(完整)高一数学期末考试试卷

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高一数学第一学期期末试卷及答案5套

高一数学第一学期期末试卷及答案5套完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的） 1、若角终边经过点，则（）A.B.C. D.2、函数的一条对称轴是（） A.B.C.D.3、已知集合}1{>=x x A ，11{|()}24xB x =>，则A B ⋂=（） A ．R B ．),1(+∞C ．)2,(-∞D ．)2,1( 4、( ) A.B.C.D.5、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,2cos )(x x f x x x f π，则=)2(f （） A ． 1- B ．1 C ． 3- D ． 36、已知，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（）A. 23—B. C. D. 7、若向量，，则在方向上的投影为（） A. -2 B. 2 C.D.8、若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+，则(2)f =（）A.0B.1C.83D.49、若向量，i 为互相垂直的单位向量，—j 2=j m +=且与的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1210、已知函数2(43)3,0,()log (1)1,0,a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A. 13[,]34B.1334⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 103⎛⎤ ⎥⎝⎦，D.30,4⎛⎫⎪⎝⎭11、已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A. （0，]B. （0，2]C. [，]D. [，]12、将函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x 2cos 4x f π和直线()1x x g —=的所有交点从左到右依次记为，若P 点坐标为()30，=++A P 2....（）A. 0B. 2C. 6D. 10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上） 13、已知角θ的终边经过点(39,2)a a -+，且θsin >0，θcos <0则a 的取值范围是 14、已知函数3()2,(0,1)x f x a a a -=+>≠且，那么其图象经过的定点坐标是15、已知2cos ,63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 16、已知关于的方程0a cos 3sin =+θθ—在区间()π，0上有两个不相等的实数根，则=+2cosβα__________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，写明过程或演算步骤) 17、（本题满分10 分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （）（1）求证：；(2) ，求实数m 的值.18、（本题满分12 分）已知是的三个内角，向量，，且.(1) 求角； (2)若，求．19、（本题满分12 分）已知函数()log (2)log (3),a a f x x x =++-其中01a <<. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值20、（本题满分12 分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0,0,0A ωϕπ>><<，函数()f x 图像上相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且在3x π=处取到最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将向左平移6π个单位，得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调递增区间。

辽宁省大连市2022-2023学年高一上册12月期末考试数学试卷(含解析)

辽宁省大连市2022-2023学年高一上册12月期末考试数学试卷（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}1,2,3,4A =，集合()(){}130B x x x =+-<，则A B = （）A.{}1,0,1,2,3- B.{}1,2,3 C.{}1,2 D.{}2【答案】C2.已知向量()1,2a =r ，(),4b x =- ，且//a b r r，则实数x =（）A.2B.1C.1- D.2-【答案】D3.若1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则131x +，231x +，…，1031x +的方差是（）A.18B.7C.6D.2【答案】A4.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（）A.120 B.35C.310D.910【答案】B5.下列函数中，其图像如图所示的函数为（）A.13y x-= B.23y x=C.13y x = D.23y x -=【答案】A6.“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P （单位：mg L ）与时间t （单位：天）间的关系为：0ektP P -=⋅，其中0P 表示初始含量，k 为正常数．令2121P P t t μ-=-为[]12,t t 之间海水稀释效率，其中1P ，2P 分别表示当时间为1t 和2t 时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即(]0,5，(]5,10，(]10,15，(]15,20分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则下列哪个时期的稀释效率最高（）．A.Ⅰ期B.Ⅲ期C.Ⅲ期D.Ⅳ期【答案】A7.已知0x >，0y >，且满足20x y xy +-=，则92x y+的最大值为（）A.9 B.6 C.4D.1【答案】D8.已知定义域为D 的函数()f x ，若1x D ∀∈，都2x D ∃∈，满足()122x f x a +=，则称函数()f x 具有性质()P a ．若函数()f x 具有性质()1P ，则“()f x 存在零点”是“2D ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若a b >，01c <<，则a bc c <C.若1a b >>，1c >，则log log a b c c<D.若1a b <<-，0c >，则c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD10.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（）A.A 与C 互斥B.B 与D 对立C.A 与D 相互独立D.B 与C 相互独立【答案】AD11.已知点P 为ABC 所在平面内一点，且230PA PB PC ++=，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是（）A.向量PA 与PC可能平行B.点P 在线段EF 上C.:2:1PE PF =D.::1:2:3PAB PAC PBC S S S =△△△【答案】BC12.已知函数()()21350f x x x x =+->，()22e2xf x x =+-，()3ln 24f x x x =+-的零点分别为1x ，2x ，3x ，则下列结论正确的是（）A.123x x x <<B.232x x +=C.()310f x <D.()()3223f x f x =【答案】BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题功4小题，每小题5分，共20分．）13.2log 522log 4+=______．【答案】714.已知向量a ，b满足()1,2a =- ，(),1b x =r ，3a b += ，则实数x =______．【答案】115.在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高是170cm ，女生的平均身高是165cm ，则估计该校全体学生的平均身高是______cm ．【答案】16816.函数()()()224f x xxax b =-++满足：x ∀∈R ，都有()()20222024f x f x -=-，则函数()f x 的最大值为______．【答案】16四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图所示，在ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD DC =．过D 点的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）．（1）用AB，AC 表示AD；（2）若AE AB λ=，AF AC μ=，求12λμ+的值．【答案】（1）1233AD AB AC=+（2）3.【解析】【小问1详解】在ABD △中，由AD AB BD =+,又2BD DC =，所以23BD BC =，所以23AD AB BD AB BC=+=+ ()23AC ABAB =+- 2233AB ACAB =-+ 1233AB AC =+【小问2详解】因为1233AD AB AC =+ ，又AE AB λ= ，AF ACμ=所以1AB AE λ= ，1AC AF μ=，所以3231A E D A A F μλ=+，又,,D E F 三点共线，且A 在线外，所以有：12133λμ+=，即123λμ+=.18.已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{}22,R B x m x m m =-≤≤+∈．（1）若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若:p x A ∈，R :q x B ∈ð，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2m =（2）{5m m >或}3m <-．【解析】【小问1详解】因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；【小问2详解】{R 2B x x m =<-ð或}2x m >+，:p x A ∈，R :q x B ∈ð，且p 是q 的充分条件由已知可得R A B ⊆ð，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >或}3m <-．19.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．【答案】（1）小吃类16家，玩具类4家；（2）（i ）中位数为342.9，平均数为352.5；（2）128.【解析】【小问1详解】()40125%15%10%5%5%16⨯-----=，4010%4⨯=，所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.【小问2详解】（i ）根据题意可得()0.00130.0030.0050.007501a ⨯++++⨯=，解得0.002a =，设中位数为x ，因为()0.0010.003500.2+⨯=，()0.0010.0030.007500.55++⨯=，所以()3000.0070.20.5x -⨯+=，解得342.9x ≈，平均数为()2250.0012750.0033250.0073750.0054250.0024750.0015250.00150352.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.（ii ）4504200.0020.0010.0015080012850-⎛⎫⨯++⨯⨯=⎪⎝⎭,所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.20.第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．（1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；（2）已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．【答案】（1）925；（2）49.【解析】【小问1详解】设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件A ，若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，所以()3395525P A =⨯=；【小问2详解】设“该局比赛甲得11分获胜”为事件B ，甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲11:8获胜；甲得3分，乙得1分，则甲11:9获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以()22112112111221143323322332233229P B =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.21.已知函数()14xb f x a =++的定义域为R ，其图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称．（1）求实数a ，b 的值；（2）求122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；（3）若函数()412log 22xg x f x x+⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，判断函数()g x 的单调性（不必写出证明过程），并解关于t 的不等式()()2121g t g t -++>．【答案】（1）2,2a b ==-（2）1011（3）103t -<<【解析】【小问1详解】有条件可知函数()f x 经过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()112210122f f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪+=⨯⎪⎩，即12112411114b a b b aa ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+++=⎪++⎩，解得：2,2a b ==-，()2414242xx xf x -=+=++；【小问2详解】由于120222************1,1,,1202320232023202320232023+=+=+= ，1202222021101110121,1,,1202320232023202320232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问3详解】由于42log 2x y x +=-是奇函数，根据函数平移规则，()()12h x g x =-也是奇函数，并且由于()f x 是增函数，42log 2xy x+=-也是增函数，()h x ∴也是增函数，定义域为()2,2-不等式()()2121g t g t -++>等价于()()11212022g t g t --++->，即()()2120h t h t -++>，()()()2122h t h t h t ->-+=--，由于()h x 是增函数，2122212222t t t t ->--⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<+<⎩，解得103t -<<；综上，（1）2,2a b ==-；（2）1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）103t -<<.22.已知函数()f x 的图像与函数()31xg x =-的图像关于直线y x =对称，函数()()9log 1h x x a =-+．（1）若4a =，求()()()F x f x h x =⋅在[]0,4x ∈上的最大值；（2）设()()(){}max ,2H x f x h x =，[]0,4x ∈，求()H x 的最小值，其中{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩．【答案】（1）()F x 在[]0,4x ∈上的最大值为12（2）()H x 的最小值()()()3min 33log 1,0log 1,082log 3,8a a a H x a a a ⎧-≤⎪⎪⎛⎫=+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎩【解析】【小问1详解】解：因为函数()f x 的图像与函数()31xg x =-的图像关于直线y x =对称，即()f x 与()g x 互为反函数，所以()()3log 1f x x =+当4a =，有()()9log 41h x x =-+，则()()()()()3939log 1log 41log 1log 5F x x x x x =+⋅-+=+⋅-()()331log 1log 52x x =+⋅-，又[]0,4x ∈时，[][]11,5,51,5x x +∈-∈，所以()()33log 10,log 50x x +≥-≥，所以()()()()()()()()2233223333log 1log 511111log 1log 5log 15log 29222882x x F x x x x x x ⎛⎫++-⎡⎤=+⋅-≤=+-=--+≤ ⎪⎣⎦⎝⎭，当且仅当()()33log 1log 52x x x ⎧+=-⎨=⎩，即2x =时等号同时成立，所以()F x 在[]0,4x ∈上的最大值为12；【小问2详解】解：()()()9322log 1log 1h x x a x a =-+=-+，()()2f x h x <等价于11x x a +<-+，即x x a <-，因为[]0,4x ∈，当0a ≤时，x a x a x -=-≥恒成立，所以()()2f x h x ≤，则()()3log 1H x x a =-+，所以()H x 在[]0,4x ∈上单调递增，所以()()()min 30log 1H x H a ==-；当04a <<时，[)[],0,,,4a x x a x a x a x a ⎧-∈⎪-=⎨-∈⎪⎩，此时当0,2a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x h x <，当,42a x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()2f x h x >，所以()()()33log 1,0,2log 1,42a a x x H x a x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()H x 在0,2a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,42a x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()min 3log 122a a H x H ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当4a ≥时，x a a x -=-，当48a ≤<时，()H x 与上一种情况相同，所以()min 3log 122a a H x H ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当8a ≥时，x a a x x -=-≥恒成立，所以()()2f x h x <，则()()3log 1H x a x =-+，所以()H x 在[]0,4x ∈上单调递减，所以()()()min 34log 3H x H a ==-；综上，()H x 的最小值()()()3min 33log 1,0log 1,082log 3,8a a a H x a a a ⎧-≤⎪⎪⎛⎫=+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎩.。

2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知向量，，则()A. B. C.3 D.53.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.D.4.已知m，n是平面外的两条不同的直线，若，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，，，，则()A. B. C. D.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图．则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为()A. B. C.3 D.或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图．注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．下列说法正确的是()A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ABCD中，，，，，，则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024第二学期期末考试高一数学试卷

2023—2024学年第二学期期末试卷高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分。

本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。

3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则复数zz －2i的虚部是 A ．45B ． 45iC ． 35D ．35i2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥β，n ∥β，且m α⊂，n α⊂，则α∥βD ．若α⊥β，α β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β 3．已知数据x 1，x 2，x 3， …x n 的平均数为10，方差为5，数据3x 1－1，3x 2－1，3x 3－1， …3x n－1的平均数为—x ，方差为s 2，则 A ．—x =10，s 2=14 B ．—x =9，s 2=44 C ．—x =29，s 2=45D ．—x =29，s 2=444．向量→a 与→b 不共线，→AB ＝→a ＋ k →b ，→AC ＝ m →a －→b (k ，m ∈R )，若→AB 与→AC 共线，则k ，m 应满足A ．k ＋m ＝0B ．k -m ＝0C ．km ＋1＝0D ．km －1＝05．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A ＝“第一枚向上点数为奇数”，事件B ＝“第二枚向上点数为偶数”，事件C ＝“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D ＝“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A ． A 与C 互斥B ． A 与C 相互独立C ． B 与D 互斥 D ． B 与D 相互独立6．在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ＝2a －c ，A ＝π4，b ＝3，则实数a 的值为 A ． 6B ． 3C ． 6D ． 37．如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝4，PC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，且 tan θ＝223，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为 A ． 26π B ． 28π C ． 34πD ． 14π8．已知sin2θ＝45，θ∈(0，π4) ，若cos(π4－θ)＝m cos(π4＋θ)，则实数m 的值A ．－3B ．3C ．2D ．－2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z ＝i ＋3i 2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A ． z 的共轭复数为－3－iB ．z ·i=1－3iC ． z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|z ＋2|＝ 210．已知△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是 A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞BB ．若a cos B =b cos A ，则△ABC 为等腰三角形 C ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形D ．若a ＝1.5，b ＝2，A ＝30°的三角形有两解11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则A ．M ，N ，B ，A 1四点共面B ．若a ＝2，则异面直线PD 1与MNC ．平面PMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．若a ＝1，则三棱锥P －MD 1B 的体积为124三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是▲ .13．已知A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则tan∠ACB＝▲ .14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且1BD=，则a＋c的最大值为▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．(13分)已知sin α＝－55，α∈(π，3π2)，sin(α+β)＝513，β∈(π2，π)．（1）求tan2α的值；（2）求sinβ的值．16．(15分)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图。

湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案

武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。

河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析

河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（） A ．-4 B ．4 C ．125- D ．1252．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=4．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 的中点，P 为上底面1111D C B A 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－32a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1B ． 3 1C ．3 2D ．3 26．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（） A ．2 B ．1 C ．2或-1 D ．-2或17．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（）A ．1:3B ．1:1C ．1:27D ．1:98．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sin B 等于（）A ．35B ．45C ．37D ．19．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（）A ．1B ．4C ．6D ．710．下列命题正确的是（）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年广东省深圳中学高一学期期末数学试题及答案

深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（）A. 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B. 35-C.45 D. 45-4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（）A.B.C.D. 5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg 为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值④此人的心跳为80次/分.的其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长10个时段占比的中位数为20.2%7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（）A.B.C.D. 8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（）A. 1B. 2C. 3D. 4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．的的的9. 下列说法中正确的是（）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关10. 下列各式中，值是12的是（）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为8112. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.14. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.15. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--的取值范围是_________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（）A 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法【答案】C 【解析】【分析】根据抽样方法确定正确答案.【详解】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”，“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.故选：C 2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C. ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈【答案】B 【解析】【分析】AC 项角度与弧度混用，排除AC ；D 项终边在第三象限，排除D.【详解】因为7πrad 3154= ，终边落在第四象限，且与45- 角终边相同，故与7π4终边相同的角的集合.的{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==-+⋅即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限.故选：B.3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B. 35-C.45 D. 45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α===.故选：A4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为21cos 212sin3αα=-=，所以sin α=，因为()0,πα∈，所以sin α=.故选：B .5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分其中正确结论的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出()P t 的取值范围，即可得到此人的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.【详解】因为某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，又因为1sin(160π)1t -≤≤，所以11525()11525P t -≤≤+，即90()140P t ≤≤，即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ，故①正确；因为收缩压为140mmhg ，舒张压为90mmhg ，均超过健康范围，即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；对于函数()11525sin(160π)P t t =+，其最小正周期2π1160π80T ==（min ），则此人的心跳为180T=次/分，故④正确；故选：C6. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为20.2%【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断.【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为138.7%3>，A 说法正确；2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为131.5%24.2%55.7%2+=>，B 说法正确；2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7% 2.5%36.2%-=，C 说法错误；2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为21.4%19.0%20.2%2+=，D 说法正确．故选：C ．7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象的变换可得()π2sin 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即可结合正弦函数的对称性得12πt t +=，进而125π6x x +=，即可求解.【详解】将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到2sin 2y x =的图象，再向右平移π6个单位长度，得到()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令π23x t -=，π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则关于t 的方程2sin t a =在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根1t ，2t ，所以12πt t +=，即12ππ22π33x x -+-=，则125π6x x +=，所以()125πtan tan 6x x +==．故选：B8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义域代入选项逐个验证即可得出结论.【详解】考虑三角函数的定义域，对于选项A ，当1k =时，sin π,cos π,tan πn n n 对于任意整数n ，都是整数，满足题意；对于B ，当2k =时，2ππtantan n n k =对于整数1，没有意义，不满足题意；同理可得对于C 和D ，当3ππtantan n n k =或4ππtan tan n n k =时，代入验证可知不满足题意；所以可知最大“好整数”为1故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的是（）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC 【解析】【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式，以及角的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确；根据弧度的定义知，180︒一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确.故选：ABC.10. 下列各式中，值是12的是（）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒【答案】ACD 【解析】【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断.【详解】ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos cos 332x x ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，A 正确；tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒()()tan 10351tan10tan 35tan10tan 35=︒+︒-︒︒+︒︒tan 451=︒=，B 不对；22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522︒︒==︒=-︒-︒，C 正确；()2311cos 403sin502cos 2012223sin 503sin503sin502-︒-︒-︒===-︒-︒-︒，D 正确.故选：ACD11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为81【答案】BC【解析】【分析】利用频率分布直方图，用样本估计总体，样本的极差、平均值、百分位数相关知识计算即可.【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值，所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A 错误；因为(0.00820.0120.01540.030)10700.651a a a a ++++++⨯=+=，解得0.005a =，所以B 正确；该校竞赛成绩的平均分的估计值550.00510650.00810x =⨯⨯+⨯⨯+750.01210850.01510950.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10540.0051011520.0051090.7+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=分，所以C 正确．设这组数据的第30百分位数为m ，则(0.0050.0080.012)10(80)0.015100.3m ++⨯+-⨯⨯=，解得2413m =，所以D 错误．故选：BC ．12. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点【答案】AB 【解析】【分析】利用三角函数的定义求得α，从而得到()f x 的解析式，进而利用三角函数的性质与平移的结论，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为ππ1sin ,cos 332⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由三角函数的定义得1sin 2α=，cos α=，所以5π2π,6k k α∈=+Z ，则()()cos sin 2sin cos 2sin 2f x x x x ααα=-=-5π5πsin 22πsin 2,66x k x k ∈⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，A : 22111cos 22sin 222αα⎛⎫-==⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确；B ：因为5π62π4ππsin sin 1332f ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴，故B 正确；C ：将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为5π5πsin 2sin 2665π6y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；D ：令()0f x =，得5πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得5π5ππ2π,,6122k x k k x k ∈∈-=⇒=+Z Z ，仅0k =，1，即5π11π,1212x =符合题意，即()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个零点，故D 错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.【答案】95【解析】【分析】利用平均数的求法计算即可.【详解】设所求平均成绩为x ，由题意得5092309020x ⨯=⨯+⨯，∴95x =.故答案为：9514. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意，分别求得()sin ,cos ααβ+，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为π02α<<且11cos c 2πos 73α=<=，则ππ32α<<，又02βπ<<，所以π3παβ<+<，且()sin αβ+=<，所以π2π3αβ<+<，则()11cos 14αβ+==-，sin α==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦11111472=-⨯+=.故答案为：1215. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.【答案】43【解析】【分析】由函数为奇函数，得0ϕ=，再根据函数图像关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可知43kω=，根据函数的单调性可得04ω<≤，进而得解.【详解】因为函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，即sin cos cos sin x x ϕωωϕ=-，又因为0ω>，所以sin 0ϕ=，因为π02ϕ≤≤，所以0ϕ=；故()sin f x x ω=；又因为图象关于点3π,04A ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则3ππ4k ω=，Z k ∈，所以43k ω=，Z k ∈，因为函数在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12ππ24ω⨯≥，得04ω<≤；所以43ω=，故答案为：43.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--取值范围是_________．【答案】1[4,]2-【解析】【分析】由和角的余弦公式变形给定函数，再利用辅助角公式变形，结合正弦函数的性质用含cos β的关系式表示y ，再借助二次函数最值求解即得.【详解】cos cos sin sin cos cos 1y αβαβαβ=-+--(cos 1)cos (sin )sin (cos 1)βαβαβ=+--+)(cos 1)αϕβ=+-+)(cos 1)αϕβ=+-+由sin()[1,1]αϕ+∈-，得(cos 1)(cos 1)y ββ-+≤≤+，令t =，则t ∈，则22t y t ≤≤--，所以221(42y t t ≥-=-+≥-，当且仅当t =，即cos 1β=时取等号，且2211(22y t t ≤-=-+≤，当且仅当t =，即1cos 2β=-时取等号，的所以y 的取值范围为1[4,]2-.故答案为：1[4,]2-四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.【答案】（1）()cos f αα=-（2【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.【小问1详解】因为()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos sin sin αααααα⋅⋅-==-⋅，所以()cos fαα=-.【小问2详解】由诱导公式可知()1sin πsin 5αα-=-=，即1sin 5α=-，又α是第三象限角，所以cos α===所以()cos fαα=-=.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？【答案】（1）1300a =，200n = （2）16.6吨（3）20.64吨【解析】【分析】（1）频率分布直方图总面积为1，由此即可求解.（2）先判断所求值所在的区间，再按比例即可求解.（3）按题意列不等式即可求解.【小问1详解】()0.0150.0250.0500.0650.0850.0500.0200.0150.00531a +++++++++⨯= ，1.300a ∴=用水量在(]9,12频率为0.06530.195⨯=，392000.195n ∴==（户）【小问2详解】()0.0150.0250.0500.0650.08530.720.8++++⨯=< ，()0.0150.0250.0500.0650.0850.05030.870.8+++++⨯=>，0.800.7215316.60.870.72-∴+⨯=-（吨）【小问3详解】设该市居民月用水量最多为m 吨，因为16.6349.870⨯=<，所以m 16.6>，则()16.6316.6570w m =⨯+-⨯≤，解得20.64m ≤，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．【答案】（1）[]0,3（2）5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简可得()f x 的表达式，结合ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定π26x +的范围，即可求得答案；（2）由π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定πππ2[,2666x m +∈-+，根据()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，结合正弦函数的零点，列出相应不等式，即求得答案.【小问1详解】由题意得()()2πcos 2cos f x x x x=-+的πcos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2[,666x +∈-，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为[]0,3；【小问2详解】由题可得π6m >-，当π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,2666x m +∈-+，()()π2sin 216g x x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=-⎭=，且()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，而sin y x =在π[,2π)6-有且仅有2个零点，分别为0,π，故π5π11ππ22π,61212m m ≤+<∴≤<，即5π11π,1212m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1x y ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【答案】（1）选择模型()0,1x y ka k a =>>符合要求，*32323N 2,11,xy x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭ （2）六月份【解析】【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式；（2）由（1）结合已知可得3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，再结合已知数据即可得出答案.【小问1详解】函数()0,1x y ka k a =>>与()120,0y pxk p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数()0,1x y kak a =>>的值增加的越来越快，而函数()120,0y px k p k =+>>的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型()0,1x y kak a =>>符合要求，根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为*32323N 2,11,x y x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭；【小问2详解】当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3，由3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，得3102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，又*N x ∈，所以6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =（2）1,1349n λ==【解析】【分析】（1）由周期求得ω，再由对称性求得ϕ得解析式；（2）由图象变换求得()g x ，然后可得()F x 的表达式，令[]sin 1,1t x =∈-，()0F x =化为22210,Δ80t t λλ--==+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，然后分类讨论()0F x =在(0,π)n 上解的个数后得出结论．【小问1详解】由三角函数的周期公式可得()()2π2,sin 2πf x x ωϕ==∴=+，令()π2π2x k k Z ϕ+=+∈，得()ππ422k x k Z ϕ=-+∈，由于直线π2x =-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()πππZ 2422k k ϕ-=-+∈，得()3ππZ 2k k ϕ=+∈，由于0π,1k ϕ<<∴=-，则π2ϕ=，因此，()πsin 2cos22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到函数ππcos 2cos 2sin242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++ ，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得22210,Δ80t t λλ--==+>，【则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,πNn n ∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,πNn n ∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =-时，则212t =，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上有两个实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2024个根，不合乎题意，（iii ）当11t =，则212t =-，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2023个根，合乎题意；此时，1122λ-+=，1λ=，综上所述：1,1349n λ==．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+ ⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．【答案】（1）()2f x x x =+ （2）在()0,∞+上单调递减，值域是()1,+∞．（3）1-【解析】【分析】（1）利用换元法，令1t x =+，代入化简即可求出函数的解析式；（2）可设4231x u =+-，利用复合函数的单调性，即可判定函数的单调性，进而求得值域；（3）由（2）知，()12g =，()12f =，结合()(),f x g x 的单调性可知当1x ≥时，()()2,01f x g x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即为()1h x ≥恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，只需不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解.【小问1详解】由题意()2132f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =-，有()()22(1)312f t t t t t =-+-+=+，故()2f x x x =+【小问2详解】函数()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，由420031x x +>⇒>-，即定义域为()0,∞+，且4231x u =+-在()0,∞+上单调递减及2log y u =单调递增所以()24log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减．因为()0,x ∞∈+，42231x u =+>-，所以()g x 的值域是()1,∞+【小问3详解】结合（2）结论知()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减且()12g =，又()2f x x x =+在()0,∞+上单调递增且()12f =故当1x ≥时，()()2,01f xg x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()()1f h x g h x h x ⎡⎤⎡⎤≥⇒≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即()22cos 2cos 11x m x +-≥在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，则不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立；②当0m >时，将0=t 代入得()10m -+≥，与0m >矛盾；③当0m <时，只需()()10,1,12210,1,m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎪⎩⎩，综上，实数m 的值为-1．【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.。

北京市海淀区2023-2024学年高一上学期期末考试数学 Word版含答案

海淀区高一年级练习数学考生须知：1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分150分，考试时间120分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1,0A =--，则U A = （）A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．()0,2D ．()1,22．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（）A ．150人B ．200人C ．250人D ．300人3．命题“,20x x ∃∈+≤R ”的否定是（）A ．,20x x ∃∈+>RB ．,20x x ∃∈+<RC ．,20x x ∀∈+>RD ．,20x x ∀∈+<R 4．方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩解集是（）A ．()(){}1,1,1,1--B ．()(){}1,1,2,2-C ．()(){}1,1,2,2--D ．()(){}2,2,2,2-- 5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[]10,20，并分成[)[)[)[)[]10,12,12,14,14,16,16,18,18,20五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（）A ．56B ．80C ．144D ．1846．若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A ．a b >B ．a c b c +>+C ．22a b >D ．22ac bc >7．函数()22x f x x =+的零点所在的区间为（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28．在同一个坐标系中，函数()()()log ,,x a a f x x g x a h x x -===的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．9．下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上单调递减的是（）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()11f x x 2=+ D ．()3f x x = 10．已知0.1232,log 3,log 2a b c ===，则实数a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>11．已知函数()1212x f x a =-+，则“1a =”是()f x 为奇函数的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知函数()()2log 12f x x x =++-，则不等式()0f x <的解集为A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()0,1D ．()1,+∞13．科赫（Koch ）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N 个与它的上一级图形相似，且相似比为r 的部分组成．若1D r N=，则称D 为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（）A ．2log 3B ．3log 2C ．1D ．32log 2 14．已知函数()2,,x a x a f x x x a +≤⎧=⎨>⎩，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],0-∞B ．1,4⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦ C ．[]4,0 D ．12,4⎡-⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分15．函数()()lg 1f x x =-的定义域是__________．16．已知幂函数()f x 经过点()2,8，则函数()f x =___________．17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：cm ）：记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则a b -=___________．若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为12,s s ，则1s ____2s （用“<，>或=”连接）．18．已知函数()4f x x a x=+-没有零点，则a 的一个取值为_______；a 的取值范围是___________．19．已知函数()22,0,0x x x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()f x 的单调递增区间为________；满足()4410f x <⨯的整数解的个数为____________（参考数据：lg 20.30≈）20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock 竞争函数”进行近似估计，其解析式为()()[],0,1,01aa a x S x x a x x =∈>+-（其中参数a 表示市场外部性强度，a 越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：①()S x 过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②()S x 在[]0,1上单调递增；③()S x 关于12x =对称； ④取定x ，外部性强度a 越大，()S x 越小．其中所有正确结论的序号是______________．三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．（本小题12分）化简求值：（I ）()10.530.204640.13π927-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （II ）5log 333325log 2log 59-+ 22．（本小题12分）已知一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x求值：（I ）2212x x +；（II ）1211x x + 23．（本小题9分）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A ：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B ：石窟寺”、“C ：古建筑及历史纪念建筑物”、“D ：石刻及其他”、“E ：古遗址”、“F ：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：（I ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C ：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；（II ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A ：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C ：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；（III ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C ：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为1P ，抽不到海淀区的概率记为2P ，试判断1P 和2P 的大小（直接写出结论）．24．（本小题9分）已知集合{}25320,22|A x x x B x x ⎧⎫=--<=-≥⎨⎬⎩⎭（I ）求,R A B A B ；（II ）记关于x 的不等式()222440x m x m m -+++≤的解集为M ，若B M R =，求实数m 的取值范围．25．（本小题11分）已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =-++，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：条件①：()()0f x f x +-=条件②：()()0f x f x --=注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（I ）求实数k 的值；（II ）设函数()()()11k F x x x =-+，判断函数()F x 在区间上()0,1的单调性，并给出证明；（III ）设函数()()2k g x f x x k =++，指出函数()g x 在区间()1,0-上的零点的个数，并说明理由．26．（本小题11分）已知函数()()(),,f x g x h x 的定义域均为R ，给出下面两个定义：①若存在唯一的x ∈R ，使得()()()()f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换；②若对任意的x ∈R ，均有()()()()f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 任意交换．（I ）请判断函数()1g x x =+与()1h x x =-关于()2f x x =是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（II ）设()()()22()20,1f x a x a g x x bx =+≠=+-，若存在函数()h x ，使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换，求b 的值；（III ）在（II ）的条件下，若()g x 与()f x 关于()11x x e x e ω-=+唯一交换，求a 的值．。

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2015—2016学年度下学期期末考试试题
高一数学
时间：120分钟满分：150分
注意事项：1、请将第一题选择题答案按标准涂在答题卡上，答在试卷上无效。

2、请将主观题的答案写在答题卷上，答在试题卷上无效
第I 卷（60分）
一、选择题（每题5分，共12题60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1. 0sin 750= （）
A. 0
B. 12
C. 2
D. 2 2. 下列说法正确的是（）
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小.
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.
C.向量的大小与方向有关.
D.向量的模可以比较大小.
3.已知α是第四象限角，那么2
α是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第二或第三象限角
D. 第二或第四象限角
4.为了得到函数y=cos 2x 6π+
（）的图像，只要把y=cos2x 的图像（） A.向左平移12π个长度单位 B. 向右平移12
π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向右平移6
π个长度单位 5.下列各组向量中，可以作为一组基底的是 A.a=0,0b=1,3-（），（） B. a=3,2b=,4--（），（6）
C. a=2,3b=4,4--（），（）
D. a=1,2b=,4（），（2）
6. 化简cos （α-β）cos α＋sin （α-β）sin α等于( )
A ．cos （α＋β）
B ．cos （α-β）
C ．cos β
D ．-cos β
7.等边三角形ABC 的边长为2，a =b c a b b c c a=BC CA AB ==⋅+⋅+⋅，，，那么（）
A. 3
B.-3
C. 6
D. -6
8.
sin =33π
π
-（）
A.-1
B.0
C. 12
D. 2 9.已知函数f(x)满足f(x)=f(x-2)，且f(2013)=-5,则f(2033)=( )
A. 1
B. 5
C.-5
D.-1
10. 已知1(2,1)P -, 2(0,5)P 且点P 在12P
P 的延长线上, 12p p =2pp , 则点P 的坐标为 ( )
A ．(2,7)-
B ．4
(,3)3 C ．2
(,3)3
D ．(2,11)- 11. 在△ABC 中，下列结论错误的是 .sin()sin .sin
cos 22
.tan()tan ().cos()cos 2 B C A A A B C B C A B C C D A B C
π
++==+=-≠+= 12. 函数)2(cos 2π
+=x y 是( )
A ．最小正周期是π的偶函数
B ．最小正周期是π的奇函数
C ．最小正周期是2π的偶函数
D ．最小正周期是2π的奇函数
2015—2016学年度下学期期末考试试题
高一数学
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题（每题5分，共4题20分）
13.已知-----------a=2x+1b=4,3a //x=b -（，），（），，则；
14.已知-----------------------3sin =cos 2=5
απα+（），则；
15. 已知tan 1α=-，且[0,)απ∈，那么α的值等于____________； 16. 已知向量(3,2)=a ，(0,1)=-b ，那么向量3-b a 的坐标是____________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知角α终边上一点P 的坐标为（1，-1），求cos α和tan α
18. 已知非零向量a 、b 满足2=a ，且
a b a b =1-⋅+（）（）.
（1）求b ；（2）当a b=⋅a 与b 的夹角θ的值.
19.已知点M （1,4），直线L: 31y x =-，点N 是直线L 上一点，若NM =3MP ，求点P
的轨迹方程；
20. 已知1sin()cos cos()sin ,(,)32且παββαββαπ+-+=∈，求sin(2)4πα+的值
21. 已知a =2，b =3，且a b 与的夹角为
3π，求a b +和a b -
22. 已知函数f(x)= 44cos x x cos x-sin x -.
(1)求f(x)的最小正周期；
（2）当x [,]2π
π∈时，求f （x ）的最大值以及取得最大值时x 的集合；。