量子力学-曾谨言-第五版-第1章序言-知识点

。
n0
n0
n0
h
(1 e y )2 e y (1 e y )1

h 1
e y e y

h ey 1
eh
h (kBT ) 1
上式计算中取 e y

x
并用到幂级数展开公式：
1
1
x

n0
xn
。
因此，用电动力学和统计力学导出的
Rayleigh-Jeans
维恩发现， 对于一个确定的温度 T0 ，相应地有一波长 0 使 E(0 ,T0 ) 达到极大值，而 0T0 常数 。即
0T0 1T1 2T2 L 5.1103 ( oK m)
这说明随着温度升高，热辐射峰值向短波高频方向移动。温度越高，波长越短的光(即绿光和蓝光)越多；
5.67 108
J
(
oK
4

பைடு நூலகம்
s

m2
)


，
作者：张宏标
2
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿
其中 R(T ) E(,T )d 为黑体辐射能量。 这个定理是
斯托藩 1879 年实验测定的，而 1884 年玻尔兹曼从热力
学理论推导出来。
(ii)、Wien 位移定律（Wien Displacement Law）
1、普朗克公式
1900/10/19 普朗克在柏林物理学会会议上公布了他通过实验数据，采用数学插值法得到的公式：
( )d

8 h 3 c3
1
h
d
ekBT 1
此公式与实验曲线符合得相当好。
1900/12/14 普朗克又在柏林物理学会上给他的公式以量子说明，这就是量子论的生日。
2、普朗克的“能量子”假设
E(v,T )

2 hv3 c2
e hv
(kBT )

c1v3ec2v
T

c1

2 h c2
, c2

h kB

,
即 Wien 公式;
当 kBT
hv （低频区）： E(v,T )
2 hv3 c2
1 ehv (kBT )
1
2 2 c2
kBT
,
即 Rayleigh-Jeans 公式。
所以在 t 时间，从面积 S 上发射出频率在 范围内的能量表示为：
E( ,T )tS
因此， E( ,T ) 的量纲为： 能量 = 焦耳米 。 2
1
秒米
2
×
秒
作者：张宏标
1
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿
可以证明：辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系
E(v,T
② 斯托藩-玻尔兹曼定律
R(T )
E( ,T )d
2 h 3 c2
eh
1
(kBT )
d 1

2 h c2
kBT h
4
x3 (ex 1)1dx
2 kBT 4
c2h3 n1
x3e nx dx

2 kB4 c2h3
T4
6
n1
1 n4
③ 维恩位移定律
E(,T )
2 c
E( ,T )
2 c

2 h 3 c2
eh
1
(kBT )
1

2 hc2 5
ehc
1
(kBT )
1
dE ,T
对于一个固定的温度值 T0 , 求导 d ：
作者：张宏标
6
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黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。实验测得的辐射曲线满足下列定律：
(i)、斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann Law）
黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度 T 4 成正比， 即
R(T ) T 4

2 5kB4 15h3c2
c2

2 h h kB
c2
，而 kB 1.3810-23 J
o K 是玻尔兹曼常数。
维恩公式在高频率(短波段)与实验符合，但在中、低频率（长波段）区，特别是低频率区与实验偏离很
大。
(ii)、瑞利-金斯（Rayleigh-Jeans）公式：
瑞利(1900)根据经典电动力学及金斯(1905)由经典统计力学的能均分定理严格得到黑体辐射本领公式：
公式：
E(v,T
)

2 v2 c2
kBT
应改为
E(v,T )

2 hv3 c2
ehv
1
(kBT )
1
这就是 Planck 假设下的辐射本领， 它与实验完全符合。由辐射本领与能量密度的关系
E(v,T ) c (v,T ) 4
知，普朗克公式：
( )d

8 h 3 c3
1 eh /(kBT )
)

c 4
(v, T
)
，（
(v, T
)
的单位为
焦耳
3
米

秒
）。
吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额， 用 A( ,T ) 表示。
G. Kirchhoff（基尔霍夫）证明：
对任何一个物体，辐射本领 E(v,T ) 与吸收率 A( ,T ) 之比是一个普适的函数，即 E(v,T ) f ( ,T ) （ f 与组成物体的物质无关）。 A(v,T )
E
EeE (kBT )dE kBT
0
eE (kBT )dE

0
E eE (kBT ) eE (kBT )dE
0
0
eE (kBT )dE
0
kBT ；

而对于普朗克假设下的能量分布几率，则为 eEn (kBT )
eEn (kBT ) ，故分立的平均辐射能量为
子（ N0 6.02 1023 mol 称为阿伏加德罗常数），故有 3nN0 个自由度。所以，固体定容比热为：
CV


E T
V
3N0nkB
3nR ，
其中 R 8.314 J
( o K mol) 是气体常数。
称为能均分定理（Dulog–Relit 经验规律）。
3
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿
名“紫外发散灾难”。这两个公式并不完全符合实验结果，但理论上给出的结论是确切无疑的。总之，
用经典物理学理论解释黑体辐射谱的实验规律完全失败。
二、固体低温比热
根据经典理论，如一个分子有 n 个原子，而每个原子有 3 个自由度。对于 1 摩尔该分子固体有 N0 个分
④ 固体的低温定容比热（详细见固体物理学（黄昆著）P122-130）
由总辐射能量密度（单位： 焦耳米 3 ）
W (T )
(,T )d
4 c
E(,T )d

8
5k
4 B
15c3h3
T
4

4 5kB4 15c3h3
T4

2 c3

(横波 2 所受)
可推出固体中原子振动能量密度为
n0
E

E e En (kBT ) n n0
e En (kBT )


nh enh (kBT )
n0
enh (kBT )
y h h kBT
d

e ny
dy n0

e ny
h
d (1 e y )1 dy
(1 e y )1
4 5kB4 15c3h3
T
4

2 uT3

1 uL3
，
其中 uT 和 uL 分别为固体中的横向声速和纵向声速。 低温下， CV T 3 。
该公式只适用于低温，因固体中原子振动有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于晶格距离的 2 倍，
即 u 2a u 2a ），而在低温下，高频并不激发，因此，影响可忽略（推导辐射总能时高频是计
温度越低，波长越长的光(即红光)越多。
3、经典物理学的缺陷
利用经典物理学理论推导出的理论公式不能完全地符合实验，展现出经典物理学理论的局限性。
(i)、黑体辐射谱的维恩（Wien）经验公式：
维恩(1894)根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领
E(v,T ) c1v3ec2v T
其中

c1
E '(,T ) T0固定


2 hc2
ehc
(kBT )
1


5 6
1 5
hc kT 2
ehc
(kBT )
ehc (kBT ) 1


0


从而有
k
hc BT
1 ehc (kBT) 5 0T0 0.2898102 ( oK m) 。
实验发现，对单原子固体，在室温下 Cv Constant 符合能均分定理； 但在低温下， Cv T 3 0 ，
因而这个实验结果与经典理论不符。如何解决这些问题呢？
在经典物理学框架下，解释黑体辐射定律的多次失败后，物理学家逐渐地认识到必须引入一个新的理论。
三、Planck 假说（1900）
E(v,T
)

8 v2 c3
kBT
E(v,T ) 仅当频率足够低（或长波段），温度足够高（即 v T 1010 o K S 1 ）时，符合（即