概率第一章教材习题解

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第一章随机事件及其概率课后习题参考答案

第一章随机事件及其概率1. 1) {}01001,,,.nn n n Ω=L2) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥L3) 以"'',''"+-分别表示正品和次品，并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品，正品，次品，次品。

写下检查四个产品所有可能的结果S ，根据条件可得样本空间Ω。

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++⎧⎫=⎨⎬-+---+-+-++--+++-------+--+---++⎩⎭++--++-++++-+++++--+-+-+-++⎧⎫Ω=⎨⎬-+---+-+-++--+++--⎩⎭4) {}22(,)1.x y x y Ω=+<2. 1) ()A B C ABC --=， 2) ()AB C ABC -=， 3) A B C A B C ++=U U ， 4) ABC ，5) ()A B C ABC Ω-++=， 6) ()AB BC AC AB BC AC Ω-++=++， 7) ()ABC A B C Ω-=U U ， 8) AB AC BC ++.3. 解：由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，知道()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以（1）当()()0.7P A B P B +==时，()P AB 取到最大值0.6。

（2）当()1P A B +=时，()P AB 取到最小值0.3。

4. 解：依题意所求为()P A B C ++，所以()()()()()()()()1111000(0()()0)44485.8P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==Q 5. 解：依题意，()()()()()()()()()()()()()()0.70.50.25.()()()0.70.60.5P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++==++=+=+---===+-+-Q6. 解：由条件概率公式得到111()1()()(),(),3412()2P AB P AB P A P B A P B P A B ==⨯=== 所以1111()()()().46123P A B P A P B P AB +=+-=+-= 7. 解：1) 2028281222101028()45C C P P A A C P ===，2) 202__________282121212210101()()(|)45C C P P A A P A P A A C P ====，3) 1122________82821212121222210101016()()()145C C P P P A A A A P A A P A A C P P =+==--=U ，4) 1120____________8228121212122101()()()5C C C C P A A A A P A A P A A C +=+==U . 8. 解：（1）以A 表示第一次从甲袋中取得白球这一事件，B 表示后从乙袋中取得白球这一事件，则所求为()P B ，由题意及全概率公式得1()()()()().11n N m NP B P A P B A P A P B A n m N M n m N M +=+=⨯+⨯++++++ （2）以123,,A A A 分别表示从第一个盒子中取得的两个球为两个红球、一红球一白球和两个白球，B 表示“然后”从第二个盒子取得一个白球这一事件，则容易推知211255441232229995103(),(),(),181818C C C C P A P A P A C C C ====== 123567(|),(|),(|).111111P B A P B A P B A === 由全概率公式得31551063753()()(|).18111811181199i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑ 9. 解：以A 表示随机挑选的人为色盲，B 表示随机挑选的人为男子。

概率论第一章习题参考解答

概论论与数理统计习题参考解答习题一8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率.解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.08121)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =,467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P 因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解: 设A ={能打开门},基本事件总数2412344=⨯⨯⨯==P n ,有利于A 的基本事件数为2=A n ,因此, 0833.0121)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n ,基本事件总数n N C m =, 有利于事件A k 的基本事件数kn N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n ,因此, n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n ,有利于A 的基本事件数422=⨯=A n ,有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.9616. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B 为总数超过一角,A 1为5个中有两个5分, A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分,A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数252762354321678910510=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==C n 设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3,则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221==++==⨯⨯⨯⨯===⨯===⨯⨯⨯⨯==B P C C C n C C C n C C n 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个,则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据11题的计算结果有P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.99419. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ).解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(==-+=-+=-+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P 20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率(2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则 829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 21. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.证: 设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P (A )=4/10,而由903095106)|()()(902496104)|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P 由于A 与A 互不相容,且构成完备事件组, 因此B A AB B +=可分解为两个互不相容事件的并, 则有1049036902412)()()(==+=+=B A P AB P B P 又因B A B A B A AB ,,,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有C B A C B A BC A ABC C +++=分解为四个互不相容的事件的并,且720120849030)|()()(72072839024)|()()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==B A C P B A P C B A P B A C P B A P C B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P则104720288720120727224()()()()(==+++=+++=CB A PC B A P BC A P ABC P C P 因此有P (A )=P (B )=P (C ), 证毕.22. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P23. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(3121626331239331215272312132923121428131223191312132********=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P 根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P 24. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率.解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件.设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0)|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(=⨯+⨯=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个,因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P 25. 一个机床有1/3的时间加工零件A , 其余时间加工零件B , 加工零件A 时, 停机的概率是0.3, 加工零件B 时, 停机的概率是0.4, 求这个机床停机的概率.解: 设C 为加工零件A 的事件, 则C 为加工零件B 的事件, C 与C 构成完备事件组. 设D 为停机事件, 则根据题意有P (C )=1/3, P (C )=2/3,P (D |C )=0.3, P (D |C )=0.4,根据全概率公司有367.04.0323.031)|()()|()()(=⨯+⨯=+=C D P C P C D P C P D P 26. 甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 现有同一机器制造的一批零件, 估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍, 今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.解: 设A 为零件由甲机器制造, 则A 为零件由乙机器制造, A 与A 构成完备事件组. 由P (A +A )=P (A )+P (A )=1并由题意知P (A )=2P (A ),得P (A )=1/3, P (A )=2/3.设B 为零件为废品, 则由题意知P (B |A )=0.01, P (B |A )=0.02,则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(==⨯+⨯⨯==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 27. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球.则P (A )=2/3, P (A )=1/3,P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4,则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P28. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.29. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组.易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有 467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P 根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P 30. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。

《概率论与数理统计》第一章习题及答案

《概率论与数理统计》第一章习题及答案习题1.11. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C,分别表示“第一次出现A,B正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C,中的样本点。

A,B解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A(正，正)，（正，反）}；{=B（正，正），（反，反）} {=C(正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D,,分别表示“点数之和为A,BC偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D-+,-,,中AB-,ABCABCBCA的样本点。

解：{})6,6(,=Ω；),2,6(),1,6(,),2,1(),1,1(),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB；={})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,+BA；=),5,1(),3,1(),1,1(A；C=Φ{})2,2(),1,1(BC；={})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(BA-DC-=-3. 以C,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用A,B,表示以下事件：A,BC（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++;（5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

《概率论与数理统计教程》课后习题解答

第一章事件与概率1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2)C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1)n i iA 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i nij j ji A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为nji j i jiAA ≠=1,；1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解样本点总数为7828⨯=A 。

所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A “所得分数为既约分数”包含6322151323⨯⨯=⨯+A A A 个样本点。

于是14978632)(=⨯⨯⨯=A P 。

1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-⨯个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。

概率统计课后习题解答第1章

21．某车间有 5 台车床，每台车床由于种种原因，时常需要停车，设各台车床停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 1/3，试分别求在任一时刻车间里有 0，3，5 台车床处于停车状态的概率. 解：此题为 5 重伯努利概型。 22.设甲、乙两个篮球运动员投篮命中率分别为 0.7 和 0.6，现每人投篮三次，试求：（1）两人进球数相等的概率。（2）甲比乙进球数多的概率。解：设甲、乙两人的进球数分别为 x 和 y，则（ 1） 1 1 P( X Y ) 0.330.43 C3 0.7 0.32 C3 0.6 0.42 C32 0.7 2 0.3 C32 0.62 0.4 0.730.63 0.321 （ 2） 1 1 P( X Y ) C3 0.7 0.32 0.43 C32 0.7 2 0.3(0.43 C3 0.6 0.42 ) 3 3 1 2 2 2 0.7 (0.4 C3 0.6 0.4 C3 0.6 0.4) 0.436 23．一商店出售的某种型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的 50%，另两家工厂的产品各占 25%，已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为 0.90、0.80、0.70，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率。解：设 A 表示随意取出一只晶体管是合格品，Bi（i=1,2,3）分别表示取出的产品由甲、乙、丙厂家生产，则由全概率公式有
P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 r.
12.已知 P(A)=0.7; P( A B )=0.3，试求 P( AB )。解：由 P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) 0.7 P( AB) 得 P( AB) 0.7 0.3 0.4 ，从而 P( AB )=10.4 = 0.6。注意：教材上题目印刷错误 13.盒中有 10 小球，其中有 4 个是红色，从中任取两球，已知取出的两球至少有一个是红色，求另一球也是红色的概率。解：设取出的两球至少有一个是红色用 A 表示，则 P( A) P( A1 ) P( A2 )

《概率论与数理统计》第一章习题解

《概率论与数理统计》（邵崇斌、徐钊主编）第一章习题解1. (1)．{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}Ω= (2). {1,2,3,}Ω=(3).[0,)Ω=+∞(4). 22{(,)|01}x y x y Ω=≤+≤2. (1).ABC (2).ABC (3).ABC (4).A B C (5).ABC ABC ABC ABC (6).ABC ABC ABC3. (3) (4) 成立，(1) (2) (5) 不成立。

4. (1). 2468910{,,,,,}w w w w w w (2).A (3). 157{,,}w w w 5 . (1).kn kM N MnN C C C--(2). 当n N M>-时,所求概率为0;当n N M≤-时,所求概率为nN M n N C C-(3).nM n NC C6. (1). 因A B =∅,即互斥,又AB AB B= ,则()()()P AB P AB P B +=()()()P AB P B P AB =-11022=-=(2). 因A B ⊂,则111()()()()236P B P A B P B P A -=-=-=(3).113()()()288P A B P B P A B =-=-=7．设A ={用户得到所订购的4桶油漆，3桶黑漆，2桶红漆} 则依题意知：4321043917()C C C P A C =8．解：设A ={订阅A 报} B ={订阅B 报} C ={订阅C 报}则依题意有：()0.45()0.35()0.3P A P B P C ===()0.1()0.05()0.08P AB P BC P AC === ()0.03P ABC =（1）欲求()P A B C ）注意到C B =CB AA C B则 ()()()P ABC P BC P ABC =-,而()1()P BC P B C =-()()()()0.350.30.050.6P B C P B P C P BC =+-=+-=从而()10.60.4P BC =-=()1()P ABC P A B C =-1[()()()()()()()]P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-++---+ 1[0.450.350.3)0.10.080.050.003]=-++---+10.90.1=-=所以,()()()0.40.10.3P ABC P BC P ABC =-=-=（2）()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC =++对于()P ABC 因 ABCCB A =C A故 ()()()P ABC P AC P ABC =- 而 ()1()1[()()()]P AC P A C P A P C P AC =-=-+-1[0.450.30.08]0.33=-+-=则 ()0.330.10.23P ABC =-= 对于 ()P ABC 因CB A CB A =B A故 ()()()P ABC P AB P ABC =-()1()1[()()()]P AB P A B P A P B P AB =-=-+-1[0.450.350.1]0.3=-+-=则 ()()()P ABC P AB P ABC =-0.30.10.2=-=所以,()0.30.230.20.73P ABC ABC ABC =++=(3).()0.10.730.83P ABC ABC ABC ABC =+= 9.解：设A ={最强的2队在不同组}则19218102010()19C C P A C ⋅==19218C C 意指先从最强的２个队中任取１个放入第一组有12C 种,再从非最强队的１８队中任取９队放入第一组，由乘法原理,不同的分法有19218CC10．解：设A ={至少有2人生月在同一月}则A ={没有2人生月相同}，从而有44412412444!55()121296C A C P A ⋅⋅===故41()1()0.427196P A P A =-=11．设A ={杯中球数最大值为1},B ={杯中球较最大值为2}C={杯中球最大值为3}则3433!3()48C P A ⋅==223432!9()416C C P B ⋅⋅==1431()416C P C ==注：此题中，由于()P B 不易计算,考虑到,,A B C 互斥,且A B C =Ω ，则可以先计算出(),()P B P C .从而319()1[()()]1[]81616P B P A P C =-+=-+=12．解：设A ={偶然遇到一辆小车其牌照号码中有8}因牌照编号从0001到10000.3439.010000999)(4434224314=+⋅+⋅+⋅=C C C C A P13．在圆周上随机地选取3个点A 、B 、C ，求△ABC 为锐角三角形的概率？解：设A ={△ABC 为锐角三角形}.如图所示记圆心角,,BOC x AOB y ∠=∠=则三角形△ABC的三个角分别为x21，12y和()y x +-21π，则样本空间可表示为Ω(){},|0,0,2x y x y x y π=>>+<△ABC 为锐角三角形，当且仅当122x π<122y π<()122x y ππ-+<即,,,x y x y πππ<<+>故此事件A亦可表示为(){},,,A x y x y x y πππ=<<+>A为图中阴影部分则事件A 的概率为()4122121)()()(22=⋅⋅=Ω=ππμμA A P14．设0,a >随机点P 的坐标为()y x ,，且0,0,x a y a <<<<试求随机点落在区域2(,)4a D x y xy ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭的概率解：此问题亦为几何概型问题样本空间为(){},0,0x y x a y a Ω=<<<<设A ={随机点落在区域D}即()()2,,,4a A x y x y xy ⎧⎫⎪⎪=∈Ω<⎨⎬⎪⎪⎩⎭A 对应的区域为下图中阴影部分所示阴影部分的面积为()22/444a a aaA dy yμ=+⎰,即()2222/4ln 24442a a aaaaA dy yμ=+=+⎰故所求的概率为222ln 2()1142()ln 2()42aa A P A aμμ+===+Ω15．用概率思想证明对任何自然数,(),a A a A <()(1)()(1)2111(1)(2)(1)(2)(1)A A a A a A a A a A a a A A A A A a a-------⨯=++++-----+ 都有分析:可以先对式子两边同乘Aa再观察其特点，即有1)1()2)(1(12)1)(()2)(1()1)(()1()(=+--⨯---++-----+--⋅+aa A A A a A a A a A A A a A a A a A A a A a Aa证明：观察此等式特点,可设想袋中有A 个球，其中有a 个白球,不放回地摸出球，每次摸出一个,则第k 次才摸出白球的概率为111()(1)((1)1)(1)(2)((1))k aA aak kAA a A a A a k P P P P A A A A k P --------+==----(1,2,,1k A a =-+ )这里注意k 最大只能取到1A a -+因袋中有a 个白球，A a -个黑球，若从一开始点是摸到黑球，直到把黑球摸完为止，则最迟到第1A a -+次一定会摸到白球，亦即“第一次或第二次，…或最迟到第1A a -+次摸到白球”这一事件是必然事件，其概率为1，所以121()()211(1)(1)(1)A a a A a a A a a P P P A A A A A a a-+--⨯⋅+++=+++=--+故有aa A A a A A A a A a A A a A a A )1()1(12)()2)(1()1)((11+-⋅-++-----+--+=16．解：设1A ＝{3人评判组中第1人作出正确决定}2A ={3人评判组中第2人作出正确决定} 3A ={3人评判组中第3人作出正确决定}B={3人评判组作出正确决定},C ={独立评判别人作出正确决定}则321321321321A A A A A A A A A A A A B=221111()(1)(1)2222P B P P P P P P =⨯+-⨯+-⨯+⋅2(1)p p p p=+-=()P C p=所以，评判组与独立评判人做出正确决定概率一样大。

概率论课后习题答案第一章

2008年4月第一章1.1 解⑴记9件合格品分别为正1正2�6�7正9记不合格品为次则Ω正1正2正1正3正1正4�6�7正1正9正1次正2正3正2正4�6�7正2正9正2次正3正4�6�7正3正9正3次�6�7 正8正9正8次正9次A正1次正2次正3次�6�7正9次⑵记2个白球分别为w1w23个黑球分别为b1b2b34个红球分别为r1r2r3r4。

则Ωw1w2b1b2b3r1r2r3r4 ⅰA w1w2。

ⅱB r1r2r3r4。

1.2 解⑴事件ABC表示该生是三年级男生但不是运动员。

⑵ABCC等价于CAB表示全系运动员都是三年级的男生。

⑶当全系运动员都是三年级学生时。

⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。

1.3 解⑴1niiA⑵22221222211nCDniCDiCDCDnCDACDCD ⑶11nnijijjiAA⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”可表为1nijijijAA。

1.4 解1—4显然5和6的证法分别类似于课文第10—12页1.5式和1.6式的证法。

1.5 解样本点总数为28A8×7。

所得分数为既约分数必须分子分母或为71113中的两个或246812中的一个和71113中的一个组合所以事件A“所得分数为既约分数”包含28A218A×15A3×22×3×52×3×6个样本点。

于是PA23698714。

1.6 解样本点总数为5310。

所取三条线段能构成一个三角形这三条线段必须是3、5、7或5、7、9。

所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点于是PA310。

17解显然样本点总数为13事件A“恰好组成MATHEMATICIAN”包含3222个样本点。

所以3222481313PA 18解任意固定红“车”的位置黑“车”可处在9×10-189个不同位置当它处于和红“车”同行或同列的9817个位置之一时正好互相“吃掉”。

概率论第一章课后习题答案

《概率论与数理统计》课后习题解答习题一3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件：（1）A 发生,B 与C 不发生;（2）A 与B 都发生,而C 不发生;（3）A ,B ,C 都发生;（4）A ,B ,C 都不发生;（5）A ,B ,C 中至少有一个发生;（6）A ,B ,C 中恰有一个发生;（7）A ,B ,C 中至少有两个发生;（8）A ,B ,C 中最多有一个发生.解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）C B A ；（5）C B A ；（6）C B A C B A C B A ++；（7）BC AC AB ；（8）BC AC AB 或C B C A B A ．5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小的号码为5的概率;（2）求最大的号码为5的概率.解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得（1）121)(31025==C C A P ；（2）201)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率;（2）任取3件产品没有废品的概率;（3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得（1）0855.0)(32002194161≈=C C C A P ；（2）9122.0)(320031940≈=C C A P ；（3）0023.0)(32003611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：A 表示“这三个数字中不含0和5”； B 表示“这三个数字中包含0或5”； C 表示“这三个数字中含0但不含5”．解：由概率的古典定义得157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；307)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ．解：4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-==3.0)4.06.05.0(1=-+-=10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ．解：314.014.06.0)(1)()()()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少?解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为319.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．（1）求他拨号不超过三次而接通的概率;（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?解：设事件A 分别表示“他拨号不超过三次而接通”，事件B 分别表示“最后一个数字是奇数”，则所求的概率为（1）103819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P （2）53314354415451)|(=⨯⨯+⨯+=B A P 13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率．解：设事件i A 表示“第i 次取得次品”（4,3,2,1=i ），则所求的概率为 )|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =201768792103=⨯⨯⨯= 14．一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为1.0,2.0,3.0,从这10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率．解：设事件321,,A A A 分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件B 表示“产品是正品”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且2.0102)(,3.0103)(,5.0105)(321======A P A P A P 7.03.01)|(,8.02.01)|(,9.01.01)|(321=-==-==-=A B P A B P A B P 由全概率公式得83.07.02.08.03.09.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P15．甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是2.0.飞机被击中1弹而坠毁的概率为1.0,被击中2弹而坠毁的概率为5.0,被击中3弹必定坠毁.（1）求飞机坠毁的概率;（2）已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.解：设事件i A 表示“飞机被击中i 弹而坠毁”)3,2,1(=i ，事件B 表示“飞机坠毁”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得008.0)2.0()(,096.0)8.0()2.0()(,384.0)8.0()2.0()(33331223221131======C A P C A P C A P 1)|(,5.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P（1）由全概率公式得0944.01008.05.0096.01.0384.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P（2）由贝叶斯公式得407.00944.01.0384.0)|()()|()()|(31111≈⨯==∑=i ii A B P A P A B P A P B A P 16．设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率. 解：设事件i A 表示“从甲袋取出的2个球中有i 个白球”)2,1,0(=i ，事件B 表示“从乙袋中取出的一个球是白球”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且29254)(C C C A P i i i -=，115)|(i A B P i +=，)2,1,0(=i ，由全概率公式得 5354.09953115)|()()(202925420==+⋅==∑∑=-=i i i i i i i C C C A B P A P B P 17．已知男子有%5是色盲患者,女子有%25.0是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解：设事件A 表示“此人是男性”，事件B 表示“此人是色盲患者”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且5.0)()(==A P A P ，%25.0)|(%,5)|(==A B P A B P由贝叶斯公式得9524.02120%25.05.0%55.0%55.0)|()()|()()|()()|(≈=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 18．设机器正常时生产合格品的概率为%98,当机器发生故障时生产合格品的概率为%30,而机器正常（即不发生故障）的概率为%95.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.解：设事件A 表示“该机器正常”，事件B 表示“产品是合格品”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且%30)|(%,98)|(%,5)(1)(%,95)(===-==A B P A B P A P A P A P由贝叶斯公式得984.0%30%5%98%95%98%95)|()()|()()|()()|(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 19．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是51,31,41,问能将密码译出的概率是多少?解：设事件C B A ,,分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件C B A ,,相互独立，且41)(,31)(,51)(===C P B P A P ，则所求的概率为 53)411)(311)(511(1)()()(1)(=----=-=C P B P A P C B A P 20．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是02.0,03.0,05.0和03.0.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解：设事件i A 表示“第i 道工序加工出次品”)4,3,2,1(=i ，显然事件4321,,,A A A A 相互独立，且03.0)(,05.0)(,03.0)(,02.0)(4321====A P A P A P A P ，则所求的概率为)()()()(1)(43214321A P A P A P A P A A A A P -=124.0)03.01)(05.01)(03.01)(02.01(1=-----=21．设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.（1）求至少有一个蓝球的概率;（2）求有一个蓝球一个白球的概率;（3）已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.解：设事件21,A A 表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件21,B B 表示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件i A 与j B 相互独立)2,1;2,1(==j i ，且94)(,92)(,72)(,73)(2121====B P B P A P A P ，则所求的概率为（1）95)921)(731(1)()(1)(1111=---=-=+B P A P B A P ；（2）631692729473)()()()()(12211221=⨯+⨯=+=+B P A P B P A P B A B A P ；（3）)()])([()](|)[(11111221111221B A P B A B A B A P B A B A B A P +++=++ 3516956316)()(111221==++=B A P B A B A P 22．设一系统由三个元件联结而成（如图51-）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p (10<<p ).求系统能正常工作的概率.图51- 解：设事件i A 表示“第i 个元件正常工作”)3,2,1(=i ，事件B 表示“该系统正常工作”，显然，事件321,,A A A 相互独立，且p A P i =)(，则所求的概率为 )()()()(])[()(32132313231321A A A P A A P A A P A A A A P A A A P B P -+=== 3232132312)()()()()()()(p p A P A P A P A P A P A P A P -=-+=24．一批产品中有%20的次品,进行放回抽样检查,共取5件样品.计算：（1）这5件样品中恰有2件次品的概率;（2）这5件样品中最多有2件次品的概率.解：设事件A 表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中%80)(%,20)(,5===A P A P n ，由二项概率公式有（1）2048.0%)80(%)20()2(32255==C P（2）942.0%)80(%)20()(2055205==∑∑=-=k k k k k C k P。

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1．写出下列随机试验的样本空间．(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：(1)}100,,2,1{ =Ω；(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω；(3)},2,1{ =Ω；(4)}|),{(22y x y x +=Ω．2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ．解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ，}5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ；(3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ，}10,9,8,7,6,1{=B A ，}5,4,3,2{=B A ；法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ；(4)}5{=BC ，}10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ，}4,3,2{=BC A ，}10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ，{1,8,9,10}=C B A ．3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121|{≤<=x x A ，}2341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ．解：(1)B B A = ，}223,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ∅；(3)A AB =，}21,210|{≤<≤≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ．解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生；(2)A ，B ，C 中至少有一个发生；(3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生；(4)A ，B ，C 中不多于一个发生．6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．证：A B B A A B A AB A B A AB )()(==-Ω==Ω=A A A A ．7．把事件C B A 表示为互不相容事件的和事件．解：)()[(C A B A A A C B A C B A =-=)(B A A A A C A B A A ==CB A BC A B A A )(=C B A B A A =．8．设0)(>A P ，0)(>B P ，将下列5个数)(A P ，)()(B P A P -，)(B A P -，)()(B P A P +，)(B A P 按有小到大的顺序排列，用符号“≤”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立．解：因为0)(>A P ，0)(>B P ，)()(B P AB P ≤，故)()()()()()()()()(B P A P B A P A P B A P AB P A P B P A P +≤≤≤-=-≤- ，所以)()()()()()()(B P A P B A P A P B A P B P A P +≤≤≤-≤- ．(1)若A B ⊂，则有)()()(B A P B P A P -=-，)()(B A P A P =；(2)若=AB ∅，则有)()(A P B A P =-，)()()(B P A P B A P += ．9．已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求)(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．解：(1)7.0)(1(=-=A P A P ；(2)B A ⊂ ，A AB =∴，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．10．设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率．(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品．解：从10件产品中任取3件，共有310C 种取法，(1)记=A {从10件产品中任取3件，只有1件次品}，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C 中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C 种取法．则事件A 共包含2614C C 个样本点，21)(3102614==C C C A P ．(2)记=B {从10件产品中任取3件，最多有1件次品}，=C {从10件产品中任取3件，没有次品}，则C A B =，且A 与C 互不相容．没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C 种取法，则61)(31036==C C C P ，32)()()()(=+==C P A P C A P B P ．(3)易知=C {从10件产品中任取3件，至少有1件次品}，则65)(1(=-=C P C P ．11．盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率．解：从10个球中任选3球，共有310C 种选法，(1)记=A {从10个球中任选3球，最小标号为5}，事件A 发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C 种选法，则121)(31025==C C A P ．(2)记=B {从10个球中任选3球，最大标号为5}，事件B 发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C 种选法，则201)(31024==C C B P ．12．设在口袋中有a 个白球，b 个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止．求最后是白球留在口袋中的概率．解：设=A {最后是白球留在口袋中}，事件A 即把b a +个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为ba a A P +=)(．13．一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率：(1)6个人中至少有1人的生日在10月份；(2)6个人中有4人的生日在10月份；(3)6个人中有4人的生日在同一月份．解：设=i B {生日在i 月份}，则=i B {生日不在i 月份}，12,,2,1 =i ，易知121)(=i B P ，1211)(=i B P ，12,,2,1 =i ．(1)设=A {6个人中至少有1人的生日在10月份}，则=A {6个人中没有一个人的生日在10月份}，66101211(1)]([1)(1)(-=-=-=B P A P A P ；(2)设=C {6个人中有4人的生日在10月份}，则62244621041046121115)1211()121()]([)]([)(⋅===C B P B P C C P ；(3)设=D {6个人中有4人的生日在同一月份}，则52112121115)()(⋅==C P C D P ．14．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R 的概率．解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x ，已知，当R x 23<，弦长大于半径R ，从而所求的概率为232232=⋅=R R P ．15．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h ，乙船的停泊时间是2h ，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率．解：设=A {两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出}，则=A {一艘船到达泊位时必须等待}，分别用x 和y 表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则}10,20|),{(≤-≤≤-≤=x y y x y x A ，从而1207.0242221232124)()()(2222≈⋅-⋅-=Ω=μμA A P ；8993.0)(1)(≈-=A P A P ．16．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解：设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，=C {目标被击中}，则B A C =，由题设知A 与B 相互独立，且6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，所以)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 8.0)()()()(=-+=B P A P B P A P ，从而43)()()()()|(===C P A P C P AC P C A P ．17．某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？解：=A {甲河流泛滥}，=B {乙河流泛滥}，=C {该地区被淹没}，则B A C =，由题设知1.0)(=A P ，2.0)(=B P ，3.0)|(=A B P ，从而)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 27.0)|()()()(=-+=A B P A P B P A P ，15.0)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P ．18．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设=A {有一件产品是不合格品}，=B {另一件产品也是不合格品}，=i D {取出的两件产品中有i 件不合格品}，2,1,0=i ，显然，21D D A =，=21D D ∅，2D B AB ==．=Ω{从n 件产品种任取两件}，共有2nC 种取法；若1D 发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从m 件不合格品中取得，共有1m C 种取法；另一件为合格品，只能从m n -件合格品中取得，共有1m n C -种取法，则事件1D 中共有11m n m C C -个样本点，)1()(2)(2111--==-n n m n m C C C D P n m n m ，类似地，)1()1()(222--==n n m m C C D P n m ，所以)1()1()(2)()()()(2121--+-=+==n n m m m n m D P D P D D P A P ，)1()1()()(2--==n n m m D P AB P ，于是所求概率为121)()()|(---==m n m A P AB P A B P ．19．10件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率．解：设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ，则所求概率为12878792103)|()|()()(213121321=⋅⋅==A A A P A A P A P A A A P ．20．设事件A 与B 互不相容，且1)(0<<B P ，证明：)(1)(|(B P A P B A P -=．证：事件A 与B 互不相容，则0)(=AB P ，)(1)()(1)()()(1)()(()|(B P A P B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P -=--=--==．21．设事件A 与B 相互独立，3.0)(=A P ，45.0)(=B P ，求下列各式的值：(1))|(A B P ；(2))(B A P ；(3)(B A P ；(4)|(B A P ．解：事件A 与相互独立，∴事件A 与B 也相互独立，(1)45.0)()|(==B P A B P ；(2))()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=615.0=；(3)385.0)](1)][(1[)(()(=--==B P A P B P A P B A P ；(4)7.0()|(==A P B A P ．22．某种动物活到10岁的概率为0.92，活到15岁的概率为0.67，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率．解：设=A {该种动物能活到10岁}，=B {该种动物能活到15岁}，显然A B ⊂，由题设可知92.0)(=A P ，67.0)(=B P ，所以9267)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P ．23．某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂的次品率为5%．一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率．解：设=A {电灯泡是次品}，=1B {电灯泡由甲厂生产}，=2B {电灯泡由乙厂生产}，则=A {电灯泡是合格品}．由题设可知6.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，04.0)|(1=B A P ，05.0)|(2=B A P ，044.0)|()()|()()(2211=+=B A P B P B A P B P A P ，所以956.0)(1)(=-=A P A P ．24．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设=A {选出的人是色盲患者}，=B {选出的人是男性}，=B {选出的人是女性}，由题设可知21()(==B P B P ，05.0)|(=B A P ，0025.0)|(=B A P ，则2120)|()()|()()|()()|(=+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P ．25．甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5和0.7，又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6和1．现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率．解：设1A ，2A ，3A 分别表示甲、乙、丙射击击中敌机，=i B {敌机被击中i 次}，3,2,1=i ，=C {敌机坠毁}，则3213213211A A A A A A A A A B =，3213213212A A A A A A A A A B =，3213A A A B =，由题设可知4.0)(1=A P ，5.0)(2=A P ，7.0)(3=A P ，2.0)|(1=B C P ，6.0)|(2=B C P ，1)|(3=B C P ，则)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.0=，类似地，51.0)(2=B P ，14.0)(3=B P ，由全概率公式得458.0)|()()(31==∑=i i i B C P B P C P ．26．三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31和41．问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：分别设事件A ，B ，C 为甲、乙、丙破译密码，则三人中至少有一人能将此密码译出可表示为C B A ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=53=．27．甲袋中装有n 只白球、m 只红球，乙袋中装有N 只白球、M 只红球．今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解：设=A {从甲袋中取出白球}，=B {从乙袋中取出白球}，则由题设可知m n n A P +=)(，m n m A P +=(，11)|(+++=M N N A B P ，1|(++=M N N A B P ，由全概率公式，得)|(()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)1)(()1(+++++=N M n m mN N n ．28．从区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的和小于1.2的概率．解：设x 和y 分别为所取的两个数，显然10≤≤x ，10≤≤y ，即试验的样本空间为边长为1的单位正方形，记}2.1|),{(<+=y x y x A ，由几何概型，有68.0118.08.02111)(=⨯⨯⨯-⨯=A P ．29．一个系统由4个元件联结而成(如图)，每个元件的可靠性(即元件能正常工作的概率)为r (10<<r )，假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性．解：设=i A {第i 个元件能正常工作}，4,3,2,1=i ，=B {系统能正常工作}，则4314214321)(A A A A A A A A A A B ==，由题知r A P i =)(，i A 相互独立，4,3,2,1=i ，所以)()(431421A A A A A A P B P =)()()(4321431421A A A A P A A A P A A A P -+=)(()()()()()()()()(4321431421A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P -+=3)2(r r -=．30．某篮球运动员投篮命中的概率为0.8，求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率．解：设=A {该篮球运动员5次独立投篮中至少命中2次}，=i B {该篮球运动员5次独立投篮中命中的次数}，5,,1,0 =i ，则由题可知5432B B B B A =，10B B A =，i B 互不相容，5,,1,0 =i ，所以)()(1)(1)(10B P B P A P A P --=-=9933.02.08.02.08.0141155005=⋅⋅-⋅⋅-=C C ．31．设概率统计课的重修率为5%，若某个班至少一人重修的概率不小于0.95，1324问这个班至少有多少名同学？解：设该班有n 名同学，=A {该班每名同学概率统计课重修}，=i B {该班n 名同学中有i 名同学概率统计课重修}，=C {该班n 名同学中至少有1名同学概率统计课重修}，则 ni i n B B B B C 121===，0B C =，由题可知05.0)(=A P ，n n n C B P C P C P 95.0195.005.01)(1)(1)(000-=⋅⋅-=-=-=，由题意，应有95.095.01=-n ，解得59=n ．32．某种灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.6，求3个灯泡在使用1000h 以后最多有1个损坏的概率．解：设=A {该种灯泡使用时数在h 1000以上}，=i B {3个灯泡在使用h 1000以后有i 个损坏}，3,2,1,0=i ，=C {3个灯泡在使用h 1000以后最多有1个损坏}，则10B B C =，由题知6.0)(=A P ，i B 互不相容，3,2,1,0=i ，所以648.06.04.06.04.0)()()(2113300310=⋅⋅+⋅⋅=+=C C B P B P C P ．33．甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，求：(1)二人进球数相等的概率；(2)甲比乙进球数多的概率．解：设=A {甲篮球运动员投篮命中}，=B {乙篮球运动员投篮命中}，=i A {甲篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=i B {乙篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=C {甲、乙进球数相等}，=D {甲比乙进球数多}，由题可知A 与B 相互独立，i A 相互独立，i B 相互独立，i A 与i B 相互独立，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，i i i i C A P -⋅⋅=333.07.0)(，i i i i C B P -⋅⋅=334.06.0)(，3,2,1,0=i ，(1) 30==i i i B A C ∑∑======303030)()()()()(i i i i i i i i i B P A P B A P B A P C P 3208.0=；(2)3310201)(B A B B A B A D =，从而有))(()(3310201B A B B A B A P D P =)(]([)(3310201B A P B B A P B A P ++= )()()()(33120201B A P B A P B A P B A P +++=)()()()()()()()(33120201B P A P B P A P B P A P B P A P +++=4362.0=．34．若三事件A ，B ，C 相互独立，证明：B A 及B A -都与C 相互独立．证：(1))())((BC AC P C B A P =)()()(ACBC P BC P AC P -+=)()()(ABC P BC P AC P -+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()]()()([C P AB P B P A P -+=)()(C P B A P =所以B A 与C 相互独立．(2))())((BC AC P C B A P -=-)()(ABC P AC P -=)()()()()(C P B P A P C P A P -=)()]()()([C P B P A P A P -=)()]()([C P AB P A P -=)()(C P B A P -=，所以B A -与C 相互独立．35．设袋中有1个黑球和1-n 个白球，每次从袋中随机摸出一球，并放入一个白球，连续进行，问第k 次摸到白球的概率是多少？解：设=A {第k 次摸到白球}，=A {第k 次摸到黑球}，A 发生表示前1-k 次摸球摸到的都是白球，第k 次摸到的是黑球．前1-k 次摸球，每次摸到白球的概率均为n n 1-，第k 次摸到黑球的概率为n1，每次摸球相互独立，可知n n n A P k 1)1()(1⋅-=-，则n n n A P A P k 11(1)(1)(1⋅--=-=-．。

概率第一章-随机事件-参考习题-带答案

装订线内请勿答装订线内请勿答一、填空题1.设A , B为两个随机事件，则A , B都发生的事件的表示为；其对立事件为；至少有一个发生的事件为。

2.一袋中装有3只白球，5只黑球.现从中任取2球，则2只球都是黑球的概率为.3.设A,B为两个事件, 若概率P（B）＝103，P(B|A)=61, P(A+B)=54, 则概率P（A）＝.4.设A，B为两个事件，且已知概率P（A）=0.4, P（B）=0.3, 若事件A,B互斥，则概率P(A+B)= ；若事件A, B相互独立，则概率P(A+B)= .5.一批商品共有100件, 次品率为0.05.连续两次有放回地从中任取一个, 则到第二次才取到正品的概率为6.设A，B，C为三个随机事件，则至少有一个事件发生记作(1)__________；(2) 至多有两个事件发生记作____7、设事件{,}A x x n n N==∈，事件{2,}B x x k k N==∈，则(1)A B+= (2) A B-=8、将一枚均匀硬币抛掷两次，若设X表示出现正面的次数则(1)P X≥=9、设A，B为三个随机事件，则至少有一个事件发生记作(1)__________ (2) 至少有两个事件不发生记作____10、设事件{1,2,3,4,5}A=，事件{2,4,6}B=，则(1)A B+=(2) A B-=11、将一颗骰子抛掷一次，则样本空间(1)S＝___________(2)若A＝{偶数点}，则()P A=__12.设A , B为两个随机事件，则A , B都发生的事件的表示为；其对立事件为；A , B都发生或都不发生可表示为；其对立事件为.13.设A,B为两个事件, 若概率P（B）＝103，P(B|A)=61, P(A+B)=54, 则概率P（A）＝.14.一袋中装有3只白球，5只黑球.现从中任取2球，则2只球都是黑球的概率为.15.设A，B为两个事件，且已知概率P（A）=0.4, P（B）=0.3, 若事件A,B互斥，则概率P(A+B)= ；若事件A, B相互独立，则概率P(A+B)= .16.一批电子元件共有100个, 次品率为0.05.连续两次有放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为.17、若A，B，C为三个随机事件，则A，B，C至少有一个发生的事件记作。

《概率论与数理统计》第一章课后习题解答共16页word资料

吴赣昌编《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。

（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。

解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。

解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。

解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。

4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。

A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=，或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

概率论与数理统计第一章习题参考解答

Bi 为事件“i 接点闭合”,i=1,2,…5
P( A) = P( A | B3)P(B3) + P( A | B3)P(B3) 其中 P( A | B3) = P((B1 ∪ B4 )(B2 ∪ B5 ))
= P(B1 ∪ B4 )P(B2 ∪ B5 )
= [1 − P(B1)P(B4 )][1 − P(B2 )P(B5 )] = [1 − (1 − p)2 ]2 = p2 (2 − p)2
片”。验证
P(AB) = P(A)P(B)，P( AC) = P( A)P(C)，P(BC) = P(B)P(C)
P(A)P(B)P(C) ≠ P(ABC)
解：显然 P( A) = P(B) = P(C) = 1 ， P( AB) = 1 , P(BC) = 1 ， P( ABC) = 1 ,
2
4
4
首位偶 : A41 A41 A82
A140
10 ⋅9 ⋅8⋅ 7 90
解法二分末位 0 和末位不为 0 两种，组成一个偶数四位数有 C41C81A82 + A93 种
∴ P( A) = C41C21 A82 + A93 = 41
A140
90
错误:认为样本空间也为四位数,实际只要求是一列.
10、求 10 人中至少有两人出生于同一月份的概率。
里选三个，所求概率为 C53 C130
1
=
12
9、在 0，1，2，3，…..，9 共 10 个数字中，任取 4 个不同数字排成一列，求这 4 个数字能组成一个偶数四位数的概率。
解：设事件“组成一个偶数四位数”为 A
任取 4 个不同数字排成一列共有： A140 种解法一组成一个偶数四位数有

概率论与数理统计第一章习题参考解答

《概率论与数理统计》第一章参考解答（仅供参考，不妥之处及时指出）习题1.1（略）习题1.21.解 141414185()()()()()()()()000P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++−−−+=++−−−+=.2.解，()()()()0.40.50.70.2P AB P A P B P A B =+−=+−=∪()()()0.40.20.2P A B P A P AB −=−=−=，()()()0.50.20.3P B A P B P AB −=−=−=。

3.解用、A B 、分别表示任选的一位该年龄段的市民喜欢读报、C A B 报、C 报，依题设 ()0.45,()0.34,()0.20,P A P B P C ===()0.10,()0.06,()0.04,()0.01P AB P AC P BC P ABC ====)。

(1) 任选的一位该年龄段的市民至少喜欢读一种报纸的概率()()()()()()()(0.450.340.200.100.060.040.010.80.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++−−−+=++−−−+= (2) 任选的一位该年龄段的市民三种报纸都不喜欢读的概率()()1()10.800.20.P ABC P A B C P A B C =++=−++=−=(3) 任选的一位该年龄段的市民只喜欢读报的概率 A ()()()()()[()()]0.450.100.060.010.30P ABC P AB P ABC P A P AB P AC P ABC =−=−−−=−−+=。

(4) 同理可以求得：任选的一位该年龄段的市民只喜欢读B 报的概率()()()()()[()()]0.340.100.040.010.21,P ABC P AB P ABC P B P AB P BC P ABC =−=−−−=−−+= 任选的一位该年龄段的市民只喜欢读报的概率 C ()()()()()[()()]0.200.060.040.010.11,P ABC P AC P ABC P C P AC P BC P ABC =−=−−−=−−+= 故任选的一位该年龄段的市民只喜欢读一种报报的概率()()()()0.300.210.110.62P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=。

(完整版)概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“×” ）1、若1()P A =，则A 与任一事件B 一定独立。

（√）2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。

（√）3、样本空间是随机现象的数学模型。

（√）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。

（×）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。

（×）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。

（√）7、若S 为试验E 的样本空间，12,,,n B B B L 为E 的一组两两互不相容的事件，则称12,,,n B B B L 为样本空间S 的一个划分。

（×）8、若事件A 的发生对事件B 的发生的概率没有影响，即()()P B A P B =，称事件A 、B 独立。

（√） 9、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。

（√）10、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则将12,,,n B B B L 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。

（√）二、单选题1．设事件A 和B 相互独立，则()P A B =U （ C ）A 、()()P A PB + B 、()()P A P B +C 、1()()P A P B -D 、1()()P A P B -2、设事件A 与B 相互独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，则正确的是（ A ）A 、A 与AB +一定不独立 B 、A 与A B -一定不独立C 、A 与B A -一定独立D 、A 与AB 一定独立3、设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）A 、1()()()P C P A PB ≤+- B 、1()()()PC P A P B ≥+-C 、()()P C P AB =D 、()()P C P A B =U4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（）A 、(1)0{}T t ≥B 、(2)0{}T t ≥C 、(3)0{}T t ≥D 、(4)0{}T t ≥分析事件(4)0{}T t ≥表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度0t ；事件(3)0{}T t ≥表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，即(3)0{}E T t =≥，选C 。

概率论第一章习题解答(全)

3
10 9 8 120 ； 3 2 1
事件 A 所包含基本事件数（即 5 固定，再从 6，7，8，9，10 这 5 个数中任选 2 个）：
C52
5 4 10 2
事件 B 所包含的基本事件数（即 5 固定，再从 1,2，3,4 这 4 个数中任选 2 个）：
故
43 6 2 10 1 6 1 P ( A) ； P( B) 120 12 120 20
1 1 1 1 1 1 1 17 ； 2 3 5 10 15 20 30 20 17 3 (ⅳ) P ( ABC ) P ( A B C ) 1 P ( A B C ) 1 ； 20 20
(ⅴ) 且因为 ABC ( A B )C ( s ( A B ))C C ( AC BC )
P ( ABC ) P (( A B )C ) P (C ) P ( AC ) P ( BC ) 1 1 1 7 5 15 20 60
(ⅵ)
因为
P ( AB C ) P ( AB ) P (C ) P ( ABC )
已知 P ( AB )
4 7 ， P ( ABC ) ，故 15 60
而故
ABC AB ， P ( AB ) 0 ，所以
P ( ABC ) 0
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) 1 1 1 1 5互不相容，所以 AB ， AB A ， P ( AB ) P ( A) （ⅱ）因为 A A( B B ) AB AB ，且 AB AB ，所以

概率论与数理统计第1章习题详解

一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率论与数理统计第一章习题参考答案

1第一章随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P\)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-= 87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB Ì 218185=-=3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 2518900998900)(191918=´´==C C C A P4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330330””(1)455443)(2515141413´´´´==A C C C C A P =0.482）455421452)(251514122512´´´´+´´=+=A C C C A C B P =0.485、解：用A 表示事件“表示事件“44只中恰有2只白球，只白球，11只红球，只红球，11只黑球”，用B 表示事件“表示事件“44只中至少有2只红球”，用C 表示事件“表示事件“44只中没有只白球”只中没有只白球” （1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P（3）99749535)(41247===CC C P6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”张提货单” nkn k n MM C A P --=)1()(7、解：用A 表示事件“表示事件“33只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”表示事件“没有配对” （1）3212313)(=´´+=A P 或321231121)(=´´´´-=A P（2）31123112)(=´´´´=B P8、解、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P（1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ，515.01.0)()()(===A P AB P A B P7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0==717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P（2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==´´´=9、解：用A 表示事件表示事件“取到的两只球中至少有“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件表示事件“两只都是红球”“两只都是红球”方法1651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算 51)(=A B P1010、解：、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症”表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P （1）B A AB B A AB A 与,=互斥互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==\B A P AB P B A AB P A P同理同理15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P（5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P1111、解：用、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ginger””92401)(61113131222==A A A A A A P1212、、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状”由已知2.0)(=B A P3.0)(=B A P 1.0)(=AB P （1）,B A AB B A B A S=且B A AB B A B A ,,,互斥互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=\AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P（3）B A AB B =， B A AB ,互斥互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P )()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0==1313、解：用、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受”接受”;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41´+´+´+´==å=ii iA B P A P B P99978.0=1414、、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知由已知1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ，则9.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ，由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1515、解：用、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”， C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”坏”由已知得由已知得6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ； 01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005030==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==´+´+´´=1616、解：用、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(»´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1717、解：用、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”， C 表示事件“两次得同一面”表示事件“两次得同一面”则,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===\C B A ,,\两两独立两两独立而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ¹C B A ,,\不是相互独立的不是相互独立的1818、解：用、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”， C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得由已知得5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P （1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立）C B A ,,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=´´+´´+´´=（2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=´´+´´+´´= （3）{})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -=相互独立）C B A ,,( 4.03.05.01´´-=94.0= 1919、解：用、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RHA 血型”， ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B=4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）相互独立）相互独立 ()()(1P A P B P +=\+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=´+´+´+=2020、解：设、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立相互独立法1：54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =\()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----=()相互独立54321,,,,A A A A A()()()221111pp p----=543222p p p p p +--+=2121、解：令、解：令A ：“产品真含杂质”，A ：“产品真不含杂质”“产品真不含杂质” 则4.0)(=A P ，6.0)(=A P2.08.0)|(223´´=C A B P 9.01.0)|(223´´=C A B P \)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=6.09.01.04.02.08.0223223´´´+´´´=C C\)()|()()|()()|()()()|(A P A B P A P A B P A P A B P B P AB P B A P +==905.028325660901********.02.08.0223223223»=´´´+´´´´´´=C C C第二章习题答案 1、{}()4.04.011´-==-k k Y Pk=1,2,… 2、用个阀门开表示第i A i))()()()()(())((}0{32321321A P A P A P A P A P A A A P X P -+=== 072.0)2.02.02.02.0(2.0=´-+=23213218.02.0)04.02.02.0(8.0])([}1{´+-+===A A A A A A P X P416.0=512.08.0)(}2{3321====A A A P X P 3、()2.0,15~b X{}kkk C k X P -´==15158.02.0 k=0,1,2,……,15（1）{}2501.08.02.03123315=´==C X P（2）{}8329.08.02.08.02.01214115150015=´-´-=³C C X P（3）{}6129.08.02.08.02.08.02.031123315132215141115=´+´+´=££C C C X P（4）{}0611.08.02.01551515=´-=>å=-k kkk C X P4、用X 表示5个元件中正常工作的个数个元件中正常工作的个数9914.09.01.09.01.09.0)3(54452335=+´+´=³C C X P5、设X={}件产品的次品数8000 则X~b(8000,0.001)由于n 很大，P 很小，所以利用)8(p 近似地～X {}3134.0!8768==<å=-k k k eX P6、(1)X~p (10){}{}0487.09513.01!101151151510=-=-=£-=>\å=-k k k eX P X P (2)∵ X~p ( l ) {}{}!01010210ll --==-=>=\e X P X P{}210==\X P21=\-le7.02ln ==\l {}{}1558.08442.01!7.0111217.0=-=-=£-=³\å=-k k k eX P X P或{}{}{}2ln 2121!12ln 21110122ln -=--==-=-=³-e X P X P X P 7、)1( )2(~p X 1353.0!02}0{22====--e e X P )2( 00145.0)1()(24245=-=--eeC p)3( 52)!2(å¥=-=k kk e p8、(1) 由33)(11312k x k dx kx dx x f ====òò¥+¥- 3=\k（2）{}()2713331331231====£òò¥-xdx x dx x f X P（3）64764181321412141321412=-===þýüîíì££òxdx x X P（4）271927813)(321323132232=-====þýüîíì>òò¥+xdx x dx x f X P9、方程有实根04522=-++X Xt t ，则，则 0)45(4)2(2³--=D X X 得.14£³X X 或有实根的概率有实根的概率937.0003.0003.0}14{104212=+=£³òòdx x dx x X X P10、)1( 005.01|100}1{200110200200122»-=-==<---òeedx ex X P x x)2(=>}52{X P 0|100200525220020052222»-=-=-¥--¥òeedx exx x)3( 25158.0}20{}26{}20|26{200202002622==>>=>>--ee X P X P X X P 11、解：、解：（1）{}()275271942789827194491)(12132121=+--=÷øöçèæ-=-==>òò¥+x x dx x dx x f X P（2）Y~b(10，275){}kk kC k Y P -÷øöçèæ´÷øöçèæ==10102722275k=0,1,2,……,10（3）{}2998.027*******2210=÷øöçèæ´÷øöçèæ==C Y P{}{}{}1012=-=-=³Y P Y P Y P 5778.027222752722275191110100210=÷øöçèæ÷øöçèæ-÷øöçèæ´÷øöçèæ-=C C 12（1）由()()òòò++==-+¥¥-10012.02.01dy cy dy dy y f24.0)22.0(2.01201c y c y y +=++=-2.1=\c ()ïîïíì£<+£<-=\其它102.12.0012.0y yy y f ()()ïïïïîïïïïíì³+<£++<£--<==òòòòòò--¥-¥-12.12.0102.12.02.0012.010)()(100011y dyy y dy y dy y dt y dtdt t f y F y yyyYïïîïïíì³<£++<£-+-<=11102.02.06.0012.02.0102y y y y y y y{}()()25.02.05.06.05.02.02.005.05.002=-´+´+=-=££F F Y P {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=´-´--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=´-´+-=-=>F Y P{}{}{}{}{}7106.0774.055.01.05.01.01.0,5.01.05.0==>>=>>>=>>\Y P Y P Y P Y Y P Y Y P(2) ()()ïïïîïïïíì³<£+<£<==òòòò¥-41428812081002200x x dtt dt x dt x dt t f x F xxxïïïîïïïíì³<£<£<=4142162081002x x x x xx{}()()167811691331=-=-=££F F X P{}()16933==£F X P{}{}{}9716916733131==£££=£³\X P X P X X P 13、解：{}111,-´===n nj Y i X Pn j i j i ，¼¼=¹,2,1,,{}0,===i Y i X P 当n=3时，（X ，Y ）联合分布律为）联合分布律为14、)1(2.0}1,1{===Y X P ，}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}1,1{==+==+==+===££Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P42.020.004.008.010.0=+++= )2( 90.010.01}0,0{1=-===-Y X P)3(}2,2{}1,1{}0,0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P60.030.020.010.0=++= }0,2{}1,1{}2,0{}2{==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P28.002.020.006.0=++= 15、()()()88104242c ee cdxdy ce dx x f yx y x =-×-===+¥-+¥-+¥+¥+-+¥¥-òòò8=\c{}()()()4402042228,2-+¥-+¥-+¥+-+¥>=-×-===>òòòòe ee dy edxdxdy y x f X P yyxx y x xY X 1 2 31 0 1/6 1/62 1/6 0 1/6 31/6 1/6 0D ：xy x ££¥<£00{}()òò>=>yx dxdy y x f Y X P ,()()dx e e dy edxx yx xy x 0402042028-+¥-+-+¥-×==òòò()ò¥++¥----=÷øöçèæ-=+-=2626323122x x xxe e dx eeD ：xy x -££££101{}()dy edxY X P xyx òò-+-=<+10421081 ()()òò------=-=1422101042222dx eedx eex xx yx()()22104221----=--=e e ex x16、（1）61)2(122=-=òdx x x s ， îíìÎ=其他,0),(,6),(G y x y x f（2）îíì<<==ò其他,010,36)(2222x x dy x f x xXïïïîïïíì<£-=<<-==òò其他,0121),1(66210),2(66),(12y y yY y y dx y y y dx y x f17、（1）Y X0 1 2 P{X=x i } 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 20.02 0.06 0.300.38 P{Y=y i } 0.16 0.34 0.501（2）D ：+¥<£+¥<£y x x 0或：yx y <£+¥<£00()()ïîïíì£>==\òò+¥-¥+¥-00,x x dye dy y xf x f xy Xîíì£>=-00x x e x()()ïîïíì£>==òò-¥+¥-00,0y y dxe dx y xf y f yy Yîíì£>=--00y y ye y22、（1）Y 1 Y 2 -11-14222qq q =×()q q-124222qq q =×()q q-12()21q -()q q-1214222qq q =×()q q-124222qq q =×且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y YP()12234142222+-=+-+=q qqqq（2）{}10.00,0===Y X P{}{}0384.000==×=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=×=¹Y P X P∴X 与Y 不相互独立不相互独立23、()1,0~U X ()ïîïíì<<=其它2108y yy f Y且X 与Y 相互独立相互独立则()()()ïîïíì<<<<=×=其它0210,108,y x yy f x f y x f Y XD ：1210<£<£x y y32|)384()8(8}{21032212=-=-==>òòò>y y dy y y ydxdy Y X P yx24X-2-11 3 k p51 61 51151301112+=X Y 52 1 2 10Y 12 510k p5115161+513011即Y 12 5 10 k p5130751301125、U=|X|，当0)|(|)()(0=£=£=<y X P y Y P y F y U时，1)(2)()()()|(|)()(0-F =--=££-=£=£=³y y F y F y X y P y X P y Y P y F y X X U 时，当故ïîïíì<³==-0,00,2)(||22y y e y f X U y U p的概率概率密度函数为26、（1）X Y =，当0)()()(0=£=£=<y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()(022y F y X P y X P y Y P y F y X Y =£=£=£=³时，当故 ïîïíì<³==-0,00,2)(2y y ye y f X Y y Y 的概率概率密度函数为（2）)21(+=X Y ，当0)21()()(0=£+=£=£y X P y Y P y F y Y 时，1)(1)12()12()21()()(01=³-=-£=£+=£=>>y F y y F y X P y X P y Y P y F y Y X Y 时，当时，当故 ïîïíì>>=+=其他的概率概率密度函数为,001,21)(21y y f X Y Y（3）2X Y =，当0)()()(02=£=£=£y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()()(02y F y F y X y P y XP y Y P y F y X X Y --=££-=£=£=>时，当故 ïîïíì£>==-0,00,21)(22y y e yy f X Y y Y p 的概率概率密度函数为27、()()ïîïíì<<+=其它201381x x x f X()()p p 4,02,02Î=ÞÎx y x 当y 0£时,()0=y F Yp 40<<y (){}þýüîíì££-=£=p p p y X yP y X P y F Y2()()òò+==-pppyyyx dx x dx x f 01381p 4³y()()113812=+=þýüîíì££-=òdx x y X yP y F Y p p时当p 4,0¹¹\y y ()()ïîïíì><<<×÷÷øöççèæ+×==pp p p 4,0040211381'y y y y yy F y f Y Y()ïîïíì<<+=\其它40161163p p p y yy f Y28、因为X 与 Y 相互独立，且服从正态分布),0(2s N2222221)()(),(sp sy x Y X ey f x f y x f +-==由知，22Y XZ+=0)(0=£z f z Z 时，当时，当0>z òò----=xxx z x z Z z F 2222)(2222221spsy x e+-dydx=2222220202121sspq p sz r zedr rd e---=òòïîïíì³=-其他,0,)()2(222z ez z f z Z ss29、ïîïíì<<-=其他,011,21)(x x f X))1arctan()1(arctan(21)1(21)()()(112--+=+=-=òò+-¥¥-z z dy y dy y f y z f z f z z Y X Z pp30、0)(0=£z f z Z时，当时当0>z2)()()(2302)(z e dy ye edy y f y z f z f zyzyz YX Zll l l l l ----¥¥-==-=òò31、îíì<<=其他,010,1)(x x f X ， íì<<=其他,010,1)(y y f Y ，ïïîïïíì££-=<£==-=òòò-¥¥-其他,021,210,)()()(110z zY X Z z z dy z z dy dy y f y z f z f32 解（1）()()îíì£>=ïîïíì£>==---¥+¥-òò00030023,3203x x e x x dye dy y xf x fxxX()()ïîïíì££=ïîïíì££==òò¥+-¥+¥-其它其它20212023,03y y dx e dx y x f y f xY（2）()()îíì>-£=ïîïíì>£==--¥-òò100030303x e x x dt e x dt t f x F xx txX X()()ïïîïïíì³<£<=ïïîïïíì³<£<==òò¥-21202121202100y y yy y y dt y dt t f y F y yY Y ()(){}()()Z F Z F Z Y X P Z FY X ×=£=\,max max ()ïïîïïíì³-<£-<=--21201210033z e z z ez Z z（3）()÷øöçèæ-=þýüîíìì£<211121max max F F Z P ()21121121233×÷÷øöççèæ---=--e e 233412141--+-=ee33、（1）ïîïíì<<=其他率密度为）上服从均匀分布，概，在（,00,1)(10l x lx f X X（2）两个小段均服从上的均匀分布),0(l ,ïîïíì<<=其他,010,1)(1x lx f X),m i n (21X X Y =, 2)1(1)(ly y F Y --=ïîïíì<<-=其他,00,)(2)(2l y l y l y f Y 34、（1）U 的可能取值是0，1，2，31201}2,3{}1,3{}0,3{}3{12029}2,1{}2,0{}2,2{}1,2{}0,2{}2{32}1,1{}0,1{}1,0{}1{121}0,0{}0{===+==+=======+==+==+==+=======+==+=========Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P y X P U P Y X P U P U 0 1 2 3 P12132120291201(2) V 的可能取值为0,1,2}2{4013}1,3{}1,2{}2,1{}1,1{}1{4027}0,3{}0,2{}0,1{}2,0{}1,0{}0,0{}0{=====+==+==+=======+==+==+==+==+====V P Y X P Y X P Y X P Y X P V P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V PV 0 1 2 P40274013(3) W 的可能取值是0，1，2，3，4，5 0}5{}4{121}2,1{}1,2{}0,3{}3{125}2,0{}1,1{}0,2{}2{125}1,0{}0,1{}1{121}0,0{}0{=======+==+=======+==+=======+=========W P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P W P Y X P W PW 0 1 2 3 P121125125121概率统计第三章习题解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P529)(=X E2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数，为取到的电视机中包含的次品数， 2,1,0,}{3123102===-k CC C k X P kkX 0 1 2 p k 221222922121)(=X E4、设X 为所得分数为所得分数 5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P1249)(=X E5、（1）由}6{}5{===X P X P ，则，则l l l l --=e e !6!565 解出6=l ，故6)(==l X E（2）由于åå¥=-¥=--=-11212211)1(66)1(k k k k kkkpp 不是绝对收敛，则)(X E 不存在。

概率教材习题解

概率统计第一章教材习题选解习题1-21．已知B A ⊂，()4.0=A P ，()6.0=B P .求：（1）()A P ，()B P ；（2）()AB P ；（3）()B A P +；（4）()B A P ；（5）()B A P ⋅，()A B P .解：（1）()()6.01=-=A P A P ，()()4.01=-=B P B P ；（2）()()4.0====⊂A P AB P BA ；（3）()()6.0====+⊂B P B A P B A ；（4）()()()()()()2.0=-=-=-=A P B P AB P B P A B P B A P ；（5）()()()()4.011=-=+-=+=⋅B P B A P B A P B A P ，()()()0=-=AB P A P A B P .2．设B A ,是两事件，且()6.0=A P ，()7.0=B P .问分别在什么条件下，()AB P 取得最大值和最小值？最大值和最小值各为多少？解：因为()()()()B A P B P A P AB P +-+=，所以要使()AB P 最大，只要()B A P +最小；要使()AB P 最小，只要()B A P +最大.而()B A A +⊆，()B A B +⊆，则()()B A P A P +≤，()()B A P B P +≤. 于是B A ⊃或A B ⊃.又因为()()A P B P <，则B A ⊃不合题意.故，当A B ⊃时，()()()()()()()()6.0==-+=+-+=A P B P B P A P B A P B P A P AB P 最大；当Ω=+B A 时，()B A P +最大，()()()()3.0=+-+=B A P B P A P AB P 最小.3．已知B A ,是二事件，且()5.0=A P ， ()7.0=B P ，()8.0=+B A P .试求()A B P -与()B A P -. 解：因为()()()()4.0=+-+=B A P B P A P AB P ，所以()()()3.0=-=-AB P B P A B P ,()()()1.0=-=-AB P A P B A P .4．已知()()41==B P A P ，()21=C P ，()81=AB P ，()()0==CA P BC P .试求C B A ,,中有一个发生的概率.解：()()()()()()()()ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++因为()()()0==CA B P CA P ABC P ，而ABC AC ⊇，所以()()0=≥ABC P AC P ，即()0=AC P . 故，()()()()()()()()ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++()()()()()87=-++=++AB P C P B P A P C B A P . 5．书架上有一部五卷册的文集，求各册自左至右或自右至左排成自然顺序的概率. 解：设A 表示“一部五卷册的文集，各册自左至右或自右至左排成自然顺序”，则()601!5!2==A P . 6．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有一件次品的概率.解：设A 表示“任取3件产品，求其中恰有一件次品”，则()3929935024515==C C C A P .7．n 个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两人一定坐在一起（即座位相邻）的概率. 解：首先必须搞清楚，这是一个环状排列问题.这种排列是无首尾之分的，而我们所熟悉的是线状排列问题.环状排列一种，相当于线状排列n 种.设A 表示“n 个朋友随机地围绕圆桌就座，其中甲，乙两人一定坐在一起”，则按线状排列时，首先考虑将甲，乙两人排在一起，有!2种排法，然后把这两人视为一个元素，再与其它的()1-n 的元素作全排列，共有()!1!2-n 种，而对应的环状排列有()()1!1!2--n n 种，于是()()()12!1!1!2-=--=n nn n n A P .8．某油漆公司发出17桶油漆，其中白油漆10桶，黑油漆4桶，红油漆3桶，在搬运过程中所有的标签脱落，交货人随机地将这些油漆发给顾客，问一个订货为4桶白油漆，3桶黑油漆和2桶红油漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：设A 表示“能按所订颜色如数得到订货”，则()24312529172334410==C C C C A P . 9．设有N 件产品，其中M 件次品，今从中任取n 件，（1）求其中恰有()()n M k k ,m in ≤件次品的概率；（2）求其中至少有两件次品的概率.解：（1）设A 为“从N 件产品中任取n 件，其中恰有()()n M k k ,m in ≤件次品”，则()nNkn MN k M C C C A P --=. （2）设B 为“从N 件产品中任取n 件，其中至少有两件次品”，则考虑逆事件的概率有：()()B P B P -=1，其中：B 表示“从N 件产品中任取n 件，其中次品件数不多于两件”.于是，()()nNn MN M n M N M C C C C C B P B P 11011---+-=-=. 10．将一枚骰子重复地掷n 次，试求掷出的最大点数为5的概率.解：设k A “n 次投掷中恰有k 次掷出5点，且其他各次小于5点”，则所求概率为：()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++--0222112164616461646161n nn n n n n nn C C C A A A P ΛΛ.点评：本题不管是直接计算还是从对立事件着手都是困难的，但利用减法公式是简洁的. 设A “最大点数为5”，B“最大点数不超过5”，C “最大点数不超过4”，则B C ⊂，且C B A -=，于是()()()()nnn n n n n C P B P C B P A P 6456465-=-=-=-=. 11．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率.解：设甲乙两船到达的时刻为y x ,，则(){}240;240,≤≤≤≤=Ωy x y x .(){}y x x y y x A +≥+≥=21,或.显然，()11521013=A P . 点评：若甲船先到，则乙船必须晚到一小时x y +≥1；若乙船先到，则甲船必须晚两小时到达y x +≥2.12．（91数1-3）随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，试求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率. 解：.1212cos 20402πθπθπ+===⎰⎰a D rdr d a S S P 半圆点评：此题求面积时可用定积分或二重积分.习题1-31．已知()3.0=A P ，()4.0=B P ，()5.0=B A P ，求条件概率()B A B P +.解：()()()()()()()()()()()()B A P B P A P AB P B A P B P A P B B P AB P B A P B B AB P B A B P --+=-++=++=+1 因为()()()()5.0=-=-=AB P A P B A P B A P ，所以()()()B A P A P AB P -=.故，()B A B P +()()()()()()()()()4111=--+-=--+=B A P B P A P B A P A P B A P B P A P AB P .2．已知()5.0=A P ，()6.0=B P ，()8.0=A B P ，求()AB P 及()B A P ⋅.解：()()()4.0==A B P A P AB P ；()()()()()()3.011=+--=+-=+=⋅AB P B P A P B A P B A P B A P .3．某种动物由出生活到20岁的概率为8.0，活到25岁的概率为4.0，这种动物已经活到20岁，再活到25岁的概率是多少？解：设A “这种动物由出生活到20岁”，B “这种动物由出生活到25岁”，则A B ⊂，故所求概率为：()()()()()218.04.0====A PB P A P AB P A B P . 4．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（分别用条件概率的定义计算和条件概率的含义（即用缩减后的样本空间）计算）.解法（一）：设A 表示“两颗骰子的点数之和为7”，B 表示“其中有一颗为1点”，则所求概率为：()()()31666222===A P AB P A B P . 解法（二）：考虑缩减后的样本空间（即两颗骰子的点数之和为7）：()()()()()(){}4,3,5,2,6,1,3,4,2,5,1,6=Ω，()(){}6,1,1,6=A ，故()31=A P . 点评：缩减后的样本空间只含有6个基本事件，而原样本空间含有36个基本事件. 5．某人有一笔资金，他投入基金的概率为58.0，购买股票的概率为28.0，两项同时都投资的概率为19.0，（1）已知他已经投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解：设A “投入基金”，B “购买股票”，则()58.0=A P ，()28.0=B P ，()19.0=AB P ，于是，已知他已经投入基金，再购买股票的概率是：()()()581958.019.0===A P AB P A B P . 已知他已购买股票，再投入基金的概率是：()()()281928.019.0===B P AB P B A P . 6．袋中有r 只红球，t 只白球，每次从袋中任取一只球，观察颜色后放回，并再放入a 只与取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率（此题为波利亚模型，它是一个包含了许多重要的随机现象的模型，请读者思考一下，什么样的现象可以归结于这一模型）.解：设()4,3,2,1=i A i 表示“第i 次取到红球”，则所求概率为：()4321A A A A P ⋅⋅⋅()()()()()()a t r a t r a t r t r a t a r rt 32+++++++++=. 7．已知10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样.求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只正品，一只次品. 解：设21,A A 分别表示“第1，2次取的是正品”，则（1）()()()45289710812121=⋅==A A P A P A A P . （2）()()()4519110212121=⋅==⋅A A P A P A A P .（3）()()()()()()()12112121212121A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A P +=+=+45169810292108=⋅+⋅=. 8．已知()3.0=A P ，()5.0=B P ，()15.0=AB P ，验证()()B P A B P =，()()B P A B P =，()()A P B A P =，()()A P B A P =.证明：()()()()B P A P AB P A B P ===5.0；()()()()()()()()A P AB P B P A P A B P AP A B P A B P --=--==11 ()B P ==-=5.07.015.05.0.同理可证其他.9．第一个盒子中有5只红球，4只白球；第二个盒子中有4只红球，5只白球.先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.解：设1B “从第一只盒子中取得2 只红球”，2B “从第一只盒子中取得2 只白球”，3B “从第一只盒子中取得一只红球，一只白球”，A “从第二只盒子中取到一只白球”. 由全概率公式得：()()()9953116951176111518531=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P . 10．某产品主要由三个厂家供货. 甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的%15，%80，%5.其次品率分别为02.0，01.0，03.0. 试计算：（1）从这批产品中任取一件是合格品的概率；（2）已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品，问这件产品由哪家生产的可能性大？解：设1B ，2B ，3B 分别表示“任取一件产品是甲，乙，丙厂生产的”，A 表示“从这批产品中任取一件是合格品”则()()()0125.003.005.001.08.002.015.031=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P .11．将两信息分别编码为X 和Y 后传送出去，接收站接收时，X 被误收作Y 的概率为02.0，而Y 被误收作X 的概率为01.0.信息X 与信息Y 传送的频繁程度之比为1:2.若接收站收到的信息是X ，问原发信息也是X 的概率是多少？解：设A “发出信号X ”，B “收到信号X ”，则由Bayes 公式可知：()()()()()()()19719601.03198.03298.032=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P . 12．设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任选一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解：设21,A A 分别表示“第一，二次取得一等品”，21,B B 分别表示“取到第一箱，第二箱中的零件”.（1）由全概率公式得：()()()4.02130182150102111=⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P . （2）由全概率公式得：4856.0=.习题1-41．设()7.0=A P ，()8.0=B P ，()8.0=A B P .问事件A 与B 是否相互独立？解：因为()()()56.0==A B P A P AB P ，而()()56.0=B P A P ，即()()()B P A P AB P =，所以事件A 与B 是相互独立的.2．设C B A ,,是三个互相独立的随机事件，且()10<<C P ，问AC 与C 是否相互独立？解：因为()()()()()()01>-==+⋅=+=⋅C P C P C C A P C A C P C AC P ，()()()[]()()()[]()C P C P A P C P AC P C P AC P C B A -=====-=11,,独立，所以当()0=A P 时，()()()()C P C P AC P C AC P ==⋅，故AC 与C 是相互独立的.否则，AC 与C 是不相互独立的. 点评：因为C AC ⊂，所以C AC ⊃，从而()()C P C AC P =⋅.3．已知()a A P =，()3.0=B P ，()7.0=+B A P .（1）若事件A 与B 互不相容，求a ；（2）若事件A 与B 相互独立，求a .解：（1）若事件A 与B 互不相容，则()()()()A B P B P A P B A P -+=+()()()()()()()()()AB P A P AB P B P B P A P A B P B P A P +-=+-+-=--+=11，因为A 与B 互不相容，所以()0=AB P ，从而()()3.0117.0=⇒-=-==+a a A P B A P . （2）若事件A 与B 相互独立，则()()()()A B P B P A P B A P -+=+()()()B P A P A P +-=1，从而()()()()a a B P A P A P B A P 3.0117.0+-=+-==+，故73=a . 4．设A 与B 相互独立，且()α=A P ，()β=B P ，求下列事件的概率：（1）()B A P +；（2）()B A P +；（3）()B A P +.解：（1）()αββα-+=-+=+)()()()(B P A P B P A P B A P ；（2）()()()B A P B P A P B A P -+=+)(，当A 与B 相互独立时，A 与B 也是独立的，则αββ+-=1；（3）()()()()()αβ-=-=-==+111B P A P AB P AB P B A P .5．已知事件A 与B 相互独立，且()91=⋅B A P ，()()B A P B A P =，求()A P ，()B P . 解：()()()()()()()()AB P B P AB P A P A B P B A P B A P B A P -=-⇔-=-⇔=()()B P A P =⇔，从而有()()B P A P =.当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 也独立，则()()()9191=⇔=⋅B P A P B A P ，于是()()31==B P A P ，()()32==B P A P . 6．三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，41，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少？解：设C B A ,,分别表示“甲，乙，丙能独立地译出此密码”，则()()()()()()4332541111⨯⨯-=-=⋅⋅-=++-=++C P B P A P C B A P C B A P C B A P 53=.7．对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别是7.0,5.0,4.0，求：（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）在这三次射击中，至少有一次命中目标的概率.解：设C B A ,,分别表示“第一，二，三次射击时命中目标”.（1）()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A C B A C B A P ++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）()()()()()()C P B P A P C B A P C B A P C B A P -=⋅⋅-=++-=++11191.03.05.06.01=⨯⨯-=.8．一个元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性，设4个独立工作的元件4,3,2,1求这一系统的可靠性.解：设i A 表示“第i 个元件可靠”)4,3,2,1(=i ，则所求概率为：()()()413214321A A A A A P A A A A P +=+ ()()()432141321432141321p p p p p p p p p A A A A P A A P A A A P -+=-+=.9．设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二个盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两个盒子中各取一只球.（1）求至少有一只兰球的概率；（2）求有一只兰球，一只白球的概率；（3）已知至少有一只兰球，求有一只兰球一只白球的概率.解：设111,,C B A 分别表示“从第一只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”，设222,,C B A 分别表示“从第二只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”.（1）()()()()()959774111121212121=⨯-=-=⋅-=+-=+A P A P A A P A A P A A P ; （2）()()()()()()()212121212121A P C P C P A P A C P C A P A C C A P +=+=+631692729473=⨯+⨯=. （3）()()()()()21212121212121A A P A A A C C A P A A A C C A P +++=++，因为()()212121A A A C C A +⊂+，所以()()()()2121212121A C C A P A A A C C A P +=++. 故，()()()()()()()3121212121212121212121=++=+++=++A A P A C C A P A A P A A A C C A P A A A C C A P .10．（先下手为强）甲、乙两人射击水平相当，于是约定比赛规则：双方对同一目标轮流射击，若一方失利，另一方可以继续射击，直到有人命中目标为止.命中一方为该轮的获胜者.你以为先射击者是否一定沾光？为什么？解：设i A 表示“第i 次射击时命中目标”()Λ,2,1=i ，B 表示“甲获胜”，假设由甲先发第一枪，又设甲，乙两人每次射击时的命中率为p ，未命中的概率为q ，则1=+q p .qq p +=-=1112，于是乙获胜的概率为：()()q qB P B P +=-=11.因为10<<q ，故()()B P B P >.即，先下手为强.第一章总习题1．填空题（1）假设B A ,是两个随机事件，且B A AB ⋅=，则()=+B A ，()=AB ；解：()()Ω=+⇔+=+++⇔B A B A B B A A .Φ=Φ⋅=⇔⋅⋅=⇔⋅=A AB B B A ABB B A AB .（2）假设B A ,是任意两个事件，则()()()()[]()=++++B A B A B A B A P . 解：()()()()[]()()()()[]B A B A B A B A P B A B A B A B A P ++++=++++()()[]()0=Φ=++=P B B A B B A P .2．选择题（1）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，()8.0=B A P ，则下列结论正确的是(). （A ）事件A 与事件B 相互独立；（B ）事件A 与事件B 互逆；（C ）A B ⊃；（D ）())()(B P A P B A P +=+.解：因为()56.0)()(==B A P B P AB P ，而56.0)()(=B P A P ，即)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 相互独立，选（A ）.（2）设B A ,为两个互逆的事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是(). （A ）()0>A B P ；（B ）())(A P B A P =；（C ）()0=B A P ；（D ）)()()(B P A P AB P =.解：因为B A ,为两个互逆的事件，所以当事件B 发生时，事件A 是不会以生的，故()0=B A P .选（C ）.（3）设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，()()1=+B A P B A P ，则下列结论正确的是(). （A ）事件A 与事件B 互不相容；（B ）事件A 与事件B 互逆；（C ）事件A 与事件B 不互相独立；（D ）事件A 与事件B 互相独立. 解：因为()()()()()()()()()()1111=-++⇔=⋅+⇔=+B P BA PB P AB P BP B A P B P AB P B A P B A P)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 互相独立.选（D ）.3．从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率. 解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.设A 表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则()4101212124511)(C C C C C A P A P -=-= 2113=. 4．（找次品问题）盒中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只进行测试，直到4只次品晶体管都找到为止，求第4次品晶体管在第五次测试中被发现的概率. 解：设i A 表示“第i 次找到次品晶体管”()5,4,3,2,1=i ，则所求概率为：1052617283941064=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯=.5．（讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金1000元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲2胜1负.由于特殊原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平?解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可.比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜. 甲获胜的预期概率为：()()()()43212121544544=⨯+=+=+A P A P A P A A A P . 于是，甲应分得1000元奖金中的750100043=⨯元，乙分得250元.6．4张卡片标着1到4，面朝下放在桌子上，一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡片上的号码.如果他是冒者而只能随机地猜一下，他至少猜中一个的概率p 是多少？解：由古典概型下概率的定义可知：85!41!40444342414=-=+++=C C C C C p . 7．甲从10,8,6,4,2中任取一个数，乙从9,7,5,3,1中任取一个数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率.解：设i A 表示“甲取的数为()10,8,6,4,2=i i ”，k B 表示“乙取的数为()9,7,5,3,1=k k ”，则所求概率为：由于甲、乙取数是相互独立的，则由独立性的性质可知：()()()k i k i B P A P B A P =，且()51=i A P ，()51=k B P ，()9,7,5,3,1;10,8,6,4,2==k i . 以上概率为：5315251=⨯.8．从数字9,,,3,2,1Λ中可重复地任取n 次，每次取一个数，求n 次所取数的乘积能被10整除的概率.解：n 次取得的数的乘积能被10整除，相当于取得的n 个数中至少有一个是偶数，另一个是5.设A 表示“所取的数是5”，B 表示“所取的数中至少有一个是偶数”，则所求概率为：nn n n 94581-+-=.9．向正方形区域(){}1,1,≤≤=Ωy x y x 中随机地投一个点，如果()y x ,是所投点M 的坐标，试求：（1）02=++y xt t 有两个实根的概率；（2）方程02=++y xt t 有两个正实根的概率. 解：（1）设A 表示“02=++y xt t 有两个实根”02=++y xt t 有两个实根的充要条件是 042≥-y x ，即(){}04,2≥-=y x y x A .故()24134242102=+=⎰dx x A P . （2）设B 表示“方程02=++y xt t 有两个正实根”，则方程02=++y xt t 有两个正实根的条件是：042≥-y x ，0>-x ，0>y ，即(){}0,0,04,2><≥-=y x y x y x B .故()48144012==⎰-dx x B P . 10．将四个球任意地放到四个盒子中去，每个盒子中容纳球的个数不限，如果已知前两个⎝⎛x球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率.解：设A 表示“前两个球放在不同的盒子中”，B 表示“有一个盒子中恰好有两个球”，则所求概率为：()()()8114141224121224===C C C C C C C A P AB P A B P .11．设M 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件.（1）在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率.解：设i A 表示“取出的两件产品中有i 件合格品”，则()22M i mi m M i C C C A P --=()2,1,0=i . （1）()()()()()()12112222010010100100---=-=+=++=+--m M m C C C C C A A P A P A A P A A A P A A A P MmMM mm M . 或()()()()()()()()()10010010100100A P A P A P A A P A P A A P A A A P A A A P +=+=++=+121211220220---=+=---m M m C C C C C C C C C Mmm M M m m M M mm M . （2）()()()()()()()()1221121211211-+=+=++=+m M mA P A P A P A P A P A A A P A A A P .12．口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一个，取后不放回，求第三次才取到红球的概率.解：设i A 表示“第i 次取得红球()3,2,1=i ”，则所求概率为：()()()()089.011812119117120118213121321=⨯⨯=⋅=⋅⋅C C C C C C A A A P A A P A P A A A P .13．12个乒乓球全是新的，每次比赛时取出3个用完后放回去.（1）求第三次比赛时取到的三个球都是新球的概率；（2）问在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到几个新球的概率最大？解：设事件i i i C B A ,,分别表示第一、二、三次比赛时取到i 个新球()3,2,1,0=i . （1）由全概率公式，()()()∑==3033i i i B C P B P C P .其中：()()3,2,1,0312339==-i C C C B P i i i ，()()3,2,1,0312393==-i C C B C P ii . 故()()()146.03312393123393033≈⋅==∑∑=--=i ii i i i i C C C C C B C P B P C P . （2）容易求得，()70568430=C B P ，()7056151231=C B P ，()7056378032=C B P ，()7056168033=C B P . 故在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到两个新球的概率最大.14．（有关经济的忠告）美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三种不同经济理论的顾问C B A ,,，总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对失业率的影响，每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，预测是以失业率将减少、保持不变或上升的概率来给出的，见下表.用字母C B A ,,分别表示顾问C B A ,,的经济理论是正确的事件，根据以往总统与这些顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问正确的经济理论可能的一个估计，分别为：()61=A P ，()31=B P ，()21=C P .假设总统采取了所提出的新政策，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其经济顾问的理论的正确的估计？解：设I 表示“失业率上升”，则()()()()()()()C I P C P B I P B P P A I P A P I P ++=3.02.0212.0318.061=⨯+⨯+⨯=. 由Bayes 公式得：()()()()943.08.061=⨯==I P A I P A P I A P ，()()()()923.02.031=⨯==I P B I P B P I B P ，()()()()933.02.021=⨯==I P C I P C P I C P .总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为：()94=I A P ，()92=I B P ，()93=I C P . 15．设一枚深水炸弹击沉一艘潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求出击不沉的概率.）解：设A 表示“施放4枚深水炸弹击沉潜水艇”，则()()43344613121616111-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C A P A P .16．设有五个独立工作的元件,5,4,3,2,1（称为桥式系统），试求出该系统的可靠性.解：设i A 表示“第i 个元件可靠()5,4,3,2,1=i ”所求概率为：()()()54325432154321543225224p p p p A A A A A P A A A A A P A A A A P +-+=-+-.17．（下赌注问题）17世纪未，法国的De Mere 爵士与人打赌，在“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”的情况下他赢了钱，可是在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情况下却输了钱，从概率论的角度解释这是为什么？解：应分别求出“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”和“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的概率，比较这两个概率的大小即可作出解释.设A “一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”，B “两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”；再设i A “第i 次抛掷时出现六点()4,3,2,1=i ”，k B “第k 次抛掷时出现双六点”，则()()()()518.0651144321≈⎪⎭⎫⎝⎛-=-=A P A P A P A P .此概率大于5.0，故赢钱的可能性大.()()()491.0363511242421≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B P B P B P Λ.此概率小于5.0，故赢钱的可能性小.请注意，在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情形中，当抛掷次数25>n 时，这时的概率大于5.0，且抛掷次数超过25次越多越有利，这是因为136351lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n . 18．要验收一批100件的乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为95.0，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为01.0，如果已知这100件乐器中恰好有4件音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解：设i H 表示“随机取出的三件乐器中有i 件音色不纯()3,2,1,0=i ”，A 表示“这批乐器被接收”，则()31003960C C H P =，()3100296131C C C H P =，()3100196242C C C H P =，()3100343C C H P =，()()3099.0=H A P ，()()05.099.021⨯=H A P ，()()2205.099.0⨯=H A P ，()()3305.0=H A P .于是，由全概率公式得：()()()6829.03==∑=i i i H A P H P A P .。

概率论第一章习题解答

概率论第一章习题解答一、填空题:1.设,()0.1,()0.5,A B P A P B ⊂==则()P AB = ,()P A B = , ()P A B = 。

分析：()(,)0.1;A P B P AB A ==⊂()()0.5;P A B P B ==()()()1()0.9P A B P A B P AB P AB ===-=2.设在全部产品中有2%是废品,而合格品中有85%是一级品,则任抽出一个产品是一级品的概率为。

分析：设A 为抽正品事件，B 为抽一级品事件，则条件知()1()0.98P A P A =-=，()0.85P B A =，所求为()()()0.980.850.833P B P A P B A ==⨯=；3.设A ，B ，C 为三事件且P(A)=P(B)=P(C)=41,81)(,0)()(===AC P BC P AB P ,则A,B,C 中至少有一个发生的概率为 .分析：,()()0,()0ABC AB P ABC P AB P ABC ⊆≤=∴= 所求即为5()()()()()()()()8P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+=； 4.一批产品共有10个正品和2个次品,不放回的抽取两次,则第二次取到次品的概率为 .分析：第二次取到次品的概率为112111211C C ⨯或者为111110*********C C C C +=⨯ 5. 设A ，B 为两事件, ()0.4,()0.7,P A P A B == 当A ，B 不相容时, ()P B = 当A ，B 相互独立时, ()P B = 。

分析： (1)当A ，B 不相容时, ()0P AB =;()()()()P A B P A P B P AB =+- 由；则()()()()0.3P B P A B P A P AB =⋃-+=；（2）当A ，B 相互独立时, ()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P AB =⎧⎨=+-⎩ ；则()(()(()))P A B P A P P P B B A =+- 由，代入求得()0.5P B =二.、选择题2.每次试验成功的概率为p (0< p <1),进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为( )。

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