第4章 概率分布与抽样分布
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教育与心理统计学 第四章 抽样理论与参数估计考研笔记-精品
第四章抽样理论与参数估计第一节抽样理论的基本知识分层抽样，又叫分层随机抽样，这种抽样方法是按照总体已有的某些特征，承认总体中已有的差异，按差异将总体分为几个不同的部分，每一部分称为一个层，在每一个层中实行简单随机抽样。
它充分利用了总体的已知信息，因而是一种非常适用的抽样方法，其样本代表性及推论的精确性一般优于简单随机抽样。
分层的原则是层与层之间的变异越大越好，各层内的变异要小。
试述分层抽样的原则和方法？分层抽样是按照总体上已有的某些特征，将总体分成几个不同部分，在分别在每一部分中随机抽样。
分层的总的原则是：各层内的变异要小，而层与层之间的变异越大越好。
在具体操作中，没有一成不变的标准，研究人员可根据研究需要依照多个分层标准，视具体情况而定。
⑷两阶段随机抽样两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分，每一部分叫做一个"集团"（或"群"），第一步从M个集团中随机抽取m个"集团”作为第一阶段样本，第二步是分别从所选取的m个"集团”中抽取个体（g构成第二阶段样本。
一般而言，两阶段抽样相对于简单随机抽样，标准误要大些，但是，两阶段抽样简便易行，节省经草贼，因而它是大规模调查研究中常被使用的抽样方法。
例如，如果我们要了解全国城市初中二年级学生的身高，第一步我们可以从全国几百个城市中随机抽取几十个城市作为第一阶段的样本。
第二步，在第一阶段随机抽取出来的城市中再随机抽取初中二年级的学生。
（二）非旃抽样非概率抽样不是完全按随机原则选取样本，有方便抽样、判断抽样。
方便抽样是由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样。
判断抽样是通过某些条件过滤，然后选择某些被调查者参与调查的抽样法。
当采取非概率抽样的方法选取样本时，研究者要说明采用此种方取样的原因以及对研究结果可能造成的影响。
第二节抽样分布［统计量分布、基本随机变量函数的分布］总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。
概率与统计中的抽样分布与假设检验
概率与统计中的抽样分布与假设检验概率与统计是一门研究随机事件及其规律的学科，其中抽样分布与假设检验是概率与统计学中至关重要的概念。
本文将介绍抽样分布的概念及其重要性，并探讨假设检验的原理和应用。
一、抽样分布在统计学中，抽样是指从总体中选取一部分样本进行观察和测量，通过对样本的分析和推断，得出对总体特征的结论。
而抽样分布则是在多次抽取样本的基础上得到的一组统计量的概率分布。
抽样分布的重要性在于它为统计推断提供了理论基础。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
这意味着通过对样本数据的分析，我们可以对总体特征进行合理的推断和估计。
二、假设检验假设检验是概率与统计学中常用的分析方法，用于检验关于总体参数的某种假设。
它基于样本数据，通过比较样本统计量与假设值之间的差异，来判断是否拒绝或接受某个假设。
假设检验的基本步骤包括：1. 建立原假设（H0）和备择假设（H1）：原假设通常是关于总体特征的某种陈述，而备择假设则是与原假设相对立的假设。
2. 选择适当的检验统计量：根据具体问题选择合适的统计量进行计算和分析。
3. 确定显著性水平（α）：显著性水平是进行假设检验时预先设定的一个界限，用来判断是否拒绝原假设。
通常将显著性水平设定为0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：通过对样本数据进行计算，得到实际的检验统计量的值。
5. 判断检验统计量的观察值是否落在拒绝域内：拒绝域是指在显著性水平下，根据分布函数得到的一组临界值。
如果观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设；否则，接受原假设。
6. 得出结论：根据判断结果，对于原假设的合理性进行结论。
假设检验在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用假设检验来判断新药物是否对疾病有显著疗效；在工商管理中，可以使用假设检验来判断某种市场策略是否能够提高销售业绩。
总结：概率与统计中的抽样分布与假设检验是概率与统计学的重要概念。
第四章 抽样
第四章 抽 样
主讲人： 张建鹏 要内容
一、抽样的意义与作用 二、概率抽样的原理与程序 三、概率抽样方法 四、非概率抽样方法 五、样本规模与抽样误差
2
一、抽样的意义与作用
1. 相关概念 (1). 总体(population)：构成它的所有元素的集合 N 表示。元素则是构成总体的基本的单元。 如：海医学生新闻获得方式调查 某市居民家庭生活状况 (2). 样本(sample)：从总体中按一定方式抽取的一部 分元素的集合。用n表示 如：从海医1万名学生中，按一定方式抽取300人进行 调查，这300人构成该总体的一个样本。
28
分层（最佳）抽样法
定义：又称非比例抽样法，根据各层样本标准差 的大小确定各层的样本数目的方法。 计算公式为：
ni = n * ( N i Si / ∑ N i Si )
（1）
式中：ni ----- 各类型应抽选的样本单位数 n ----- 样本单位数 Ni ----- 各类型的调查单位数 Si ----- 各类型调查单位数的样本标准差
14
抽样设计的五个步骤 1）定义目标总体 （如上述案例中正在上学的 年龄在8-17岁的年轻人） 2）制定抽样框 （例如上述案例中的所有县及 县内的城市和城镇） 3）选择一种抽样技术 （如上述案例中的三段 分层概率抽样） 4）实际抽取样本 （样本容量，1000名；执行 抽样过程和对调查员指令） 5）评估样本质量 （如检测样本平均年龄是否 与全国普查数据一致或接近）
33
整群抽样与分层抽样的比较
特征 样本来源 抽样目的 划分原则 整群抽样 一个或几个 不提高成本而提 高抽样效率 分层抽样 所有层 不提高成本而提 高精度
群中的个体异质， 层中个体同质， 群间同质 层间异质
主讲人： 张建鹏 要内容
一、抽样的意义与作用 二、概率抽样的原理与程序 三、概率抽样方法 四、非概率抽样方法 五、样本规模与抽样误差
2
一、抽样的意义与作用
1. 相关概念 (1). 总体(population)：构成它的所有元素的集合 N 表示。元素则是构成总体的基本的单元。 如：海医学生新闻获得方式调查 某市居民家庭生活状况 (2). 样本(sample)：从总体中按一定方式抽取的一部 分元素的集合。用n表示 如：从海医1万名学生中，按一定方式抽取300人进行 调查，这300人构成该总体的一个样本。
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分层（最佳）抽样法
定义：又称非比例抽样法，根据各层样本标准差 的大小确定各层的样本数目的方法。 计算公式为：
ni = n * ( N i Si / ∑ N i Si )
（1）
式中：ni ----- 各类型应抽选的样本单位数 n ----- 样本单位数 Ni ----- 各类型的调查单位数 Si ----- 各类型调查单位数的样本标准差
14
抽样设计的五个步骤 1）定义目标总体 （如上述案例中正在上学的 年龄在8-17岁的年轻人） 2）制定抽样框 （例如上述案例中的所有县及 县内的城市和城镇） 3）选择一种抽样技术 （如上述案例中的三段 分层概率抽样） 4）实际抽取样本 （样本容量，1000名；执行 抽样过程和对调查员指令） 5）评估样本质量 （如检测样本平均年龄是否 与全国普查数据一致或接近）
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整群抽样与分层抽样的比较
特征 样本来源 抽样目的 划分原则 整群抽样 一个或几个 不提高成本而提 高抽样效率 分层抽样 所有层 不提高成本而提 高精度
群中的个体异质， 层中个体同质， 群间同质 层间异质
第四章 (概率论基础与抽样分布)
4 - 25
第四章 概率论与抽样分布
第二节 概率分布
分布函数与密度函数的图示
1. 密度函数曲线下的面积等于1 2. 分布函数是曲线下小于 x0 的面积
f(x)
4 - 26
F ( x0 )
x0
x
第四章 概率论与抽样分布
第二节 概率分布
连续型随机变量的期望和方差
1. 连续型随机变量的数学期望为
E(X ) xf (x)dx
4 - 41
第四章 概率论与抽样分布
第二节 概率分布
4 - 42
第四章 概率论与抽样分布
第二节 概率分布
【例】已知x~N(12.86，1.332),若 P(x<l1)=0.03,P(x≥l2)=0.03,求l1,l2
概率的性质
1. 非负性 对任意事件A，有 0 P 1
2. 规范性 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即
P ( ) = 1； P ( ) = 0
3. 可加性 若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
标准正态分布
=1
0.1664
2.9 5 7.1 X
.0832 .0832
-.21 0 .21 Z
4 - 37
第四章 概率论与抽样分布
第二节 概率分布
【例】已知x~N(30.26，5.12), 求P(|x-30.26|<5.1); P(20.06≤x<40.46)
P(| X 30.26 | 5.1) P 5.1 X 30.26 5.1
第四章 抽样和抽样分布
E p P P1 P N n n N 1 P1 P n 1 n N
p
例子：
例：要估计某地区10000名适龄儿童的入学 率，用不重置抽样方法从这个地区抽取400 名儿童，检查有320名儿童入学，求样本入 学率的平均误差。 已知条件：
样本日工资平均数
单位：元
样本变量 34 34
38 42 46 50
38 36
38 40 42 44
42 38
40 42 44 46
46 40
42 44 46 48
50 42
44 46 48 50
34
36 38 40 42
抽样分布为：
Ex
x f
i 1 9
9
i i
样本日平均工资分布
样本日平均工资
三、抽样分布定理
样本平均数的抽样分布定理
（1）正态分布再生定理
X ~ N ( X , 2 ) ，则从这个总体中抽取样本容 总体变量
量为n的样本平均数 x 也服从正态分布，其平均数E ( x ) 仍为 X ，其标准差 ( x ) 。即样本平均数 x 服从正态分布 x ~ N ( X , 2 ) 。
不论总体是何种分布，只要样本的单位数量增 多，则样本平均数就趋于正态分布。
一般认为样本单位数不少于30的是大样本，样 本平均数的抽样分布就接近于正态分布。
总体未 知参数
1. 是一种理论概率分布
2. 样本统计量是随机变量
– 样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远我们稳定的信息， 是进行推断的理论基础，也是抽样推断科 学性的重要依据
p
例子：
例：要估计某地区10000名适龄儿童的入学 率，用不重置抽样方法从这个地区抽取400 名儿童，检查有320名儿童入学，求样本入 学率的平均误差。 已知条件：
样本日工资平均数
单位：元
样本变量 34 34
38 42 46 50
38 36
38 40 42 44
42 38
40 42 44 46
46 40
42 44 46 48
50 42
44 46 48 50
34
36 38 40 42
抽样分布为：
Ex
x f
i 1 9
9
i i
样本日平均工资分布
样本日平均工资
三、抽样分布定理
样本平均数的抽样分布定理
（1）正态分布再生定理
X ~ N ( X , 2 ) ，则从这个总体中抽取样本容 总体变量
量为n的样本平均数 x 也服从正态分布，其平均数E ( x ) 仍为 X ，其标准差 ( x ) 。即样本平均数 x 服从正态分布 x ~ N ( X , 2 ) 。
不论总体是何种分布，只要样本的单位数量增 多，则样本平均数就趋于正态分布。
一般认为样本单位数不少于30的是大样本，样 本平均数的抽样分布就接近于正态分布。
总体未 知参数
1. 是一种理论概率分布
2. 样本统计量是随机变量
– 样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远我们稳定的信息， 是进行推断的理论基础，也是抽样推断科 学性的重要依据
(04)第4章+抽样与抽样分布
4-6
统计学
STATISTICS
例题分析
♦ 假定我们刚刚已取了飞机制造所用的铆钉的25个 假定我们刚刚已取了飞机制造所用的铆钉的25个
一组的样本。检测铆钉的抗剪强度，破坏每个铆 钉所需的力是响应变量。对这组样本，可以求得 各种描述性的测量（均值、方差等）。 ♦ 然而，我们的感兴趣的是总体，并不是样本自身。 被测试的铆钉在测试时已被破坏，不能再用在飞 机的制造上，所以我们肯定不能测试所有的铆钉。 我们必须从这组样本或几组这样的样本来决定总 体的某些特性。 ♦ 因此，我们必须设法推断信息，也即基于样本的 观测结果作出总体的推断
(例题分析) 例题分析)
计算出各样本的均值，如下表。 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
4 - 32
样本均值的抽样分布
统计学
STATISTICS
(例题分析) 例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 设一个总体，含有4个元素(个体) 数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总 个个体分别为x 体的均值、 体的均值、方差及分布如下 总体分布
4 - 17
统计学
STATISTICS
分层抽样
分层抽样
统计学
STATISTICS
(stratified sampling) sampling)
♦ 分层抽样：在抽样之前先将总体的单位按 分层抽样：
某种特征或某种规则划分为若干层（类）， 然后从不同的层中独立、随机地抽取一定 数量的单位组成一个样本，也称分类抽样 数量的单位组成一个样本，也称分类抽样 sampling） （stratified sampling） ♦ 在分层或分类时，应使层内各单位的差异 尽可能小，而使层与层之间的差异尽可能 大
第四章 抽样
抽样的类型
（1）概率抽样：简单随机抽样、系统抽样、 分层抽样、整群抽样、多段抽样、PPS抽样、 户内抽样 （2）非概率抽样：偶遇抽样、判断抽样、 定额抽样、雪球抽样
二、概率抽样的原理与程序
（一）概率抽样的基本原理 1、总体的同质性与异质性 同质性：如果某个总体中的每一个成员在所有方 面都相同，那么，我们就说这个总体具有完全的 同质性。 否则，就存在不同程度的异质性。 同质性总体不需要抽样。 社会各种总体的异质性决定了严格的概率抽样的 必要性。
（二）系统抽样
3、系统抽样优缺点： <1>优点： ①易于实施，工作量少。 ②样本在总体中分布更为均匀，抽样误差 小于或至多等于简单随机抽样。
（二）系统抽样
<2>系统抽样缺点： ①系统抽样是以总体的随机排列为前提， 如果总体的排列出现有规律分布时，会使 系统抽样产生极大误差。 ②当总体内个体类别之间的数目悬殊过大 时，样本的代表性可能较差。 <3>适用范围：系统抽样最适用于同质性较 高的总体。
人们通常采用下列几组数字
有90％的样本统计值落在u〒1.65SE(样本 平均数的标准差)之间； 有95％的样本统计值落在u〒1.96SE之间； 有98％的样本统计值落在u〒2.33SE之间； 有99％的样本统计值落在u〒2.58SE之间。 其中，百分数表示置信水平，u〒1.65SE等 表示置信区间。
随机数表抽样举例
3、简单随机抽样方法
①当总体元素较少时：常用的办法类似于 抽签，即把总体中每一个单位都编号，将 这些号码写在一张张小纸条上，然后放入 一容器如纸盒、口袋中，搅拌均匀后，从 中任意抽取，直到抽够预定的样本数目。 这样，由抽中的号码所代表的元素组成就 是一个简单随机样本。
（1）概率抽样：简单随机抽样、系统抽样、 分层抽样、整群抽样、多段抽样、PPS抽样、 户内抽样 （2）非概率抽样：偶遇抽样、判断抽样、 定额抽样、雪球抽样
二、概率抽样的原理与程序
（一）概率抽样的基本原理 1、总体的同质性与异质性 同质性：如果某个总体中的每一个成员在所有方 面都相同，那么，我们就说这个总体具有完全的 同质性。 否则，就存在不同程度的异质性。 同质性总体不需要抽样。 社会各种总体的异质性决定了严格的概率抽样的 必要性。
（二）系统抽样
3、系统抽样优缺点： <1>优点： ①易于实施，工作量少。 ②样本在总体中分布更为均匀，抽样误差 小于或至多等于简单随机抽样。
（二）系统抽样
<2>系统抽样缺点： ①系统抽样是以总体的随机排列为前提， 如果总体的排列出现有规律分布时，会使 系统抽样产生极大误差。 ②当总体内个体类别之间的数目悬殊过大 时，样本的代表性可能较差。 <3>适用范围：系统抽样最适用于同质性较 高的总体。
人们通常采用下列几组数字
有90％的样本统计值落在u〒1.65SE(样本 平均数的标准差)之间； 有95％的样本统计值落在u〒1.96SE之间； 有98％的样本统计值落在u〒2.33SE之间； 有99％的样本统计值落在u〒2.58SE之间。 其中，百分数表示置信水平，u〒1.65SE等 表示置信区间。
随机数表抽样举例
3、简单随机抽样方法
①当总体元素较少时：常用的办法类似于 抽签，即把总体中每一个单位都编号，将 这些号码写在一张张小纸条上，然后放入 一容器如纸盒、口袋中，搅拌均匀后，从 中任意抽取，直到抽够预定的样本数目。 这样，由抽中的号码所代表的元素组成就 是一个简单随机样本。
抽样及抽样分布
分层抽样 概念：分层抽样又称类型抽样。首先将总体单
位按某一个标志分层；然后在各层按随机抽样的方 法分别抽出各层的样本。
特点：分层抽样在层内是抽样调查，层间是全面调
查，所以分层时应该尽量让每层内的变异程度小，
而层间的变异程度大。分层抽样的抽样误差较简单 随机抽样小，样本具有很好的代表性。
抽样平均误差的计算公式：
z
(
X 1
X
)
2
( 1
2
)
s2 1
s2 2
n1 n2
渐近服从标准正态分布。
如果： X1 和 X2 是两个非正态总体，当和样本容
量足够大，
z
(
X1
X
2
)
(1
2
)
s2 1
s2 2
n1 n2
渐近服从标准正态分布。
NEXT
二、样本成数及成数差的抽样 分布
成数的概念 样本成数的分布 两个总体样本成数差的分布
，则样本的成数为p n1
n
。
例如，某工厂生产某种电子元件，某批产品
共10000件，其中不合格品100件原则抽100件，其中
有3件不合格品，则样本的成数为p 3% 。
NEXT
样本成数的分布
用途：推断或估计总体的成数。例如某项改革 方案工人的支持率，产品的正品率等。
假设A、B、C、D、E5位同学的统计学成绩分别为： 80、 86、90、92、96。可计算得总体均值为88.8，总体方 差为29.76。现在随机从中抽容量为2的样本。
重复抽样的所有可能的样本：
样本（AA）（AB）（AC）（AD）（AE）
均值 80 83 85
86 88
样本 （BA）（BB） （BC） （BD）（BE）
概率分布与抽样分布
x 2.5
2 x
0.625
样本均值的抽样分布
一般的当总体服从 Nμσ二 时来自该总体的容量为n的 样本的均值X也服从正态分布X 的期望为μ方差为σ
二/n即X～Nμσ二/n
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
中心极限定理
中心极限定理：从均值为方差为 二的一个任意
§四.二.二 正态分布和有关概率计算
若随机变量 X 的概率密度为
f(x) 1 e2 12x2 , x
2
其中 和 都是常数，任意，>0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.
记作 X~N(,2)
fx所确定的曲线叫作正态曲线
正态曲线图形的特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟
形曲线
决定了图形的中心位置；
0
不同自由度的t分布
tZ
§四.三.二 样本比例的抽样分布
设总体比例等于p则总体方差等于p一-p 重复抽样时样本比例 pˆ服从二项分布 中心极限定理：n很大时二项分布趋向于正态
分布 一般认为np≥五、n一-p≥五时可以用正态分布
来进行近似计算：
pˆ ~N(p, p(1p)) n
样本比例的抽样分布不重复抽样
Z=0.三一
对于已知的概率求X值
.六二 一七
.六二 一七
10
0
Z=0.三
5 X=
一
Xz5 0 .3* 1 0 5 .31
在Excel和 SPSS 中计算概率
在实际应用中现在可以直接使用Excel或统计软件 中的有关函数进行有关概率计算具体方法参见配 套教材
4.3抽样分布
(3) X与S2相互独立
(4) X ~ t(n 1)
Sn
已知， 2未知
(5) n ( Xi )2 ~ 2 (n)
i1
已知
LOGO
例1 设总体X 服从正态分布N (12, 2 ), 抽取容量为
25的样本,求样本均值X大于12.5的概率.如果(1)已
知 12；（2）未知，但已知样本方差S2 3.6.
n1 n2
服
从
F（n1,
n
）
2
分
布
.
LOGO
4.3.2 正态总体的抽样分布
由于要求具体抽样分布是困难的，有时甚至是不可 能的。正态总体的抽样分布有详尽的研究，本节主要 学习正态总体的抽样分布。
掌握正态分布、 2分布、t分布、F分布的一些结论
对于正态总体抽样分布的学习非常有用. 主要学习单个正态总体的抽样分布以及多个正态总
i1
于是P
10
i1
Xi 2
4
P
1 0.52
10 i1
Xi2
16
查表求02.10(10) 16.由此可得
P
10 i1
Xi
2
4
0.10.
(2) 由题设及定理4.3.2， 9S 2
0.52
10
P i1
(Xi
X )2
1
2.85
P
0.52
10 i1
查表得02.25(9) 11.4,由此可求得
n
n
该定理的证明由正态分布的性质3.1.10可得。
注意：当样本来自非正态总体时，若总体均值为,方差 为 样 本量2（充有分限大且时不，X为近零似）服，从由N中(心, 极)2.限定理可以证明当
四章样本及抽样分布
E(X )
1 n
n i 1
E( X i )
D(X )
1 n2
n
2
D(Xi )
i 1
n
X ~ N(, 2 )
n
X ~ N (0, 1) / n
iid
2.若X1,,X n ~ N (, 2 ), 则 (1) X与S 2相互独立; (2) 2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1);
(3)T X ~ t(n 1).
第四 章 样本及抽样分布
引言 run 随机样本 抽样分布
4.1 随机样本 一、总体与样本
1. 总体：研究对象旳全体。 一般指研究对象旳某项数量指标。 构成总体旳元素称为个体。
从本质上讲，总体就是所研究旳随机变量或 随机变量旳分布。
2. 样本：来自总体旳部分个体X1， … ，Xn 假如满足： （1）同分布性： Xi， i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 旳简朴随
P{ 1
1
P{ 1 F
F (n2 , n1)}
} 1
F F1 (n1, n2 )
P{ 1
1 }
得证!
F F1 (n1, n2 )
4.3 正态总体旳抽样分布定理
iid
1.若X1 ,,Xn ~ N(, 2 ), 则U
X / n
~
N(0, 1)
证明:
X
1 n
n i 1
Xi
是n 个独立旳正态随 机变量旳线性组合,故 服从正态分布
i 1
称为自由度为n的 2 分布.
2.2—分布旳密度函数f(y)曲线
f
(y)
概率、概率分布与抽样分布
1）样本空间
– 一个试验中所有结果的集合，用 表示
– 例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空间表
示为：{1,2,3,4,5,6} – 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
2）样本点 – 样本空间中每一个特定的试验结果
– 用符号 表示
3－15
3.1.2 事件的概率
3－16
1. 定义: 概率是对随机事件发生可能性大小的度量 .
P(A|B)
=
P(AB) P(B)
事件A 事件B
一旦事件B发生
事件 AB及其 概率P (AB)
事件B及其 概率P (B)
3－35
【例】一家超市所作的一项调查表明，有80%的顾客到超市是 来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食 品也购买其他商品。求：
(1)已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率 (2)已知某顾客购买其他的条件下，也购买食品的概率
(mutually exclusive events)
在试验中，两个事件有一个发生时，另 一个就不能发生，则称事件A与事件B是互斥
事件,(没有公共样本点)
A B
互斥事件的文氏图(Venn diagram)
3－21
【例】在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥 有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：
2. 事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值，用 以度量试验完成时事件A发生的可能性大小， 记为P(A)
3. 概率的计算:
1）古典概率
特征：（1）试验的基本事件总数是有限的；
（2）每个基本事件出现的可能性都相同 。
计算方法：
3－17
2）统计概率 当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察
– 一个试验中所有结果的集合，用 表示
– 例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空间表
示为：{1,2,3,4,5,6} – 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
2）样本点 – 样本空间中每一个特定的试验结果
– 用符号 表示
3－15
3.1.2 事件的概率
3－16
1. 定义: 概率是对随机事件发生可能性大小的度量 .
P(A|B)
=
P(AB) P(B)
事件A 事件B
一旦事件B发生
事件 AB及其 概率P (AB)
事件B及其 概率P (B)
3－35
【例】一家超市所作的一项调查表明，有80%的顾客到超市是 来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食 品也购买其他商品。求：
(1)已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率 (2)已知某顾客购买其他的条件下，也购买食品的概率
(mutually exclusive events)
在试验中，两个事件有一个发生时，另 一个就不能发生，则称事件A与事件B是互斥
事件,(没有公共样本点)
A B
互斥事件的文氏图(Venn diagram)
3－21
【例】在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥 有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：
2. 事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值，用 以度量试验完成时事件A发生的可能性大小， 记为P(A)
3. 概率的计算:
1）古典概率
特征：（1）试验的基本事件总数是有限的；
（2）每个基本事件出现的可能性都相同 。
计算方法：
3－17
2）统计概率 当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察
田间试验与统计方法第四章理论分布和抽样分布
•
•事件间的关系
•A
•积事 件AB
•B
•和事件A+B
•A+B， “或A发生，或B发生”。 •AB， “A和B同时发生或相继发生”
•A
•B
•互斥事件
•A·B=V，事件A和B互斥或互不相容
•A
•B
•对立事件
•A+B=U，A·B=V，事件B为事件A的对立事件，并记B为
•
二、概 率
研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，还需了解各种随机事 件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导实践。
• 如果每次抽5个单株，抽n=400次，则理论上我们能够得 到y=2的次数应为： • 理论次数=400×P(2)=400×0.3364=134.56(次)分布表(p=0.35，q=0.65)
•
•
受害株数(y)
•图4.1 棉株受危害的概率分布图 •(p=0.35，n=5)
这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标， 这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变 ，人们称之为概率（probability）。
事件A的概率记为P（A）。
•
•二、概率 （一）概率的统计定义
思考：投掷一枚硬币，出现正面的概
率是多大？（0表示反面，1表示正 面）反复做它，那么所有出现正面 的结果平均值是多少？
• 随机变量是指随机变数所取的某一个实数值。表示随机现象 结果的变量,也就是在随机试验中被测定的量，所取得的值称 为观察值。
• 例1：抛硬币试验，两种结果：
•
用数“1”表示“币值面向上”， “0”表示“国徽面向上”
•
把 0，1作为变量y的取值
•
•事件间的关系
•A
•积事 件AB
•B
•和事件A+B
•A+B， “或A发生，或B发生”。 •AB， “A和B同时发生或相继发生”
•A
•B
•互斥事件
•A·B=V，事件A和B互斥或互不相容
•A
•B
•对立事件
•A+B=U，A·B=V，事件B为事件A的对立事件，并记B为
•
二、概 率
研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，还需了解各种随机事 件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导实践。
• 如果每次抽5个单株，抽n=400次，则理论上我们能够得 到y=2的次数应为： • 理论次数=400×P(2)=400×0.3364=134.56(次)分布表(p=0.35，q=0.65)
•
•
受害株数(y)
•图4.1 棉株受危害的概率分布图 •(p=0.35，n=5)
这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标， 这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变 ，人们称之为概率（probability）。
事件A的概率记为P（A）。
•
•二、概率 （一）概率的统计定义
思考：投掷一枚硬币，出现正面的概
率是多大？（0表示反面，1表示正 面）反复做它，那么所有出现正面 的结果平均值是多少？
• 随机变量是指随机变数所取的某一个实数值。表示随机现象 结果的变量,也就是在随机试验中被测定的量，所取得的值称 为观察值。
• 例1：抛硬币试验，两种结果：
•
用数“1”表示“币值面向上”， “0”表示“国徽面向上”
•
把 0，1作为变量y的取值
•
概率与统计中的随机抽样与抽样分布知识点
概率与统计中的随机抽样与抽样分布知识点概率与统计是数学中重要的分支之一，它研究了随机事件和随机现象的规律。
在概率与统计的领域中，随机抽样与抽样分布是基础而重要的概念。
在本文中，我们将深入探讨随机抽样与抽样分布的相关知识点，包括其定义、性质以及在实际应用中的重要性。
1. 随机抽样的定义与性质随机抽样是指从整体中以一定的概率选择出一部分样本的过程，以便对整体的某些特征进行推断。
随机抽样应具备以下几个基本性质：a. 独立性：每个样本在抽取过程中的选中与否应该是彼此独立的，不受前一个样本的影响。
b. 随机性：每个样本在被选中的概率应该是相等且随机的，确保对整体进行推断时具有普遍性。
c. 大样本量：所抽取的样本数量足够大，可以保证对整体的推断具有较高的精确度。
2. 抽样分布的定义与性质抽样分布是指针对不同样本规模的抽样所得到的某个统计量的分布。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。
a. 正态分布：当样本量趋于无穷大时，根据中心极限定理，样本均值的分布逼近于正态分布。
正态分布在统计分析中经常应用，具备对称性和稳定性等特点，受到广泛的关注和应用。
b. t分布：在样本量较小的情况下，当总体近似于正态分布时，使用t分布来进行推断更加准确。
t分布相较于正态分布而言，具有更宽的尾部，样本量较小时可提供更精确的结果。
c. F分布：F分布是一种比值分布，常用于方差分析以及回归分析等。
它是基于正态分布的样本方差比值构成的。
3. 随机抽样与抽样分布在实际应用中的重要性随机抽样与抽样分布在各个领域的实际应用中具有重要意义，例如：a. 市场调研：通过随机抽样方式，可以从总体中选取一部分样本进行调查和数据收集。
然后通过对样本数据的分析，可以推断总体市场的特征、趋势以及用户行为等。
b. 医学研究：在进行药物疗效试验时，需要通过随机抽样的方式从患者中选取一部分进行试验。
通过对试验结果的分析，可以推断药物的疗效以及副作用等情况。
概率论与数理统计几种重要的分布
二、二项分布
例1、一批产品的合格率为0.9,重复抽取三次, 每次一件, 连续3次,求3次中取到的合格品件数 X的分布.
如果在一次试验中,事件A成功的概率为 p(0 p 1), 则在n重贝努里试验中事件 A成功的次数 X的分布为 :
P(X
k)
C
k n
pkqnk .
1、定义 X ~ B(n, p)
P(X
k)
C
k 3
C 4 17
k
C
4 20
(k 0,1,2,3)
1、定义 X ~ H (n, M , N )
设N个元素分为两类,
其中N
1个属于第一类,
N
个属于
2
第二类, 从中不放回抽取n个, 令X表示这n个中第一类
元素的个数,则称X的分布为超几何分布 :
P(X
m)
C C m nm N1 N N1
若X的分布为P( X
k)
C
k n
pkqnk , k
0,1,, n
其中0 p 1, q 1 p,则称X ~ B(n, p)。
2、数字特征
EX
n
kC
k n
k 0
pkqnk
n
k
k0
n! k!(n k)!
pk q nk
n
n (n 1)!
p p q k 1 (n1)(k 1)
k1 (k 1)! (n 1) (k 1) !
kkekxpk01只有两个互逆结果的n次独立重复试验n1pmin10nmllkccckxpnnknnmkm10211kppkxpk无穷次伯努利试验中a首次发生的试验次数对含有两类元素的有限总体进行不放回抽样时某类元素个数的概率分布在一定时间内出现在给定区域的随机质点的个数一均匀分布1定义
第四章 概率与概率分布
第三节 随机变量及其分布
一、 随机变量 （一） 随机变量的定义
表示随机现象观测结果的变量称为随机变量。随 机变量可用X、Y、Z……表示。 （二）随机变量的类型 1、离散型随机变量
只能取有限个或可列个孤立值的随机变量称为离 散型随机变量。 2、连续型随机变量
取值连续充满某一区间的随机变量称为连续型随 机变量。
二 、随机变量的概率分布
（一）离散型随机变量的概率分布 掌握一个离散型随机变量的概率分布规
律，必须掌握两点： 1、随机变量X所取的可能值是什么？ 2、随机变量X取每一个可能值的概为多少？
p( X x1) p1, p( X x2 ) p2 , p( X xn ) pn
离散型随机变量的分布规律可用分布列 的形式来表示。
Y yi
P(Y yi ) Pi
0 0.14
1 0.22
2 0.64
离散型随机变量的概率分布具有下面两 个重要性质：
1、随机变量取任何值时，其概率都是非负 的。即 P1≥0， ≥P02 ，…… ≥0P。n 2、随机变量取遍所有可能值时，相应的概 率之和等于1，即
n
pi 1
i 1
P（-0.52<u<1.34） = P（–∞<u<1.34）- P（–∞<u<-0.52） =0.9099 - 0.3015 =0.6084
2、已知u的取值落入某一区间的概率 ， 求u值。 [例13]已知P（u<x）=0.0869，求x P（u<x）=0.0869 查标准正态分布表（1） P（–∞<u<-1.36）=0.0869 即P（u<-1.36）=0.0869 X=-1.36
第二节 随机事件的概率
概率论与数理统计 第四章
50 1 1 1 ( ) 49 2 100 2
数理统计
28
②
骣n 1 2 2 E (S ) = E 琪 X i - nX 琪 å 琪 n - 1 桫= 1 i
= 1 n- 1 n n 1
2
1 n 2 2 EX i nEX n 1 i 1
2
(n E X
若总体X是连续型随机变量，其概率密度为
f ( x ),
则样本的联合概率密度为
f ( x1 , x 2 , , x n ) f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x n )
对于离散型总体，有相似的结论。
数理统计 17
例 设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是取自正态总体 N ( , 2 ) 的 样本，求样本的概率分布。 解 总体X的密度函数为
数理统计
30
X EX 1 P DX
X 1 P 1 10
0 .0 2 E X DX
E(X ) 0 D(X ) 1 100
显然
X ( 1 ) m in X i ,
1 i n
X (n) m ax X i ,
1 i n
两者也分别称为最小次序统计量和最大次序统计量. 称
R X ( n ) X ( 1 ) 为样本极差
X n1 ( 2 ) Md 1 (X n X n ( ) (1 ) 2 2 2 n 为奇数 （4 - 15） n 为偶数
总体 样本
随机变量 X 随机向量
( X 1 , X 2 , , X n )
数理统计
15
在一次试验中，样本的具体观测值 称为样本值。记为 ( x 1 , x 2 , , x n ) . 有时候样本与样本值使用同一符号， 但含义不同。 简单随机样本 若 X 1 , X 2 , X n 是相互独立的并与总体
抽样分布
x
/ n
x s/ n
N (0,1)
t=
N ( , )
2
t分布
总体方差未知或样本容量n小于30时，标准离差的分布呈t分布。
四、 t 分布
对于不同的自由度，t分布有不同的曲线。
四、 t 分布
( 1 ) t分布曲线左右对称，围绕平均数μt =0 向两侧递降。 （2）t分布受自由度df=n-1制约，每个df都有一条t分布曲线。 （3）df小，t值离散程度大。 （4）和正态分布相比，t分布的顶端偏低，尾部偏高，自由度
2 s1 F 2 s2
此Ｆ值具有s12的自由度df1=n1-1和s22的自由度 df2=n2-1。
六、 F 分布
df1 df1 df2 1 ( ) df1 df 2 2 F 2 2 2 f (F ) df1 df2 df1 df 2 df1 df2 ( ) ( ) (df1 F df2 ) 2 2 2
Ｆ分布是随自由度df1和df2进行变化的一组曲线。
Ｆ分布的概率累积函数
f (F )
F
0
f ( F )dF
六、F 分布
1
Ｆ分布的平均数μF=1 ，Ｆ的取值区间为[0,+∝ ）
Ｆ分布曲线的形状仅决定于df1和df2。在df1＝1或2时， 2 Ｆ分布曲线呈严重倾斜的反向Ｊ型，当df1≧ 3时，转
为左偏曲线。
第四章：统计数的分布——抽样分布
从总体中抽取的样本提供的信息仅是总体的一部分，它不能 提供完全准确的信息，必然存在着一定的误差。 对于样本容量相同的多次随机抽样样本，其统计量是变异的， 且其取值有一定的概率，即样本统计量也是一个随机变量，此 分布规律称为抽样分布(sampling distribution)。
抽样分布的概念及重要性
抽样分布的概念及重要性抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了从总体中抽取样本的过程中，统计量的分布情况。
在统计学中，我们通常无法对整个总体进行研究，而是通过抽取样本来推断总体的特征。
抽样分布的概念帮助我们理解样本统计量的变异性，并为统计推断提供了理论基础。
本文将介绍抽样分布的概念及其重要性。
一、抽样分布的概念抽样分布是指在相同条件下，重复从总体中抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。
在抽样过程中，每次抽取的样本可能不同，因此样本统计量的取值也会有所不同。
抽样分布描述了样本统计量的所有可能取值及其对应的概率分布。
常见的样本统计量包括样本均值、样本方差、样本比例等。
以样本均值为例，假设总体均值为μ，样本均值为x̄，抽样分布描述了在相同样本容量的情况下，样本均值的所有可能取值及其对应的概率分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
二、抽样分布的重要性抽样分布在统计学中具有重要的意义，它对统计推断和假设检验提供了理论基础，具体体现在以下几个方面：1. 参数估计：抽样分布可以用于估计总体参数。
通过抽取样本并计算样本统计量，我们可以对总体参数进行估计。
例如，通过计算样本均值来估计总体均值，通过计算样本比例来估计总体比例等。
抽样分布提供了样本统计量的分布情况，帮助我们确定估计值的可信度和置信区间。
2. 假设检验：抽样分布可以用于假设检验。
在假设检验中，我们通常需要比较样本统计量与假设值之间的差异，以判断差异是否显著。
抽样分布提供了样本统计量的分布情况，可以帮助我们计算出观察到的差异在抽样误差范围内的概率，从而判断差异是否显著。
3. 抽样方法选择：抽样分布可以帮助我们选择合适的抽样方法。
不同的抽样方法会对样本统计量的分布产生不同的影响。
通过了解抽样分布的特点，我们可以选择合适的抽样方法，以提高样本统计量的准确性和可靠性。
4. 统计推断：抽样分布是统计推断的基础。
统计推断是指通过样本数据对总体特征进行推断。
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(2)
f ( x)dx 1
f(x)不是概率，概率是密度曲线下的 面积。 b
f(x)
P(a b) f ( x)dx
a
a
b
x
31
分布函数
随机变量 对于 x 称 F ( x) P( 为随机变量 的分布函数。 0≤F( x )≤1。 x 对于连续型的随机变量，有F ( x) f (t )dt
11
随机变量
如果我们用一个变量来表示随机试验的可 能结果，那么这个变量的取值就是“随机 会而定的”，因而称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ε、 η等表示。 随机变量的取值一般采用小写字母x, y, z等 表示。
可以分为离散型随机变量和连续型随机变 量。
12
离散型随机变量
23
二项分布
(Binomial distribution)
1.
2.
进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数的概率 分布称为二项分布 设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为
PX x 2,, n)
x 式中： C n
n
E ( X ) xi p i
i 1
( X取有限个值） ( X取无穷个值）
20
E ( X ) xi p i
i 1
离散型随机变量的方差
(variance)
1.
2. 3.
随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数 学期望，记为D(X) 描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为
3
条件概率
(conditional probability)
在事件B已经发生的条件下，求事件A发生 的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件 A发生的条件概率，记为
P(AB) P(A|B) = P(B)
4
概率的乘法公式
(multiplicative rule)
1. 2. 3.
用来计算两事件交的概率 以条件概率的定义为基础 设 A 、 B 为 两 个 事 件 ， 若 P(B)>0 ， 则 P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)
P(x)
X = xi
P(X=xi)=pi
1
0.05
0
0.95
1 0.5 0 1 x
17
离散型随机变量的概率分布
(均匀分布)
1. 2. 3.
一个离散型随机变量取各个值的概率相同 列出随机变量取值及其取值的概率 例如，投掷一枚骰子，出现的点数及其出现各 点的概率
18
离散型随机变量的概率分布
(均匀分布)
1.
2.
用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、 面积、体积之内每一事件出现次数的分布 泊松分布的例子
一个城市在一个月内发生的交通事故次数 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数
27
泊松概率分布函数
e PX x x!
( x 0,1,2,, n)
14
离散型随机变量的概率分布
1. 2. 3.
列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示 X = xi P(X =xi)=pi x1 ，x2 ，… ，xn p1 ，p2 ，… ，pn
4. P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi0
p
(discrete random variables)
1.
随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列 举出来 X1 , X2，… 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子
试验 抽查100个产品 一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车 随机变量 取到次品的个数 顾客数 销售量 顾客性别 可能的取值 0,1,2, …,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性为0,女性为1
连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴 上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用数学函数的形式和分布函数的形式来描述
30
概率密度函数
设 为一连续型随机变量，其概率密度函 数为f(x) （x 为任意实数），则f(x) 满足以 下条件：(1) f ( x) 0
0.25 0.05 0.3623 0.0345 0.35 0.04 P ( A2 | B ) 0.406 0.0345 0.4 0.02 P ( A3 | B ) 0.232 0.0345 P ( A1 | B )
10
§4.2 离散型随机变量及其分布
随机试验：是指在一定条件下同时满足 下列四个要求的一个过程： 1. 结果可能不止一个； 2. 过程结束后有且只有一个明确的结果； 3. 在过程未结束前不知会出现哪个结果； 4. 过程可以重复。 例如： 抛一枚硬币： 正面、反面 掷一个骰子： 1，2，3，4，5，6
— 给定的时间间隔、长度、面积、体积内 “成功”的平均数 e = 2.71828 x —给定的时间间隔、长度、面积、体积内 “成功”的次数
28
泊松概率分布的期望和方差
1. 2. 2.
3.
4.
泊松分布的数学期望为 E(X)= 方差为 D(X)=
29
§4.3 连续型随机变量及其分布
6
全概公式
设事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1+A2+…+ An= （满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且 P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则对任意事件B，有
P( B) p( Ai ) P( B | Ai )
我们把事件A1，A2，…，An 看作是引起事件B发 生的所有可能原因，事件B 能且只能在原有A1， A2 ，…，An 之一发生的条件下发生，求事件B 的概率就是上面的全概公式
i 1
n
i
1
15
离散型随机变量的概率分布
(0—1分布)
1.
一个离散型随机变量X只取两个可能的值
例如，男性用 1表示，女性用0表示；合 格品用 1 表示，不合格品用0表示
2.
列出随机变量取这两个值的概率
16
离散型随机变量的概率分布
(0—1分布)
【例】已知一批产品的次品率为p＝0.05，合格 率为q=1-p=1-0.05=0.95。并指定废品用1表示 ，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品 这一离散型随机变量，其概率分布为
第4章 概率分布与抽样分布
正态分布和标准正态分布的特征和概率计算 抽样分布的概念和几种常用的抽样分布
1
4.1 事件的概率
事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性 大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义、几何定 义和主观概率定义
2. 3.
13
连续型随机变量
(continuous random variables)
1. 2. 3.
随机变量 X 取无限个值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴 上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子
试验 抽查一批电子元件 新建一座住宅楼 测量一个产品的长度 随机变量 使用寿命(小时) 半年后工程完成的百分比 测量误差(cm) 可能的取值 X0 0 X 100 X0
连续型随机变量的期望和方差
1.
连续型随机变量的数学期望为
2.
方差为
E ( X ) xf ( x)dx
D( X )
x E ( X ) f ( x)dx 2
1.
2. 3. 4.
2
概率的统计定义
在相同条件下进行n次随机试验（观察或实
验），事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件 A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一 常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向 于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率， 记为
m P ( A) p n
P( B) p( Ai ) P( B | Ai )
i 1
3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02 0.0345
8
贝叶斯公式
(逆概公式)
1.
2.
与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件 概率的基础上寻找事件发生的原因 设n个事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1+A2+…+ An= (满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组 )，且 P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则
7
n
i 1
全概公式
(例题分析)
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的 次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产 量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取 一个是次品的概率。 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来 自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取 到次品”。根据全概公式有
D( X ) E[ X E ( X )]
2
若X是离散型随机变量，则 D( X )
x
i 1
i
E ( X ) pi
2
21
几种常见的离散型概率分布
22
二项分布
(贝努里试验)
1. 2.
二项分布与贝努里试验有关 贝努里试验具有如下属性