2013数学三试题
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2013年全国硕士研究生入学统一考试
303 数学三试题
一、单项选择题:1~8小题,每小题4分,共32分. 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 请将所给选项前的字母填在答题纸...指定位置上.
1. 当0x →时,用“()o x ”表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )
A. 23()()x o x o x ⋅=
B. 23()()()o x o x o x ⋅=
C. 222()()()o x o x o x +=
D. 22()()()o x o x o x +=
2. 函数1()(1)ln x
x f x x x x
-=+的可去间断点的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3. 设k D 是圆域{}
22
(,)1x y x y +≤位于第k 象限的部分,记()k
k D I y x dxdy =
-⎰⎰
(1,2,3,4k =),则( )
A. 10I >
B. 20I >
C. 30I >
D. 40I > 4. 设{}n a 为正项数列,下列选项正确的是( )
A. 若1n n a a +>,则
1
1
(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛
B. 若
1
1(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛,则1n n a a +>
C. 若
1
n n a
∞
=∑收敛,则存在常数
1P >,使lim P
n n n a →∞
存在 D. 若存在常数1P >,使lim P
n n n a →∞
存在,则
1
n
n a
∞
=∑收敛
5. 设矩阵A ,B ,C 均为n 阶矩阵,若AB C =,且B 可逆,则( )
A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价
B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价
C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价
D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价
6. 矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
相似的充分必要条件为( )
A. 0a =,2b =
B. 0a =,b 为任意常数
C. 2a =,0b =
D. 2a =,b 为任意常数
7. 设1X ,2X ,3X 是随机变量,且1~(0,1)X N ,22~(0,2)X N ,23~(5,3)X N ,
{}22j j P X =-≤≤(1,2,3j =),则( )
A. 123P P P >>
B. 213P P P >>
C. 312P P P >>
D. 132P P P >> 8. 设随机变量X 和Y 相互独立,且X 和Y 的概率分布分别为
则{}2P X Y +==( )
A.
112 B. 18 C. 16 D. 12
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 请将答案写在答题纸...
指定位置上.
9. 设曲线()y f x =和2
y x x =-在点()0,1处有公共的切线,则lim 2n n nf n →∞
⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
.
10. 设函数(,)z f x y =由方程()x
z y xy +=确定,则
(1,2)
z
x ∂=∂ .
11. 求
2
1
ln (1)
x
dx x +∞
=+⎰
.
12. 微分方程1
"'04
y y y -+
=的通解为y = . 13. 设()ij A a =是三阶非零矩阵,A 为A 的行列式,ij A 为ij a 的代数余子式,若0ij ij a A +=(,1,2,3i j =),则A = .
14. 设随机变量X 服从标准正态分布~(0,1)X N ,则2()X E Xe = .
三、解答题:15~23小题,共94分. 请将解答写在答题纸...指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 本题满分10分
当0x →时,1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与n ax 为等价无穷小,求n 与a 的值. 16. 本题满分10分
设D 是由曲线1
3
y x =、直线x a =(0a >)及x 轴所围成的平面图形,x V ,y V 分别是D 绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 若10y x V V =,求a 的值. 17. 本题满分10分
设平面区域D 由直线3x y =、3y x =及8x y +=围成. 计算2
D
x dxdy ⎰⎰. 18. 本题满分10分
设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为
601000
Q
P =-
,(P 是单价,单位:元;Q 是销量,单位:件),已知产销平衡,求: (1)该商品的边际利润;
(2)当50P =时的边际利润,并解释其经济意义; (3)使得利润最大的定价P . 19. 本题满分10分
设函数()f x 在[)0,+∞上可导,(0)0f =且lim ()2x f x →+∞
=. 证明:
(1)存在0a >,使得()1f a =;
(2)对(1)中的a ,存在()0,a ξ∈,使得1'()f a
ξ=. 20. 本题满分11分
设110a A ⎛⎫=
⎪
⎝⎭
,011B b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭. 当a ,b 为何值时,存在矩阵C 使得AC CA B -=,并