必修五第一章1.2应用举例 第2课时 角度问题

1.2应用举例第2课时角度问题(教师用书独具)●三维目标1，知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．2．过程与方法通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．3．情感、态度与价值观培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．●重点难点重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题．课标解读1.能灵活运用正、余弦定理解决角度问题．(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题．(难点)3.能根据题意画出几何图形．(易错点)方位角与方向角【问题导思】课上，老师在黑板上画下了如右的一个角？ (1)该角可以说成北偏东110°吗？ 【提示】 可以．(2)该角的方向是东偏南多少度？ 【提示】 东偏南20度．(3)该角的方向要以南为起始方向，怎么表示？ 【提示】 南偏东70度． (4)方位角110°是指这个角吗？ 【提示】 是．图1－2－161．方位角从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如点B 的方位角为α°(如图1－2－16所示)． 方位角的取值范围：0°～360°.2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.俯角、仰角与坡角图1－2－17(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图1－2－17，仰角为∠1，俯角为∠2.(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．坡度(坡比)是指坡面的垂直高度和水平宽度的比.确定航向的角度问题如图1－2－18，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)图1－2－18【思路探究】(1)题干中明确给出了哪些长度？再求出什么角即可解决这个问题？(2)考虑∠ABC怎样来求？(3)沿什么方向航行是指求出哪个角？是∠CAB吗？【自主解答】在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos ∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137° ≈113.15. 由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠CAB ＝BC sin ∠ABCAC＝54.0×sin 137°113.15≈0.3255，所以∠CAB ＝19.0°， 75°－∠CAB ＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.1．本题中由于A 、C 均为固定点，故所求航向是确定的，只要解出∠CAB 的大小，可用方向角表示出来．2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角在(0，π2]上时，用正、余弦定理皆可．如图1－2－19，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 n mile 的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10 n mile 的C 处的乙船，试问：乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援(角度精确到1°)?图1－2－19【解】 连接BC .在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝10，∠BAC ＝120°. 由余弦定理知：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝202＋102－2×20×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝700，∴BC ＝107.由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，∴sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝20107·sin 120°＝217.又∠ACB 为锐角，∴∠ACB ≈41°.作CM ⊥BA 交BA 的延长线于点M ，则∠BCM ＝30°＋∠ACB ≈71°. ∴乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B 处救援.不确定航向的角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．【思路探究】 (1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？相遇时有怎样的等量关系？【自主解答】 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ， 在△ABC 中，根据余弦定理，则有 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°. 整理得：2t 2－t －1＝0， 解得t ＝1或t ＝－12(舍去)， 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB＝ABsin 120°，∴sin ∠CAB ＝BC ·sin 120°AB ＝10×32103＝12. ∴∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.1．本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B ，画出可以求解的三角形．2．解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余弦定理求解．体现了数形结合与方程的数学思想方法．在甲船A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？【解】 设甲船沿直线与乙船同时到C 点，则A 、B 、C 构成△ABC ，如图，设乙船速度为v ，则甲船速度为3v ，到达C 处用时为t . 由题意BC ＝v t ，AC ＝3v t ， ∠ABC ＝120°.在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 120°， ∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋a v t . ∴2v 2t 2－a v t －a 2＝0, 解得v t ＝－a2(舍去)或v t ＝a . ∴BC ＝a ，在△ABC 中AB ＝BC ＝a ， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°.60°－30°＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，此时乙船行驶了a海里.图1－2－20应用正余弦定理时出现增根致误某观测站C在A城的南偏西20°方向上，由A城出发的一条公路走向是南偏东40°.在C处测得公路上距C为31 km的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD 间的距离为21 km，则这人还要走多远才可到达A城？【错解】如题图所示，∠CAD＝60°，在△BCD中，由余弦定理，得：cos B＝BC2＋BD2－CD22BC·BD＝312＋202－2122×31×20＝2331.所以sin B＝1－cos2B＝123 31.在△ABC中，AC＝BC sin Bsin ∠BAC＝24(km)．在△ACD中，由余弦定理，得：CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD cos ∠CAD，即212＝242＋AD2－24AD.所以AD＝15或AD＝9，即这人还要走15 km或9 km才能到达A城．【错因分析】余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检验解是否合题意，导致了错误．【防范措施】 求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符合实际问题． 【正解】 设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β， 在△CBD 中，由余弦定理，得：cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17. 所以sin β＝437.所以sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β ＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin 60°＝ADsin α， 所以AD ＝21×sin αsin 60°＝15(km)． 即这人还要走15 km 才可以到达A 城．1．测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决．1．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°【解析】如图，由题意，知AC＝BC，∠ACB＝80°，∴∠CBA＝50°，α＋∠CBA＝60°.∴α＝10°，即A在B的北偏西10°.【答案】 B2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km【解析】如图，可知∠ACB＝120°，AC＝BC＝a.在△ABC中，过点C作CD⊥AB，则AB＝2AD ＝2a sin 60°＝3a.【答案】 B图1－2－213．如图1－2－21，一艘船上午8∶00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile ，则此船的航行速度是________n mile/h.【解析】 如题图△ABS 中，S ＝45°.由正弦定理： BS sin 30°＝ABsin 45°，∴AB ＝42·2212＝8， ∴船的航行速度为8÷12＝16 n mile/h. 【答案】 164．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，求该船的速度．【解】 如图，B ，C 为两灯塔，行驶半小时后船从A 到达D ，由∠ADC ＝75°，∠ADB ＝60°，∴∠BCD ＝∠BDC ＝15°.∴BD ＝BC ＝10，∴AD ＝10×cos 60°＝5. 设船速为x ，则12x ＝5，即x ＝10(海里/小时)．一、选择题1．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m ，下底长为10 m ，高为23m ，那么此栏水坝斜坡的坡度和坡角分别是( )A.33，60° B.3，60° C.3，30° D.33，30°【解析】 如图所示，横断面是等腰梯形ABCD ，AB ＝10 m ，CD ＝6 m ，高DE ＝2 3 m ，则AE ＝AB －CD2＝2 m ， ∴tan ∠DAE ＝DE AE ＝232＝3，∴∠DAE ＝60°. 【答案】 B2．有一两岸平行的河流，水速为1 m/s ，小船的速度为 2 m/s ，为使所走路程最短，小船应朝________方向行驶．( )A ．与水速成45°B ．与水速成135°C ．垂直于对岸D ．不能确定【解析】 如图所示，AB 是水速，AD 为船速，AC 是船的实际速度，且AC ⊥AB .在Rt △ABC 中，cos ∠ABC ＝AB BC ＝AB AD ＝12＝22，∴∠ABC ＝45°，∴∠DAB ＝90°＋45°＝135°. 【答案】 B3．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且A 、B 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )A ．28海里/小时B ．14海里/小时C ．142海里/小时D ．20海里/小时【解析】 如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ， 在△ABC 中，AC ＝10×2＝20(海里)， AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝784， ∴BC ＝28海里， ∴v ＝14海里/小时． 【答案】 B4．我军设在南沙群岛相距10 n mile 的A ，B 两小岛上的两个观测站，同时发现一外国船只C 非法进入我领海．若在A 望C 和B 成60°的视角，在B 望C 和A 成75°的视角，则船只C 距离最近观测站( )A ．5 n mileB ．5 3 n mileC ．5 6 n mileD ．52n mile【解析】 结合题意作图如右图，由B >A 得BC <AC ， 故船只C 距离观测站B 近． ∵在△ABC 中， ∴BC sin 60°＝AB sin 45°，∴BC ＝AB ·sin 60°sin 45°＝10×3222＝56(n mile)．【答案】 C5．(2014·广州高二检测)一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68 n mile 的M 处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )A.1762 n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722 n mile/h D ．34 2 n mile/h【解析】 如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠PNM ＝45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得 MN sin 120°＝PMsin 45°，∴MN ＝68×3222＝34 6.又由M 到N 所用时间为14－10＝4(h)， ∴船的航行速度v ＝3464＝1726(n mile/h)． 【答案】 A 二、填空题6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔距离为________km.【解析】 如图，由题意，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°， ∴B ＝45°，AC ＝60 km ， 由正弦定理BC sin 30°＝AC sin 45°， ∴BC ＝30 2 km. 【答案】 30 27．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.【解析】 如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COY ＝30°＋30°＝60°.【答案】 60° 20 38．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________km.(精确到0.1 km)【解析】 如图，由条件知，AB ＝24×1560＝6(km)．在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－65°＝115°， ∴∠ASB ＝35°.由正弦定理，得BS sin 30°＝AB sin 35°， ∴BS ＝6sin 30°sin 35°≈5.2. 【答案】 5.2 三、解答题9．某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．【解】 如图，在△ABP 中，AB ＝30×4060＝20， ∠APB ＝30°，∠BAP ＝120°， 由AB sin ∠BP A ＝BPsin ∠BAP，得2012＝BP32，∴BP ＝20 3.在△BPC 中，BC ＝30×8060＝40， 由已知，∠PBC ＝90°，∴PC ＝BP 2＋BC 2＝(203)2＋402＝207(海里)． ∴P ，C 间的距离为207海里．10．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号，正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A 处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10 n mile 的C 处，并沿方位角为105°的方向以9 n mile/h的速度航行，“黄山”舰立即以21 n mile/h的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．【解】如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．设所需时间为t小时，则AB＝21t，BC＝9t.又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°.根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC cos∠ACB.∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t cos 120°，∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.∴t＝23或t＝－512(舍)．∴AB＝21×23＝14(n mile)．即“黄山”舰需要用23小时靠近商船，共航行14 n mile.11．(2014·青岛高二检测)某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海里上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．【解】如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一条直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20(3＋1)，DC＝202，BC＝(3＋1)·10 2.在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°，在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32. ∴∠BAC ＝30°.又∵B 位于A 南偏东60°， 60°＋30°＋90°＝180°， ∴D 位于A 的正北方向， 又∵∠ADC ＝45°，∴台风移动的方向为向量CD →的方向． 即台风向北偏西45°方向移动.(教师用书独具)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O (如图)的东偏南θ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＝210方向300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？【思路探究】 设经过t 小时后，台风到达Q 点，构造△POQ ，利用余弦定理求解． 【自主解答】 设经过t 小时台风中心移动到点Q 时，台风边沿恰经过O 城， 由题意，可得OP ＝300，PQ ＝20t ，OQ ＝r (t )＝60＋10t . 因为cos θ＝210，α＝θ－45°， 所以sin θ＝7210，cos α＝45. 由余弦定理，得OQ 2＝OP 2＋PQ 2－2·OP ·PQ ·cos α， 即(60＋10t )2＝3002＋(20t )2－2·300·20t ·45， 即t 2－36t ＋288＝0.解得t 1＝12，t 2＝24，t 2－t 1＝12.答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时．据气象台预报，距S 岛正东300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km 以内的地区将受到台风的影响．则S 岛是否会受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．【解】 如图所示，设台风中心经过t 小时到达B 点， 由题意得∠SAB ＝90°－30°＝60°.在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30t ，∠SAB ＝60°， 由余弦定理知SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos ∠SAB ＝3002＋(30t )2－2×300×30t ·cos 60°. 若S 岛受台风影响， 则应满足条件SB ≤270， 即SB 2≤2702，化简整理得t 2－10t ＋19≤0(一元二次不等式在第3章学习)， 解得5－6≤t ≤5＋6，所以从现在起，经过(5－6)小时S 岛开始受影响，(5＋6)小时后影响结束，持续时间为(5＋6)－(5－6)＝26(小时)．答：S 岛从现在起经过(5－6)小时开始受到台风影响，且持续时间为26小时．。