当(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩，即10411a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得112a -≤≤，所以10a -≤<.③当102a <≤时，()g x 图象开口向上，对称轴为12x a =≥，()g x 在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增，()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点，(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩，即10411a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得112a -≤≤，所以102a <≤.综上，存在实数11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使函数2()log 4x y f x =-于在区间[]1,2内有且只有一个点.【点睛】关键点睛：本题主要考查了求一元二次函数的值域问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.。
2022-2023学年湖南省株洲二中高一数学第一学期期末考试试题含解析
当 时， ， 或 ，
∴ 或 ；
【小问2详解】
由 是 的充分条件，知： ，
∴ ，解得 ，
∴ 的取值范围为 .
21、（1） ， ；
（2）
【解析】（1）解一元一次不等式求集合A，再应用集合的交并补运算求 及 .
（2）由集合的包含关系可得 ，结合已知即可得 的取值范围
【小问1详解】
由 得： ，所以 ，则 ，
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】解绝对值不等式求解集，根据充分、必要性的定义判断题设条件间的充分、必要关系.
【详解】由 ，可得 ，
∴“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
13．已知集合 ，则 的元素个数为___________.
14．已知 则 _______.
15．函数 函数的定义域为________________
16．已知平面 和直线 ，给出条件：
① ；② ；③ ；④ ；⑤
（1）当满足条件_________时，有 ；
（2）当满足条件________时，有 ．（填所选条件的序号）
同理方程 的两个解 也要关于直线 对称，同理
从而可得若关于 的方程 有一个正根，则方程 有两个不同的实数根；
若关于 的方程 有两个正根，则方程 有四个不同的实数根
综合以上情况可得，关于 的方程的解集不可能是 ．选D
非选择题
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、5
，则 ，
，所以 .
19、（1）1（2）
（3）答案见解析
湖南省湘西州2021-2022学年高一上学期期末数学试题含解析
所以 的定义域为 ，关于原点对称.
又因为 ，
所以函数 是奇函数.
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增.
（2）对任意 ，存在 ，使得不等式 成立，
等价于 ，
由（1）知 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
，
函数 的对称轴为 ，
当 时， ，则 ，
（2）利用平移变换，得到 ，再令 求解；
【小问1详解】
解：数据补充完整如下表：
0
0
5
0
－5
0
函数f（x）的解析式为； .
【小问2详解】
将 图象上所有点向左平移 个单位长度，
得到
由 ，可解得：
当 时，可得：
从而可得离原点O最近的对称中心为：
18.已知函数 ．
（1）当 时，求关于 的不等式 的解集；
（2）求关于 的不等式 的解集；
对于选项D，指数式 化为对数式为 ，故D正确.
故选：ACD.
9.已知实数 ， 满足等式 ，下列式子可以成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】分别画出 ， 的图象，结合图象即可判断
【详解】分别画出 ， 的图象，如示意图：
实数 ， 满足等式 ，
可得： ，或 ，或 ．
故选：ABD.
17.某同学将“五点法”画函数 在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 的解析式；
（2）将 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 图象，求 的图象离原点O最近的对称中心.
【答案】（1）表格见解析，
2022-2023学年湖南省湘潭市高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年湖南省湘潭市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知命题:N,e e x p x x ∃∈≤，则命题p 的否定为（ ） A ．N,e >e x x x ∃∈ B ．N,e e x x x ∃∈≥ C ．N,e e x x x ∀∈≤ D ．N,e e x x x ∀∈>【答案】D【分析】根据全称命题与特称命题之间的关系即可得出结果.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为N,e e x x x ∀∈>． 故选：D.2．若集合{1,4,7}A =-，{1,3,7,9}B =-，则A B =（ ） A ．{1,7}- B ．{1,3}- C ．{1,3,7}- D ．{1,3,4,7,9}-【答案】A【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合{1,4,7}A =-，{1,3,7,9}B =-， 所以{1,7}A B ⋂=-， 故选：A3．下列函数为增函数的是（ ） A ．()31log f x x= B ．()3f x x =C ．()sin f x x =D ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.【详解】函数()31log f x x =与()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内为减函数，不符合题意；函数()sin f x x =在π3π22⎛⎫⎪⎝⎭，上为减函数，不符合题意；根据幂函数的性质知()3f x x =为增函数.故选:B.4．若角α是第一象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C【分析】根据题意得18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，分k 为偶数和奇数求解即可.【详解】因为α是第三象限角，所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈， 所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角， 当k 为奇数时，2α是第三象限角.故选：C ． 5．函数()22111x f x x +=-+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项. 【详解】函数()22111x f x x +=-+的定义域为R ，()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+，因此()f x 是R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，选项C ，D 不满足； 又()1102f =>，所以选项B 不满足，选项A 符合题意. 故选：A6．设0.2.3203,0.3,log 2a b c ===，则（ ） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．a c b >> D ．b c a >>【答案】B【分析】根据指数和对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为0.20200.30.3331,00.30.31,log 2log 10a b c =>=<=<==<=，所以a b c >>.故选：B7．从盛有1L 纯酒精的容器中倒出2L 3，然后用水填满；再倒出2L 3，又用水填满；…；连续进行n 次，容器中的纯酒精少于0.01L ，则n 的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】利用指数的运算性质求解即可.【详解】由题意可得21110.0133100n n⎛⎫⎛⎫-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，*Z n ∈，因为45111111,3811003213100⎛⎫⎛⎫=>=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5n ≥，故选：A8．已知π3sin 54α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 210α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．716-B ．716C ．18-D ．18【答案】C【分析】利用换元法和二倍角公式求解即可.【详解】令π5t α=-，所以3sin 4t =，π5t α=+，所以2ππ1sin(2)sin(2)cos 212sin 1028t t t α+=+==-=-． 故选：C ．二、多选题9．下列等式正确的是（ ）A ．1sin15cos154︒︒=B．22sin 22.51︒-=C．sin 26cos34cos26sin 34︒︒+︒︒= D ．tan 71tan 2611tan 71tan 26︒-=+︒︒︒【答案】ACD【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=，A 正确；22sin 22.51cos 452︒-=-︒=-，B 错误； ()sin 26cos34cos 26sin 34sin 2634sin 60︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，C 正确； ()tan 71tan 26tan 7126tan 4511tan 71tan 26︒-︒=︒-︒=︒=+︒︒，D 正确；故选：ACD10．下列命题正确的是（ ） A ．若0a b >>，0m >，则a b m m> B ．若1a b <<，则33a b >C ．若0x >且1x ≠，则1ln 2ln x x +≥ D ．若正数a ，b 满足2a b +=，则112a b+≥【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项. 【详解】由不等式的性质可知，A 正确，B 错误； 当()0,1x ∈时，1ln 0ln x x+<，C 错误； 正数a ，b 满足2a b +=，则()1111222221121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，D 正确. 故选：AD.11．已知α是第三象限角，且2tan211tan2aα=-，则（ ）A ．tan 1α= B．sin α= C ．4sin 25α=D ．π1tan 43α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】利用正切的二倍角公式判断A ，利用同角三角函数关系判断B ，利用正弦的二倍角公式判断C ，利用正切的两角差公式判断D.【详解】由题意得22tan2tan 21tan 2ααα==-，A 错误；又α是第三象限角，sin 0α<，所以由22sin cos 1sin tan 2cos ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩解得sin α=，cos α=，B 正确；4sin 22sin cos 5ααα==，C 正确；πtan 11tan 41tan 3ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，D 错误；故选：BC12．高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数[]y x =，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ．如[]20222022=，[]1.71=，[]1.52-=-，记函数()[]f x x x =-，则（ ）A ．()2.90.9f -=B ．()f x 的值域为[)0,1C ．()f x 在[]0,5上有5个零点D ．a ∀∈R ，方程()f x x a +=有两个实根【答案】BD【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()[]()2.9 2.9 2.9 2.930.1f -=---=---=，选项A 错误； 当10x -≤<时，[]1x =-，()[]1f x x x x =-=+ 当01x ≤<时，[]0x =，()[]f x x x x =-=； 当12x ≤<时，[]1x =，()[]1f x x x x =-=-……以此类推，可得()[]f x x x =-的图象如下图所示，由图可知，()f x 的值域为[)0,1，选项B 正确； 由图可知，()f x 在[]0,5上有6个零点，选项C 错误；a ∀∈R ，函数()y f x =与y a x =-的图象有两个交点，如下图所示， 即方程()f x x a +=有两个根，选项D 正确．故选：BD三、填空题13．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知D 为OA 的中点，4OA =，3π4AOB ∠=，则此扇面（扇环ABCD ）部分的面积是__________.【答案】9π2【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.【详解】()2213π9π42242ABCD AOB DOC S S S =-=⨯⨯-=扇环扇形扇形. 故答案为：9π2. 14．若函数()()cos 2f x x ϕ=+的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，请写出一个ϕ的值：ϕ=______.【答案】π8（答案不唯一，符合ππ82k +，Z k ∈即可） 【分析】将2x ϕ+看作一个整体，利用余弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】由题意可知ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈， 解得ππ82k ϕ=+，Z k ∈， 故答案为：π8（答案不唯一，符合ππ82k +，Z k ∈即可） 15．已知()sin cos 2sin cos f αααα+=，则πcos 4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】12-##0.5-【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值. 【详解】已知()sin cos 2sin cos f αααα+=， 因为()2sin cos 12sin cos αααα+=+，所以令sin cos t αα=+，则()21f t t =-，则π11cos 1422f f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：12-16．已知0a >，函数2,0()πsin ,02π5ax a x f x ax x -+-<⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，已知()f x 有且仅有5个零点，则a 的取值范围为__________．【答案】191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】当2a ≥时，()f x 在(,0)-∞上无零点，所以()f x 在[0,2π]上有且仅有5个零点；当2a <时，()f x 在(,0)-∞上恰有一个零点，所以()f x 在[0,2π]上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象列式可求出结果.【详解】当0x <时，()2f x ax a =-+-，令()0f x =，得21x a=-， 若210a-≥，即2a ≥时，()f x 在(,0)-∞上无零点，所以()f x 在[0,2π]上有且仅有5个零点， 当[0,2π]x ∈时，πππ,2π555ax a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，所以π5π2π6π5a ≤+<，即1229510a ≤<. 若210a-<，即2a <时，()f x 在(,0)-∞上恰有一个零点，所以()f x 在[0,2π]上有且仅有4个零点，所以π4π2π5π5a ≤+<，即191255a ≤<， 又2a <，所以1925a ≤<. 综上所述：a 的取值范围为191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.四、解答题17．若角α终边上一点P 的坐标为()3,4m m ，其中0m ≠. (1)求tan α的值；(2)若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)4tan 3α=【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可；（2）利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.【详解】（1）因为角α终边上一点P 的坐标为()3,4m m ，且0m ≠， 所以由三角函数的定义可得44tan 33m m α==. （2）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以40,sin 5m α>==，3cos 5α==，所以πππsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫-=+=⎪⎝⎭.18．设全集U =R ，集合{}212200,{ln 2ln3},{25}M x x x N x x P x a x a =-+≤=<=<<+∣∣∣. (1)求(),UMN MN ；(2)若P N ⊆，求a 的取值范围. 【答案】(1){010}MN x x =<≤∣，(){}910UMN x x =≤≤∣(2)][)0,45,∞⎡⋃+⎣【分析】（1）由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合,M N ，再由集合的运算求解即可；（2）讨论P =∅、P ≠∅两种情况，根据包含关系求得a 的取值范围.【详解】（1）由{}212200M xx x =-+≤∣，得{}210M x x =≤≤∣， 由{ln 2ln3}N xx =<∣，得{09}N x x =<<∣，所以{010}M N x x =<≤∣.由{09}N xx =<<∣得{0UN x x =≤∣或9}x ≥，所以(){}910UMN x x =≤≤∣.（2）当P =∅时，25a a ≥+，即5a ≥，符合题意，当P ≠∅时，255920a a a a <+⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，解得04a ≤≤，符合题意.综上，a 的取值范围为][)0,45,∞⎡⋃+⎣.19．已知幂函数()()2211m f x m x -=-⋅在()0,∞+上单调递增.(1)求m 的值； (2)若()20,22f x ax x x∀>≥-，求a 的取值范围. 【答案】(1)2m = (2)[)2,+∞【分析】（1）根据幂函数的性质和概念求解即可；（2）不等式可转化为224a x x ≥-+对0x >恒成立，利用一元二次函数的图象和性质求224x x -+的最大值即可.【详解】（1）因为()()2211m f x m x -=-⋅是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，所以()211210m m ⎧-=⎪⎨->⎪⎩，解得2m =.（2）由（1）得()3f x x =，所以0,22a x x x∀>>-， 即224a x x ≥-+对0x >恒成立， 由一元二次函数的图象和性质可得当4122x 时，224x x -+有最大值2，所以2a ≥，即a 的取值范围为[)2,+∞. 20．已知函数()()()22log 4log 2f x x x =---． (1)求()f x 的定义域; (2)求()f x 的值域． 【答案】(1)()4,+∞ (2)(),0∞-【分析】（1）根据对数函数的定义域,列出不等式,解出即可.（2）运用对数运算性质将()f x 化简为22log 12x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭,根据(1)中的定义域求得212x --的范围,再根据2log y x =的单调性即可求得()f x 值域.【详解】（1）因为()()()22log 4log 2f x x x =---,所以4020x x ->⎧⎨->⎩,解得4x >, 所以()f x 的定义域为()4,+∞．（2）因为()()()22log 4log 2f x x x =--- 2224222log log log 1222x x x x x ---⎛⎫===- ⎪---⎝⎭, 由(1)知()f x 的定义域为()4,+∞, 所以22x ->,2012x <<-,20112x <-<-， 因为2log y x =是增函数，所以()2log 10f x <=，故()f x 的值域为(),0∞-．21．已知函数2()2ln (1)2n f x x x =+-+. (1)证明：当1n =时，()f x 在(1,e)上有零点.(2)当2n =时，关于x 的方程()f x m =在[1,2]上没有实数解，求m 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)(,3)(62ln2,)-∞++∞【分析】（1）根据零点存在性定理即可计算端点处的函数值进行求证，（2）根据函数的单调性求解()f x 在[1,2]x ∈上的值域，进而根据()min,m f x <⎡⎤⎣⎦ 或()max,m f x >⎡⎤⎣⎦即可求解.【详解】（1）当1n =时，2()2ln 2f x x x =-+， 因为2(1)10,(e)4e 0f f =>=-<，所以(1)(e)0f f <， 因此()f x 在(1,e)上有零点.（2）当2n =时，2()2ln 2f x x x =++，由于2ln ,y x y x ==均为[1,2]x ∈上的单调递增函数，故()f x 在[1,2]x ∈上单调递增.又(1)3,(2)62ln2f f ==+，故()f x 在[1,2]x ∈上的值域为[]3,62ln 2+，且关于x 的方程()f x m =在[1,2]上没有实数解，故()min m f x <⎡⎤⎣⎦ 或()max m f x >⎡⎤⎣⎦，即3m <或62ln 2m >+所以m 的取值范围为(,3)(62ln2,)-∞++∞.22．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)将()y f x =的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到()y g x =的图像，求函数()g x 的单调递增区间；(3)在第（2）问的前提下，对于任意1ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是否总存在实数2ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x m+=成立若存在，求出实数m 的值或取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()ππ5ππ,242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (3)存在，0m =【分析】（1）由题知1A =，7ππ4123T =-，求出T 从而得ω的值，将特殊点代入函数中求出ϕ，即可解决问题；（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求解单调区间即可； （3）假设存在实数m 的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由()()12f x g x m +=，得()()21g x m f x =-，再根据所给的角把()()21,g x m f x -范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可.【详解】（1）由图可知1A =，7πππ41234T =-=，则2ππT ω==，2ω=， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，77sin 126ππ1f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以7π2π(Z)π62k k ϕ+=-+∈，即5π2π(Z)3k k ϕ=-+∈ 又π2ϕ<，所以当1k =时，π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()y f x =的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变， 得：πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移π6个单位长度得到：()πππsin 4sin 4633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由πππ2π42π232k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，解得ππ5ππ242242k k x -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()g x 的单调递增区间为()ππ5ππ,242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z（3）由()()12f x g x m +=，得()()21g x m f x =-， 由1ππ33x -≤≤，得1ππ2π33x -≤+≤，所以1sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()11,m f x m m ⎡-∈-⎢⎣⎦. 又2ππ66x -≤≤，得2πππ433x -≤-≤，所以2π1sin 43x ⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭.由题可知1,m m ⎡⎡-⊆-⎢⎢⎣⎦⎣⎦，得11m m -≥-⎧⎪⎨≤⎪⎩解得0m =， 所以存在0m =，使得()()12f x g x m +=成立.。
2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)
2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题一、单选题1．已知集合{}{23},0,1,2A xx B =-<<=∣，则A B =（ ） A ．{}1,0,1,2- B ．2,0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C【分析】根据交集的定义即可求. 【详解】A B ={}0,1,2 故选：C.2．已知关于x 的一元二次不等式2320x x -+<的解集为{}x m x n <<∣，则m n +的值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.【详解】依题意可得，,m n 分别是关于x 的一元二次方程2320x x -+=的两根，根据韦达定理可得：3m n +=.故选：A.3．下列函数是偶函数的是（ ） A ．lg y x = B ．2x y = C ．3y x = D ．cos y x =【答案】D【分析】利用常见函数的奇偶性直接判断即可得出结论.【详解】函数lg y x =为非奇非偶函数；函数2x y =为非奇非偶函数； 函数3y x =为奇函数，函数cos y x =为偶函数. 故选：D.4．已知0.4231log 3,2,log 2a b c -===则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值0，1进得判断即可． 【详解】因为22log 3log 21a =>=，0.400221b -<=<=，331log log 102c =<=，所以a b c >>. 故选：A ．5．若,R a b ∈，则“a b <”是“ln ln a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出不等式ln ln a b <的等价条件，结合充分条件必要条件的定义即可. 【详解】由ln ln a b <得0a b <<， 因为若0a b <<，则a b <，反之不成立， 故“a b <”是“0a b <<”的必要不充分条件， 即“a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件. 故选：B6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若角α的终边过点12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ）A ．B ．12C ．D ．14【答案】A【分析】根据三角函数的定义得1sin ,cos 2y x r r αα====sin22sin cos ααα=解决即可.【详解】由题得，角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若角α的终边过点12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以1r OP ===,所以1sin ,cos 2y x r r αα====所以1sin22sin cos 22ααα⎛==⋅⋅= ⎝⎭故选：A7．2021年10月16日0时23分，长征二号F 遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v 满足公式：ln 1⎛⎫=+ ⎪⎝⎭M v w m ，其中M为火箭推进剂质量，m 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w 为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当3M m =时， 5.544=v 千米/秒．在保持w 不变的情况下，若25m =吨，假设要使v 超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M 至少约为（结果精确到1，参考数据：2e 7.389≈，ln 20.693≈）（ ） A ．135吨 B ．160吨 C ．185吨 D ．210吨【答案】B【分析】根据所给条件先求出w ，再由8v =千米/秒列方程求解即可. 【详解】因为当3M m =时， 5.544=v ， 所以 5.544 5.544ln 42ln 2w ==， 由 5.544ln(1)82ln 1ln 225M v w m M +⎛⎫=+=⎪⎝=⎭， 得ln 1225M ⎛⎫+≈ ⎪⎝⎭，所以21e 7.38925M+≈≈， 解得159.725160M =≈（吨）， 即M 至少约为160吨. 故选：B8．已知函数()()221,,R f x x g x x x =-+=-∈，用()M x 表示()(),f x g x 中的较小者，记为()()(){}min ,M x f x g x =，则()M x 的最大值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】D【分析】先把()M x 写成分段函数的形式，再求最大值即可 【详解】令221x x -+>-，即2210x x --<,解得1<<12x -, 所以[)21,,12()121,,1,2x x M x x x ∞∞⎧⎛⎫-∈- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪-+∈--⋃+ ⎥⎪⎝⎦⎩，当1,12x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由y x =-在定义域内单调递减可得11()22M x M ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，当[)1,1,2x -⎛⎤∈-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦时，由二次函数的性质可得max 11()()22M x M =-=,综上，函数()M x 的最大值为12，故选：D二、多选题9 ） A ．cos150 B ．cos12cos42sin12sin42+ C ．2sin15cos15 D ．22cos 15sin 15-【答案】BD【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案． 【详解】2c 3os150cos(180co 300)s3=-=-=-，故A 错误；()()cos12cos42sin12sin42cos 12cos cos304230︒︒︒︒+====--，故B 正确； 12sin15cos15sin 302︒︒︒==，故C 错误；22cos 15sin 1cos305︒-==D 正确． 故选：BD.10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是“2R,0x x ∀∈≤”B ．若正数,a b 满足1a b +=，则14ab ≤C ．函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是πD ．半径为1，圆心角为π3的扇形的弧长等于π3【答案】BCD【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A ；利用基本不等式可判断B ；利用三角函数的周期公式可判断C ；利用扇形的弧长公式可判断D.【详解】命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是“2R,0x x ∃∈<”，故A 错误； 2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故B 正确； 函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==，故C 正确；半径为1，圆心角为π3的扇形的弧长为ππ133⨯=，故D 正确.故选：BCD.11．已知函数()()2222,22x x x xf xg x ---+==，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于x 轴对称 B ．函数()f x 在区间()1,1-上单调递增 C ．()()()22f x f x g x = D ．()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦- 【答案】BC【分析】由函数的定义可判断A ；由函数2x y =与2x y -=-都是R 上的增函数可判断B ；计算等式的两边进行验证可判断C 、D.【详解】由函数的定义可知，函数()g x 的图象不关于x 轴对称，故A 错误； 因为函数2xy =与12()2xx y -=-=-都是R 上的增函数，则()222x xf x --=是R 上的增函数，所以函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，故B 正确；22222222(2)22()()222x x x x x xf x f xg x -----+==⋅⋅=，故C 正确；()222222x xg x -+=，()()22222222122x x x x g x f x --⎛-⎫⎛⎫+-=-=⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，故D 错误． 故选：BC.12．已知正实数,,x y z 满足236x y z ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．236x y z >>C ．24xy z <D ．4x y z +>【答案】AD【分析】令236x y z t ===，得出x y z ，，．选项A ，根据换底公式计算即可判断；选项B ，结合作差法和换底公式即可判断；选项C 、D ，利用换底公式进行化简，再结合基本不等式即可判断． 【详解】令236x y z t ===，则1t >，可得：2log x t =，3log y t =，6log z t =． 对于A ，231111lg 2lg 3lg 61log 6log log lg lg lg t x y t t t t t z+=+=+===，故A 正确； 对于B ，因为1t >，故lg 0t >，232lg 3lg 2log 3log lg 2lg323t t t x t y -=-=-()23lg lg3lg 2lg 2lg3t -=⋅9lg lg80lg 2lg3t =>⋅，即23x y >；()3623lg lg3lg lg 62lg33lg 6lg 3363log 6log 0lg3lg 6lg3lg 6lg3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅，即36y z <，故B 错误． 对于C ，()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t t xy t t =⋅=⋅=⋅，()()()2222624lg lg 44log 4lg 6lg 6t t z t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，lg 0t >， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭，（因为lg 2lg3≠所以等号不成立）， 所以()214lg 2lg3lg 6>⋅，则()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⋅，即24xy z >，故C 错误； 对于D ，23lg lg lg 6lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t t x y t t ⋅+=+=+=⋅，64lg 44log lg 6t z t ==，lg 0t >， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭，（因为lg 2lg3≠所以等号不成立）， 所以()214lg 2lg3lg 6>⋅，则()2lg 6lg 4lg 6lg 4lg lg 2lg3lg 6lg 6t t t⋅⋅>=⋅，即4x y z +>，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题13．若幂函数()y f x =的图象经过点(2，则()4f 的值等于_________. 【答案】2【解析】设出幂函数()f x x α=，将点(2代入解析式，求出解析式即可求解. 【详解】设()f x x α=，函数图像经过(2，2α=，解得12α=， 所以12()f x x =， 所以()12442f ==. 故答案为：2【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 14．1323log 3log 28⋅+=__________.【答案】3【分析】根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案.【详解】解：1323lg 3lg 2log 3log 2823lg 2lg 3⋅+=⋅+=. 故答案为：3.15．若函数()f x 满足：（1）对于任意实数12,x x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <；（2）()()()1212f x x f x f x +=，则()f x =__________.（写出满足这些条件的一个函数即可）【答案】2x （答案不唯一）【分析】由条件（1）可判断函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；条件（2）符合指数幂的运算性质：1212x x x x a a a +=⋅，（0a >且1a ≠），即可得解. 【详解】由条件（1）对于任意实数12,x x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <，可得函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，条件（2）符合指数幂的运算性质：1212x x x x a a a +=⋅，（0a >且1a ≠），故可选一个单调递增的指数函数：()2xf x =．故答案为：2x （答案不唯一）．16．已知R t ∈，函数()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()40f x -=恰有2个实数解，则t 的取值范围是__________.【答案】(]()4,14,∞-⋃+【分析】根据分段函数，得函数图象，求得()40f x -=是所有可能的根，结合图象可的方程()40f x -=恰有2个实数解时t 的取值范围.【详解】解：函数()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩，函数图象如下图所示：方程()40f x -=，若40x -=，即34x =；若2340x x +-=，得14x =-，21x =；结合图象可知：当4t ≤-时，方程()40f x -=仅有一个实数解4x =；当41t -<≤时，方程()40f x -=恰有两个实数解4x =-，4x =； 当14t <≤时，方程()40f x -=恰有三个实数解4x =-，1x =，4x =； 当4t >时，方程()40f x -=恰有两个实数解4x =-，1x =；综上，若方程()40f x -=恰有2个实数解，则t 的取值范围是(]()4,14,∞-⋃+. 故答案为：(]()4,14,∞-⋃+.四、解答题17．已知集合{}21,{26}A xa x a B x x =<<+=<<∣∣. (1)当2a =时，求A B ⋂； (2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){25}xx <<∣(2)⎡⎣【分析】（1）由交集的定义求解即可； （2）根据题意列出不等式组求解．【详解】（1）当2a =时，{25}A x x =<<∣ 因为{26}B xx =<<∣ 所以{25}A B xx ⋂=<<∣. （2）22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，21a a ∴<+恒成立，A ∴≠∅，A B ⊆22,?16a a ≥⎧∴⎨+≤⎩，解得：2a ≤≤故实数a 的取值范围为⎡⎣.18．已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()()4g x f x =-，求()g x 的零点. 【答案】(1)()1,1- (2)零点为1517.【分析】（1）根据函数有意义，建立不等式组，求解即可； （2）令()0g x =，得()4f x =，解方程即可．【详解】（1）由题意得1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<.所以()f x 的定义域为()1,1-.（2）令()()()40,4g x f x f x =-=∴= 211log 41611x x x x ++∴=⇒=--，解得()151,117x =∈-， 故()g x 的零点为1517. 19．（1）已知sin 2cos 0αα+=，求22cos sin sin cos αααα-的值；（2）在①sin 2cos 0αα+=，②sin cos αα+=解答.已知α为第四象限的角，__________.4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）16（2）【分析】（1）由题意得tan 2α=-，所求式子弦化切代入计算即可；（2）选择①：由同角的三角函数关系式求得sin ,cos αα，然后利用两角差的正弦计算即可；选择②：利用22(sin cos )2(sin cos )αααα-=-+结合角的范围求得sin cos αα-，然后利用两角差的正弦计算即可.【详解】（1）由sin 2cos 0αα+=，得tan 2α=-， 222cos 11.sin sin cos tan tan 6αααααα∴==-- （2）选择①：sin 2cos 0αα+=，即tan 2α=-，α为第四象限的角，sin 0,cos 0αα∴<>，又22sin cos 1,sin αααα+=∴==sin cos αα∴-=)sin cos 4πααα⎛⎫--= ⎪⎝⎭选择②：sin cos αα+=22sin cos 1αα+=， 229(sin cos )2(sin cos )5αααα∴-=-+=，α为第四象限的角，sin 0,cos 0αα∴<>，sin cos αα∴-=)sin cos 422πααα⎛⎫--=-⎪⎝⎭20．为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务，推动“一极六区”建设走深走实，郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略，加大科技创新力度，以科技创新催生高质量发展．某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中，计划该技术全年需投入固定成本600万元，每生产x 百件该产品，需另投入成本()p x 万元，且210,060()6400712000,60x x x p x x x x ⎧-<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，假设该产品销售单价为0.7万元/件，且每年生产的产品当年能全部销完．(1)求全年的利润()f x 万元关于年产量x 百件的函数关系式；(2)试求该企业全年产量为多少百件时，所获利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)280600,060()64001400(),60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩(2)当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．【分析】（1）根据题意分为060x <<，60x ≥两种情况，求得函数解析式； （2）结合二次函数的性质和基本不等式，分段讨论得出最大值．【详解】（1）（1）当060x <<时，()()22706001080600f x x x x x x =---=-+-当60x ≥时，()64006400706007120001400f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则280600,060()64001400(),60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2）（2）若060x <<，()()2208060000041f x x x x =-++-=--，则当40x =时，()max ()401000f x f ==（万元） 若()6400640060,14001400214001601240x f x x x x x ⎛⎫≥=-+≤-⋅=-= ⎪⎝⎭（万元）， 当且仅当80x =时“＝”成立．则当80x =时，max ()1240f x =（万元）1000万元1240<万元，故当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．21．已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若对于任意的[]12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数m 的最大值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2)1724π【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出ω，将点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入新解析式，得5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出ϕ，将点()0,1代入新解析式，即可得出A ，即可得出答案；（2）设()()()h x f x g x =-，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出()h x 在区间[],m m π-上单调递减，由三角函数的单调区间解出()h x 的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.【详解】（1）由图像可知，周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 22Tπω∴==， 因为点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图像上， 所以5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又02πϕ<<， 554663πππϕ∴<+<， 则56πϕπ+=，即6πϕ=， 因为点()0,1在函数图像上，所以sin 16A π=，即2A =，故函数()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由题意可得()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 设()()()2sin 22cos 266h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22,6412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ []12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，即()()()()1122f x g x f x g x -<-恒成立，即()()12h x h x <恒成立，()h x ∴在区间[],m m π-上单调递减， 令32222122k x k πππππ+≤-≤+，解得719,2424k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因为m m π-<，所以2m π>，则2m ππ-<， 故7241924m m πππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得17224m ππ<≤， 所以m 最大值为1724π. 22．已知函数()()22R 21x x t t f x t ⋅-+=∈+为奇函数.(1)利用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)若正数,a b 满足()()2120f a f b ++-=，求2212a b +++的最小值； (3)解不等式()22220f x x -+->. 【答案】(1)证明见解析； (2)165；(3)((),2,-∞+∞. 【分析】（1）利用函数的奇偶性得出1t =，然后利用函数单调性的定义证明即可；（2）由已知条件求得21a b +=，即()2125a b +++=，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可； （3）令()()g x f x x =+，易知()g x 是奇函数，且在R 上单调递增，又()00g =，不等式()()()22222020f x x g x g -+->⇔->，从而220x ->，求解即可． 【详解】（1）函数()f x 的定义域是R ，由题意得()00f =，解得：1t =，则()2121x f x =-+， ()()22222112021212121x x x x x f x f x -⋅-+=-+-=--=++++，f x 为奇函数，故1t =，任取12,R x x ∈，且12x x <， 则()()12211222221121212121x x x x f x f x -=--+=-++++()()()()12122121111122222221212121x x x x x x x x +++++---==++++， 因为12,R x x ∈，且12x x <，所以121211220,210,210x x x x ++<-+>+>， 所以()()()()122111122202121x x x x f x f x ++-=<++-，故()()12f x f x <， 所以函数()f x 在R 上单调递增；（2）因为()()()2120,f a f b f x ++-=为奇函数，所以()()()2122f a f b f b +=--=-，又函数()f x 在R 上单调递增，所以正实数,a b 满足21221a b a b +=-⇒+=，所以()2125a b +++=，所以()2412421212512a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()228118512b a a b ⎡⎤++=++⎢⎥++⎣⎦116855⎡⎢≥+=⎢⎣， 当且仅当()()24112b a a b ++=++，即11,42a b 时取等号， 所以2412a b +++的最小值为165. （3）令()()2121x x g x f x x -=+=++， 因为()y f x =和y x =都是奇函数，且在R 上单调递增，所以()g x 是奇函数，且在R 上单调递增.又()00g =，不等式()()()22222020f x x g x g -+->⇔->.从而220x ->，解得x x <故不等式的解集为((),2,-∞+∞.。
2022-2023学年湖南省衡阳市雁峰区名校高一年级上册学期期末考试数学试卷【含答案】
衡阳市雁峰区名校2022-2023学年高一上学期期末考试数 学考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．与角终边相同的角是（）20-︒A ．B ．C ．D ．300-︒280-︒320︒340︒2．不等式的解集是（）2320x x --≥A ．B ．C ．D ．213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或3．“”是“”的（）1x >11x <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数的零点所在的一个区间是（）()152xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．()3,2--()2,1--()1,0-()0,15．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大()xf x a =()f x 为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象()g x ()g x 2恰好与函数的图象重合，则a 的值是（）()f xA ．B ．CD ．32236．函数（，）的部分图象如图所示，则 （）()()2sin f x x ωϕ=+0ω>2πϕ<()f π=A ．B ．CD 7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围1()ax f x x a -=-(2,)+∞a 是（）A ．，，B ．(-∞1)(1-⋃)∞+(1,1)-C ．，，D ．，，(-∞1)(1-⋃2](-∞1)(1-⋃2)8．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为()2022a=2223b =c a b =A ．B ．C ．D ．c a b >>b a c >>a c b >>a b c>>二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法中正确的是（ ）A ．若a >b ，则B ．若-2<a <3，1<b <2，则-3<a -b <12211a bc c >++C ．若a >b >0，m >0，则D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd m m a b <10．下列各式中，值为的是（ ）12A ．B ．C ．D5πsin62sin 45122-21011．已知函数，，则（ ）()1212xxf x -=+())lg g x x =-A ．函数为偶函数B ．函数为奇函数()f x ()g x C ．函数在区间上的最大值与最小值之和为0()()()F x f x g x =+[]1,1-D ．设，则的解集为()()()F x f x g x =+()()210F a F a +--<()1,+∞12．已知函数，则（ ）()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．函数的最小正周期为|()|y f x =πB ．直线是图象的一条对称轴58x π=()y f x =C.是图象的一个对称中心3(,0)8π()y f x =D ．若时，在区间上单调，则的取值范围是或0ω>()f x ω,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω10,8⎛⎤⎥⎝⎦15,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）13．若函数的最小正周期是，则的取值可以是______.（写()()tan()03f x x πωω=+≠2πω出一个即可）.14．已知函数，若，则_____________.()sin 1f x a x bx =++()12f -=()1f =15． 已知:{} ,max , .a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，(){}1max 2,42x f x x -=--x ()f x t=则实数的取值范围是．16.设函数，若对于任意实数，在区间上()()()2sin 10f x x ωϕω=+->ϕ()f x 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是ω四、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知f （α）＝．2sin ()cos(2)tan()sin()tan(3)παπαπαπααπ-⋅-⋅-+-+⋅-+（1）化简f （α）；（2）若α＝，求f （α）的值．313π-18．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x ∈R |≥}，集合B ＝{x ∈R |（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0}．a ∈R 22log x 2log 2x （）（1）求集合A ；（2）若B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数，，且该函数的图象经过点，.()bf x ax x =+,a b R ∈()1,0-32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求a ，b 的值；（2）已知直线与x 轴交于点T ，且与函数的图像只有一个公共点.求()1y kx m k =+≠()f x 的最大值.（其中O 为坐标原点）OT20．（本小题满分12分）比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车60km/h 每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：Q wh x km/hx0104060Q142044806720为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数Q x 模型供选择：①；②；．3211()250Q x x x cx =-+22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()300log aQ x x b =+(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），060x ≤≤并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从衡阳行驶到长沙，其中，国道上行驶，高速上行驶50km ．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度300km Q 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，x x km/h [80,120]x ∈且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足N wh x km/h ）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的2()210200(80120)N x x x x =-+≤≤总耗电量最少，最少总耗电量为多少？21．（本小题满分12分）已知，.sin cos x x t +=t ⎡∈⎣(1)当且是第四象限角时，求的值；12t =x 33sin cos x x -(2)若关于的方程有实数根，求的取值范围.（x ()sin cos sin cos 1x x a x x -++=a ）()3322()a b a b a ab b -=-++22．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足()f x D a 1x D ∈2x D ∈，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.()122x f x a +=()f x a ()f x (1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：()2x f x =(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；()sin()(0)6g x x πωω=+>[0,1]x ∈ω(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.2()23h x tx x =++[0,2]x ∈衡阳市雁峰区名校2022-2023学年高一上学期期末考试数 学参考答案：1．D【分析】由终边相同的角的性质即可求解.【详解】因为与角终边相同的角是，，20-︒20360k -︒+︒Z k ∈当时，这个角为，1k =340︒只有选项D 满足，其他选项不满足.Z k ∈故选：D.2．C【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】解：232(32)(1)0x x x x --=+-≥解得：.213x x ≤-≥或故选：C.3．A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，所以，，，11x <10xx -<(1)0x x ∴-<(1)0x x ∴->或，0x ∴<1x >当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；1x >0x <1x >1x >11x <当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.0x <1x >1x >1x >11x <所以“”是“”的充分不必要条件.1x >11x <故选：A 4．B【分析】由零点的存在性定理求解即可【详解】∵，，()360f -=>()210f -=>，，()120f -=-<()040f =-<根据零点的存在性定理知，函数的零点所在区间为．()f x ()2,1--故选：B 5．D【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的a 等式，进而可求得实数的值.a 【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数()3xg x a =()g x 2，()23x f x a -=又因为，所以，，整理可得，()xf x a =23x x a a -=23a =因为且，解得0a >1a ≠a =故选：D.6．A【解析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出()f x ()f x ω5,212π⎛⎫⎪⎝⎭值，则函数的解析式可求，取可得的值.ϕ()f x x π=()f π【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则.()f x 521212T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22T πω==又，则，5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ则，，则，，5262k ϕπ=π+π+Z k ∈23k πϕπ=-Z k ∈，则，，则，22ππϕ-<<0k =3πϕ=-()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 22sin 33f ππππ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像()()sin 0,0,2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭求函数解析式的方法：（1）求、，；A ()()max min:2f x f x b A -=()()max min2f x f x b +=（2）求出函数的最小正周期，进而得出；T 2T πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.ϕ7．C【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范21()a f x a x a -=+-a 围.【详解】解：根据题意，函数，221()11()ax a x a a a f x ax a x a x a --+--===+---若在区间上单调递减，必有，()f x (2,)+∞2102a a ⎧->⎨⎩ 解可得：或，即的取值范围为，，，1a <-12a < a (-∞1)(1-⋃2]故选：C ．8．D【详解】分别对，，两边取对数，得，，2022a =2223b =c a b =20log 22a =22log 23b =．log a c b =．()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b -⋅-=-=-=⋅由基本不等式，得:，()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，()2lg 22lg 20lg 230-⋅>即，所以．0a b ->1a b >>又，所以.log log 1a a c b a =<=a b c >>故选：D ．9．AC【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.【详解】对于A ，因c 2+1>0，于是有>0，而a >b ，由不等式性质得，A 211c +2211a bc c >++正确；对于B ，因为1<b <2，所以-2<-b <-1，同向不等式相加得-4<a -b <2，B 错误；对于C ，因为a >b >0，所以，又因为m >0，所以，C 正确；11a b <m m a b <对于D ，且，而，即ac >bd 不一定成立，D 错误.12->-23->-(1)(2)(2)(3)-⋅-<--故选：AC10．ABD【分析】利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，；5πππ1sinsin πsin 6662⎛⎫=-==⎪⎝⎭对于B 选项，；221sin 452==对于C 选项，122-==对于D.()121018030302=+=== 故选：ABD.11．BCD【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案【详解】对于A ：，定义域为，，()1212x x f x -=+R ()()12121212x xx xf x f x -----==-=-++则为奇函数，故A 错误；()f x 对于B ：，定义域为，())lgg x x=R ，()()))()lglgg x x x g x -=-=-=-则为奇函数，故B 正确；()g x 对于C ：，，都为奇函数，()()()F x f x g x =+()f x ()g x 则为奇函数，()()()F x f x g x =+在区间上的最大值与最小值互为相反数，()()()F x f x g x =+[]1,1-必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C 正确；()F x []1,1-对于D ：，则在上为减函数，()1221221122121x x x x xf x ⎛⎫-+-==-=- ⎪+++⎝⎭()f x R在上为减函数，())lg g x x ==()g x R 则在上为减函数，()()()F x f x g x =+R 若即，()()210F a F a +--<()()21F a F a <+则必有，解得，21a a >+1a >即的解集为，故D 正确；()()210F a F a +--<()1,+∞故选：BCD 12．BCD【详解】因为函数的最小正周期为，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22T ππ==而函数周期为，故A 错误；|()|y f x =2π当时，，58x π=553()sin 2sin(18842f ππππ⎛⎫=⨯+==- ⎪⎝⎭所以直线是图象的一条对称轴，故B 正确；58x π=()y f x =故C 正确38x π=33()sin 2sin()0884f ππππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭时，在区间上单调，0ω>()sin(24f x x πωω=+,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦即，2,2444x πππωωπωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦所以或04242πωπππωπ⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩423242ππωπππωπ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得或，故D 正确.108ω<≤1548ω≤≤故选：BCD.【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．13．2或-2 （写一个即可）14. 015．24t <<【分析】根据函数新定义求出函数解析式，画出函数的图象，利用转化的思想将()f x ()f x 方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围.【详解】由题意知，令，解得，1242x x -=--20x x x ==，根据，得，{}max a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，作出函数的图象如图所示，()f x 由方程有3个不等的根，()0f x t -=得函数图象与直线有3个不同的交点，()y f x =y t =由图象可得，当时函数图象与直线有3个不同的交点，24t <<()y f x =y t =所以t 的取值范围为.24t <<故答案为：24t <<16.：.1643ω≤<【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根t x ωϕ=+1sin 2t =sin y t =12y =据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.ω【详解】令，则()0f x =()1sin 2x ωϕ+=令，则t x ωϕ=+1sin 2t =则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t ，使得，sin y t =3,44ππωϕωϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦1sin 2t =求的取值范围.ω作出和的图像，观察交点个数，sin y t =12y =可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，1sin 2t =223ππ+由题意列不等式的：3222443πππωϕωϕππ⎛⎫⎛⎫≤+-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：.1643ω≤<【点睛】研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令），转化为研究t x ωϕ=+的图像和性质较为方便.sin y t =17、解：（1）f （a ）＝＝＝sin α•cos α…5分（2）∵α＝﹣＝﹣6×，∴f （﹣）＝cos （﹣）sin （﹣）＝cos （﹣6×）sin （﹣6×）＝cossin＝＝﹣…10分18、解：（1）根据题意，集合A ＝{x ∈R |2log 2x ≥log 2（2x ）}，即，则，得x ≥2，则集合A ＝{x ∈R |x ≥2}，（2）∁R A ＝{x ∈R |x ＜2}，又集合B ＝{x ∈R |（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0}，①当a ＝1时，（x ﹣1）2＜0，则无解，故B ＝∅，满足B ⊆∁R A ，②当a ＞1时，由（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0，得1＜x ＜a ，若B ⊆∁R A ，则a ≤2，得1＜a ≤2，③当a ＜1时，由（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0，得a ＜x ＜1，显然满足B ⊆∁R A ，综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．19．（Ⅰ）; （Ⅱ）1.11a b =⎧⎨=-⎩【分析】（Ⅰ）根据已知点的坐标，利用函数的解析式，得到关于的方程组，求解即得;,a b （Ⅱ）设,则直线方程可以写成, 与函数(),0T t ()1y kx m k =+≠()y k x t =-联立，消去，利用判别式求得，利用二次函数的性质求得()1y f x x x ==-y 22114t k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值1，进而得到的最大值.2t OT 【详解】（Ⅰ）由已知得，解得;03222a b b a --=⎧⎪⎨+=⎪⎩11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）设,则直线方程可以写成,与函数(),0T t ()1y kx m k =+≠()y k x t =-联立，消去，并整理得()1y f x x x ==-y ()2110k x ktx --+=由已知得判别式,()22410k t k --=22114,t k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，取得最大值1，所以.112k =2t maxmax 1OT t ==20.【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.【详解】（1）解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，3()300log a Q x x b =+0x =对于②，当时，，又，22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10x =1022(10)13Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭所以，故不符合题意，故选①，1022(10)113Q ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭3211()250Q x x x cx=-+由表中的数据可得，，解得3211021010142050c ⨯-⨯+⨯=160c =∴．（不需要说明理由，写对解析式即可）321()216050Q x x x x =-+（2）解：高速上行驶，所用时间为，300km 300hx 则所耗电量为，()2300300100()()2102006003000f x N x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=+- ⎪⎝⎭由对勾函数的性质可知，在上单调递增，()f x [80,120]∴，min 100()(80)60080300045750wh80f x f ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭国道上行驶，所用时间为，50km 50hx 则所耗电量为，32250501()()2160100800050g x Q x x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭∵，∴当时，，060x ≤≤50x =min ()(50)5500wh g x g ==∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，80km/h 50km/h 该车从衡阳行驶到长沙的总耗电量最少，最少为．45750550051250wh +=21．(1)(2)[)1,+∞【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求出、的值，再结合立方差sin cos x x sin cos x x -公式可求得所求代数式的值；（2）由已知可得出，，分、211022t at -+-=t ⎡∈⎣0=t 0t <≤时直接验证即可，在时，由参变量分离法可得出，结合基本不0=t 0t <≤112a t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭等式可求得实数的取值范围，综合可得结果.a 【详解】（1）解：因为，即，则，12t =1sin cos 2x x +=()21sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=即，3sin cos 8x x =-所以.()27sin cos 12sin cos 4x x x x -=-=因为是第四象限角，则，，所以，所以x sin 0x <cos 0x >sin cos 0x x -<sin cos x x -=所以()()33223sin cos sin cos sin sin cos cos 18x x x x x x x x ⎛⎫-=-++=-= ⎪⎝⎭（2）解：由，可得，()2sin cos 12sin cos x x x x+=+()21sin cos 12x x t =-则方程可化为，.()sin cos sin cos 1x x a x x -++=211022t at -+-=t ⎡∈⎣①当时，，显然方程无解；0=t 12-≠②当时，方程等价于.0t ≠211022t at -+-=112at t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当，当且仅当时，等号成立，0t <≤111122t t ⎛⎫+≥⨯= ⎪⎝⎭1t =又，10,t t t →+→+∞故，1112a t t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭所以要使得关于的方程有实数根，则.x sin cos (sin cos )1x x a x x -++=1a ≥故的取值范围是.a [)1,+∞22．(1)不是，理由见解析；(2)；5[,)6π+∞(3).12-【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值()2xf x =2()f x 12y a x =-域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此2()g x [0,1]12y a x =-[0,1]推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借2()h x [0,2]12y a x =-[0,2]助a 值的唯一性即可推理计算作答.(1)假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R ，则存在，对于，()2x f x =()2xf x =R a ∈1x ∀∈R 存在，有，2R x ∈2122x x a+=即，依题意，函数在R 上的值域应包含函数在R 上的值2122x a x =-22()2x f x =12y a x =-域，而当时，值域是，当时，的值域是R ，显然不2R x ∈2()f x (0,)+∞1R x ∈12y a x =-(0,)+∞包含R ，所以函数不是 “自均值函数”.()2xf x =(2)依题意，存在，对于，存在，有，即R a ∈1[0,1]x ∀∈2[0,1]x ∈12()2x g x a +=，21sin()26x a x πω+=-当时，的值域是，因此在的值域1[0,1]x ∈12y a x =-[21,2]a a -22()sin(6g x x πω=+2[0,1]x ∈包含，[21,2]a a -当时，而，则，2[0,1]x ∈0ω>2666x πππωω≤+≤+若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间62ππω+≤2min 1()2g x =2()1g x ≤2()g x 12长度为1，不符合题意，[21,2]a a -于是得，，要在的值域包含，62ππω+>2max()1g x =22()sin()6g x x πω=+2[0,1]x ∈[21,2]a a -则在的最小值小于等于0，又时，递减，22()sin()6g x x πω=+2[0,1]x ∈23[,]622x πππω+∈2()g x 且，()0π=g 从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在6πωπ+≥56πω≥12a =12y a x =-[0,1]2()g x 的值域，2[0,1]x ∈所以的取值范围是.ω5[,)6π+∞(3)依题意，存在，对于，存在，有，即R a ∈1[0,2]x ∀∈2[0,2]x ∈12()2x h x a +=，2221232tx x a x ++=-当时，的值域是，因此在的值域1[0,2]x ∈12y a x =-[22,2]a a -2222()23h x tx x =++2[0,2]x ∈包含，并且有唯一的a 值，[22,2]a a -当时，在单调递增，在的值域是，0t ≥2()h x [0,2]2()h x 2[0,2]x ∈[3,47]t +由得，解得，此时a 的值不唯一，不符合[22,2][3,47]a a t -⊆+223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩57222a t ≤≤+要求，当时，函数的对称轴为，0t <2222()23h x tx x =++21x t =-当，即时，在单调递增，在的值域是，12t -≥102t -≤<2()h x [0,2]2()h x 2[0,2]x ∈[3,47]t +由得，解得，要a 的值唯一，当且仅当[22,2][3,47]a a t -⊆+223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩57222a t ≤≤+，即，则，57222t =+15,22t a =-=12t =-当，即时，，，，102t <-<21t <-2max 11()()3h x h t t =-=-2min ()min{(0),(2)}h x h h =(0)3h =，(2)47h t =+由且得：，此时a 的值不唯一，不符合要求，1[22,2][3,3]a a t -⊆-112t -≤<-531222a t ≤≤-由且得，，要a 的值唯一，当且仅当1[22,2][47,3a a t t -⊆+-1t <-9312222t a t +≤≤-，此时；9312222t t +=-t =a =综上得：或，12t =-t =所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是2()23h x tx x =++[0,2]x ∈12-【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x 值域的子集.()g x。
高一数学第一学期期末测试题和答案
高一数学第一学期期末测试题本试卷共4页，20题，满分为150分钟，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{13,4,5,7,9}=A ，B {3,5,7,8,10}=，那么=AB （ ）A 、{13,4,5,7,8,9}，B 、{1,4,8,9}C 、{3,5,7}D 、{3,5,7,8} 2．cos()6π-的值是（ ）A B ． C ．12 D ．12- 3．函数)1ln()(-=x x f 的定义域是（ ）A ． ),1(+∞B ．),1[+∞C ． ),0(+∞D ．),0[+∞ 4．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ) A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 5．函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是 （ ） A ．(1,2) B ．(,3)e C ．(2,)e D ．(,)e +∞7．已知0.30.2a=，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则（ ）A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a 8．若函数23()(23)m f x m x-=+是幂函数，则m 的值为（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、2 9．若1tan()47πα+=，则tan α=（ ）A 、34 B 、43C 、34-D 、43-10．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知函数()()()2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ . 12．已知3tan =α，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-= ；13．若cos α=﹣，且α∈（π，），则tan α= ．14．设{1,2,3,4,5,6},B {1,2,7,8},A ==定义A 与B 的差集为{|},A B x x A x B A A B -=∈∉--，且则（）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（满分12分）（1）4253sin cos tan()364πππ-（2）22lg 4lg 25ln 2e -+-+16．（满分12分）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭)(R x ∈ (1)求()f x 的振幅和初相;(2)该函数图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？17.（本题满分14分） 已知函数()sin 2cos 21f x x x =+-（1）把函数化为()sin(),(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的形式，并求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取得最大值时x 的集合； 18.（满分14分）()2sin(),(0,0,),()62.1(0)228730(),(),sin 35617f x x A x R f x f ABC A B C f A f B C πωωπωππ=->>∈+=+=-已知函数且的最小正周期是（）求和的值；（）已知锐角的三个内角分别为，，，若求的值。
湖南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}24M x x =≤{}24xN x =<M N ⋂=A ． B ． {}2x x ≤-{}22x x -≤<C ． D ．{}22x x -≤≤{}02x x <<【答案】B【分析】化简集合即得解.M N 、【详解】由题得， {}22,{|2}M x x N x x =-≤≤=<所以. M N ⋂={}22x x -≤<故选：B2．”是“”的（ ） b >2a b >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据不等式性质，结合特殊值，从充分性和必要性进行分析，即可判断和选择.【详解】取，但不满足，故充分性不满足； 4,3a b ==-b >2a b >当，故满足必要性； 20a b >≥b >综上所述，”是“”的必要不充分条件. b >2a b >故选：B.3．函数的定义域为，则的定义域为（ ） ()21y f x =-[]0,1()y f x =A ． B ．C ．D ．[]1,1-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,1[]1,0-【答案】A【分析】由的取值范围求得的范围，即得所求 x 21x -【详解】因为，所以， 01x ≤≤1211-≤-≤x 所以的定义域为 ()y f x =[]1,1-故选：A.4．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）2()||1x f x x =+A ．函数是奇函数B ．函数的值域是()f x ()f x ()1,+∞C ．函数在R 上是增函数D ．方程有实根()f x ()2f x =【答案】D【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断【详解】对于A ，，故是偶函数，，不是奇函数，2()()()||1x f x f x x --==-+()f x (1)(1)1f f -==()f x 故A 错误，对于B ，当时，，由对勾函数性质知，0x ≥21()1211x f x x x x ==++-++()()00f x f ≥=而是偶函数，的值域是，故B 错误，()f x ()f x [0,)+∞对于C ，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，0x >21()1211x f x x x x ==++-++()f x (0,)+∞而是偶函数，故在上单调递减，故C 错误，()f x ()f x (,0)-∞对于D ，当时，，即，解得，故D 正确， 0x >()2f x =2220x x --=1x =+故选：D5．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()()22f a f a -≥-a A ． B ．C ．D ．[2,1]-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(,1]-∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据分段函数每一段的单调性及端点值判断函数在定义域内的单调性，再利用单调性解抽象不等式即可.【详解】因为，当时单调递减，且，()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩0x ≤()3x f x -=()1f x ≥当时，单调递减，且，0x >3()f x x =-()0f x <所以函数在定义域上单调递减，因为，()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()22()f a f a -≥-所以，解得，即实数的取值范围为：. 22a a -≤-21a -≤≤a [2,1]-故选：A.6．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a 的取值范围是22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩y x =（ ） A ．B ．(,1)-∞(,1]-∞-C ．D ．[1,1)-(,1][2,)-∞-+∞ 【答案】B【分析】根据的值域为列不等式，由此求得的取值范围.()f x R a 【详解】依题意，，22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩当时，，1x ≥2()33=≥f x x 函数的值域与函数的值域相同，即为，()f x y x =R 需满足，解得.∴()211310a a a ⎧-⨯+≥⎨->⎩1a ≤-所以实数a 的取值范围是. (,1]-∞-故选：B7．已知函数则下述关系式正确的是（ ）()e 31e 111e ,log ,log ,log ,3e 9xf x a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． B ． b a c >>b c a >>C ． D ．c a b >>a b c >>【答案】A【分析】根据，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减求解. ||()x f x e -=【详解】解：∵，||()x f x e -=∴f （x ）为偶函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴.e e 331e 111(log (log 3),(log )(log e),(log )3e 9======a f f b f f c f e (log 9)f ∵， 3e e 0log e 1log 3log 9<<<<∴， b a c >>故选：A.8．已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）0ω>()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭ωA ． B ． C ． D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1339,,2222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据的最值点为，进而根据不等式得到，由()sin f x x ω=ππ+2,k x k ω=∈Z 1132k ωω<+<的取值范围即可求解.ωk ，【详解】当取最值时，．()sin f x x ω=ππ+,2x k k ω=∈Z 即， ππ+2,k x k ω=∈Z 由题知，故． ππ+π2<<π3ωk 1132k ωω<+<即．33,2Z 1,2k k k ωω⎧<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩因为时，；时，； 0,0k ω>=1322ω<<1k =3922ω<<显然当时，，此时在上必有最值点．32ω>2πππ2=π32232T ωω==<()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭综上，所求．133,,222ω⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选:D ．二、多选题9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π6()g x 象，则（ ）A ．的图象关于轴对称B ．的最小正周期是 ()g x y ()g x πC ．的图象关于点对称D ．在上单调递减()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】根据余弦函数图象的平移变换可得的解析式，结合余弦函数的奇偶性、周期、对称()g x 性以及单调性一一判断各选项，即可得答案. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则()f x π6()g x ,()πππ2cos 22cos 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦该函数不是偶函数，最小正周期为，则A 错误，B 正确. 2ππ2=令，，解得，，当时，， ππ262x k π-=+Z k ∈ππ23k x =+Z k ∈1k =-π6x =-即的图象关于点对称，则C 正确.()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭令，，解得，，π2π22ππ6k x k ≤-≤+Z k ∈π7πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈当时，即得在上单调递减，则D 正确.0k =()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BCD.10．下列说法正确的是（ ）A ．若不等式的解集为，则220ax x c ++>{}12x x -<<2a c +=B ．若命题，则的否定为 ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤C ．在中，“”是“”的充要条件ABC A sin cos sin cos A A B B +=+A B =D ．若对恒成立，则实数的取值范围为 2320mx x m ++<[]0,1m ∀∈x ()2,1--【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解法可判断A ；由全称量词命题的否定可判断B ；由充要条件的判断可判断C ；变元转化为一次函数恒成立可判断D【详解】对于A ：不等式的解集为，220ax x c ++>{}12x x -<<则和是方程的两个根，故，1-2220ax x c ++=()()021212a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩解得，所以，故A 正确； 2,4a c =-=2a c +=对于B ：命题， ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->则的否定为，故B 正确；p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤对于C ：由可得， sin cos sin cos A A B B +=+2sin cos 2sin cos A A B B ⋅=⋅所以， sin2sin2A B =又， 0<222πA B +<所以或， π2A B +=A B =所以“”不是“”的充要条件，故C 错误；sin cos sin cos A A B B +=+A B =对于D ：令，由对恒成立，()()223f m x m x +=+()0f m <[]0,1m ∀∈则，解得， ()()20301320f x f x x ⎧=<⎪⎨=++<⎪⎩2<<1x --所以实数的取值范围为，故D 正确； x ()2,1--故选：ABD11．下列说法正确的是（ ）A ．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 αα-B ．如果，是第一象限的角，且，则 αβαβ<sin sin αβ<C ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为3ππ23πD ．若圆心角为的扇形的弦长为23π83π【答案】AD【分析】由象限角的概念判断A ；举反例判断B ；由扇形弧长、面积公式计算判断C ，D 作答. 【详解】对于A ，是第一象限的角，即，则α22,Z 2k k k ππαπ<<+Î，22,Z 2k k k ππαπ--<<-Î是第四象限的角，A 正确；α-对于B ，令，，是第一象限的角，且，而，B 不正确； 11,66ππαβ=-=αβαβ<sin sin αβ=对于C ，设扇形所在圆半径为r ，则有，解得，扇形面积，C 不正3r ππ=3r =13322S ππ=⨯⨯=确；对于D ，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长23πr '4r '==2833l r ππ'==，D 正确. 故选：AD12．已知函数，，，有，()()23log 1f x x =-()22g x x x a =-+[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤则实数a 的可能取值是（ ） A ． B ．1 C ．D ．31252【答案】CD【分析】将问题转化为当，时，，然后分别求出两函数的[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12min min f x g x ≤最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案【详解】，有等价于当，时，[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．()()12min min f x g x ≤当时，令，则，因为在上为增函数，在定义[)2,x ∞∈+21t x =-3log y t =21t x =-[2,)+∞3log y t =域内为增函数，所以函数在上单调递增，所以．()()23log 1f x x =-[2,)+∞()()min 21f x f ==的图象开口向上且对称轴为， ()22g x x x a =-+1x =∴当时，，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()min 11g x g a ==-∴，解得． 11a ≤-2a ≥故选：CD ．三、填空题13．函数的定义域为___________.3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可. 32,Z 42x k k πππ-≠+∈【详解】若使函数有意义，需满足：， 32,Z 42x k k πππ-≠+∈解得； 5,Z 82k x k ππ≠+∈故答案为： 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14．函数的单调递减区间是______.()20.8log 43y x x =-+-【答案】(]1,2【分析】先求得函数的定义域，结合二次函数、对数函数的单调性，利用复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数，()20.8log 43y x x =-+-令，即，解得，2430x x -+->243(1)(3)0x x x x -+=--<13x <<又由函数的对称为，可得在区间单调递增，在单调递减， 2=+43y x x --2x =(1,2](2,3)又因为函数为定义域上的单调递减函数，0.8log y x =根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递减区间是.()20.8log 43y x x =-+-(1,2]故答案为：.(1,2]15．已知是第四象限角，且___________.αcos α=()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】3-【分析】利用同角三角函数关系可得.sin α=【详解】由题设， sin α==. ()()sin cos cos sin 3sin cos cos sin 22πααααππαααα++--===-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：3-16．命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是[]1,1m ∈-[]0,3x ∈2210x x am ---=______.【答案】11a -<<【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依221x x am -=+22y x x =-1y am =+据，，分类讨论，数形结合，求解a 的范围即可 0a =0a >a<0【详解】由得：；2210x x am ---=221x x am -=+当时，，则，解得：∵，，满足题意； 0a =11am +=221x x -=1x =[]10,3[]10,3当时，；若存在唯一的，使得成立，则0a >[]11,1am a a +∈-+[]0,3x ∈221x x am -=+22y x x =-与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所1y am =+22y x x =-[]0,3示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解013am <+≤22y x x =-1y am =+0131aa<-⎧⎨≥+⎩得：，则；1a <01a <<当时，,结合图象可得：，解得：，则；a<0[]11,1am a a +∈+-0131aa <+⎧⎨≥-⎩1a >-10a -<<综上所述：原命题成立的充要条件为， 11a -<<故答案为：-1<a <1.四、解答题17．设集合，.{}24120A x x x =--={}20B x ax =-=(1)若，求a 的值； {}2,1,6A B =- (2)若，求实数a 组成的集合C . A B B = 【答案】(1) 2a =(2)11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出集合，根据，即可得出，从而即得； A A B ⋃1B ∈（2）由题可知，然后分类讨论，从而得出实数组成的集合． B A ⊆a 【详解】（1）由，解得或，所以， 24120x x --=2x =-6x ={}2,6A =-因为， {}2,1,6A B =- 所以，则， 1B ∈120a ⋅-=所以；2a =（2）因为，则， A B B = B A ⊆当时，； B =∅0a =当时，；{}2B =-1a =-当时，，{}6B =13a =综上可得集合.11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭18．已知函数. ()()222log log 2f x x x =--(1)若 ， 求 的取值范围; ()0f x …x (2)当时， 求函数 的值域. 184x ≤≤()f x【答案】(1)；1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2). 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用换元法令，列不等式先解出的范围，再解出的范围即可； 2log x t =t x （2）利用（1）中的换元，先得到的范围，再根据的范围求值域即可.t t 【详解】（1）令，，可整理为，则即，解得2log x t =R t ∈()f x 22y t t =--()0f x ≤220t t --≤，所以，解得， 12t -≤≤21log 2x -≤≤142x ≤≤所以.1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，因为，且当，有最小值；184x ≤≤23t -≤≤22y t t =--12t =94-当或3时，有最大值4； 2t =-所以的值域为.()f x 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19．设函数.()2,4f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；()f x （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．()f x 3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 【答案】（1），；（2）见解析 T π=3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据正弦函数性质求函数的最小正周期和单调递增区间； ()f x （2）先确定取值范围，再根据正弦函数性质求最值及其对应自变量.24t x π=-【详解】（1）函数的最小正周期为 ， ()f x 22T ππ==由的单调增区间是可得sin y x =2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，解得222242k x k πππππ-+≤-≤+388k x k ππππ-+≤≤+故函数的单调递增区间是． ()f x 3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）设，则，24t x π=-3,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由在上的性质知，当时，即，y t =50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2t π=38x π=max f当时，即， ． 54t π=34x π=min 1f ⎛=- ⎝【点睛】本题考查正弦函数周期、单调区间、最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 20．已知定义域为R 的函数是奇函数， ()221x f x a =++（1）求的值．a （2）判断函数在上的单调性并加以证明；()f x R （3）若对于任意不等式恒成立，求的取值范围． ,t R ∈()()22620f t t f t k -+-<k 【答案】（1）；（2）减函数；（3）1a =-(),3-∞-【详解】试题分析：（1）可利用如果奇函数在处有意义，一定满足，代入即可解得；（2）用单调性定义证明，特别注意“变形”这一步中，需通过通分、分解因式等手段，达到能判断差式的符号的目的；（3）含参数的不等式恒成立问题，我们往往可以采用分离参数的办法，将其转化为求函数的最值问题，从而求得参数的取值范围．试题解析：（1）因为是R 上的奇函数，则()f x ()00=f 即所以 20,11a +=+1a =-又成立，所以()()f x f x -=-1a =-（2）证明：设， 12x x <()()()()()21121212222221121212121x x x x x x f x f x --=--+=++++因为，所以，故12x x <1222x x <()()12f x f x >所以是R 上的减函数且为奇函数()f x （3）由于是R 上的减函数且为奇函数()f x 故不等式可化为()()22620f t t f t k -+-<()()2262f t t f k t -<-所以 即恒成立2262t t k t ->-()2236313k t t t <-=--所以 ，即的取值范围为3k <-k (),3∞--21．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当p t 时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(]0,14t ∈[]14,40t ∈图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时学习效果()()log 5830,1a y x a a =-+>≠p 最佳．（1）试求的函数关系式；()p f t =（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．【答案】（1）（2）1232t -≤≤【详解】【解】（1）当时， [014]t ∈，设，2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<所以当时，. [014]t ∈，21()(12)824p f t t ==--+当时，将(14，81)代入，得 [1440]t ∈，()log 583a y x =-+1.3a =于是（2）解不等式组得1214.t -<解不等式组得131440{log (5)8380t t ≤≤-+>，1432.t ≤<故当时，，1232t -<<()80p t >答：老师在时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳．()1232t ∈-22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，()y T x =1x 2x ()()121T x T x ⋅=则称该函数为“圆满函数”.已知函数；()sin ,()224x x f x x g x π-==-（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；()y f x =（2）设，证明：有且只有一个零点，且. 2()log ()h x x f x =+()h x 0x 05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足123x =2x ；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当22sin()sin 1434x ππ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭(]0,2x ∈时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式()2,x ∈+∞()h x ()2,∞+0sin 4x g π⎛⎫ ⎪⎝⎭00156x x -<.【详解】解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得 ()sin 4f x x π=123x =2x R ∈，即，整理得，但是，矛盾，所以()()121f x f x =2sinsin 164x ππ⋅=2sin 24x π=2sin 14x π≤()y f x =不是“圆满函数”. （2）易知函数的图象在上连续不断. ()2log sin 4h x x x π=+()0+∞，①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.(]0,2x ∈2log y x =sin 4y x π=(]0,2()h x (]0,2因为，， 2222221log sin log log 033632h π⎛⎫=+=+=< ⎪⎝⎭()1sin 04h π=>所以.根据函数零点存在定理，存在，使得， ()2103h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =所以在上有且只有一个零点.()h x (]0,20x ②当时，因为单调递增，所以，因为.所以()2,x ∈+∞2log y x =22log log 21y x =>=sin 14y x π=≥-，所以在上没有零点.()110h x >-=()h x ()2,∞+综上：有且只有一个零点. ()h x 0x 因为，即，()0020log sin 04x h x x π=+=020sin log 4x x π=-所以，. ()2020log log 020001sin log 224x x x g g x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为在上单调递减，所以，所以. 1y x x =-2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭001325236x x -<-=05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在，使得，再利用，化简，利用02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =020sin log 4x x π=-()020sin log 4x g g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用函数的最值证明不等式.. 02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
湖南省株洲市第二中学2022-2023学年高一数学第一学期期末监测试题含解析
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
C.(0,1)D.(1,2)
6．在同一直角坐标系中，函数 的图像可能是（）
A. B.
C. D.
7．已知a，b， ，那么下列命题中正确的是（）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，且 ，则 D.若 ，且 ，则
8．已知水平放置的四边形 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 ， ， ， ，则原四边形 的面积为（）
【详解】解：函数 为奇函数，
当 时， ，所以 ，
所以 ， ，
故
故选：C.
2、B
【解析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果
【详解】因为 ， ， ，所以可以得到
，由题意可知 ，
所以至少需要7天，累计感染病例数增加至 的4倍
故选：B
3、C
【解析】根据对数型复合函数的性质计算可得；
【详解】解：因为函数 的值域为 ，所以 的最小值为 ，所以 ；
（1）求 的表达式，并求当发车时间间隔为 分钟时，地铁的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为 （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？每分钟的最大净收益为多少？
21．已知圆 过 ， ，且圆心在直线 上
（1）求此圆的方程
（2）求与直线 垂直且与圆相切的直线方程
湖南省醴陵二中、醴陵四中2022年高一数学第一学期期末联考试题含解析
C.x 1 x 2
D.x x 2
3．设全集U R ，集合 A {x | 4 x 2} ， B {x | 3x 1}，则 A ( U B) （ ）
A.{x | 4 x 1}
B.{x | 4 x 0}
C.{x | 4 x 2}
D.{x | 0 x 2}
4．下列等式中，正确的是（）
A. n an a
C.
6
52
1
5 3
B.
2
log2
3
2 3
1
D. 3 2 2 22
5．设 a 30.3 ， b log 3 ， c log0.3e ，则 a，b，c 的大小关系是 ( )
A. a b c
B. c b a
C. b a c
D. c a b
6．设 a 30.7 ,
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
点
（1）求证: PE AD （2）若 CA CB ，求证:平面 PEC 平面 PAB
22．已知集合 A x | 5 x 2， B x | x 5或x 1 ， C x | m 1 x m 1 .
（Ⅰ）求 A B ， ACRB ；
（Ⅱ）若 B C ，求实数 m 的取值范围.
参考答案
【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 a, b, c 的大小关系. 【详解】因为 a 30.7 1，
湖南省郴州市高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）若集合A={x|﹣2≤x＜1}，B={x|0＜x≤2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2≤x≤2}B．{x|﹣2≤x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x≤2}2．（4分）下列函数中，在R上单调递减的是（）A．y=|x| B．y=log2x C．y=x D．y=（）x3．（4分）函数f（x）=的定义域为（）A．③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（4分）三视图如图的几何体的全面积是（）A．B．C．D．7．（4分）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．8．（4分）函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（）A．（5，6）B．（3，4）C．（2，3）D．（1，2）9．（4分）设点P是Z轴上一点，且点P到M（1，0，2）与点N（1，﹣3，1）的距离相等，则点P的坐标是（）A．（﹣3，﹣3，0）B．（0，0，3）C．（0，﹣3，﹣3）D．（0，0，﹣3）10．（4分）设r＞0，两圆（x﹣1）2+（y+3）2=r2与x2+y2=16可能（）A．相离B．相交C．内切或内含或相交D．外切或外离二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于．12．（4分）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是．13．（4分）已知函f（x）=，则f（f（））=．14．（4分）若f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax，且f（3）=6，则实数a的值为．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．三、解答题16．（6分）求经过直线l1：3x+2y﹣5=0，l2：3x﹣2y﹣1=0的交点且平行于直线2x+y﹣5=0的直线方程．17．（8分）已知函数f（x）=（a＞1）（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性（Ⅱ）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并用定义证明．18．（8分）如图，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2，点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB，PC（Ⅰ）求证：BC⊥PB（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的余弦值．19．（9分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．（2）当AE为何值时，绿地面积最大？20．（9分）已知圆方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）求m的值；（2）在（1）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．某某省某某市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）若集合A={x|﹣2≤x＜1}，B={x|0＜x≤2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2≤x≤2}B．{x|﹣2≤x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x≤2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={x|﹣2≤x＜1}，B={x|0＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）下列函数中，在R上单调递减的是（）A．y=|x| B．y=log2x C．y=x D．y=（）x考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的性质分别进行判断即可．解答：解：y=|x|在（﹣∞，0]上为减函数，在分析：利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．解答：解：由题意解得x∈解答：解：a=2﹣1=，b=log3＜0，c=（）﹣1=，所以b＜a＜c，故选：B．点评：本题主要考查了指数函数的性质和对数函数的性质，属于基础题．5．（4分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：根据线面平行的性质，线面垂直的性质，面面平行的判定，结合空间点线面之间的关系，我们逐一分析已知中的三个命题即可得到答案．解答：解：m∥α，n∥α，时，m与n可能平行、可能异面也可能相交，故①错误；m∥α，n⊥α时，存在直线l⊂α，使m∥l，则n⊥l，也必有n⊥m，故②正确；m⊥α，m∥β时，直线l⊂β，使l∥m，则n⊥β，则α⊥β，故③正确；故选C点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定方法，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．6．（4分）三视图如图的几何体的全面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，一条侧棱与底面垂直，且侧棱的长是1，另外两条侧棱长，得到表面积．解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，一条侧棱与底面垂直，且侧棱的长是1，∴四棱锥的表面积是1×+2×=2+故选A．点评：本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是看出几何体的各个部分的长度，本题是一个基础题．7．（4分）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题．分析：由题意可知，本题需作辅助线，可以根据三角形的特征，进行求解．解答：解：已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角∠PAO的余弦值等于，故选A．点评：本题考查学生的空间想象能力，以及学生对三角形的利用，是基础题．8．（4分）函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（）A．（5，6）B．（3，4）C．（2，3）D．（1，2）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：根据函数零点存在定理，若f（x）=log3x﹣8+2x若在区间（a，b）上存在零点，则f（a）•f（b）＜0，我们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案．解答：解：当x=3时，f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0当x=4时，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞0即f（3）•f（4）＜0又∵函数f（x）=log3x﹣8+2x为连续函数故函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（3，4）故选B点评：本题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法：①解方程；②利用零点存在定理；③利用函数的图象，其中当函数的解析式已知时（如本题），我们常采用零点存在定理．9．（4分）设点P是Z轴上一点，且点P到M（1，0，2）与点N（1，﹣3，1）的距离相等，则点P的坐标是（）A．（﹣3，﹣3，0）B．（0，0，3）C．（0，﹣3，﹣3）D．（0，0，﹣3）考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：设出M点的坐标，利用点P到M（1，0，2）与点N（1，﹣3，1）的距离相等，列出方程即可求出M的坐标．解答：解：由题意设P（0，0，z），因为点P到M（1，0，2）与点N（1，﹣3，1）的距离相等，所以，=解得z=﹣3．所以P的坐标为（0，0，﹣3）．故选：D．点评：本题考查空间两点的距离公式的求法，考查计算能力．10．（4分）设r＞0，两圆（x﹣1）2+（y+3）2=r2与x2+y2=16可能（）A．相离B．相交C．内切或内含或相交D．外切或外离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：先计算两圆的圆心距，再与半径的和差比较，可判断．解答：解：∵两圆圆心坐标为（1，﹣3），（0，0）∴两圆的圆心距的平方为（0﹣1）2+（0+3）2=10，半径分别为4，r，∴当时，两圆相交；当时，两圆内切；当时，两圆内含．故选C．点评：本题主要考查圆与圆的位置关系，利用代数方法可解．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于2π．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：设圆柱的高为：h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为h，由圆柱的侧面积是4π，得h2π=4π，求出h=2，由此能求出圆柱的体积．解答：解：设圆柱的高为h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为：h，因为圆柱的侧面积是4π，所以h2π=4π，∴h=2，所以圆柱的底面半径为：1，圆柱的体积：π×12×2=2π．故答案为：2π．点评：本题考查圆柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．（4分）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是4x﹣2y﹣5=0．考点：直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：要求线段AB的垂直平分线，即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出AB的中点M的坐标，利用A与B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1得到垂直平分线的斜率，根据M的坐标和求出的斜率写出AB的垂直平分线的方程即可．解答：解：设M的坐标为（x，y），则x==2，y==，所以M（2，）因为直线AB的斜率为=﹣，所以线段AB垂直平分线的斜率k=2，则线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=2（x﹣2）化简得4x﹣2y﹣5=0故答案为：4x﹣2y﹣5=0点评：此题考查学生会利用中点坐标公式求线段中点的坐标，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道中档题．13．（4分）已知函f（x）=，则f（f（））=．考点：对数的运算性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数直接进行求值即可．解答：解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．点评：本题主要考查分段函数求值，比较基础．14．（4分）若f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax，且f（3）=6，则实数a的值为5．考点：函数奇偶性的性质．分析：利用函数是奇函数，由f（3）=6，得到f（﹣3）=﹣f（3）=﹣6，代入表达式即可求解．解答：解：因为f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax，且f（3）=6，所以f（﹣3）=﹣f（3）=﹣6，即f（﹣3）=9﹣3a=﹣6，所以3a=15，解得a=5．故答案为：5．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，比较基础．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．考点：直线的斜率；直线和圆的方程的应用．专题：压轴题；数形结合．分析：本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．解答：解：如图示，由图形可知：点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以．点评：垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所地的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小…．三、解答题16．（6分）求经过直线l1：3x+2y﹣5=0，l2：3x﹣2y﹣1=0的交点且平行于直线2x+y﹣5=0的直线方程．考点：待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：联立，解得交点坐标（1，1），与直线2x+y﹣5=0平行的直线为：2x+y+m=0，把（1，1）代入解得即可．解答：解：联立，解得，交点坐标（1，1）．与直线2x+y﹣5=0平行的直线为：2x+y+m=0，把（1，1）代入可得2+1+m=0，解得m=﹣3．∴所求的直线方程为：2x+y﹣3=0．点评：本题考查了直线的交点坐标、平行线的斜率之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．17．（8分）已知函数f（x）=（a＞1）（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性（Ⅱ）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并用定义证明．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得函数的定义域为R，可得f（﹣x）=﹣f（x），可得奇函数；（Ⅱ）设x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，可判定f（x1）﹣f（x2）的符号，由单调性的定义可得结论．解答：解：（Ⅰ）可得函数的定义域为R，f（﹣x）===﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数，证明如下：设x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣==，∵a＞1且x1＜x2，∴﹣＜0，∴＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．点评：本题考查函数的单调性和奇偶性，涉及单调性的定义法证明，属基础题．18．（8分）如图，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2，点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB，PC（Ⅰ）求证：BC⊥PB（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的余弦值．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件AD∥BC，PA⊥AD，从而得到BC⊥PA，再由BC⊥AB，即可得到BC⊥平面PAB，从而得出BC⊥PB；（Ⅱ）由PA⊥AD，PA⊥AB即可得到PA⊥平面ABCD，从而连接AC，∠PCA便是PC与平面ABCD 所成角，从而求出AC，PC的长，在直角三角形PAC中即可求出cos∠PCA．解答：解：（Ⅰ）证明：∵A、D分别是RB、RC的中点；∴AD∥BC，∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°；∴PA⊥AD，PA⊥BC；又BC⊥AB，PA∩AB=A；∴BC⊥平面PAB；∵PB⊂平面PAB；∴BC⊥PB；（Ⅱ）由PA⊥A D，PA⊥AB，AD∩AB=A；∴PA⊥平面ABCD；连接AC，则∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角；∵AB=1，BC=2，∴AC=；又PA=1，PA⊥AC，∴PC=；∴在Rt△PAC中，cos；∴PC与平面ABCD所成角的余弦值为．点评：考查三角形中位线的性质，弄清折叠前后不变的量，线面垂直的判定定理及其性质，线面角的概念及求法，直角三角形边的关系．19．（9分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．（2）当AE为何值时，绿地面积最大？考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：（1）先求得四边形ABCD，△AHE的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解．解答：解：（1）S△AEH=S△CFG=x2，（1分）S△BEF=S△DGH=（a﹣x）（2﹣x）．（2分）∴y=S ABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF=2a﹣x2﹣（a﹣x）（2﹣x）=﹣2x2+（a+2）x．（5分）由，得0＜x≤2（6分）∴y=﹣2x2+（a+2）x，0＜x≤2（7分）（2）当，即a＜6时，则x=时，y取最大值．（9分）当≥2，即a≥6时，y=﹣2x2+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，则x=2时，y取最大值2a﹣4（11分）综上所述：当a＜6时，AE=时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a﹣4（12分）点评：本题主要考查实际问题中的建模和解模能力，注意二次函数求最值的方法．20．（9分）已知圆方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）求m的值；（2）在（1）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）将圆的方程与直线方程联立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，利用韦达定理，即可求出m的值；（2）确定圆心坐标与半径，即可求以MN为直径的圆的方程．解答：解：（1）由x2+y2﹣2x﹣4y+m=0得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m由5﹣m＞0，可得m＜5…（2分）于是由题意把x=4﹣2y代入x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，得 5y2﹣16y+8+m=0…..（3分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，…（4分）∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0…（5分）∴5y1y2﹣8（y1+y2）+16=0∴，满足题意…（8分）（2）设圆心为（a，b），则a=，b=…．（9分）半径r==•=…（12分）∴圆的方程…（13分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查圆的方程，正确运用韦达定理是关键．。
湖南省长沙市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含答案
长沙市2023-2024学年高一第一学期期末考试数学（答案在最后）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2430,21x A x x x B y y =-+≤==+，则A B ⋃=（）A.()1,+∞ B.[)1,+∞ C.()1,3 D.[)1,3【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，求出函数的值域化简集合B ，再利用并集的定义求解即得.【详解】解不等式2430x x -+≤，得13x ≤≤，即[1,3]A =，而211x y =+>，则(1,)B =+∞，所以[)1,A B ⋃=+∞.故选：B2.已知空间向量,a b 且2AB a b =+ ，56BC a b =-+ ，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D【答案】A 【解析】【分析】A 选项，计算出242B a b D AB =+=，A 正确；B 选项，设AB BC μ= ，得到方程组，无解；C选项，设BC mCD = ，得到方程组，无解；D 选项，计算出48AC a b =-+ ，设AC nCD =，得到方程组，无解.【详解】A 选项，5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=，所以A ，B ，D 三点共线，A 正确；B 选项，设AB BC μ= ，则()256a b a b μ-+=+ ，即5162μμ-=⎧⎨=⎩，无解，B 错误；C 选项，设BC mCD = ，则()7625a b m a b -= ，即7526m m =-⎧⎨-=⎩，无解，C 错误；D 选项，25648a b a AC AB b a BC b +-+==+-=+ ，设AC nCD =，即()4827a b n a b -+=- ，即7428n n =-⎧⎨-=⎩，无解，D 错误.故选：A3.要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.【详解】ππsin 2sin 236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴只需将sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度即可.故选：B.4.如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，,E F 分别为,BC CD 的中点，G 为EF 中点，则=AG （）A.2133+ AB AD B.1233+AB AD C.3344+AB AD D.2233+AB AD 【答案】C 【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.【详解】根据题意：()12AG AE AF =+又12=+=+ AE AB BE AB AD12AF AD DF AD AB=+=+ 所以3344AG AB AD =+ 故选：C【点睛】本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.5.已知下列四组陈述句：①α：集合A B A C ⋂=⋂；β：集合B C =；②α：集合A B C A ⊆⊆⊆；β：集合A B C ==；③:{|21,}x x x n n α∈=+∈Z ；:{|61,}x x x n n β∈=-∈N ；④α：1a b +>；β：2()1a b +>．其中α是β的必要非充分条件的有（）A.①②B.③④C.②④D.①③【答案】D 【解析】【分析】根据集合间的关系以及不等式的性质判断求解即可.【详解】①若A B A C ⋂=⋂，则,B C 不一定相等，不是充分条件，若B C =，则A B A C ⋂=⋂一定成立，是必要条件，所以α是β的必要非充分条件，故①符合题意；②若集合A B C A ⊆⊆⊆，则集合A B C ==，反之也成立，所以α是β的充要条件，故②不符合题意；③由{|21,}x x x n n ∈=+∈Z 得不到{|61,}x x x n n ∈=-∈N ，由{|61,}x x x n n ∈=-∈N 能得到{|21,}x x x n n ∈=+∈Z ，所以α是β的必要非充分条件，故③符合题意；④根据不等式的性质由1a b +>可得2()1a b +>，但由2()1a b +>得1a b +>或1a b +<-，即由2()1a b +>得不到1a b +>，所以α是β的充分不必要条件，故④不符合题意；故选:D.6.向量()1,2a = ，()2,1b =-- ，那么向量a b - 在a 上的投影向量为（）A.918,55⎛⎫⎪⎝⎭B.12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C.612,55⎛⎫⎪⎝⎭ D.36,55⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由平面向量的坐标运算、投影向量的计算公式即可求解．【详解】因为()1,2a = ，()2,1b =-- ，所以()3,3a b -=，则a b -在a上的投影向量的模为()cos ,5a b a a b a a b a -⋅-⋅-==，则a b - 在a 上的投影向量为95918,555a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.故选：A ．7.浏阳市在全国先行探索高质量发展建设共同富裕示范区，若全市年平均增长率以8%来计算，全市生产总值翻一番需要经过（）（四舍五入，lg20.3010,lg30.4771≈≈）A.7年 B.8年C.9年D.10年【答案】C 【解析】【分析】由题意可得()0.0812t+=，结合对数运算法则计算即可得.【详解】若某年生产总值为x ，则t 年后生产总值为()0.081tx +，若市生产总值翻一番，则有()()0.0810.0812ttx x+=+=，即 1.08lg 2lg 2lg 2log 2lg1.08lg108lg1002lg 23lg 32t ====-+-0.3010920.301030.47712≈≈⨯+⨯-，故全市生产总值翻一番需要经过大约9年.故选：C .8.函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则1500f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（）A.164 B.132 C.116D.18【答案】A 【解析】【分析】结合题意，结合赋值法得到1233f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭、1299f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、L 直到得到915020127297<<，结合函数()f x 在[]0,1上为非减函数，即可得112500729729f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】令1x =，由()()11f x f x -=-，可得()()011f f =-，又()00f =，故()11f =，由()132x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，故()1111322f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，令13x =，则11111113322f f ⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令13x =，有11119234f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令23x =，有21219234f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令19x =，有111127298f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令29x =，有212127298f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令127=x ，有11118122716f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令227x =，有21212722716f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令181x =，有111124328132f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令281x =，有212124328132f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1243x =，有1111729224364f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2243x =，有2121729224364f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由915020127297<<，且12172972964f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在[]0,1上为非减函数，故112150072972964f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.【点睛】关键点睛：本题关键在于结合非减函数的性质，通过赋值法逐步得到915020127297<<，从而得到112500729729f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组向量中，不能作为基底的是（）A.()10,0e = ，()21,1e =B.()11,2e = ，()22,1e =-C.()13,4e =- ，234,55e ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()12,6e = ，()21,3e =--【答案】ACD 【解析】【分析】分别判断四个选项中的两个向量是否共线得到答案.【详解】对于A ，()10,0e = ，()21,1e =，由零向量与任意向量共线，可知两个向量不能作为基底；对于B ，因为()11,2e = ，()22,1e =-，所以112(2)50⨯-⨯-=≠，所以两个向量不共线，可以作为基底；对于C ，因为()13,4e =- ，234,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以433()4055-⨯--⨯=，可知两个向量共线，故不可以作为基底；对于D ，由()12,6e = ，()21,3e =--，得：2(3)6(1)0⨯--⨯-=，可知两个向量共线，故不能作为基底；故选：ACD10.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，则（）A.点P 第一次达到最高点，需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C.在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D.点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式为ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】先根据题意求出点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC 选项.【详解】如图所示，过点O 作OC ⊥水面于点C ，作OA 平行于水面交圆于点A ，过点P 作PB ⊥OA 于点B ，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为2ππ6030=（rad /s ），且点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，t （秒）后，可知0π30POP t ∠=，又水轮半径为4米，水轮中心O 距离水面2米，即2OC =m ，04OP =m ，所以00π6OP C AOP ∠=∠=，所以ππ306POA t ∠=-，因为4OP =m ，所以ππ4sin 306t PB ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，故ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，D 选项正确；点P 第一次达到最高点，此时ππsin 1306t ⎛⎫-=⎪⎝⎭，令ππ02π36t -=，解得：20t =（s ），A 正确；令ππ4sin 22306t ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，解得：530t k =+，Z k ∈，当5k =时，155t =（s ），B 选项正确；ππ4sin 22306t ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，令ππ0π306t <-<，解得：535t <<，故有30s 的时间点P 距水面超过2米，C 选项错误；故答案为：ABD11.若a ，()0,b ∈+∞，1a b +=，则下列说法正确的有（）A.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4B.11a b +++6C.12a b+的最小值为322+D.222a b a b a b +++的最大值是3233+【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式依次判断即得.【详解】由a ，()0,b ∈+∞，1a b +=，可得(),0,1a b ∈，对于A ，12a a +≥，当且仅当1a a =，即()10,1a =∉取等号，所以12a a+>，同理12b b +>，故114a b a b ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，∵()()2112113116a ba b a b a b +++=+++++++++=，当且仅当11a b +=+，即12a b ==时取等号，116a b +++≤11a b +++6，故B 正确；对于C ，()12122332b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b a a b=，即21,22a b =-=-时取等号，故12a b+的最小值为32+，故C 正确；对于D ，由题可得1b a =-，()0,1a ∈，∴()222222211111a b a a a a b a b a a a a a a -++=+=+++--++-，而()21133311a a a a a -+=++-≥++，当且仅当131a a +=+，即1a =-时取等号，∴22221313a b a a b a b a a ++=≤++-+，即222a b a b a b +++的最大值是33+，故D 正确.故选：BCD.12.设函数()2πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则（）A.ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C.()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点恰有2个D.()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】AB 【解析】【分析】对于A,确定2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，根据零点个数确定5π2π7ππ232ω≤-<，求得参数范围；对于B ，C ，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D ，当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，确定2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，计算π2ππ2π,4323ωω--的范围，从而确定()f x 在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调性.【详解】当[]0,πx ∈时，2π2π2ππ[,333πx ω-∈--，因为()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，所以5π2π7ππ232ω≤-<，解得192566ω≤<，故A 正确；又由以上分析可知，函数cos y x =在2π2π[,π33ω--上有且仅有4个零点，且5π2π7ππ232ω≤-<，则在2π7π[,32-上，cos y x =出现两次最大值，此时函数cos y x =的大致图象如图示：即()y f x =在()0,π上两次出现最大值1，即2ππ3x -取0,2π时，()y f x =取最大值，故()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个，故B 正确；由于当(0,π)x ∈时，2π2π2ππ(,)333πx ω-∈--，5π2π7ππ232ω≤-<，当2πππ3x -=-时，()y f x =取最小值1-，由于2ππ3x -是否取到3π不确定，故()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能是1个或2个，故C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为192566ω≤<，所以π2π043ω->，11ππ2π17π122312ω≤-<，故π2π23ω-的值不一定小于π，所以()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递减.故选：AB.【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =满足()()2f x f x +=，又当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】13【解析】【分析】由()()2f x f x +=可得函数()f x 的周期为2，可得2214log log 33f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解.【详解】由()()2f x f x +=，故函数()f x 的周期为2，()()222214log log 32log 3log 33f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，故202log 31<-<，即()24log 0,13∈，故24log 32241231141log l 33og 3f f ⎝⎛⎫=-⎛⎫= ⎪=-= ⎪⎝⎭⎭.故答案为：13.14.函数()ππtan 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为___________【答案】()312,222k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】【分析】利用正切型函数的单调性可求得函数()f x 的单调递增区间.【详解】对于函数()ππtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()ππππππ2242k x k k -<+<+∈Z ，可得()312222k x k k -<<+∈Z ，所以，函数()f x 的单调递增区间为()312,222k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为：()312,222k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .15.若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【答案】79【解析】【分析】由5 sin 2sin 2626πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式，倍角公式求解即可.【详解】2517sin 2sin 2cos 212sin 126266 699πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：79【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题.16.借助信息技术计算()*11nn n ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 的值，我们发现当1,2,3,10,100,1000,10000,100000,n = 时11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的底数越来越小，而指数越来越大，随着n 越来越大，11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭会无限趋近于e （e 2.71828= 是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当n 越来越大时，2121n n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭会趋近于__________.【答案】4e 【解析】【分析】由422121111122n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎢⎥++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣=⎦，结合题意可得，当n 越来越大时，2112n n ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭会无限趋近于e ，12n 会无限趋近于0，即可得解.【详解】441222121111111222nnn n n n n ⨯++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎢⎥+++⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭=⎝⎭⎢⎣⎦=⎥，由n 越来越大时，11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭会无限趋近于e ，故n 越来越大时，2112nn ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭会无限趋近于e ，则42112n n ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥+ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦会无限趋近4e ，又n 越来越大时12n 会无限趋近于0，故112n +会无限趋近于1，故2121n n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭会无限趋近于44e 1e ⨯=.故答案为：4e .【点睛】关键点睛：本题关键在于将2121n n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为42111122nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥+⨯+ ⎪ ⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，通过n 越来越大，11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭会无限趋近于e ，可得n 越来越大，2112nn ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭亦会无限趋近于e .四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.17.函数()2202y sin x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭（的一条对称轴为直线12x π=）.（Ⅰ）求ϕ;（Ⅱ）用五点法画出函数()22y sin x ϕ=+在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的简图．【答案】（Ⅰ）3πϕ=；（Ⅱ）图象见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据函数()22y sin x ϕ=+的一条对称轴为直线12x π=，可得2122k ⨯+=+ππϕπ，再由02πϕ<<，即可求出结果.（Ⅱ）用描点连线的方法可直接作出函数图象.【详解】（Ⅰ）因为函数()2202y sin x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为直线12x π=，所以2122k ⨯+=+ππϕπ，因此()3k k Z πϕπ=+∈，又02πϕ<<，所以3πϕ=（Ⅱ）函数223y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的简图如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，熟记三角函数的性质即可，属于基础题型.18.已知||2a = ，||1b = ，(23)(2)17a b a b -⋅+=.（1）求a 与b的夹角和a b + 的值；（2）设2c ma b =+，2d a b =-，若c与d共线，求实数m 的值.【答案】（1）a 与b 的夹角为23π，a b += ；（2）4m =-.【解析】【分析】（1）根据(23)(2)17a b a b -⋅+=求出1a b ⋅=-，根据数量积关系求出夹角，a b += （2）根据共线定理必存在λ使得：()2,2c ma d b b a λλ=+-=，求解参数.【详解】（1）||2a =，||1b =，(23)(2)17a b a b -⋅+=，2243417a b a b --⋅=，163417a b --⋅=1a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅，所以a 与b 的夹角为23π，a b +== ；（2）由（1）可得：a 与b不共线，2c ma b =+ ，2d a b =-，若c 与d 共线，则必存在λ使得：()2,2c ma d b b a λλ=+-=，所以2,2m λλ==-，得4m =-.【点睛】此题考查向量的数量积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值.19.已知函数2()2cos cos()sin cos 16f x x x x x x π=--++.（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）将()f x 的函数图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后得到的函数()g x 是偶函数，求ϕ的最小值.【答案】（1）T π=，()max 3f x =（2）12π【解析】【分析】（1）首先化简()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再求函数的周期和最大值；（2）平移后的函数()sin(22)13g x x πϕ=+++，若函数是偶函数，则0x =是函数的对称轴，求参数的取值范围。
湖南省长沙市2021-2022学年度高一数学第一学期期末考试【含答案】
；
对于B：原式＝ ；
对于C：原式＝ ；
对于D：原式＝ ．
故选：ABD
【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，知函数 ，则下列说法中正确的是（）
A. 的最小正周期为 B. 在 上单调递增
C.曲线 关于 对称D.曲线 关于 对称
【答案】ABC
∴ ，∴ ，
∴ .
故选：B.
7.若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】解：因为 ，所以将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
8.已知 （ ）， （ ），则p，q的大小关系为（）
因此 .
故答案为：
18.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）
故函数 的图象过定，点 ，故A正确；
根据方程 有两个实数根，可得 ，即 ，
故 是方程 有两个实数根的必要不充分条件，故B错误；
∵ 的反函数是 ，∴ ，故C错误；
若 在区间 上为减函数，
则 在区间 上大于零，且 ，
即 且 ，求得 ，故D正确，
故选：AD.
三､填空题（共5道小题，每小题3分，共15分）
16.命题“ ， ”的否定是___________.
湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2A x x x ==，下列说法正确的是（）A ．1A -∈B ．1A ∈C ．0A ∉D ．0A⊆2．函数()1f x x =+的定义域为（）A ．[]2,2-B ．()(],11,2-∞-⋃-C ．[)(]2,11,2--⋃-D ．()2,2-3．已知幂函数()()23mf x m x -=-在()0,∞+上为单调减函数，则实数m 的值为（）．A B ．2±C ．2-D ．24．若关于x 的不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（）A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)5．为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度6．下列不等式中正确的是（）A ．22111x x +≥+B ．2y =2C ．12xx+≥D 2≥7．若21sin cos cos cos 2αααα+-＝2，则tan 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．－717B ．717C ．512D ．－5128．已知函数2()()()()32,()2,()()()()g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ≥⎧=-=-=⎨>⎩，则（）A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2-C ．()F x的最大值为7-D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-二、多选题9．函数2()23x f x x =-的零点所在的区间是（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,210．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（）A ．4ab ≤B ．111a b+≥C ．2216a b +≥D ．228a b +≥11．关于函数π()2sin 214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述正确的是（）A ．其图像关于直线π4x =对称B ．其图像可由π2sin 14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的12得到C ．其图像关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．其值域是[]1,3-12．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（）A ．x 1＋x 2＝－1B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<2D ．0<x 1x 2x 3x 4<1三、填空题13．若命题“0x ∃∈R ，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________．14．若偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()10f =，则不等式()2330f x x --≥的解集是_________.15．已知角α的终边上的一点()1,2P ，则()sin 3sin 22cos sin παααπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭+-的值为___________.16．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______四、解答题17．求值：（1210321432+8()+()29-+；（2）3323log 54log 2+log 3log 4-⋅．18．已知全集U =R ，集合{|13}A x x =，集合{}|39x B x =>.（1）求()U B A ⋃ð；（2）若集合{|1}C x a x a =<+，且集合A 与集合C 满足C A C = ，求实数a 的取值范围.19．已知函数()2sin sin f x x x x =+．(1)求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f （x ）在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．20．已知函数()cos 444f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 在区间3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；(2)若4cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.21．已知函数0.52()log 2axf x x -=-为奇函数.（1）求常数a 的值；（2）若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.22．如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过点C ，已知AB 长为4米，AD 长为3米，设AN x =．(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？(2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？（精确到0.1米）(3)当AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出最小值．参考答案：1．B【分析】解方程可求得集合A ，由元素和集合关系可确定结果.【详解】由2x x =得：0x =或1x =，{}0,1∴=A ，则1A -∉，1A ∈，0A ∈.故选：B.2．C【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组24010x x ⎧-≥⎨+≠⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()1f x x =+有意义，则满足24010x x ⎧-≥⎨+≠⎩，解得22x -≤≤且1x ≠-，所以函数()f x 的定义域为[)(]2,11,2--⋃-.故选：C.3．D【分析】结合幂函数的定义、单调性求得正确答案.【详解】()f x 是幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()221f x x x -==，在()0,∞+上递减，符合题意.当2m =-时，()2f x x =，在()0,∞+上递增，不符合题意.综上所述，m 的值为2，D 选项正确.故选：D 4．D【分析】根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】1x a -<成立的充分条件是04x <<，则0a >，111x a a x a -<⇒-<<+，所以10314a a a -≤⎧⇒≥⎨+≥⎩.故选：D 5．D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin 3y x =的图象．故选：D.6．A【分析】利用基本不等式及取特殊值逐项分析即可.【详解】由()222211111111x x x x +=+-≥++=+，当且仅当221011x x x +=⇒=+时取等号，故A 正确，222y ==≥=，241x =⇒+=无解，故取不到最小值2，故选项B 错误；当0x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，当0x <时，()112x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当=1x -时取等号，故C 不正确；取1,2a b =-=-2≥不成立，故D 不正确.故选：A.7．A【分析】利用余弦倍角公式和同角三角函数关系，根据已知求得tan α，再结合正切的和角公式和倍角公式，即可求得结果.【详解】因为21sin cos cos 2cos 2αααα+-=，所以222sin sin cos cos sin ααααα+-＝2，即sin tan 2cos sin 1tan ααααα==--，所以tan α＝23，所以tan 2α＝22222tan 1231tan 5213αα⨯==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以tan 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝121tantan 254121tan tan 2145παπα--=++＝－717，故选：A .【点睛】本题考查倍角公式、和角公式以及同角三角函数关系的应用，属综合基础题.8．C【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值.【详解】在同一坐标系中先画出()32f x x =-与2()2g x x x =-的图象，然后根据定义画出()F x的图象（图中实线部分）由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，由232||2x x x -=-得2x =2x =+（舍去），此时函数()F x有最大值32(27+=-，无最小值．故选：C ．9．BC【分析】把函数2()23x f x x =-的零点问题转化为函数2x y =和23y x =的图象的交点问题，数形结合即可得解.【详解】如图，作出函数22,3x y y x ==的图象，观察交点可得交点在()1,0-和()0,1区间上.故选：BC.10．ABD【分析】A 、B 、D 选项可直接利用基本不等式判断是否正确，C 选项可通过基本不等式进行计算并判断出是否正确.【详解】A ．因为4a b +=，所以4≤，所以4ab ≤，取等号时2a b ==，故正确；B ．因为1141a b a b ab ab++==≥，取等号时2a b ==，故正确；C．因为228a b +≥==，取等号时2a b ==，故错误；D2a b+≥，所以228a b +≥，取等号时2a b ==，故正确.故选：ABD.【点睛】本题考查基本不等式链的简单运用，难度一般.当(),0a b ∈+∞,时，2112a b a b +≤≤≤+，当且仅当a b =时取等号.11．BD【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A，因为π3π2sin 1144f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以直线π4x =不是函数图象的对称轴，故A 错误；对于B ，函数π2sin 14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12，可得π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为3π2sin π118f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点3π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误；对于D ，因为[]πsin 21,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]π()2sin 211,34f x x ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD.12．BCD【解析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项.【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2，∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=，∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.13．(,1]-∞【分析】由题意先找到等价命题“x ∀∈R ,都有21k x ≤+恒成立”,再求21x +的最小值即可.【详解】“0x ∃∈R ,使得201k x >+成立”是假命题等价于“x ∀∈R ,都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立”,只需()2min 1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.14．331,,422⎡⎡⎤--⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】根据函数的单调性及奇偶性可得2331x x --≤，根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】解：由题意可得2331x x --≤，即21331x x -≤--≤，解得1x -≤≤4x ≤≤，所以不等式()2330f x x --≥的解集是4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .故答案为：4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎣⎦.15．74【分析】由三角函数的定义可得tan 2α=，原式可化简为13tan 2tan αα++可求解.【详解】因为角α的终边上的一点()1,2P ，所以tan 2α=，所以()sin 3sin cos 3sin 13tan 16722cos sin 2cos sin 2tan 224πααααααπαααα⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭====+-+++.故答案为：74.16．20【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以x min =20.17．（1）172；（2）5．【解析】（1）利用指数幂的运算法则计算即得解；（2）利用对数的运算法则化简计算即得解.【详解】（12132()32231721()241322⨯⨯-++=+++=；（2）原式＝323323254lg 3lg 4log log 27log 4log 3log 23252lg 2lg 3+⨯=+=+=+=.【点睛】本题主要考查指数对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．（1）{|3}x x ≤；（2）[1,2]【分析】（1）化简集合B ，按照补集，并集定义，即可求解；（2）C A C = ，得C A ⊆，结合数轴，确定集合C 端点位置，即可求解.【详解】（1）∵{|2}B x x =>；∴{|2}U B x x =ð；∴(){|3}U B A x x ⋃=≤ð；（2）∵C A C = ，∴C A ⊆；∴113a a ⎧⎨+⎩，∴12a ，∴实数a 的取值范围为[1,2].【点睛】本题考查集合间的运算，以及由集合关系求参数，属于基础题.19．(1)最小正周期为π，单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；(2)最大值为32，最小值为12-．【分析】（1）先通过降幂公式化简得()f x =1sin 262x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，进而求出最小正周期和单调递增区间；（2）通过2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出32626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，进而求出最大值和最小值.【详解】（1）()2sin sin f x x x x=+1112cos 2sin 22262x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴函数f （x ）的最小正周期为22ππ=，令222262k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，则63k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）∵2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，∴32,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则[]sin 21,16x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()13,22f x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，∴函数f （x ）的最大值为32，最小值为12-．20．(1)2-(2)3150【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化简得()7n 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用正弦型函数的单调性求得()f x 的最值；（2）先利用三角函数的平方关系求得3sin 5θ=-，再利用倍角公式求得sin 2,cos 2θθ，进而利用正弦的和差公式求得23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】（1）因为()1sin cos sin cos 422244444f x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 431222x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭⎝⎭，又3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以711,12312x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故7sin ,1122x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以7sin ,2122x π⎡⎛⎫--∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 在区间3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）因为4cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5θ==-，所以24sin 22sin cos 25θθθ==-，221697cos 2cos sin 252525θθθ=-=-=，所以72sin 2sin 23122324f ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)sin 2cos cos 2sin cos 2sin 422224ππθθθθ⎫=-=⨯-⎪⎝⎭1724312522550⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.21．（1）1a =-；（2）(),1∞-【分析】（1）根据函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，利用奇函数的定义由()()0f x f x +-=求解.（2）设函数()24122x h x x x +==+--,利用反比例函数的性质求得其值域，再利用对数函数的性质求得()f x 的最大值，根据对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，由()min 3f x t >-求解【详解】（1）因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x -+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-，定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-.（2）设函数()22x h x x +=-，因为函数()24122x h x x x +==+--，所以函数()h x 在区间10,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2()4h x ≤≤，即2(1f x -≤≤-，因为对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，所以32t -<-，解得1t <，综上所述，t 的取值范围是(),1∞-.【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用，对数型函数值域的求法以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．(1)()93,9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)6AN =(3)6AN =，最小面积48平方米【分析】（1）利用CBM NDC 得到1243AM x =+-，然后得到124543AMPN S x x ⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭，解不等式即可；（2）结合（1）得到扩建部分的面积，然后利用基本不等式得到面积最小时AN 的长度；（3）利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）由题可知CBM NDC ，所以ND CB DC BM=，又AN x =，所以3DN x =-，334x BM -=，所以123BM x =-，1243AM x =+-，124543AMPN S x x ⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭，解得92x <或9x >，由题意得3x >，所以AN 的长的范围为()93,9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）()()123361212434412431212333AMPN ABCD x x S S S x x x x x x -+⎛⎫=-=+-⨯=+-=-++- ⎪---⎝⎭扩()36431212363x x =-++≥=-，当且仅当()36433x x -=-，即6x =时等号成立，所以当AN 为6米时，用料最省.（3）()()()12336123644312432448333AMPN x S x x x x x x -+⎛⎫=+=-++=-++≥ ⎪---⎝⎭，当且仅当()36433x x -=-，即6x =时等号成立，所以当AN 为6米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小为48平方米.。
湖南省张家界市高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．1．已知集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}2．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，1）3．设函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），f（0）=0，则f（4π）=（）A．0 B．πC．2πD．4π4．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A．[2，2.5] B．[2.5，3] C．D．以上都不对5．某种计算机病毒是通过电子进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：第x天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量y（台）12 24 49 95 190则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（）A．y=12x B．y=6x2﹣6x+12 C．y=6•2x D．y=12log2x+126．的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣17．已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（）A．﹣1 B．C．D．8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A．y=sinx B．y=sin（4x+）C．y=sin（4x﹣）D．y=sin（x+）9．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值X围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3）C．（3，+∞）D．（3，5）10．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．B．C．D．11．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f（x）=﹣1，f（1）=﹣2，则f（2015）=（）A．0 B．0.5 C．﹣2 D．212．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．13．sin420°=．14．函数的单调递增区间是．15．设向量，定义两个向量之间的运算“⊗”为，若向量，则向量=．16．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，若设函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣1，则的值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．（1）求集合B及∁R A；（2）若C={x|x≤a}，（∁R A）∩C=C，某某数a的取值X围．18．已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．已知函数f（x）=．（1）求f（1），f[f（﹣2）]的值；（2）若f（a）=10，某某数a的值．20．已知向量与的夹角为30°，且=， =1．（1）求；（2）求的值；（3）如图，设向量，求向量在方向上的投影．21．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当，，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在上有解，某某数a的取值X围．22．已知函数．（1）写出该函数的单调递减区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点，某某数m的取值X围；（3）若不等式f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]恒成立，某某数n的取值X围．2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．1．已知集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：∵集合集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，∴A∩B={0，2}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，1）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数必要（1，0）点，结合函数图象的平移变换法则，可得答案．【解答】解：对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象由对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象向上平移一个单位得到，故函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，1），故选：D．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．3．设函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），f（0）=0，则f（4π）=（）A．0 B．πC．2πD．4π【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由已知可得函数的周期为2π，进而可得f（4π）=f（2π）=f（0）．【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），∴f（4π）=f（2π）=f（0）=0，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，难度不大，属于基础题．4．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A．[2，2.5] B．[2.5，3] C．D．以上都不对【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＜0，f（2.5）＞0 知，f（x）零点所在的区间为[2，2.5]．【解答】解：设f（x）=x3﹣2x﹣5，f（2）=﹣1＜0，f（3）=16＞0，f（2.5）=﹣10=＞0，f（x）零点所在的区间为[2，2.5]，方程x3﹣2x﹣5=0有根的区间是[2，2.5]，故选A．【点评】本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号．5．某种计算机病毒是通过电子进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：第x天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量y（台）12 24 49 95 190则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（）A．y=12x B．y=6x2﹣6x+12 C．y=6•2x D．y=12log2x+12【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；分析法；概率与统计．【分析】根据表格中y的增长速度进行判断．【解答】解：由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约都是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数增长．故选：C．【点评】本题考查了不同函数模型的增长速度问题，属于基础题．6．的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【考点】二倍角的正弦．【专题】计算题．【分析】原式先利用对数的运算法则计算，再利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．【解答】解：原式=log2sinπcosπ=log2sinπ=log22﹣2=﹣2．故选C【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及对数的运算性质，熟练掌握公式是解本题的关键．7．已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（）A．﹣1 B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由已知向量的坐标求出k+的坐标，再由数量积的坐标表示列式求得k值．【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，0），∴k+=k（1，2）+（﹣2，0）=（k﹣2，2k），由k+与垂直，得，即1×（k﹣2）+2×2k=0，解得：k=．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，是基础题．8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A．y=sinx B．y=sin（4x+）C．y=sin（4x﹣）D．y=sin（x+）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先由“左加右减”的平移法则和再将图象上各点横坐标压缩到原来的，即可求出．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移可得y=sin2[（x+）﹣）]=sin （2x+），再将图象上各点横坐标压缩到原来的，可得y=sin（4x+），故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的平移及周期变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．周期变换的原则是y=sinx的图象伸长（0＜ω＜1）或缩短（ω＞1）到原理的可得y=sinωx的图象．9．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值X围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3）C．（3，+∞）D．（3，5）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】利用待定系数法求出y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式f（a+1）＜f（10﹣2a）化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解：幂函数y=f（x）=xα的图象经过点，∴4α=，解得α=﹣；∴f（x）=，x＞0；又f（a+1）＜f（10﹣2a），∴，解得3＜a＜5，∴实数a的取值X围是（3，5）．故选：D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及利用函数的单调性求不等式的应用问题，是基础题目．10．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．B．C．D．【考点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．【专题】证明题．【分析】先利用函数的对称性，得函数的单调性，再利用函数的对称性，将自变量的值化到同一单调区间上，利用单调性比较大小即可【解答】解：∵函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且x≥1时函数f（x）=3x﹣1为单调递增函数，∴x＜1时函数f（x）为单调递减函数，且f（）=f（）∵＜＜＜1∴，即故选B【点评】本题考查了函数的对称性及其应用，利用函数的单调性比较大小的方法11．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f（x）=﹣1，f（1）=﹣2，则f（2015）=（）A．0 B．0.5 C．﹣2 D．2【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据已知可得函数f（x）是周期为6的周期函数，结合函数奇偶性，可得答案．【解答】解：∵f（x+3）•f（x）=﹣1，∴f（x+3）•f（x+6）=﹣1，∴f（x+6）=f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，又f（1）=﹣2，故f（2015）=f（﹣1）=﹣f（1）=2，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，函数的周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．12．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】先把1代入方程，然后利用余弦的二倍角化简整理，最后利用两角和公式求得cos （A﹣B）=1推断出A=B，则可知三角形的形状．【解答】解：依题意可知1﹣cosAcosB﹣cos2=0，∵cos2===∴1﹣cosAcosB﹣=0，整理得cos（A﹣B）=1∴A=B∴三角形为等腰三角形．故选B【点评】本题主要考查了解三角形和三角形的形状判断．解三角形常与三角函数的性质综合考查，应注意积累三角函数的基本公式．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．13．sin420°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】由诱导公式化简后根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：sin420°=sin（360°+60°）=sin60°=．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．14．函数的单调递增区间是[2，+∞）．【考点】函数的单调性及单调区间．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】可求导数，根据导数符号即可判断f（x）在定义域上为增函数，从而便可得出f （x）的单调递增区间．【解答】解：；∴f（x）在定义域[2，+∞）上单调递增；即f（x）的单调递增区间是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】考查根据导数符号判断函数单调性以及求函数单调区间的方法，清楚增函数的定义，注意正确求导．15．设向量，定义两个向量之间的运算“⊗”为，若向量，则向量= （﹣3，﹣2）．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】直接利用新定义即可求出．【解答】解：向量，则向量=（x，y），∴（x，2y）=（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣2，∴向量=（﹣3，﹣2），故答案为：（﹣3，﹣2）．【点评】本题考新定义的应用，以及向量的坐标运算，属于基础题．16．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，若设函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣1，则的值是﹣1 ．【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】根据，得出x=是函数f（x）的一条对称轴，从而求出φ的表达式，再函数g（x）的解析式以及的值．【解答】解：∵函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，∴x=是函数f（x）的一条对称轴，∴cos（ω+φ）=±1，即ω+φ=kπ，k∈Z，∴φ=kπ﹣ω，k∈Z；∴函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣1=3sin（ωx+kπ﹣ω）﹣1，k∈Z；∴=3sin（ω+kπ﹣ω）=3sinkπ﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的问题．注意正余弦函数在其对称轴上取最值，是基础题目．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．（1）求集合B及∁R A；（2）若C={x|x≤a}，（∁R A）∩C=C，某某数a的取值X围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】（1）化简集合B，求出集合A在R中的补集即可；（2）根据交集的定义，计算得出C⊆∁R A，再求出a的取值X围即可．【解答】解：（1）∵B={x|3x﹣1＜x+5}，∴B={x|x＜3}，（2分）又∵A={x|1＜x＜4}，∴∁R A={x|x≤1或x≥4}；（5分）（2）∵（∁R A）∩C=C，∴C⊆∁R A={x|x≤1或x≥4}，（7分）又C={x|x≤a}，∴a≤1．（10分）【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．18．已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（1）由角的X围及同角三角函数基本关系式的应用可求cosα的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，利用（1）的结论即可计算求值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴，…（3分）∴；…（6分）（2）原式==，…（9分）=…（12分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．已知函数f（x）=．（1）求f（1），f[f（﹣2）]的值；（2）若f（a）=10，某某数a的值．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知中函数f（x）=，将x=1，x=﹣2代入计算，可得答案；（2）根据函数f（x）=，分类讨论满足f（a）=10的a值，综合讨论结果，可得答案；【解答】解：（1）∵函数f（x）=∴（2分）f[f（﹣2）]=f（4）=10；（6分）（2）．，（8分），不合题意，舍去；（10分）当a≥2时，10log4a=10，a=4合题意；．（11分）∴．（12分）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，难度中档．20．已知向量与的夹角为30°，且=， =1．（1）求；（2）求的值；（3）如图，设向量，求向量在方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）直接由已知结合数量积公式求解；（2）利用，等式右边展开后代入数量积得答案；（3）由，代入投影公式化简即可．【解答】解：向量与的夹角为30°，且=， =1．（1）；（2）；（3）∵，∴．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，对于（3）的求解，需要掌握向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．21．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当，，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在上有解，某某数a的取值X围．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图求出A，ω，φ的值，可得函数f（x）的解析式；（2）根据，，求出x0，代入g（x）=1+2cos2x，可求g（x0）的值；（3）（3），，进而得到答案．【解答】解：（1）由图知A=2，（解法只要合理，均可给分）（1分），（2分）∴f（x）=2sin（2x+φ），∴，∴，，（3分）∴；（4分）（2），（6分）；（8分）（3），，（9分）=，（10分）∵，（11分）∴a∈[﹣2，1]．（12分）【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．22．已知函数．（1）写出该函数的单调递减区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点，某某数m的取值X围；（3）若不等式f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]恒成立，某某数n的取值X围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【专题】综合题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）根据分段函数的表达式结合函数的单调性进行求解．（2）利用函数与方程之间的关系转化为函数f（x）与y=m的交点问题进行求解，（3）根据不等式恒成立，转化为为以B为变量的参数问题，结合一元一次函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）当x≤0时，函数f（x）为增函数，当x＞0时，函数的对称轴为x=1，则函数的单调递减区间是（0，1）；（2分）（2）函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点等价于直线y=m与函数y=f（x）的图象恰有1个交点，，（4分）∴；（7分）（3）若要使f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]恒成立，则需，而[f（x）]max=f（0）=1，（9分）即n2﹣2kn+1≥1，∴﹣2nb+n2≥0在b∈[﹣1，1]恒成立，，（10分）∴，（11分）∴n≤﹣2或n=0或n≥2．（12分）【点评】本题主要考查分段函数的应用以及不等式恒成立问题，利用数形结合是解决本题的关键．。
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湖南师大附中度高一第一学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：____________第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知两点A(a，3)，B(1，－2)，若直线AB的倾斜角为135°，则a的值为A．6 B．－6 C．4 D．－42．对于给定的直线l和平面a，在平面a内总存在直线m与直线lA．平行B．相交C．垂直D．异面3．已知直线l1：2x＋3my－m＋2＝0和l2：mx＋6y－4＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为A.55B.105C.255D.21054．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝2，PB＝3，PC＝3，则这个三棱锥的外接球的表面积为A．16πB．32πC．36πD．64π5．圆C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是A．内含B．相交C．内切D．外切6．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是A．若m∥n，m⊂β，则n∥βB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥β，α⊥β，则m∥αD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β7．在空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的四个顶点坐标分别为A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(2，2，2)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则四面体ABCD的正视图为8．若点P(3，1)为圆(x－2)2＋y2＝16的弦AB的中点，则直线AB的方程为A．x－3y＝0 B．2x－y－5＝0C．x＋y－4＝0 D．x－2y－1＝09．已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是A．异面直线PA与BC的夹角为60°B．若M为AD的中点，则AD⊥平面PMBC ．二面角P －BC －A 的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC10．已知直线l 过点P(2，4)，且与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，则直线l 的方程为A ．x ＝2或3x －4y ＋10＝0B ．x ＝2或x ＋2y －10＝0C ．y ＝4或3x －4y ＋10＝0D ．y ＝4或x ＋2y －10＝011．在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A 、D 分别是BF 、CE 上的，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF ，如图1.将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE ，如图2.则在折起的过程中，下列说法中错误的是A ．AC ∥平面BEFB ．直线BC 与EF 是异面直线C ．若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD D ．平面BCE 与平面BEF 可能垂直答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答 案二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．若直线l ：x －y ＋1＝0与圆C ：(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是____________． 13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1，球的体积为V 2，则V 1V 2＝________．14．已知三棱锥P －ABC 的体积为10，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于________．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分8分)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3，0)，B(4，6)，C(0，8)． (1)求BC 边上的高所在直线l 的方程； (2)求△ABC 的面积．16.(本小题满分10分)已知圆C经过A(－2，1)，B(5，0)两点，且圆心C在直线y＝2x上．(1)求圆C的标准方程；(2)设动直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y－7m－8＝0与圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．17．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．(1)证明：A1B⊥平面AB1C;(2)求直线A1D与平面AB1C所成的角的大小．第Ⅱ卷(满分50分)一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2x <1，N ＝{y|y ＝lg (x 2＋1)}，则N ∩∁R M ＝______．19．已知函数f (x )在定义域R 上单调递减，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称．若实数t 满足f (t 2－2t )＋f (－3)>0，则t －1t －3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，12C.⎝⎛⎭⎫0，23D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 二、本大题共3个大题，共38分．20．(本小题满分12分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．设函数f(x)＝mx2－mx－1，g(x)＝f（x）x－1.(1)若对任意x∈[1，3]，不等式f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝－14时，确定函数g(x)在区间(3，＋∞)上的单调性．已知圆C：(x－a)2＋(y－a－2)2＝9，其中a为实常数．(1)若直线l：x＋y－4＝0被圆C截得的弦长为2，求a的值；(2)设点A(3，0)，O为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求a的取值范围．湖南师大附中高一第一学期期末考试数学参考答案 第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分.12．[－3，1] 13.3214.34三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解析】(1)因为点B(4，6)，C(0，8)，则k BC ＝8－60－4＝－12.(1分)因为l ⊥BC ，则l 的斜率为2.(2分)又直线l 过点A ，所以直线l 的方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.(4分) (2)因为点A(3，0)，C(0，8)，则|AC|＝9＋64＝73.(5分) 又直线AC 的方程为x 3＋y8＝1，即8x ＋3y －24＝0，(6分)则点B 到直线AC 的距离d ＝32＋18－2464＋9＝2673.(7分)所以△ABC 的面积S ＝12|AC|×d ＝13. (8分)16．【解析】(1)方法一：因为线段AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32，12，k AB ＝－17，则线段AB 的垂直平分线方程为y －12＝7⎝⎛⎭⎫x －32，即y ＝7x －10. (2分)联立y ＝2x ，得x ＝2，y ＝4.所以圆心C(2，4)， 半径r ＝|AC|＝16＋9＝5.(4分)所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －4)2＝25.(5分) 方法二：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧－2D ＋E ＋F ＋5＝0，5D ＋F ＋25＝0，E ＝2D ，解得D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5.(3分) 所以圆C 的方程是x 2＋y 2－4x －8y －5＝0， 即(x －2)2＋(y －4)2＝25.(5分)(2)直线l 的方程化为(2x ＋y －8)＋m(x ＋2y －7)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －8＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，所以直线l 过定点M(3，2)．(7分) 由圆的几何性质可知，当l ⊥CM 时，弦长|PQ|最短． 因为|CM|＝（3－2）2＋（2－4）2＝5，则|PQ|min ＝2r 2－||CM 2＝225－5＝4 5.(10分)17．【解析】(1)因为A 1A ⊥平面ABC ，则A 1A ⊥AC. 又AC ⊥AB ，则AC ⊥平面AA 1B 1B ，所以AC ⊥A 1B.(3分) 由已知，侧面AA 1B 1B 是正方形，则AB 1⊥A 1B. 因为AB 1∩AC ＝A ，所以A 1B ⊥平面AB 1C.(5分)(2)方法一：连结A 1C ，设AB 1∩A 1B ＝O ，连CO ，交A 1D 于G. 因为O 为A 1B 的中点，D 为BC 的中点，则G 为△A 1BC 的重心． 因为A 1O ⊥平面AB 1C ，则∠A 1GO 是A 1D 与平面AB 1C 所成的角．(8分) 设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1B ＝BC ＝A 1C ＝ 2. 得A 1O ＝22，A 1G ＝23A 1D ＝23×2sin 60°＝63. 在Rt △A 1OG 中，sin ∠A 1GO ＝A 1O A 1G ＝32，则∠A 1GO ＝60°.所以直线A 1D 与平面AB 1C 所成的角为60°.(12分)方法二：分别取AB ，B 1B 的中点E ，F ，连DE ，EF ，DF ， 则ED ∥AC ，EF ∥AB 1， 所以平面DEF ∥平面AB 1C.因为A 1B ⊥平面AB 1C ，则A 1B ⊥平面DEF. 设A 1B 与EF 的交点为G ，连DG ，则∠A 1DG 是直线A 1D 与平面DEF 所成的角. (8分) 设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1B ＝BC ＝A 1C ＝ 2. 得A 1G ＝34A 1B ＝324，A 1D ＝2sin 60°＝62.在Rt △A 1GD 中，sin ∠A 1DG ＝A 1G A 1D ＝32，则∠A 1DG ＝60°.所以直线A 1D 与平面AB 1C 所成的角为60°. (12分)第Ⅱ卷(满分50分)一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分． 18．[0，2]【解析】M ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N ＝[0，＋∞)，所以N ∩∁R M ＝[0，2]．19．B 【解析】因为y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称，则y ＝f (x )的图象关于原点对称，即f (x )为奇函数．由f (t 2－2t )＋f (－3)>0，得f (t 2－2t )>－f (－3)＝f (3)， 因为f (x )在R 上是减函数，则t 2－2t <3，即t 2－2t －3<0，得－1＜t ＜3. 因为y ＝t －1t －3＝1＋2t －3在区间(－1，3)上是减函数，则t －1t －3<12，选B. 二、本大题共3个大题，共38分．20．【解析】(1)连接BD ，设AC 交BD 于点O ，连接SO ， 由题意得SO ⊥AC ，又因为正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， 所以AC ⊥平面SBD,∵SD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥SD. (6分) (2)在棱SC 上存在一点E ，使得BE ∥平面PAC. 设正方形边长为a ，则SD ＝2a. 由SD ⊥平面PAC 得PD ＝2a4， 故可在SP 上取一点N ，使PN ＝PD.过点N 作PC 的平行线与SC 的交点为E ，连接BN ， 在△BDN 中，易得BN ∥PO ，又因为NE ∥PC ， 所以平面BEN ∥平面PAC ，所以BE ∥平面PAC. 因为SN ∶NP ＝2∶1，所以SE ∶EC ＝2∶1. (12分)21．【解析】(1)由f(x)<5－m ，得mx 2－mx －1<5－m ，即m(x 2－x ＋1)<6. 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，则m<6x 2－x ＋1.(3分)设h(x)＝6x 2－x ＋1，则当x ∈[1，3]时，m ＜h(x)恒成立．因为y ＝x 2－x ＋1在区间[1，3]上是增函数，则h(x)在区间[1，3]上是减函数，h(x)min ＝h(3)＝67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. (6分) (2)因为f(x)＝mx(x －1)－1，则g(x)＝mx －1x －1. 当m ＝－14时，g(x)＝－⎝⎛⎭⎫x 4＋1x －1.(7分) 设x 1>x 2>3，则g(x 1)－g(x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 24＋1x 2－1－⎝⎛⎭⎫x 14＋1x 1－1＝ x 24－x 14＋1x 2－1－1x 1－1＝x 2－x 14＋x 1－x 2（x 1－1）（x 2－1）＝ (x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤1（x 1－1）（x 2－1）－14.(10分) 因为x 1－1>x 2－1>2，则(x 1－1)(x 2－1)>4，得1（x 1－1）（x 2－1）<14，又x 1－x 2>0，则g(x 1)－g(x 2)<0， 即g(x 1)<g(x 2)，所以g(x)在区间(3，＋∞)上是减函数．(13分)22．【解析】(1)由圆方程知，圆C 的圆心为C(a ，a ＋2)，半径为3.(2分)设圆心C 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 截得的弦长为2，则d 2＋1＝9，即d ＝2 2.(4分) 所以|a ＋（a ＋2）－4|2＝22，即|a －1|＝2，所以a ＝－1或a ＝3.(6分) (2)设点M(x ，y)，由|MA|＝2|MO|，得（x －3）2＋y 2＝2x 2＋y 2，即x 2＋y 2＋2x －3＝0.所以点M 在圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝4上．其圆心为D(－1，0)，半径为2.(8分)因为点M 在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点，即1≤|CD|≤5.(9分) 所以1≤（a ＋1）2＋（a ＋2）2≤5，即⎩⎨⎧a 2＋3a ＋2≥0，a 2＋3a －10≤0， 即⎩⎨⎧（a ＋2）（a ＋1）≥0，（a －2）（a ＋5）≤0，(11分) 解得⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥－1，－5≤a ≤2，即－5≤a ≤－2或－1≤a ≤2. 故a 的取值范围是[－5，－2]∪[－1，2]．(13分)。