2019-2020年高一数学 函数的表示法 第三课时 第二章
新人教版高一数学必修一目录
新人教版高一数学必修一目录
一、第一章函数
1. 基本概念
2. 函数的表示法
3. 函数的图象
4. 函数的性质
二、第二章曲线
1. 曲线的表示法
2. 曲线的切线
3. 兰联形曲线
4. 椭圆曲线
5. 双曲线
三、第三章相关与回归
1. 相关系数
2. 线性回归与回归直线
四、第四章初等函数
1. 指定法求方程的根
2. 二次函数及加减乘除法
3. 牛顿迭代法求方程的根
五、第五章指数函数
1. 指数函数的基本性质
2. 常用指数函数
3. 对数函数及其应用
六、第六章对数函数及其应用
1. 对数函数的基本性质
2. 对数函数及其应用
七、第七章几何极限
1. 无穷小分析法
2. 无穷量极限
3. 二元函数极限
4. 级数的极限
八、第八章函数的微分
1. 导数的概念
2. 定义型微分
3. 导数的性质及应用
九、第九章函数的积分
1. 定积分及其应用问题
2. 微积分的应用ii
3. 曲线的积分性质。
2019-2020学年高中数学新教材必修一第3章 3.1.1 第2课时 函数的表示方法
28
①当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝x＋2x－2×2＝2x－2； ③当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x)2 ＝－12(x－7)2＋10.
栏目导航
综合①②③，得函数的解析式为 12x2，x∈[0，2]，
y＝2x－2，x∈2，5]， －12x－72＋10，x∈5，7].
29
栏目导航
图像如图所示．
30
栏目导航
31
求函数解析式的常用方法 1待定系数法：若已知fx的解析式的类型，设出它的一般形 式，根据特殊值确定相关的系数即可. 2换元法：设t＝gx，解出x，代入fgx，求ft的解析式即可. 3配凑法：对fgx的解析式进行配凑变形，使它能用gx表示 出来，再用x代替两边所有的“gx”即可.
栏目导航
25
[解] (1)法一(换元法)：令t＝ x ＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入 原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f( x ＋1)＝x＋2 x ＋1－4 x －4＋3＝( x ＋1)2－ 4( x＋1)＋3，
因为 x＋1≥1， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
栏目导航
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f(f(x))＝4x＋8， 所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
a2＝4，
a＝2， a＝－2，
即ab＋b＝8， 解得b＝83
栏目导航
47
当堂达标 固双基
1【课件(人教版)】第1课时 函数的表示法
法二：(换元法) 令 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝(t－1)2(t≥1)， 所以 f(t)＝(t－1)2＋2 （t－1）2＝t2－1(t≥1)． 所以 f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)f(x)＋2f1x＝x，令 x＝1x， 得 f1x＋2f(x)＝1x.
于是得到关于 f(x)与 f1x的方程组
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数， 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的 关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变 量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．
1．(2020·辽源检测)设函数 f11－ ＋xx＝x，则 f(x)的表达式为
解析：选 A.法一：令 2x＋1＝t，则 x＝t－2 1.
所以 f(t)＝6×t－2 1＋5＝3t＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
法二：因为 f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
()
3．已知函数 f(x)＝x－mx ，且此函数的图象过点(5，4)，则实数 m 的值为 ________． 解析：因为函数 f(x)＝x－mx 的图象过点(5，4)， 所以 4＝5－m5 ，解得 m＝5. 答案：5
5．已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)． 解：因为 f(x)是二次函数，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝1，得 c＝1. 由 f(x＋1)－f(x)＝2x， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
4．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
高一数学目录-人教版
第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 1．1 集合集合1．2 函数及其表示函数及其表示 1．3 函数的基本性质函数的基本性质 实习作业实习作业 小结小结 复习参考题复习参考题第二章第二章 基本初等函数（Ⅰ）基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数指数函数 2．2 对数函数对数函数 2．3 幂函数幂函数 小结小结 复习参考题复习参考题第三章第三章 函数的应用函数的应用 3．1 函数与方程函数与方程 3．2 函数模型及其应用函数模型及其应用 实习作业实习作业 小结小结 复习参考题复习参考题 必修一必修一第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 1．1 集合集合1．2 函数及其表示函数及其表示 1．3 函数的基本性质函数的基本性质实习作业实习作业 小结小结复习参考题复习参考题第二章第二章 基本初等函数（Ⅰ）基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数指数函数 2．2 对数函数对数函数 2．3 幂函数幂函数 小结小结 复习参考题复习参考题第三章第三章 函数的应用函数的应用 3．1 函数与方程函数与方程 3．2 函数模型及其应用函数模型及其应用 实习作业实习作业 小结小结 复习参考题复习参考题 必修二必修二第一章第一章 空间几何体空间几何体 1．1 空间几何体的结构空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 实习作业实习作业 小结小结 复习参考题复习参考题第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系置关系2．2 直线、直线、平面平行的判定及其性平面平行的判定及其性质2．3 直线、直线、平面垂直的判定及其性平面垂直的判定及其性质 小结小结 复习参考题复习参考题第三章第三章 直线与方程直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 小结小结 复习参考题复习参考题 必修三必修三第一章第一章 算法初步算法初步 1．1 算法与程序框图算法与程序框图 1．2 基本算法语句基本算法语句 1．3 算法案例算法案例 阅读与思考阅读与思考 割圆术割圆术 小结小结 复习参考题复习参考题第二章第二章 统计统计2．1 随机抽样随机抽样阅读与思考阅读与思考 一个著名的案例一个著名的案例阅读与思考阅读与思考 广告中数据的可靠性广告中数据的可靠性 阅读与思考阅读与思考 如何得到敏感性问题的诚实反应的诚实反应2．2 用样本估计总体用样本估计总体 阅读与思考阅读与思考 生产过程中的质量控制图制图2．3 变量间的相关关系变量间的相关关系 阅读与思考阅读与思考 相关关系的强与弱相关关系的强与弱 实习作业实习作业 小结小结 复习参考题复习参考题第三章第三章 概率概率3．1 随机事件的概率随机事件的概率阅读与思考阅读与思考 天气变化的认识过程天气变化的认识过程 3．2 古典概型古典概型 3．3 几何概型几何概型阅读与思考阅读与思考 概率与密码概率与密码 小结小结 复习参考题复习参考题 必修四第一章 三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin （ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用 小结 复习参考题第二章 平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 小结 复习参考题第三章 三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换 小结 复习参考题 必修五必修五第一章第一章 解三角形解三角形1．1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理探究与发现探究与发现 解三角形的进一步讨论1．2 应用举例应用举例阅读与思考阅读与思考 海伦和秦九韶海伦和秦九韶 1．3 实习作业实习作业 小结小结 复习参考题复习参考题第二章第二章 数列数列2．1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 阅读与思考阅读与思考 斐波那契数列斐波那契数列 阅读与思考阅读与思考 估计根号下2的值的值 2．2 等差数列等差数列2．3 等差数列的前n 项和项和 2．4 等比数列等比数列2．5 等比数列前n 项和项和 阅读与思考阅读与思考 九连环九连环 探究与发现探究与发现 购房中的数学购房中的数学 小结小结 复习参考题复习参考题第三章第三章 不等式不等式3．1 不等关系与不等式不等关系与不等式 3．2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的线性规划问题阅读与思考阅读与思考 错在哪儿错在哪儿信息技术应用 用Excel解线性规信息技术应用划问题举例划问题举例3．4 基本不等式基本不等式小结小结复习参考题复习参考题必修三实用性和适用性在高一作用不大，所以高一上学期学必修一二，下学期学必修四五，跳过必修三学期学必修四五，跳过必修三。
函数的概念及其表示(第三课时教学设计)-高中数学人教A版2019必修第一册
3.1函数的概念及其表示（第三课时）教学设计一、内容及内容解析（一）教学内容1.函数的表示法；2.分段函数。
（二）教学内容解析学生在初中阶段已经接触了函数的三种表示，本节课直接给出函数的三种表示方法，并通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并且通过例题引进分段函数。
学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要，而且是进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识需要。
同时，基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示，因此学习函数的表示也是向学生渗透数形结合的思想，培养学生直观想象素养的重要过程。
（三）教学重点函数的三种表示法及各自的优缺点，分段函数。
二、教学目标1.通过研究实例，能总结出函数三种表示法各自的特点，体会数形结合的思想．2.通过用图象法表示一些函数，能利用函数图象探索解决问题的思路，体会利用图象简化代数运算的过程．3.通过具体实例，能认识分段函数，并能简单应用．三、教学问题诊断分析问题：提炼函数的三种表示法各自的优缺点。
突破：课本3.1.1中四个实例为学习函数的三种表示方法做了铺垫。
在实际教学中，先引导学生比较三种表示方法各自的特点，再师生一起进行评价并总结。
四、教学支持条件为了增加学生对分段函数的理解，可以利用GGB软件，作出图像，让学生观察各段图象函数解析式.五、教学过程设计上一节我们已经学习过了函数的概念，那么函数的具体表示方法有哪些呢，在不同的情境中函数如何表示呢？带着这样的疑问来深入学习一下本节课的内容吧.问题1：我们在初中已经接触过函数的三种表示法，分别是什么？如何表示？师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题.根据学生的回答，教师进行必要的补充.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.设计意图：本节课就是学习函数的三种表示方法，通过回顾初中函数表示的三种方法，为后面的学习奠定基础。
函数的概念(第2课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)
重点：理解函数的三要素：定义域、对应法则及值域，会求函数的定义域与函数值，在此过程中培养学生的逻辑推理、数据分析、数学运算的素养。
难点：进一步理解函数的对应关系f，体会函数相等的概念。
学生在第一课时已经学习过函数的概念，并对函数的概念有了深刻的理解。
在此基础上让学生理解函数的三要素、判断两个函数相等，求函数的定义域及值域相对好理解，但是抽象函数的定义域对学生是一个考验。
注意：1、区间是集合的另一种表示形
式，注意与不等式的区别。
如：x ≥－1与[－1，＋∞)是完全不同的 2、写区间的端点时，一定注意书写准确
根据具体实例结合数形结合让学
生加深对区间的
理解，使实例成
为理解概念的一
种思维载体。
【练一练】 (1)用区间表示{x |x ≥0且x ≠2}注意区间左端点
【例1】 把下列数集用区间表示： (1){x |x ≥－1}； (2){x |x <0}；
(3){x |－1<x <1}； (4){x |0<x <1或2≤x ≤4}.
；
量的值求对应的
函数值，提高学
生数学运算的核
心素养，为求函
数的值域打好基．
础。
通过函数的定义，学生自主归纳出两个函数是同一个函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养。
通过具体的例子，使学生掌握同一函数的判断方法.
通过课堂练习，巩固本节学习的内容。
新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法
题型一 题型二 题型三
反思列表法、图像法和解析法分别从三个不同的角度刻画了自 变量与函数值的对应关系.采用列表法的前提是定义域内自变量的 个数较少;采用图像法的前提是函数的变化规律清晰;采用解析法 的前提是变量间的对应关系明确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个 笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
123456
解析:由题意知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始 匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C. 答案:C
123456
3若g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案:C
123456
4某航空公司规定,乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由图中 的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为( )
题型一 题型二 题型三
题型一 函数的表示方法 【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试分别用列 表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与 收款总额y(元)之间的函数关系. 分析:明确函数的定义域 明确函数的值域 用三种表示 方法表示函数
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的三种表示方法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法. 2.会作简单函数的图像,掌握求函数解析式的一般方法.
1.函数的表示法
名师点拨函数的三种表示方法的优缺点比较.
【做一做1】 以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是 ( )
A.
x
1
2
3
4
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
2019-2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2.2分段函数
第2课时 分段函数1．会用解析法及图象法表示分段函数．2．给出分段函数，能研究有关性质．3．对生活中的一些实例，会用分段函数表示．1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝Error!其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定：①5千米以内，票价2元；②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．(1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？(2)函数的表达式是什么？(3)x与y之间有何特点？[答案] (1)有函数关系(2)y＝Error!(3)x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝Error!是分段函数．( )(3)分段函数的图象不一定是连续的．( )(4)y ＝|x －1|与y ＝Error!是同一函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√题型一分段函数求值【典例1】 已知函数f (x )＝Error!(1)求f (f (f (－2)))的值；(2)若f (a )＝，求a .32[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值．[解] (1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋＝.1232(2)当a >1时，f (a )＝1＋＝，∴a ＝2>1；1a 32当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝，32∴a ＝±∈[－1,1]；22当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝，32∴a ＝－>－1(舍去)．34综上，a ＝2或a ＝±.22(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．[针对训练]1．设函数f (x )＝Error!则f [f (3)]＝( )A. B ．3 C. D.1523139[解析] ∵f (3)＝<1，23∴f [f (3)]＝2＋1＝.(23)139[答案] D2．已知函数f (x )＝Error!若f (x )＝－3，则x ＝________.[解析] 若x ≤1，由x ＋1＝－3得x ＝－4.若x >1，由1－x 2＝－3得x 2＝4，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．综上可得，所求x 的值为－4或2.[答案] －4或2题型二分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象：①y ＝Error! ②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，求：①y 与x 之间的函数关系式；②画出y ＝f (x )的图象．[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式．[解] (1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝Error!，其图象如图2所示．(2)①y ＝Error!②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．[针对训练]3.已知函数f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式并写出f(x)的值域．[解] 由于f(x)的图象由两条线段组成，因此可设f(x)＝Error!将点(－1,0)，(0,1)代入f(x)＝ax＋b，点(1，－1)代入f(x)＝cx可得f(x)＝Error!由图象可得f(x)的值域为(－1,1).题型三分段函数的综合问题【典例3】 已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)>0；(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．[思路导引] 去掉绝对值符号，化简f(x)，再分段求解．[解] 若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；若－1<x≤3，则x－3≤0，x＋1>0，f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；若x>3，则x－3>0，x＋1>0，f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.∴f(x)＝Error!(1)－1<x≤3时，－4≤－2x＋2<4.∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．(2)f(x)>0，即Error!①或Error!②或Error!③解①得x≤－1，解②得－1<x<1，解③得x∈∅.所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)．(3)f(x)的图象如图：由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点．[变式] 若a∈R，试探究方程f(x)＝a解的个数．[解] 由例3(3)知y＝f(x)的图象，作出直线y＝a，可以看出：当a＝±4时，y＝a 与y＝f(x)有无数个交点；当－4<a<4时，y＝a与y＝f(x)有且仅有一个交点；当a<－4或a>4时，y＝a与y＝f(x)没有交点．综上可知：当a＝±4时，方程f(x)＝a有无数个解．当－4<a<4时，方程f(x)＝a有一个解．当a<－4或a>4时，方程f(x)＝a无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．[针对训练]4．已知f (x )＝Error!(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥，求x 的取值范围；14(3)求f (x )的值域．[解] (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f ＝，结合此函数图象可知，使f (x )≥的x 的取值范围是(±12)1414∪.(－∞，－12][12，＋∞)(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0,1].题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝的一部分，请根据图k x 中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？[思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式，再分段研究．[解] (1)设线段AD 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将点A (2,20)，D (0,10)代入，得Error!，解得Error!，∴线段AD 的解析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)．∵双曲线y ＝经过B (12,20)，k x ∴20＝，解得k ＝240，k 12∴BC 段的解析式为y ＝(12≤x ≤24)．240x 综上所述，y 与x 的函数解析式为：y ＝Error!.(2)当x ＝18时，y ＝＝，由于<15，24018403403∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长．(3)令y ＝15，当0≤x ≤2时，解5x ＋10＝15，得x ＝1，当12≤x ≤24时，解＝15，得x ＝16.240x 由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．[针对训练]5．A ，B 两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s (公里)关于时间t (小时)的函数关系，并画出函数图象．[解] (1)汽车从A 地到B 地，速度为50公里/小时，则有s ＝50t ，到达B 地所需时间为＝3(小时)．15050(2)汽车在B 地停留2小时，则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地，速度为60公里/小时，则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t ，从B 地到A 地用时＝2.5(小时)．15060综上可得，该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系式为s ＝Error!函数图象如图所示．课堂归纳小结1．分段函数(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样．(2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．2．与分段函数有关的实际问题要理解题意，合理引进变量，确定自变量分段的“段点”，注意在自变量分段的端点处要不重不漏.1．已知f (x )＝Error!则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析] ∵f (－7)＝10，∴f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100.[答案] A2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )[解析] ∵f (x )＝Error!分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．[答案] D3．函数f (x )＝Error!的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3][解析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤2，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3.故0≤f (x )≤2或f (x )＝3，故选B.[答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝|x －1|(0≤x ≤2)32B ．y ＝－|x －1|(0≤x ≤2)3232C ．y ＝－|x －1|(0≤x ≤2)32D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点代入，排除D 项．(1，32)[答案] B5．设函数f (x )＝Error!若f [f (a )]＝2，则a ＝________.[解析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2>0，f [f (a )]<0，显然不成立；当a >0时，f (a )＝－a 2，f [f (a )]＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±或a ＝0，故a ＝.22[答案] 2课后作业(十八)复习巩固一、选择题1．已知f (x )＝Error!则f (－2)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．2或4[解析] f (－2)＝－(－2)＝2，选A.[答案] A2．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )[解析] f (x )＝|x －1|＝Error!选B.[答案] B3．已知函数y ＝Error!使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52[解析] 当x ≤0时，令x 2＋1＝5，解得x ＝－2；当x >0时，令－2x ＝5，得x ＝－，不合题意，舍去．52[答案] A4.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f 等于( )[f (13)]A ．－ B.1313C ．－ D.2323[解析] 由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝Error!∴f ＝－1＝－，(13)1323∴f ＝f ＝－＋1＝.[f (13)](－23)2313[答案] B5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米[解析] 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝Error!由y ＝16m ，可知x >10，令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.[答案] A二、填空题6．已知函数f (x )＝Error!，则不等式xf (x －1)≤1的解集为________．[解析] 原不等式转化为Error!或Error!解得－1≤x ≤1.[答案] [－1,1]7．函数f (x )＝Error!的值域是________．[解析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤1；当1<x ≤2时，0≤f (x )<1.所以0≤f (0)≤1，即f (x )的值域为[0,1]．[答案] [0,1]8．已知f (x )＝Error!则f (－5)的值等于________．[解析] f (－5)＝f (－5＋2)＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝2×1＝2.[答案] 2三、解答题9．已知函数f (x )＝Error!(1)求f 的值；[f (12)](2)若f (x )＝，求x 的值．13[解] (1)因为f ＝－2＝－，(12)|12－1|32所以f ＝f ＝＝.[f (12)](－32)11＋(－32)2413(2)f (x )＝，若|x |≤1，则|x －1|－2＝，1313得x ＝或x ＝－.10343因为|x |≤1，所以x 的值不存在；若|x |>1，则＝，得x ＝±，符合|x |>1.11＋x 2132所以若f (x )＝，x 的值为±.13210．已知函数f (x )＝1＋(－2<x ≤2)．|x |－x2(1)用分段函数的形式表示函数f (x )；(2)画出函数f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的值域．[解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋＝1，x －x2当－2<x <0时，f (x )＝1＋＝1－x .－x －x2所以f (x )＝Error!(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．综合运用11．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝Error!则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析] 由已知得，x sgn x＝Error!而|x|＝Error!所以|x|＝x sgn x，故选D.[答案] D12.如图，抛物线y1＝ax2与直线y2＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2,4)，B(1,1)．记f(x)为max{y1，y2}，则f(x)的解析式为( )[解析] 由y1＝ax2过点B(1,1)得a＝1，∴y＝x2.由y2＝bx＋c过点A(－2,4)，B(1,1)，有Error!解得Error!∴y2＝－x＋2，结合图象可得．f (x )＝Error!，选A.[答案] A13．已知f (x )＝Error!则f ＋f 等于( )(－43)(43)A ．－2 B ．4 C ．2 D ．－4[解析] ∵f (x )＝Error!∴f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝×2＝，f ＝2×＝，(－43)(－43＋1)(－13)(－13＋1)(23)2343(43)4383∴f ＋f ＝＋＝4.(－43)(43)4383[答案] B 14．设函数f (x )＝Error!若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．[解析] 当a ≥0时，f (a )＝a －1>1，12解得a >4，符合a ≥0；当a <0时，f (a )＝>1，无解．1a [答案] (4，＋∞)15．若定义运算a ⊙b ＝Error!则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．[解析] 由题意得f (x )＝Error!画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．[答案] (－∞，1]16．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km 以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f (x )(单位：元)表示为行程x (0<x ≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16 km ，他准备先乘一辆出租车行驶8 km 后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)[解] (1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为：f(x)＝Error!＝Error!(2)只乘一辆车的车费为：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．。
2019_2020学年高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法课件新人教B版必修
目标导航
课标要求 素养达成
1.掌握函数的三种表示方法,能根据需要选择恰当的方式 表示函数. 2.理解分段函数,会求分段函数的值.
通过学习函数的三种表示方法,明确它们各自的优缺点,培 养学生数形结合解决问题的能力,以及直观想象、数学运 算的核心素养.
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
自我检测
1.下列图形可作为函数y=f(x)的图象的是( D )
解析:选项A、B、C中的图象都存在同一个x值与两个y值对应的情况不 符合函数的概念.故选D.
2.已知函数f(x)=x2-3x+1,则f(x-1)的解析式为( (A)x2-3x+1 (B)x2-x-1 (C)x2-5x+5 (D)x2-2x+1
x
5, 6,
4.8x 20.4, x 6,7.
类型五 易错辨析
【例 5】 (2018·广西桂梧月考)已知 f( x +1)=x+2 x ,则 f(x)=
.
错解:令 x +1=t,则 x =t-1. 故 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1.则 f(x)=x2-1.
C)
解析:因为f(x)=x2-3x+1,所以f(x-1)=(x-1)2-3(x-1)+1=x2-5x+5.选C.
x 1, x 0,
3.已知 f(x)= 0, x 0, x 1, x 0
,则 f(f( 1 2
))的值是(
A
)
(A) 1 2
(B)- 1 (C) 3
2
2
(D)- 3 2
解析:由题 f( 1 )= 1 -1=- 1 ,
2020学年高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法课件新人教B版必修1
分段函数求值应注意的问题 (1)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪 个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值． (2)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论， 逐段假设用不同的函数解析式，最后检验所求结果是否适合 条件．
x2，x>0， 已知 f(x)＝1，x＝0，求 f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}．
具体易用，不需
观、形 括了变量间的关系；
要计算就可以
象地表 二是可以通过解析
优点
直接看出与自
示函数 式求出任意一个自
变量的值相对
的变化 变量的值所对应的
应的函数值．
情况． 函数值．
表示方法 比较
列表法
缺点
不够全面， 只能表示自 变量取较少 的有限值的 对应关系．
图象法
只能近似 地求出自 变量的值 所对应的 函数值， 且有时误 差较大．
1．已知 f(x)＝xπ＋（1x（≤x0>）0），则 f(f(－3))＝(
)
A．－2
B．π
C．π－3 答案：D
D．π＋1
2．y＝f(x)的图象如图，则函数的定义域是________． 答案：[－5，0]∪[2，6)
3．某种笔记本每本 5 元，买 x(x∈{1，2，3，4})本笔记本的
钱数记为 y(元)，试用三种表示法表示函数 y＝f(x)． 解：(1)用列表法表示如下：
3．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则 f[g(1)]＝________；满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值是________．
2020年高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法课件新人教B版必修1
【知识点拨】 分段函数是一个函数，而不是几个函数， 画分段函数图象时，要考虑区间端点是否包含在内，在求值时， 需考虑自变量所属区间．
已知函数
f(x)
＝
xx＋1，x≥0， xx－1，x<0，
则
f[f(－1)]＝( )
A．－6
B．2
C．6
D．－2
解析：f[f(－1)]＝f(2)＝6，故选 C．
第二章 函 数
2.1 函 数 2.1.2 函数的表示方法
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|目 标 索 引| 1．掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函 数． 3．掌握分段函数的定义及其表达形式，能够运用分段函数 解决一些简单问题.
【知识点拨】 求函数解析式常用的方法：①直接法，如 (1)．②换元法，如(2)．③列方程组法，如(3)，用换元法求 f(x) 时，要特别注意正确确定中间变量 t 的取值范围．
若 f(1－2x)＝1－x2x2，那么 f12等于(
)
A．1
B．3
C．15
D．30
解析：由 1－2x＝12，得 x＝14，
(2)函数 f(x)，g(x)由下列表格给出，则 f[g(3)]等于( )
x
1234
f(x)
2431
g(x) A．4
3124 B．3
C．2
D．1
【解析】 (1)由题可知，开始时 s1＜s2，最后 s1＞s2，符合 条件的是选项 B．
(2)g(3)＝2，f[g(3)]＝f(2)＝4，故选 A．
【答案】 (1)B (2)A
答案：D
5．已知函数 f(x)满足 f(2x)＝2f(x)，且当 1≤x＜2 时，f(x)＝ x2，则 f(3)＝( )
函数知识点高一第三章总结
函数知识点高一第三章总结在高一数学课程的第三章中，我们学习了许多重要的函数知识点。
函数是数学中非常重要且广泛应用的概念，它不仅在数学中有着丰富的理论基础，还在日常生活中有着广泛的应用。
在本章总结中，我将回顾并总结本章中的重要函数知识点。
一、函数的基本概念函数是数学中的一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素上。
函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成。
其中，定义域是指函数的输入集合，值域是函数的输出集合，对应关系则描述了输入和输出之间的关系。
函数可用数学符号表示为f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
二、函数的表示法函数可以用不同的表示法来表达。
一种常见的表示方法是函数的解析式表示，即用代数表达式来表示函数。
例如，线性函数可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
另一种表示方法是函数的图像表示，通过绘制函数的图像来展示函数的特征。
三、函数的图像与性质函数的图像是函数在坐标系中的表示，它可以帮助我们直观地理解函数的性质。
我们可以通过观察函数的图像来判断函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
例如，当函数的图像在一个区间上逐渐上升时，我们称该函数在该区间上是递增的；当函数的图像关于y轴对称时，我们称该函数是偶函数。
四、函数的运算在函数的学习过程中，我们还学习了函数的运算。
常见的函数运算包括复合函数、反函数、平移与伸缩等。
通过对函数的运算，我们可以获得新的函数，并通过运算改变函数的性质。
五、函数的特殊类型在高一数学中，我们还学习了一些特殊类型的函数。
其中，常见的特殊类型包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
每种特殊类型的函数都有其独特的性质和应用，我们需要了解它们的定义、图像和特点。
六、函数的应用函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。
在数学中，函数常常用于描述物理问题、经济问题和统计问题等。
而在现实生活中，函数可以用于建模和预测，如经济增长模型、人口模型等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020年高一数学函数的表示法第三课时第二章●课题§2.2.1 函数的表示法●教学目标(一)教学知识点1.函数的表示方法.2.初等函数的图象.3.分段函数的意义.4.函数的应用.(二)能力训练要求1.使学生掌握函数的三种常用表示方法.2.使学生了解初等函数图象的几种情形.3.使学生理解分段函数的意义.4.使学生初步学会用函数的知识解决具体问题的方法.(三)德育渗透目标通过本节课的教学，使学生认识到知识无止境，对客观世界的认识也是永无止境的，树立终身学习的思想.●教学重点1.函数的表示方法.2.函数的应用.●教学难点函数的应用.●教学方法指导学生自学法和让学生通过自学的实践，自己获取知识，对提高学生的自学能力是有帮助的，教师必要的指导为学生自学扫除障碍，同时也让学生在扫除障碍的过程中，学会突破难点的方法.●教具准备幻灯片两张第一张：P55图2—6(记作§2.2.1 A)第二张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§2.2.1B)●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上节课我们学习了判定两个函数是否相同的方法及映射的概念，哪位同学来回答一下如何判定两个函数是否相同呢？［生］判定两个函数是否相同，一要看其定义域是否相同，二要看其对应关系是否相同，当两者完全一致时，这两个函数就是相同的函数，当两者有一不同或两者完全不同时，这两个函数就不是相同的函数.［师］好!谁再来回答一下函数与映射的区别呢？［生］函数与映射本质的区别是函数的两个集合都是非空数集，而映射的两个集合中的元素是任意的，它可以是数，也可以是点，还可以是图形等等.［师］很好!我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（板书课题）.Ⅱ.指导自学［师］课下同学们已经进行了自学，函数的表示方法常用的有哪几种，各有什么优点？［生］函数的表示方法常用的有三种，分别是解析法、列表法、图象法.解析法是用解析式表示两个变量的函数关系，它的优点是关系清楚，容易求函数值，便于研究函数的性质. 列表法是用表格表示两个变量的函数关系，它的优点是不必计算就可知道自变量取某些值时的函数值. 图象法是用图象表示两个变量的函数关系，它的优点是表示函数的变化情况形象直观.［师］好!（再举些例子对各种表示方法进行说明，并强调：中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数） ［师］下面请同学们看课本P 54例1、例2.（学生看课本、教师巡视）［师］例1、例2的图象有什么特点呢？［生］例1的图象是一些孤立的点，例2的图象是几条线段.［师］回答完全正确，在初中，我们学过的函数图象通常是一条光滑的（不打折）曲线（或直线）.例1、例2告诉我们函数的图象有时也可以由一些弧立的点或几段线段组成，以后我们还将看到函数的图象还可以由几段光滑的曲线组成，从例2看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.［师］例3是生活中的实际问题，对实际问题的解决，要求我们认真分析题意，将其抽象，转化成数学问题，通过解答数学问题，使实际问题得以解决，因此，解决应用问题的关键是将实际问题分析，抽象，转化成数学问题，即将实际问题数学化.下面我们一起对例3进行分析，请大家再仔细看一遍题.（学生看题）［师］圆形喷水池的直径为20 m;“计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头”告诉了我们什么？［生］告诉了喷水头的位置，即喷水头距水池中心10 m,其高度与水面一致，视为 OM .［师］“喷出的水柱”其轨迹是什么类型？［生］由物理学知识可知喷出的水柱轨迹为抛物线型.［师］“各方向喷来的水柱在装饰物处汇合”是什么意思？［生］各方向喷出的水柱交汇在水池的中心线上（学生比划，这条中心线实质上是过水池中心水面的垂线），关于水池中心各相对方向喷出的水柱也交汇在水池的中心线上.（学生的回答不可能一下子达到准确的程度，教师要及时予以启示，诱导）［师］据以上分析，假如我们过水池中心线任意作一个截面，请同学们试画出截面的形状.（几位学生在黑板上试画）（和同学们一起分析了学生画的图形，打出幻灯片 §2.2.1A ）解：过水池中心任意选取一个竖立的截面如图所示，由物理学知识可知，喷出的水柱轨迹是抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，据已知，水柱上任意一点距中心的水平距离x （m ）与此点的高度y （m ）之间的函数关系是y =⎩⎨⎧≤≤+-<≤-++)100(6)4()010(6)4(2221x x a x x a 由x =-10,y =0，得a 1=-,由x =10,y =0得a 2=-,于是，所求的函数解析式是y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+--<≤-++-)100(6)4(61)010(6)4(6122x x x x当x=0时，y=即装饰物的高度应为m.Ⅲ.课堂练习课本P56练习1，2，3Ⅳ.课时小结［师］本节课我们学习了哪些知识呢？请同学们总结一下.[生甲]函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线，还可以是一些弧立的点.[生乙]还可以是若干条线段.[生丙]学习了函数知识的应用.[生丁]应用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题数学化.[生戊]实际问题数学化就是要认真分析题意，将实际问题抽象，转化成数学问题.[师]好!同学们总结了本节课所学习的知识，重要的在于掌握尤其是函数知识的应用，更要多练，才能运用自如.Ⅴ.课后作业（一）课本P56习题2.2 1~6.（二）1.预习内容：函数的单调性.2.预习提纲：（1）增函数、减函数的定义是什么？（2）函数单调区间的定义是什么？（3）证明函数单调的方法步骤是怎样的？（4）单调性是个整体概念还是个局部概念？2019-2020年高一数学分期付款中的有关计算第十一课时第三章●课题§3.6.1 分期付款中的有关计算（一）●教学目标（一）教学知识点1.等比数列的通项公式.2.等比数列的前n项求和公式.（二）能力训练要求将等比数列的通项公式和前n项求和公式应用到分期付款中的有关计算中去.（三）德育渗透目标1.增强学生的应用意识.2.提高学生的实际应用能力.●教学重点等比数列通项公式和前n项和公式的应用.●教学难点利用等比数列有关知识解决一些实际问题.●教学方法启发诱导式教学法●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］近几天来，我们学习了有关等比数列的哪些知识？［生］定义式：=q (n≥2,q≠0)通项公式：a n=a1q n－1(a1,q≠0)前n项和公式：S n=(q≠1)，Ⅱ.讲授新课［师］这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用.如今，在社会主义市场经济的调节之下，促销方式越来越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵活，可以一次性付款，也可以分期付款.首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：1.分期付款中规定每期所付款额相同.2.每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金.例如：若月利率为0.8%，款额a元，过1个月增值为a(1+0.8%)=1.008a(元)，再过1个月则又要增值为1.008a(1+0.008)=1.0082a(元)3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和.［师］另外，多长时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分六次，在一年内将款全部付清，每月应付款多少元?首先，我们来看一看，在商品购买后1年,即货款全部付清时，其商品售价增值为多少？［生］若按月利率为0.8%计算，在商品购买后1个月时，该商品售价增值为：5000(1+0.008)=5000×1.008(元)，由于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：5000×1.008×(1+0.008)=5000×1.0082(元)，……在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为：5000×1.00811×(1+0.008)=5000×1.00812(元)［师］下面，我们来看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何.假定每期付款x元.第1期付款(即购买商品后2个月)付款x元，过10个月即到货款全部付清时，则付款连同利息之和为：1.00810x(元)，第2期付款(即购买商品后4个月)付款x元，过8个月即到款全部付清时，所付款连同利息之和为：1.0088x(元)［师］依此类推，可得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和.［生］可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为：1.0086x(元)，1.0084x(元)，1.0082x(元)，x(元)［师］如何根据上述结果来求每期所付的款额呢?根据规定3，可得如下关系式：x+1.0082x+1.0084x+…+1.00810x=5000×1.00812即：x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810)=5000×1.00812［生］观其特点，可发现上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括弧是一个首项为1，公比为1.0082的等比数列的前6项的和.由此可得x·=5000×1.00812，即x=1008.1)1008.1(008.1500012212--⨯⨯解之得x≈880.8(元)，即每次所付款额为880.8元，6次所付款额共为880.8×6=5285(元)，它比一次性付款多付285元.Ⅲ.课堂练习［生］分组对另外两种方案进行练习.第一组：方案A：分12次付清，即购买后1个月第一次付款，再过1个月第二次付款…购买后12个月第12次付款.解：设每次付款为x元，则第一次付款到款付清时连同利息为x(1+0.008)11第二次所付款到款付清时连同利息总和为x(1+0.008)10……第三次至第十二次付款到款付清时连同利息分别为：x(1+0.008)9,x(1+0.008)8,x(1+0.008)7,x(1+0.008)6,……,x(1+0.008),x(元)由此可得x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x(1+0.008)+x=5000×(1+0.008)12即x(1.00811+1.00810+…+1.008+1)=5000(1+0.008)12,x=解之得：x≈438.6(元)，付款总额为438.6×12=5263(元)第二组：方案B：分3次付清，即购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付清款.解：设每次付款为x元则第1、2、3次付款到款付清时连同利息之和为：x(1+0.008)8,x(1+0.008)4,x(元)由此可得：x(1+0.008)4+x(1+0.008)4+x=5000×(1+0.008)12即x(1.0088+1.0084+1)=5000×1.00812x=1008.1)1008.1(008.1500012412--⨯≈1775.8(元)付款总额为1775.8×3=5327(元)Ⅳ.课时小结［师］解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解.Ⅴ.课后作业（一）熟练解决分期付款问题的基本方法和步骤.（二）1.预习内容：预习课本P1322.预习提纲：（1）采取不同方案实现分期付款中的x的表达式是否有共同特点? （2）可否概括出一个一般的公式?●板书设计。