2013数学三试题

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2013年全国硕士研究生入学统一考试

303 数学三试题

一、单项选择题:1~8小题,每小题4分,共32分. 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 请将所给选项前的字母填在答题纸...指定位置上.

1. 当0x →时,用“()o x ”表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )

A. 23()()x o x o x ⋅=

B. 23()()()o x o x o x ⋅=

C. 222()()()o x o x o x +=

D. 22()()()o x o x o x +=

2. 函数1()(1)ln x

x f x x x x

-=+的可去间断点的个数为( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3. 设k D 是圆域{}

22

(,)1x y x y +≤位于第k 象限的部分,记()k

k D I y x dxdy =

-⎰⎰

(1,2,3,4k =),则( )

A. 10I >

B. 20I >

C. 30I >

D. 40I > 4. 设{}n a 为正项数列,下列选项正确的是( )

A. 若1n n a a +>,则

1

1

(1)

n n n a ∞

-=-∑收敛

B. 若

1

1(1)

n n n a ∞

-=-∑收敛,则1n n a a +>

C. 若

1

n n a

=∑收敛,则存在常数

1P >,使lim P

n n n a →∞

存在 D. 若存在常数1P >,使lim P

n n n a →∞

存在,则

1

n

n a

=∑收敛

5. 设矩阵A ,B ,C 均为n 阶矩阵,若AB C =,且B 可逆,则( )

A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价

B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价

C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价

D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价

6. 矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

相似的充分必要条件为( )

A. 0a =,2b =

B. 0a =,b 为任意常数

C. 2a =,0b =

D. 2a =,b 为任意常数

7. 设1X ,2X ,3X 是随机变量,且1~(0,1)X N ,22~(0,2)X N ,23~(5,3)X N ,

{}22j j P X =-≤≤(1,2,3j =),则( )

A. 123P P P >>

B. 213P P P >>

C. 312P P P >>

D. 132P P P >> 8. 设随机变量X 和Y 相互独立,且X 和Y 的概率分布分别为

则{}2P X Y +==( )

A.

112 B. 18 C. 16 D. 12

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 请将答案写在答题纸...

指定位置上.

9. 设曲线()y f x =和2

y x x =-在点()0,1处有公共的切线,则lim 2n n nf n →∞

⎛⎫

=

⎪+⎝⎭

.

10. 设函数(,)z f x y =由方程()x

z y xy +=确定,则

(1,2)

z

x ∂=∂ .

11. 求

2

1

ln (1)

x

dx x +∞

=+⎰

.

12. 微分方程1

"'04

y y y -+

=的通解为y = . 13. 设()ij A a =是三阶非零矩阵,A 为A 的行列式,ij A 为ij a 的代数余子式,若0ij ij a A +=(,1,2,3i j =),则A = .

14. 设随机变量X 服从标准正态分布~(0,1)X N ,则2()X E Xe = .

三、解答题:15~23小题,共94分. 请将解答写在答题纸...指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 本题满分10分

当0x →时,1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与n ax 为等价无穷小,求n 与a 的值. 16. 本题满分10分

设D 是由曲线1

3

y x =、直线x a =(0a >)及x 轴所围成的平面图形,x V ,y V 分别是D 绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 若10y x V V =,求a 的值. 17. 本题满分10分

设平面区域D 由直线3x y =、3y x =及8x y +=围成. 计算2

D

x dxdy ⎰⎰. 18. 本题满分10分

设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为

601000

Q

P =-

,(P 是单价,单位:元;Q 是销量,单位:件),已知产销平衡,求: (1)该商品的边际利润;

(2)当50P =时的边际利润,并解释其经济意义; (3)使得利润最大的定价P . 19. 本题满分10分

设函数()f x 在[)0,+∞上可导,(0)0f =且lim ()2x f x →+∞

=. 证明:

(1)存在0a >,使得()1f a =;

(2)对(1)中的a ,存在()0,a ξ∈,使得1'()f a

ξ=. 20. 本题满分11分

设110a A ⎛⎫=

⎝⎭

,011B b ⎛⎫

= ⎪⎝⎭. 当a ,b 为何值时,存在矩阵C 使得AC CA B -=,并

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