【审核版】专题18 立体几何中—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)
20152017立体几何全国卷高考真题
2015-2017立体几何高考真题1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线AE与CF 所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得 由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，又∵AE ⊥EC ，∴EG ⊥AC ，在Rt △EBG 中，可得，故DF=2.在Rt △FDG 中，可得FG=2在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，DF=2可得EF=2， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （00），E （），F （－1,0），C （00），∴AE u u u r =（1），CF uuu r =（-1，） (10)分故cos ,3||||AE CF AE CF AE CF ⋅<>==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .所以直线AE 与CF. 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力4、（2015年2卷6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．81 B ．71 C ．61 D ．51 【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图．5、（2015年2卷9题）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B．64π C．144π D．256π【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最1大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．6、（2015年2卷19题）（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是226MH EH EM =-=，所以10AH =．以D为坐标原点，DA u u u r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =u u u r ，(0,6,8)HE =-u u u r．设(,,)n x y z =r是平面EHGF 的法向量，则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =r ．又(10,4,8)AF =-u u u r ，故45cos ,15n AF n AF n AF⋅<>==⋅r u u u r r u u u r r u u u r ．所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为4515．考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．D D CAE FA B CB7、（2016年1卷6题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【解析】试题分析： 该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．考点：三视图及球的表面积与体积8、（2016年1卷11题）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(B (D)13试题分析：如图,设平面11CB D I 平面ABCD ='m ,平面11CB D I 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//DE B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11BF 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60︒,故,m n ,选A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.9、（2016年1卷18题）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=o ,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．试题解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D ． 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDCE ．CABDEF又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,C F 60∠E =o ．从而可得()C 2,0,3-．所以()C 1,0,3E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r ,()C 3,4,3A =--u u u r,()4,0,0AB =-u u u r ．设(),,n x y z =r是平面C B E 的法向量,则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩u u u r r u u u r r ,即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 所以可取()3,0,3n =-r．设m r 是平面CD AB 的法向量,则C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩u u ur r u u u rr , 同理可取()0,3,4m =r．则219cos ,19n m n m n m ⋅==-r r r r r r ．故二面角C E -B -A 的余弦值为21919-．考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.10、（2016年2卷6题）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．r c l h由图得，，由勾股定理得：，，故选C ．11、（2016年2卷14题）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） 【解析】②③④12（2016年2卷19题）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=.（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.【解析】⑴证明：∵，∴，∴．∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，， ∴，∴，∴，∴， ∴．又∵，∴面．⑵建立如图坐标系．2r =2π4πc r ==()222234l =+=21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=54AE CF ==AE CFAD CD=EF AC ∥ABCD AC BD ⊥EF BD ⊥EF DH ⊥EF DH'⊥6AC =3AO =5AB =AO OB ⊥4OB =1AEOH OD AO=⋅=3DH D H '==222'OD OH D H '=+'D H OH ⊥OH EF H =I 'D H ⊥ABCD H xyz -，，，， ，，， 设面法向量，由得，取， ∴．同理可得面的法向量， ∴，∴．13、（2016年3卷9题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A）18+ （B）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解． 14、（2016年3卷10题）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若()500B ，，()130C ，，()'003D ，，()130A -，，()430AB =uu u r ，，()'133AD =-uuur ，，()060AC =uuu r，，'ABD ()1n x y z =，，u r1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r 430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩()1345n =-u r ，，'AD C ()2301n =u u r，，1212cos n n n n θ⋅===u r u u ru r u ur sin θAB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解． 15、（2016年3卷19题）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC P ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN P 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．试题解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC中点知BC TN //，221==BC TN .又BC AD //，故TN AMP ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .设(,,)n x y z =r 为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取(0,2,1)n =r，于是|||cos ,|||||n AN n AN n AN ⋅<>==r u u u rr u u u r r u u ur .考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积． 【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理． 16、（2017年1卷7题）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 ()24226S =+⨯÷=梯6212S =⨯=全梯 故选B17、（2017年1卷16题）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是一BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______．【答案】【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥OG =，即OG 的长度与BC 的长度或成正比 设OG x =，则BC =，5DG x =-三棱锥的高h21233332ABC S x x =⋅⋅=△ 则21325103ABC V S h x x =⋅=⋅-△45=32510x x ⋅-令()452510f x x x =-，5(0,)2x ∈，()3410050f x x x '=-令()0f x '>，即4320x x -<，2x <则()()280f x f =≤ 则38045V ⨯=≤∴体积最大值为3415cm18、（2017年1卷18题）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=︒∴PA AB ⊥，PD CD ⊥ 又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥又∵PD PA P =I ，PD 、PA ⊂平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD（2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ∵AB CD∴四边形ABCD 为平行四边形 ∴OEAB由（1）知，AB ⊥平面PAD∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ∴OE PO ⊥，OE AD ⊥ 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥ ∴PO 、OE 、AD 两两垂直∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -设2PA =，∴()002D -，，、()220B ，，、()002P ，，、()202C -，，， ∴()022PD =--u u u r ，，、()222PB =-u u u r ，，、()2200BC =-u u u r，， 设()n x y z =r,,为平面PBC 的法向量由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r ，得2220220x y z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩令1y =，则2z =，0x =，可得平面PBC 的一个法向量()012n =r,,∵90APD ∠=︒，∴PD PA ⊥又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ∴PD AB ⊥，又PA AB A =I ∴PD ⊥平面PAB即PD u u u r是平面PAB 的一个法向量，()022PD =--u u u r ,, ∴3cos 23PD n PD n PD n ⋅===-⋅u u u r ru u u r r u u u r r ,由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为3-19、(2017年2卷4题)如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） 【解析】 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π【解析】【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间想象能力为主目的. 【解析】 【解析】解法一：常规解法【解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如下：【解析】从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：20、(2017年2卷10题)已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力 【解析】解法一：常规解法21、(2017年2卷19题) 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值【命题意图】线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角、二面角的求解【标准答案】（1）证明略；（2 【基本解法1】（1）证明：取PA 中点为F ，连接EF 、AF 因为90BAD ABC ∠=∠=︒，12BC AD =所以BC 12AD 因为E 是PD 的中点，所以EF12AD ，所以EF BC 所以四边形EFBC 为平行四边形，所以//EC BF 因为BF ⊂平面PAB ，EC ⊄平面PAB 所以直线//CE 平面PAB（2）取AD 中点为O ，连接OC OP 、因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥AD因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD因为AO BC ，所以四边形OABC 为平行四边形，所以//AB OC 所以OC AD ⊥以,,OC OD OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图设1BC =，则(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)P A B C --，所以(1,0,PC =u u u r设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =u u ，(1,0,0)AB =u u u r因为点M 在棱PC 上，所以(01)PM PC λλ=≤≤u u u u r u u r，即(,,(1,0,x y z λ=所以()M λ，所以()BM λ=-u u u u r平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =r因为直线BM与底面ABCD所成角为45︒，所以|||sin45||cos,|2||||BM nBM nBM n⋅︒=<>===u u u u r ru u u u r ru u u u r r解得12λ=-，所以(2BM=-u u u u r设平面MAB的法向量为(,,)m x y z=u r，则22AB m xBM m x y z⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u u r u ru u u u r u r令1z=，则m=u r所以cos,5m n<>==u r ru r r所以求二面角M AB D--的余弦值522、（2017年3卷8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．3π4C．π２D．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r=则圆柱体体积23ππ4V r h==，故选B.23、（2017年3卷16题）为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与，都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与成60︒角时，AB与成30︒角；②当直线AB与成60︒角时，AB与成60︒角；③直线AB与所成角的最小值为45︒；④直线AB与所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知，a b AC、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD u u u r 为轴正方向，CB u u u r为轴正方向， CA u u u r为轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线的方向单位向量(0,1,0)a =r ，||1a =r．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线的方向单位向量(1,0,0)b =r，||1b =r ． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，其中为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r ，||2AB '=u u u r． 设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]a AB θθαθ--⋅==∈'r u u u r ． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2|cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=u u u r r r u u u rr u u u r .当AB 'u u u r 与夹角为60︒时，即π3α=，12sin 2cos 2cos 232πθα====． ∵22cos sin 1θθ+=，∴2|cos |θ=． ∴21cos |cos |2βθ==．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB 'u u u r 与夹角为60︒．∴②正确，①错误．24、（2017年3卷19题）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ∆Q 为等边三角形∴BO AC ⊥∴AB BC =AB BCBD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：OD =，OB =∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OBAC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩I 平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等即E 为BD 中点以O 为原点，OA u u u r 为轴正方向，OB u u u r 为轴正方向，OD u u u r为轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC 的法向量为2n u u r，则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得1n =u u r 2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得(20,1,n =u u r 若二面角D AE C --为，易知为锐角，DB C ED BC EO则1212cos n n n n θ⋅=⋅u u r u u r uu r u u r主要考点：1、能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识 别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图 .2、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 .3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题4、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.5、掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.6、理解直线的方向向量与平面的法向量.7、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向 量方法在研究立体几何问题中的应用.。
2015-2020年高考全国卷(文)立体几何试题(含答案)
2015-2020年全国卷立体几何试题(含答案)1.(2020年全国卷1 文3)．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A 51-B 51-C 51+D 51+2.(2020年全国卷1 文12)．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3.(2020年全国卷1 文19)．如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO 23π，求三棱锥P −ABC 的体积．4.(2020年全国卷2 文11)．已知ABC ∆是面积为439的等边三角形， 且其顶点都在球O 的球面上。
若球O 的表面积为π16，则O 到平面ABC 的距离为 A. 3 B. 23 C. 1 D. 23 5.(2020年全国卷2 文16)．设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内。
2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面。
3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行。
4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥。
则下述命题中所有真命题的序号是____________。
①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④43p p ⌝∨⌝6.(2020年全国卷2 文20)．如图，已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧面C C BB 11是矩形，M 、N 分别为BC 、11C B 的中点，P 为AM 上一点。
过11C B 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F 。
20152017解析几何全国卷高考真题
2015-2017解析几何全国卷高考真题2015-2017解析几何全国卷高考真题1、（2015年1卷5题）已知M （0,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是（ ）（A ）（-3333） （B ）（-3636）（C ）（2222） （D ）（2323） 【答案】A 【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF •=0000(3,)(3,)x y x y --•- =2220003310x y y +-=-<，解得033y << A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.2、（2015年1卷14题）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=.考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程3、（2015年1卷20题）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由. 【答案】0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .∵12y x'=，故24x y =在x =22a处的到数值为a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a --0ax y a --=.故24x y =在x =-22a处的到数值为a C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+0ax y a ++=. 故所求切线方程为ax y a --=0ax y a ++=.（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x xk x x a+==-. ∴121212y b y bk kx x --+=+=1212122()()kx xa b x x x x +-+=()k a b a +.当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意. 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力4、（2015年2卷7题）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ） A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【解析】由已知得321143ABk-==--，27341CBk+==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得262y =±-，所以46MN =，故选C ．考点：圆的方程．5、（2015年2卷11题）．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．2 【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a=，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222ab ac ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．6、（2015年2卷20题）（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C xy m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b=+代入2229xy m +=得2222(9)20kx kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+，299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OMM y kx k==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3m m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为Px ．由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m xk =+，即239Pxk =+．将点(,)3mm 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2PMxx =239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k=因为0,3iik k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为4747OAPB 为平行四边形．考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．7、（2016年1卷5题）（5）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B ）(3- （C ）()0,3 （D ）(3 【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c不是c,这一点易出错.8、（2016年1卷10题）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=2,|DE|=25则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.9、（2016年1卷20题）（本小题满分12分）设圆222150xy x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程； （II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADCACD EBD ∠=∠=∠,所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+. 又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）.（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积341112||||212++==k PQ MN S .可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12.综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.10、（2016年2卷4题）圆2228130xy x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43- （B ）34- （C 3 （D ）2 【解析】A 圆化为标准方程为：，2228130xy x y +--+=()()22144x y -+-=故圆心为，，解得，故选A ．11、（2016年2卷11题）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin2113MF F ∠=,则E 的离心率为2（B ）32（C 3 （D ）2 【解析】A 离心率，由正弦定理得．12、（2016年2卷20题）（本小题满分12分） 已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【解析】 ⑴当时，椭圆E 的方程为，A点坐标为，则直线AM 的方程为．()14，24111a d a +-==+43a =-1221F F e MF MF =-12211222sin 321sin sin 13F F M e MF MF F F ====---4t =22143x y +=()20-，()2y k x =+联立并整理得，解得或，则因为，所以因为，， ，整理得， 无实根，所以．所以的面积为．⑵直线AM 的方程为， 联立并整理得，解得或所以所以因为()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2222341616120k xk x k +++-=2x =-228634k x k -=-+2222286121213434k AM k k k k -=++=+++AM AN ⊥2221121211413341AN k k k kk ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭AM AN =0k >2221212114343k k k k k++++()()21440k k k --+=2440k k -+=1k =AMN △22111214*********AM ⎫=+=⎪+⎭(y k x t =+(2213x y t y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222223230tk xtk x t k t +++-=x t =23t tk t x -=2223611t tk t tAM k t k -+=+2613t AN k k k=++2AM AN =所以，整理得，．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以，即，整理得．13、（2016年3卷11题）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；22662113t t k k k k+=++23632k k t k -=-3t >236332k kk ->-()()231202kk k +-<-322k <（2）建立,,a b c的齐次等式，求得ba或转化为关于e的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e．14、（2016年3卷16题）已知直线l：330mx y m++=与圆2212x y+=交于,A B两点，过,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点，若23AB=，则||CD=__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．15、（2016年3卷20题）已知抛物线C：22y x=的焦点为F，平行于x轴的两条直线12,l l分别交C于,A B两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设by la y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过BA ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR的斜率为1k ，FQ的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ. ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆.由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x.设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DEABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点． 16、（2017年1卷15题）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．23【解析】如图，OA a=，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴3AP =，222234OP OA PA a b =--∴2232tan 34AP OP a b θ==-又∵tan b aθ=223234b a a b =-，解得223ab =∴22123113b e a ++17、（2017年1卷20题）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，331P ⎛- ⎝⎭，，431P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程； （2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()233011P P ⎛- ⎝⎭，，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a=，21b= ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k xkbx b +++-=122814kbx x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kb k b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =-所以l 过定点()21-，．18、（2017年2卷9题）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2D ．233【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想. 【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为b y x a =±，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到 渐进线的距离为3，∴ 圆心到渐近线的距离为221bab a ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即2231b ab a ⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得2e =.解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3， ∴ 圆心到渐近线的距离为221k k+，即2231k k=+，解得23k=；由于渐近线的斜率与离心率 关系为221k e =-，解得2e =.19、（2017年2卷16题）已知F 是抛物线C :28yx=的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M为F N 的中点，则F N = ．【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与 化归思想运算求解的能力 【解析】解法一：几何法∵ 点M 为线段NF 的中点 ∴ 1Mx=∴ 23MMF x=+=∴ 26NF MF ==【知识拓展】本题从抛物线定义入手，定比分点求坐标，这是基础概念题，课本习题常有练习.20、（2017年2卷20题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM=.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 【命题意图】椭圆，定值问题的探索；运算求解能力【基本解法】（Ⅰ）解法一：相关点法求轨迹：设()0,M x y ，()0,0N x ,(),P x y ，则：()0,NP x x y =-,()00,NM y =.又2NP NM=,所以：())0,20,x x y y -=，则：0,2x x y ==.又()0,M x y 在椭圆C 上，所以：220012x y +=。
2015-2017解析几何全国卷高考真题版
2015-2017解析几何全国卷高考真题1、（2015年1卷5题）已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值围是（ ）（A ）（-3，3） （B ）（-6，6）（C ）（3-，3） （D ）（） 【答案】A【解析】由题知12(F F ，220012x y -=，所以12MF MF •=0000(,),)x y x y -•- =2220003310x y y +-=-<，解得033y -<<，故选 A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.2、（2015年1卷14题）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程3、（2015年1卷20题）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（Ⅰ）由题设可得)M a，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x=C在,)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=.故24x y =在x=-处的到数值为C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力4、（2015年2卷7题）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．10 【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ．考点：圆的方程．5、（2015年2卷11题）．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．5 B．2 C．3 D．2【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，如图所示，AB BM=，0120ABM∠=，过点M作MN x⊥轴，垂足为N，在Rt BMN∆中，BN a=，3MN a=，故点M的坐标为(2,3)M a a，代入双曲线方程得2222a b a c==-，即222c a=，所以2e=，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．6、（2015年2卷20题）（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m+=>,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b=+(0,0)k b≠≠，11(,)A x y，22(,)B x y，(,)M MM x y．将y kx b=+代入2229x y m+=得2222(9)20k x kbx b m+++-=，故12229Mx x kbxk+==-+，299M Mby kx bk=+=+．于是直线OM的斜率9MOMMykx k==-，即9OMk k⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为4或4+OAPB 为平行四边形．考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．7、（2016年1卷5题）（5）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值围是（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）( 【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.8、（2016年1卷10题）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.9、（2016年1卷20题）（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值围为)38,12[. 考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.10、（2016年2卷4题）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43- （B ）34- （C（D ）2【解析】A圆化为标准方程为：，故圆心为，，解得，故选A ．11、（2016年2卷11题）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（B ）32（C（D ）2 【解析】A离心率，由正弦定理得． 12、（2016年2卷20题）（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值围.2228130x y x y +--+=()()22144x y -+-=()14，1d ==43a =-1221F F e MF MF =-122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---【解析】 ⑴当时，椭圆E 的方程为，A 点坐标为， 则直线AM 的方程为．联立并整理得， 解得或，则因为，所以 因为，，，整理得， 无实根，所以． 所以的面积为． ⑵直线AM 的方程为，联立并整理得，解得或所以 所以因为所以，整理得，． 4t =22143x y +=()20-，()2y kx =+()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2222341616120k x k x k +++-=2x =-228634k x k -=-+222861223434k AMk k -=+=++AM AN ⊥21212413341AN k kk =⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭AM AN =0k >212124343k k k=++()()21440k k k --+=2440k k -+=1k =AMN △221112144223449AM⎫==⎪+⎭(y k x =(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222223230tk x x t k t +++-=x =x =AM =+=3AN k k+2AM AN =23k k+23632k k t k -=-因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以，即，整理得．13、（2016年3卷11题）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得b a 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．14、（2016年3卷16题）已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =，则||CD =__________________.【答案】43t >236332k k k ->-()()231202k k k +-<-2k <考点：直线与圆的位置关系． 【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．15、（2016年3卷20题）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22ba Rb Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆.由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．16、（2017年1卷15题）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==17、（2017年1卷20题）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠ 21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立． ∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =-所以l 过定点()21-，．18、（2017年2卷9题）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．233【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想. 【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3，∴ 圆心到渐近线的距离为221b ab a ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即2231b ab a ⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得2e =.解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3，∴ 圆心到渐近线的距离为221k k +，即2231k k =+，解得23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =.19、（2017年2卷16题）已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与 化归思想运算求解的能力 【解析】解法一：几何法习. 20、（2017年2卷20题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【命题意图】椭圆，定值问题的探索；运算求解能力【基本解法】（Ⅰ）解法一：相关点法求轨迹：设()00,M x y ，()0,0N x ,(),P x y ，则：()0,NP x x y =-,()00,NM y =. 又2NP NM =,所以：())00,0,x x y y -=，则：00,x x y ==.又()00,M x y 在椭圆C 上，所以：220012x y +=。
2015-2017全国高考理科解析几何高考题汇编
A .B "C.D .2015-2017高考解析几何汇编017（一）10•已知F 为抛物线C: y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l i , 12，直线l i 与C交于A 、B 两点，直线12与C 交于D 、E 两点，则|AB|+| DE 的最小值为 A. 16B . 14C. 12D . 102 22017( — )20.( 12 分)已知椭圆 C: X 2爲=1 (a>b>0),四点P 1 (1,1)，P 2 (0,1)，P 3 ( -1，a b豊），P 4 （1，豊）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线I 不经过P 2点且与C 相交于A,B 两点 若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-， 证明：I 过定点•的弦长为2,则C 的离心率为A . 2B . 322017（二）20. （12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C: — y 21上，过M 作x 轴的垂线，2uuu _uun垂足为N ,点P 满足NP ,2NM . （1） 求点P 的轨迹方程；uuu uuu（2） 设点Q 在直线x 3上，且OP PQ 1 .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线I 过C 的 左焦点F.2 22017（三）10.已知椭圆C:令 占1，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A , A 2,且以线段A 1A 2a b为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切，则C 的离心率为2 x 2017(二)9.若双曲线 C :-y a 2y21 ( a 0， b 0b的一条渐近线被圆 x 2 $ y 24所截得D.2门 32017（三）20.（ 12分）已知抛物线 C: y 2=2x ,过点（2,0）的直线I 交C 与A,B 两点，圆M 是 以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4, -2），求直线I 与圆M 的方程.2爲1（a 0,b 0）的左焦点为F ，离心率为-2 .若经过F 和bP （0, 4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为AP 与椭圆相交于点B （ B 异于点A ），直线BQ 与轴相交于点D 若△ APD 的面积为丄6 ,求直线AP 的方程.22016（二）（ 11）已知F 1, F 2是双曲线E 的左，右焦点，点 M 在E 上, M F 1与工轴皿硏孕5I /i垂直，sin 1 ,则E 的离心率为（A ） （ B ）（ C ） ‘八 （D ） 2 2016（二）（ 20）（本小题满分12分）—+^-=1已知椭圆E: “为 的焦点在星轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k>0）的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上, MA 丄NA.2 2017（天津）（5）已知双曲线二 2(A) -42y41 ( B )(C )(D )2y- 142017（天津）（19）（本小题满分2 14分）设椭圆笃 2y a b 21(a0）的左焦点为F ,右顶点为A ，1 离心率为1.已知A 是抛物线 2（I ）求椭圆的方程和抛物线的方y 22px (p0）的焦点, F 到抛物线的准线的距离为（II ）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线(I )当 t=4,\AM \=\AN \ 时，求△ AMN 的面积;（H ）当上伽职时，求k 的取值范围2016(北京)19.(本小题14分)已知椭圆C:笃爲1 ( a b 0)的离心率为二,A(a,0),a b2B(0, b), 0(0,0) , OAB 的面积为 1.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：AN | |BM |为定值.2016(一)(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知| AB|=, |DE|=2 j5，则C 的焦点到准线的距离为 (A)2(B)4(C)6(D)82016(一)20.(本小题满分12分) 设圆x 2 y 2 2x 150的圆心为A ,直线I 过点B ( 1,0)且与x 轴不重合，I 交圆A 于C, D两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(I) 证明EA |EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(II) 设点E 的轨迹为曲线G,直线I 交G 于M,N 两点，过B 且与I 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF 丄x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于 点E.若直线BM 经过OE 的中点，贝U C 的离心率为2016(三)(20)(本小题满分12分)已知抛物线C: y 2 2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线hl 分别交C 于A , B 两点，交C 的 准线于P, Q 两点.(I )若F 在线段AB 上, R 是PQ 的中点，证明AR// FQ;2016(三)(11)已知O 为坐标原点,1(a b 0)的左焦点，A , B 分别为(A )(C ) (D )2F 是椭圆C:务a2(II )若厶PQF 的面积是厶ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.2015 (二) (11)已知A , B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上, ?ABM 为等腰三角形， 且顶角为120°,则E 的离心率为 (A ) V 5 (B ) 2 (C ) V 3 (D ) V2 2015 (二) 20.(本小题满分12分)已知椭圆C ： 9x 2 y 2 m 2(m 0)，直线I 不过原点O 且不平行于坐标轴，I 与C 有两个交 点A ，B ，线段AB 的中点为M 。
立体几何专题(2015-2017全国卷试题分析)
A.4
A1
B. 9 2
C.6
C1
3 10
C
D. 32 3
A
B1
r=2
6
8
B
2.(2017年全国卷 理8)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的
同一个球的球面上， 则该圆柱的体积为 （ ）
A.
B. 3
C.
D.
4
2
4
O R=1
1
2 3
r= 2
正三棱锥
（3）空间角与空间距离的计算
几何体体积（三视图）；线面位置关系； 空间角的计算 .
几何体的表面积（三视图）、体积；线面 位置关系（平行）；空间角的计算 .
卷二 T6,T14（1选1填） T19（1解） 22
几何体的表面积（三视图）；线面位置关 系；空间角的计算 .
卷三 T9,T10（2选） T19（1解） 22
几何体的表面积、体积（三视图）；线面 位置关系（垂直）；空间角的计算 .
几何体的体积；线面位置关系（垂直）； 空间角的计算 .
1.从题型看：
近三年来保持了历年对立体几何的考查题型：选择题、 填空题及解答题三种.题型稳定.
2.从题量看：
近三年的全国卷多数是以“两小一大”为主，分值在 22分（15年卷二是“一小一大”，分值为17分），约 占总分值的15%，所占比重较大.
3.从知识的分布看：
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
动向3 空间几何体的计算问题
本部分是考查的重点内容，常以几何体的表面积、 体积的计算以及几何体的外接球、内切球为主要命题点 进行考查.
（1）几何体的表面积、体积；
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第二章 函数【2017年高考试题】1．【2017课标1，文8】函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．2.【2017课标3，文7】函数2sin 1x y x x =++的部分图像大致为（ ）A BD ．C D3.【2017浙江，5】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关4.【2017北京，文5】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数5.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与M N最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053（C ）1073 （D ）10936.【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ A. 2 B. 4 C. 6 D. 87.【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为 （A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b <<8.【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是A.(,2)-∞-B. (,1)-∞-C. (1,)+∞D. (4,)+∞9.【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称 10.【2017山东，文10】若函数()e x f x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2x f x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x = 11.【2017天津，文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）[2,2]-（B）[2]-（C）[2,-（D）[-12.【2017课标II ，文14】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = ________．13.【2017北京，文11】已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是__________．14.【2017课标3，文16】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________.15【2017山东，文14】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6x f x -=,则f (919)= .16.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .17.【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 【2016，2015，2014高考题】1. 【2016高考新课标1文数】若0a b >>,01c <<,则（ ）（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b2. 【2014高考北京文第2题】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.3y x = C.ln y x = D.y x =3. 【2014高考北京文第8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟4. 【2014高考北京文第6题】已知函数()26log f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞5. 【2015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=6. 【2014高考广东卷.文.5】下列函数为奇函数的是( )A .122x x - B .3sin x x C .2cos 1x + D .22x x +7. 【2016高考新课标1文数】函数22x y x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）8. 【2015高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+9. 【 2014湖南文4】下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ） 21.()A f x x= 2.()1B f x x =+ 3.()C f x x = .()2x D f x -= 10. 【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D ）y= 11. 【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mii x =∑（ ） (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m12. 【2014山东.文3】 函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（ ）A. (0,2)B. (0,2]C. ),2(+∞D. [2,)+∞13. 【2014山东.文6】已知函数log ()(,a y x c a c =+为常数，其中0,1)a a >≠的图象如右图，则下列结论成立的是（ ）A.1,1a c >>B.1,01a c ><<C.01,1a c <<>D.01,01a c <<<<14. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知4213332,3,25a b c ===，则（ ）(A) b a c << (B)a b c << (C) b c a << (D) c a b << 15. 【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2的图象是（ ）16. 【2015高考山东，文2】设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( )（A ）a b c ＜＜ （B ）a cb ＜＜ （C ）b ac ＜＜ （D ）b c a ＜＜ 17. 【2014山东.文5】 已知实数,x y 满足(01)x y aa a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 18. 【2016高考浙江文数】已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log >1a b ，则（ ）A.(1)(1)0a b --<B. (1)()0a a b -->C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a -->19. 【2015高考山东，文8】若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）0,1（） （D ）1,+∞（）20. 【2015高考山东，文10】设函数3,1()2,1x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b = ( ) （A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)1221. 【2016高考浙江文数】已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件22. 【2015高考陕西，文4】设10()2,0x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．3223. 【2016高考浙江文数】已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x ≥∈R .（ ）A.若()f a b ≤，则a b ≤B.若()2bf a ≤，则a b ≤C.若()f a b ≥，则a b ≥D.若()2b f a ≥，则a b ≥24. 【2014高考陕西版文第7题】下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） （A ）()3f x x = （B ）()3x f x = （C ）()23f x x = （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 25. 【2015高考陕西，文9】 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数26. 【2015高考陕西，文10】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>27. 【2016高考北京文数】已知(2,5)A ，(4,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（ ）A.−1B.3C.7D.828. 【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（ ） A.11y x=- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 29. 【2014四川，文7】已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）A 、B 、C 、D 、 0b >5log b a =lg b c =510d =d ac =a cd =c ad =d a c =+30. 【2015高考四川，文5】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )(A )y ＝sin (2x ＋2π) (B )y ＝cos (2x ＋2π) (C )y ＝sin 2x ＋cos 2x (D )y ＝sinx ＋cosx31.【2016高考上海文科】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题32. 【2015高考四川，文8】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时33. 【2014全国1，文5】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数34．【2015高考新课标1，文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14- 35. 【2016高考山东文数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =36. 【2015高考新课标1，文12】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x=-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）437. 【2014年.浙江卷.文7】已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则（ ）A.3≤cB.63≤<cC. 96≤<cD.9>c38. 【2016高考山东文数】已知函数f(x )的定义域为R.当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x )；当x ＞12时，f(x +12)=f(x —12).则f(6)= （ ） （A ）-2 （B ）-1（C ）0 （D ）239. 【2015高考浙江，文5】函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．40. 【2014年.浙江卷.文8】在同一坐标系中，函数)0()(>=x x x f a ，x x g a log )(=的图象可能是（ ）41. 【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年42. 【2014高考重庆文第4题】下列函数为偶函数的是（ ）.()1A f x x =- 2.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=-.()22x x D f x -=+43. 【2014高考重庆文第10题】已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.91(,2](0,]42-- B.111(,2](0,]42-- C.92(,2](0,]43-- D.112(,2](0,]43-- 44. 【2015高考重庆，文3】函数22(x)log (x 2x 3)f 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1)(C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞ 45. 【2014，安徽文5】设 1.1 3.13log 7,2,0.8a b c ===则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a bc << D ．b c a <<46. 【2015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y =lnx （B ）21y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx47. 【2015高考安徽，文10】函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）a >0，b <0，c >0，d >0 （B ）a >0，b <0，c <0，d >0 （C ）a <0，b <0，c <0，d >0 （D ）a >0，b >0，c >0，d <048. 【2014，安徽文9】若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为 （ ）A ．5或8B ．1-或5C ． 1-或4-D ．4-或849.【2014天津，文4】设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >> 50. 【2015高考天津，文8】已知函数22||,2()(2),2x xf x x x ,函数()3(2)g x f x ,则函数y()()f x g x 的零点的个数为（ ）(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)551. 【2015高考天津，文7】 已知定义在R 上的函数||()21()xm f x m 为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a(B) b c a (C) b a c (D) b c a52.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2-=，则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为（ ）A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{2D.{2-53. 【2015高考湖北，文6】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-54. 【2015高考湖北，文7】设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ） A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =55. 【2014福建,文8】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （56. 【2014福建,文9】要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ）.80.120.160.240A B C D 元元元元57. 【2015高考福建，文3】下列函数为奇函数的是( )A．y = B ．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-58. 【2014辽宁文3】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>59. (2014课标全国Ⅰ，文5)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )．A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数60. 【2015新课标2文11】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．61. 【2015新课标2文12】设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62. 【2014辽宁文10】已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ） A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334--63. 【2014辽宁文11】 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 二、填空题1. 【2016高考四川文科】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= .2. 【2015高考北京，文10】32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 3. 【2015高考湖南，文14】若函数()|22|xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.4. 【 2014湖南文15】若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.5. 【2014高考陕西版文第12题】已知42a=，lg x a =，则x =________. 6. 【2014高考陕西版文第14题】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________.7. 【2014全国2，文15】偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________．8. 【2016高考上海文科】已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数.9. 【2014四川，文13】设是定义在R 上的周期为2的函数，当时，()f x [1,1)x ∈-，则 . 10. 【2015高考四川，文12】lg 0.01＋log 216＝_____________.11. 【2015高考四川，文15】已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).12. 【2014年.浙江卷.文15】设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a .13. 【2016高考浙江文数】设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．14. 【2015高考浙江，文9】计算：2log 2= ，24log 3log 32+= ． 15. 【2015高考浙江，文12】已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．16. 【2014，安徽文11】34331654+log log 8145-⎛⎫+=⎪⎝⎭________． 17. 【2016高考山东文数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 18. 【2014，安徽文14】若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ．242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩3()2f =19. 【2016高考北京文数】函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 20. 【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 . 21. 【2015高考安徽，文11】=-+-1)21(2lg 225lg. 22. 【2014天津，文12】函数2()lg f x x =的单调递减区间是________.23. 【2014天津，文14】已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______24. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 .25. 【2015高考湖北，文13】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.26. 【2014上海,文3】设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f = .27. 【2014上海,文9】设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是 .28. 【2014上海,文11】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .29. 【2016高考天津文数】已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.30. 【2014福建,文15】（函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是__________.31. 【2015高考福建，文15】若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．32. 【2015新课标2文13】已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．33. (2014课标全国Ⅰ，文15)设函数()113e ,1,,1,x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__________．34. 【2014辽宁文16】对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 .三、解答题1.【2015高考湖北，文17】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.2. 【2014上海,文20】（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.3. 【2016高考上海文科】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+.（1）当 1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.专题3 导数的几何意义与运算1.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 2.【2014高考陕西版文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-3.【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)4.【2017课标1，文14】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 5.【2017天津，文10】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .6.【2014高考广东卷.文.11】曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.7. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________.9.【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .10. 【2014，安徽文15】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ，下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3yx =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =11. 【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．12. 【2015新课标2文16】已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．13.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R ., (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.14.【2017北京，文20】已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．15.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.16.【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线 在点(1,(1))f 处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.17.【2014全国2，文21】（本小题满分12分） 已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （Ⅰ）求a ； （Ⅱ）证明：当1k<时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.18.【2016高考北京文数】（本小题13分） 设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.19.【2014高考重庆文第19题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间与极值.20.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R （I ）求()f x 的单调区间;（II ）设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()yg x ,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ; （III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x ,求证:1321-43a x x。
专题18 立体几何中—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(原卷版)
【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽 相等”的原则. (2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是 由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整 体；③综合起来,定整体． 19.【2014 高考北京文第 11 题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.
专题 18 立体几何中三视图及其应用
1.【2017 课标 II，文 6】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π
2.【2017 北京，文 6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
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（A）18 36 5 （B） 54 18 5 （C）90
（D）81
15.【2015 高考湖南，文 10】某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一 个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材 料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）
20.【2016 高考四川文科】已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积.
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21.【2015 高考天津，文 10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积
为 m3 . 22【. 2014 天津文 10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m3 .
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立体几何(解答题)-三年(2017-2019)高考真题数学专题
立体几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C 的体积．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.4．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．5．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.6．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．7．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.8．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．11．【2018年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA⊥PD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求证：EF ∥平面PCD .12．【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M为棱AB 的中点，AB =2，AD =BAD =90°． （1）求证：AD ⊥BC ；（2）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （3）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．13．【2018年高考江苏卷】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．14．【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．15．【2017年高考全国Ⅰ文数】如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P −ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，1,2AB BC AD BAD ==∠90.ABC =∠=︒ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．18．【2017年高考北京卷文数】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（1）求证：PA ⊥BD ；（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（3）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E –BCD 的体积．19．【2017年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．20．【2017年高考山东卷文数】由四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1−B 1CD 1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD . （1）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（2）设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.21．【2017年高考江苏卷】如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．22．【2017年高考浙江卷】如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．PABCDE立体几何（解答题）专题答案1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2. 【解析】（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥. 又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由已知可得CE =1，C 1C =4，所以1C E =，故17CH =.从而点C 到平面1C DE 的距离为17.【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18.【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ． （2）由（1）知∠BEB 1=90°. 由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==． 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=．【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE．又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．（2）取CG的中点M，连结EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM．因此DM⊥CG．在Rt△DEM中，DE=1，EM DM=2．所以四边形ACGD的面积为4．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，突出考查考生的空间想象能力.-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E 4．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，理由见解析.【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，⊥．所以PA BD又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC⊥．所以BD⊥平面PAC．（2）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．所以AE⊥平面PAB．所以平面PAB⊥平面PAE．（3）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．则FG∥AB，且FG=12 AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=12 AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG．因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF∥平面PAE．【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3 【解析】（1）连接BD ，易知AC BD H =，BH DH =.又由BG=PG ，故GH PD ∥.又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ， 所以GH ∥平面P AD .（2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ， 又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面P AC ，又PA ⊂平面P AC ，故DN PA ⊥. 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角， 因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC 的中点，所以DN =又DN AN ⊥，在Rt AND △中，sin DN DAN AD ∠==.所以，直线AD与平面P AC所成角的正弦值为3【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.6．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.7．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）35． 【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ． 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ． 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ． 所以BC ⊥平面A 1EF ． 因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG由于O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B1，0），1B，3,22F ，C (0，2，0)．因此，33(,22EF =，(BC =-． 由0EF BC ⋅=得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(02BC AC --，，，，，． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，， 由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅，n n n |，因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35． 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.8．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥． 又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =又23BP DQ DA ==，所以BP = 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE =∥13DC ．由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1． 因此，三棱锥Q ABP -的体积为11113451332Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△．【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.解答本题时，（1）首先根据题的条件，可以得到BAC ∠=90°，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；（2）根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．【答案】（1）见解析；（2）5．【解析】（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =连结OB ．因为AB =BC =2AC，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =12AC =2． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC =12AC =2，CM =23BC =3，∠ACB =45°．所以OM =3，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠=5．所以点C 到平面POM 【名师点睛】立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明，解答本题时，连接OB ，欲证PO ⊥平面ABC ，只需证明,PO AC PO OB ⊥⊥即可；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，即过点C 作CH OM ⊥，垂足为M ，只需论证CH 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可，本题也可利用等体积法解决.10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．【名师点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题.11．【2018年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ；（2）求证：平面P AB ⊥平面PCD ； （3）求证：EF ∥平面PCD .【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥. ∵底面ABCD 为矩形，∴BC AD ∥， ∴PE BC ⊥.（2）∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD . ∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥，∴PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD . （3）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥，∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD .【名师点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.12．【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°． （1）求证：AD ⊥BC ；（2）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （3）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）26；（3）4． 【解析】（1）由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（2）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角． 在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MNDMN DM ∠==．所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为26．（3）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ．在Rt △CMD 中，sin 4CM CDM CD ∠==．所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为4．【名师点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．13．【2018年高考江苏卷】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．【名师点睛】本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.解答本题时，（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得四边形ABB1A1为菱形，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.14．【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）13. 【解析】方法一：（1）由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得111AB A B ==， 所以2221111A B AB AA +=.故111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得11B C = 由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =，所以2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥.因此1AB ⊥平面111A B C .（2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ， 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ， 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由111111BC A B AC ==111111cos C A B C A B ∠=∠=，所以1C D ，故111sin C D C AD AC ∠==.因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13. 方法二：（1）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：111(0,(1,0,0),(0,(1,0,2),A B A B C因此11111(1,3,2),(1,3,2),(0,23),AB A B AC ==-=- 由1110AB A B ⋅=得111AB A B ⊥. 由1110AB AC ⋅=得111AB AC ⊥. 所以1AB ⊥平面111A B C .（2）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由（1）可知11(0,23,1),(1,3,0),(0,0,2),AC AB BB === 设平面1ABB 的法向量(,,)x y z =n .由10,0,ABBB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可取(=n .所以111|sin |cos ,|13|||AC AC AC θ⋅===⋅n |n n |. 因此，直线1AC 与平面1ABB . 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.15．【2017年高考全国Ⅰ文数】如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P −ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积． 【答案】（1）见解析；（2）326+．【解析】（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥，CD PD ⊥． 由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知可得AD =，2PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =．从而2PA PD ==，AD BC ==PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 6062222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+ 【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．解答本题时，（1）由AB AP ⊥，AB PD ⊥，得AB ⊥平面PAD 即可证得结果；（2）设AB x =，则四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=，解得2x =，可得所求侧面积．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，1,2AB BC AD BAD ==∠90.ABC =∠=︒ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）在平面ABCD 内，因为∠BAD =∠ABC =90°，所以BC ∥AD . 又BC PAD ⊄平面，AD PAD ⊂平面， 故BC ∥平面P AD .（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ， 由12AB BC AD ==及BC ∥AD ，∠ABC =90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ， 所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ，因为CM ABCD ⊂底面，所以PM ⊥CM .设BC =x ，则CM =x ，CD ，PM ，PC =PD =2x .取CD 的中点N ，连结PN ，则PN ⊥CD ，所以PN x =.因为△PCD 的面积为，所以12x =解得x =−2（舍去），x =2，于是AB =BC =2，AD =4，PM =所以四棱锥P −ABCD 的体积()224132V ⨯+=⨯⨯=【名师点睛】解答本题时，（1）先由平面几何知识得BC ∥AD ，再利用线面平行的判定定理证得结论；（2）取AD 的中点M ，利用线面垂直的判定定理证明PM ⊥底面ABCD ，从而得四棱锥的高，再通过平面几何计算得底面直角梯形的面积，最后代入锥体体积公式即可.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比． 【答案】（1）见解析；（2）1:1【解析】（1）取AC 的中点O ，连结DO ，BO . 因为AD =CD ，所以AC ⊥DO . 又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO . 从而AC ⊥平面DOB ， 故AC ⊥BD . （2）连结EO .由（1）及题设知∠ADC =90°，所以DO =AO . 在Rt △AOB 中，222BO AO AB +=.又AB =BD ，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==， 故∠DOB =90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以12EO AC =. 又△ABC 是正三角形，且AB =BD ，所以12EO BD =.故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1.【名师点睛】解答本题时，（1）取AC 的中点O ，由等腰三角形及等边三角形的性质得OD AC ⊥，OB AC ⊥，再根据线面垂直的判定定理得⊥AC 平面OBD ，即得AC ⊥BD ；（2）先由AE ⊥EC ，结合平面几何知识确定12EO AC =，再根据锥体的体积公式得所求体积之比为1:1.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18．【2017年高考北京卷文数】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（1）求证：PA ⊥BD ；（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（3）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13. 【解析】（1）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.（2）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（1）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ， 所以平面BDE ⊥平面PAC .（3）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==由（1）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. 【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.解答本题时，（1）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（2）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（3）由13BCD V S DE =⨯⨯△即可求解.19．【2017年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（12）见解析；（3 【解析】（1）如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角． 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD ．在Rt △PDA 中，由已知，得AP =故cos AD DAP AP ∠==所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为5．（2）因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ． 又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ， 又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C ．（3）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ， 则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角． 因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影， 所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1，由已知，得CF =BC –BF =2． 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得DF ==在Rt △DPF 中，可得sin PD DFP DF ∠==．所以，直线AB 与平面PBC 【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点考查内容，而证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，而线线垂直又可通过线面垂直得到，用几何法求线面角，关键是找到斜线的射影，斜线与其射影所成的角就是线面角．解答本题时，（1）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，因为AD BC ∥，所以DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角，本题中AD ⊥PD ，进而可得AP 的长，所以cos ADDAP AP∠=；（2）要证明线面垂直，根据判断定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可；（3）根据（2）中的结论，作DF AB ∥，连结PF ，则DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角．20．【2017年高考山东卷文数】由四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1−B 1CD 1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD . （1）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（2）设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）取11B D 的中点1O ，连接111,CO AO ，由于1111ABCD A B C D -是四棱柱， 所以1111,AO OC AO OC =∥， 因此四边形11AOCO 为平行四边形， 所以11A O O C ∥，又1O C ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ， 所以1A O ∥平面11B CD .（2）因为AC BD ⊥，E ，M 分别为AD 和OD 的中点， 所以EM BD ⊥，又1A E ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1,A E BD ⊥ 因为11,B D BD ∥所以11111,,EM B D A E B D ⊥⊥ 又1,A E EM ⊂平面1A EM ，1A E EM E =，所以11B D ⊥平面1,A EM 又11B D ⊂平面11B CD ， 所以平面1A EM ⊥平面11B CD .【名师点睛】证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行，应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如把线面平行。
20152017高考真题分类汇编立体几何文数
2015高考试题分类汇编--立体几何【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α及平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少及1l ，2l 中的一条相交B ．l 及1l ，2l 都相交C ．l 至多及1l ，2l 中的一条相交D ．l 及1l ，2l 都不相交 【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）A ．14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cm C ．3233cmD ．4033cm【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 及平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后及半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．822+B．1122+C．1422+D．15【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A、89πB、827πC、D、【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为3m. 1112【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）（B ）（）22π（）42π【2015高考山东，文18】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.（I ）求证：//BD 平面FGH ；（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .2015高考浙江，文18】如图，在三棱锥111ABCA B C 中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：11D A BC A ⊥平面； （2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。
高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)完整版.doc
高三数学立体几何高考题1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）182.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π47.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）89（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1311．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。
2015-2017立体几何全国卷高考真题
2015-2017立體幾何高考真題1、（2015年1卷6題）《九章算術》是我國古代內容極為豐富の數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。
問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內牆角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐の四分之一），米堆為一個圓錐の四分之一），米堆底部の弧長為8尺，米堆の高為5尺，問米堆の體積和堆放の米各為多少?”已知1斛米の體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛の米約有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛【答案】B【解析】設圓錐底面半徑為r ，則12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆の體積為211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放の米約為3209÷1.62≈22，故選B.考點：圓錐の性質與圓錐の體積公式2、（2015年1卷11題）圓柱被一個平面截去一部分後與半球（半徑為r ）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中の正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體の表面積為16 + 20π，則r=（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱の組合體，圓柱の半徑與球の半徑都為r ，圓柱の高為2r ，其表面積為22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故選B.考點：簡單幾何體の三視圖；球の表面積公式、圓柱の測面積公式 3、（2015年1卷18題）如圖，四邊形ABCD 為菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一側の兩點，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.（Ⅰ）證明：平面AEC ⊥平面AFC ；（Ⅱ）求直線AE 與直線CF 所成角の余弦值. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）連接BD ，設BD∩AC=G，連接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨設GB=1易證EG ⊥AC ，通過計算可證EG ⊥FG ，根據線面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 為座標原點，分別以,GB GC の方向為x 軸，y 軸正方向，||GB 為單位長度，建立空間直角坐標系G-xyz ，利用向量法可求出異面直線AE 與CF 所成角の余弦值. 試題解析：（Ⅰ）連接BD ，設BD∩AC=G，連接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨設GB=1，由∠ABC=120°，可得 由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，又∵AE ⊥EC ，∴EG ⊥AC ，在Rt △EBG 中，可得DF=2.在Rt △FDG 中，可得在直角梯形BDFE 中，由BD=2，可得 ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ，∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.（Ⅱ）如圖，以G 為座標原點，分別以,GB GC の方向為x 軸，y 軸正方向，||GB 為單位長度，建立空間直角坐標系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （00），E （，F （－1,0，C （00），∴AE =（1，CF =（-1，）.…10分故cos ,3||||AE CF AE CF AE CF ⋅<>==-. 所以直線AE 與CF 考點：空間垂直判定與性質；異面直線所成角の計算；空間想像能力，推理論證能力4、（2015年2卷6題）一個正方體被一個平面截去一部分後，剩餘部分の三視圖如右圖，則截去部分體積與剩餘部分體積の比值為（ ）A ．81 B ．71 C ．61 D ．51 【解析】由三視圖得，在正方體1111ABCD A BC D -中，截去四面體111A A B D -，如圖所示，，設正方體棱長為a ，則11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩餘幾何體體積為3331566a a a -=，所以截去部分體積與剩餘部分體積の比值為51，故選D ．考點：三視圖．5、（2015年2卷9題）已知A,B 是球O の球面上兩點，∠AOB=90,C 為該球面上の動點，若三棱錐O-ABC 體積の最大值為36，則球O の表面積為（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π【解析】如圖所示，當點C 位於垂直於面AOB の直徑端點時，三棱錐O ABC -の體積最大，設球O の半徑為R ，此時2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，則球O の表面積為24144S R ππ==，故選C ．考點：外接球表面積和椎體の體積．6、（2015年2卷19題）（本題滿分12分）如圖，長方體1111ABCD A BC D -中,=16AB ，A1=10BC ，18AA =，點E ，F 分別在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．過點E ，F の平面α與此長方體の面相交，交線圍成一個正方形．（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）； （Ⅱ）求直線AF 與平面α所成角の正弦值． 【解析】（Ⅰ）交線圍成の正方形EHGF 如圖：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足為M ，則14AM AE ==，18EM AA ==，因為EHGF 為正方形，所以10EH EF BC ===．於是226MH EH EM =-=，所以10AH =．以D為座標原點，DA の方向為x 軸の正方向，建立如圖所示の空間直角坐標系D xyz -，則(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-．設(,,)n x y z =是平面E H G F の法向量，則0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =．又(10,4,8)AF =-，故45cos ,15n AF n AF n AF⋅<>==⋅．所以直線AF 與平面α所成角の正弦值為45．考點：1、直線和平面平行の性質；2、直線和平面所成の角．7、（2016年1卷6題）如圖,某幾何體の三視圖是三個半徑相等の圓及每個圓中兩條相互垂直の半徑.若該幾何體の體積是283π,則它の表面積是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28πD D CAE FA B CB【解析】試題分析： 該幾何體直觀圖如圖所示：是一個球被切掉左上角の18,設球の半徑為R ,則37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它の表面積是78の球面面積和三個扇形面積之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故選A ．考點：三視圖及球の表面積與體積8、（2016年1卷11題）平面α過正方體ABCD -A 1B 1C 1D 1の頂點A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,則m 、n 所成角の正弦值為(B (D)13試題分析：如圖,設平面11CB D 平面ABCD ='m ,平面11CB D 平面11ABB A ='n ,因為//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ,則,m n 所成の角等於','m n 所成の角.延長AD ,過1D 作11//DE B C ,連接11,CE B D ,則CE 為'm ,同理11BF 為'n ,而111//,//BD CE B F A B ,則','m n 所成の角即為1,A B BD 所成の角,即為60︒,故,m n ,選A. 考點：平面の截面問題,面面平行の性質定理,異面直線所成の角.【名師點睛】求解本題の關鍵是作出異面直線所成角,求異面直線所成角の步驟是：平移定角、連線成形,解形求角、得鈍求補.9、（2016年1卷18題）如圖,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 為頂點の五面體中,面ABEF 為正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 與二面角C -BE -F 都是60．（I ）證明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A の余弦值．試題解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）過D 作DG F ⊥E ,垂足為G ,由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 為座標原點,GF の方向為x 軸正方向,GF 為單位長度,建立如圖所示の空間直角坐標系G xyz -．由（I ）知DF ∠E 為二面角D F -A -E の平面角,故DF 60∠E =,則DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D ．由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CDAB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 為二面角C F -BE -の平面角,C F 60∠E =．從而可得(C -．所以(C E =,()0,4,0EB =,(C 3,A =--,()4,0,0AB =-． 設(),,n x y z =是平面C B E の法向量,則C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩,即040x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩, CABDEF所以可取(3,0,n =．設m 是平面CD AB の法向量,則C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩,同理可取()0,3,4m =．則219cos ,n m n m n m ⋅==- 故二面角C E -B -A の余弦值為考點：垂直問題の證明及空間向量の應用【名師點睛】立體幾何解答題第一問通常考查線面位置關係の證明,空間中線面位置關係の證明主要包括線線、線面、面面三者の平行與垂直關係,其中推理論證の關鍵是結合空間想像能力進行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主.第二問一般考查角度問題,多用空間向量解決.10、（2016年2卷6題）右圖是由圓柱與圓錐組合而成の幾何體の三視圖，則該幾何體の表面積為（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 解析：幾何體是圓錐與圓柱の組合體，設圓柱底面圓半徑為，周長為，圓錐母線長為，圓柱高為． 由圖得，，由畢氏定理得：，，故選C ．11、（2016年2卷14題）α，β是兩個平面，m ，n 是兩條線，有下列四個命題：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那麼αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那麼m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那麼m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那麼m 與α所成の角和n 與β所成の角相等．r c l h2r =2π4πc r ==4l =21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=其中正確の命題有 .(填寫所有正確命題の編號） 【解析】②③④12（2016年2卷19題）（本小題滿分12分）如圖，菱形ABCD の對角線AC 與BD 交於點O ，5AB =，6AC =，點E ，F 分別在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 於點H .將△DEF 沿EF 折到△D EF 'の位置OD '=（I ）證明：DH'⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--の正弦值.【解析】⑴證明：∵，∴，∴． ∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，， ∴，∴，∴，∴， ∴．又∵，∴面．⑵建立如圖坐標系．，，，， ，，， 設面法向量，由得，取， ∴．同理可得面の法向量， 54AE CF ==AE CFAD CD=EF AC ∥ABCD AC BD ⊥EF BD ⊥EF D H ⊥EF DH'⊥6AC =3AO =5AB =AO OB ⊥4OB =1AE OH OD AO=⋅=3DH D H '==222'OD OH D H '=+'D H OH ⊥OH EF H =I 'D H ⊥ABCD H xyz -()500B ，，()130C ，，()'003D ，，()130A -，，()430AB =u u u r ，，()'133AD =-u u u r ，，()060AC =u u u r ，，'ABD ()1n x y z =，，u r1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩()1345n =-u r ，，'AD C ()2301n =u u r，，∴，∴．13、（2016年3卷9題）如圖，網格紙上小正方形の邊長為1，粗實現畫出の是某多面體の三視圖，則該多面體の表面積為（ ）（A）18+ （B）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B考點：空間幾何體の三視圖及表面積．【技巧點撥】求解多面體の表面積及體積問題，關鍵是找到其中の特徵圖形，如棱柱中の矩形，棱錐中の直角三角形，棱臺中の直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間の關係，建立未知量與已知量間の關係，進行求解． 14、（2016年3卷10題）在封閉の直三棱柱111ABC A B C -內有一個體積為V の球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，則V の最大值是（ ） （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B試題分析：要使球の體積V 最大，必須球の半徑R 最大．由題意知球の與直三棱柱の上下底面都相切時，球の半徑取得最大值32，此時球の體積為334439()3322R πππ==，故選B ．考點：1、三棱柱の內切球；2、球の體積．【思維拓展】立體幾何是の最值問題通常有三種思考方向：（1）根據幾何體の結構特徵，變1212cos n n n n θ⋅=u r u u r u r u ur sin θ=動態為靜態，直觀判斷在什麼情況下取得最值；（2）將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解；（3）建立函數，通過求函數の最值來求解． 15、（2016年3卷19題）（本小題滿分12分） 如圖，四棱錐P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 為線段AD 上一點，2AM MD =，N 為PC の中點．（I ）證明MN平面PAB ；（II ）求直線AN 與平面PMN 所成角の正弦值.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）取PB の中點T ，然後結合條件中の數據證明四邊形AMNT 為平行四邊形，從而得到MNAT ，由此結合線面平行の判斷定理可證；（Ⅱ）以A 為座標原點，以,AD AP 所在直線分別為,y z 軸建立空間直角坐標系，然後通過求直線AN の方向向量與平面PMN 法向量の夾角來處理AN 與平面PMN 所成角．試題解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP の中點T ，連接TN AT ,，由N 為PC中點知BC TN //，221==BC TN .又BC AD //，故TN AM，四邊形AMNT 為平行四邊形，於是AT MN //.因為⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB.設(,,)n x y z =為平面PMN の法向量，則⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取(0,2,1)n =，於是||85|cos ,|||||n AN n AN n AN ⋅<>==.考點：1、空間直線與平面間の平行與垂直關係；2、棱錐の體積． 【技巧點撥】（1）證明立體幾何中の平行關係，常常是通過線線平行來實現，而線線平行常常利用三角形の中位線、平行四邊形與梯形の平行關係來推證；（2）求解空間中の角和距離常常可通過建立空間直角坐標系，利用空間向量中の夾角與距離來處理． 16、（2017年1卷7題）某多面體の三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形の邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形、該多面體の各個面中有若干是梯形，這些梯形の面積之和為A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】由三視圖可畫出立體圖該立體圖平面內只有兩個相同の梯形の面()24226S =+⨯÷=梯6212S =⨯=全梯故選B17、（2017年1卷16題）如圖，圓形紙片の圓心為O ，半徑為5cm ，該紙片上の等邊三角形ABC の中心為O ，D 、E 、F 為元O 上の點，DBC △，ECA △，FAB △分別是一BC ，CA ，AB 為底邊の等腰三角形，沿虛線剪開後，分別以BC ，CA ，AB 為折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱錐．當ABC △の邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：3cm ）の最大值為_______．【答案】【解析】由題，連接OD ，交BC 與點G ，由題，OD BC ⊥OG =，即OG の長度與BC の長度或成正比設OG x =，則BC =，5DG x =-三棱錐の高h2132ABC S x =⋅=△則213ABC V S h =⋅=△令()452510f x x x =-，5(0,)2x ∈，()3410050f x x x '=-令()0f x '>，即4320x x -<，2x <則()()280f x f =≤ 則38045V ⨯=≤∴體積最大值為3415cm18、（2017年1卷18題）如圖，在四棱錐P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）證明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，求二面角A PB C --の余弦值． 【解析】（1）證明：∵90BAP CD P ∠=∠=︒∴PA AB ⊥，PD CD ⊥又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥又∵PD PA P =，PD 、PA ⊂平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD（2）取AD 中點O ，BC 中點E ，連接PO ，OE ∵AB CD∴四邊形ABCD 為平行四邊形 ∴OE AB由（1）知，AB ⊥平面PAD∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ∴OE PO ⊥，OE AD ⊥ 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥ ∴PO 、OE 、AD 兩兩垂直∴以O 為座標原點，建立如圖所示の空間直角坐標系O xyz -設2PA =，∴()002D -，，、()220B ，，、()002P ，，、()202C -，，， ∴()022PD =--，，、()222PB =-，，、()2200BC =-，，設()n x y z =,,為平面PBC の法向量由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20y +=-=⎪⎩ 令1y =，則z =，0x =，可得平面PBCの一個法向量(01n =, ∵90APD ∠=︒，∴PD PA ⊥又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ∴PD AB ⊥，又PA AB A = ∴PD ⊥平面PAB即PD 是平面PABの一個法向量，(0PD =,,∴cos 23PD n PD n PD n⋅===⋅, 由圖知二面角A PB C --為鈍角，所以它の余弦值為19、(2017年2卷4題)如圖，網格紙上小正方形の邊長為1，學 科&網粗實線畫出の是某幾何體の三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體の體積為（ ） 【解析】 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π【解析】【命題意圖】本題主要考查簡單幾何體三視圖及體積，以考查考生の空間想像能力為主目の. 【解析】 【解析】解法一：常規解法【解析】從三視圖可知：一個圓柱被一截面截取一部分而剩餘の部分，具體圖像如下：【解析】從上圖可以清晰の可出剩餘幾何體形狀，該幾何體の體積分成兩部分，部分圖如下：從左圖可知：剩下の體積分上下兩部分陰影の體積，下麵陰影の體積為面部分體積即第二種體積求法：V 20、(2017年2卷10題)已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，則異面直線1AB 與1C B 所成角の余弦值為（ ）A B C D 【命題意圖】本題考查立體幾何中の異面直線角度の求解，意在考查考生の空間想像能力 【解析】解法一：常規解法在邊F 由三角形中位線定理和平行線平移功能，異面直線 通過幾何關係求得FH 21、(2017年2卷19題) 如圖，四棱錐P -ABCD 中，側面PAD 為等比三角形且垂直於底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD の中點. （1）證明：直線//CE 平面PAB （2）點M 在棱PC 上，且直線BM 與底面ABCD 所成銳角為o45 ，求二面角M -AB -D の余弦值【命題意圖】線面平行の判定，線面垂直の判定，面面垂直の性質，線面角、二面角の求解 【標準答案】（1）證明略；（2【基本解法1】（1）證明：取PA 中點為F ，連接EF 、AF 因為90BAD ABC ∠=∠=︒，12BC AD =所以BC 12AD 因為E 是PD の中點，所以EF12AD ，所以EF BC 所以四邊形EFBC 為平行四邊形，所以//EC BF 因為BF ⊂平面PAB ，EC ⊄平面PAB 所以直線//CE 平面PAB（2）取AD 中點為O ，連接OC OP 、因為△PAD 為等邊三角形，所以PO ⊥AD因為平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD因為AO BC ，所以四邊形OABC 為平行四邊形，所以//AB OC 所以OC AD ⊥以,,OC OD OP 分別為,,x y z 軸建立空間直角坐標系，如圖設1BC =，則(0,0,3),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)P A B C --，所以(1,0,PC = 設(,,)M x y z ，則(,,3)PM x y z =-，(1,0,0)AB =因為點M 在棱PC 上，所以(01)PM PC λλ=≤≤，即(,,(1,0,x y z λ= 所以()M λ，所以(1,1)BM λ=- 平面ABCD の法向量為(0,0,1)n = 因為直線BM 與底面ABCD 所成角為45︒， 所以|||sin 45||cos ,|2||||(BM n BM n BM n λ⋅︒=<>===解得12λ=-()22BM =-- 設平面MAB の法向量為(,,)m x y z =，則020AB m x BM m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1z =，則(0,m =所以cos ,5||||6m n m n <>==⋅ 所以求二面角M AB D --の余弦值522、（2017年3卷8題）已知圓柱の高為1，它の兩個底面の圓周在直徑為2の同一個球の球面上，則該圓柱の體積為（）A ．πB ．3π4C．π２ D ．π4【答案】B【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑r =，則圓柱體體積23ππ4V r h ==，故選B.23、（2017年3卷16題）為空間中兩條互相垂直の直線，等腰直角三角形ABC の直角邊AC 所在直線與，都垂直，斜邊AB 以直線AC 為旋轉軸旋轉，有下列結論：①當直線AB 與成60︒角時，AB 與成30︒角； ②當直線AB 與成60︒角時，AB 與成60︒角； ③直線AB 與所成角の最小值為45︒； ④直線AB 與所成角の最大值為60︒．其中正確の是________（填寫所有正確結論の編號） 【答案】②③【解析】由題意知，a b AC 、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設圖中所示正方體邊長為1， 故||1AC =，AB =斜邊AB 以直線AC 為旋轉軸旋轉，則A 點保持不變， B 點の運動軌跡是以C 為圓心，1為半徑の圓．以C 為座標原點，以CD 為軸正方向，CB 為軸正方向， CA 為軸正方向建立空間直角坐標系． 則(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直線の方向單位向量(0,1,0)a =，||1a =． B 點起始座標為(0,1,0)，直線の方向單位向量(1,0,0)b =，||1b =． 設B 點在運動過程中の座標(cos ,sin ,0)B θθ'，其中為B C '與CD の夾角，[0,2π)θ∈．那麼'AB 在運動過程中の向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=．設AB '與所成夾角為π[0,]2α∈，則(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos sin |a AB θθαθ--⋅=∈'． 故ππ[,]42α∈，所以③正確，④錯誤．設AB '與所成夾角為π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='.當AB '與夾角為60︒時，即π3α=， sin3πθα====．∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ=∴1cos |cos |2βθ==． ∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此時AB '與夾角為60︒．∴②正確，①錯誤．24、（2017年3卷19題）如圖，四面體ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）證明：平面ACD ^平面ABC ；（2）過AC の平面交BD 於點E ，若平面AEC 把四面體ABCD 分成體積相等の兩部分．求二面角D AE C --の余弦值．【解析】⑴取AC 中點為O ，連接BO ，DO ； ABC ∆為等邊三角形 ∴BO AC ⊥∴AB BC = AB BCBD BDABD DBC=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. DA B CED BC EO∴AD CD =,即ACD ∆為等腰直角三角形，ADC ∠ 為直角又O 為底邊AC 中點∴DO AC ⊥令AB a =，則A B A C B C B D a ====易得：O D a =，OB =∴222OD OB BD +=由畢氏定理の逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OBAC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直の判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由題意可知V V D ACE B ACE --=即B ,D 到平面ACE の距離相等即E 為BD 中點以O 為原點，OA 為軸正方向，OB 為軸正方向，OD 為軸正方向，設AC a =，建立空間直角坐標系，則()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 設平面AED の法向量為1n ，平面AEC の法向量為2n ，則1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(13,1,n =2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(20,1,n = 若二面角D AE C --為，易知為銳角，則12127cos n n n n θ⋅==⋅主要考點：1、能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等の簡易組合)の三視圖,能識 別上述三視圖所表示の立體模型,會用斜二側法畫出它們の直觀圖 .2、瞭解球、棱柱、棱錐、臺の表面積和體積の計算公式 .3、能運用公理、定理和已獲得の結論證明一些空間圖形の位置關係の簡單命題4、掌握空間向量の線性運算及其座標表示.5、掌握空間向量の數量積及其座標表示,能運用向量の數量積判斷向量の共線與垂直.6、理解直線の方向向量與平面の法向量.7、能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面の夾角の計算問題,瞭解向量方法在研究立體幾何問題中の應用.。
2015~2017文科数学高考真题立体几何汇编
1.（2017北京文）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）当PA∥平面BD E时，求三棱锥E–BCD的体积．2.（2017山东文）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,A O∥平面B1CD1;（Ⅰ）证明：1（Ⅰ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.3.（2017天津文）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.4.（2017新课标Ⅰ文）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的 体积为83，求该四棱锥的侧面积.5.（2017新课标Ⅱ文）如图，四棱锥P ABCD-中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,1,2AB BC AD BAD ==∠90.ABC=∠=︒（1）证明：直线BC∥平面PAD;（2）若△PCD的面积为27，求四棱锥P ABCD-的体积.6.（2017新课标Ⅲ文）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．1、（2016年北京高考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PCⅠ平面ABCD ， （I ）求证：；（II ）求证：；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得平面?说明理由.2、（2016年江苏省高考）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且 ，.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .,AB DC DC AC ⊥∥DC PAC ⊥平面PAB PAC ⊥平面平面//PA C F E 11B D A F ⊥1111AC A B ⊥3、（2016年山东高考）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.4、（2016年上海高考）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为56π，11A B长为3π，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.5、（2016年四川高考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12 AD。
2015年三年高考数学(文)真题精编——专题10 立体几何(选择填空)
一、选择题2.【2013高考北京文第8题】如图，在正方体ABCD－AB1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到1各顶点的距离的不同取值有()．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系，如图所示．4.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B C D．2【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面CD AB ，S A 是四棱锥最长的棱，SA ===，故选C .【考点定位】三视图.5. 【2014高考广东卷.文.9】若空间中四条直线两两不同的直线1l .2l .3l .4l ,满足12l l ⊥,23//l l ,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14//l lC .1l .4l 既不平行也不垂直D .1l .4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】如下图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,取1AA 为2l ,1BB 为3l ,取AD 为1l ,BC 为4l ,【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定,属于中等题.6. 【2013高考广东卷.文.6】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是().A .16 B .13 C .23D .1 【答案】B【考点定位】本题考查立体几何中的三视图与体积,属于基础题9. 【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A【考点定位】空间点、线、面的位置关系．10. 【2013高考广东卷.文.8】设l 为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是().A .若l ∥α,l ∥β,则α∥βB .若l ⊥α,l ⊥β,则α∥βC .若l ⊥α,l ∥β,则α∥βD .若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β 【答案】B【解析】如图,在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中,【考点定位】本题考查立体几何中线,面之间的平行垂直关系,属于能力题13.【 2014湖南文8】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱14. 【2013湖南，文7】已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积( )．A B ．1 C 【答案】D【解析】如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的俯视图为ABCD ，侧视图为BB 1D 1D ，故该正方体的正视图应为AA 1C 1C ．又因AC .15. 【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A 、89πB 、827πC D【答案】A【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体16. 【2013山东，文4】一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )．A ．45，8B ．45，83C ．4(5+1)，83D ．8,8 【答案】B【解析】由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：由图可知PO ＝2，OE ＝1，所以PE 22215+=， 所以V ＝13×4×2＝83，S ＝1425=452⨯20. 【2014高考陕西版文第5题】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）.4A π .3B π .2C π .D π【答案】C考点：旋转体；几何体的侧面积.21. 【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.24. 【2014全国2，文6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.31【答案】C【解析】由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 25. 【2013课标全国Ⅱ，文9】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．【答案】：A【解析】：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 的投影即正视图为，故选A.27. 【2014全国2，文7】正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( )（A ）3 （B ）32 （C ）1 （DD A 1C 1AB 1BC【答案】C30. 【2013四川，文2】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）（A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台31. 【2014四川，文4】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高） A 、3B 、2CD 、1侧视图俯视图11222211【答案】D【考点定位】空间几何体的三视图和体积.35. 【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛【答案】B【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式36. 【2014全国1，文8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】B【解析】根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．38. 【2013课标全国Ⅰ，文11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 【答案】：A【解析】：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.40. 【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式41. 【2014年.浙江卷.文3】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 372cmB. 390cmC. 3108cmD. 3138cm 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成， 其体积为)(90343216433cm V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选B. 考点：根据三视图还原几何体，求原几何体的体积，容易题.42. 【2014年.浙江卷.文6】设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m【答案】C考点：空间中的线线、线面、面面的位置关系，容易题.43.【2013年.浙江卷.文4】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【答案】：C【解析】：A选项中直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D选项中，m也可能平行于β.故选C.44.【2013年.浙江卷.文5】已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()．A．108 cm3B．100 cm3C．92 cm3D．84 cm3【答案】：B49. 【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m 【答案】A【解析】采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.【考点定位】直线、平面的位置关系.50. 【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm【答案】C【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.51.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB与平面α所成的角为60 ，B为斜足，平面α上的动点P∠PAB= ，则点P的轨迹是（）满足30A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支【答案】C【解析】由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.54.【2013高考重庆文第8题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．A．180 B．200 C．220 D．240【答案】D【解析】试题分析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，考点：三视图.55.【2014高考重庆文第7题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30 【答案】C考点：1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的体积.56. 【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A)123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π 【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B. 【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.57. 【2014，安徽文8】一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是 （ ）A.233 B.476C.6D.7【答案】A．考点：1.多面体的三视图与体积.59.【2015高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A）1+（B）1+（C）2+（D）【答案】C【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式.61.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】在如图所示的空间直角坐标系xyzO-中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，正视图与俯视图的面积，容易题.62. 【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A .【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.63. 【2014福建,文3】以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 （ ）.2..2.1A B C D ππ【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，所得圆柱的底面半径和高均为为1，所以圆柱的侧面积为2π，选A . 考点：旋转体的侧面积.66. 【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．8+B ．11+C ．14+D ．15 【答案】B【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为所以该几何体的表面积为11+B ． 【考点定位】三视图和表面积．二、填空题1．【2013高考北京文第10题】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________．【答案】32. 【2014高考北京文第11题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图11122【答案】【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的正三角形，棱锥的高为2=考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.3. 【2014山东.文13】一个六棱锥的体积为32，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 【答案】12考点：正六棱锥的几何特征，几何体的面积与体积.5. 【2013高考陕西版文第12题】某几何体的三视图如图所示，则其表．面积为__________．【答案】3π 【解析】试题分析：三视图可知该几何体为半径为1的球体的一半，所以表面积为12×4π×12＋π×12＝3π. 考点：三视图，容易题.6.【2013课标全国Ⅱ，文15】已知正四棱锥O －ABCD ，底面边长为，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为__________．【答案】：24π【解析】：如图所示，在正四棱锥O －ABCD 中，V O －ABCD ＝13×S 正方形ABCD ·|OO 1|＝13×2×|OO 1|9. 【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.【答案】1 24【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.11.【2013课标全国Ⅰ，文15】已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．【答案】：9π2【解析】：如图，15. 【2013，安徽文15】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =④当314CQ <<时，S 为六边形⑤当1CQ =时，S 【答案】①②③⑤．（2）1CQ=，S=，⑤正确，图如下：（3）34CQ=，画图如下：113C R=，③正确；（4）314CQ<<，如图是五边形，④不正确；（5）12CQ<<，如下图，是四边形，故①正确．【考点】1．立体几何中线面位置关系；2．正方体的截面．19.【2013天津，文10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为__________．【解析】由题意知349ππ32V R==球，32R=.设正方体的棱长为a＝2R，a.20.【2014天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为3m.【答案】20.3π 【解析】试题分析：几何体为一个圆锥与一个圆柱的组合体. 圆锥的高为2，底半径为2；圆柱的高为4，底半径为1，所以体积为221202241.33V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=考点：三视图21. 【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为 3m .【答案】8π3【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.22. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷16】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【答案】3【解析】试题分析：由题意盆内所盛水的上底面直径为28122+＝20(寸)，下底面半径为6寸，高为9寸，故体积为V ＝13·9·(π·102＋π·62＋π·10·6)＝588π，而盆上口面积为π·142＝196π，故平地降雨量为588π196π＝3(寸)． 24. 【2014上海,文8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .【答案】24【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为2(51)324⨯-⨯=. 【考点】三视图，几何体的体积..25. 【2013上海,文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr＝______.【解析】由题知，tan6r l π==⇒l r =三、解答题2.【2013高考北京文第17题】(本小题共14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD ＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.3. 【2014高考北京文第17题】（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE C BA【答案】(3)【解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.试题解析：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥AB ，又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，因为AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC . （2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是11A C 、BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG=12AC ， 因为AC ∥11A C ，且AC=11A C ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC ，所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ，考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．5. 【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ∆AB 为等边三角形，C C A ⊥B 且C C A =B =，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．（I ）求证：V //B 平面C MO ； （II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ； （III ）求三棱锥V C -AB 的体积．【答案】（I ）证明详见解析；（II ）证明详见解析；（III .试题解析：（Ⅰ）因为,O M 分别为AB ，V A 的中点， 所以//OM VB .又因为VB ⊄平面C MO ， 所以//VB 平面C MO .（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC ==所以2,1AB OC ==.所以等边三角形V AB 的面积VAB S ∆=. 又因为OC ⊥平面V AB ，所以三棱锥C V -AB 的体积等于13VAB OC S ∆⨯⨯=. 又因为三棱锥V C -AB 的体积与三棱锥C V -AB 的体积相等，所以三棱锥V C -AB . 考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.6. 【2014高考广东卷.文.18】(本小题满分13分)如图2,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,1AB =,2BC PC ==,作如图3折叠,折痕//EF DC .其中点E .F 分别在线段PD .PC 上,沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ,并且MF CF ⊥.(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M CDE -的体积.图3图2MFEPDCBA PDCB A【答案】(1)详见解析；(2.(2)CF ⊥ 平面MDF ,CF DF ∴⊥,又易知60PCD ∠= ,30CDF ∴∠= ,从而1122CF CD ==, //EF DC ,DE CEDP CP ∴=,122=,DE ∴=,PE ∴=,12CDE S CD DE ∆∴=⋅=,MD ====,1133M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅==. 【考点定位】本题以折叠图形为考查形式,考查直线与平面垂直的判定以及利用等体积法计算三棱锥的体积,属于中等题.8. 【2013高考广东卷.文.18】(本小题满分14分)如图(1),在边长为1的等边三角形ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 上的点,AD ＝AE ,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥A －BCF ,其中BC .图(1) 图(2) (1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD ＝23时,求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3(2)证明：在等边三角形ABC 中,∵F 是BC 的中点,BC ＝1,∴AF ⊥CF ,BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥A －BCF 中,BC , ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ,∴CF ⊥平面ABF .(3)由(1)可知GE ∥CF ,结合(2)可得GE ⊥平面DFG .∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE ＝1111132333⎛⨯⨯⨯⨯= ⎝【考点定位】本题考查立体几何中的线面平行,垂直和椎体体积,属于拔高题10. 【2015高考广东，文18】（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE 中，PE ===DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，【考点定位】1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.11. 【 2014湖南文18】如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60 ，菱形ABCD 在面β内，,A B两点在棱MN 上，60BAD ∠= ，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.【答案】(1)详见解析 (2) 34【解析】试题解析:(1)如图,因为DO α⊥,AB α⊆,所以DO AB ⊥,连接BD ,由题可知ABD ∆是正三角形,又E 是AB 的中点,所以DE AB ⊥,而DO DE D = ,故AB ⊥平面ODE .(2)因为//BC AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即ADO ∠是BC 与OD 所成的角,由(1)可知,AB ⊥平面ODE ,所以AB OE ⊥,又DE AB ⊥,于是DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,从而060DEO ∠=,不妨设2AB =,则2AD =,易知DE =,在Rt DOE ∆中,03sin 602DO DE ==,连接AO ,在Rt AOD ∆中,332cos 24DO ADO AD ∠===,所以异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34. 【考点定位】异面直线的夹角 二面角 线面垂直12. 【2013湖南，文17】如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC，AA 1＝3，D 是BC的中点，点E 在棱BB 1上运动．(1)证明：AD ⊥C 1E ；(2)当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1－A 1B 1E 的体积．15. 【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题18立体几何中三视图及其应用文201711011
专题18 立体几何中三视图及其应用1.【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B【考点】三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60 （B）30（C）20 （D）10【答案】D【解析】试题分析：该几何体是三棱锥，如图：11图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是V53410，32故选D.【考点】1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.3.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3B．4C．24D．34【答案】D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.4.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）【答案】B考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．5.【2015北京文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．B．2C．3D．【答案】C【考点定位】三视图.【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题．解题时一定要抓住三视图的特点，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的棱长即可．6.【2015新课标2文6】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1 8 A.17B.16C.15D.【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15,故选D.【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.7. (2014课标全国Ⅰ，文8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()．A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱答案：B名师点睛：本题考查根据三视图判断原几何体的形状，考查空间想象能力，容易题. 三视图 的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样 长，左视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视 图中，要注意实、虚线的画法．8.【2015高考安徽，文 9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A ）1 3 （B ）1 2 2 （C ） 2 3 （D ） 2 2【答案】C【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：其中侧面 PAC ⊥底面 ABC ，且PAC ≌ ABC ，由三视图中所给数据可知：PA PC AB BC 2 ,取 AC 中点O ,连接 PO ,BO ，则 Rt POB 中， 3 1PO BO 1 PB 2 ∴2 2 2 2 34 2S 2，故选 C .【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式.【名师点睛】在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者表面积时，一定要正确还原几何 体的直观图，然后再利用体积或表面积公式求之；本题主要考查了考生的空间想象力和基本运 算能力.69.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 7】在如图所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四 个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【答案】D考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，正视图与俯视图的面积，容易题. 【名师点睛】将空间几何体的三视图与空间直角坐标系融合在一起，凸显了数学内知识间的内 在联系，充分体现了数学特点和知识间的内在联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力. 其解题突破口是正确地在空间直角坐标系中画出该几何体的原始图像.10.【2015高考重庆，文 5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(A)1 3(B) 132(B) 136(C)73(D)52【答案】B【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利用 简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.11.【2015高考浙江，文 2】某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是 （ ）A ． cm 3B ． 12 cm 3C ． 32 3cm3D ． 40 3cm3【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为的正方体与一个底面边长为，高为的正四棱锥 的组合体，故其体积为23 1 22 2 32 3Vcm .故选 C.3 3【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积. 学￥【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的 结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间 想象能力和基本的运算能力.12.【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何 体的体积为（）1 2 （A ）+ π 3 3（B ）1 2 + π 3 3（C ）1 2 + π3 6 2 1+ π （D ）6【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算， 综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等. 13. 【2014四川，文 4】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥1体体积公式：VSh ，其中 S 为底面面积，为高） 3A 、B 、C 、 3D 、212212 1 1侧 侧 侧侧 侧 侧9【答案】DAAD DOC CB B【考点定位】空间几何体的三视图和体积.【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间想象能力和基本的运算能力.14. 2016高考新课标Ⅲ文数]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）18365（B）54185（C）90 （D）81【答案】B【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积S236233233554185，故选B．考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．1015.【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A、89B、827C、24(21)2D、8(21)2【答案】A【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体【名师点睛】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件，本题“和为定”是解决问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键，可从长方体三个侧面进行想象几何体.求组合体的体积，关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征，再结合分割法、补体法、转化法等方法求体积.16.【2016高考新课标1文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条1128π相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（）3（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.17.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．B．2C．3D．12【答案】C【考点定位】三视图.【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题．解题时一定要抓住三视图的特点，否则 很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的棱长 即可．18.【2017山东，文 13】由一个长方体和两个 1 4圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .【答案】2 π 2【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长宽高分别为 2,1,1,圆柱的高为 1,底面圆半径为 1,所以Vπ1π2211 2 1 2 .42【考点】三视图及几何体体积的计算.13【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽 相等”的原则.(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是 由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整 体；③综合起来,定整体．19.【2014高考北京文第 11题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.22主 主 主 主 主 主 1 11 主 主 主 主 主主 主 主 主【答案】 2 2考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解 决问题的能力.20.【2016高考四川文科】已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积.主 主 主主 主 主【答案】 33【解析】1试题分析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为S2 313 ，高为 1，214113所以该几何体的体积为V Sh31.333考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．21.【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为m .3【答案】8π3【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.22.【2014天津文10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m.3【答案】203.15考点：三视图考点定位：本题考点为利用三视图还原几何体及求组合体的体积【名师点睛】本题考查三视图及求组合体的体积，本题属于基础题，正确利用三视图还原为原几何体，特别是有关数据的还原，本题中的几何体为一个圆锥与一个圆柱的组合体，借助三视图中的数据，求出圆锥和圆柱的体积，两体积相加得出组合体的体积，三视图问题为今年高考热点，是必考题，是高考备考的重点，近几年出题难度逐年增加.16。
2015年 高考立体几何大题真题汇编
1.(2015高考安徽卷,文19)如图,三棱锥P ABC 中,PA ⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积;(2)证明:在线段PC 上存在点M,使得AC ⊥BM,并求的值.2.(2015高考北京卷,文18)如图,在三棱锥V ABC 中,平面VAB ⊥平面ABC,△VAB 为等边三角形,AC ⊥BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA 的中点. (1)求证:VB ∥平面MOC;(2)求证:平面MOC ⊥平面VAB; (3)求三棱锥V ABC 的体积.3.(2015高考福建卷,文20)如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A,B 的点,PO 垂直于圆O 所在的平面,且PO=OB=1. (1)若D 为线段AC 的中点,求证:AC ⊥平面PDO; (2)求三棱锥P-ABC 体积的最大值; (3)若BC=,点E 在线段PB 上,求CE+OE 的最小值.4.(2015高考广东卷,文18)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC ∥平面PDA; (2)证明:BC ⊥PD;(3)求点C 到平面PDA 的距离.5.(2015高考湖北卷,文20)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD,且PD=CD,点E 是PC 的中点,连接DE,BD,BE.(1)证明:DE ⊥平面PBC.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由; (2)记阳马P ABCD 的体积为V 1,四面体EBCD 的体积为V 2,求的值.6.(2015高考湖南卷,文18)如图,直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形,E,F 分别是BC,CC 1的中点. (1)证明:平面AEF ⊥平面B 1BCC 1;(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°,求三棱锥F AEC 的体积.7.(2015高考山东卷,文18)如图,三棱台DEF ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为AC,BC 的中点. (1)求证:BD ∥平面FGH;(2)若CF ⊥BC,AB ⊥BC,求证:平面BCD ⊥平面EGH.8.(2015高考四川卷,文18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系,并说明你的结论;(3)证明:直线DF ⊥平面BEG.9.(2015高考天津卷,文17)如图,已知AA 1⊥平面ABC,BB 1∥AA 1,AB=AC=3,BC=2,AA 1=,BB 1=2,点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点.(1)求证:EF ∥平面A 1B 1BA;(2)求证:平面AEA 1⊥平面BCB 1;(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小.10.(2015高考新课标全国卷Ⅰ,文18)如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD. (1)证明:平面AEC ⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE ⊥EC,三棱锥E ACD 的体积为,求该三棱锥的侧面积.11.(2015高考新课标全国卷Ⅱ,文19)如图,长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4.过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.12.(本小题满分15分)(2015高考浙江卷,文18)如图,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A 1A=4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是B 1C 1的中点. (1)证明:A 1D ⊥平面A 1BC;(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值.13.(2015高考重庆卷,文20)如图,三棱锥P ABC 中,平面PAC ⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E 在线段AC 上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F 在线段AB 上,且EF ∥BC. (1)证明:AB ⊥平面PFE;(2)若四棱锥P DFBC 的体积为7,求线段BC 的长.14(2015高考陕西卷,文18)如图1,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC, ∠BAD=,AB=BC=AD=a,E 是AD 的中点,O 是AC与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1BCDE. (1)证明:CD ⊥平面A 1OC;(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1BCDE 的体积为36,求a 的值.。
(完整版)近三年高考全国卷理科立体几何真题(可编辑修改word版)
新课标卷高考真题1、（2016 年全国I 高考）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD = 90 ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE - F 都是60 ．（I）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC；（II）求二面角E - BC - A 的余弦值．10 2、（ 2016 年全国 II 高考） 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，AB = 5, AC = 6 ， 点 E , F 分别在 AD , CD 上， AE = CF = 5 ， EF 交 BD 于点 H4．将∆DEF 沿 EF 折到∆D 'EF 位置， OD ' = ．（Ⅰ）证明： D 'H ⊥ 平面 ABCD ；（Ⅱ）求二面角 B - D 'A - C 的正弦值．3【2015 高考新课标 1，理 18】如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D-AE-C 为60°，AP＝1，AD＝ 3，求三棱锥E-ACD 的体积．图1-35、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5，三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C.图1-5(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A -A1B1C1的余弦值．6、（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E 是PD 的中点．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D 的余弦值．7（、2017•新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD= ∠CBD，AB=BD．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）过AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C 的余弦值．8、（2017•新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C 的余弦值．m n ⋅ -4 3 + 1 ⋅ 3 + 16 m 1 1 1 m 1【解析】⑴ ∵ ABEF 为正方形∴ AF ⊥ EF ∵ ∠AFD = 90︒∴ AF ⊥ DF ∵ D F EF =F∴ AF ⊥ 面 EFDC AF ⊥ 面 ABEF∴平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC⑵ 由⑴知∠DFE = ∠CEF = 60︒∵ AB ∥ EF AB ⊄ 平面 EFDCEF ⊂ 平面 EFDC ∴ AB ∥平面 ABCDAB ⊂ 平面 ABCD∵面 ABCD 面 EFDC = CD∴ AB ∥CD ,∴ CD ∥ EF∴四边形 EFDC 为等腰梯形以 E 为原点， 如图建立坐标系，FD = aE (0 ，0 ，0)B (0 ，2a ，0)C ⎛ a ，0 ， 3 a ⎫ A (2a ，2a ，0)2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎛ a3 ⎫EB = (0 ，2a ，0) ， BC = 2 ，- 2a ， 2 a ⎪ ， AB = (-2a ，0 ，0)⎝ ⎭设面 BEC 法向量为= ( x ，y ，z ) . ⎧ ⎧2a ⋅ y 1 = 0 ⎪m ⋅ EB = 0 ，即⎪ ⎨ ⋅ = 0 ⎨ a ⋅ x - 2ay + 3 a ⋅ z = 0 ⎪⎩m BC ⎪⎩ 2 1 1 2 1x = 3 ，y = 0 ，z = -1 = ( 3 ，0 ，- 1)设面 ABC 法向量为 = ( x ，y ，z ) ⎧ n 2 2 2 ⎧ a ⎪n ⋅ BC =0 .即⎪ x 2 - 2ay 2 + az 2 = 0 x = 0 ，y = 3 ，z = 4 ⎨ ⎨ 2 22 2 2⎪⎩n ⋅ AB = 0⎪⎩2ax 2 = 0 n = (0 ， 3 ，4)设二面角 E - BC - A 的大小为. cos =∴二面角 E - BC - A 的余弦值为-2 19 19 m ⋅ n = = - 2 19 19 3u r u u r n 1 ⋅ n 2 u r u u r n 1 n 2 7 5 2 95 ⋅ ' ⎩ ⎩ 2【解析】⑴证明：∵ AE = CF = 5 ，∴AE = CF ， 4 AD CD∴ EF ∥ AC ．∵四边形 ABCD 为菱形，∴ AC ⊥ BD ， ∴ EF ⊥ BD ，∴ EF ⊥ DH ，∴ EF ⊥ D 'H ．∵ AC = 6 ，∴ AO = 3 ；又 AB = 5 ， AO ⊥ OB ，∴ OB = 4 ， ∴ O H = AE⋅ OD = 1 ，∴ D H = D 'H = 3 ，∴ OD ' 2 = O H 2 + D ' H 2 ，∴ D ' H ⊥ O H AO ．又∵ OH I EF = H ，∴ D ' H ⊥ 面 ABCD ．⑵建立如图坐标系 H - xyz ．B (5 ， 0 ， 0) ，C (1， 3，0) ， D '(0 ， 0 ， 3) ， A (1， - 3， 0) ，AB = (4 ， 3， 0) ， AD ' = (-1， 3，3) ， AC = (0 ， 6 ， 0) ，设面 ABD ' 法向量n 1 = ( x ，y ，z ) ，⎧ ⎧x = 3 由⎪n 1 ⋅ AB = 0 得⎧4x + 3y = 0 ，取⎪ y = -4 ，∴ n = (3， - 4 ， 5) ． ⎨ ⎪⎩n 1 A D = 0 ⎨-x + 3y + 3z = 0 ⎨ 1 ⎪z = 5同理可得面 AD 'C 的法向量n 2 = (3， 0 ， 1) ，∴ cos= = = ，∴ s in = ． 25 253，【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 339 + 5 5 2 ⋅ 103 2 2 32 GB , G C又∵AE ⊥EC ，∴EG = ，EG ⊥AC ， 在 Rt △EBG 中，可得 BE = ，故 DF =2 .2在 Rt △FDG 中，可得 FG =6 .2在直角梯形 BDFE 中，由 BD =2，BE = ，DF = 2可得 EF = 3 2， 2 2 ∴ EG 2 + FG 2 = EF 2 ，∴EG ⊥FG ， ∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面 AFC ， ∵EG ⊂ 面 AEC ，∴平面 AFC ⊥平面 AEC .……6 分（Ⅱ）如图，以 G 为坐标原点，分别以 的方向为 x 轴，y 轴正方向，| GB |为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz ，由（Ⅰ）可得 A （0，－ ，0），E (1,0,)，F （－1,0， ），C （0， ，0），∴ AE =（1， ， ）， C F =（-1，- 2 ， 2 ）.…10 分 23 2 3 2 33 3 3 33 AE ,C F >= •1AP |为单位长，建立空间直角坐标系 A -xyz ，则 D (0， 3，0)，E 0， 2 ， 2，AE ＝ 0 2 ， 2 = - { 即 故cos < AE CF 3 . | AE || C F | 3 所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为3 .……12 分3 4，解：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 EO .因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点． 又 E 为 PD 的中点，所以 EO ∥PB .因为 EO ⊂平面 AEC ，PB ⊄平面 AEC ，所以 PB ∥平面 AEC . (2)因为 PA ⊥平面 ABCD ，ABCD 为矩形， 所以 AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以 A→ AD ，AP 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，| 为坐标原点，AB ， →( 1)→ (， 1).设 B (m ，0，0)(m >0)，则 C (m ，3，0) →(m ，3，0)．，AC ＝ 设 n 1＝(x ，y ，z )为平面 ACE 的法向量，→ n 1·AC ＝0，则 → ) {m x ＋ 3y ＝0，)n 1·AE ＝0， 2 y ＋ z ＝0，可取 n 1＝(2，－1， ).又 n 2＝(1，0，0)为平面 DAE 的法向量，1由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝ ，即2 13 ＝ ，解得 m ＝ .22 1因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 E -ACD 的高为 .三棱锥 E -ACD 的体积 V ＝21 1 3 1 × × 3× × ＝ . 3 22 2 83m 3 3＋4m 233 3 3 3 1(( )B 1C 1＝BC ＝ －1，－ 3，0 . {{335 解：(1)证明：连接 BC 1，交 B 1C 于点 O ，连接 AO ，因为侧面 BB 1C 1C 为菱形，所以 B 1C ⊥BC 1，且 O 为 B 1C 及 BC 1 的中点．又 AB ⊥B 1C ，所以 B 1C ⊥平面 ABO . 由于 AO ⊂平面 ABO ，故 B 1C ⊥AO . 又 B 1O ＝CO ，故 AC ＝AB 1.(2)因为 AC ⊥AB 1，且 O 为 B 1C 的中点，所以 AO ＝CO .又因为 AB ＝BC ，所以△BOA ≌ △BOC .故 OA ⊥OB ，从而 OA ，OB ，OB 1 两两垂直．以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz .(3)因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1 为等边三角形，又 AB ＝BC ，则 A 0，0， 3 ，B (1，0，0)，B (0， 3，0)，C (0，－ 3，0).→ AB 1＝ 0， 3 ，－ 3)3 → 3 ，A 1B 1＝AB ＝1，0，－ ， 3 3 3→ ( )设 n ＝(x ，y ，z )是平面 AA 1B 1 的法向量，则n ·AB 1＝0，3 y － z ＝0，)→n ·A 1B 1＝0，)即所以可取 n ＝(1，3， 3)．x － z ＝0.{设m 是平面A1B1C1的法向量，→m·A1B1＝0，则→m·B1C1＝0，)同理可取m＝(1，－3， 3)．n·m 1则cos〈n，m〉＝＝.|n||m| 71所以结合图形知二面角 A -A1B1 C1的余弦值为.76、【答案】（Ⅰ）证明：取PA 的中点F，连接EF，BF，因为E 是PD 的中点，所以EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥ AD，∴BCEF 是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF✪平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E 是PD 的中点．取AD 的中点O，M 在底面ABCD 上的射影N 在OC 上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，∴∠PCO=60°，直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，可得：1+ BN2=BN2 ，BN= ，MN= ，作NQ⊥AB 于Q，连接MQ，所以∠MQN 就是二面角M﹣AB﹣D 的平面角，MQ== ，二面角M﹣AB﹣D 的余弦值为： = ．7、【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC 的中点O，连接BO，OD．∵△ABC 是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD 与△CBD 中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD 是直角三角形，∴AC 是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO= AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2 ．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：设点D，B 到平面ACE 的距离分别为h D，h E．则= ．∵平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，∴ = = =1．∴点E 是BD 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E ．=（﹣1，0，1），= ，=（﹣2，0，0）．设平面ADE 的法向量为=（x，y，z），则，即，取= ．同理可得：平面ACE 的法向量为=（0，1，）．∴cos = = =﹣．∴二面角D﹣AE﹣C 的余弦值为．8、【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD 为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD 为矩形，在△APD 中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD 为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD 中点O，BC 中点E，连接PO、OE，以O 为坐标原点，分别以OA、OE、OP 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC 的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB 的一个法向量，．∴cos＜＞= =．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C 的余弦值为．。
专题17立体几何中线面位置关系—三年高考(2015-2017数学(文)真题分项版解析(
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(2021课标全国Ⅰ ,文8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,那么这个几何体是()．A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱8.【2021 (高|考)安徽,文9】一个四面体的三视图如下列图,那么该四面体的外表积是( )(A )1+(B )1+(C )2+(D )9.【2021年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】在如下列图的空间直角坐标系xyz O -中 ,一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2 ) , (2,2,0 ) , (1,2 ,1 ) , (2, 2,2 ) ,给出编号①、②、③、④的四个图 ,那么该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②10.【2021 (高|考 )重庆 ,文5】某几何体的三视图如下列图 ,那么该几何体的体积为 ( )(A) 123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π 11.【2021 (高|考 )浙江 ,文2】某几何体的三视图如下列图 (单位：cm ) ,那么该几何体的体积是 ( )A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm12.【2021 (高|考 )山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体 ,其三视图如下列图.那么该几何体的体积为 ( )(A )12+π33(B )13 (C )13 (D ) 13. 【2021四川 ,文4】某三棱锥的侧视图、俯视图如下列图 ,那么该三棱锥的体积是 ( )(锥体体积公式： ,其中为底面面积 ,为高 )A 、B 、C 、D 、14. [2021 (高|考 )新课标Ⅲ文数]如图 ,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗实现画出的是某多面体的三视图 ,那么该多面体的外表积为 ( )(A )18+ (B )54+ (C )90 (D )8115.【2021 (高|考 )湖南 ,文10】某工作的三视图如图3所示 ,现将该工作通过切削 ,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件 ,并使新工件的一个面落在原工作的一个面内 ,那么原工件材料的利用率为 (材料利用率 =新工件的体积/原工件的体积 ) ( )A 、89πB 、827πC D16.【2021 (高|考 )新课标1文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是28π3,那么它的外表积是 ( )(A )17π (B )18π (C )20π (D )28π17.【2021 (高|考 )北京 ,文7】某四棱锥的三视图如下列图 ,该四棱锥最||长棱的棱长为( )A ．1B ．C ．D ．218.【2021山东 ,文13】由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图,那么该几何体的体积为 .【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意"长对正、高平齐、宽相等〞的原那么.(2)由三视图复原实物图,解题时首||先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分局部,想整体；③综合起来,定整体．19.【2021 (高|考)北京文第11题】某三棱锥的三视图如下列图,那么该三棱锥的最||长棱的棱长为.20.【2021 (高|考)四川文科】某三菱锥的三视图如下列图,那么该三菱锥的体积.21.【2021 (高|考)天津,文10】一个几何体的三视图如下列图(单位:m ),那么该几何体的体m.积为322.【2021天津文10】一个几何体的三视图如下列图(单位：m) ,那么该几何体的体积为3m.。
2015-2017近三年高考理科立体几何高考题汇编
2015-2017高考立体几何题汇编2017(三)16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；其中正确的是________。
（填写所有正确结论的编号）2017(三)19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．2017(二)4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π2017(二)10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．2B ．5C ．5D ．32017(二)19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o45，求二面角M AB D --的余弦值．2017(一)7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 2017(一)18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值. 2017(天津)（17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2.（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE，求线段AH 的 2016(二)（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ,F 分别在AD ,CD 上，AE =CF =，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△的位置，.（I ）证明：平面ABCD ；（II ）求二面角的正弦值.2016（北京）6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.B. C. D.2016（北京）17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，1613121P ABCD -PAD ⊥ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；2015（二）（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）（B ）（C ）（D ）2015（二）（19．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
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1.【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A.90π
B.63π
C.42π
D.36π
【答案】B
【考点】三视图
【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）60 （B）30
（C）20 （D）10
【答案】D
【解析】
试题分析：该几何体是三棱锥，如图：
图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是
115341032
V =⨯⨯⨯⨯=，故选D. 【考点】1.三视图；2.几何体的体积.
【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:
如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.
3.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．24π+
D ．34π+
【答案】D
【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.
【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.
4.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体
的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）
【答案】B
考点：三视图
【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
5.【2015北京文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【考点定位】三视图.
【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题．解题时一定要抓住三视图的特点，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的棱长即可．
6.【2015新课标2文6】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）
1 A. 8
1
B.
7
1
C.
6
1
D.
5。