07功能原理 机械能守恒定律

P
R
30°
Q A → B 只有保守内力做功 ∴系统机械能守恒 EB = E A
取图中点 B为重力势能零点
o
B
A
Ep = 0
质点组的动能定理 系统机械能守恒 E B 即
第二章 质点动力学
= E A , 图中B点为重力势能零点
又
1 2 1 2 mv B + kR = mgR(2 − sin 30°) 2 2 P 2 R vB kR − mg = m 30° A R o
质点组的动能定理 一 质点系的动能定理 个质点， 对第 i 个质点，有
第二章 质点动力学
Wi + Wi = E ki − E ki 0
ex in
m1
v ex Fi
外力功
内力功
v in m i m2 Fi
对质点系， 对质点系，有
∑W
i
ex
i
+ ∑Wi = ∑ Eki − ∑ Eki 0 = Ek − Ek 0
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
一雪橇从高度为50m 的山顶上点 沿冰道由 的山顶上点A沿冰道由 例 1 一雪橇从高度为 静止下滑,山顶到山下的坡道长为 山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下 静止下滑 山顶到山下的坡道长为 又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在 点B后,又沿水平冰道继续滑行 滑行若干米后停止在 后 又沿水平冰道继续滑行 滑行若干米后停止在C 处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的 若摩擦因数为 附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道 忽略空气阻力 .) 点 附近可视为连续弯曲的滑道
1 2 mE m 1 2 m v3 + ( − G ) = mv' 2 RE 2
抛体相对于太阳的速度 取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度 为 v '3 ， v v v 地球相对于 v '3 = v ' + v E 则 太阳的速度 如
v v'
v 与 vE
同向,有 同向 有
v '3 = v ' + v E
dWp = p1 A1dx1 − p2 A2dx2
A1dx1 = A2dx2 = dV
又
∴dWp = ( p1 − p2 )dV
dWg = −dm ⋅ g ( y1 − y2 ) = −ρ ⋅ g ( y1 − y2 )dV
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
y
y2
y1
a A1 p1
x 1 x1 + dx1
Ek − Ek0 = −(Ep − Ep0 )
∆E k = − ∆E p
守恒定律的意义 守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论， 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是 各个守恒定律的特点和优点 .
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上， 如图的系统， ， 置于光滑的桌面上，
in i i i
质点系动能定理 质点系动能定理 注意
W
ex
+ W = Ek − Ek 0
in
内力可以改变质点系的动能
质点组的动能定理 二 质点系的功能原理 质点系动能定理
第二章 质点动力学
W
i
ex
+ W = Ek − Ek 0
in
in c in nc
W
in
= ∑ Wi = W + W
in
非保守 力的功
由牛顿第二定律和万有引力定律得
mmE m =G 2 RE + h ( RE + h)
解得
v
2hLeabharlann ``````v v
v1 =
2Gm E Gm E − RE RE + h
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
v1 =
Gm E 2 Gm E − RE RE + h
h
``````
v v
RE GmE ) Q g = 2 ∴v1 = gRE (2 − RE + h RE
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图， 牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体 的运动轨迹取决于抛体的初速度
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 ） 第一宇宙速度 所需的最小速度 . 设 地球质量
v1，是在地面上发射人造地球卫星
mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE .
r → ∞,
= E k∞ + E p∞ = 0
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
1 mE m 2 E = mv 2 + ( − G )=0 2 RE
v2 =
计算得
v v
h
``````
2 Gm E = RE
2 gR E
E =0
第二宇宙速度
v 2 = 11 .2 km/s
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
2mg k= R
B
Ep = 0
所以
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
在一截面积变化的弯曲管中， 例 3 在一截面积变化的弯曲管中， 稳定流动着不 可压缩的密度为 ρ 的流体 . 点 a 处的压强为 p1、截面积 在点b 为A1 ,在点 处的压强为 2 截面积为 2 .由于点 a 和点 b 在点 处的压强为p 截面积为A 由于点 之间存在压力差, 流体将在管中移动. 和点b 之间存在压力差 流体将在管中移动 在点 a 和点 处的 速率分别为 v 1和 v 2 .求流体的压强和速率之间的关系 . 求流体的压强和速率之间的关系
地球表面附近 计算得
RE >> h
故
3
v1 = gRE
E <0
v1 = 7.9 × 10 m/s
第一宇宙速度
Gmm E E =− <0 2( RE + h )
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星 年发射升空的东方红三号通信卫星 我国
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
质点组的动能定理 三 机械能守恒定律 功能原理 当 W
ex
第二章 质点动力学
W + W = ( Ek + Ep ) − ( Ek 0 + Ep0 )
ex in nc
in + W nc = 0 时，有 E = E 0
只有保守内力作功的情况下， 机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下， 质点系的机械能保持不变 .
3） 飞出太阳系 第三宇宙速度 ） 第三宇宙速度 v3 ，是抛体脱离太阳引力所需的 最小发射速度 .
h
v v
设
地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE , 太阳质量 m S , 抛体与太阳相距 R S .
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
取抛体和地球为一系统，抛体首先要脱离 取抛体和地球为一系统 抛体首先要脱离 抛体首先要 地球引力的束缚, 地球引力的束缚 其相对于地球的速率为 v' . 取地球为参考系,由机械能守恒得 取地球为参考系 由机械能守恒得 由机械能
y y2
y1
o
a A1 p1 v1
x 1 x1 + dx1
p2
b A2
v2
x
x2 x2 + dx2
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
y
y2
y1
a A1 p1
x 1 x1 + dx1
v v1
b A2 v p2 v2
x 2 x2 + dx2
o
则
x
取如图所示坐标,在 解 取如图所示坐标 在 d t 时间内a 、 处流体分别 b 移动 dx1、 x 2 . d
质点组的动能定理
第二章 质点动力学
y
y2
y1
a A1 p1
x 1 x1 + dx1
v v1
b A2 v p2 v2
x 2 x2 + dx2
o
x
伯努利方程
1 2 p + ρgy + ρv = 常量 2
若将流管放在水平面上， 若将流管放在水平面上，即 则有
y1 = y2
1 2 p + ρv = 常量 2
v v1
v b A2 v 2 p2
dWp = ( p1 − p2 )dV dWg = −ρ ⋅ g(y1 − y2 )dV
o
x 2 x2 + dx2
x
由动能定理得
1 2 1 2 ( p1 − p2 )dV − ρ ⋅ g ( y 2 − y1 )dV = ρdVv 2 − ρdVv1 2 2
得 即
1 2 1 2 p1 + ρgy1 + ρv1 = p2 + ρgy2 + ρv2 2 2 1 2 p + ρgy + ρv = 常量 2
2） 人造行星 第二宇宙速度 ） 第二宇宙速度 v 2 ，是抛体脱离地球引力所需 的最小发射速度 . 设 当 地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE . 取抛体和地球为一系统 系统机械能 E 守恒 .
F → 0 ; 若此时 v → 0 则 v v 1 mE m 2 h E = mv 2 + ( −G ) `````` 2 RE
解 取抛体和地球为一系统 ， 系统的机械能 E 守恒 .
1 2 E = m v1 + ( − G 2 1 = m v 2 + (−G 2
mm E ) RE mm E ) RE + h