初中数学竞赛辅导资料(70)

初中数学竞赛辅导资料(70)

正整数简单性质的复习

甲. 连续正整数

一. n 位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)

练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.

2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；

1……19881989是_______位数.

3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.

4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；

从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.

二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n

.

把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.

练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.

6. 1+3+5+……+99=____________.

7. 5+10+15+……+100=_________.

8. 1+4+7+……+100=____________.

9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______

10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.

11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.

三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和

整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；

1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.

练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.

13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：

44443444421ΛΛ位

198011121234567891这个数用9除的余数是__________.

(1987年全国初中数学联赛题)

14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：

① 它是一个________位数；

② 它的各位上的数字和等于________；

③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么

剩下的数的前十位是___________________________.

四.连续正整数的积：

① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.

② n 个连续正整数的积能被n !整除.

如：2!|a(a+1), 3!|a (a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.

③ n ! 中含有质因数m 的个数是⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡2m n +…+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡i m n .

[x]表示不大于x 的最大正整数，i=1,2,3… m i ≤n

如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2310310=3+1=4

练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____

16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个 (1988

年全国初中数学联赛题)

17. 求证：10494 | 1989!

18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数

五. 两个连续正整数必互质

练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.

乙. 正整数十进制的表示法

一. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －

1+……+a 1×10+a 0

其中n 是正整数，且0≤a i ≤9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位a n ≠0.

例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.

例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.

证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33

=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.

∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)

∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )

=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)

=99k+45×11

=99k+99×5.

∴A 能被99整除.

练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除

二. 常见的一些特例 43421Λ99999个n =10 n －1, 321Λ3

3333个n =31(10 n －1), 9111111=321Λ个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.

证明：第n 个数是43421Λ321Λ2122221111个个n n =

)110(91 -n ×10 n +)110(9

2-n =)110(9

1 -n (10 n +2) =3

31103110+-⨯-n n =)13

110(3110+-⨯-n n =321Λ33333个n ×43333

3

)1(321Λ个-n . 证毕. 练习：21. 化简 43421Λ99999个n ×43421Λ99999个n +143421Λ9

9999个n =_______________________________.

22. 化简 43421Λ321Λ2

122222-1111个个n n =____________________________________________.

23. 求证 321Λ1

19901111个是合数.

24. 已知：存在正整数 n,能使数321Λ1

1111个n 被1987整除.

求证：数p=321Λ11111个n 43421Λ99999个n 321Λ88888个n 43421Λ7

7777个n 和

数q=321Λ111111个+n 43421Λ919999个+n 321Λ818888个+n 43421Λ7

17777个+n 都能被1987整除.