最新上海市中考数学试卷(解析版)

合集下载

2024年上海市中考真题数学试卷含答案解析

2024年上海市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果x y >，那么下列正确的是（）A ．55x y +<+B ．55x y -<-C ．55x y >D ．55x y->-【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A ．两边都加上5，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；B ．两边都加上5-，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；C ．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；D ．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；故选：C ．2．函数2()3xf x x -=-的定义域是（）A ．2x =B ．2x ≠C ．3x =D ．3x ≠3．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=-=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=-时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=-⨯⨯-=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意；D ．()2Δ64190=--⨯⨯= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意；故选：D ．4．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数 2.3 2.3 2.8 3.1方差1.050.781.050.78A ．甲种类B ．乙种类C ．丙种类D ．丁种类【答案】B【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可．解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，故选：B ．5．四边形ABCD 为矩形，过A C 、作对角线BD 的垂线，过B D 、作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形【答案】A【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到OBC OAD S S = ，OC OB OA OD ===，进而由等面积OBC OAD S S ∴= ，OC OB OA OD === 过A C 、作对角线BD 的垂线，过1122OBC OAD S S OC BF OB CH ∴==⋅=⋅ ∴CH BF AE DG ===，6．在ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A B P 、、为圆心画，圆A 半径为1，圆B 半径为2，圆P 半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离∴221417+=，二、填空题7．计算：()324x =．【答案】664x 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可．【详解】解：()326464x x =，故答案为：664x ．8．计算()()a b b a +-= ．【答案】22b a -【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：()()a b b a +-()()b a b a =+-22b a =-，故答案为：22b a -．【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．91=，则x = ．【答案】1【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知210x ->，则可得出211x -=，求出x 即可．【详解】解：根据题意可知：210x ->，∴211x -=，解得：1x =，故答案为：1．10．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为5210⨯GB ，一张普通唱片的容量约为25GB ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的倍．（用科学记数法表示）11．若正比例函数y kx =的图像经过点(7,13)-，则y 的值随x 的增大而．（选填“增大”或“减小”）12．在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，则BAC ∠= ．13．某种商品的销售量y （万元）与广告投入x （万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为万元．【答案】4500【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设y kx b =+，根据题意找出点代入求出解析式，然后把80x =代入求解即可．【详解】解：设y kx b =+，把()10,1000，()90,5000代入，得101000905000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得50500k b =⎧⎨=⎩，∴50500y x =+，当80x =时，50805004500y =⨯+=，即投入80万元时，销售量为4500万元，故答案为：4500．14．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有个绿球．∴绿球的个数的最小值为3，∴袋子中至少有3个绿球，故答案为：3．15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，设AC a = ，BE b =u u r r，若2AE EC =，则DC =（结果用含a ，b的式子表示）．16．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有人．【答案】200017．在平行四边形ABCD 中，ABC ∠是锐角，将CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，对应点分别为C '，D ¢，若::1:3:7AC AB BC '=，则cos ABC ∠= ．根据::1:3:7AC AB BC '=由翻折的性质知：FCD ∠=CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，BC F FC D FCD '''∴∠+∠=∠根据::1:3:7AC AB BC '=，不妨设同理知：72CF BF C F '===，过F 作AB 的垂线交于E ，122BE BC '∴==，18．对于一个二次函数2()y a x m k =-+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '-='-≠，则称2x m '-为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =-++“开口大小”为．三、解答题20．解方程组：2234026x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩①②．【答案】4x =，1y =或者6x =-，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩①②，由②得：62x y =-代入①中得：()()226236240y y y y ----=，()2223624418640y y y yy -+-+-=，2642360y y -+=，()26760y y -+=，()()6610y y --=解得：1y =或6y =，当1y =时，6214x =-⨯=，当6y =时，6266x =-⨯=-，∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =-=．21．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）上有一点()3,A m -，且与直线24y x =-+交于另一点(),6B n ．(1)求k 与m 的值；(2)过点A 作直线l x ∥轴与直线24y x =+交于点C ，求sin OCA ∠的值．∵l x ∥轴，x 轴y ⊥轴，∴A 、C 、D 的纵坐标相同，均为把2y =代入24y x =-+解得1x =，∴()1,2C ，22．同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为h．(1)求：①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；②小平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．如图2，DEF 为含则2EF h =，DE =综上，等腰直角三角板直角边为②由题意可知MNG NGH ∠=∠∴四边形MNGH 是矩形，由图可得，2323MN h h =-（2）解：如图，即为所作图形．23．如图所示，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，且AE BD ⊥．(1)求证：2AD DE DC=⋅；(2)F为线段AE延长线上一点，且满足12EF CF BD==，求证：CE AD=．在矩形ABCD 中，ADE ∠ AE BD ⊥，∴90DAE ADB ∠+∠=ADB AED ∴∠=∠，FEC AED ∠=∠，24．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B ．(1)求平移后新抛物线的表达式；(2)直线x m =（0m >）与新抛物线交于点P ，与原抛物线交于点Q ．①如果PQ 小于3，求m 的取值范围；②记点P 在原抛物线上的对应点为P '，如果四边形P BPQ '有一组对边平行，求点P 的坐标．∴22114545333333PQ x x x x =-++=+，∵PQ 小于3，∴45333x +<，∴1x <，∵()0x m m =>，∴01m <<；由题意可得：P 在B 的右边，当BP '∴BP x '⊥轴，∴5P B x x '==，∴255,3P '⎛⎫ ⎪⎝⎭，由平移的性质可得：2552,33P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭如图，当P Q BP '∥时，则P QT '∠=过P '作P S QP '⊥于S ，∴90P SQ BTP '∠=∠=︒，∴QS PTP S BT='，25．在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在边AB 上，且13AE AB =．(1)如图1所示，点F 在边CD 上，且13DF CD =，联结EF ，求证：EF BC ∥；(2)已知1AD AE ==；①如图2所示，联结DE ，如果ADE V 外接圆的心恰好落在B ∠的平分线上，求ADE V 的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M 在边BC 上，联结EM 、DM 、EC ，DM 与EC 交于N ，如果4BC =，且2CD DM DN =⋅，DMC CEM ∠=∠，求边CD 的长．∵AD BC∥，∴AE DE EB EG=，∵13AE AB=，13DF CD=∴12AEEB=，12DFFC=，∵AD BC ∥，∴PAD PBC ∽，∴14PA AD PB BC ==，由①知3AB =，∴134PA PA =+，。

2022年上海中考数学试题(含答案解析)

C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题
6.有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（）
A 6B.9C.12D.15
二．填空题
7.计算：3a－2a＝__________．
8.已知f（x）=3x，则f（1）=____- x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
17.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则 _____．
18.定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
三．解答题
19.计算：
14.已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____．
15.如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则 =_____．
16.如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留）
11.甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．
12.某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．
13.为了解学生阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是_____．

上海市中考数学试卷(完整解析版)

20XX年上海市中考数学试卷（完整解析版）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．（4分）下列实数中，无理数是（）A．0B．√2C．﹣2D．2 72．（4分）下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0B．x2﹣2x﹣1=0C．x2﹣2x+1=0D．x2﹣2x+2=03．（4分）如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（）A．k＞0，且b＞0B．k＜0，且b＞0C．k＞0，且b＜0D．k＜0，且b＜04．（4分）数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（）A．0和6B．0和8C．5和6D．5和85．（4分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．菱形B．等边三角形C．平行四边形D．等腰梯形6．（4分）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）7．（4分）计算：2a•a2=．8．（4分）不等式组{2x＞6x−2＞0的解集是．9．（4分）方程√2x−3=1的解是．10．（4分）如果反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而．（填“增大”或“减小”）11．（4分）某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是微克/立方米．12．（4分）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是．13．（4分）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个）14．（4分）某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是万元．15．（4分）如图，已知AB ∥CD ，CD=2AB ，AD 、BC 相交于点E ，设AE →=a →，CE →=b →，那么向量CD →用向量a →、b →表示为．16．（4分）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B 、C 、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n°后（0＜n ＜180 ），如果EF ∥AB ，那么n 的值是．17．（4分）如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A 、B 为圆心画圆．如果点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外，且⊙B 与⊙A 内切，那么⊙B 的半径长r 的取值范围是．18．（4分）我们规定：一个正n 边形（n 为整数，n ≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6=．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．（10分）计算：√18+（√2﹣1）2﹣912+（12）﹣1． 20．（10分）解方程：3x 2−3x ﹣1x−3=1．21．（10分）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．22．（10分）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．25．（14分）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．（1）求证：△OAD∽△ABD；（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．20XX年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．（4分）（2017•上海）下列实数中，无理数是（）A．0B．√2C．﹣2D．2 7【考点】26：无理数．【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：0，﹣2，27是有理数， √2数无理数，故选：B ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（4分）（2017•上海）下列方程中，没有实数根的是（）A ．x 2﹣2x=0B ．x 2﹣2x ﹣1=0C ．x 2﹣2x +1=0D ．x 2﹣2x +2=0【考点】AA ：根的判别式．【专题】11 ：计算题．【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．【解答】解：A 、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A 选项错误；B 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B 选项错误；C 、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C 选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D 选项正确．故选D ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．（4分）（2017•上海）如果一次函数y=kx +b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（）A ．k ＞0，且b ＞0B ．k ＜0，且b ＞0C ．k ＞0，且b ＜0D ．k ＜0，且b ＜0【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】根据一次函数的性质得出即可．【解答】解：∵一次函数y=kx +b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象经过第一、二、四象限， ∴k ＜0，b ＞0，故选B ．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．4．（4分）（2017•上海）数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（）A．0和6B．0和8C．5和6D．5和8【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．【解答】解：将2、5、6、0、6、1、8按照从小到大排列是：0，1，2，5，6，6，8，位于中间位置的数为5，故中位数为5，数据6出现了2次，最多，故这组数据的众数是6，中位数是5，故选C．【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．5．（4分）（2017•上海）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．菱形B．等边三角形C．平行四边形D．等腰梯形【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、菱形既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；B、等边三角形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰梯形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．（4分）（2017•上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【考点】LC：矩形的判定；L5：平行四边形的性质．【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）7．（4分）（2017•上海）计算：2a•a2=2a3．【考点】49：单项式乘单项式．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：2a•a2=2×1a•a2=2a3．故答案为：2a3．【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．（4分）（2017•上海）不等式组{2x＞6x−2＞0的解集是x＞3．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x＞6，得：x＞3，解不等式x﹣2＞0，得：x＞2，则不等式组的解集为x＞3，故答案为：x＞3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（4分）（2017•上海）方程√2x−3=1的解是x=2．【考点】AG：无理方程．【专题】11 ：计算题．【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．【解答】解：√2x−3=1，两边平方得，2x﹣3=1，解得，x=2；经检验，x=2是方程的根；故答案为x=2．【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．10．（4分）（2017•上海）如果反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】先根据题意得出k的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），∴k=2×3=6＞0，∴这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．故答案为：减小．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．11．（4分）（2017•上海）某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是40.5微克/立方米．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】根据增长率问题的关系式得到算式50×（1﹣10%）2，再根据有理数的混合运算的顺序和计算法则计算即可求解．【解答】解：依题意有50×（1﹣10%）2=50×0.92=50×0.81=40.5（微克/立方米）．答：今年PM2.5的年均浓度将是40.5微克/立方米．故答案为：40.5．【点评】考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握增长率问题的关系式．12．（4分）（2017•上海）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是3 10．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】由在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率．【解答】解：∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：32+3+5=310．故答案为：3 10．【点评】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．13．（4分）（2017•上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1．（只需写一个）【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），∴该抛武线的解析式为y=ax2﹣1，又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1，故答案为：y=2x2﹣1．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．14．（4分）（2017•上海）某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是120万元．【考点】VB ：扇形统计图．【分析】利用一月份的产值除以对应的百分比求得第一季度的总产值，然后求得平均数．【解答】解：第一季度的总产值是72÷（1﹣45%﹣25%）=360（万元），则该企业第一季度月产值的平均值是13×360=120（万元）．故答案是：120．【点评】本题考查了扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．15．（4分）（2017•上海）如图，已知AB ∥CD ，CD=2AB ，AD 、BC 相交于点E ，设AE →=a →，CE →=b →，那么向量CD →用向量a →、b →表示为b →+2a →．【考点】LM ：*平面向量；JA ：平行线的性质．【分析】根据CD →=CE →+ED →，只要求出ED →即可解决问题．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴AB CD =AE ED =12， ∴ED=2AE ，∵AE →=a →，∴ED →=2a →，∴CD →=CE →+ED →=b →+2a →．【点评】本题考查平面向量、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则求向量，属于基础题．16．（4分）（2017•上海）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B 、C 、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n°后（0＜n ＜180 ），如果EF ∥AB ，那么n 的值是45．【考点】R2：旋转的性质；JA ：平行线的性质．【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．【解答】解：①如图1中，EF ∥AB 时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF ∥AB ．②如图2中，EF ∥AB 时，∠ACE +∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋转角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．17．（4分）（2017•上海）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是8＜r＜10．【考点】MJ：圆与圆的位置关系；M8：点与圆的位置关系．【分析】先计算两个分界处r的值：即当C在⊙A上和当B在⊙A上，再根据图形确定r的取值．【解答】解：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，⊙A的半径为：AC=AD=4，⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8；如图2，当B在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，⊙A的半径为：AB=AD=5，⊙B的半径为：r=2AB=10；∴⊙B的半径长r的取值范围是：8＜r＜10．故答案为：8＜r＜10．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系和点与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆内切时，两圆的圆心连线过切点，注意当C在⊙A上时，半径为3，所以当⊙A半径大于3时，C在⊙A内；当B在⊙A上时，半径为5，所以当⊙A半径小于5时，B在⊙A外．18．（4分）（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=√3 2．【考点】MM：正多边形和圆．【专题】23 ：新定义．【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵∠BOC=∠OEC+∠OCE，∴∠OEC=∠OCE=30°，∴∠BCE=90°，∴△BEC是直角三角形，∴ECBE=cos30°=√32，∴λ6=√3 2，故答案为√3 2．【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．（10分）（2017•上海）计算：√18+（√2﹣1）2﹣912+（12）﹣1．【考点】79：二次根式的混合运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．【专题】11 ：计算题．【分析】根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算．【解答】解：原式=3√2+2﹣2√2+1﹣3+2=√2+2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（10分）（2017•上海）解方程：3x2−3x﹣1x−3=1．【考点】B3：解分式方程．【分析】两边乘x（x﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．【解答】解：两边乘x（x﹣3）得到3﹣x=x2﹣3x，∴x2﹣2x﹣3=0，∴（x﹣3）（x+1）=0，∴x=3或﹣1，经检验x=3是原方程的增根，∴原方程的解为x=﹣1．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．21．（10分）（2017•上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=ADAB计算即可；（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得EFAD=BFBD=BEBA=23，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，∴AB=√BD2+AD2=√92+62=3√13，∴sinB=ADAB=3√13=2√1313．（2）∵EF∥AD，BE=2AE，∴EFAD=BFBD=BEBA=23，∴EF6=BF9=23，∴EF=4，BF=6，∴DF=3，在Rt△DEF中，DE=√EF2+DF2=√42+32=5．【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）（2017•上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y （元）与绿化面积x （平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y 与x 的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【考点】FH ：一次函数的应用．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；【解答】解：（1）设y=kx +b ，则有{b =400100k +b =900，解得{k =5b =400， ∴y=5x +400．（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元，∵6300＜6400∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【点评】本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．23．（12分）（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA=EC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果BE=BC ，且∠CBE ：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD 是正方形．【考点】LF ：正方形的判定；LA ：菱形的判定与性质．【分析】（1）首先证得△ADE ≌△CDE ，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE ，由AD ∥BC 可得∠ADE=∠CBD ，易得∠CDB=∠CBD ，可得BC=CD ，易得AD=BC ，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD 为平行四边形，由AD=CD 可得四边形ABCD 是菱形；（2）由BE=BC 可得△BEC 为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC ，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180×14=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD 是正方形．【解答】证明：（1）在△ADE 与△CDE 中，{AD =CD DE =DE EA =EC，∴△ADE ≌△CDE ，∴∠ADE=∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CBD ，∴∠CDE=∠CBD ，∴BC=CD ，∵AD=CD ，∴BC=AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD=CD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）∵BE=BC∴∠BCE=∠BEC ，∵∠CBE ：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×22+3+3=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形．【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．24．（12分）（2017•上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c 可求得c的值；（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣b 2a =1，即−b 2×(−1)=1，解得b=2． ∴y=﹣x 2+2x +c ．将A （2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x +2．配方得：y=﹣（x ﹣1）2+3．∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．（2）如图所示：过点A 作AC ⊥BM ，垂足为C ，则AC=1，C （1，2）．∵M （1，m ），C （1，2），∴MC=m ﹣2．∴cot ∠AMB=CM AC=m ﹣2．（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x 轴上，∴抛物线向下平移了3个单位．∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x ﹣1，PQ=3．∵OP=OQ ，∴点O 在PQ 的垂直平分线上．又∵QP ∥y 轴，∴点Q 与点P 关于x 轴对称．∴点Q 的纵坐标为﹣32．将y=﹣32代入y=﹣x 2+2x ﹣1得：﹣x 2+2x ﹣1=﹣32，解得：x=2+√62或x=2−√62． ∴点Q 的坐标为（2+√62，﹣32）或（2−√62，﹣32）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是解题的关键．25．（14分）（2017•上海）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．（1）求证：△OAD∽△ABD；（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，可以证明△ABC是等边三角形即可解决问题；（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=AC•CD，列出方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，在△AOB和△AOC中，{OA=OA AB=AC OB=OC，∴△AOB≌△AOC，∴∠C=∠B，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．（2）如图2中，∵BD⊥AC，OA=OC，∴AD=DC，∴BA=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，∴OD=12OA=12，∴AD=√OA2−OD2=√3 2，∴BC=AC=2AD=√3．（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．∵△DAO∽△DBA，∴ADDB=ODAD=OAAB，∴ADx+1=xAD=1AB，∴AD=√x(x+1)，AB=√x(x+1)x，∵S2是S1和S3的比例中项，∴S22=S1•S3，∵S2=12AD•OH，S1=S△OAC=12•AC•OH，S3=12•CD•OH，∴（12AD•OH）2=12•AC•OH•12•CD•OH，∴AD2=AC•CD，∵AC=AB．CD=AC﹣AD=√x(x+1)x﹣√x(x+1)，∴（√x(x+1)）2=√x(x+1)x•（√x(x+1)x﹣√x(x+1)），整理得x2+x﹣1=0，解得x=√5−12或−√5−12，经检验：x=√5−12是分式方程的根，且符合题意，∴OD=√5−1 2．【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

上海市中考数学试卷(含答案解析)

2021年上海市中考数学试卷一、选择题：本大题共6小题，每题4分，共24分1．〔4分〕如果a与3互为倒数，那么a是〔〕A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．〔4分〕以下单项式中，与a2b是同类项的是〔〕A．2a2b B．a2b2 C．ab2D．3ab3．〔4分〕如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是〔〕A．y=〔x﹣1〕2+2 B．y=〔x+1〕2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．〔4分〕某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是〔〕次数2345人数22106A．3次C．4次5．〔4分〕在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为〔〕A．+B．﹣C．﹣+ D．﹣﹣6．〔4分〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是〔〕A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8二、填空题：本大题共12小题，每题4分，共48分7．〔4分〕计算：a3÷a=．8．〔4分〕函数y=的定义域是．9．〔4分〕方程=2的解是．10．〔4分〕如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为．11．〔4分〕不等式组的解集是．12．〔4分〕如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．13．〔4分〕反比例函数y=〔k≠0〕，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是．14．〔4分〕有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、 (6)点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．15．〔4分〕在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．16．〔4分〕今年5月份有关部门对方案去上海迪士尼乐园的局部市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是．17．〔4分〕如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．〔精确到1米，参考数据：≈1.73〕18．〔4分〕如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．〔10分〕计算：|﹣1|﹣﹣+．20．〔10分〕解方程：﹣=1．21．〔10分〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：〔1〕线段BE的长；〔2〕∠ECB的余切值．22．〔10分〕某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A〔千克〕与时间x〔时〕的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量y B〔千克〕与时间x 〔时〕的函数图象．根据图象提供的信息，解答以下问题：〔1〕求y B关于x的函数解析式；〔2〕如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？23．〔12分〕：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．〔1〕求证：AD=CE；〔2〕如果点G在线段DC上〔不与点D重合〕，且AG=AD，求证：四边形AGCE 是平行四边形．24．〔12分〕如图，抛物线y=ax2+bx﹣5〔a≠0〕经过点A〔4，﹣5〕，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；〔3〕如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．25．〔14分〕如下列图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．〔1〕求线段CD的长；〔2〕如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；〔3〕如果点F在边CD上〔不与点C、D重合〕，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．2021年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每题4分，共24分1．〔4分〕如果a与3互为倒数，那么a是〔〕A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：由a与3互为倒数，得a是，应选：D．【点评】此题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．〔4分〕以下单项式中，与a2b是同类项的是〔〕A．2a2b B．a2b2 C．ab2D．3ab【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．【解答】解：A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．应选A．【点评】此题考查了同类项的知识，解答此题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相同的概念．3．〔4分〕如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是〔〕A．y=〔x﹣1〕2+2 B．y=〔x+1〕2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．应选C．【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．〔4分〕某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是〔〕次数2345人数22106A．3次C．4次【分析】加权平均数：假设n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，那么〔x1w1+x2w2+…+x n w n〕÷〔w1+w2+…+w n〕叫做这n个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．【解答】解：〔2×2+3×2+4×10+5×6〕÷20=〔4+6+40+30〕÷20=80÷20=4〔次〕．答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．【点评】此题考查的是加权平均数的求法．此题易出现的错误是求2，3，4，5这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．5．〔4分〕在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为〔〕A．+B．﹣C．﹣+ D．﹣﹣【分析】由△ABC中，AD是角平分线，结合等腰三角形的性质得出BD=DC，可求得的值，然后利用三角形法那么，求得答案．【解答】解：如下列图：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴BD=DC，∵=，∴=，∵=，∴=+=+．应选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法那么的应用是解题关键．6．〔4分〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是〔〕A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【分析】连接AD，根据勾股定理得到AD=5，根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3=2，由点B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到结论．【解答】解：连接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90°，∴AD=5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3=2，∵BC=7，∴BD=4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，应选B．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，那么当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．二、填空题：本大题共12小题，每题4分，共48分7．〔4分〕计算：a3÷a=a2．【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2．故答案为：a2．【点评】此题考查了同底数幂的除法的运算性质，熟记运算性质是解题的关键．8．〔4分〕函数y=的定义域是x≠2．【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．【解答】解：函数y=的定义域是：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握相关性质是解题关键．9．〔4分〕方程=2的解是x=5．【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．【解答】解：方程两边平方得，x﹣1=4，解得，x=5，把x=5代入方程，左边=2，右边=2，左边=右边，那么x=5是原方程的解，故答案为：x=5．【点评】此题考查的是无理方程的解法，正确利用两边平方的方法解出方程，并正确进行验根是解题的关键．10．〔4分〕如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为﹣2．【分析】把a与b的值代入原式计算即可得到结果．【解答】解：当a=，b=﹣3时，2a+b=1﹣3=﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．11．〔4分〕不等式组的解集是x＜1．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共局部就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＜，解②得x＜1，那么不等式组的解集是x＜1．故答案是：x＜1．【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共局部，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．〔4分〕如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=〔﹣3〕2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】此题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程〔不等式或不等式组〕是关键．13．〔4分〕反比例函数y=〔k≠0〕，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是k＞0．【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=〔k≠0〕，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0．故答案为：k＞0．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．14．〔4分〕有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、 (6)点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率==．故答案为．【点评】此题考查了概率公式：随机事件A的概率P〔A〕=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15．〔4分〕在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【分析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以=〔〕2，由此即可证明．【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=〔〕2=，故答案为．【点评】此题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．16．〔4分〕今年5月份有关部门对方案去上海迪士尼乐园的局部市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是6000．【分析】根据自驾车人数除以百分比，可得答案．【解答】解：由题意，得4800÷40%=12000，公交12000×50%=6000，故答案为：6000．【点评】此题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据．17．〔4分〕如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208米．〔精确到1米，参考数据：≈1.73〕【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．【解答】解：由题意可得：tan30°===，解得：BD=30，tan60°===，解得：DC=90，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208〔m〕，故答案为：208．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．18．〔4分〕如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．【分析】设AB=x，根据平行线的性质列出比例式求出x的值，根据正切的定义求出tan∠BA′C，根据∠ABA′=∠BA′C解答即可．【解答】解：设AB=x，那么CD=x，A′C=x+2，∵AD∥BC，∴=，即=，解得，x1=﹣1，x2=﹣﹣1〔舍去〕，∵AB∥CD，∴∠ABA′=∠BA′C，tan∠BA′C===，∴tan∠ABA′=，故答案为：．【点评】此题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．〔10分〕计算：|﹣1|﹣﹣+．【分析】利用绝对值的求法、分数指数幂、负整数指数幂分别化简后再加减即可求解．【解答】解：原式=﹣1﹣2﹣2+9=6﹣【点评】此题考查了实数的运算及负整数指数幂的知识，解题的关键是了解相关的运算性质及运算法那么，难度不大．20．〔10分〕解方程：﹣=1．【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x=﹣1．【点评】此题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．21．〔10分〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：〔1〕线段BE的长；〔2〕∠ECB的余切值．【分析】〔1〕由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；〔2〕过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB==即可．【解答】解：〔1〕∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD•cos45°=2×=，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段BE的长为2；〔2〕过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如下列图：∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，cot∠ECB==，即∠ECB的余切值为．【点评】此题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题〔2〕的关键．22．〔10分〕某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A〔千克〕与时间x〔时〕的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量y B〔千克〕与时间x 〔时〕的函数图象．根据图象提供的信息，解答以下问题：〔1〕求y B关于x的函数解析式；〔2〕如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？【分析】〔1〕设y B关于x的函数解析式为y B=kx+b〔k≠0〕，将点〔1，0〕、〔3，180〕代入一次函数函数的解析式得到关于k，b的方程组，从而可求得函数的解析式；〔2〕设y A关于x的解析式为y A=k1x．将〔3，180〕代入可求得y A关于x的解析式，然后将x=6，x=5代入一次函数和正比例函数的解析式求得y A，y B的值，最后求得y A与y B的差即可．【解答】解：〔1〕设y B关于x的函数解析式为y B=kx+b〔k≠0〕．将点〔1，0〕、〔3，180〕代入得：，解得：k=90，b=﹣90．所以y B关于x的函数解析式为y B=90x﹣90〔1≤x≤6〕．〔2〕设y A关于x的解析式为y A=k1x．根据题意得：3k1=180．解得：k1=60．所以y A=60x．当x=5时，y A=60×5=300〔千克〕；x=6时，y B=90×6﹣90=450〔千克〕．450﹣300=150〔千克〕．答：如果A、B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．【点评】此题主要考查的是一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数的解析式是解题的关键．23．〔12分〕：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．〔1〕求证：AD=CE；〔2〕如果点G在线段DC上〔不与点D重合〕，且AG=AD，求证：四边形AGCE 是平行四边形．【分析】〔1〕根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；〔2〕连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．【解答】证明：〔1〕在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE〔SAS〕，∴AD=CE；〔2〕连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．24．〔12分〕如图，抛物线y=ax2+bx﹣5〔a≠0〕经过点A〔4，﹣5〕，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；〔3〕如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．【分析】〔1〕先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；〔2〕分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；〔3〕由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是的，从而利用tan∠BEO=tan ∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=ax 2+bx ﹣5与y 轴交于点C ，∴C 〔0，﹣5〕，∴OC=5．∵OC=5OB ，∴OB=1，又点B 在x 轴的负半轴上，∴B 〔﹣1，0〕．∵抛物线经过点A 〔4，﹣5〕和点B 〔﹣1，0〕， ∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x 2﹣4x ﹣5．〔2〕由y=x 2﹣4x ﹣5，得顶点D 的坐标为〔2，﹣9〕．连接AC ，∵点A 的坐标是〔4，﹣5〕，点C 的坐标是〔0，﹣5〕，又S △ABC =×4×5=10，S △ACD =×4×4=8，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =18．〔3〕过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵S △ABC =×AB ×CH=10，AB==5， ∴CH=2，在RT △BCH 中，∠BHC=90°，BC=，BH==3， ∴tan ∠CBH==．∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC，∴，得EO=，∴点E的坐标为〔0，〕．【点评】此题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第〔3〕问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．25．〔14分〕如下列图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．〔1〕求线段CD的长；〔2〕如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；〔3〕如果点F在边CD上〔不与点C、D重合〕，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【分析】〔1〕作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，那么DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；〔2〕分类讨论：当EA=EG时，那么∠AGE=∠GAE，那么判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，那么AM=AD=，通过证明Rt△AME ∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，那么∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，〔3〕作DH⊥AB于H，如图2，那么AH=9，HE=|x﹣9|，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，那么利用相似比可表示出EG=，那么可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解答】解：〔1〕作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；〔2〕①EA=EG时，那么∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，那么AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；②GA=GE时，那么∠GAE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15．综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；〔3〕作DH⊥AB于H，如图2，那么AH=9，HE=|x﹣9|，在Rt△HDE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=〔﹣〕：，∴y=〔0＜x＜〕．【点评】此题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

2024年上海市中考数学试题+答案详解

2024年上海市中考数学试题+答案详解（试题部分）1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，请在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．井将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、选择题（每题4分，共24分）1. 如果x y >，那么下列正确的是（）A. 55x y +<+B. 55x y −<−C. 55x y >D. 55x y −>−2. 函数2()3xf x x −=−的定义域是（） A. 2x =B. 2x ≠C. 3x =D. 3x ≠3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（） A. 260x x −= B.290x -=C. 2660x x −+=D. 2690x x −+=4. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．A. 甲种类B. 乙种类C. 丙种类D. 丁种类5. 四边形ABCD 为矩形，过A C 、作对角线BD 的垂线，过B D 、作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（） A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形6. 在ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A B P 、、为圆心画，圆A 半径为1，圆B 半径为2，圆P 半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（） A. 内含B. 相交C. 外切D. 相离二、填空题（每题4分，共48分）7. 计算：()324x =___________．8. 计算()()a b b a +−=______．9.1=，则x =___________．10. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为5210⨯GB ，一张普通唱片的容量约为25GB ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示） 11. 若正比例函数y kx =的图像经过点(7,13)−，则y 的值随x 的增大而___________．（选填“增大”或“减小”）12. 在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，则BAC ∠=___________．13. 某种商品的销售量y （万元）与广告投入x （万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元．14. 一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有___________个绿球． 15. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，设AC a =，BE b =uur r，若2AE EC =，则DC =___________（结果用含a ，b 的式子表示）．16. 博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有__________人．17. 在平行四边形ABCD 中，ABC ∠是锐角，将CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，对应点分别为C '，D ¢，若::1:3:7AC AB BC '=，则cos ABC ∠=__________．18. 对于一个二次函数2()y a x m k =−+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '−='−≠，则称2x m '−为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =−++“开口大小”为__________．三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）19.计算：102|124(1+−．20. 解方程组：2234026x xy y x y ⎧−−=⎨+=⎩①②．21. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）上有一点()3,A m −，且与直线24y x =−+交于另一点(),6B n ．（1）求k 与m 的值；（2）过点A 作直线l x ∥轴与直线24y x =+交于点C ，求sin OCA ∠的值．22. 同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为h ．（1）求：①两个直角三角形的直角边（结果用h 表示）； ②小平行四边形的底、高和面积（结果用h 表示）；（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．23. 如图所示，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，且AE BD ⊥．（1）求证：2AD DE DC =⋅；（2）F 为线段AE 延长线上一点，且满足12EF CF BD ==，求证：CE AD =． 24. 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫− ⎪⎝⎭和(5,0)B ．（1）求平移后新抛物线的表达式；（2）直线x m =（0m >）与新抛物线交于点P ，与原抛物线交于点Q ． ①如果PQ 小于3，求m 的取值范围；②记点P 在原抛物线上的对应点为P '，如果四边形P BPQ '有一组对边平行，求点P 的坐标． 25. 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在边AB 上，且13AE AB =．（1）如图1所示，点F 在边CD 上，且13DF CD =，联结EF ，求证：EF BC ∥；（2）已知1AD AE ==；①如图2所示，联结DE ，如果ADE V 外接圆的心恰好落在B ∠的平分线上，求ADE V 的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M 在边BC 上，联结EM 、DM 、EC ，DM 与EC 交于N ，如果4BC =，且2CD DM DN =⋅，DMC CEM ∠=∠，求边CD 的长．2024年上海市中考数学试题+答案详解（答案详解）1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，请在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．井将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、选择题（每题4分，共24分）1. 如果x y >，那么下列正确的是（）A. 55x y +<+B. 55x y −<−C. 55x y >D. 55x y −>−【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A ．两边都加上5，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B ．两边都加上5−，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C ．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D ．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；故选：C ． 2. 函数2()3xf x x −=−的定义域是（） A. 2x = B. 2x ≠C. 3x =D. 3x ≠【答案】D 【解析】【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键．【详解】解：函数2()3xf x x −=−的定义域是30x −≠，解得3x ≠，故选：D ．3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（） A. 260x x −= B.290x -=C. 2660x x −+=D. 2690x x −+=【答案】D 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=−=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=−−⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意； B ．()2Δ0419360=−⨯⨯−=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=−−⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意； D ．()2Δ64190=−−⨯⨯= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意；故选：D ．4. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．A. 甲种类B. 乙种类C. 丙种类D. 丁种类【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可．解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，故选：B ．5. 四边形ABCD 为矩形，过A C 、作对角线BD 的垂线，过B D 、作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（） A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形【答案】A 【解析】【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到OBCOADSS=，OC OB OA OD ===，进而由等面积法确定CH BF AE DG ===，再由菱形的判定即可得到答案．【详解】解：如图所示：四边形ABCD 为矩形，OBCOAD SS∴=，OC OB OA OD ===，过A C 、作对角线BD 的垂线，过B D 、作对角线AC 的垂线，11112222OBCOADSSOC BF OB CH OD AE OA DG ∴==⋅=⋅=⋅=⋅ ∴CH BF AE DG ===，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，故选：A ．6. 在ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A B P 、、为圆心画，圆A 半径为1，圆B 半径为2，圆P 半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（） A. 内含 B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．【详解】解：圆A 半径为1，圆P 半径为3，圆A 与圆P 内切，∴圆A 含在圆P 内，即312PA =−=，P ∴在以A 为圆心、2为半径的圆与ABC 边相交形成的弧上运动，如图所示：∴当到P '位置时，圆P 与圆B 圆心距离PB =325<+=，∴圆P 与圆B 相交，故选：B ．二、填空题（每题4分，共48分）7. 计算：()324x =___________．【答案】664x 【解析】【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可．【详解】解：()326464xx =，故答案为：664x ．8. 计算()()a b b a +−=______．【答案】22b a − 【解析】【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：()()a b b a +−()()b a b a =+−22b a =−，故答案为：22b a −．【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．9.1=，则x =___________．【答案】1 【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知210x −>，则可得出211x −=，求出x 即可．【详解】解：根据题意可知：210x −>， ∴211x −=，解得：1x =，故答案为：1．10. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为5210⨯GB ，一张普通唱片的容量约为25GB ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示）【答案】3810⨯ 【解析】【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，按要求表示即可得到答案，确定a 与n 的值是解决问题的关键．【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的53210800081025⨯==⨯倍，故答案为：3810⨯．11. 若正比例函数y kx =的图像经过点(7,13)−，则y 的值随x 的增大而___________．（选填“增大”或“减小”）【答案】减小【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出137k =−，结合正比例函数的性质，即可得出y 的值随x 的增大而减小．【详解】解：正比例函数y kx =的图象经过点(7,13)−， 137k ∴−=，解得：137k =−，又1307k =−<， y ∴的值随x 的增大而减小．故答案为：减小．12. 在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，则BAC ∠=___________．【答案】57︒##57度【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用菱形性质得出AB BC =，利用等边对等角得出BAC ACB ∠=∠，然后结合三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB BC =，∴()()11180180665722BAC ACB ABC ∠=∠=︒−∠=︒−︒=︒，故答案为：57︒．13. 某种商品的销售量y （万元）与广告投入x （万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元．【答案】4500【解析】【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设y kx b =+，根据题意找出点代入求出解析式，然后把80x =代入求解即可．【详解】解：设y kx b =+，把()10,1000，()90,5000代入，得101000905000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得50500k b =⎧⎨=⎩， ∴50500y x =+，当80x =时，50805004500y =⨯+=，即投入80万元时，销售量为4500万元，故答案为：4500．14. 一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有___________个绿球．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有3x 个，则根据概率计算公式得到球的总数为5x 个，则白球的数量为2x 个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可．【详解】解：设袋子中绿球有3x 个， ∵摸到绿球的概率是35， ∴球的总数为3355x x ÷=个， ∴白球的数量为532x x x −=个，∵每种球的个数为正整数，∴20x >，且x 为正整数，∴0x >，且x 为正整数，∴x 的最小值为1，∴绿球的个数的最小值为3，∴袋子中至少有3个绿球，故答案为：3．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，设AC a =，BE b =uur r ，若2AE EC =，则DC =___________（结果用含a ，b 的式子表示）．【答案】23a b − 【解析】【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出23AE AC =，从而可得AB AE EB =+．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴∥，DC AB =．E 是AC 上一点，2AE EC =，23AE AC ∴=， 23AB AE EB AE BE a b =+=−=−， ∴23DC a b =−，故答案为：23a b −． 16. 博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有__________人．【答案】2000【解析】【分析】本题考查条形统计图及用样本的某种“率”估计总体的某种“率”，正确得出需要AR 增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比是解题关键．先求出需求讲解的人数占有效问卷的百分比，再根据条形统计图求出需要AR 增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比，进而可得答案．【详解】解：∵共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人有需求讲解， ∴需求讲解的人数占有效问卷的百分比为300100%30%1000⨯=，由条形统计图可知：需要AR 增强讲解的人数为100人，∴需要AR 增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比为10013003=， ∴在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有12000030%20003⨯⨯=（人），故答案为：200017. 在平行四边形ABCD 中，ABC ∠是锐角，将CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，对应点分别为C '，D ¢，若::1:3:7AC AB BC '=，则cos ABC ∠=__________．【答案】27或47##47或27【解析】【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．【详解】解：当C '在AB 之间时，作下图，根据::1:3:7AC AB BC '=，不妨设1,3,7AC AB BC '===，由翻折的性质知：FCD FC D ''∠=∠， CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，BC F FC D FCD FBA '''∴∠+∠=∠+∠，BC F FBA '∴∠=∠。

2023年上海市中考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2023年上海市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列运算正确的是( ) A. a 5÷a 2=a 3B. a 3+a 3=a 6C. (a 3)2=a 5D. √ a 2=a2. 在分式方程2x−1x2+x 22x−1=5中，设2x−1x 2=y ，可得到关于y 的整式方程为( )A. y 2+5y +5=0B. y 2−5y +5=0C. y 2+5y +1=0D. y 2−5y +1=03. 下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是( ) A. y =6xB. y =−6xC. y =6xD. y =−6x4. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是( )A. 小车的车流量与公车的车流量稳定B. 小车的车流量的平均数较大C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值D. 小车与公车车流量的变化趋势相同5. 在四边形ABCD 中，AD//BC ，AB =CD.下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是( )A. AB//CDB. AD =BCC. ∠A =∠BD. ∠A =∠D6. 已知在梯形ABCD 中，联结AC ，BD ，且AC ⊥BD ，设AB =a ，CD =b.下列两个说法：①AC =√ 22(a +b)；②AD =√ 22√ a 2+b 2，则下列说法正确的是( )A. ①正确②错误B. ①错误②正确C. ①②均正确D. ①②均错误二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 分解因式：n 2−9= ______ ． 8. 化简：21−x −2x1−x 的结果为______ ．9. 已知关于x 的方程√ x −14=2，则x = ______ ． 10. 函数f(x)=1x−23的定义域为______ ．11. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+6x +1=0没有实数根，那么a 的取值范围是______ ．12. 在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白成，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同.那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为______ ．13. 如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为______ ． 14. 一个二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是______ ．15. 如图，在△ABC 中，点D ，E 在边AB ，AC 上，2AD =BD ，DE//BC ，联结DE ，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么用a ⃗ ，b ⃗ 表示DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．16. 垃圾分类(Refusesorting)，是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类.某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为______ ．17. 如图，在△ABC 中，∠C =35°，将△ABC 绕着点A 旋转α(0°<α<180°)，旋转后的点B 落在BC 上，点B 的对应点为D ，联结AD ，AD 是∠BAC 的角平分线，则α= ______ ．18. 在△ABC 中，AB =7，BC =3，∠C =90°，点D 在边AC 上，点E 在CA 延长线上，且CD =DE ，如果⊙B 过点A ，⊙E 过点D ，若⊙B 与⊙E 有公共点，那么⊙E 半径r 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。

2023年上海中考数学试卷22题

2023年上海中考数学试卷22题
2023年上海中考数学试卷22题是一道关于概率的题目。

本题考察学生对概率的理解和计算能力。

下面将详细解答该题。

题目描述：某班级有30个学生，其中15个是女生，15个是男生。

班级中有5个学生喜欢阅读科幻小说，其中3个是男生。

如果从班级中随机选取一名学生，那么这个学生既是女生又喜欢阅读科幻小说的概率是多少？
解答：
首先，我们需要计算班级中既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生人数。

根据题目描述，班级中有15个女生，其中5个学生喜欢阅读科幻小说。

所以，既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生人数是5个。

接下来，我们需要计算从班级中随机选取一名学生的概率。

班级总共有30个学生，因此，从班级中随机选取一名学生的概率是1/30。

最后，我们需要计算既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生被选中的概率。

根据概率的定义，既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生被选中的概率等于既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生人数除以总体样本空间的大小。

所以，既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生被选中的概率是5/30。

综上所述，这个学生既是女生又喜欢阅读科幻小说的概率是5/30，即1/6。

2020年上海市中考数学试卷及答案 (解析版)

2020年上海市中考数学试卷一、选择题（共6小题）.1．（4( )A B C D 2．（4分）用换元法解方程22121x x x x ++=+时，若设21x y x+=，则原方程可化为关于y 的方程是( )A ．2210y y -+=B ．2210y y ++=C ．220y y ++=D ．220y y +-=3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )A ．条形图B ．扇形图C ．折线图D ．频数分布直方图4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(2,4)-，那么这个反比例函数的解析式是( )A ．2y x =B ．2y x =-C ．8y x =D ．8y x=- 5．（4分）下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．正六边形D ．圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：23a ab = ．8．（4分）已知2()1f x x =-，那么f （3）的值是． 9．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而．（填“增大”或“减小” )10．（4分）如果关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．12．（4分）如果将抛物线2y x =向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得 1.6AB =米，1BD =米，0.2BE =米，那么井深AC 为米．15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC a =，CA b =，那么向量BD 用向量a 、b 表示为．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米)与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行米．17．（4分）如图，在ABC ∆中，4AB =，7BC =，60B ∠=︒，点D 在边BC 上，3CD =，联结AD ．如果将ACD ∆沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为．18．（4分）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：1231127()|35|252-+-+-+． 20．（10分）解不等式组：1076,713x x x x >+⎧⎪+⎨-<⎪⎩21．（10分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=︒，8AB =，5CD =，35BC =．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求DBC ∠的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；（2）如果2BE AB AE =，求证：AG DF =．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线152y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B （如图）．抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点A ．（1）求线段AB 的长；（2）如果抛物线2y ax bx =+经过线段AB 上的另一点C ，且5BC =，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 位于AOB ∆内，求a 的取值范围．25．（14分）如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是ABC ∆的外接圆，BO 的延长线交边AC 于点D ．（1）求证：2BAC ABD ∠=∠；（2）当BCD ∆是等腰三角形时，求BCD ∠的大小；（3）当2AD =，3CD =时，求边BC 的长．2020年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4()A B C D解：3=不是同类二次根式；C=被开方数相同，故是同类二次根式；D=被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．2．（4分）用换元法解方程22121x xx x++=+时，若设21xyx+=，则原方程可化为关于y的方程是()A．2210y y-+=B．2210y y++=C．220y y++=D．220y y+-=解：把21xyx+=代入原方程得：12yy+=，转化为整式方程为2210y y-+=．故选：A．3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是()A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，故选：B．4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(2,4)-，那么这个反比例函数的解析式是() A．2yx=B．2yx=-C．8yx=D．8yx=-解：设反比例函数解析式为k y x =，将(2,4)-代入，得：42k -=，解得8k =-，所以这个反比例函数解析式为8y x=-，故选：D ． 5．（4分）下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形解：A 、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C 、正确；D 、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；故选：C ．6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．正六边形D ．圆解：如图，平行四边形ABCD 中，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ．四边形ABEF 向右平移可以与四边形EFCD 重合，∴平行四边形ABCD 是平移重合图形，故选：A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：23a ab = 26a b ．解：2236a ab a b =．故答案为：26a b ．8．（4分）已知2()1f x x =-，那么f （3）的值是 1 ．解：2()1f x x =-， f ∴（3）2131==-，故答案为：1．9．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而减小．（填“增大”或“减小” )解：函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而减小，故答案为：减小．10．（4分）如果关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是 4 ．解：依题意，方程240x x m -+=有两个相等的实数根，∴△224(4)40b ac m =-=--=，解得4m =，故答案为：4．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5 解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是21105=．故答案为：15． 12．（4分）如果将抛物线2y x =向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 23y x =+ ．解：抛物线2y x =向上平移3个单位得到23y x =+．故答案为：23y x =+．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150名．解：15084003150400⨯=（名)．答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得 1.6AB =米，1BD =米，0.2BE =米，那么井深AC 为 7 米．解：BD AB ⊥，AC AB ⊥，//BD AC ∴，ACE BDE ∴∆∆∽，∴AC AE BD BE =， ∴ 1.410.2AC =， 7AC ∴=（米)，答：井深AC 为7米．15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC a =，CA b =，那么向量BD 用向量a 、b 表示为 2a b + ．解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，AB CD =，//AB CD ，∴AD BC a ==，CD CA AD b a =+=+，∴BA CD b a ==+，BD BA AD =+，∴2BD b a a a b =++=+，故答案为：2a b +．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米)与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．解：当820t 时，设s kt b =+，将(8,960)、(20,1800)代入，得：8960201800k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：70400k b =⎧⎨=⎩， 70400s t ∴=+；当15t =时，1450s =，180********-=，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故答案为：350．17．（4分）如图，在ABC ∆中，4AB =，7BC =，60B ∠=︒，点D 在边BC 上，3CD =，联结AD ．如果将ACD ∆沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为 332．解：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ．7BC =，3CD =，4BD BC CD ∴=-=，4AB BD ==，60B ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，60ADB ∴=︒，120ADC ADE ∴∠=∠=︒，60EDH ∴∠=︒，EH BC ⊥，90EHD ∴∠=︒，3DE DC ==，33sin 602EH DE ∴=︒=， E ∴到直线BD 332， 332． 18．（4分）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 102033AO << ．解：在矩形ABCD 中，90D ∠=︒，6AB =，8BC =，10AC ∴=，如图1，设O 与AD 边相切于E ，连接OE ，则OE AD ⊥，//OE CD ∴，AOE ACD ∴∆∆∽， ∴OE AO CD AC =， ∴2106AO =， 103AO ∴=，如图2，设O 与BC 边相切于F ，连接OF ，则OF BC ⊥，//OF AB ∴，COF CAB ∴∆∆∽，∴OC OF AC AB =， ∴2106OC =， 103OC ∴=， 203AO ∴=， ∴如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是102033AO <<，故答案为：102033AO <<．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：1231127()|35|252-+-+-+．解：原式133(3)52435=+--+-352435=+--+-0=．20．（10分）解不等式组：1076,713x x x x >+⎧⎪+⎨-<⎪⎩解：1076713x x x x >+⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，解不等式①得2x >，解不等式②得5x <．故原不等式组的解集是25x <<．21．（10分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=︒，8AB =，5CD =，35BC =．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求DBC ∠的正切值．解：（1）过C 作CE AB ⊥于E ，//AB DC ，90DAB ∠=︒，90D ∴∠=︒，90A D AEC ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形，AD CE ∴=，5AE CD ==，3BE AB AE ∴=-=，35BC=，226 CE BC BE∴=-=，∴梯形ABCD的面积1(58)6392=⨯+⨯=；（2）过C作CH BD⊥于H，//CD AB，CDB ABD∴∠=∠，90CHD A∠=∠=︒，CDH DBA∴∆∆∽，∴CH CDAD BD=，22228610 BD AB AD=+=+=，∴5 610 CH=，3CH∴=，2222(35)36 BH BC CH∴=-=-=，DBC∴∠的正切值3162 CHBH===．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．解：（1）45045012%504+⨯=（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：2350(1)504x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；（2）如果2BE AB AE =，求证：AG DF =．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，CD CB ∴=，D B ∠=∠，//CD AB ，DF BE =，()CDF CBE SAS ∴∆≅，DCF BCE ∴∠=∠，//CD BH ，H DCF ∴∠=∠，BCE H ∴∠=∠，B B ∠=∠，BEC BCH ∴∆∆∽．（2）证明：2BE AB AE =， ∴BE AE AB EB=， //AG BC ， ∴AE AG BE BC =， ∴BE AG AB BC=， DF BE =，BC AB =，BE AG DF ∴==，即AG DF =．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线152y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B （如图）．抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点A ．（1）求线段AB 的长；（2）如果抛物线2y ax bx =+经过线段AB 上的另一点C ，且5BC =，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 位于AOB ∆内，求a 的取值范围．解：（1）针对于直线152y x =-+，令0x =，5y =， (0,5)B ∴，令0y =，则1502x -+=， 10x ∴=，(10,0)A ∴，2251055AB ∴=+=（2）设点1(,5)2C m m -+， (0,5)B ，2215(55)|22BC m m m ∴=+-+-=， 5BC =，∴5|52m =，2m ∴=±，点C 在线段AB 上，2m ∴=，(2,4)C ∴，将点(10,0)A ，(2,4)C 代入抛物线2(0)y ax bx a =+≠中，得100100424a b a b +=⎧⎨+=⎩， ∴1452a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线21542y x x =-+；（3）点(10,0)A 在抛物线2y ax bx =+中，得100100a b +=， 10b a ∴=-，∴抛物线的解析式为2210(5)25y ax ax a x a =-=--，∴抛物线的顶点D 坐标为(5,25)a -，将5x =代入152y x =-+中，得155522y =-⨯+=，顶点D 位于AOB ∆内，50252a ∴<-<， 1010a ∴-<<； 25．（14分）如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是ABC ∆的外接圆，BO 的延长线交边AC 于点D ．（1）求证：2BAC ABD ∠=∠；（2）当BCD ∆是等腰三角形时，求BCD ∠的大小；（3）当2AD =，3CD =时，求边BC 的长．【解答】（1）证明：连接OA．=，AB AC=，∴AB AC∴⊥，OA BC∴∠=∠，BAO CAO=，OA OBABD BAO∴∠=∠，∴∠=∠．2BAC BAD（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD CB∠=∠=∠+∠=∠，=，则3C BDC ABD BAC ABD=，AB ACABC C∴∠=∠，∴∠=∠，2DBC ABD180DBC C BDC ∠+∠+∠=︒， 8180ABD ∴∠=︒，367.5C ABD ∴∠=∠=︒．②若CD CB =，则3CBD CDB ABD ∠=∠=∠， 4C ABD ∴∠=∠，180DBC C CDB ∠+∠+∠=︒， 10180ABD ∴∠=︒，472BCD ABD ∴∠=∠=︒．③若DB DC =，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，C ∠的值为67.5︒或72︒．（3）如图3中，作//AE BC 交BD 的延长线于E ．则23AE AD BC DC ==， ∴43AO E OH BH ==，设4OB OA a ==，3OH a =， 22222BH AB AH OB OH =-=-， 2222549169a a a ∴-=-，22556a ∴=， 524BH ∴ 5222BC BH ∴==．。

2020年上海市中考数学试卷及答案 (解析版)

2024年上海市中考数学试卷正式版含答案解析

绝密★启用前2024年上海市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如果x>y，那么下列正确的是( )A. x+5≤y+5B. x−5<y−5C. 5x>5yD. −5x>−5y的定义域是( )2.函数f(x)=2−xx−3A. x=2B. x≠2C. x=3D. x≠33.以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )A. x2−6x=0B. x2−9=0C. x2−6x+6=0D. x2−6x+9=04.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是( )A. 甲种类B. 乙种类C. 丙种类D. 丁种类5.四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为( )A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形6.在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是( )A. 内含B. 相交C. 外切D. 相离第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.计算：(4x 2)3= ______． 8.计算(a +b)(b −a)= ______． 9.已知√ 2x −1=1，则x = ______．10.科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB ，一张普通唱片的容量约为25GB ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的______倍.(用科学记数法表示)11.若正比例函数y =kx 的图象经过点(7,−13)，则y 的值随x 的增大而______.(选填“增大”或“减小”) 12.在菱形ABCD 中，∠ABC =66°，则∠BAC = ______°.13.某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元.则投入80万元时，销售量为______万元．14.一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同.随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有______个绿球．15.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若AE =2EC ，则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______(结果用含a ，b ⃗ 的式子表示)．16.博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示(一人可以选择多种).那么在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有______人.17.在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC=1：3：7，则cos∠ABC=______．18.对于一个二次函数y=a(x−m)2+k(a≠0)中存在一点P(x′,y′)，使得x′−m=y′−k≠0，则称2|x′−m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=−12x2+13x+3“开口大小”为______．三、解答题：本题共7小题，共78分。

2020年上海市中考数学试卷+详细答案版(最完整版)

2020年上海市中考数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0B．y2+2y+1＝0C．y2+y+2＝0D．y2+y﹣2＝0 3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣5．（4分）下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：2a•3ab＝．8．（4分）已知f（x）＝，那么f（3）的值是．9．（4分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而．（填“增大”或“减小”）10．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．12．（4分）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为米．15．（4分）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行米．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD 的距离为．18．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：+﹣（）﹣2+|3﹣|．20．（10分）解不等式组：21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC ＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE 的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．2020年上海市中考数学试卷（答案版）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【微点】同类二次根式．【思路】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解析】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B.，与不是同类二次根式；C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．【点拨】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．2．（4分）用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0B．y2+2y+1＝0C．y2+y+2＝0D．y2+y﹣2＝0【微点】换元法解分式方程．【思路】方程的两个分式具备倒数关系，设＝y，则原方程化为y+＝2，再转化为整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．【解析】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．故选：A．【点拨】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图【微点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布折线图；扇形统计图；条形统计图．【思路】根据统计图的特点判定即可．【解析】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，故选：B．【点拨】本题考查了统计图，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣【微点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．【思路】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y＝，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．【解析】解：设反比例函数解析式为y＝，将（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，解得k＝﹣8，所以这个反比例函数解析式为y＝﹣，故选：D．【点拨】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．5．（4分）下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【微点】命题与定理．【思路】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【解析】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C、正确；D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；故选：C．【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大．6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆【微点】平移的性质．【思路】证明平行四边形是平移重合图形即可．【解析】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．【点拨】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：2a•3ab＝6a2b．【微点】单项式乘单项式．【思路】根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解析】解：2a•3ab＝6a2b．故答案为：6a2b．【点拨】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．（4分）已知f（x）＝，那么f（3）的值是1．【微点】函数值．【思路】根据f（x）＝，可以求得f（3）的值，本题得以解决．【解析】解：∵f（x）＝，∴f（3）＝＝1，故答案为：1．【点拨】本题考查函数值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．9．（4分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）【微点】正比例函数的性质．【思路】根据正比例函数的性质进行解答即可．【解析】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．【点拨】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k＞0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．10．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是4．【微点】根的判别式．【思路】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解析】解：依题意，∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．【点拨】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实根，当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△＝b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．【微点】概率公式．【思路】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．【解析】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是＝．故答案为：．【点拨】此题主要考查了概率公式，概率＝所求情况数与总情况数之比求出是解决问题的关键．12．（4分）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝x2+3．【微点】二次函数图象与几何变换．【思路】直接根据抛物线向上平移的规律求解．【解析】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．故答案为：y＝x2+3．【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150．【微点】用样本估计总体．【思路】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．【解析】解：8400×＝3150．答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150．故答案为：3150．【点拨】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为7米．【微点】相似三角形的应用．【思路】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），故答案为：7．【点拨】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．15．（4分）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为2+．【微点】平行四边形的性质；*平面向量．【思路】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∴＝＝，∵＝+＝+，∴＝＝+，∵＝+，∴＝++＝2+，故答案为：2+．【点拨】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．【微点】一次函数的应用．【思路】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．【解析】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入，得：，解得：，∴s＝70t+400；当t＝15时，s＝1450，1800﹣1450＝350（米）∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故答案为：350．【点拨】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD 的距离为．【微点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【思路】如图，过点E作EH⊥BC于H．首先证明△ABD是等边三角形，解直角三角形求出EH即可．【解析】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°＝，∴E到直线BD的距离为，故答案为．【点拨】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜．【微点】矩形的性质；直线与圆的位置关系．【思路】根据勾股定理得到AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴，∴＝，∴AO＝，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∽△CAB，∴＝，∴＝，∴OC＝，∴AO＝，∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO ＜，故答案为：＜AO＜．【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：+﹣（）﹣2+|3﹣|．【微点】实数的运算；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．【思路】利用幂的乘方的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．【解析】解：原式＝（33）+﹣2﹣4+3﹣＝3+﹣2﹣4+3﹣＝0．【点拨】本题考查了幂的乘方，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．20．（10分）解不等式组：【微点】解一元一次不等式组．【思路】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【解析】解：，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＜5．故原不等式组的解集是2＜x＜5．【点拨】本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC ＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．【微点】直角梯形；解直角三角形．【思路】（1）过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD ＝5，根据勾股定理得到CE＝＝6，于是得到梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到BD＝＝＝10，BH＝＝＝6，于是得到结论．【解析】解：（1）过C作CE⊥AB于E，∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE，AE＝CD＝5，∴BE＝AB﹣AE＝3，∵BC＝3，∴CE＝＝6，∴梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH⊥BD于H，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠CHD＝∠A＝90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD＝＝＝10，∴＝，∴CH＝3，∴BH＝＝＝6，∴∠DBC的正切值＝＝＝．【点拨】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【微点】一元二次方程的应用．【思路】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE 的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【微点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质．【思路】（1）想办法证明∠BCE＝∠H即可解决问题．（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，∵DF＝BE，∴△CDF≌CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠BCE＝∠H，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∴＝，∵AG∥BC，∴＝，∴＝，∵DF＝BE，BC＝AB，∴BE＝AG＝DF，即AG＝DF．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．【微点】二次函数综合题．【思路】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；（2）设点C（m，﹣m+5），则BC＝|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D 坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．【解析】解：（1）针对于直线y＝﹣x+5，令x＝0，y＝5，∴B（0，5），令y＝0，则﹣x+5＝0，∴x＝10，∴A（10，0），∴AB＝＝5；（2）设点C（m，﹣m+5），∵B（0，5），∴BC＝＝|m|，∵BC＝，∴|m|＝，∴m＝±2，∵点C在线段AB上，∴m＝2，∴C（2，4），将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得，∴，∴抛物线y＝﹣x2+x；（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，∴b＝﹣10a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），将x＝5代入y＝﹣x+5中，得y＝﹣×5+5＝，∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0；【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【微点】圆的综合题．【思路】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD ＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则＝＝，推出＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠ABD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则＝＝，∴＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝．【点拨】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。

2023年上海市中考数学真题(原卷版和解析版)

2023年上海市初中学业水平考试考生注意：1.本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上的作答一律不得分．4.选择题和作图题用2B 铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】1.下列运算正确的是（）A.523a a a ÷= B.336a a a += C.()235a a = D.a=2.在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A.2550y y ++= B.2550y y -+= C.2510y y ++= D.2510y y -+=3.下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是（）A.6y x = B.6y x=- C.6y x=D.6y x=-4.如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）A.小车的车流量与公车的车流量稳定；B.小车的车流量的平均数较大；C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D.小车与公车车流量的变化趋势相同．5.在四边形ABCD 中，,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）A.AB CDB.AD BC= C.A B∠=∠ D.A D∠=∠6.已知在梯形ABCD 中，连接AC BD ，，且AC BD ⊥，设,AB a CD b ==．下列两个说法：①()2AC a b =+；②AD =则下列说法正确的是（）A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.分解因式：x 2－9＝______．8.化简：2211xx x---的结果为________．9.已知关于x 2=，则x =________10.函数()123f x x =-的定义域为________．11.已知关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，那么a 的取值范围是________．12.在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________．13.如果一个正多边形的中心角是20︒，那么这个正多边形的边数为________．14.一个二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．15.如图，在ABC 中，点D ，E 在边AB ，AC 上，2,AD BD DE BC =∥，联结DE ，设向量AB a =，AC b = ，那么用a ，b表示DE = ________．16.垃圾分类（Refuse sorting ），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为________．17.如图，在ABC 中，35C ∠=︒，将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒，旋转后的点B 落在BC 上，点B 的对应点为D ，连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线，则α=________．18.在ABC 中7,3,90AB BC C ==∠=︒，点D 在边AC 上，点E 在CA 延长线上，且CD DE =，如果B 过点A ，E 过点D ，若B 与E 有公共点，那么E 半径r 的取值范围是________．三、解答题：（本大题共7题，共78分）19.231853325-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭20.解不等式组36152x x x x >+⎧⎪⎨<-+⎪⎩21.如图，在O 中，弦AB 的长为8，点C 在BO 延长线上，且41cos ,52ABC OC OB ∠==．（1）求O 的半径；（2）求BAC ∠的正切值．22.“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为y 元/升，原价为x 元/升，求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？23.如图，在梯形ABCD 中AD BC ∥，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且=FAC ADE ∠∠，AC AD=（1）求证：DE AF=（2）若ABC CDE ∠=∠，求证：2AF BF CE =⋅24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线364y x =+与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线M ：2y ax bx c =++经过点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求b ，c 的值；（3）平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且CD x ∥轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．25.如图（1）所示，已知在ABC 中，AB AC =，O 在边AB 上，点F 为边OB 中点，为以O 为圆心，BO 为半径的圆分别交CB ，AC 于点D ，E ，联结EF 交OD 于点G ．（1）如果OG DG =，求证：四边形CEGD 为平行四边形；（2）如图（2）所示，联结OE ，如果90,,4BAC OFE DOE AO ∠=︒∠=∠=，求边OB 的长；（3）联结BG ，如果OBG 是以OB 为腰的等腰三角形，且AO OF =，求OGOD 的值．2023年上海市初中学业水平考试考生注意：1.本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上的作答一律不得分．4.选择题和作图题用2B 铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】1.下列运算正确的是（）A.523a a a ÷=B.336a a a += C.()235a a = D.a=【答案】A 【解析】【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．【详解】解：A 、523a a a ÷=，故正确，符合题意；B 、3332a a a +=，故错误，不符合题意；C 、()236a a =，故错误，不符合题意；D a =，故错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．2.在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A.2550y y ++=B.2550y y -+= C.2510y y ++= D.2510y y -+=【答案】D 【解析】【分析】设221x y x-=，则原方程可变形为15y y +=，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设221x y x-=，则原方程可变形为15y y +=，即2510y y -+=；故选：D .【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.3.下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是（）A.6y x = B.6y x=- C.6y x=D.6y x=-【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．【详解】解：A 、6y x =，60k =>，y 随x 的增大而增大，不符合题意；B 、6y x =-，60k =-<，y 随x 的增大而减小，符合题意；C 、6y x =，60k =>，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意；D 、6y x=-，60k =-<，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．4.如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）A.小车的车流量与公车的车流量稳定；B.小车的车流量的平均数较大；C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D.小车与公车车流量的变化趋势相同．【答案】B 【解析】【分析】根据折线统计图逐项判断即可得．【详解】解：A 、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意；B 、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意；C 、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意；D 、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键．5.在四边形ABCD 中，,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）A.AB CDB.AD BC= C.A B∠=∠ D.A D∠=∠【答案】C 【解析】【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A ： AB CD ，,AD BC AB CD=∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故A 不符合题意B ： AD BC =，,AD BC AB CD=∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故B 不符合题意C ： AD BC∥180A B ∴∠+∠=︒A B∠=∠∴90A B ∠=∠=︒AB CD= ∴AB ∥CD∴四边形ABCD 为矩形故C 符合题意D ： AD BC∥180A B ∴∠+∠=︒A D∠=∠180D B ∴∠+∠=︒∴ABCD 不是平行四边形也不是矩形故D 不符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6.已知在梯形ABCD 中，连接AC BD ，，且AC BD ⊥，设,AB a CD b ==．下列两个说法：①()22AC a b =+；②AD =则下列说法正确的是（）A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误【答案】D 【解析】【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形ABCD 为等腰梯形，即AD BC =，AB CD 时，①()22AC a b =+；②AD =，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．【详解】解：过B 作BE CA ∥，交BC 延长线于E ，如图所示：若梯形ABCD 为等腰梯形，即AD BC =，AB CD 时，∴四边形ACEB 是平行四边形，,CE AB AC BE ∴==，AB DC ∥，DAB CBA ∴∠=∠，AB AB =Q ，()SAS DAB CBA ∴△≌△AC BD ∴=，即BD BE =，又 AC BD ⊥，∴BE BD ⊥，在Rt BDE △中，BD BE =，,AB a CD b ==，则DE DC CE b a =+=+，)2222AC BE DE a b ∴====+，此时①正确；过B 作BF DE ⊥于F ，如图所示：在Rt BFC △中，BD BE =，,AB a CD b ==，DE b a =+，则()1122BF FE DE a b ===+，()()1122FC FE CE a b a b a =-=+-=-，BC ∴===，此时②正确；而题中，梯形ABCD 是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD 是AB CD 还是AD BC ∥，并未确定，∴无法保证①②正确，故选：D ．【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.分解因式：x 2－9＝______．【答案】(x ＋3)(x －3)【解析】【详解】解：x 2-9=（x +3）（x -3），故答案为：（x +3）（x -3）.8.化简：2211xx x---的结果为________．【答案】2【解析】【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．【详解】解：2211x x x ---()2122211x x x x--===--；故答案为：2．【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．9.已知关于x2=，则x =________【答案】18【解析】【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．【详解】解：根据题意得，140x -≥，即14x ≥，2=，等式两边分别平方，144x -=移项，18x =，符合题意，故答案为：18．【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．10.函数()123f x x =-的定义域为________．【答案】23x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．【详解】解：由()123f x x =-可知：230x -≠，∴23x ≠；故答案为23x ≠．【点睛】本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键．11.已知关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，那么a 的取值范围是________．【答案】9a >【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，∴243640b ac a ∆=-=-<，解得：9a >；故答案为：9a >．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．12.在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________．【答案】25【解析】【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为42105P ==，故答案为：25．【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．13.如果一个正多边形的中心角是20︒，那么这个正多边形的边数为________．【答案】18【解析】【分析】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷进行计算即可得到答案．【详解】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷，则3602018n =÷=，故这个正多边形的边数为18，故答案为：18．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．14.一个二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．【答案】21y x =-+（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定a<0，对称轴02b x a=-=，0c >，从而确定答案．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向上，即a<0，∵二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上，∴02b a-=，即0b =，0c >，∴二次函数的解析式可以是21y x =-+（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y 轴的交点确定系数的正负是解题的关键．15.如图，在ABC 中，点D ，E 在边AB ，AC 上，2,AD BD DE BC =∥，联结DE ，设向量AB a =，AC b = ，那么用a ，b 表示DE = ________．【答案】1133b a - 【解析】【分析】先根据向量的减法可得BC b a =- ，再根据相似三角形的判定可得ADE ABC ，根据相似三角形的性质可得13DE BC =，由此即可得．【详解】解：∵向量AB a = ，AC b = ，BC AC AB b a ∴=-=- ，2AD BD = ，13AD AB ∴=，DE BC ∥，ADE ABC ∴ ，13DE AD BC AB ∴==，13DE BC ∴=，111333DE BC b a ∴==- ，故答案为：1133b a - ．【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键．16.垃圾分类（Refuse sorting ），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为________．【答案】1500吨【解析】【分析】由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解．【详解】解：由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为()60150129300÷---=％％％（吨），∴全市可收集的干垃圾总量为30050101500⨯⨯=％（吨）；故答案为1500吨．【点睛】本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键．17.如图，在ABC 中，35C ∠=︒，将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒，旋转后的点B 落在BC 上，点B 的对应点为D ，连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线，则α=________．【答案】1103⎛⎫︒⎪⎝⎭【解析】【分析】如图，AB AD =，BAD ∠=α，根据角平分线的定义可得CAD BAD α∠=∠=，根据三角形的外角性质可得35ADB α∠=︒+，即得35B ADB α∠=∠=︒+，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：AB AD =，BAD ∠=α，∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴CAD BAD α∠=∠=，∵35ADB C CAD α∠=∠+∠=︒+，AB AD =，∴35B ADB α∠=∠=︒+，则在ABC 中，∵180C CAB B ∠+∠+∠=︒，∴35235180αα︒++︒+=︒，解得：1103α⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭；故答案为：1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．18.在ABC 中7,3,90AB BC C ==∠=︒，点D 在边AC 上，点E 在CA 延长线上，且CD DE =，如果B 过点A ，E 过点D ，若B 与E 有公共点，那么E 半径r 的取值范围是________．1010r <≤【解析】【分析】先画出图形，连接BE ，利用勾股定理可得294BE r =+，210AC =，从而可得1010r <≤，再根据B 与E 有公共点可得一个关于r 的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：由题意画出图形如下：连接BE，B 过点A ，且7AB =，B ∴e 的半径为7，E 过点D ，它的半径为r ，且CD DE =，2CE CD DE r ∴=+=，3,90BC C =∠=︒，BE ∴==，AC ==，D 在边AC 上，点E 在CA 延长线上，CD AC CE AC ≤⎧∴⎨>⎩，即2r r ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，r <≤B 与E 有公共点，AB DE BE AB DE ∴-≤≤+，即77r r ≤+-≤⎪⎩①，不等式①可化为2314400r r --≤，解方程2314400r r --=得：2r =-或203r =，画出函数231440y r r =--的大致图象如下：由函数图象可知，当0y ≤时，2023r -≤≤，即不等式①的解集为2023r -≤≤，同理可得：不等式②的解集为2r ≥或203r ≤-，则不等式组的解集为2023r ≤≤，又1010r <≤，半径r 的取值范围是1010r <≤，故答案为1010r <≤．【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，共78分）19.231853325-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭【答案】6-【解析】【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．【详解】解：原式252935=+-+-6=-．【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．20.解不等式组36152x x x x >+⎧⎪⎨<-+⎪⎩【答案】1033x <<【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：36152x x x x >+⎧⎪⎨<-+⎪⎩①②，解不等式①得：3x >，解不等式②得：103x <，则不等式组的解集为1033x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．21.如图，在O 中，弦AB 的长为8，点C 在BO 延长线上，且41cos ,52ABC OC OB ∠==．（1）求O 的半径；（2）求BAC ∠的正切值．【答案】（1）5（2）94【解析】【分析】（1）延长BC ，交O 于点D ，连接AD ，先根据圆周角定理可得90BAD ∠=︒，再解直角三角形可得10BD =，由此即可得；（2）过点C 作CE AB ⊥于点E ，先解直角三角形可得6BE =，从而可得2AE =，再利用勾股定理可得92CE =，然后根据正切的定义即可得．【小问1详解】解：如图，延长BC ，交O 于点D ，连接AD，由圆周角定理得：90BAD ∠=︒，弦AB 的长为8，且4cos 5ABC ∠=，845AB BD BD ∴==，解得10BD =，O ∴ 的半径为152BD =．【小问2详解】解：如图，过点C 作CE AB ⊥于点E，O 的半径为5，5OB ∴=，12OC OB = ，31522BC OB ∴==，4cos 5ABC ∠= ，45BE BC ∴=，即41552BE =，解得6BE =，2AE AB BE ∴=-=，92CE ==，则BAC ∠的正切值为99224CE AE ==．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．22.“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为y 元/升，原价为x 元/升，求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？【答案】（1）900（2）0.90.27y x =-（3）1.00【解析】【分析】（1）根据10000.9⨯，计算求解即可；（2）由题意知，()0.90.30y x =-，整理求解即可；（3）当7.30x =，则 6.30y =，根据优惠后油的单价比原价便宜()x y -元，计算求解即可．【小问1详解】解：由题意知，10000.9900⨯=（元），答：实际花了900元购买会员卡；【小问2详解】解：由题意知，()0.90.30y x =-，整理得0.90.27y x =-，∴y 关于x 的函数解析式为0.90.27y x =-；【小问3详解】解：当7.30x =，则 6.30y =，∵7.30 6.30 1.00-=，∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．23.如图，在梯形ABCD 中AD BC ∥，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且=FAC ADE ∠∠，AC AD =（1）求证：DE AF=（2）若ABC CDE ∠=∠，求证：2AF BF CE=⋅【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质可得DAE ACF ∠=∠，再根据三角形的全等的判定可得DAE ACF ≅ ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得AFC DEA ∠=∠，从而可得AFB CED ∠=∠，再根据相似三角形的判定可得ABF CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【小问1详解】证明：AD BC ，DAE ACF ∴∠=∠，在DAE 和ACF △中，DAE ACF AD CA ADE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA DAE ACF ∴≅ ，DE AF ∴=．【小问2详解】证明：DAE ACF ≅ ，AFC DEA ∴∠=∠，180180AFC DEA ∴︒-∠=︒-∠，即AFB CED ∠=∠，在ABF △和CDE 中，AFB CED ABF CDE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，ABF CDE ∴ ，AF BF CE DE∴=，由（1）已证：DE AF =，AF BF CE AF∴=，2AF BF CE =∴⋅．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线364y x =+与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线M ：2y ax bx c =++经过点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求b ，c 的值；（3）平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且CD x ∥轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．【答案】（1）()8,0A -，()0,6B （2）32b =，6c =（3）(2316y x =-或(2316y x =+【解析】【分析】（1）根据题意，分别将0x =，0y =代入直线364y x =+即可求得；（2）设3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到抛物线的顶点式为()2364y a x m m +-+=，将()0,6B 代入可求得34m a =-，进而可得到抛物线解析式为2362y ax x =++，即可求得b ，c ；（3）根据题意，设(),0P p ，3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据平移的性质可得点B ，点C 向下平移的距离相同，即列式求得4m =-，316a =，然后得到抛物线N 解析式为：()2316y x p =-，将()0,6B 代入可得p =±即可得到答案．【小问1详解】解：∵直线364y x =+与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，当0x =时，代入得：6y =，故()0,6B ，当0y =时，代入得：8x =-，故()8,0A -，【小问2详解】设3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则可设抛物线的解析式为：()2364y a x m m +-+=，∵抛物线M 经过点B ，将()0,6B 代入得：23664am m ++=，∵0m ≠，∴34am =-，即34m a =-，∴将34m a =-代入()2364y a x m m +-+=，整理得：2362y ax x =++，故32b =，6c =；【小问3详解】如图：∵CD x ∥轴，点P 在x 轴上，∴设(),0P p ，3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵点C ，B 分别平移至点P ，D ，∴点B ，点C 向下平移的距离相同，∴3366644m m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，解得：4m =-，由（2）知34m a =-，∴316a =，∴抛物线N 的函数解析式为：()2316y x p =-，将()0,6B 代入可得：p =±∴抛物线N 的函数解析式为：(2316y x =-或(2316y x =+．【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m 和a 的值．25.如图（1）所示，已知在ABC 中，AB AC =，O 在边AB 上，点F 为边OB 中点，为以O 为圆心，BO 为半径的圆分别交CB ，AC 于点D ，E ，联结EF 交OD 于点G ．（1）如果OG DG =，求证：四边形CEGD 为平行四边形；（2）如图（2）所示，联结OE ，如果90,,4BAC OFE DOE AO ∠=︒∠=∠=，求边OB 的长；（3）联结BG ，如果OBG 是以OB 为腰的等腰三角形，且AO OF =，求OG OD 的值．【答案】（1）见解析（2）1+（3）12【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出B C ∠=∠，ODB B ∠=∠，等量代换得出C ODB ∠=∠，则OD AC ∥，根据F 是OB 的中点，OG DG =，则FG 是OBD 的中位线，则FG BC ∥，即可得证；（2）设OFE DOE α∠=∠=，OF FB a ==，则2OE OB a ==，由（1）可得OD AC ∥则AEO DOE α∠=∠=，等量代换得出OFE AEO α∠=∠=，进而证明AEO AFE ∽，得出2AE AO AF =⋅，在Rt AEO △中，222AE EO AO =-，则22EO AO AO AF -=⨯，解方程即可求解；（3）OBG 是以OB 为腰的等腰三角形，分为①当OG OB =时，②当BG OB =时，证明BGO BPA ∽，得出2=3OG AP ，设2,3OG k AP k ==，根据OG AE ∥，得出FOG FAE ∽，可得24AE OG k ==，PE AE AP k =-=，连接OE 交PG 于点Q ，证明QPE QGO ∽在PQE V 与BQO △中，13PQ a =，28233BQ BG QG a a a =+=+=，得出14PQ QE OQ BQ ==，可得PQE OQB ∽，根据相似三角形的性质得出2a k =，进而即可求解．【小问1详解】证明：∵AC AB=∴ABC C∠=∠∵OD OB=∴ODB ABC ∠=∠,∴C ODB∠=∠∴OD AC ∥，∵F 是OB 的中点，OG DG =，∴FG 是OBD 的中位线，∴FG BC ∥，即GE CD ，∴四边形CEDG 是平行四边形；【小问2详解】解：∵,4OFE DOE AO ∠=∠=，点F 边OB 中点，设OFE DOE α∠=∠=，OF FB a ==，则2OE OB a==由（1）可得OD AC∥∴AEO DOE α∠=∠=，∴OFE AEO α∠=∠=，又∵A A∠=∠∴AEO AFE ∽,∴AE AO AF AE=即2AE AO AF =⋅，∵90A ∠=︒，在Rt AEO △中，222AE EO AO =-，∴22EO AO AO AF -=⨯，∴()()222444a a -=⨯+解得：12a =或12a -=（舍去）∴21OB a ==；【小问3详解】解：①当OG OB =时，点G 与点D 重合，舍去；②当BG OB =时，如图所示，延长BG 交AC 于点P ，∵点F 是OB 的中点，AO OF =，∴AO OF FB ==，设AO OF FB ==a =，∵OG AC∥∴BGO BPA ∽，∴2233OG OB a AP AB a ===，设2,3OG k AP k ==，∵OG AE∥∴FOG FAE ∽，∴122OG OF a AE AF a ===，∴24AE OG k ==，∴PE AE AP k =-=，连接OE 交PG 于点Q ，∵OG PE ∥，∴QPE QGO∽∴22GO QGOQkPE PQ EQ k ====，∴12,33PQ a QG a ==，24,33EQ a OQ a==在PQE V 与BQO △中，13PQ a =，28233BQ BG QG a a a =+=+=，∴14PQ QEOQ BQ ==，又PQE BQO ∠=∠，∴PQE OQB ∽，∴14PE OB =，∴124k a =，∴2a k =，2,2OD OB a OG k === ，∴2122OG k k OD a a ===．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明PQE OQB ∽是解题的关键．。

2020年上海市中考数学试卷及答案 (解析版)

2022年上海中考数学真题(解析版)

2022年上海中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．8的相反数是（）A ．8-B ．8C ．18D ．18-2．下列运算正确的是……（）A ．a ²+a ³=a 6B ．（ab ）2 =ab 2C ．（a +b ）²=a ²+b ²D ．（a +b ）（a -b ）=a ² -b 23．已知反比例函数y =k x（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A ．（2，3）B ．（-2，3）C ．（3，0）D ．（-3，0）4．我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差5．下列说法正确的是（）A ．命题一定有逆命题B ．所有的定理一定有逆定理C ．真命题的逆命题一定是真命题D ．假命题的逆命题一定是假命题6．有一个正n 边形旋转90 后与自身重合，则n 为（）A ．6B ．9C ．12D ．15二、填空题7．计算：3a －2a ＝__________．8．已知f （x ）=3x ，则f （1）=_____．9．解方程组2213x y x y +=⎧⎨-=⎩的结果为_____．10．已知x 2-+m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．11．甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．12．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____．13．为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是_____．14．已知直线y =kx +b 过第一象限且函数值随着x 的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____．15．如图所示，在口ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，,,BO a BC b == 则DC =_____．16．如图所示，小区内有个圆形花坛O ，点C 在弦AB 上，AC =11，BC =21，OC =13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留π）17．如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，AD DE AB BC=，则AE AC =_____．18．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．三、解答题19．计算：11221|()123--20．解关于x 的不等式组34423x x x x >-⎧⎪+⎨>+⎪⎩21．一个一次函数的截距为1，且经过点A （2，3）．(1)求这个一次函数的解析式；(2)点A ，B 在某个反比例函数上，点B 横坐标为6，将点B 向上平移2个单位得到点C ，求cos ∠ABC 的值．22．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB 的长．(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB 底部a 米的点D 处，测角仪高为b 米，从C 点测得A 点的仰角为α，求灯杆AB 的高度．（用含a ，b ，ａ的代数式表示）(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG 放在灯杆AB 前，测得其影长CH 为1米，再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE 的位置，此时测得其影长DF 为3米，求灯杆AB 的高度23．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF =BE ，AE ²=AQ ·AB求证：(1)∠CAE =∠BAF ；(2)CF ·FQ =AF ·BQ24．已知：212y x bx c =++经过点()21A --，，()03B -，．(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为(),P m n （m ＞0）．①倘若3OPB S =△，且在x k =的右侧，两抛物线都上升，求k 的取值范围；②P 在原抛物线上，新抛物线与y 轴交于Q ，120BPQ ∠= 时，求P 点坐标．25．平行四边形ABCD ，若P 为BC 中点，AP 交BD 于点E ，连接CE ．(1)若AE CE =，①证明ABCD 为菱形；②若5AB =，3AE =，求BD 的长．(2)以A 为圆心，AE 为半径，B 为圆心，BE 为半径作圆，两圆另一交点记为点F ，且CE =．若F 在直线CE 上，求A B B C 的值．参考答案：1．A【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是8，故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．D【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D．【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意故选：D．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．3．B【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．【详解】解：∵反比例函数y=kx（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,∴k=xy<0，A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．4．D【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上6得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案．【详解】解：将这组数据都加上6得到一组新的数据，则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变；故选：D．【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解求解一组数据的平均数，众数，中位数，方差时的内在规律，掌握“新数据与原数据之间在这四个统计量上的内在规律”是解本题的关键．5．A【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．6．C【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与90 一致或有倍数关系的则符合题意．【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90 是30 的3倍，则可以旋转得到．A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C ．【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．7．a【详解】根据同类项与合并同类项法则计算：3a －2a=（3－2）a=a8．3【分析】直接代入求值即可．【详解】解：∵f （x ）=3x ，∴f （1）=3×1=3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可．9．21x y =⎧⎨=-⎩【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得3x y -=④，联立①④利用加减消元法，算出结果即可．【详解】解：2213x y x y +=⎧⎨-=⎩①②由②，得：()()3x y x y +-=③，将①代入③，得：()13x y ⨯-=，即3x y -=④，①+②，得：24=x ，解得：2x =，①−②，得：22y =-，解得：1y =-，∴方程组2213x y x y +=⎧⎨-=⎩的结果为 21x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键．10．m <3【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即2-4m >0，求解即可．【详解】解：∵x -+m =0有两个不相等的实数根，∴Δ2-4m >0解得：m <3，故答案为: m <3．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键．11．13【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与分到甲和乙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树形图如下：由树形图可知所有可能情况共6种，其中分到甲和乙的情况有2中，所以分到甲和乙的概率为21=63，故答案为：13【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．12．20%【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x ，结合5月、7月营业额即可得出关于x 的一元二次方程，解此方程即可得解．【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x ，根据题意得，225(1)36x +=解得，120.2, 2.2x x ==-（舍去）所以，增长率为20%故答案为：20%【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．13．88【分析】由200乘以样本中不低于3小时的人数的百分比即可得到答案．【详解】解：该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是1662220020088,4101416650+´=´=++++ 故答案为：88【点睛】本题考查的是利用样本估计总体，求解学生阅读时间不低于3小时的人数的百分比是解本题的关键．14．2y x =-+（答案不唯一）【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【详解】∵直线y kx b =+过第一象限且函数值随着x 的增大而减小，∴0k <，0b …，∴符合条件的一条直线可以为：2y x =-+（答案不唯一）．【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y kx b =+（0k ≠），当0k <，0b …时，函数图象过第一象限且函数值随着x 的增大而减小．15．2a b-+r r 【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 交于点O ，又BO a = ，BC b = ，∴22BD BO a == ，∴2DC BC BD b a =--= ，故答案为：2a b -+r r ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则．16．400π【详解】解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，连接OB ，如图，∵AC =11，BC =21，∴AB =AC +BC =32，∵OD ⊥AB 于D ，∴AD =BD =12AB =16，∴CD =AD -AC =5，在Rt △OCD 中，由勾股定理，得OD ==12,在Rt △OBD 中，由勾股定理，得OB ==20，∴这个花坛的面积=202π=400π，故答案为：400π．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键．17．12或14【分析】由题意可求出12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足112DE BC =，进而可求此时112AE AC =，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC ，即可得到214AE AC =，问题得解．【详解】解：∵D 为AB 中点，∴12AD DE AB BC ==，即12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1∥BC ，112DE BC =，∴112AE AD AC AB ==，在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，∵∠A =30°，∠B =90°，∴∠C =60°，BC ＝12AC ，∵DE 1∥BC ，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE 1＝DE 2＝E1E2＝12BC ，∴E1E2＝14AC ，∵112AE AC =，∴214AE AC =，即214AE AC =，综上，AE AC 的值为：12或14，故答案为：12或14．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据12DE BC =进行分情况求解是解题的关键．18．22【分析】如图，当等弦圆O 最大时，则O 经过等腰直角三角形的直角顶点C ，连接CO 交AB 于F ，连接OE ，DK ，再证明DK 经过圆心，CF AB ⊥，分别求解AC ，BC ，CF ，设O 的半径为,r 再分别表示,,,EF OF OE 再利用勾股定理求解半径r 即可．【详解】解：如图，当等弦圆O 最大时，则O 经过等腰直角三角形的直角顶点C ，连接CO 交AB 于F ，连接OE ，DK ，,90,CD CK EQ ACB ==Ð=°Q90,COD COK \Ð=Ð=° DK 过圆心O ，CF AB ⊥，,90,2,AC BC ACB AB =Ð=°=Q11,2AC BC AF BF CF AB \===== 设O 的半径为,r∴,1,,CD EQ OF r OE r ==-= ,CF AB ⊥,EF QF \=()2221,r r ö÷\=-+÷ø整理得：2420,r r -+=解得：1222r r ==-,OC CF <Q2r \=不符合题意，舍去，∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为2故答案为：2【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．19．1【分析】原式分别化简|，121(3-，1212，再进行合并即可得到答案．【详解】解：11221|()123----=1【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．-2<x <-1【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分，即可求解．【详解】解：34423x x x x >-⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，解①得：x >-2，解②得：x <-1，∴-2<x <-1．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握根据“大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定不等式组的解集是解题的关键．21．(1)y =x +1【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式y =kx +1，把A （2，3）代入，得3=2k +1，解得：k =1，∴这个一次函数的解析式为y =x +1；（2）解：如图，设反比例函数解析式为y =m x，把A （2，3）代入，得3=2m ，解得：m =6，∴反比例函数解析式为y =6x，当x =6时，则y =66=1，∴B （6，1），∴AB =∵将点B 向上平移2个单位得到点C ，∴C （6，3），BC =2，∵A （2，3），C （6，3），∴AC ∥x 轴，∵B （6，1），C （6，3），∴BC ⊥x 轴，∴AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°，∴△ABC 是直角三角形，∴cos ∠ABC =BC AB ==【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC ⊥BC 是解题的关键．22．(1)a tan α+b 米(2)3.8米【分析】（1）由题意得BD =a ，CD =b ，∠ACE =α，根据四边形CDBE 为矩形，得到BE =CD =b ，BD =CE =a ，在Rt ∆ACE 中，由正切函数tan α=AECE，即可得到AB 的高度；（2）根据AB ∥ED ，得到∆ABF ~∆EDF ，根据相似三角形的对应边成比例得到ED ABDF BF= ，又根据AB ∥GC ，得出∆ABH ~∆GCH ，根据相似三角形的对应边成比例得到AB GCBH CH= 联立得到二元一次方程组解之即可得；【详解】（1）解：如图由题意得BD =a ，CD =b ，∠ACE =α∠B =∠D =∠CEB =90°∴四边形CDBE 为矩形，则BE =CD =b ，BD =CE =a ，在Rt ∆ACE 中，tan α=AECE，得AE =CE =CE ×tan α=a tan α而AB =AE +BE ，故AB = a tan α+b答：灯杆AB 的高度为a tan α+b 米（2）由题意可得，AB ∥GC ∥ED ，GC =ED =2，CH =1，DF =3，CD =1.8由于AB ∥ED ，∴∆ABF ~∆EDF ，此时ED ABDF BF= 即2=3 1.83ABBC ++①，∵AB ∥GC ∴∆ABH ~∆GCH ，此时AB GCBH CH=， 211AB BC =+ ②联立①②得24.8321AB BC AB BC ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得： 3.80.9AB BC =⎧⎨=⎩ 答：灯杆AB 的高度为3.8米【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．23．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用SAS 证明△ACE ≌△ABF 即可；（2）先证△ACE ∽△AFQ 可得∠AEC =∠AQF ，求出∠BQF =∠AFE ，再证△CAF ∽△BFQ ，利用相似三角形的性质得出结论．【详解】（1）证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵CF =BE ，∴CE =BF ，在△ACE 和△ABF 中，AC AB C B CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABF （SAS ），∴∠CAE =∠BAF ；（2）证明：∵△ACE ≌△ABF ，∴AE ＝AF ，∠CAE =∠BAF ，∵AE ²=AQ ·AB ，AC ＝AB ，∴AE ABAQ AE =，即AE AC AQ AF=，∴△ACE ∽△AFQ ，∴∠AEC =∠AQF ，∴∠AEF =∠BQF ，∵AE ＝AF ，∴∠AEF =∠AFE ，∴∠BQF =∠AFE ，∵∠B =∠C ，∴△CAF ∽△BFQ ，∴CF AFBQ FQ=，即CF ·FQ =AF ·BQ ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．24．(1)2132y x =-(2)①k ≥2②P 的坐标为（3）【分析】（1）把()21A --，，()03B -，代入212y x bx c =++，求解即可；（2）①由2132y x =-，得顶点坐标为(0，-3)，即点B 是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m 个单位，根据1332OPB S m =⨯=△，求得m =2，在x k =的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k 取值范围；②把P （m ，n ）代入2132y x =-，得n =2132m -，则P （m ， 2132m -），从而求得新抛物线解析式为：y =12(x -m )2+n =12x 2-mx +m 2-3，则Q (0，m 2-3)，从而可求得BQ =m 2，BP 2=2222411(33)24m m m m +-+=+，PQ 2=22222411[(3)(3)]24m m m m m +---=+，即可得出BP =PQ ，过点P 作PC ⊥y 轴于C ，则PC =|m |，根据等腰三角形的性质可得BC =12BQ =12m 2，∠BPC =12∠BPQ =12×120°=60°，再根据tan ∠BPC = tan 60°=212||mBC PC m ==m 值，从而求出点P 坐标．【详解】（1）解：把()21A --，，()03B -，代入212y x bx c =++，得1223b cc -=-+⎧⎨-=⎩，解得：03b c =⎧⎨=-⎩，∴函数解析式为：2132y x =-；（2）解：①∵2132y x =-，∴顶点坐标为(0，-3)，即点B 是原抛物线的顶点，∵平移抛物线使得新顶点为(),P m n （m ＞0）．∴抛物线向右平移了m 个单位，∴1332OPB S m =⨯=△，∴m =2，∴平移抛物线对称轴为直线x =2，开口向上，∵在x k =的右侧，两抛物线都上升，又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，∴k ≥2，②把P （m ，n ）代入2132y x =-，得n =2132m -，∴P （m ，2132m -）根据题意，得新抛物线解析式为：y =12(x -m )2+n =12x 2-mx +m 2-3，∴Q (0，m 2-3)，∵B （0，-3），∴BQ =m 2，BP 2=2222411(33)24m m m m +-+=+，PQ 2=22222411[(3)(3)]24m m m m m +---=+，∴BP =PQ ，如图，过点P 作PC ⊥y 轴于C ，则PC =|m |，∵BP =PQ ，PC ⊥BQ ，∴BC =12BQ =12m 2，∠BPC =12∠BPQ =12×120°=60°，∴tan ∠BPC = tan 60°=212||mBC PC m ==解得：m ，∴n =2132m -=3，故P 的坐标为（3）.【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．25．(1)①见解析；②【分析】（1）①连接AC 交BD 于O ，证△AOE ≌△COE (SSS)，得∠AOE =∠COE ，从而得∠COE =90°，则AC ⊥BD ，即可由菱形的判定定理得出结论；②先证点E 是△ABC 的重心，由重心性质得BE =2OE ，然后设OE =x ，则BE =2x ，在Rt △AOE中，由勾股定理，得OA 2=AE 2-OE 2=32-x 2=9-x 2,在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2=AB 2-OB 2=52-(3x )2=25-9x 2,从而得9-x 2=25-9x 2，解得：x ,即可得OB =3x 平行四边形性质即可得出BD 长；（2）由⊙A 与⊙B 相交于E 、F ，得AB ⊥EF ，点E 是△ABC 的重心，又F 在直线CE 上，则CG 是△ABC 的中线，则AG =BG =12AB ，根据重心性质得GE =12CE AE ，CG =CE +GE =AE ，在Rt △AGE 中，由勾股定理，得AG 2=AE 2-GEE =AE 2AE )2=12AE 2,则AGAE ,所以AB =2AG AE ，在Rt △BGC 中，由勾股定理，得BC 2=BG 2+CG 2=12AE 2+AE ）2=5AE 2，则BC ，代入即可求得A BB C的值．【详解】（1）①证明：如图，连接AC 交BD 于O ，∵平行四边形ABCD ，∴OA =OC ，∵AE =CE ，OE =OE ，∴△AOE ≌△COE (SSS)，∴∠AOE =∠COE ，∵∠AOE +∠COE =180°，∴∠COE =90°，∴AC ⊥BD ，∵平行四边形ABCD ，∴四边形ABCD 是菱形；②∵OA =OC ，∴OB 是△ABC 的中线，∵P 为BC 中点，∴AP 是△ABC 的中线，∴点E是△ABC的重心，∴BE=2OE，设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x∴OB=3x，∵平行四边形ABCD，∴BD=2OB；（2）解：如图，∵⊙A与⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，又F在直线CE上，∴CG是△ABC的中线，∴AG=BG=12AB，GE=12CE，∵CE，∴GE AE，CG=CE+GE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG 2=AE 2-GEE =AE 2)2=12AE 2,∴AG AE ,∴AB =2AG ，在Rt △BGC 中，由勾股定理，得BC 2=BG 2+CG 2=12AE 2+）2=5AE 2，∴BC ，∴A B B C ==．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目．。

上海中考数学试卷2024

2024上海中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对3.对于反比例函数y=kx(k≠0)，下列所给的四个结论中，正确的是（）A．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A，B，则矩形O APB的面积为kB．若点(2,4)在其图象上，则(−2,4)也在其图象上C．反比例函数的图象关于直线y=x和y=−x成轴对称D．当k>0时，y随x的增大而减小4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1x的图象可能是（）A．B． C．D．5.已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12 6．一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。

A．B．C．D．7．下列各数中，是无理数的是（）A. B. C. D.0.13133(k≠0)，当x<0时，y随x的增大而增大，那么一8．已知反比例函数y=kx次函数y=kx−k的图象经过（）。

A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限D．第二，三，四象限二、填空题（共24分）9.如图，在四边形A BCD中，A D∥BC，A B⊥BC，点E在A B上，∠DEC=90°。

求证：△ADE∽△BEC。

10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD ＝21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动（到A点不停），动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B 运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形；（3）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？11.将抛物线y＝﹣x2向右平移一个单位，所得函数解析式为。

上海市2022年中考数学试卷(解析版)

上海市2022年中考数学试卷一．选择题1. 8的相反数是（）A B. 8 C. D.2. 下列运算正确的是……（）A. a²+a³=a6B. （ab）2 =ab2C. （a+b）²=a²+b²D. （a+b）（a-b）=a² -b23. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A. （2，3）B. （-2，3）C. （3，0）D. （-3，0）4. 我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5. 下列说法正确的是（）A. 命题一定有逆命题B. 所有的定理一定有逆定理C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题6. 有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（）A6 B. 9 C. 12 D. 15二．填空题7. 计算：3a－2a＝__________．8. 已知f（x）=3x，则f（1）=_____．9. 解方程组的结果为_____．10. 已知x-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．11. 甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．12. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．13. 为了解学生阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是_____．14. 已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____．15. 如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则=_____．16. 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留）17. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．18. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．三．解答题19. 计算：20. 解关于x的不等式组21. 一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．22. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度23. 如图所示，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB 求证：（1）∠CAE=∠BAF；（2）CF·FQ=AF·BQ24. 已知：经过点，．（1）求函数解析式；（2）平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．25. 平行四边形，若为中点，交于点，连接．（1）若，①证明为菱形；②若，，求的长．（2）以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求值．2022年上海市中考数学试卷一．选择题1. 8的相反数是（）A. B. 8 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是，故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2. 下列运算正确的是……（）A. a²+a³=a6B. （ab）2 =ab2C. （a+b）²=a²+b²D. （a+b）（a-b）=a² -b2【答案】D【解析】【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D．【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意D（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意故选：D．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．3. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A. （2，3）B. （-2，3）C. （3，0）D. （-3，0）【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,∴k=xy<0，A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的4. 我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】D【解析】【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上6得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案．【详解】解：将这组数据都加上6得到一组新的数据，则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变；故选：D．【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解求解一组数据的平均数，众数，中位数，方差时的内在规律，掌握“新数据与原数据之间在这四个统计量上的内在规律”是解本题的关键．5. 下列说法正确的是（）A. 命题一定有逆命题B. 所有的定理一定有逆定理C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【解析】【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．6. 有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（）A. 6B. 9C. 12D. 15【解析】【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意．【详解】如图所示，计算出每个正多边形中心角，是的3倍，则可以旋转得到．A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C．【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．二．填空题7. 计算：3a－2a＝__________．【答案】a【解析】【详解】根据同类项与合并同类项法则计算：3a－2a=（3－2）a=a8. 已知f（x）=3x，则f（1）=_____．【答案】3【分析】直接代入求值即可．【详解】解：∵f（x）=3x，∴f（1）=3×1=3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可．9. 解方程组的结果为_____．【答案】【解析】【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得④，联立①④利用加减消元法，算出结果即可．【详解】解：由②，得：③，将①代入③，得：，即④，①+②，得：，解得：，①−②，得：，解得：，∴方程组的结果为．【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键．10. 已知x-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．【答案】m<3【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2)2-4m>0，求解即可．【详解】解：∵x-x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(-2)2-4m>0解得：m<3，故答案为: m<3．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键．11. 甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．【答案】【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与分到甲和乙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树形图如下：由树形图可知所有可能情况共6种，其中分到甲和乙的情况有2中，所以分到甲和乙的概率为，故答案为：【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．12. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．【答案】20%【解析】【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．【详解】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，解得，（舍去）所以，增长率为20%故答案为：20%【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．13. 为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是_____．【答案】88【解析】【分析】由200乘以样本中不低于3小时的人数的百分比即可得到答案．【详解】解：该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是故答案为：【点睛】本题考查的是利用样本估计总体，求解学生阅读时间不低于3小时的人数的百分比是解本题的关键．14. 已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【详解】∵直线过第一象限且函数值随着x的增大而减小，∴，，∴符合条件的一条直线可以为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数（），当，时，函数图象过第一象限且函数值随着x的增大而减小．15. 如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则=_____．【答案】【解析】【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，又，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则．16. 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛面积为_____．（结果保留）【答案】400π【解析】【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图，∵AC=11，BC=21，∴AB=AC+BC=32，∵OD⊥AB于D，∴AD=BD=AB=16，∴CD=AD-AC=5，在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD==12,在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB==20，∴这个花坛的面积=202π=400π，故答案为：400π．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键．17. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．【答案】或【解析】【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解．【详解】解：∵D为AB中点，∴，即，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，，∴，在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝，∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝，∴E1E2＝，∵，∴，即，综上，的值为：或，故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键．18. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．【答案】##【解析】【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF，设的半径为再分别表示再利用勾股定理求解半径r即可．【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，过圆心O，，设的半径为∴整理得：解得：不符合题意，舍去，∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为故答案为：【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．三．解答题19. 计算：【答案】【解析】分析】原式分别化简，再进行合并即可得到答案．【详解】解：==【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20. 解关于x的不等式组【答案】-2<x<-1【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分，即可求解．【详解】解：，解①得：x>-2，解②得：x<-1，∴-2<x<-1．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握根据“大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定不等式组的解集是解题的关键．21. 一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．【答案】（1）y=x+1（2）【解析】【小问1详解】解：设这个一次函数的解析式y=kx+1，把A（2，3）代入，得3=2k+1，解得：k=1，∴这个一次函数的解析式为y=x+1；【小问2详解】解：如图，设反比例函数解析式为y=，把A（2，3）代入，得3=，解得：m=6，∴反比例函数解析式为y=，当x=6时，则y==1，∴B（6，1），∴AB=，∵将点B向上平移2个单位得到点C，∴C（6，3），BC=2，∵A（2，3），C（6，3），∴AC x轴，∵B（6，1），C（6，3），∴BC⊥x轴，∴AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠ABC=．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键．22. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度【答案】（1）a tanα+b米（2）3.8米【解析】【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα=，即可得到AB的高度；（2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到联立得到二元一次方程组解之即可得；【小问1详解】解：如图由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α∠B=∠D=∠CEB=90°∴四边形CDBE为矩形，则BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，tanα=，得AE=CE=CE×tanα=a tanα而AB=AE+BE，故AB= a tanα+b答：灯杆AB的高度为a tanα+b米【小问2详解】由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8由于AB∥ED，∴∆ABF~∆EDF，此时即①，∵AB∥GC∴∆ABH~∆GCH，此时，②联立①②得，解得：答：灯杆AB的高度为3.8米【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．23. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB 求证：（1）∠CAE=∠BAF；（2）CF·FQ=AF·BQ【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．【小问1详解】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CE=BF，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE=∠BAF；【小问2详解】证明：∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，∴，即，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴，即CF·FQ=AF·BQ．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．24. 已知：经过点，．（1）求函数解析式；（2）平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．【答案】（1）（2）①k≥2②P的坐标为（2，3）或（-2，3）【解析】【分析】（1）把，代入，求解即可；（2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围；②把P（m，n）代入，得n=，则P（m，），从而求得新抛物线解析式为：y= (x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标．【小问1详解】解：把，代入，得，解得：，∴函数解析式为：；【小问2详解】解：①∵，∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．∴抛物线向右平移了m个单位，∴，∴m=2，∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，∵在的右侧，两抛物线都上升，又∵原抛物线对称轴为y轴，开口向上，∴k≥2，②把P（m，n）代入，得n=，∴P（m，）根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，∴Q(0，m2-3)，∵B（0，-3），∴BQ=m2，BP2=，PQ2=，∴BP=PQ，如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，∵BP=PQ，PC⊥BQ，∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，∴tan∠BPC= tan 60°=，解得：m=±2，∴n==3，故P的坐标为（2，3）或（-2，3）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．25. 平行四边形，若为中点，交于点，连接．（1）若，①证明为菱形；②若，，求的长．（2）以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值．【答案】（1）①见解析；②（2）【解析】【分析】（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC ⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论；②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=,即可得OB=3x=3，再由平行四边形性质即可得出BD长；（2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是△ABC的重心，又在直线上，则CG是△ABC的中线，则AG=BG=AB，根据重心性质得GE=CE＝AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GE E=AE2-(AE)2=AE2,则AG=AE,所以AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，则BC=AE，代入即可求得的值．【小问1详解】①证明：如图，连接AC交BD于O，∵平行四边形，∴OA=OC，∵AE=CE，OE=OE，∴△AOE≌△COE(SSS)，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠COE=180°，∴∠COE=90°，∴AC⊥BD，∵平行四边形，∴四边形是菱形；②∵OA=OC，∴OB是△ABC的中线，∵为中点，∴AP是△ABC的中线，∴点E是△ABC的重心，∴BE=2OE，设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x=,∴OB=3x=3，∵平行四边形，∴BD=2OB=6；【小问2详解】解：如图，∵⊙A与⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，又在直线上，∴CG是△ABC的中线，∴AG=BG=AB，GE=CE，∵CE=AE，∴GE=AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GE E=AE2-(AE)2=AE2,∴AG=AE,∴AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，∴BC=AE，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目．。

精品解析：2022年上海中考数学真题(解析版)

故选C．
【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．
二．填空题
7.计算：3a－2a＝__________．
【答案】a
【解析】
【详解】根据同类项与合并同类项法则计算：3a－2a=（3－2）a=a
8.已知f（x）=3x，则f（1）=_____．
【答案】3
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．
【详解】解：∵反比例函数y= （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
【答案】20%
【解析】
【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．
【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，
解得，（舍去）
所以，增长率为20%
故答案为：20%
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
【答案】A
【解析】
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；

最新上海市中考数学试卷(解析版)

2024年上海市中考真题数学试卷含答案解析

2022年上海中考数学试题(含答案解析)

上海市中考数学试卷(完整解析版)

上海市中考数学试卷(含答案解析)

2024年上海市中考数学试题+答案详解

2023年上海市中考数学试卷含答案解析

2023年上海中考数学试卷22题

2020年上海市中考数学试卷及答案 (解析版)

2020年上海市中考数学试卷及答案 (解析版)

2024年上海市中考数学试卷正式版含答案解析

2020年上海市中考数学试卷+详细答案版(最完整版)

最新上海市2023年中考数学试卷（含答案）

2023年上海市中考数学真题(原卷版和解析版)

2020年上海市中考数学试卷及答案 (解析版)

2022年上海中考数学真题(解析版)

上海中考数学试卷2024

上海市2022年中考数学试卷(解析版)

精品解析：2022年上海中考数学真题(解析版)