人教版五年级数学下册单元知识点整理13单元
人教版数学五年级下册知识点归纳总结
五年级数学下册知识点归纳第一部分图形与几何一、观察物体1、从不同的位置（或同一位置）观察物体，看到的形状可能相同也可能不同；从同一位置观察长方体或正方体时不能看到所有的面，最多只能看到三个面，最少看到一个面。
2、正面、侧面（左面，右面）、后面都是相对的，它是随着观察角度的变化而变化。
通过观察、想象、猜测，培养空间想象力和思维能力，能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。
3、观察物体，从实物观察到对立体图形的观察有一个体验、认识、提高的过程，多观察物体，多画观察到的图形，自己制作立体图形，有意识的训练想象能力，逐渐就会观察立体图形了。
4、观察物体，先要确定观察的位置（方向）（常选择上面、正面、左侧面、右侧面），再确定观察的形状，并把它画下来，在平面图形画上斜线。
5、根据各个位置看到的平面图形推算共有几个小正方体方法：从正面看数层数，从下往上数；从上面看数列数，从左往右数；从左面看数排数，前排在右后排在左，从右往左数。
6、至少用8 个正方体可拼成较大的正方体，27 个64 个125 个。
都可拼成较大正方体。
二、图形的运动1、旋转：物体或图形围绕一个定点沿着一个方向转动一定的角度的现象叫做旋转。
如风扇的叶片旋转。
定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车（2）旋转三要素：①旋转中心，固定不变；②旋转方向有顺时针、逆时针；③旋转角度有：常见的有30°、45°、60°90°、180°、270°。
（3）长方形绕中心点旋转180 度与原来重合，正方形绕中心点旋转90 度与原来重合。
等边三角形绕中点旋转120 度与原来重合。
（4）旋转的性质：①图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；②其中对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后图形的大小和形状没有改变，位置和方向发生改变，旋转中心是唯一不动的点，③两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角度相等，都等于旋转角；（5）怎样画图形旋转的形状：（1）先观察原图形的形状特征找准关键点，（2）找准旋转中心、旋转方向、旋转角度；（3）使用直角三角板的顶点与旋转中心重合，则该图形旋转后的形状就在三角板另一条边上；（4）确定各对应点的长度，用虚线标出来；（5）将每个对应点连接并标出名称。
五年级下册数学各单元知识点整理
五年级下册数学各单元知识点整理五年级下册数学各单元知识点整理一、图形的变换（平移、旋转、轴对称）在研究图形的变换时，我们需要掌握以下几点知识：平移：需要明确平移的方向（上、下、左、右）和平移的距离（格数）。
旋转：需要明确旋转的中心点、旋转的方向（顺时针或逆时针）和旋转的角度。
轴对称：需要将图形沿着对称轴对折，使其与另一个图形重合。
轴对称的意义是将一个图形沿着一条直线对折，如果它与另一个图形重合，那么这两个图形就是轴对称的。
图形旋转的性质是，对应点和对应线段都旋转相同的角度。
而图形旋转的特征是，旋转后形状和大小不变，只是位置发生了变化。
对称轴用虚线表示，对称轴上各点到图形的距离相等。
二、因数和倍数在研究因数和倍数时，我们需要掌握以下几点知识：因数和倍数的意义：如果A×B=C（A、B、C都是不为零的整数），那么A、B就是C的因数，C就是A、B的倍数。
因数和倍数的关系：虽然因数和倍数是两个不同的概念，但它们是相互依存的，不能单独存在。
找一个数的因数的办法：可以列乘法算式或列除法算式。
找一个数的倍数的办法：就是用这个数依次与非零自然数相乘，所得的数就是这个数的倍数。
因数的特点：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数的个数是有限的。
倍数的特点：一个数的最小倍数是它本身，一个数没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。
2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
奇数、偶数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
5的倍数的特征：个位是0或5的数都是5的倍数。
既是2和5的倍数，又是3的倍数的特征：个位必须是0，其它各数位之和是3的倍数，最小的是30.3的倍数的特征：一个数各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
质数和合数的定义：一个数如果只有1和它本身两个因数，那么这个数叫做质数（也叫素数）；一个数如果除了1和它本身，还有别的因数，那么这个数叫做合数。
人教版数学五年级下册知识点归纳
一单元图形变换归纳重点知识1、轴对称（1）轴对称的意义：把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另两个图形完全重合,那么说这两个图形成轴对称。
这条直线就是这两个图形的对称轴。
两个图形重合时互相重合的点叫做对应点;互相重合的线段叫做对应线段；互相重合的角叫做对应角。
（2）轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等。
（3）轴对称的特征：沿对称轴对折,对应点重合，对应线段重合，对应角重合.2、选装（1）选装的意义:物体绕着某一点或轴运动，这种运动现象叫做选装.（2）图形旋转的方向:钟表指针的运动方向是顺时针方向；与钟表上指针的运动方向相反的方向是逆时针方向。
（3）图形旋转的性质：图形绕着某一点旋转一定的度数，图形中的对应点、对应线段都旋转相应的度数，对应点到旋转点的距离相等，对应角相等。
（4）图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没有发生变化，知识位置变了。
3、欣赏设计（1）设计图案的基本方法：利用平移、旋转和对称都可以设计简单而美丽的图案.（2）运用平移设计图案的方法:A、选好基本图案。
B、确定平移方向。
C、确定平移距离。
D、画出平移后的图案。
（3）运用旋转设计图案的方法：A、选好基本图案。
B、确定旋转点。
C、确定旋转角度。
D、依次画出每次旋转后的图形。
（4）运用对称设计图案的方法：A、选好基本图案。
B、确定对称轴。
C、画出基本图案的对称图形。
二单元因数和倍数归纳重点知识1、因数和倍数.（1）因数、倍数的意义:如果a×b=c（a、b、c都是不畏为0的整数）,那么a、b就是c的因数，c 就是a、b的倍数.A、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最大的因数是其本身。
B、一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（2）因数和倍数的关系：因数和倍数是相互依存的概念，二者不能单独存在。
（3）找一个是的因数的方法：A、列乘法算式找。
B、列除法算式找。
（4）找一个数的倍数的方法：A、列乘法算式找一个数的倍数，就是用这个数依次与非零自然数相乘,所得的积就是这个数的倍数;B、列除法算式找。
五年级数学下册各单元知识点归纳(附常见题型
第二单元因数和倍数1、因数、倍数：①一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
②一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
如15的最大因数和最小倍数都是15。
2例题：1、从0、4、5、8、9中取出三个数字组成三位数，①在能被2整除的数中，最大的是（），最小的是（）②在能被3整除的数中，最大的是（），最小的是（）③在能被5整除的数中，最大的是（），最小的是（）2、在四位数21□0的方框中填入一个数，使它能同时被2、3、5整除，最多能（）种填法。
分别是。
3、质数和合数（1）质数和合数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
判断题：①所有的奇数都是质数。
（）如②所有的偶数都是合数（）如③在1，2，3……自然数中，除了质数以外都是合数。
（）如④两个质数的和是偶数。
（）如（2）质数×质数=合数每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
（3）20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是就是合数，不是的就是质数。
4、最大、最小A的最小因数是：1；A的最大因数是：A；A的最小倍数是：A；最小的奇数是：1；最小的偶数是：0；最小的质数是：2；最小的合数是：4最小的自然数是：0；连续的两个质数是2、3。
例题：猜电话号码0592－A B C D E F G提示：A——5的最小倍数 B——最小的自然数 C——5的最大因数 D——它既是4的倍数，又是4的因数 E ——它的所有因数是1，2，3，6 F——它的所有因数是1， 3 G——它只有一个因数，这个号码就是附：判断（1）因为7×8＝56，所以56是倍数，7和8是因数（）因为（2）1是1，2，3，4，5…的因数（）（3）14比12大，所以14的因数比12的因数多（）（4）因为1.2÷0.6=2，所以1.2是0.6的倍数。
五年级数学下册全册知识点
五年级数学下册全册知识点第一单元观察物体(三)1、不同角度观察一个物体，看到的面都是两个或三个相邻的面。
2、不可能一次看到长方体或正方体相对的面。
注意点1)这里所说的正面、左面和上面，都是相对于观察者而言的。
2)站在任意一个位置，最多只能看到长方体的3个面。
3)从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不同的。
4)从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的。
5)同一角度观察不同的立体图形，得到的平面图形可能是相同，也可能是不同的。
6)如果从物体的右面观察，看到的不一定和从左面看到的完全相同。
第二单元因数和倍数1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
(1)数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
(2)一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
(3)一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
(4)2、3、5的倍数特征1) 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2)一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3)个位上是0或5的数，是5的倍数。
4)能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求235=30的倍数。
5)如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：6的因数有：1、2、3(6除外)，刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。
人教版五年级下册数学知识点总结+习题练习(分模块)
人教版五年级下册数学知识点总结+习题练习(分模块)第一部分知识梳理一、因数和倍数1、如果ab＝c（a、b、c都是不为0的整数），那么我们就说a 和b是c的因数，c是a和b的倍数。
因数和倍数是相互依存的。
例如：38＝24，3和8是24的因数，24是3和8的倍数。
2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
4、一个非零的自然数，既是它本身的倍数，又是它本身的因数。
5、找因数的方法：（1）列乘法算式：例如：要写出18的所有因数，方法如下：118＝1829＝1836＝18所以，18的因数有：1、2、3、6、9、18共6个。
（2）列除法算式：例如：要写出24的所有因数，方法如下：241＝24242＝12243＝8244＝6245＝4、8（因为4、8不是整数，所以5和4、8不是24的因数）所以，24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24共8个。
6、找倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4、5…直到所乘的积接近所规定的限制范围为止，所乘得的积就是这个数的倍数。
例如：写出30以内4的倍数。
41＝442＝843＝1244＝1645＝2046＝2447＝28 所以，30以内4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28。
二、2、5、3的倍数的特征1、个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
2、个位上是0或5的数都是5的倍数。
3、一个数各个数位上的数相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
4、同时是2、5的倍数的数末尾必须是0。
最小的两位数是10，最大的两位数是90。
同时是2、5、3的倍数的数末尾必须是0，而且各个数位上的数相加的和是3的倍数。
最小的两位数是30，最大的两位数是90。
三、奇数和偶数1、自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，偶数也叫双数。
如：0、2、4、6、8、10、12、14、16…都是偶数。
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人教版五年级数学下册知识点归纳总结第一单元观察物体（三）1、不同角度观察一个物体，看到的面都是两个或三个相邻的面。
2、不可能一次看到长方体或正方体相对的面。
注意点1）这里所说的正面、左面和上面，都是相对于观察者而言的。
2）站在任意一个位置，最多只能看到长方体的3个面。
3）从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不同的。
4）从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的。
5）同一角度观察不同的立体图形，得到的平面图形可能是相同，也可能是不同的。
6）如果从物体的右面观察，看到的不一定和从左面看到的完全相同。
第二单元因数和倍数1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征1）个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3）个位上是0或5的数，是5的倍数。
4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
3、自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。
叫奇数。
也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.关系：奇数+、- 偶数=奇数奇数+、- 奇数=偶数偶数+、-偶数=偶数。
五年级数学下册人教版各单元知识要点归纳
1、不同角度观察一个物体，看到的面都是两个或三个相邻的面。
2、不可能一次看到长方体或正方体相对的面。
注意点1）这里所说的正面、左面和上面，都是相对于观察者而言的。
2）站在任意一个位置，最多只能看到长方体的3个面。
3）从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不同的。
4）从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的。
5）同一角度观察不同的立体图形，得到的平面图形可能是相同，也可能是不同的。
6）如果从物体的右面观察，看到的不一定和从左面看到的完全相同。
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征1）个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3）个位上是0或5的数，是5的倍数。
4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。
叫奇数。
也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
人教版五年级(下册)数学知识点归纳总结最新版
五年级（下）各单元重点知识归纳（2）.分数化成小数的方法： A.分母是（1）0，（1）00，（1）000…的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母1后面有几个零，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。
B.分母不是10，100，1000…的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，按“四舍五入”法保留几位小数。
第五单元：分数的加法和减法同分母分数加、减法（1）.分数加法的意义：和整数加法的意义一样，就是把两个数合并成一个数的运算。
（2）.分数减法的意义：与整数减法的意义一样，已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
（3）.分数加、减法的计算方法：分母不变，分子相加减。
（4）.同分母分数连加的计算方法：从左到右依次计算，也可以直接把加数的分子连加起来，分母不变。
（5）.同分母分数连减的计算方法：从左到右依次计算，也可以直接用被减数的分子连续减去两个减数的分子，分母不变。
异分母分数加、减法异分母分数加、减法的计算方法：一般先通分，化成同分母的分数，然后按照同分母分数加、减法的方法计算。
分数加减混合运算（1）.分数加减混合运算的顺序：与整数加减混合运算的顺序一样。
没有括号的，按照从左到右的顺序进行计算；有括号的，先算括号里的，然后算括号外的（2）.分数加法的简算：整数加法的运算定律在分数加法中同样适用。
第五单元：统计具体容重点知识学生的实际学习困难统计（1）.众数的意义：在一组数据中，出现次数最多的数，是这组数据的众数。
（2）.众数的特征：能够反映一组数据的集中情况。
（3）.复式折线统计图：在计量过程中存在两组数据，而又需要在一个统计图中表示这两组数据时，就要用两种不同形式的折线来表示不同数量变化情况的折线统计图。
（4）. 复式折线统计图的特点：能表示两组数据数量的多少，数量的增减变化情况，还能比较两组数据的变化趋势。
（5）.复式折线统计图的制作：A.根据两组数据量多少和图纸大小，画出两条相互垂直的射线；B.在水平射线上确定好各点的距离，分配各点的位置；C.在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示的数量；D.用不同的图例表示两组不同的数据；E.按照数据大小描出各点，再用线段顺次连接；F.标出题目，注明单位、日期。
数学五年级下册知识点(13篇)
数学五年级下册知识点(13篇)数学五年级下册知识点11.众数的意义：在一组数据中，出现次数最多的数，是这组数据的众数。
数学五年级下册知识点2一、图形的变换1、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线对折，两边能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、成轴对称图形的特征和性质：①对称点到对称轴的距离相等;②对称点的连线与对称轴垂直;③对称轴两边的图形大小形状完全相同。
3、物体旋转时应抓住三点：①旋转中心;②旋转方向;③旋转角度。
旋转只改变物体的位置，不改变物体的形状、大小。
二、因数与倍数1、因数和倍数：如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
2、一个数的因数的求法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法时依次乘以自然数。
4、2、5、3的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
个位上是0或5的数，是5的倍数。
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、偶数与奇数：是2倍数的数叫做偶数(0也是偶数)，不是2的倍数的数叫做奇数。
6、质数和和合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做质数(或素数)，最小的质数是2。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数，最小的合数是4。
如何能轻松学好数学学好小学数学认真听课很重要小学学生想要学好数学，在课上一定要认真听老师讲课。
老师在课堂上讲的是非常重要的知识点，但是在小学数学课上选择做笔记并不是一个正确的做法。
在小学数学课上你需要做的就是跟住老师的思维，学好老师的思维方式，这个阶段要培养自己的数学逻辑思维能力。
大部分的小学数学老师，对于这门学科都有自己的见解，所以跟住老师的思路久而久之就会逐渐转换成自己解题的思路。
小学生学习数学要会独立思考小学是数学开窍的阶段，在解题上小学生一定要学会自己独立去思考。
人教版五年级下册数学知识点总结、梳理
人教版五年级下册数学知识点总结、梳理一、观察物体（三）1、从不同的角度观察物体，所看到的形状可能不同。
2、观察一个由小正方体组成的几何体时，可以从正面、左面、上面进行观察，从而确定几何体的形状。
二、因数与倍数1、因数和倍数在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
例如：12÷2 ＝ 6，我们就说 12 是 2 和 6 的倍数，2 和 6 是 12 的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独说谁是因数，谁是倍数。
2、 2、5、3 的倍数的特征（1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。
（2）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。
（3）3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
3、奇数和偶数整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数），不是 2 的倍数的数叫做奇数。
4、质数和合数（1）质数：一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
（2）合数：一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（3）1 既不是质数也不是合数。
三、长方体和正方体1、长方体（1）长方体有 6 个面，每个面都是长方形（可能有两个面是正方形），相对的面完全相同。
（2）长方体有 12 条棱，相对的棱长度相等。
（3）长方体有 8 个顶点。
2、正方体（1）正方体有 6 个面，每个面都是正方形，6 个面完全相同。
（2）正方体有 12 条棱，12 条棱的长度都相等。
（3）正方体有 8 个顶点。
3、长方体和正方体的关系正方体是特殊的长方体。
4、长方体和正方体的表面积（1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2（2）正方体的表面积＝棱长×棱长×65、长方体和正方体的体积（1）长方体的体积＝长×宽×高（2）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长（3）长方体（或正方体）的体积＝底面积×高四、分数的意义和性质1、分数的意义（1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
五年级下册数学知识点总结人教版
五年级下册数学知识点总结人教版五年级下册数学知识点总结第一单元小数乘法1、小数乘整数：@意义——求几个相同加数的和的简便运算。
如：1.5×3表示求3个1.5的和的简便运算(或1.5的3倍是多少)。
@计算方法：先把小数扩大成整数;按整数乘法的法则算出积;再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
2、小数乘小数：@意义——就是求这个数的几分之几是多少。
如：1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少(或求1.5的1.8倍是多少)。
@计算方法：先把小数扩大成整数;按整数乘法的法则算出积;再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
注意：按整数算出积后，小数末尾的0要去掉，也就是把小数化简;位数不够时，要用0占位。
3、规律：一个数(0除外)乘大于1的数，积比原来的数大;一个数(0除外)乘小于1的数，积比原来的数小。
4、求近似数的方法一般有三种：⑴四舍五入法; ⑵进一法; ⑶去尾法5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分;保留一位小数，表示计算到角。
6、小数四则运算顺序和运算定律跟整数是一样的。
7、运算定律和性质：@ 加法：加法交换律：a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)@ 减法：a-b-c=a-(b+c)a-(b+c)=a-b-c@ 乘法：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c【(a-b)×c=a×c-b×c】@ 除法：a÷b÷c=a÷(b×c)a÷(b×c) =a÷b÷c第二单元位置1、数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。
括号里面的数由左至右分别为列数和行数，即“先列后行”。
(完整版)最新人教版小学数学五年级下册知识点归纳总结
五年级数学下册知识点归纳总结一、图形的变换图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
1、轴对称:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（1）学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形……等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
（2）圆有无数条对称轴。
（3）对称点到对称轴的距离相等。
（4）轴对称图形的特征和性质：①对应点到对称轴的距离相等；②对应点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
3、对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。
平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。
2、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车（2）旋转三要素;旋转中心、旋转角度和旋转方向。
（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。
等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
旋转的性质：（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；（5）旋转中心是唯一不动的点。
3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数二、因数和倍数1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
部编人教版小学五年级数学下册知识点总结
部编人教版小学五年级数学下册知识点总结五年级下册数学重点知识总结第一单元：因数和倍数因数和倍数在整数除法中有着重要的意义。
如果被除数是除数和商的倍数且商为整数，那么除数和商就是被除数的因数。
如果a×b=c（a、b、c都是非零整数），那么a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
因数和倍数是相互依存的。
要找一个数的因数，可以用这个数除以1、2、3……直到能整除，所得商和除数就是这个数的因数。
要找一个数的倍数，可以用这个数依次与1、2、3……相乘，所得积就是这个数的倍数。
一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个数的因数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
同时，一个数最小倍数和最大因数都是它本身。
2、3、5的倍数的特征：2的倍数的个位上是2、4、6、8的数都是2的倍数。
5的倍数的个位上是0或5的数都是5的倍数。
3的倍数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
既是2又是5的倍数的个位上是0或5的数都是2、5的倍数。
同时是2、3、5倍数的特征：（1）个位上是0的数，（2）个数各位上的数的和是3的倍数。
奇数和偶数：按照是否是2的倍数，自然数可以分为奇数和偶数。
偶数是2的倍数，个位上是0、2、4、6、8的数都是偶数，最小的偶数是2.奇数不是2的倍数，个位上是1、3、5、7、9的数都是奇数，最小的奇数是1.自然数中除了偶数就是奇数。
两个奇数相加或相减得到的是偶数，两个偶数相加或相减得到的是偶数，一个奇数加上一个偶数得到的是奇数（大的减去小的），奇数乘以奇数得到的是奇数，奇数乘以偶数得到的是偶数，偶数乘以偶数得到的是偶数。
质数和合数：按照因数的个数，自然数可以分为质数、1和合数三类。
质数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数或素数。
合数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1既不是质数也不是合数。
100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.另外，口诀“二、三、五、七和十一一三、一九、一十七二三、二九、三十七三一、四一、四十七四三、五三、五十九六一、七一、六十七七三、八三、八十九、七九、八九”也可以帮助记忆。
人教版五年级数学下册知识点汇总
人教版五年级数学下册知识点汇总1.观察小正方体的形状可以有多种不同的摆法，取决于观察的方向。
但是，当从三个方向观察时，小正方体只有一种摆法。
如果想象不出来，可以借助小正方体的摆法来简化问题。
2.因数和倍数是数学中的基本概念。
如果整数a除以非零整数b能得到一个整数商，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
要找一个数的因数，可以成对地按顺序查找。
一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
要找一个数的倍数，可以依次乘以非零自然数。
3.2、5、3的倍数有不同的特征。
以2结尾的数字是2的倍数，以5结尾的数字是5的倍数。
如果一个数各位数字的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
一个数字既是2的倍数，也是5的倍数，那么它以0结尾。
4.偶数是2的倍数，奇数不是2的倍数。
最小的偶数是0，最小的奇数是1.质数只有1和它本身两个因数，最小的质数是2.如果一个数字除了1和它本身还有其他因数，那么它是合数。
最小的合数是4.100以内的质数有25个，包括2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.5.长方体有6个面，每个面都是长方形，有12条棱，相对的四条棱平行且相等，有8个顶点。
正方体有6个面，每个面都是正方形，有12条棱，所有的棱都相等，有8个顶点。
长方体的长、宽、高是相交于一个顶点的三条棱的长度。
长方体的棱长总和等于长、宽、高之和的4倍，正方体的棱长总和等于棱长的12倍。
长方体或正方体的表面积是6个面积的总和。
长方体的表面积等于长×宽+长×高+宽×高的2倍，用公式表示为S=(ab+ah+bh)×2.正方体的表面积等于棱长的平方乘以6，用公式表示为S=6²。
表面积的常用单位有平方厘米、平方分米和平方米，相邻两个单位的进率为100.物体所占空间的大小叫做物体的体积。
人教版小学五年级数学下册知识点
人教版小学五年级数学下册知识点一、图形的变换1、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线对折，两边能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、成轴对称图形的特征和性质：①对称点到对称轴的距离相等；②对称点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形大小形状完全相同。
3、物体旋转时应抓住三点：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。
旋转只改变物体的位置，不改变物体的形状、大小。
二、因数与倍数1、因数和倍数：如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
2、一个数的因数的求法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法时依次乘以自然数。
4、个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
5、自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，最小的偶数是0；不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。
6、个位上是0或5的数，是5的倍数。
7、一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、能同时被2、3、5整除的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
8、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），最小的质数是2。
9、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
最小的合数是4。
10、100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、9711、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
12、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；13、一个质数有2个因数，分别是1和它本身；一个合数至少有3个因数，14、因为“1”只有1个因数，所以“1”既不是质数，也不是合数。
15、几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。
其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
人教版五年级下册数学第一三单元知识点汇总
第一单元读读背背1、图形的变换包括平移、旋转和对称。
2、轴对称图形：一个图形沿某一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
3、轴对称图形都有对称轴。
有一条对称轴的图形有等腰三角形，等腰梯形、线段、角。
有两条对称轴的图形有长方形、菱形。
有三条对称轴的图形有正三角形。
正方形有4条对称轴。
4、轴对称图形的特征：（1）、对应点到对称轴的距离相等；（2）、对应点连线与对称轴互相垂直。
5、轴对称图形的画法：（1）、找出已知图形的关键点。
（2）、在对称轴的另一侧画出关键点的对应点。
（3）、按顺序连接各对应点。
6、旋转：图形或物体绕着一个点或一条轴运动的现象叫做旋转。
图形旋转后只改变位置，不改变形状和大小。
第二单元读读背背1、倍数和因数：例如4×5＝20,20是4和5的倍数，4和5是20的因数，倍数和因数是相互依存的。
要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
2、找倍数的方法：从1倍、2倍、3倍…有序的找。
3、一个数倍数的特点：①一个数的倍数的个数是无限的；②最小的倍数是它本身；③没有最大的倍数。
4、找因数的方法：找一个数的因数，看哪两个数相乘得这个数，一对一对有序的找比较好。
5、一个数因数的特点：①一个数的因数的个数是有限的；②最小的因数是1；③最大的因数是它本身。
6、1是任何非0自然数的因数。
7、2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
8、奇数和偶数：是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
9、按一个数是不是2的倍数来分，自然数可以分成两类：奇数和偶数。
10、5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。
11、3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
12、既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位是0的数。
13、既是2的倍数又是3的倍数的特征：①个位是0、2、4、6、8的数；②各个数位上的数字的和是3的倍数14、既是3的倍数又是5的倍数的特征：①个位是0或5的数；②各个数位上的数字的和是3的倍数15、既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数的特征：①个位是0的数；②各个数位上的数字的和是3的倍数16、9的倍数的特征：各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
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人教版五年级数学下册单元知识点整理（1-3单元）人教版五年级数学下册单元知识点整理（1-3单元）人教版五年级数学前三单元知识点第一单元观察物体 1、由几个大小相同的小正方体摆成的立体图形，从同一个方向观察，看到的图形可能是相同的，也可能是不同的。
根据一个方向看到的图形摆立体图形，有多种摆法。
2、从同一个方向观察物体最多只能看到三个面。
几何视图一般是根据三个方向观察到的形状进行绘制。
3、根据两个方向观察到的形状能确定所用小正方体的个数。
根据三个方向观察到的形状摆小正方体结果只有一种。
第二单元因数和倍数 1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
） 2、注意：为了方便，在研究因数和倍数时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0） 3、找因数的方法：①乘法②除法；找倍数的方法：逐次乘自然数。
4、①一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。
②一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。
一个数的最大因数和最小倍数是相等的都是它本身。
③1是所有非0自然数的因数。
也是任一自然数（0除外）的最小因数。
④一个数的因数至少有1个，这个数是1。
⑤一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。
5、因数＜或 =它本身、倍数＞或 = 它本身、最大的因数=最小的倍数=它本身。
一个数的倍数一定比它的因数大这种说法是错误的。
一个数越大它的因数个数就越多，一个数越小它的因数个数就越少。
这种说法是错误的。
6、2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫奇数。
7、5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
8、3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
个位上是3、6、9点数都是3的倍数是错误的说法。
9、2和5的倍数特征：个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。
（就是10的倍数）。
10、2和3的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8，而且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数既是2的倍数，也是3的倍数。
(就是6的倍数)。
11、3和5的倍数特征：个位上是0或者5，而且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数既是5的倍数，也是3的倍数。
（就是15的倍数）。
12、2、3、5的倍数特征：个位上是0，而且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数同时是2、3、5的倍数。
（就是30的倍数）能同时被2、3、5整除的最小两位数是30，最大两位数是90，最小三位数是120. 同时满足2，3，5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
4的倍数特征：一个数末尾两位数是4的倍数，这个数就是4的倍数。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就是9的倍数。
能被3整除的数不一定能被9整除；能被9整除的数一定能被3整除。
如果两个数都是同一个数的倍数，那么这两个数的和或差也是这个数的倍数。
13、自然数按能否被2整除分成奇数和偶数。
所以我们说自然数不是奇数就是偶数。
最小的偶数是0，最小的奇数是1，没有最大的奇数和偶数，最小的自然数是0。
如果用n表示自然数，那么2n表示偶数， 2n+1表示奇数。
相邻的两个自然数相差1；相邻两个奇数相差2；相邻两个偶数相差2。
14、奇数+偶数=奇数奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数－偶数=奇数奇数－奇数=偶数偶数－偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数偶数×奇数=偶数无论多少个偶数相加都是偶数、偶数个奇数相加是偶数、奇数个奇数相加是奇数。
任意一个整数乘以2都变成偶数。
15、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。
两个质数相乘的积一定是合数。
质数×质数=合数 16、最小的质数是2，最小的合数是4 。
2是偶数中唯一的质数称为偶质数；也是质数中唯一的偶数。
17、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
18、100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 。
19、自然数按因数的个数分可分为1、质数和合数。
除2以外所有的质数都是奇数。
按是否是2的倍数来分：分为奇数和偶数两类；按因数的个数来分：分为质数、合数和1三类。
第三单元长方体和正方体一、长方体、正方体的认识：长方体和正方体都是立体图形。
正方体也叫立方体。
1、长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。
在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
2、长方体有6个面。
有12条棱，相对（也可以说是平行）的4条棱的长度相等。
长方体有8个顶点。
长方体最多有8条棱的长度相等，最多有4个面完全相同。
一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
（长、宽、高都各有4条，分别平行并且相等） 4、（1）正方体的6个面是完全相同的正方形。
（2）正方体的12条棱长度都相等。
（3）有8个顶点。
5、正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，所有的棱长度相等。
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体，所以正方体是特殊的长方体。
相同点不同点面棱长方体有6个面， 12条棱， 8个顶点。
6个面都是长方形。
（有可能有两个相对的面是正方形）。
相对的面完全相同。
相对的棱平行且长度都相等正方体 6个面都是正方形。
面积都相等。
12条棱都相等。
6、用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体,至少需要8个小正方体。
7、长方体的棱长总和 = 长×4+宽×4+高×4 =（长+宽+高）×4 L= 4a+4b+4h = 4(a+b+h) 长方体的长=棱长总和÷4－宽－高 a = L ÷ 4 - b - h 长方体的宽=棱长总和÷4－长－高b = L ÷ 4 - a - h 长方体的高=棱长总和÷4－长－宽h = L ÷4 - a - b 正方体的棱长总和=棱长×12 L = 12 a 正方体的棱长=棱长总和÷12 a = L ÷ 12 （如果用长60cm铁丝做成长方体或正方体，60cm就是长方体或正方体的棱长总和）二、长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积 2、长方体的表面积：①长方体有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6个面。
上、下面每个面的面积＝长×宽；前、后面每个面的面积＝长×高；左、右面每个面的面积＝宽×高；②长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S=2（ab＋ah＋bh）长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2 用字母表示：S=2ab＋2ah＋2bh 无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh）＋ab 或 S=2（ab＋ah＋bh）－ab 无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh）③特殊长方体的表面积（有两个面是正方形）正方形的两个面完全相同，其余四个面完全相同。
3、正方体的表面积正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示： S= 6a2 4、生活实际油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。
粉刷教室只有5个面。
5、注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。
（表面积相应增加）两物体拼成一个物体时，减少两个面。
（表面积相应减少）注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，这两个截面和它相对的面的面积相等，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表面积。
三、长方体和正方体的体积 1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（就是看物体含有多少个体积单位） 2、常用的体积单位有：立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3 ）① 棱长是1 cm的正方体，体积是1 cm3。
如手指头的大小。
② 棱长是1 dm的正方体，体积是1 dm3。
如黑板擦和粉笔盒的大小。
③ 棱长是1 m的正方体，体积是1 m3。
相邻两个体积单位之间的进率是1000 1 m3 =1000 dm3 1 dm3=1000 cm3 3、长方体的体积长方体的体积=长×宽×高用字母表示：V=abh 长=体积÷宽÷高a = V ÷ b ÷ h 宽=体积÷长÷高b = V ÷ a ÷ h 高=体积÷长÷宽h = V ÷ a ÷ b 4、正方体的体积正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示：V= a3 （a・a・a也可以写作“a³”，读作“a的立方”，表示3个a相乘） 10以内数的立方： 13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 5、底面积：长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
（也叫占地面积）。
6、长方体和正方体的体积公式：长方体或正方体的体积 = 底面积× 高；用字母表示： V=S底h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
7、一个长方体的长、宽、高（或正方体的棱长）分别扩大a 倍，它的表面积就扩大a2, 长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍就是扩大a3倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
（例如：长方体长、宽、高分别扩大3倍，它的表面积就扩大3×3=9倍，体积扩大3×3×3=27倍） 8、低级单位高级单位长度单位：千米（km），米(m)，分米(dm)，厘米(cm)，毫米(mm) 1km=1000m 1m=10dm 1dm=10cm 1cm=10mm1m=100cm 面积单位：平方千米(km²)，公顷，平方米(m²)，平方分米(dm²)，平方厘米(cm²) 1km²=100公顷＝1000000m² 1公顷＝10000 m² 1m²=100dm² 1dm²=100cm² 1m²=10000cm² 体积单位：立方米(m³)，立方分米(dm³)，立方厘米(cm³) 1m³=1000dm³ 1dm³=1000cm³1m³=1000000 cm³ 容积单位：升（L），毫升（ml）1L=1000ml 1L=1 dm³ 1mL=1cm³ 质量单位：吨（t）,千克（kg），克（g） 1t=1000kg 1kg=1000g 长度、面积、体积不可以相互比较，所以不可能相等。