苏州新草桥中学高一第一学期数学竞赛试题
苏州新草桥中学2018-2019学年第一学期高三数学10月测试试卷
要
7、 已知函数 f (x) log a ( x 1) 的定义域和值域都是 [0,1] ，则 a 的值是
ห้องสมุดไป่ตู้
．
答
8.函数 y x2 x 的单调减区间是 ________________ ．
题
)
9. 若方程 x2＋ 2mx＋ 3m＋ 4=0 的两个根均大于－ 1，则实数 m 的取值范围为 ________．
的值 18. 已知函数 f(x)= 错误！未找到引用源。 . (1) 当 a=b=1 时 , 求满足 f(x)=3 x 的 x 的取值集合 ; (2) 若函数 f(x) 是定义在 R上的奇函数 , 存在 t ∈ R, 使得不等式 f(t 2-2t)<f(2t 求 k 的取值范围 .
2-k) 有解 ,
13. 已知函数 ________ ．
3x，
f(x)＝
92－
3 2x，
x∈ [0， 1]， ,f(f(t)) ∈ [0 ， 1] ，则实数
x∈（ 1， 3].
t 的取值范围是
14. 已知函数 f (x)
(2 x x2 )e x, x ≤ 0,
x2
4x 3, x
g (x) 0,
f (x) 2k ，若函数 g( x) 恰有两个不同的零
点，则实数 k 的取值范围为
二．解答题：
15. 已知集合 A= x | x 3 x 3a 5 0 , 函数 y lg x2 5x 14 的定义域
为集合 B
（1） 若 a 4, 求集合 A B;
（2） 若“x A”是 “x B”的充分条件，求实数 a的取值范围 .
16.已知 ABC ，内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，且满足下列三个条件：
江苏省苏州市新草桥中学高中等差数列知识点和相关练习试题
一、等差数列选择题1．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-45．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．496．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2207．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．248．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．859．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．1610．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．2B ．43C ．4D ．4-11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46513．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10014．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．10515．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．616．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >D ．70S <，且80S <17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7218．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 19．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 20．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7B ．10C ．13D ．16二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列23．题目文件丢失！24．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．225．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．426．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值28．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ）A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅29．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d < C ．80a = D ．n S 的最大值是8S 或者9S30．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 2．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 3．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 4．A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.5．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 6．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 7．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 8．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ． 9．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n nx x +-＝33()()144n q x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 13．B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m +=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即21212k k b --=， 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B. 14．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B.15．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 16．A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A . 17．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 18．C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d =则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+ 故选：C 19．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 20．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C二、多选题21．BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.22．ABC【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确； 数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC23．无24．ABC【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n -<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】 根据不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立， 由12+n 递减，且1223n <+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n <-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC .【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 25．BD【分析】 利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2．∴1n n a a -的最大值为3． 故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．BCD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确；因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+， 所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈，所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确.故选：BCD.27．BD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.28．ABC【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．29．BD【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案．【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．30．ABC【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(1) \)的值。
A. -2B. -1C. 0D. 12. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，求\( A \cup B \)。
A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3, 4\} \)D. \( \{1, 4\} \)4. 已知等差数列的第1项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 14B. 17C. 20D. 235. 已知正弦函数\( y = \sin x \)的周期为2π，求\( y = \sin 2x\)的周期。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π6. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 157. 函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, 2)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减8. 已知\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( a + b = 5 \)，求ab的值。
A. 12B. 10C. 8D. 69. 已知\( \cos x = \frac{3}{5} \)，\( \sin x \)的值在区间[-1,1]内，求\( \sin x \)的值。
A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)10. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，求\( \log_{16} 8 \)的值。
A. \( \frac{3}{4} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{3}{2} \)D. \( \frac{4}{3} \)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数\( h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( h(2) \)的值。
2021-2022年高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程的实数解为 ．提示与答案：x ＜0无解; 当时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32． 2．函数R 的单调减区间是 .提示与答案：与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， Z ． 3．在△中，已知，，则＝ .提示与答案：216AB AC AB BC AB ⋅-⋅==，得． 4．函数在区间上的最大值是 ，最小值是 ．提示与答案：极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0．5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，其中、、，则的取值范围为 ．提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]．6．设函数的定义域为R ，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点.提示与答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数满足问题中的条件，且的一个零点恰为，k ∈Z . 所以至少有50个零点. 7．从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 ．提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中 镀金银的概率是 ．提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13 ．9．在三棱锥中，已知，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠ ，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为 ．提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．10．设复数列满足，，且．若对任意N * 都有，则的值是 ． 提示与答案：由，恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为或，故，所以 ．（第7题）二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若，证明：线段的中点在椭圆上．解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则x124＋y12＝1，x224＋y22＝1．由，得M(35x1＋45x2，35y1＋45y2)．因为M是椭圆C上一点，所以(35x1＋45x2)24＋(35y1＋45y2)2＝1，…………………6分即 (x124＋y12)(35)2＋(x224＋y22)(45)2+2(35)(45)(x1x24＋y1y2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x1x24＋y1y2)＝1，故x1x24＋y1y2＝0．…………………14分又线段AB的中点的坐标为 (x1＋x22，y1＋y22)，所以(x1＋x22)22＋2(y1＋y22)2＝12(x124＋y12)+12(x224＋y22)+x1x24＋y1y2＝1，从而线段AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)在椭圆x22＋2y2＝1上．………………20分12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．(1) 求数列的通项公式；(2) 求出所有的正整数，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数. 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)， 即9d 2－14d +5=0，得d=1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5． (10)分(2) 由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3． (20)分13．如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足.过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、． 证明： (1) 点、、、共圆；(2) 四边形是矩形．证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ， 又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ， ∴ ∠BAF =∠BHF ，∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆；…………………8分(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BFA ， ∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ，又AD 是圆的直径，∴ CG ⊥AC ， …………………14分A BC DE F H G由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG，∴B、G、C、F共圆.∴∠BGC=∠AFB=900, ∴BG⊥GC，∴所以四边形BFCG是矩形．…………………20分14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，∴x2+3x= (x+1)2，∴x=y =1. (5)分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y= (x+1)2，得3y =2x+1，由此可知y是奇数，设y =2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，得k=5，从而求得x=16，y=11. (15)分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)．…………………20分28311 6E97 溗ba 20443 4FDB 俛19997 4E1D 丝321614 546E 呮24293 5EE5 廥21336 5358 単A36710 8F66 车23038 59FE 姾32245 7DF5 緵。
江苏省苏州新草桥中学2019-2020学年高一10月月考数学试卷
苏州新草桥中学2019-2020学年第一学期高一数学10月考试卷一．选择题（每题5分，共12题，总分60分）1． 已知集合{}0,1,2A =，{}1,2B =-，则=A B （ ）A ．∅B ．{}2C ．{}1,2-D ．{}1,0,1,2-2.集合{1,0A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有 （ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个3. 设集合，，则 ( ) A. B. C. D.4．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-25. 设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =>.若A B ⊆，则a 的范围是（ ） A.1a ≥ B 1a ≤ C.2a ≥ D.2a ≤6.下列四个函数中，在()+∞,0上是增函数的是（ ）A.()x x f -=3B.()x x x f 32-= C.()11+-=x x f D.()x x f -=7.已知函数xx f -=21)(与2)(+=x x g 的定义域分别为M ，N ，则=⋂N M（ ） A.{}2-≥x xB.{}22<≤-x x C.{}22<<-x xD. {}2<x x8. 函数的单调增区间是（ ） A ． B ．C ．D ．9. 若集合{}{}1,1,10A B x mx =-=+=，且A B A ⋃=，则实数m 的取值集合是（ ）A. {}1,1-B. {}1C. {}1-D.{}1,0,1-10. 函数y x =+ ）A.9(,]4-∞ B.9(,)4-∞ C.9(,)4+∞ D.9[,)4+∞11. 若偶函数()f x 在(,1]-∞-上是增函数，则（ ） A.3()(1)(2)2f f f -<-< B.3(1)()(2)2f f f -<-<C.3(2)(1)()2f f f <-<- D.3(2)()(1)2f f f <-<-12. 函数2y ax bx =+与y ax b =+(0)ab ≠的图象只能是 ( )A. B. C. D. 二．填空题（每题5分，共4题，总分20分）13. 已知集合{}{}1,3,,3,5A m B ==，且B A ⊆，则实数m 的值是_________.14. 已知集合，若，则实数m 的取值范围是______．15. 函数在区间上是增函数，在区间（3，5）上是减函数，则实数的取值范围是______16. 已知函数y=f （x ）的定义域是[0，4]，则函数f x 1y+=的定义域是______．三．解答题17．（本题10分）已知全集集合{1,2,3}A =，{2,4}B =．求：（1）A B ，U C A ，U C B ；（2）A B ，()U C A B ；18.（本题12分） 已知函数．求、、的值；若，求a 的值．19. （本题12分） 若集合，.若，求实数的取值范围．20. （本题12分）（1）已知f （x ＋1）＝x 2＋4x ＋1，求f （x ）的解析式． （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x ＋1）－f （x ）＝2x ＋9.求f （x ）．21. （本题12分）（1）用函数的单调性的定义证明函数在上是增函数；（2）设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1＋m )＋f (m )＜0，求实数m 的取值范围。
江苏省新草桥中学2018-2019学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含答案
苏州新草桥中学2018—2019学年度第一学期高一年级数学12月测试试卷一、填空题：（本题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题纸相应位置上）．1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}3,4A =，则=A C U ▲ ．2．函数()3sin 223f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ． 3．︒300tan = ▲ ．4．已知θ满足sin 0cos 0θθ>⎧⎨<⎩，则θ是第 ▲ 象限角． 5．函数lg y x 的定义域是 ▲ ．6．已知扇形的半径为10cm ，圆心角为60︒，则该扇形的面积为____▲_____2cm .7. 已知函数2()45f x x x =-+在区间[),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8. 已知()sin 2tan 1f x a x b x cx =+++，且(2)2018f -=，那么(2)f = __▲____．9．设函数()3log 020x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，则19f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ▲ ． 10.已知51cos()123πα+=，且2ππα-<<-，则cos()12πα-的值为 ▲ ． 11.若方程2320x tx t ++-=的一根在区间()2,2-上，另一根在区间()3,+∞上，则实数t 的取值范围 ▲ .12．若函数()3sin 2f x x ω=+，（0ω>）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω取值范围是▲ ． 13．已知函数,55)(x x x f -=-满足()()20f m f m +-< ，则实数m 取值范围为 ▲ .14.已知下列命题其中正确的序号是 ▲ ． ①函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin πx y 的图象关于直线6x π=-对称；②要得到函数cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，需把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度；③已知函数2()2cos 2cos 3f x x a x =-+，当2a ≤-时，函数()f x 的最小值为()52g a a =+；④已知角,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角，则点(sin cos ,cos sin )P A B A C --在第四象限．二、解答题：（本题共6道题，计90分．请把答案填写在答题纸相应位置上,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．15．（本题满分14分）设全集为R ，集合{35}A x x x =<->或，{}210B x x =-<<．（1）求()R C A B ⋂；（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．16．（本题满分14分）(1)已知角α的终边过点(P ，求sin cos αα+的值；(2)已知1sin 3β=-，求cos β和tan β的值．17．（本题满分14分）（1）已知31sin(),()22παπαπ-=-<<，求角α的集合；（2）已知tan 2x =，求2sin 3cos 4sin cos x x x x-+的值； （3）在△ABC 中，若1sin cos 5A A +=，求cos sin A A -的值．18．（本题满分16分） 已知函数2()21x x a f x +=+为奇函数． （1）求a 值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义证明结论；（3）解不等式()30325f x ≤-≤．19．（本题满分16分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,||A ωϕπ>><）的一段图象如下图所示，（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =()y g x =的图象,若关于x 的方程()0g x a -=在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上只有一个实数解，求a 的取值范围．20．（本题满分16分） 已知函数1)6sin(4)(+-=πx x f ，)0()(>-=a a x x x g ．（1）求函数()f x 的最大值，并求出相应的x 的取值集合；（2）当2=a 时，求不等式(())()g f x f x ≤，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的解集； （3）若2)())((+<x f x f g 对于任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,6ππx 都成立，求实数a 的取值范围. 高一年级数学12月测试试卷参考答案一、填空题1．{1,2} ； 2．π ； 3. 3- ； 4. 二 ；5．（0,3]； 6．103π； 7． 2a ≤； 8．2016-； 9．41 ；10．322- ；11．7(2,)6--；12．⎥⎦⎤ ⎝⎛23.0； 13. 1>m ； 14．②③④二、解答题15.（1）{35}R C A x x =-≤≤，∴()(2,5]R C A B ⋂=-． ……………………………………………………7分 （2）229110a a a ≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩, …………………………………………………14分 16.（1）213+ ………………………………………6分 （2）322cos ±=β ………………………………………10分 42tan ,322cos -==ββ ………………………………………12分 42tan ,322-cos ==ββ ………………………………………14分 17. (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧32，32-ππ ………………………………………5分 (2) 91 ………………………………………9分 (3) 57-………………………………………14分18. （1）1-=a ………………………………………4分(2) ()x f 在R 上是增函数 ………………………………………5分证明略 ………………………………………10分（3）不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤3432x x ………………………………………16分 19（1）由题意知： 32,2,4A πωϕ=== 3()2sin(2)4f x x π=+ --------------------5分 （2）由3222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得 588k x k ππππ-≤≤- 减区间为5[,],88k k k Z ππππ--∈ --------------------10分 （3）11-<<a 或2=a --------------------16分 20（1）()x f 最大值为5，x 的取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,232ππ．．．．．．4分 （2）令[]5,1)(∈=x f t 2152222)(22≤≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧+--=-=t t t t t t t t t g ， 只要在[]t t g t ≤∈)(上解不等式5,1，即t t t ≤-2， 当21,2时，2132,2时，2522<≤∴≤+-<≤≤≤∴≤-≥>t t t t t t t t t t 31≤≤∴t ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈≤-∴≤+-≤∴3，6解得32,621)6sin(31)6sin(41ππππππx x x x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分（3）122518+<<a ．．．．．．．．．．．．．．16分。
2024届江苏省苏州市新草桥中学数学高三第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
2024届江苏省苏州市新草桥中学数学高三第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．2．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ）A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x xB ．20,(1)(1)∀+>-x x x xC ．20,(1)(1)∃>+-x x x xD ．20,(1)(1)∃+>-x x x x3．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，6SC =则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π4．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．325．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．16．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（ ）A ．58B ．34C ．54D ．527．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-8．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．9409．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒10．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件11．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >12．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
江苏高一高中数学竞赛测试带答案解析
江苏高一高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.____________．2.已知，，映射满足．则这样的映射有____________个．3.设函数，（其中表示不超过的最大整数），则函数的值域为____________．4.已知，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，则____________．5.已知数列满足,，则的最小值为____________．6.从椭圆外一点作椭圆的两条切线和，若，则点轨迹方程为____________．7.已知圆，抛物线，设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于线段的中点，如果这样的直线恰有4条，则的取值范围是____________．8.函数的定义域和值域为，的导函数为，且满足，则的范围是____________．9.已知函数，若存在非零实数使得，则的最小值为____________．10.集合中有____________对相邻的自然数，它们相加时将不出现进位的情形．二、解答题1.求的值．2.如图，圆和圆相交于点，半径、半径所在直线分别与圆、圆相交于点，过点作的平行线分别与圆、圆相交于点．证明：．3.设点，是正三角形，且点在曲线上．（1）证明：点关于直线对称；（2）求的周长．4.设是正数数列，，且．求证：．江苏高一高中数学竞赛测试答案及解析一、填空题1.____________．【答案】【解析】2.已知，，映射满足．则这样的映射有____________个．【答案】35【解析】对应同一个数:有5种;对应不同两个数:有种；对应不同三个数：有种，所以共35种3.设函数，（其中表示不超过的最大整数），则函数的值域为____________．【答案】【解析】当时，=当时，=所以值域为4.已知，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，则____________．【答案】【解析】由题意可设，由得所以5.已知数列满足,，则的最小值为____________．【答案】【解析】点睛：在利用叠加法求项时，一定要注意使用转化思想.在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用基本不等式求最值时注意数列定义域，明确等于号是否取到.6.从椭圆外一点作椭圆的两条切线和，若，则点轨迹方程为____________．【答案】【解析】设点为，则方程为，与联立方程组得，所以，由题意得的两根乘积为-1，所以，当的斜率不存在时也满足，因此点轨迹方程为7.已知圆，抛物线，设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于线段的中点，如果这样的直线恰有4条，则的取值范围是____________．【答案】【解析】设直线方程 ,与抛物线方程联立得中点当时,显然有两条直线满足题意,因此时,还有两条直线满足题意,即点睛：解析几何范围问题，一般解决方法为设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中列不等关系，从而得到取值范围．8.函数的定义域和值域为，的导函数为，且满足，则的范围是____________．【答案】【解析】令，则即的范围是点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等9.已知函数，若存在非零实数使得，则的最小值为____________．【答案】【解析】由题意得即因此点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.集合中有____________对相邻的自然数，它们相加时将不出现进位的情形．【答案】167【解析】考虑从1000到1999,这些数中,个位为0、1、2、3、4且十位为0、1、2、3、4且百位为0、1、2、3、4时不发生进位,否则会发生进位.还有,末位为9、99、999时,也不发生进位.因此从1000到1999（实际是2000,即最后一对是【1999、2000】）中,共有：5×5×5 + 5×5 + 5 + 1= 156对考虑从2000到2017,这些数中,有5+6=11对,所以共有156+11=167对二、解答题1.求的值．【答案】【解析】解：2.如图，圆和圆相交于点，半径、半径所在直线分别与圆、圆相交于点，过点作的平行线分别与圆、圆相交于点．证明：．【答案】见解析【解析】试题分析:根据平角得三点共线，根据同弦所对角相等得四点共圆．根据四点共圆性质得，即得，同理可得，根据等量性质得．试题解析:解：延长、分别与圆、圆相交于点，连结．则，所以三点共线．又，于是四点共圆．故，从而，因此，同理．所以．3.设点，是正三角形，且点在曲线上．（1）证明：点关于直线对称；（2）求的周长．【答案】（1）见解析（2）的周长为．【解析】（1）即证，由，可化简得证（2）设，则．由化简得，其中，解得，反代即得，的周长为．试题解析:（1）证明：设上一点为，则其与点的距离满足．由，知，化简得，所以，，点关于直线对称．（2）解：设，则．则，而，令，由是正三角形有得，解得或（舍去），所以，的周长为．4.设是正数数列，，且．求证：．【答案】见解析【解析】放缩证明：先证，再证．前面用数学归纳法证明，后面用导数求证，再令，则有．由裂项相消法求和可得结论试题解析:下面用数学归纳法证明：当，时，，①当时，，上述结论成立；②设时，成立，则当时所以当时，结论也成立．综合①②得，对任意的，都有．当时，；当时，．下面证明：，即证明．设函数，则，所以在上是增函数，所以恒成立，即．令，则有．故所以．综上可得．。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。
答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。
答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。
如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。
答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。
首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。
设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。
可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。
对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。
同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
高一数学联赛选拔赛(奥赛班入学)试卷(含参考答案)
第4题图班级： 姓名： 班级座位号： 考场号：密封线内不要答题**中学高一数学联赛选拔赛试卷命题人：吴铭一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．在下列实数中：-5、5、2、0，最大的数是（ ）．A ．5-B ．5C ．2D ．02．抛物线224y x x =--与x 轴分别交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．253．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图l ）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠）， 则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）A ．36ºB ．42ºC ．45ºD ．48º4．花园小径旁有一个圆柱状果皮垃圾筒，圆柱体的底面半径为18cm ，圆柱形的侧面由20块大小相同的小木条均匀围成一圈，垃圾入口处是一个切除了高为20cm 的5块小木条的柱面方孔，则这个垃圾筒切除的侧面面积是（ ）． A ．2120cm π B ．2144cm πC ．2180cm π D ．2240cm π5．已知+∈∈R y R x ,,集合},1,,1{2---++=x x x x A }1,2,{+--=y yy B .若B A =,则22y x +的值是( ) A.5 B.4 C.25 D.106．设⊕是R 上的一个运算，A 是V 的非空子集，若对任意a b A ∈，，有a b A ⊕∈，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ） A ．自然数集 B ．有理数集C ．整数集D ．无理数集7．设xx＝x f -+11)(，记()()1f x f x =，若，x f f x f n n ))(()(1=+ 则＝x f )(2006（ ） A 、x B 、-x 1 C 、x x -+11 D 、11+-x x 8．设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为（ ） A ．31B ．32 C ．1 D ．34二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．在矩形ABCD 中，6BC =，8CD =，以A 为圆心画圆，且点D 在A 内，点B 在A 外，则A 半径r 的取值范围是 ．10．如图，已知弦AB ∥CD ，请用无刻度．．．的直尺，准确作出该圆的直径（保留作图痕迹）． 11．定义M 与P 的差集为M-P={x | x ∈M 且x 不∈P} ，若A={y | y=x 2 }，B={x | -3≤x≤3} ，再定义 M △N =（M-N ）∪（N-M ），则A △B= ． 12．若非空集合S 满足，且若，则，那么符合要求的集合S 有___________个．13．映射f : {a , b , c , d}→{1，2，3}满足1<f (a )·f (b )·f (c )·f (d)<5，这样的映射f 有_______个. 14. 设函数f ：R →R 满足f (0)=1，且对任意x ,y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )-f (y )-x +2，则f (x )=________.三、计算题（17-19题每题8分，20-23题10分，共64分） 15．根据如图所示的程序计算．（1）选取一个你喜欢的x 的值，输入计算，试求输出的y 值是多少？（2）是否存在这样的x 的值，输入计算后始终在内循环计算而输不出y 的值？如果存在，第10题图DCBA第3题图第9题图请求出x 的值；如果不存在，请说明理由．16．已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }．（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．17．抛物线2y x =在直角坐标系中向下平移4个单位得到抛物线1y ，1y 与x 轴的交点为1A 、1B ，与y 轴的交点为1O ，1A 、1B 、1O 对应2y x =上的点依次为A 、B 、O ． （1）写出1y 的解析式及A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线y 和1y 及线段1AA 和1BB 围成的图形的面积； （3）若平行于x 轴的一条直线y m =与抛物线y 交于P 、Q 两点，与抛物线1y 交于R 、S 两点，且P 、Q 两点三等分线段RS ，求m 的值；18．已知集合},,,{4321a a a a A =，},,,{24232221a a a a B =，其中4321a a a a <<<，并且都是正整数．若},{41a a B A = ，1041=+a a ．且B A 中的所有元素之和为124，求集合A 、B ．19．我们给定两个全等的正方形ABCD 、AEFG ，它们共顶点A （如图1），可以绕顶点A 旋转，CD ，EF 相交于点P ． （1）连接BE 、DG （如图2），求证：BE DG =，BE ⊥DG ；图1输入x 输出y平方 乘以2 减去4若结果大于0否则图2（2）连接BG 、CF （如图3），有三个结论：①BG ∥CF ； ②ABG ∆∽PCF ∆； ③ABG ∆与PCF ∆相似． 请证明；图3（3）连接BE 、CF （如图4），求BECF的值．20. 已知2()2,f x x bx x =++∈R.（1）若函数()[()]()F x f f x f x x =∈R 与在时有相同的值域，求b 的取值范围；（2）若方程2()|1|2f x x +-=在（0，2）上有两个不同的根x 1、x 2，求b 的取值范围，并证明1211 4.x x +<**中学高一数学联赛选拔赛试卷参考答案及评分意见一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．68r << 10．如图，线段MN 即为圆的直径． 11． {x|-3≤x ＜0或x ＞3} 12．7 13.14 14. x +1三、计算题（15-18题每题8分，19-20题10分，共52分）15．解：（1）略．………………………………………………………………………………2分（2）当y x =，且0y <时，输入x 计算后始终输不出y 的值．此时224x x =-，………………………………………………………………………5分2240x x --=，21,2(1)(1)42(4)133224x --±--⨯⨯-±==⨯ ∵13304+>，13304-< ∴1334x -=为所求的x 的值，输入计算后始终输不出y 的值．…………………8分 16. （1）∵A 中有两个元素，∴方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，∴ 09160a a ≠⎧⎨=+>⎩，即a ＞－916，∴a ＞－916，且a ≠0． …4分（2）当a ＝0时，A ＝{－43}；…5分当a≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根， Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916；…………………………………………………………………………6分若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a ＜0，即a ＜－916；……………………………7分所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0． …………………………………………8分17.．（1）214y x =-， A （-2，4）、B （2，4）；………………………………2分（2）连接AB ，则抛物线1y 和11A B 围成的图形的面积等于抛物线y 和AB 围成的图形的面积，∴抛物线1y 和2y 及1AA 和1BB 围成的图形的面积等于正方形11AA B B 的面积=16；……5分（3）如图，∵RP PQ QS ==，∴3RS PQ = 246m m +=，解得 12m =…………8分 18．【解】4321a a a a <<<，且},{41a a B A = ，∴211a a =，又N a ∈1，所以.11=a …1分又1041=+a a ，可得94=a ，并且422a a =或.423a a =………………………3分 若922=a ，即32=a ，则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a （舍） 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A ………………………………5分 若923=a ，即33=a ，此时应有22=a ， 则B A 中的所有元素之和为100≠124．不合题意．………………………………7分综上可得， }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A ……………………………………8分 19．解： （1）证明：∵AB AD =，90BAE EAD DAG ∠=︒-∠=∠，AE AG =∴△ABE ≌△ADG ，即BE DG =．……………………………1分 分别延长GD ，BE 交于点M 交EF 于点N ，∵MEN ENM MEN AGD BEA NEM ∠+∠=∠+∠=∠+∠=90° ∴BE GD ⊥（∵ABE ∆≌ADG ∆，AB ⊥AD ，AE ⊥AG ， ∴ADG ∆可以看成由ABE ∆绕顶点A 旋转90°，即BE ⊥DG ．）………………2分（2）证明：①∵AB AG =，∴∠ABG =∠AGB ，∠CBG =∠FGB同理：∠BCF =∠GFC又∵∠CBG +∠FGB+∠BCF+∠GFC=360°∴∠CBG +∠BCF=180°，即BG ∥CF ；…………………5分 ②续① 又∵AB ∥PC ，AG ∥PF∴∠ABG =∠PCF ，∠AGB =∠PFC 即ABG ∆∽PCF ∆……6分 ③续② 连接AP 交GF 的延长线于1Q ，交BC 的延长线于2Q ， 则11Q P PF Q A AG =，22Q P PCQ A AB=，而AB=AG ，PC=PF ∴11Q P Q A =22Q PQ A，亦有12Q P Q P AP AP =，12Q P Q P = ∴1Q ，2Q 重合，即BC ，AP ，GF 相交于点Q ，ABG ∆与PCF ∆位似．……………………………8分（3）连接AC ，AF 可证得ABE ∆∽ACF ∆，1222BE AB CF AC ===．…………………………………10分 20.解:（1）当x ∈R 时，函数2()2f x x bx =++的图象是开口向上，且对称轴为2bx =-的抛物线，()f x 的值域为28,4b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，所以()[()]F x f f x =的值域也为28,4b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭的条件是228,280,2,442b bb b b b ----∴-即或≤≥≤≥， 即b 的取值范围为(,2][4,).-∞-+∞(2)222()|1|2,|1|0f x x x bx x +-=++-=即，由分析知0b ≠,不妨设221221,||1,02,()|1|21,||1,bx x x x H x x bx x x bx x +⎧<<<=++-=⎨+->⎩令≤因为()(0,1]H x 在上是单调函数，所以()0H x =在(0,1]上至多有一个解.若12,(1,2)x x ∈，即x 1、x 2就是2210x bx +-=的解，12102x x =-<，与题设矛盾. 因此，12(0,1],(1,2).x x ∈∈由111()0H x b x ==-得，所以1b -≤；由2221()02,H x b x x ==-得所以71.2b -<<-故当712b -<<-时，方程2()|1|2(0,2)f x x +-=在上有两个解.由212112b b x x x =-=-和消去b ，得212112.x x x += 由21211(1,2), 4.x x x ∈+<得。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。
A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。
A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。
6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。
7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。
三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。
10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。
11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。
12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。
答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。
江苏省新草桥中学数列多选题试题含答案
江苏省新草桥中学数列多选题试题含答案一、数列多选题1．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC 【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n na2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．3．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=， 故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.5．下列说法中正确的是（ ）A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有212n n n a a a ++=C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列 【答案】AC 【分析】利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立； 必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-， 可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-==-=，所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有212n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B选项错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，()2122122n n n d S na -=+，()3133132n n n dS na -=+， 所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22n n S S =-，所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0，故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】 方法点睛；1.判断等差数列有如下方法：（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）； （2）等差中项法：()122n n n a a a n N*++=+∈；（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；（4）前n 项和法：2n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.2.判断等比数列有如下方法： （1）定义法：1n na q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）； （2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠； （3）通项公式法：nn a p q =⋅（p 、q 为非零常数）； （4）前n 项和法：nn S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.6．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =C ．若12nn S =3+，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215a ＝ 【答案】AB 【分析】直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+20191822211=+++++=故A 正确.选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.选项C. 由12nn S =3+，可得当1n =时，11722a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误.选项D. 由122nn n a a a +=+，可得11112n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列. 所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826a ==，即1518a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列()1311n n a a +=++，11112n n a a +-=解决问题，属于中档题.7．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <【答案】BD 【分析】根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n nS n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2nn a =，24nn a =，数列{}2na 的前n 项和为()141444143n n nS +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．8．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ）A ．n n n ABC 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b b S S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.二、平面向量多选题9．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）A ．2OA OB + B ．1123OA OB +C ．3143OA OB + D ．3145OA OB + 【答案】AC 【分析】利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案. 【详解】由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''， 而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为11123+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确； 对于C ，因为311314312+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.10．下列说法中错误的为 （）A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为a D ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC 的内心 【答案】AC 【分析】对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C ，利用向量投影的定义即可判断；对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心.【详解】对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，可得()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++，即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+， 解得53λ>-且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-且0λ≠， 故A 不正确； 对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，124e e =，∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误；对于D ，AB CAAB CA +表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+= ⎪⎝⎭，可知OA 垂直于角A 的外角平分线， 所以，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，故点O 是ABC 的内心，D 正确.故选：AC.【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.。
苏教版高中数学必修一高一第一学期竞赛试题 .12
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）江苏省苏州新草桥中学高一第一学期数学竞赛试题 2015.12考查看图和画图能力时间：60分钟 分值：100分一．填空题：（每题5分，共75分） 1．函数()221()4x xf x -=的值域为 ．2. 若M 112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N 214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，P 312y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，三点都在函数ky x=(k<0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 3. 已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________．4.设二次函数32)(2+-=x x x f 在区间[]m ,0上的值域是[]3,2，则实数m 的取值范围是 5.当函数21-++=x x y 取最小值时，相应的x 的取值范围是__ ．6. 已知奇函数)(x f 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为]1,0()0,1[⋃-，则不等式1)()(->--x f x f 的解集是7. 函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为 个8.已知函数)(x f 是R 上的增函数，)1,0(-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，记不等式xy o1 1（第6题图）1- 1-1)1(1<+<-x f 的解集为M ，则M C R =9.已知函数f (x )＝32,2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩≥，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．10．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值的范围为11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，(0<)2πϕ<的图象与直线(0)y a a A =<< 的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递减区间是12.设函数01021(),()()1,()()2,f x x f x f x f x f x ==-=-则函数2()f x 的图象与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .13．函数[sin ]()3x f x =的值域是 ．（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）14．若()()()()s i n50t a n50s i n50t a n50yx xy--︒︒-︒≤-︒则y x + 0 （填“”或“ ”）15．已知α是函数()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点，β是函数()2008x g x xa =-)1(>a 的一个零点，则αβ的值为16．已知f(x)是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图所示，那么不等式 f （x ）cosx ＜0的解集是17.已知函数)(x f y =和)(x g y =在[]2,2-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程[]0)(=x g f 有且仅有6个根 ②方程[]0)(=x f g 有且仅有3个根13 yxO2③方程[]0)(=x f f 有且仅有5个根 ④方程[]0)(=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.二．解答题：（第一问7分，第二问8分，共15分） 18．设定义域为R 的函数21,0,()(1),0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩.（1） 在平面直角坐标系内作出该函数的图像；（2） 试找出一组b 和c 的值，使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +⋅+=有7个不同的实根.请说明你的理由.参考答案：1. （0,4］2. y 2>y 1>y 33. －l ≤a <04. []2,15. －l ≤x ≤26. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-10211|x x x 或 7. 3 8. (][)+∞⋃-∞-,21, 9. (0,1)10. ( ) 11. [63,6],k k k Z -∈ 12. 7 13.1,1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭14.15. 2008 16. （0，1）∪（2π，3） 17. ①③④18.解：(1)见下图.(2)(答案不唯一) 如21,23=-=c b 等. 设()0,2=++=c bt t t x f ,由图像可得以上有关于t 的方程必须有一解为1，另一解在区间()1,0中，才会使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +⋅+=有7个解. 其中,()1=x f 有3个解，()()0,1f x a =∈有四个解.所以可令21,121==t t ，即可得方程021232=+-x x .。
江苏省苏州市新草桥中学新高中数学数列多选题100含答案
江苏省苏州市新草桥中学新高中数学数列多选题100含答案一、数列多选题1．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221nn a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，其中n *∈N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立D ．当()2km k N *=∈时，有2n kn k aa +++=恒成立【答案】AC 【分析】题设中的递推关系等价为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，根据首项可找到{}n a 的局部周期性，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()14751221n n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，故1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数， 当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故58a a ≠，故B 错误.当2km =即12ka =时，根据等比数列的通项公式可有11222k kk a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =，所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A ．614a =B ．数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C ．对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=， 所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠，所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列， 所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确. ()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 一定是等比数列B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+【答案】BC 【分析】对于A 选项，若0p =，则数列{}n a 不是等比数列，当0p ≠时，通过题目条件可得112n n a a -=，即数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，然后利用等比数列的通项公式、前n 项和公式便可得出B ，C ，D 是否正确. 【详解】由1a p =，122n n S S p --=得，()222a p p p +-=，故22pa =，则2112a a =，当3n ≥时，有1222n n S S p ---=，则120n n a a --=，即112n n a a -=， 故当0p ≠时，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列；当0p =时不是等比数列，故A 错误；当1p =时，441111521812S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-，故B 正确； 当12p =时，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12m nm n m n a a a ++⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；当0p ≠时，38271133+22128a a p p ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，而56451112+22128a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故3856a a a a +>+，则D 错误； 故选：BC.4．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ） A ．数列{}n a 是等差数列 B ．12n n aC ．22222123213n na a a a -++++= D ．122334111111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD 【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】对任意的n *∈N ，21n n S a =-.当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =； 当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-， 上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B选项正确；()221124n n na --==，所以，22221231441143nn n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2nn n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以，12233411111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.5．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk kS k +=-- 【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k kS k ++=--结论计算即可. 【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2,则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．6．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列B ．若nn S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数列C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，分类讨论10a >与10a <两种情况，可判断D ； 【详解】对于A ，若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于B ，当2n ≥时，()111(1)nn n n n n a S S Aq B AqB Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，若10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；故选：AC 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档题.7．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A ．(1)2n n n a +=B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为20202021 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为40402021 D ．数列{}n a 的第50项为2550 【答案】AC 【分析】用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和即可得． 【详解】因为11n n a a a n +=++，11a =， 所以11n n a a n +-=+， 所以2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 11a =也适合此式，所以(1)2n n n a +=， 501275a =，A 正确，D 错误，12112()(1)1n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为202011111404021223202020212021S ⎛⎫=-+-++-=⎪⎝⎭，B 错，C 正确． 故选：AC ． 【点睛】本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.9．（多选题）已知函数()22()()n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则na 等于（ ）A ．()21n -+B ．21n -C ．21nD ．12n -【答案】AC 【分析】对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】当n 为奇数时，()()()()22112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩当为奇数时当为偶数时. 故选：AC . 【点睛】易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，1n +为奇数.10．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】BCD 【分析】由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以121423k k a --=⋅-，故S 奇()21321141232(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===+⨯++⨯--+++-=---，S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=+++=+++--，故2k S S =奇＋S 偶3285k k +=--，故121828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.故选：BCD . 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S 接近4000时的项数n ，从而得出结论．。
苏教版高中数学必修一高一第一学期竞赛试题 .12.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作江苏省苏州新草桥中学高一第一学期数学竞赛试题 2015.12考查看图和画图能力时间：60分钟 分值：100分一．填空题：（每题5分，共75分） 1．函数()221()4x xf x -=的值域为 ．2. 若M 112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N 214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，P 312y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，三点都在函数ky x=(k<0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 3. 已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________．4.设二次函数32)(2+-=x x x f 在区间[]m ,0上的值域是[]3,2，则实数m 的取值范围是 5.当函数21-++=x x y 取最小值时，相应的x 的取值范围是__ ．6. 已知奇函数)(x f 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为]1,0()0,1[⋃-，则不等式1)()(->--x f x f 的解集是7. 函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为 个8.已知函数)(x f 是R 上的增函数，)1,0(-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，记不等式（第6题图）1)1(1<+<-x f 的解集为M ，则M C R =9.已知函数f (x )＝32,2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩≥，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．10．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值的范围为11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，(0<)2πϕ<的图象与直线(0)y a a A =<< 的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递减区间是 12.设函数01021(),()()1,()()2,f x x f x f x f x f x ==-=-则函数2()f x 的图象与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .13．函数[sin ]()3x f x =的值域是 ．（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数） 14．若()()()()sin50tan50sin50tan50yxxy--︒︒-︒≤-︒则y x + 0 （填“”或“ ”）15．已知α是函数()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点，β是函数()2008x g x xa =-)1(>a 的一个零点，则αβ的值为16．已知f(x)是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图所示，那么不等式f （x ）cosx ＜0的解集是17.已知函数)(x f y =和)(x g y =在[]2,2-①方程[]0)(=x g f 有且仅有6个根 ②方程[]0)(=x f g 有且仅有3个根13 yxO2③方程[]0)(=x f f 有且仅有5个根 ④方程[]0)(=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.二．解答题：（第一问7分，第二问8分，共15分） 18．设定义域为R 的函数21,0,()(1),0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩.（1） 在平面直角坐标系内作出该函数的图像；（2） 试找出一组b 和c 的值，使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +⋅+=有7个不同的实根.请说明你的理由.参考答案：1. （0,4］2. y 2>y 1>y 33. －l ≤a <04. []2,15. －l ≤x ≤26. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-10211|x x x 或 7. 3 8. (][)+∞⋃-∞-,21, 9. (0,1)10. ( ) 11. [63,6],k k k Z -∈ 12. 7 13.1,1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭14.15. 2008 16. （0，1）∪（2π，3） 17. ①③④18.解：(1)见下图.(2)(答案不唯一) 如21,23=-=c b 等. 设()0,2=++=c bt t t x f ,由图像可得以上有关于t 的方程必须有一解为1，另一解在区间()1,0中，才会使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +⋅+=有7个解. 其中,()1=x f 有3个解，()()0,1f x a =∈有四个解.所以可令21,121==t t ，即可得方程021232=+-x x .。
苏州景范中学│草桥中学│数学高一上期末经典复习题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12109]已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．12．(0分)[ID ：12095]已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =-3．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．(0分)[ID ：12086]已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．(0分)[ID ：12107]德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．(0分)[ID ：12103]已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<8．(0分)[ID ：12032]函数121y x x =-++的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)9．(0分)[ID ：12067]已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．(0分)[ID ：12066]下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x11．(0分)[ID ：12046]已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－1213．(0分)[ID ：12074]对数函数y =log a x(a >0且a ≠1)与二次函数y =(a −1)x 2−x 在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．14．(0分)[ID ：12050]已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣ C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞15．(0分)[ID ：12040]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题16．(0分)[ID ：12226]已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.17．(0分)[ID ：12211]()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．18．(0分)[ID ：12205]已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．19．(0分)[ID ：12200]已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________. 20．(0分)[ID ：12177]已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．21．(0分)[ID ：12175]若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．22．(0分)[ID ：12166]0.11.1a =，12log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________.23．(0分)[ID ：12152]已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 24．(0分)[ID ：12144]若幂函数()a f x x 的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.25．(0分)[ID ：12132]已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()4f =______.三、解答题26．(0分)[ID ：12303]已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-. (1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 27．(0分)[ID ：12295]科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型x y pq r =+，其中y 为该物质的数量，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 为常数.（1）若5月份检测到该物质有32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由. （2）对于乙选择的模型，试分别计算4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？28．(0分)[ID ：12275]设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.29．(0分)[ID ：12268]设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 30．(0分)[ID ：12238]已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．B4．B5．D6．C7．D8．A9．C10．D11．B12．B13．A14．C15．D二、填空题16．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象17．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题18．【解析】【分析】【详解】故答案为19．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的20．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即21．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为22．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc从小到大的关系是故答案为：【点睛23．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像24．【解析】由题意有：则：25．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．2．C解析：C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=-故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.4．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．5．D解析：D 【解析】 【分析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则110102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =，又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．6．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.7．D解析：D 【解析】 【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c,()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】 考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10．D解析：D【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．B解析：B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.12．B解析：B 【解析】 y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 13．A解析：A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若0<a <1，则y =log a x 在(0,+∞)上单调递减，又由函数y =(a −1)x 2−x 开口向下，其图象的对称轴x =12(a−1)在y 轴左侧，排除C ，D. 若a >1，则y =log a x 在(0,+∞)上是增函数，函数y =(a −1)x 2−x 图象开口向上，且对称轴x =12(a−1)在y 轴右侧， 因此B 项不正确，只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14．C解析：C 【解析】 【分析】由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.15．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性二、填空题16．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.17．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题 解析：()6lg(6)f x x x =---+【解析】 【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-，再设(6,3)x ∈--，代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+，即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--，所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-，所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为：()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.18．【解析】【分析】【详解】故答案为 解析：【解析】 【分析】 【详解】故答案为.19．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞【解析】 【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,， 当0a ≥时，可知()ag x x x=+的值域为(),2,a ⎡-∞-+∞⎣，所以，此时有2≤，解得01a ≤≤， 当0a <时，()ag x x x=+的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.20．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可． 【详解】偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩，即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃， 故答案为()(),20,2-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．21．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为 解析：15-【解析】根据题意，当0x <时，()()(),f x g x f x =为奇函数，()()()()()()()()()211113(323)15f g f f f f f f f -=-=-=-=-=-+⨯=-，则故答案为15-.22．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc 从小到大的关系是故答案为：【点睛 解析：b c a <<【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.101.111.1a >==， 由对数函数的运算公式及性质，可得121122211log log ()222b ===，1ln 2ln 2c e =>=，且ln 2ln 1c e =<=， 所以a ，b ，c 从小到大的关系是b c a <<. 故答案为：b c a <<. 【点睛】 本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析：(4,1)(1,0)--⋃-【解析】 【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】 函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x x f x -==---当11x -<<时,()2111x x x f x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点 故答案为:()()4,11,0--⋃- 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.24．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 25．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知 解析：82【解析】 【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式，从而即可求解出()4f 的值. 【详解】令()3xf x t -=，所以()3xf x t =+，又因为()4f t =，所以34t t +=，又因为34ty t =+-是R 上的增函数且1314+=，所以1t =， 所以()31xf x =+，所以()443182f =+=.故答案为：82. 【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知()()f g x 的解析式，可考虑用换元的方法（令()g x t =）求解出()f x 的解析式.三、解答题 26． (1)1,22⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由真数大于0列出不等式组求解即可； (2)由312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案.【详解】(1)要使函数有意义，则12020x x +>⎧⎨->⎩，即122x -<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)∵312f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14a =， ∴1144()log (12)log (2)h x x x =+--，∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得123x <<， ∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题.27．（1）乙模型更好，详见解析（2）4月增长量为8，7月增长量为64，10月增长量为512；越到后面当月增长量快速上升. 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求两个模型的解析式，然后验证当5x =时的函数值，最接近32的模型好；（2）第n 月的增长量是()()1f n f n --，由增长量总结结论. 【详解】（1）对于甲模型有3425939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：113a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩23y x x ∴=-+当5x =时，23y =.对于乙模型有23359pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：121p q r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，21x y ∴=+当5x =时，33y =.因此，乙模型更好；（2）4x =时，当月增长量为()()4321218+-+=，7x =时，当月增长量为()()76212164+-+=，10x =时，当月增长量为()()1092121512+-+=，从结果可以看出，越到后面当月增长量快速上升.（类似结论也给分） 【点睛】本题考查函数模型，意在考查对实际问题题型的分析能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是读懂题意.28．（1）4,2a b ==（2）21log 2x +=（3）()[]0,240g x ∈ 【解析】 【分析】（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可 （2）令0f x得421x x -=，即()22210x x --=，然后解出即可（3）()42xxg x =-，令2x t =，转化为二次函数【详解】（1）由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得4,2a b ==；（2）由（1）知()()2log 42xxf x =-，令0fx得421x x -=，即()22210x x --=，解得122x =，又20,2x x >∴=，解得2log x = （3）由（1）知()42xxg x =-，令2x t =，则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈， 因为g t 在[]1,16t ∈上单调递增 所以()[]0,240g x ∈，29．（1）()24x xg x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 【解析】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,xxa a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3xf x =，且(2)18f a +=∴⇒∵∴（2）法一：方程为令，则144t ≤≤- 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+，y b =两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解． 法二： 方程为，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦1=1-40413{0416(4)012b b f b f b ∆>⇒<⎛⎫∴≤⇒≥⎪⎝⎭≤⇒≥- 解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．30．（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a的取值范围. 【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅.②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >-又A B =∅，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥，122a ∴-<≤-或2a ≥.综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
苏州新草桥中学2015-2016学年第一学期
苏州新草桥中学2015－2016学年第一学期高三数学10月调研卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置)1．已知集合{}30x x M =->，{}1,2,3,4,5N =，则M N = ▲ ．2．命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．3.已知复数z 满足()342i z i +=-，则复数z = ▲ ．4．“0x >”是“20x >”的 ▲ ．（填“充分必要条件”）5．某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样 的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ． 6．函数2ln(2)y x =-的定义域为 ▲ ．7．若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲8．若函数ln 26y x x =+-的零点为0x ，则满足0k x ≤的最大整数k = ▲ ．9．已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ．若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．10．若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:e x C y =在1x =处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ 11.已知23()344f x x x =-+，若()f x 的定义域与值域都是[],a b ，则a b += ▲ ． 12．已知定义在R 上的函数()f x ，满足1(1)5f =，且对任意的x 都有1(3)()f x f x +=-，则(2014)f = ▲ ．13．用min{a,b,c}表示a,b, c 三个数中的最小值，设{}()min 2,2,10xf x x x =+- (x ≥0),则()f x 的最大值为 ▲14．已知函数x x x f ln )(=，当012>>x x 时，下列结论中正确的命题的序号是 ▲ ．①0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ；②1)()(2121<--x x x f x f ；③1221)()(x x f x x f +<+； ④)()(2112x f x x f x <， 二、解答题(本大题共6个小题，共90分)15．已知函数x x x f ωωcos 3sin )(+=的最小正周期为π，（R x ∈，0>ω是常数） (1)求ω的值； (2)若56)122(=+πθf ，)2, 0(πθ∈，求θ2sin ． 16．已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0，x ∈R}，B={x|x 2﹣2mx+m 2﹣4≤0，x ∈R ，m ∈R}．（1）若A ∩B=[0，3]，求实数m 的值； （2）若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， sin sin tan cos cos A B C A B +=+.（1）求C ；（2）若△ABC 的外接圆直径为1,求a b +的取值范围.18.设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =，q a b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本． （1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格． 20．已知函数f (x )＝ln x －mx （m R ）．（1）若曲线y ＝f (x )过点P (1,－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程；（2）若f (x )≤0恒成立求m 的取值范围。
苏州新草桥中学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．设函数()f x 是定义R 在上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，1()2x f x -=，若32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()30.5b f -=，()60.7c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >>D ．c b a >>2．设()f x 为定义在R 上的函数，函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论：①()10f =；②()()11f x f x -=-+； ③函数()f x 的图象关于原点对称； ④函数()f x 的图象关于点()1,0对称； 其中，正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．对于实数a 和b ，定义运算“*”：,,,.b a b a b a a b ≤⎧*=⎨>⎩设()f x x =，()224g x x x =--+，则()()()M x f x g x =*的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．y =B ．2log y x =C ．1y x x=+D ．5y x =5．函数y =的值域是（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,1C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)0,+∞6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4等于（ ） A ．－6 B ．6 C ．－8D ．87．已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数，(6)3f =，()f x 在(,4]-∞上单调递减，则不等式(24)3f x -<的解集为（ ） A ．(4,6)B ．(,4)(6,)-∞⋃+∞C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．(3,5)8．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()1sin 2f x x x =-的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知()f x 是R 上的奇函数，且对x ∈R ，有()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则()2log 41f =（ ）A ．40B ．2516C ．2341D ．412310．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[1,1]x ∈-都有()()f x f x -=-；②任意的,[0,1]m n ∈，当m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-，则不等式(12)(1)0f x f x -+-<的解集是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a <-或2a > B ．2a > C ．22a -<< D ．2a <12．函数3e ex x x y -=+（其中e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．13．函数1()2lg f x x x=+-的定义域为（ ） A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)(1,2]⋃D ．(,2]-∞14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足下列两个条件： ①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②x ∀∈R ，都有()()8f x f x +=.若()7a f =-，()11b f =，()2020c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<15．函数2222(1)ln 2(1)x y x x +=-⋅+的部分图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，且当(0,1)x ∈时，3()24x f x =-，则12(log 25)f =________．17．定义在[0,)+∞上的函数()y f x =满足：（1）(2)0f =；（2）当02x <<时，()0f x ≠；（3）任意的,0x y >总有()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅成立．则1(3)2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．18．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递减，则不等式()()221f x f x ->+的解集是_______.19．已知函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是________.20．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(63)2f x f x +-≤的解集是________． 21．幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．22．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()21f =-，对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--，则()2020f =_________.23．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________ 24．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________.25．已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________. 26．已知函数()()()()22sin 1R f x x x x x a a =--++∈在区间[]1,3-上的最大值与最小值的和为18，则实数a 的值为______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由(1)(1)f x f x +=-可得函数的周期为2，再利用周期和偶函数的性质将32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()30.5b f -=，转化使自变量在区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小 【详解】解：因为(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=， 所以函数()f x 的周期为2，因为函数()f x 是定义R 在上的偶函数， 所以331122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()30.5(8)(0)b f f f -===，因为62100.70.72<<<，()f x 在[0,1]上单调递增， 所以61(0)(0.7)()2f f f <<， 所以b c a <<， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数周期性，单调性和奇偶性的应用，解题的关键是利用函数的周期将自变量转化到区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小，属于中档题2．C解析：C 【分析】令()()1g x f x =+，①：根据()00g =求解出()1f 的值并判断；②：根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-，化简此式并进行判断；根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 【详解】令()()1g x f x =+，①因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()0010g f =+=，所以()10f =，故正确； ②因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()g x g x -=-，所以()()11f x f x -+=-+，即()()11f x f x -=-+，故正确；因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的，又()1y f x =+的图象关于原点对称，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④， 故选：C. 【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若()f x a +为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若()f x a +为奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称.3．B解析：B 【分析】由题意可得()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩，通过解不等式得出()()211724,12117,1,x x x M x x x ⎧⎡⎤----+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫--⎪∈-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数()M x 的图象，根据函数图象可得答案. 【详解】由条件有()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩当0x ≥时，()224g x x x x =--+≥，得到01x ≤≤， 即01x ≤<时，()()f x g x <，当1x >时，()()f x g x > 当0x <时，()224g x x x x =--+≤-，得117x --≤即当117x --≤时，()()f x g x >，当1170x --<<时，()()f x g x <所以()()211724,1117,1,x x x M x x x ⎧⎡⎤----+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫--⎪∈-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩作出函数()M x 的图象，如图所示，由图可得，当1x =时，()M x 有最小值1 故选：B4．D解析：D 【分析】对四个选项一一一判断：A 、B 不是奇函数，C 是奇函数，但在()0,∞+上不单调. 【详解】 对于A ：y =()0,∞+上单调递增,但是非奇非偶，故A 错误；对于B ：2log y x =为偶函数，故B 错误； 对于C ：1y x x=+在（0,1）单减，在（1，+∞）单增，故C 错误； 对于D ：5y x =既是奇函数也在()0,∞+上单调递增，符合题意. 故选：D 【点睛】四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.5．C解析：C 【分析】令t =，转化为21ty t =+，0t ≥，根据均值不等式求解即可. 【详解】令t =,则0t ≥，当0t =时，0y =， 当0t ≠时，2110112t y t t t <==≤=++，当且仅当1t =时，即2x =时等号成立， 综上102y ≤≤， 故选：C 【点睛】关键点点睛：注意含根号式子中，经常使用换元法，利用换元法可简化运算，本题注意均值不等式的使用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】由奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )可推出周期为8，对称轴为2x =，画出函数大致图象，由图象分析f (x )＝m 的根的分布情况即可 【详解】f (x )在R 上是奇函数，所以f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )，令4x x =-得()()8f x f x -=，故()f x 周期为8，即()()()4(4)x f f x f f x x =+==--－，即()()4f x f x -=，函数对称轴为2x =，画出大致图象，如图：由图可知，两个根关于6x =-对称，两个根关于2x =对称，设1234x x x x <<<， 则12346212224x x x x +=-⨯=-+=⨯=,，故12348x x x x +++=-， 故选：C 【点睛】结论点睛：本题考查由函数的奇偶性，周期性，对称性求根的分布问题，常用以下结论： （1）()()()()1f x f x a f x f x a =-+=±+,，则()f x 的周期为2T a =；（2）()()2f x f a x =-，则函数的对称轴为x a =.7．D解析：D 【分析】由题知函数()f x 的图象关于直线4x =对称，则有()f x 在[4,)+∞上单调递增，且有(6)(2)3f f ==，再利用单调性解不等式即可得结果.【详解】因为(4)f x +是偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线4x =对称，则(6)(2)3f f ==. 因为()f x 在(,4]-∞上单调递减，所以()f x 在[4,)+∞上单调递增， 故(24)3f x -<等价于224x <-6<，解得35x <<. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是能得出函数()f x 的图象关于直线4x =对称，进而判断出函数的单调性来，要求学生能够熟悉掌握函数性质的综合应用.8．A解析：A 【分析】由判断函数()f x 的奇偶性以及利用导数得出区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性即可判断. 【详解】()()()111sin sin sin ()222f x x x x x x x f x ⎛⎫-=---=-+=--=- ⎪⎝⎭则函数()f x 在R 上为奇函数，故排除B 、D.()1cos2f x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 2x >，即0fx所以函数()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故排除C故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.9．C解析：C 【分析】由已知得(4)()f x f x +=，由对数函数性质估计出2log 41(5,6)∈，然后利用已知条件把自变量变小为2log 416(1,0)-∈-，再由奇函数定义可求得函数值． 【详解】25log 416<<，()()()()()2222f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+=⎡⎤⎣⎦，故()()()()2222log 41log 414log 4166log 41f f f f =-=--=-.∵()26log 410,1-∈，故()26log 41264236log 412114141f --=-=-=. 故选：C ． 【点睛】本题考查求函数值，方法是由已知条件得出函数的周期性，利用周期性和已知等式把函数自变量变小到(1,0)-上，然后由奇函数定义变到(0,1)上，从而由已知解析式求得函数值．10．D解析：D 【分析】根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-，再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解. 【详解】根据题意，由①知函数()f x 为奇函数，由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数，所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数，所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<，移项得(12)(1)f x f x -<--，变形(12)(1)f x f x -<-，所以11121x x -≤-<-≤，得203x ≤<. 故选：D. 【点睛】本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题，需要注意：（1）判断奇偶性：奇函数满足()()f x f x -=-；偶函数满足()()f x f x -=； （2）判断单调性：增函数()[]1212()()0x x f x f x -->；1212()()0f x f x x x ->-；减函数：()[]1212()()0x x f x f x --<；1212()()0f x f x x x -<-；（3）列不等式求解时需要注意定义域的问题.11．D解析：D 【分析】若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()12f x f x =成立，则说明()f x 在R 上不单调，分0a =，0a <和0a >三种情况讨论求解. 【详解】若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()12f x f x =成立，则说明()f x 在R 上不单调，当0a =时，2,1()1,1x x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，图象如图，满足题意；当0a <时，函数2y x ax =-+的对称轴02ax =<，其图象如图，满足题意；当0a >时，函数2y x ax =-+的对称轴02ax =>，其图象如图，要使()f x 在R 上不单调，则只要满足12a <，解得2a <，即02a <<.综上，2a <.故选：D.【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，得出()f x 在R 上不单调是解题的关键.12．A解析：A【分析】由函数的奇偶性排除B ；由0x >的函数值，排除C ；由当x →+∞时的函数值，确定答案.【详解】由题得函数的定义域为R ,因为3()()x x x f x f x e e---==-+，所以函数是奇函数，所以排除B ； 当0x >时，()0f x >，所以排除C ； 当x →+∞时，()0f x →，所以选A .故选：A【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找图象的差异，再用解析式验证得解. 13．C解析：C【分析】对数的真数大于零，分母不为零，偶次根式要求被开方式大于等于零，依据以上三点，列不等式求解.【详解】欲使函数有意义，则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃故选：C .【点睛】方法点睛：该题考查的是有关求函数定义域的问题，在求解的过程中，注意： （1）对数要求真数大于0；（2）分式要求分母不等于0；（3）偶次根式要求被开方式大于等于0.14．D解析：D【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.【详解】解：由①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-可得()f x 在[]4,8上单调递增，根据偶函数的对称性可知，()f x 在[]8,4--上单调递减，且函数周期为8，()7a f =-，()()()1135b f f f ===-，()()()202044c f f f ===-， 故a b c >>.故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15．C解析：C【详解】函数()()22221ln 21x y x x +=-⋅+是偶函数，排除AD;且222222(1)2,02(1)x x x x ++≥+∴≤+ 当01,0,10.x y x y <<>==时当时， 排除B,选C.点睛：这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图象；一般这种题目是排除法来做的；先找函数的定义域，值域，看是否和解析式相符；再看函数的对称性，奇偶性，看两者是否相符；还有可以判断函数的极限值．二、填空题16．【分析】由对称性奇偶性得出周期性然后再结合周期性和奇偶性进行计算【详解】因为则又函数为奇函数所以所以是周期函数周期为4又所以故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性对称性周期性函数具有两个对 解析：1316-【分析】由对称性、奇偶性得出周期性，然后再结合周期性和奇偶性进行计算．【详解】因为(1)(1)f x f x -=+，则()(2)f x f x =-，又函数为奇函数， 所以()()(2)(2)(4)f x f x f x f x f x =--=-+=--=+，所以()f x 是周期函数，周期为4． 又125log 254-<<-， 所以111122222252525(log 25)(4log 25)(log )(log )(log )161616f f f f f =+==--=-225log 163253132416416⎛⎫=--=-+=- ⎪⎝⎭． 故答案为：1316-． 【点睛】 结论点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性．函数()f x 具有两个对称性时，就具有周期性．（1）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于直线x n =对称，则()f x 是周期函数，4m n -是它的一个周期；（2）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于点(,0)n （m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期；（3）()f x 的图象关于直线x m =对称，又关于直线xn =（m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期． 17．【分析】先令求得再令可得结合已知条件可得从而可得答案【详解】解：令则由得因为所以令则因为当时；所以所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题解题的关键是结合已知条件正确赋值令 解析：43【分析】先令1,2x y ==，求得(3)0f =，再令31,22x y ==，可得311(())()(2)222f f f f ⋅=，结合已知条件可得1()2f ，从而可得答案【详解】 解：令1,2x y ==，则由()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅得((2))(2)(12)f f f f ⋅=+， 因为(2)0f =，所以(3)0f =， 令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=， 因为(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠； 所以31(())0(2)22f f f ==， 所以31()222f =，所以14()23f =， 所以14(3)23f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故答案为：43【点睛】 关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题，解题的关键是结合已知条件正确赋值，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=，由(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠，可得31()222f =，从而得14()23f = 18．【分析】利用偶函数关于轴对称又由在上单调递减将不等式转化为即可解得的解集【详解】函数是定义域为的偶函数可转化为又在上单调递减两边平方得：解得故的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇 解析：133x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递减，将不等式()()221f x f x ->+转化为22+1x x -< ，即可解得()()221f x f x ->+的解集．【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴()()221f x f x ->+可转化为(22)(+1)f x f x ->， 又()f x 在[0,)+∞上单调递减，∴ (22)(1)221f x f x x x ->+⇔-<+，两边平方得：231030x x -+< 解得133x << ， 故()()221f x f x ->+的解集为133xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣． 故答案为：133xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，即()()221f x f x ->+可转化为(22)(+1)f x f x ->，属于中档题．19．【分析】根据题意分析函数的单调性结合函数的最小值为可得出关于实数的不等式组由此可求得实数的取值范围【详解】由于函数的值域为则函数在区间上单调递减或为常值函数函数在区间上单调递增或为常值函数①若函数在 解析：[)1,0-【分析】根据题意分析函数()y f x =的单调性，结合函数()y f x =的最小值为2-可得出关于实数a 的不等式组，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】由于函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞， 则函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减或为常值函数，函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数.①若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减，则0a <，此时()()02f x f ≥=-， 且此时函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数， 则10a +≥，解得1a ≥-，当0x >时，()()22log 11log 10f x a x =++≥=⎡⎤⎣⎦， 即当10a -≤<时，函数()y f x =的值域为[)2,-+∞；②若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞为常值函数，则0a =，当0x ≤时，()2f x =-，当0x >时，()()22log 1log 10f x x =+>=，即当0a =时，函数()y f x =的值域为{}()20,-+∞，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,0-.故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，要结合题意分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．【分析】先构造函数得到关于对称且单调递增再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解【详解】构造函数那么是单调递增函数且向左移动一个单位得到的定义域为且所以为奇函数图象关于原点对称所以图象关于对称不等 解析：[2,)+∞【分析】 先构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，得到()g x 关于(1,0)对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式()(63)2f x f x +- 转化为34x x -即可求解．【详解】 构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，那么()g x 是单调递增函数， 且向左移动一个单位得到1()(1)x x h x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且1()()x x h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图象关于原点对称，所以()g x 图象关于(1,0)对称．不等式()(63)2f x f x +- 等价于()1(63)10f x f x -+--，等价于()(63)0()[2(63)](34)g x g x g x g x g x +-∴--=-，结合()g x 单调递增可知342x x x -∴，所以不等式()(63)2f x f x +- 的解集是[2，)+∞．故答案为：[2，)+∞．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．3【分析】由幂函数为偶函数且在（0+∞）上是单调递减函数可得m2-2m-3＜0且m2-2m-3为偶数m ∈Z 且解出即可【详解】∵幂函数为偶函数且在上是减函数∴且为偶数且解得12且只有时满足为偶数∴故答解析：3【分析】由幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m 2-2m -3＜0，且m 2-2m -3为偶数，m ∈Z ，且1=1a -．解出即可．【详解】∵幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -.解得13m -<<，0m =，1，2，且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数.∴1m =.3a m +=故答案为：3.【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.22．1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得（4）（2）即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为：1【点 解析：1【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--，进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=（4）f =-（2），即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()(2)f x f x =--，则()(2)f x f x =--，∴()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=，故答案为：1【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期．23．【分析】可令得出的值再代入可得答案【详解】解：令得解得故答案为【点睛】本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题解析：15【分析】 可令1()2g x =，得出x 的值，再代入可得答案． 【详解】 解：令1()2g x =，得1122x -=，解得14x =．221511()11164()[()]151124()416f fg -∴====． 故答案为15．【点睛】本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题．24．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【详解】则是偶函数当函数为增函数则等价与所以平方得所以所以即不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查 解析：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.【详解】()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++，则()f x 是偶函数， 当0x ≥函数()f x 为增函数，则()()12f x f x >-等价与()()12f x f x >-， 所以12x x >-，平方得22144x x x -+>，所以23410x x -+<，所以1 13x <<，即不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 故答案为：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，难度中等.25．【分析】令根据当时可得因此函数在时单调递减又为奇函数由于可得即可求得答案【详解】①令当时函数在时单调递减；的解集为②函数()分别是定义在上的奇函数和偶函数是上的奇函数当时的解集为综上所述不等式的解集 解析：()()1,01,-⋃+∞【分析】 令()()()h x F x g x =,根据当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<可得()0F x '<,因此函数()F x 在0x <时单调递减,又()F x 为奇函数,由于()10h -=,可得(1)(1)0F F -==,即可求得答案.【详解】①令()()()h x F x g x =. 当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<,∴()()()()2()()0h x g x h F x g x x g x '=''-< ∴函数()F x 在0x <时单调递减；()10h -=,(1)(1)0F F ∴-==∴()0F a <的解集为()1,0- ②函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数 ∴()()()()()()h x h x F x F x g x g x --==-=-- ∴()F x 是R 上的奇函数,∴当0x >时,()0F a <的解集为(1,)+∞综上所述,不等式()()0h a g a <的解集为:()()1,01,-⋃+∞. 故答案为:()()1,01,-⋃+∞.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 26．8【分析】利用换元法令则所以原函数变为令则函数为奇函数且推出进而求出的值【详解】令则所以原函数变为令则函数为奇函数且所以所以因为为奇函数所以所以所以故答案为：8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用考查 解析：8【分析】利用换元法令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，推出()()max min 0g t g t +=，()()max min 2218g t g t a +=+=，进而求出a 的值【详解】令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++， 令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，所以()()max max 1f xg t a=++，()()min min 1f xg t a=++，所以()()()()max min max min 22f x f xg t g t a+=+++．因为g t为奇函数，所以()()max min 0g t g t+=，所以()()max min 2218g t g t a+=+=，所以8a=．故答案为：8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用，考查换元法的应用，属于基础题。
江苏省苏州新草桥中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试卷
苏州新草桥中学2020-2021学年度第一学期高一数学10月月考试卷一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，非空集合B 满足{}1,2,3A B = ，则集合B 有（）个A ．3B ．6C ．7D ．82．命题“2,x R x x ∀∈≠”的否定是（）A ．2,x R x x ∀∉≠B ．2,x R x x∀∈=C ．2,x R x x ∃∉≠D ．2,x R x x∃∈=3．函数01()(2)1f x x x =-++）A ．(2,)+∞B ．(1,)-+∞C ．(1,2)(2,)-+∞D ．R 4．已知集合{}4A x a x =<<，{}2|560B x x x =-+>，若{|34}A B x x ⋂=<<，则a 的值不可能为（）A 2B 5C 6D ．35．若关于x 的不等式210x mx -+<的解集为空集，则实数m 的取值范围为（）A ．(][),22,-∞-+∞ B ．()(),22,-∞-+∞ C ．[]22-,D ．()2,2-6．函数()21f x x x =-+的值域是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞7．设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（）A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件8．设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（）A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦B ．[0,)+∞C ．9[,)4-+∞D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列命题中的假命题是（）A ．x R ∀∈，20x x +≥B ．*x N ∀∈，()210x ->C ．x R ∃∈，210x x ++=D ．x R ∃∈，12x x +=-10．若a ，b ，R c ∈，0a b <<，则下列不等式正确的是（）A ．11a b <B ．2ab b >C ．a c b c >D ．()()2211a cbc +<+11．下列结论正确的是（）A ．当0x >2+≥B ．当2x >时，1x x +的最小值是2C ．当54x <时，14245x x -+-的最小值是5D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是9212．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，当1722x -≤≤时，下列函数中，其值域与()f x 的值域相同的函数为（）A ．y x =，{}1,0,1,2,3x ∈-B ．2y x =，113,0,,1,222x ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭C ．1y x =，1111,1,,,234x ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭D ．21y x =-，{}2x ∈三、填空题13．函数21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩，则(9)f =______．14．已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≥，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是_______.15．已知正数,x y 满足1x y +=，则4121x y +++的最小值为________.16．已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是_________．四、解答题17．已知集合{|123}A x a x a =-<<+，{|24}B x x =-≤≤，全集U R =．()1当2a =时，求A B ⋃；()2若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．18．(1)已知函数f (x+3)的定义域为[-2,4),求函数f (2x-3)的定义域;(2)已知()y f x =是一次函数，且有[()]1615f f x x =-，求()f x 的解析式19．已知二次函数f （x ）的值域为[–9，+∞），且不等式f （x ）<0的解集为（–1，5）．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数y =f （20．设函数()21f x mx mx =--（1）若对一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围：21．（1）解不等式 䨀ᗂ 䨀 ；（2）已知269()1x x f x x ++=+，其中1x >-，求()f x 的最小值．22．某文化创意公司开发出一种玩具（单位：套）进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用（单位：元）构成：a ．固定成本（与生产玩具套数x 无关），总计一百万元；b ．生产所需的直接总成本2150100x x +．（1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？（2）假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加．设每套玩具的售价为q 元，xq a b=+（a b R ∈，）．若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a 、b 的值．（利润=销售收入-成本费用）。
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江苏省苏州新草桥中学高一第一学期数学竞赛试题 2015.12
考查看图和画图能力
时间：60分钟 分值：100分
一．填空题：（每题5分，共75分） 1．函数()
221
()4
x x
f x -=的值域为 ．
2. 若M 112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，，N 214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，P 312y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，三点都在函数k
y x
=
(k<0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为
3. 已知关于x 的不等式组0
20x a x ->⎧⎨->⎩
的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________．
4.设二次函数32)(2
+-=x x x f 在区间[]m ,0上的值域是[]3,2，则实数m 的取值范围是
5.当函数21-++=x x y 取最小值时，相应的x 的取值范围是__ ．
6. 已知奇函数)(x f 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为]1,0()0,1[⋃-，则不等式1)()(->--x f x f 的解集是
7. 函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为 个
8.已知函数)(x f 是R 上的增函数，)1,0(-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，记不等式
1)1(1<+<-x f 的解集为M ，则M C R =
9.已知函数f (x )＝32
,
2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩
≥，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则
实数k 的取值范围是 ．
10．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值的范围为
（第6题图）
11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，(0<)2πϕ<的图象与直线(0)y a a A =<< 的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递减区间是
12.设函数01021(),()()1,()()
2,f x x f x f x f x f x ==-=-则函数2()f x 的图象与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .
13．函数[sin ]()3x f x =的值域是 ．（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）
14．若()()(
)()
s i n50t a n50s i n50t a n50y
x x
y
--︒︒-︒≤
-
︒
则y x + 0 （填“”或“ ”）
15．已知α是函数()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点，β是函数
()2008x g x xa =-)1(>a 的一个零点，则αβ的值为
16．已知f(x)是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图所示，那么不等式 f （x ）cosx ＜0的解集是
17.已知函数)(x f y =和)(x g y =在[]2,2-
①方程[]0)(=x g f 有且仅有6个根 ②方程[]0)(=x f g 有且仅有3个根
③方程[]0)(=x f f 有且仅有5个根 ④方程[]0)(=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.
二．解答题：（第一问7分，第二问8分，共15分）
18．设定义域为R 的函数2
1,0,()(1),0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩
. （1） 在平面直角坐标系内作出该函数的图像；
（2） 试找出一组b 和c 的值，使得关于x 的方程2
()()0f x b f x c +⋅+=有7个不同的实根.请说明你的理由.
参考答案：
1. （0,4］
2. y 2>y 1>y 3
3. －l ≤a <0
4. []2,1
5. －l ≤x ≤2
6. ⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧≤<-<≤-10211|x x x 或 7. 3 8. (][)+∞⋃-∞-,21, 9. (0,1)
10. ( ) 11. [63,6],k k k Z -∈ 12. 7 13.
1,1,33
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭ 14.
15. 2008 16. （0，1）∪（2
π
，3） 17. ①③④
18.解：(1)见下图.
(2)(答案不唯一) 如2
1,23=
-=c b 等. 设()0,2
=++=c bt t t x f ,由图像可得以上有关
于t 的方程必须有一解为1，另一解在区间()1,0中，才会使得关于x 的方程
2()()0f x b f x c +⋅+=有7个解. 其中,()1=x f 有3个解，()()0,1f x a =∈有四个解.
所以可令2
1,121=
=t t ，即可得方程021
232=+-x x .。